9D4 4 cong thuc nghiem cua phuong trinh bac hai

Bài CƠNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM  Xét phương trình bậc hai ẩn x: ax  bx  c 0 (a 0) Với biệt thức  b  4ac, ta có Trường hợp Nếu   phương trình vơ nghiệm a) x1  x2  b) Trường hợp Nếu  0 phương trình có nghiệm kép: c) Trường hợp Nếu   phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1,2  b 2a  b   2a B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Sử dụng cơng thức nghiệm để giải phương trình bậc hai một ẩn cho trước  Bước 1: xác định các hệ số  a,b,c Bước 2: Sử dụng cơng thức nghiệm để giải phương trình Ví dụ 1. Xác định các hệ số  a, b, c;  tính biệt thức  ,  từ đó áp dụng cơng thức nghiệm để giải các phương trình sau:  a)  x  3x  0   b)   x  x 1 0   c)  x  x  0   d)  x  x  0   ĐS: x1 1; x2 2 ĐS: x1 1; x2  1 ĐS:   x1  x2 2 ĐS:  PT vơ nghiệm Ví dụ 2. Xác định các hệ số  a, b, c;  tính biệt thức  ,  từ đó áp dụng cơng thức nghiệm để giải các phương trình sau: a)  x  x  0   b)   x  x  0   c)  x  x  0   d)  x  3x  0   Ví dụ 3. Giải các phương trình sau : ĐS:   x1  1; x2 2 ĐS: x1 1; x2  ĐS: x1  x2  ĐS: PT vô nghiệm 2 a)  x  x  0,5 0 ĐS: x1  x2  2 b)  x  2 x  0   ĐS: x1  x2  c)  x  ĐS: PT vô nghiệm x    d)  2( x  2) 4 x   ĐS: x1,2  2 Ví dụ 4. Giải các phương trình sau : a)  x  x  0   ĐS: PT vô nghiệm ĐS: x1  x2  b)  x  x  0 c)  x  x 2   d)   x  x 1   ĐS: ĐS: x1  x1  2; x2   1  51 ; x2  2 Dạng 2: Sử dụng cơng thức nghiệm, xác định số nghiệm của phương trình dạng bậc hai Xét phương trình dạng bậc hai:  ax + bx + c =  ìï a ¹ ï í ïD >0 Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi  ïỵ  ìï a ¹ ï í ïD =0 Phương trình (*) có nghiệm kép khi và chỉ khi  ïỵ  ìï a = ï í ïb ¹ Phương trình (*) có đúng một nghiệm khi và chỉ khi  ïỵ (*) éa = 0,b = 0,c ¹ ê êa ¹ 0, D < ë  Phương trình (*) có vơ nghiệm khi và chỉ khi  ê Ví dụ 5. Cho phương trình  mx  x  0 ( m  là tham s?)  Tìm  m  để phương trình: a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có nghiệm kép.  c) Vơ nghiệm.  m  , m 0 ĐS: ĐS: ĐS: m m ĐS: m 0 d) Có đúng một nghiệm Ví dụ 6. Cho phương trình  mx  x  0 ( m  là tham s?)  Tìm  m  để phương trình: ĐS: m  1, m 0 a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có nghiệm kép.  ĐS: m 1 c) Vơ nghiệm.  ĐS: m  d) Có đúng một nghiệm.  ĐS: m 0 Dạng 3: Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai  Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m là tìm tập nghiệm của phương trình tùy theo sự thay đổi của m 2 Xét phương trình dạng bậc hai:  ax + bx + c = 0 với  D = b - 4ac  Nếu  a = , ta biện luận phương trình bậc nhất  Nếu  a ¹ , ta biện luận phương trình bậc hai theo  D Ví dụ 7. Giải và biện luận các phương trình sau:( m  là tham số)  a)  x  x  m 0 b)  mx  (2m  1) x  m 0   Ví dụ 8. Giải và biện luận các phương trình sau:( m  là tham số) a)  x  x  m 0   b)  mx  x  0   Dạng 4: Một số bài tốn về tính số nghiệm của phương trình bậc hai  Dựa vào điều kiện của  D  để phương trình bậc hai  ax + bx + c = 0(a ¹ 0)  có nghiệm Ví dụ 9.  Chứng tỏ rằng khi một phương trình   ax  bx  c 0   có các hệ số   a     c   trái dấu thì phương trình đó ln có nghiệm Ví dụ 10. Khơng tính  ,  hãy giải thích vì sao các phương trình sau đây có nghiệm a)  3x  x  0   b)   x  x   0   2 c)  x  x  m   x    d)  2mx  x  m 0 (m 0)   C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Xác định các hệ số  a, b, c;  tính biệt thức  ,  từ đó áp dụng cơng thức nghiệm để giải các phương trình sau: a)  x  x  0   b)   3x  x  0   ĐS:   x1 2; x2 3 ĐS:   x1  1; x2  2 c)  x  2 x  0   ĐS:   x1 1; x2  d)  x  x  0   ĐS: PT vơ nghiệm  Bài 2. Giải các phương trình sau a)  x  x 3    13 x1,2  ĐS:   b)   x  3x  x    ĐS: 2 c)  x 2( x  1) d)  x  x1,2   x1,2 1  ĐS:   3( x  1) 0 ĐS:  PT vô nghiệm Bài 3. Cho phương trình  mx  x  0 ( m  là tham s?)  Tìm  m  để phương trình: m  , m 0 ĐS:   a) Có hai nghiệm phân biệt.  b) Có nghiệm kép.  ĐS:   m m c) Vơ nghiệm.  ĐS: d) Có đúng một nghiệm.  ĐS: m 0 Bài 4. Giải và biện luận các phương trình sau:( m  là tham số) a)  x  x  m 0 b)  mx  x  0   Câu 15. Chứng minh rằng với mọi giá trị của  m  thì phương trình sau ln có nghiệm a)  x  (m  2) x  2m 0   b)  x  2mx  (m  1) 0   HƯỚNG DẪN GIẢI Ví dụ Xác định hệ số a, b, c; tính biệt thức , từ áp dụng cơng thức nghiệm để giải phương trình sau: a) x  3x  0 b)  x  x 1 0 c) x  x  0 d) x  x  0 Lời giải a) Ta có a 1, b  3, c 2;  b  4ac 1,  từ tìm x1 1; x2 2 x1 1; x2  1 b) Ta có a  2, b 1, c 1;  b  4ac 9,  từ tìm c) Ta có a 1, b  4, c 4;  b  4ac 0,  từ tìm x1 x2 2 d) Ta có a 1, b  1, c 4;  b  4ac  15  0,  PT vơ nghiệm Ví dụ Xác định hệ số a, b, c; tính biệt thức , từ áp dụng cơng thức nghiệm để giải phương trình sau: a) x  x  0 b)  x  x  0 c) x  x  0 d) x  3x  0 Lời giải a) Ta có a 1, b  1, c  2;  b  4ac 9,  từ tìm x1  1; x2 2 b) Ta có a  1, b  5, c 6;  b  4ac 49,  từ tìm x1 1; x2  x1 x2  c) Ta có a 4, b  4, c 1;  b  4ac 0,  từ tìm d) Ta có a 1, b  3, c 4;  b  4ac   0,  PT vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình sau : a) x  x  0,5 0 b) x  2 x  0 c) x2  d) 2( x  2) 4 x Lời giải x   0  x1  x2  a) Ta có b) Ta có  0  x1  x2  c) Biến đổi thành x  d) x  2 Biến đổi thành x  2 x  0,  16 Từ tìm 1,2 Ví dụ x  0,     PT vơ nghiệm Giải phương trình sau : a) x  x  0 b) x  x  0 c) x  x 2 d)  x2  x 1 Lời giải a)     PT vơ nghiệm b) Ta có  0  x1 x2  c) d) Biến đổi PT thành Biến đổi PT thành Ví dụ trình: 3x  x  0,  4  x1  2; x2   x2  x  0,  1  x1   1  51 ; x2  2 Cho phương trình mx  x  0 ( m  là tham s?) Tìm m để phương a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có nghiệm kép c) Vơ nghiệm d) Có nghiệm Lời giải Xét  9  4m a)  a 0   m  , m 0    Tìm Phương trình có hai nghiệm phân biệt b) a 0  m    Phương trình có nghiệm kép Tìm c) Xét m 0  3x  0  x  1 Suyra m 0 loại Xét m 0 phương trình vơ nghiệm d)    m  a 0 m 0   m 0  b      Có nghiệm Ví dụ trình: Cho phương trình mx  x  0 ( m tham số) Tìm m để phương a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có nghiệm kép c) Vơ nghiệm d) Có nghiệm Lời giải Xét  4  4m a)  a 0      Phương trình có hai nghiệm phân biệt Tìm m  1, m 0 b) a 0   0 Tìm m 1 Phương trình có nghiệm kép c) Xét m 0   x  0  x  Suyra m 0 loại Xét m 0 phương trình vơ nghiệm    m  d) a 0 m 0   m 0  b      Có nghiệm Ví dụ a) Giải biện luận phương trình sau:( m tham số) x  x  m 0 b) mx  (2m  1) x  m 0 Lời giải a) x  x  m 0 Xét  1  4m    m  : Phương trình vơ nghiệm  0  m  1 x1 x2  : Phương trình có nghiệm kép    m  b) 1   4m x1,2  : Phương trình có hai nghiệm phân biệt mx  (2m  1) x  m 0 Với m 0  phương trình có nghiệm x 0 Với m 0   4m     m  1 : Phương trình vơ nghiệm  0  m  1 2m  x1 x2  : Phương trình có nghiệm kép 2m    m  1 2m    4m x1,2  : Phương trình có hai nghiệm phân biệt 2m Ví dụ a) Giải biện luận phương trình sau:( m tham số) x  x  m 0 b) mx  x  0 Lời giải a) x  x  m 0 Xét  4  4m    m  : Phương trình vơ nghiệm  0  m 1 : Phương trình có nghiệm kép x1  x2 1    m  : Phương trình có hai nghiệm phân biệt b) x1,2  mx  x  0 Với m 0  phương trình có nghiệm x 1 Với m 0    4m     m  : Phương trình vơ nghiệm  0  m  1 x1 x2  : Phương trình có nghiệm kép 2m   4m    m  1   4m x1,2  : Phương trình có hai nghiệm phân biệt 2m Ví dụ Chứng tỏ phương trình ax  bx  c 0 có hệ số a c trái dấu phương trình ln có nghiệm Lời giải 2 Do a c    a c  Ta có  b  4ac b  4( ac )   Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 10 Khơng tính , giải thích phương trình sau có nghiệm a) 3x  x  0 b) c) x  x  m2   x  d)  x  3x   0 2mx  x  m 0 (m 0) Lời giải a) Do a.c 3( 5)  15  b) Do a.c  1(  1) 1  c) Do a.c 5( m  3)  d) Do a.c  m  0 Bài Xác định hệ số a, b, c; tính biệt thức , từ áp dụng cơng thức nghiệm để giải phương trình sau: a) x  x  0 b)  3x  x  0 c) x  2 x  0 d) x  x  0 Lời giải a) Ta có a 1, b  5, c 6;  1,  từ tìm x1 2; x2 3 x1  1; x2  b) Ta có a  3, b  2, c 1;  16,  từ tìm c) Ta có a 1, b  2, c 2;  0,  từ tìm x1 1; x2  d) Ta có a 1, b  2, c 4;   12  PT vô nghiệm Bài Giải phương trình sau a) x  x 3 b)  x  3x x  c) x 2( x  1) d) x2  3( x  1) 0 Lời giải a)  13 x1,2   13, từ tìm b)  20, từ tìm x1,2   c)  12, từ tìm x1,2 1  d) Biến đổi thành x  x  0,  3    PT vơ nghiệm Bài Cho phương trình mx  x  0 ( m  là tham s?) Tìm m để phương trình: a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có nghiệm kép c) Vơ nghiệm d) Có nghiệm Lời giải Xét  1  8m a)  a 0   m  , m 0    Phương trình có hai nghiệm phân biệt Tìm b) a 0  m  0 Tìm Phương trình có nghiệm kép c) Xét m 0   x  0  x 2 Suyra m 0 loại Xét m 0 phương trình vơ nghiệm d)  a 0   Có nghiệm b 0    m  m 0  m 0   0 Bài Giải biện luận phương trình sau:( m tham số) a) x  x  m 0 Lời giải b) mx  x  0 a) x  x  m 0 Xét  1  4m    m  1 : Phương trình vơ nghiệm  0  m  1 x1 x2  : Phương trình có nghiệm kép    m  1   4m x1,2  : Phương trình có hai nghiệm phân biệt b) mx  x  0 Với m 0  phương trình có nghiệm x 3 Với m 0    12m     m  12 : Phương trình vơ nghiệm 1 x1 x2   0  m  12 : Phương trình có nghiệm kép 2m    m  1   12m x1,2  12 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt 2m Bài Chứng minh với giá trị m phương trình sau ln có nghiệm a) x  (m  2) x  2m 0 b) x  2mx  (m  1) 0 Lời giải x  (m  2) x  2m 0 Có  (m  2) 0, m   nên với giá trị m a) phương trình sau ln có nghiệm 2 b) x  2mx  (m  1) 0 Có  (2m  1)   0, m   nên với giá trị m phương trình sau ln có nghiệm - HẾT -