phuong trinh bac hai he thuc vi et va ung dung duong minh hung

 Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022  ➋ Ⓐ   PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI-ỨNG DỤNG VIÉT Tóm tắt lý thuyết ➊ Cơng thức nghiệm:  Phương trình ax2+bx+c = (a  0) có  = b2- 4ac  Nếu  < phương trình vơ nghiệm  Nếu  = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =  Nếu  > phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = ➋ Cơng thức nghiệm thu gọn: ➌ Định lí Vi-ét:  St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh  Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022   ➍ Ứng dụng Vi-ét: (nhẫm nghiệm đặc biệt phương trình bậc hai) ➎ Các ứng dụng vào giải toán chứa tham số: Ⓑ Phân dạng tốn ❖Dạng ➊ Giải phương trình quy bậc Phương pháp:     Chuyển vế Quy đồng (ĐK có) Phân phối, thu gọn đưa phương trình bậc St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh  Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022   Ví dụ ➊ Giải phương trình:  Lời giải Điều kiện: x  −3  5x + 1 = 15 +  5x = 15  x = x+3 x+3 Ví dụ ➋ Giải phương trình: (1)  Lời giải  Điều kiện: x   (1)  x − + = − x  x = (loại)  Vậy phương trình vơ nghiệm  Bài tập rèn luyện Giải phương trình sau: Câu 1: Câu 2: Câu 3:  Hướng dẫn giải Câu 1: x − = 3x −  2x − = 3x −  x = −1  Vậy phương trình có nghiệm x = -1 Câu 2: Điều kiện: x  x = x +1 x2 + x =  x2 =    x −1 x −1  x = −1  Đối chiếu điều kiện, phương trình có nghiệm x = -1 Câu 3:  St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh  Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022   Điều kiện: x    15 + =  + 3(x + 1) = 15(x – 1)  12x – 24 = x −1 x −1 x +1  x = (nhận)  Vậy phương trình có nghiệm x = ❖Dạng ➋ Giải phương trình bậc hai Phương pháp: Áp dụng cách sau     Công thức nghiệm Nhẫm nghiệm đặc biệt Sử dụng ứng dụng Vi-ét Ẩn phụ Ví dụ ➊ Giải phương trình a) x2 - 49x - 50 = )x2 + b) (2- x–2– =0  Lời giải a) Giải phương trình x2 - 49x - 50 = Cách 1: Dùng công thức nghiệm (a = 1; b = - 49; c = 50)  = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601;  = 51 Do  > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = − (−49) − 51 − (−49) + 51 = −1 ; x2 = = 50 2 Cách 2: Ứng dụng định lí Viet Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = Nên phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = − − 50 = 50 Cách 3:  = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601 Theo định lí Viet ta có :  x1 + x2 = 49 = (−1) + 50  x1 = −1    x1.x2 = 49 = −50 = (−1).50  x2 = 50 Vậy phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = − − 50 = 50 b) (2- )x2 + x – – =  St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh  Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022   Cách 3: Dùng công thức nghiệm (a = 2- ; b = ; c = – – )  = (2 )2- 4(2- )(– – ) = 16;  =4 Do  > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = −2 3+4 −2 3−4 = ; x2 = = −(7 + ) 2(2 − ) 2(2 − ) Cách 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn (a = 2- ; b’ = ’ = ( )2 - (2 - )(– – ) = 4; 3;c=–2– 3)  =2 Do ’ > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = − 3−2 − 3+2 = − (7 + ) = ; x2 = 2− 2− Cách 3: Nhẫm nghiệm đặc biệt Do a + b + c = 2- + + (- - 3)=0 Nên phương trình có nghiệm: x1 = 1; x1 = − −2− = −(7 + ) 2− Ví dụ ➋ Giải phương trình sau:  Lời giải a)2x − =  2x =  x =  x = 2 Vậy phương trình có nghiệm x = 2 x = x = b)3x − 5x =  x(3x − 5)    x = 3x − =   Vậy phương trình có nghiệm x = 0; x = c) − 2x + 3x + = Nhẩm nghiệm : Ta có : a - b + c = - - + = Do phương trình có nghiệm : x1 = −1; x = − 5 = −2 d)x + 3x − =  St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh  Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022   Đặt t = x (t  0) Ta có phương trình : t + 3t − = a+b+c=1+3-4=0 Do phương trình có nghiệm : t1 =  (thỏa mãn); t2 = − = −4  (loại) Với: t =  x =  x = 1 Vậy phương trình có nghiệm x = 1 Ví dụ ➌ Giải phương trình sau:  Lời giải a) x+2 (ĐKXĐ : x  2; x  ) +3= x −5 2−x Phương trình : x+2 +3= x −5 2−x (x + 2)(2 − x) 3(x − 5)(2 − x) 6(x − 5) + = (x − 5)(2 − x) (x − 5)(2 − x) (x − 5)(2 − x)  (x + 2)(2 − x) + 3(x − 5)(2 − x) = 6(x − 5)   − x + 6x − 3x − 30 + 15x = 6x − 30  −4x + 15x + =  = 152 − 4.(−4).4 = 225 + 64 = 289  0;  = 17 Do phương trình có hai nghiệm : x1 = x2 = Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = − −15 + 17 = − (thỏa mãn ĐKXĐ) 2.(−4) −15 − 17 = (thỏa mãn ĐKXĐ) 2.(−4) , x2 = 4  x = −1 b)2 x ( x + ) + = ( x + )  x2 + x + =    x = −3 Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = −1 , x = −3   Bài tập rèn luyện St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh  Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022   Câu 1: Giải phương trình sau: a) b)  Hướng dẫn giải a) x2 − x + = x2 + x −  x − x − x − x = −1 −  −3x = −6  x = b) Phương trình x2 − x + = có:  = (−9)2 − 4.2.4 = 49   − 49 =  x1 = Phương trình có hai nghiệm phân biệt :   + 49 =4  x2 =  1  Vậy phương trình có tập nghiệm là: S =  ;  2  Câu 2: Giải phương trình sau: a) b) c) d)  Hướng dẫn giải a) Nhẵm nghiệm đặc biêt: Phương trình có a+b+c= 1-5+4=0 Do phương trình có hai nghiệm x = 1; x = Cách khác: Ta có x − x + =  x − x − x + =  x ( x − ) − ( x − ) = x =  ( x − 1)( x − ) =   x = S = 1; 4 Vậy tập nghiệm phương trình b) x − x − = Phương trình cho có a − b + c = Suy phương trình có hai nghiệm x = −1 x = c) x2 − =  x2 =  x = 2 Vậy phương trình có tập nghiệm S = 2 x = d) x + x =    x = −5 Vậy phương trình có tập nghiệm S = 0; −5 Câu 3: Giải phương trình sau: a)  b) x4 - 20x2 + 64 = St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh  Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022    Hướng dẫn giải a) Đặt t = x (t  0) Phương trình (1) trở thành t − 12t + 16 = ( ) , Với a = 1, b = −12, c = 16  ' = ( −6 ) − 1.16 = 36 − 16 = 20   ' = Vậy phương trình ( ) có hai nghiệm t1 = + ( N ) , t2 = − ( N ) Vậy phương trình (1) có bốn nghiệm ( = −( ) x = − = − 1, x = − − − 1) Vậy phương trình có tập nghiệm S =  + 1; − ( + 1) ; x1 = + = + 1, x2 = − + = − +1 , − 1; − ( ) −1 b) Đặt: x2 = t  Khi phương trình trở thành: t2 - 20t + 64 =  t = t = 16 Với t = suy x = x = -2 Với t = 16 suy x = x = -4 Suy phương trình cho có tập nghiệm S = 2; 4 Câu 4: Giải phương trình sau: a) b)  Hướng dẫn giải a) Điều kiện: x  0, x  1, x  2x ( x − 2) ( x − 1)( x − ) 2x Phương trình (1) trở thành + = x −1 2x ( x − 1)( x − 2)  x − x + x = 3x − x +  x − x + = Vì a + b + c = − + = Nên x1 = 1( L ) , x2 = ( N ) Vậy phương trình có nghiệm x = x −  x   b) ĐKXĐ:  x  x  x ( x + 2) x−2 x+2  + = + = x − x x(x − 2) x ( x − ) x ( x − ) x(x − 2)  x(x + 2) + x - = 2 x2 + 2x + x - = x =  x2 + x - =   x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm phương trình S = {1; 4}  St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh  Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022 ❖Dạng ➌   Tính giá trị biểu thức nghiệm dùng Vi-ét Phương pháp: Sử dụng dạng phân tích tổng tích hai nghiệm: ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ Ví dụ ➊ Cho phương trình x2 + x- = có nghiệm x1 x2 Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức sau: A= ; B = x12 + x22 ; C= ; D = x13 + x23  Lời giải Do phương trình có nghiệm x1 x2 nên theo định lí Viet ta có: x1 + x2 = − ; A=  x1.x2 = − x + x2 1 − + = = x2 x2 x1 x − = 15 St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh  Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022   B = x12 + x22 = (x1+x2)2- 2x1x2= (− 3) − 2(− ) = + x12 + x 22 + = (3 + ) ; C= 2 = x1 x (− ) D = (x1+x2)( x12- x1x2 + x22) = (− 3)[3 + − (− )] = −(3 + 15 ) Ví dụ ➋ Cho phương trình a) có hai nghiệm tính b) c)  Lời giải Ta có x1 + x2 = − b c = 8; x1 x2 = = 15 a a 2 2 a) x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = − 2.15 = 64 − 30 = 34 b) x + x2 1 + = = x1 x2 x1 x2 15 c) x1 x2 x12 + x2 34 + = = x2 x1 x1 x2 15  Bài tập rèn luyện Câu 1: Cho phương trình có hai nghiệm a) tính b)  Đáp số: a) x12 + x22 = 65 b) 1 + = x1 x2 Câu 2: Cho phương trình a) có hai nghiệm tính b)  Đáp số:  St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh  Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022   Ví dụ ➋ Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - = (1) a) Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 x2 b) Tìm giá trị m để: x12 + x22 – x1x2 =  Lời giải a) Ta có ∆/ = m2 + > 0, m  R Do phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt b) Theo định lí Vi-ét thì: x1 + x2 = 2m x1.x2 = - Ta có: x12 + x22 – x1x2 =  (x1 + x2)2 – 3x1.x2 =  4m2 + =  m2 =  m = ± Ví dụ ➌ Cho phương trình ẩn x: x2 – x + + m = (1) a) Giải phương trình cho với m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1x2.( x1x2 – ) = 3( x1 + x2 )  Lời giải a) Với m = ta có phương trình x2 – x + = Vì ∆ = - < nên phương trình vơ nghiệm b) Ta có: ∆ = – 4(1 + m) = -3 – 4m Để phương trình có nghiệm ∆   - – 4m   4m  −3  m  -3 (1) Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = x1.x2 = + m Thay vào đẳng thức: x1x2.( x1x2 – 2) = 3( x1 + x2), ta được: (1 + m)(1 + m – 2) =  m2 =  m = ± Đối chiếu với điều kiện (1) suy có m = -2 thỏa mãn Ví dụ ➍ Cho phương trình: x2 + (m + 1)x + m2 = (1) a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt, có nghiệm -  Lời giải a) Với m = ta có phương trình: x2 + 12x + 25 =0 ∆’ = 62 -25 = 36 - 25 = 11 x1 = - - 11 ; x2 = - + 11 b) Phương trình có nghiệm phân biệt khi: ∆’ >  (m + 1)2 - m2 >  2m + >  m >  -1 (*) St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh  Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022   Phương trình có nghiệm x = -  - (m + 1) + m2 = m = (thoả mãn điều kiện (*))  m2 - 4m =   m = Vậy m = m = giá trị cần tìm Ví dụ ➎ Cho phương trình: x2 - (m - 1)x - m - = (1) a) Giải phương trình với m = -3 b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thoả mãn hệ thức = 10 c) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc giá trị m  Lời giải x = a) Với m = - ta có phương trình: x2 + 8x =  x (x + 8) =   x = - b) Phương trình (1) có nghiệm khi: ∆’   (m - 1)2 + (m + 3) ≥  m2 - 2m + + m + ≥ 15  m2 - m + >  (m − ) +  m Chứng tỏ phương trình có nghiệm phân biệt  m  x1 + x = 2(m - 1) Theo hệ thức Vi ét ta có:   x1 - x = - m - (1) (2) Ta có x12 + x 22 = 10  (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10  (m - 1)2 + (m + 3) = 10  4m2 m = - 6m + 10 = 10  2m (2m - 3) =   m =  c) Từ (2) ta có m = -x1x2 - vào (1) ta có: x1 + x2 = (- x1x2 - - 1) = - 2x1x2 -  x1 + x2 + 2x1x2 + = Đây hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc m Ví dụ ❻ Cho phương trình ẩn x: x2 - (2m + 1) x + m2 + 5m = a) Giải phương trình với m = -2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cho tích nghiệm  Lời giải  St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh  Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022   a) m = - 2, phương trình là: x2 + 3x - = 0; ∆ = 33> 0, phương trình có hai nghiệm phân -  33 biệt x1, = b) Ta có ∆ =  - (2m +1 - (m + 5m) = 4m2 + 4m + - 4m2 - 20m = - 16m Phương trình có hai nghiệm  ∆ ≥  - 16m ≥  m  16 Khi hệ thức Vi-ét ta có tích nghiệm m2 + 5m Mà tích nghiệm 6, m2 + 5m =  m2 + 5m - = Ta thấy a + b + c = + + (-6) = nên m1 = 1; m2 = - Đối chiếu với điều kiện m ≤ m = - giá trị cần tìm 16 Ví dụ ❼ Cho phương trình: x2- 4x + m +1 = (1) a) Giải phương trình (1) m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức = (x1 + x2)  Lời giải a) Khi m = 2, PT cho trở thành: x2- 4x + = Ta thấy: a +b + c = - +3 = Vậy PT cho có nghiệm: x1 = 1; x2 = b) Điều kiện để phương trình cho có nghiệm là: , = b'2 - ac   22 − (m + 1)   - m   m  (1)  x1 + x = Áp dụng hệ thức Vi ét ta có :   x1 x = m + x12 + x 22 = (x1+ x2)  (x + x )2- 2x1x2 = (x1 + x2)  42 - (m +1) = 5.4  (m + 1) = -  m = - Kết hợp với điều kiện (1) , ta có m = - Ví dụ ❽ Cho phương trình x2 - (m + 5)x - m + = (1) a) Giải phương trình với m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x = - c) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn  Lời giải x2 - (m + 5)x - m + =  (1) St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh  Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022   a) Khi m = 1, ta có phương trình x2 - 6x + = a + b + c = - + =  x1 = 1; x2 = b) Phương trình (1) có nghiệm x = - khi: (-2)2 - (m + 5) (-2) - m + =  + 2m + 10 - m + =  m = - 20 c) ∆ = (m + 5)2 - 4(- m + 6) = m2 + 10m + 25 + 4m - 24 = m2 + 14m + Phương trình (1) có nghiệm ∆ = m2 + 14m + ≥ (*) Với điều kiện trên, áp dụng định lí Vi-ét, ta có: S = x1 + x2 = m + 5; P = x1 x2 = - m + Khi đó: x12 x + x1x 22 = 24  x1x (x1 + x ) = 24  (−m + 6)(m + 5) = 24  m2 − m − =  m = ; m = −2 Giá trị m = thoả mãn, m = - không thoả mãn điều kiện (*) Vậy m = giá trị cần tìm Ví dụ ❾ Cho phương trình với a) Giải phương trình b) Tìm tham số để phương trình có hai nghiệm thoả mãn  Lời giải a) Với m = , ta có phương trình: x + 3x + = Các hệ số phương trình thoả mãn a − b + c = − + = nên phương trình có nghiệm: x1 = −1 , x = − b) Phương trình có biệt thức  = (2m − 1)2 − 4.2.(m − 1) = (2m − 3)2  nên phương trình ln có hai nghiệm x1 , x với m 2m −   x1 + x = − Theo định lý Viet, ta có:  m −  x x =  2 Điều kiện đề x12 + x1 x2 + x22 =  4(x1 + x2 ) − 6x1 x2 = Từ ta có: (1 − 2m)2 − 3(m − 1) =  4m − 7m + = Phương trình có tổng hệ số a + b + c = + (−7) + = nên phương trình có nghiệm m1 = 1, m2 = Vậy giá trị cần tìm m m = 1, m =  St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh  Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022 Ví dụ ❿ Cho phương trình với   tham số a) Giải phương trình b) Tìm giá trị để phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện:  Lời giải a) Khi a = b = −5 ta có phương trình: x + 3x − = Do a + b + c = nên phương trình có nghiệm x1 = 1, x = −4 b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x   = a − 4(b + 1)  (*)  x1 + x2 = − a Khi theo định lý Vi-et, ta có  (1)  x1 x2 = b +  x1 − x =  x1 − x =  x1 − x = Bài toán yêu cầu  (2)     3  x1 x = −2  x1 − x = ( x1 − x ) + 3x1x ( x1 − x ) = Từ hệ (2) ta có: ( x1 + x2 ) = ( x1 − x2 ) + x1 x2 = 32 + 4(−2) = , kết hợp với (1) 2 a =  a = 1, b = −3    a = −1, b = −3 b + = −2 Các giá trị thoả mãn điều kiện (*) nên chúng giá trị cần tìm  Bài tập rèn luyện Câu 1: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + m = (1) a) Giải phương trình cho với m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: (x1x2 – 1)2 = 9( x1 + x2 ) Hướng dẫn giải a) Với m = 1, ta có phương trình: x2 – x + = Vì ∆ = - < nên phương trình vơ nghiệm b)Ta có: ∆ = – 4m Để phương trình có nghiệm ∆   – 4m   m  (1) Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = x1.x2 = m Thay vào đẳng thức: ( x1x2 – )2 = 9( x1 + x2 ), ta được:  St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh  Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022   m = - (m – 1)2 =  m2 – 2m – =   m = Đối chiếu với điều kiện (1) suy có m = -2 thỏa mãn Câu 2: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - = (1) a) Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 x2 b) Tìm giá trị m để: x12 + x22 – x1x2 = Hướng dẫn giải a) Ta có   = m2 + > 0, m  R Do phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt b) Theo định lí Vi-ét thì: x1 + x2 = 2m x1.x2 = - Ta có: x12 + x22 – x1x2 =  (x1 + x2)2 – 3x1.x2 =  4m2 + =  m2 =  m = 1 Câu 3: Cho phương trình: (x2 - x - m)(x - 1) = (1) a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Hướng dẫn giải a) Với m = 2, ta có phương trình (x2 x2 − x − =  x = −1; x =  - x - 2)(x - 1) =  x = x −1 = Vậy phương trình có nghiệm x  1; x = b) Vì phương trình (1) ln có nghiệm x1 = nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt khi: - Hoặc phương trình f(x) = x2 - x - m = có nghiệm kép khác 1   = 1 + 4m = m = −    m=− f (1)  1 − − m   m  - Hoặc phương trình f(x) = x2 - x - m = có nghiệm phân biệt có nghiệm 1    1 + 4m  m  −     m = f (1) = m = m = Vậy phương trình (1) có nghiệm phân biệt m=-  ; m = St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh  Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022   Câu 4: Cho phương trình: x4 - 5x2 + m = (1) a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Hướng dẫn giải a) Với m = ta có x4 - 5x2 + = Đặt x2 = t , với t  ta có pt t2 - 5t + = t1 = 1; t2 = x2 =  x = 1  Từ đó, ta được:   x =  x = 2 Vậy phương trình có nghiệm x = 1; x = 2 b) x4 - 5x2 + m = (1) có dạng f(y) = y2 - 5y + m = (2) (với y = x2 ; y > 0) Phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (2): 25   = 25 m = 1) Hoặc có nghiệm kép khác   m= f (0)   m  2) Hoặc có nghiệm khác dấu  m  Vậy m = 25 m < phương trình (1) có nghiệm phân biệt Câu 5: Cho phương trình: x2 - 2x + m = (1) a) Giải phương trình m = - b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn: = Hướng dẫn giải a) Vì a - b + c = - (- 2) + (- 3) = nên x1 = - 1; x2 = b) Phương trình có nghiệm  ' >  - m >  m < Khi theo hệ thức Viét, ta có: x1 + x2 = x1x2 = m x12 + x 22 (x1 + x ) − 2x1x 1 + =  =  =1 x2 x2 x12 x 22 (x1x ) (1) (2) Từ (1), (2), ta được: - 2m = m2 m2 + 2m - = ' = + = =>  ' = nên m = -1 + (loại); m = - - (T/m m < 1) Vậy giá trị m cần tìm là: m = −1 −  St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh  Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022   Câu 6: Cho phương trình: x2 - 2mx - 6m = (1) a) Giải phương trình (1) m = b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm gấp lần nghiệm Hướng dẫn giải a) Khi m = 2, phương trình (1) trở thành: x2 - 4x -12 =  ' = 16, pt cho có nghiệm: x = - 2; x = b) Phương trình (1) có nghiệm   '   m2 + 6m  m  −6; m  (2)  x1 + x = 2m Khi đó, theo hệ thức Vi ét ta có:  (3)  x1x = - 6m Phương trình có 1nghiệm gấp lần nghiệm khi: x1 = 2x ; x = 2x1  (x1 − 2x )(x − 2x1 ) =  5x1x − 2(x12 + x 22 ) =  5x1x − 2[(x1 + x )2 − 2x1x ] =  9x1x − 2(x1 + x )2 = Từ (3), (4), ta có: −54m − 8m =  m = 0; m = − Vậy giá trị m cần tìm m = 0; m = − (4) 27 (TMĐK (2)) 27 Câu 7: Cho phương trình: mx2- (2m + )x+ m - 4= a) Tìm m để pt có nghiệm phân biệt? b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m Hướng dẫn giải a) Phương trình có nghiệm phân biệt khi: m  m  m         = (2m + 3) − 4m(m − 4)  28m +  m  − 28  Vậy với  m  − pt có nghiệm phân biệt 28 2m +   x1 + x2 = +  x1 + x2 = m   m b) Khi pt có nghiệm thoả mãn:   x x = 1− x x = m − 2   m m  12  4( x + x ) = +  m  3x x = − 12  m Cộng vế pt ta đợc:  St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh  Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022   4(x1+x2) +3 x1x2=11 Đây hệ thức cần tìm Câu 8: Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x – – m = ( ẩn số x) a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1, x2 với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm d) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phương trình thoả mãn x12+x22 10 e) Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào m f) Hãy biểu thị x1 qua x2 Hướng dẫn giải a) Ta có: ’ = (m-1)2  15  – (– – m ) =  m −  + 2  15 1     > với m Do  m −   với m; 2   Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Hay phương trình ln có hai nghiệm (đpcm) b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c <  – – m <  m > -3 Vậy m > -3 c) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm Khi theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) P = x1.x2 = - (m+3) Khi phương trình có hai nghiệm âm  S < P > 2(m − 1)  m     m  −3 − (m + 3)  m  −3 Vậy m < -3 d) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) P = x1.x2 = - (m+3) Khi A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 Theo A  10  4m2 – 6m   2m(2m-3)   m    m   m    m  2 m −        m   m     m   2m −   m    St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh  Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022 Vậy m    m  e) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm  x1 + x = 2(m − 1)  x1 + x = 2m −   Theo định lí Viet ta có:   x1 x = −(m + 3) 2 x1 x = −2m −  x1 + x2+2x1x2 = - Vậy x1 + x2 + 2x1x2 + = hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc m f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = -  x1(1+2x2) = - ( +x2)  x1 = − Vậy x1 = − + x2 + x2 + x2 + x2 ( x2  − ) Câu 9: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: (1) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = - Tính nghiệm cịn lại e) Lập hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình khơng phụ thuộc vào giá trị m Hướng dẫn giải a) Ta có:  = m2 - 4(m + 3) = m2 - 4m - 12 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt  m < -2  >  m2 - 4m - 12 >  ( m - )( m + ) >   m > b) Ta có x1, x2 hai nghiệm phương trình Theo định lý Vi-et, ta có:  x1 + x = − m   x1 x = m + x12 + x 22 = (x1 + x )2 − 2x1x = (−m)2 − 2(m + 3) = m2 − 2m − Thay vào ta được:  m = -3 m2 - 2m - =  m2 - 2m - 15=   m = c) Phương trình có nghiệm x1; x     St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh  Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022  x1 + x = − m Khi theo định lý Vi-et, ta có:   x1 x = m +   (1) (2) Hệ thức: 2x1 + 3x2 = (3) Từ (1) (3) ta có hệ phương trình :  x1 + x = −m 3x1 + 3x = −3m  x1 = −3m −  x1 = −3m −     2x1 + 3x = 2x1 + 3x =  x = − m − x1  x = 2m +  x1 = −3m − Thay  vào (2) ta có phương trình:  x = 2m + (−3m − 5)(2m + 5) = m +  −6m − 15m − 10m − 25 = m +  −6m − 26m − 28 =  3m + 13m + 14 =  (m) = 132 − 4.3.14 =   Phương trình có hai nghiệm phân biệt: m1 = −13 + = −2; 2.3 m2 = −13 − =− 2.3 Kiểm tra: Với m = −2   = (thỏa mãn) Với m = −7 25 =  (thỏa mãn) Vậy với m = −2; m = − phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: 2x1 + 3x2 = d) Phương trình (1) có nghiệm x1 = −3  (−3)2 + m.(−3) + m + =  −2m + 12 =  m = Khi đó: x1 + x = −m  x = −m − x1  x = −6 − (−3)  x = −3 Vậy với m = phương trình có nghiệm: x1 = x2 = -  x1 + x = − m  m = − x1 − x   − x1 − x = x1x − e) Theo định lí Vi-et, ta có:   x1 x = m +  m = x1 x − Câu 10: Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m2 =0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m Hướng dẫn giải a) Ta có ' = (m + 1)2 - m2 = 2m + Phương trình cho có nghiệm  '   m  -  x1 + x2 = 2(m + 1) (1) b ) Theo hệ thức Viét ta có  (2)  x1 x2 = m  St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh  Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022   x +x x +x  Từ (1) ta có m = − thay vào (2) ta x1 x2 =  − 1   hay 4x1x2 = (x1 + x2 - 2) hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m  Phiếu ôn tập Phiếu ➊ Câu 1: Giải phương trình Câu 2: Giải phương trình Câu 3: Cho phương trình Gọi hai nghiệm phương trình Hãy tính giá trị biểu thức Câu 4: Cho phương trình: ( tham số) a) Giải phương trình với b) Tìm để phương trình có nghiệm kép  Hướng dẫn giải Phương trình cho có a − b + c = Suy phương trình có hai nghiệm x = −1 x = Câu 2: Đặt t = x ( t  ) ta có phương trình: Câu 1: t + 5t − 36 =  t + 9t − 4t − 36 =  t ( t + ) − ( t + ) = t = (TM ) t − =   ( t + )( t − ) =   t = −9 ( KTM ) t + = Với t =  x =  x = 2 Vậy phương trình cho có nghiệm x = ; x = −2 Câu 3:  = ( −3) − 4.1.1 =   phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2  x1 + x2 = Theo hệ thức Vi-et, ta có:  (2)  x1.x2 = Ta có A = x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1x2 (3) Thay (2) vào (3) ta A = 32 − 2.1 = Vậy A = Câu 4: a) Giải phương trình với m = Với m = , phương trình trở thành: 𝑥 + 4𝑥 + =  St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh  Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022   Nhận xét: a − b + c = − + = nên phương trình có hai nghiệm phân biệt  x1 = −1   x2 = − c = −3 a  Vậy m = tập nghiệm phương trình S = −1; − 3 b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép Phương trình x2 + x + 2m + = có  ' = 22 − ( 2m + 1) = − 2m − = − 2m Để phương trình có nghiệm kép  ' = − 2m =  m = Vậy với m = 3 phương trình cho có nghiệm kép Phiếu ➋ Câu 1: Giải phương trình Câu 2: Giải phương trình Câu 3: Cho phương trình ẩn : (1) a) Giải phương trình (1) với b) Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt hệ thức Câu 4: Cho phương trình: Giải phương trình Tìm thỏa mãn ( tham số) với để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:  Hướng dẫn giải Câu 1: Phương trình x2 − x + = có:  = (−9)2 − 4.2.4 = 49   − 49 =  x1 =  Do phương trình có hai nghiệm phân biệt :  + 49 =4  x2 =  1  Vậy phương trình có tập nghiệm là: S =  ;  2  Câu 2: Đặt t = x (t  0) Phương trình (1) trở thành t − 12t + 16 = ( ) , Với a = 1, b = −12, c = 16  St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh  Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022    ' = ( −6 ) − 1.16 = 36 − 16 = 20   ' = Vậy phương trình ( ) có hai nghiệm t1 = + ( N ) , t2 = − ( N ) Vậy phương trình (1) có bốn nghiệm ( = −( ) x = − = − 1, x = − − − 1) Vậy phương trình có tập nghiệm S =  + 1; − ( + 1) ; x1 = + = + 1, x2 = − + = − Câu 3: +1 , − 1; − ( ) −1 a) Giải phương trình (1) với m = Với m = phương trình (1) trở thành phương trình: x − 5x + = (2) Ta có: a + b + c = + ( −5) + = nên phương trình (2) có hai nghiệm x1 = x2 = Vậy với m = tập hợp nghiệm phương trình (1) S = 1; 4 b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt x1; x2 thỏa mãn 1 hệ thức + = x1 x2 Để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt x1; x2 thì: ( −5)2 − ( m − )    33   33 − 4m   m     S = x1 + x2   5  m    P = x x  m −  m    33 Vậy với  m  phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt x1; x2  x1 + x2 = Khi áp dụng hệ thức Vi-et ta có  (3)  x1.x2 = m − 1 Ta có + = x1 x2 x2  x1 x2 x1 + x1 x2 = ( x1 + x2 ) = x1.x2  ( x1 + x2 + x1.x2 ) = x1.x2 2 (4) Thay (3) vào (4) ta có: + m − = ( m − )  ( m − ) − m − − 20 = (5) ( ) Đặt t = m − điều kiện t  phương trình (5) trở thành phương trình: 9t − 8t − 20 = (6) Giải phương trình (6) ta t = (thỏa mãn) t = −10 (không thỏa mãn) Với t =  m − =  m − =  m = Vậy m = phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt x1; x2 thỏa mãn hệ thức 1 + = x1 x2  St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh  Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022   Câu 4:  x = −1 1) Với m = −2 (1)  x + x + =   (vì: a − b + c = )  x = −3 Vậy PT có hai nghiệm x = −1; x = −3 2) Ta có:  ' = ( −m ) − ( −4m − 5) = m2 + 4m + = ( m + ) + 1  m 2 Vậy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m  x1 + x2 = 2m Theo Vi-Et ta có:   x1.x2 = −4m − Mà: 33 x1 − ( m − 1) x1 + x2 − 2m + = 4059  x1 − ( m − 1) x1 + x2 − 4m + 33 = 8118 2  x12 − 2mx1 + x1 + x2 − 4m − + 38 = 8118  x12 − 2mx1 − 4m − + ( x1 + x2 ) = 8080 (*) Do: x1 nghiệm phương trình (1) nên: x12 − 2mx1 − 4m − =  (*)  ( x1 + x2 ) = 8080  2.2m = 8080 (Vì: x1 + x2 = 2m )  4m = 8080  m = 2020 Vậy m = 2020 thỏa mãn yêu cầu toán  St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh ... trình có nghiệm x1 x2 nên theo định lí Viet ta có: x1 + x2 = − ; A=  x1.x2 = − x + x2 1 − + = = x2 x2 x1 x − = 15 St&Bs-FB: Duong Hung- Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh  Chuyên... x     St&Bs-FB: Duong Hung- Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh  Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022  x1 + x = − m Khi theo định lý Vi- et, ta có:   x1 x... – 4m   m  (1) Theo hệ thức Vi- ét ta có: x1 + x2 = x1.x2 = m Thay vào đẳng thức: ( x1x2 – )2 = 9( x1 + x2 ), ta được:  St&Bs-FB: Duong Hung- Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh