Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 26 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
26
Dung lượng
1,19 MB
Nội dung
thuvienhoclieu.com Bài HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Hệ thức Vi-ét ứng dụng ax + bx + c = 0(a ≠ 0) Xét phương trình bậc hai x1 x2 Nếu , nghiệm phương trình −b S = x1 + x2 = a P = x x = c a Ứng dụng hệ thức Vi-ét Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai Xét phương trình bậc hai ax + bx + c = 0, (a ≠ 0) Nếu a+b+c = x1 = phương trình có nghiệm , nghiệm c x2 = a Nếu x2 = a −b+c = x1 = −1 phương trình có nghiệm , nghiệm −c a Tìm hai số biết tổng tích chúng Nếu hai số có tổng tích P hai số nghiệm phương trình X − Sx + P = S B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm ìï a ¹ ï í ïï D ³ ỵ Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Từ áp dụng hệ thức Vi-ét -b c S = x1 + x2 = P = x1x2 = a a x1 + x2 Bước 2: Biến đổi biểu thức đối xứng nghiệm đề theo tổng x1x2 áp dụng bước x1 x2 Ví dụ Đối với phương trình sau, ký hiệu , hai nghiệm phương trình (nếu có) Khơng giải phương trình điền vào chỗ trống thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com x + x − = ∆′ = … x1 + x2 = … x1 x2 = … a) , , , x + x + = ∆′ = … x1 + x2 = … x1 x2 = … b) , , , x − x − = ∆ = … x1 + x2 = … x1 x2 = … c) , , , x − x + = ∆ = … x1 + x2 = … x1 x2 = … d) , , , x1 x2 Ví dụ Đối với phương trình sau, ký hiệu , hai nghiệm phương trình (nếu có) Khơng giải phương trình điền vào chỗ trống x + x − = ∆ = … x1 + x2 = … x1 x2 = … a) , , , x − x + = ∆ = … x1 + x2 = … x1 x2 = … b) , , , x − x − = ∆ = … x1 + x2 = … x1 x2 = … c) , , , x − x − = ∆ = … x1 + x2 = … x1 x2 = … d) , , , Ví dụ Khơng giải phương trình sau, tính tổng tích nghiệm phương trình sau a) x − 3x − = S = 3, P = −5 ĐS: x + x − 12 = b) 4x − x − = ĐS: 12 S = − ,P = − 5 c) d) ĐS: x − 21x − 12 = S = ,P = − S = 3, P = −4 ĐS: Ví dụ Khơng giải phương trình sau, tính tổng tích nghiệm phương trình sau a) x2 − x − = S = 2, P = −5 −5 x + x + = ĐS: b) ĐS: thuvienhoclieu.com S = ,P = − 5 Trang thuvienhoclieu.com 5x − x − = c) d) x − 10 x − = ĐS: S = ,P = − 5 S = 2, P = − ĐS: x1 x2 x2 − 2x − = Ví dụ Gọi , hai nghiệm phương trình Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức sau A = x12 + x22 a) ĐS: B = x12 x2 + x1 xx2 b) C= ĐS: 1 + x1 x2 c) D= ĐS: x2 x1 + x1 x2 d) ĐS: −2 −2 −6 x1 x2 x2 − x − = Ví dụ Gọi , hai nghiệm phương trình Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức sau A = x12 + x22 a) ĐS: B = x12 x2 + x1 xx2 b) C= 1 + x1 x2 c) −3 − D= d) ĐS: ĐS: x2 x1 + x1 x2 − ĐS: 7 Dạng 2: Giải phương trình cách nhẩm nghiệm Sử dụng hệ thức Vi-ét a+b+c a −b+c Ví dụ Xét tổng tính nhẩm nghiệm phương trình sau a) x2 − 3x + = { 1; 2} ĐS: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com 3x + x − 10 = 10 1; − 3 b) c) d) 3x + x + = ĐS: ĐS: 3x2 − x + − = x2 + 3x − = a+b+c Ví dụ Xét tổng a) ĐS: a −b+c − 1; d) { 1; −4} ĐS: 2x + x + = x − 5x − = ĐS: ĐS: x2 + x − + = ĐS: 5 −1; − 2 c) tính nhẩm nghiệm phương trình sau b) 1 −1; − 3 1 1; − 6 { 1; −1 + 2} Ví dụ Sử dụng định lý Vi-ét tính nhẩm nghiệm phương trình a) b) x − x + 10 = x + x + 10 = { 2;5} ĐS: { −2; −5} ĐS: Ví dụ 10 Sử dụng định lý Vi-ét tính nhẩm nghiệm phương trình a) b) x2 + 5x + = x2 − 5x + = { −2; −3} ĐS: { 2;3} ĐS: Ví dụ 11 Cho phương trình không phụ thuộc vào m x − mx + m − = Chứng minh phương trình cho ln nghiệm { 1; m − 1} Tìm nghiệm cịn lại thuvienhoclieu.com ĐS: Trang thuvienhoclieu.com − x + mx + m + = Ví dụ 12 Cho phương trình Chứng minh phương trình cho ln nghiệm khơng phụ thuộc vào m { −1; −m − 1} Tìm nghiệm cịn lại ĐS: Dạng 3: Tìm hai số biết tổng tích chúng S = x +y P = xy x, y Để tìm hai số biết tổng tích , ta làm sau X 1, X X - Sx + P = Bước 1: Giải phương trình để tìm nghiệm ( x,y) = ( X 1, X 2) ( x,y) = ( X 2, X 1) x, y Bước 2: Suy số cần tìm u v Ví dụ 13 Tìm hai số trường hợp sau a) b) u+v =5 u+v =5 và uv = −14 uv = −24 u Ví dụ 14 Tìm hai số a) b) u + v = −6 u + v =1 ĐS: ĐS: uv = −16 uv = v ĐS: Ví dụ 17 Cho phương trình 1 + x1 x2 −1 x − 3x + = và −7 +1 ĐS: −8 x1 x − 10 x + 21 = x2 Lập phương trình bậc hai có ĐS: x2 − x + = Dạng 4: Phân tích tam giác bậc hai thành nhân tử ax2 + bx + c,(a ¹ 0) ax2 + bx + c = Xét tam thức bậc hai Nếu phương trình bậc hai thuvienhoclieu.com Lập phương trình bậc hai có ĐS: có hai nghiệm x2 x2 − 4x + = x + x − 35 = ĐS: x1 có hai nghiệm x2 x2 − 2 x + = x12 + x22 Ví dụ 18 Cho phương trình hai nghiệm ĐS: Ví dụ 16 Lập phuơng trình bậc hai có hai nghiệm x1 −3 trường hợp sau Ví dụ 15 Lập phuơng trình bậc hai có hai nghiệm hai nghiệm −2 Trang thuvienhoclieu.com x1, x2 có hai nghiệm tam thức phân tích thành ax2 + bx + c = a ( x - x1) ( x - x2 ) Ví dụ 19 Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) b) x2 + x − ( x − 1)( x + 3) 3x − x − ĐS: 1 3( x − 1) x + ÷ 3 ĐS: c) d) ( ( x − 1) x − x − ( + 1) x + x − mx + m − ĐS: ) ( x − 1)( x − m + 1) ĐS: Ví dụ 20 Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2 − 3x − ( x + 1)( x − 4) x − 3x − ĐS: 1 4( x − 1) x + ÷ 4 b) ĐS: d) x − mx − m − ( ( x − 1) x − x − ( + 1) x + c) ĐS: ) ( x + 1)( x − m − 1) ĐS: Dạng 5: Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0,(a ¹ 0) Xét phương trình bậc hai ẩn Khi P ï í ïï P > ỵ Phương trình có hai nghiệm dấu ìï D > ïï ïí S > ïï ïï P > ỵ Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com ìï D > ïï ïí S < ïï ïï P > ỵ Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt x − 2( m + 2) x + m − = m Ví dụ 21 Cho phương trình Tìm để phương trình a) Có hai nghiệm trái dấu ĐS: b) Có hai nghiệm phân biệt ĐS: c) Có hai nghiệm phân biệt dấu ĐS: d) Có hai nghiệm dương phân biệt ĐS: e) Có hai nghiệm âm phân biệt Ví dụ 22 Cho phương trình m 1 m >1 ĐS: không tồn x − 2mx − m − = Tìm m m m để phương trình m > −1 a) Có hai nghiệm trái dấu ĐS: b) Có hai nghiệm phân biệt ĐS: c) Có hai nghiệm phân biệt dấu ĐS: d) Có hai nghiệm dương phân biệt m m < −1 ĐS: khơng tồn e) Có hai nghiệm âm phân biệt ĐS: m < −1 Dạng 6: Xác định điều kiện tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn hệ thức cho trước D³ Bước 1: Điều kiện để phương trình có nghiệm Bước 2: Từ hệ thức cho trước hệ thức Vi-ét, ta tìm điều kiện tham số m x2 − x + m = Ví dụ 23 Cho phương trình Tìm giá trị tham số để phương trình có hai x1 x2 x12 + x22 = 10 nghiệm phân biệt , thỏa mãn Ví dụ 24 Cho phương trình x2 − 2x + m −1 = Tìm giá trị tham số x1 x2 x12 x2 + x1 x22 = hai nghiệm phân biệt , thỏa mãn thuvienhoclieu.com ĐS: m m = −3 để phương trình có m= ĐS: Trang thuvienhoclieu.com C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Không giải phương trình, tính tổng tích nghiệm phương trình sau a) b) c) x2 − 5x − = S = 5, P = −7 ĐS: − x − x + 12 = S = −3, P = −12 x2 − 4x − = 6x − 5x = ĐS: S = 2, P = −4 ĐS: d) ĐS: S = ,P = − x1 x2 x − 3x − = Bài Gọi , hai nghiệm phương trình Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức A = 3( x1 + x2 ) + x1 x2 a) ĐS: B = x12 + x22 b) ĐS: C = ( x1 − x2 )2 c) D= ĐS: x2 x1 + x1 x2 − d) ĐS: 19 29 19 Bài Tính nhẩm nghiệm phương trình sau a) b) x2 − 5x − = { −1; −6} ĐS: 2x2 + x + = { −1;5} ĐS: x + ( − 1) x − + = c) d) x − x + 15 = Bài Tìm hai số a) u+v =5 ĐS: u { −1; − 5} ĐS: vô nghiệm v uv = −14 trường hợp sau ĐS: thuvienhoclieu.com Trang −2 b) u + v = −4 uv = −21 thuvienhoclieu.com ĐS: −1 Bài Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm Bài Cho phương trình x1 x2 − 5x − = +1 x1 có hai nghiệm ĐS: và −7 x2 − 3x + = x2 Lập phương trình bậc hai có hai x2 nghiệm ĐS: x2 + 5x −1 = Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2 + 3x − ( x − 1)( x + 4) x + 5x + ĐS: b) ĐS: 1 4( x + 1) x + ÷ 4 ĐS: x − (m + 1) x + m d) ( ( x − 1) x + x + ( − 1) x − c) ) ( x − 1)( x − m) ĐS: x − 2( m + 2) x + m − = Bài Cho phương trình Tìm m để phương trình a) Có hai nghiệm phân biệt ĐS: b) Có hai nghiệm phân biệt trái dấu ĐS: c) Có hai nghiệm phân biệt dấu ĐS: d) Có hai nghiệm dương phân biệt ĐS: e) Có hai nghiệm âm phân biệt Bài Cho phương trình Tìm m m >1 m >1 ĐS: m để phương trình a) Có nghiệm b) Có nghiệm m ⇔ ( 2m + 3) + 11 > b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt m c) , với Phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu ∆ > ( 2m + 3) + 11 > ⇔ ⇔ ⇔ m > a P = > m − > c d) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ∆ > (2m + 3) + 11 > −b ⇔ S = > ⇔ 2(m + 2) > ⇔ m > a m − > c P = a > e) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt ∆ > (2m + 3) + 11 > m < −2 −b ⇔ S = < ⇔ 2(m + 2) < ⇔ a m > m − > c P = a > Ví dụ 22 Cho phương trình x − 2mx − m − = Tìm a) Có hai nghiệm trái dấu b) Có hai nghiệm phân biệt c) Có hai nghiệm phân biệt dấu d) Có hai nghiệm dương phân biệt e) Có hai nghiệm âm phân biệt (Vô lý) Vậy không tồn m m để phương trình Lời giải thuvienhoclieu.com Trang 20 thuvienhoclieu.com −b c ∆ = (−2m) − 4(− m − 1) = 4m + 4m + = (2m + 1) + 3.S = = 2m P = = −m − a a a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < ⇔ − m − < ⇔ m > −1 ⇔ ∆ = (2m + 1) + > b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt , với c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu m (2m + 1) + > ∆ > ⇔ ⇔ m < −1 P > −m − > d) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt (2m + 1) + > ∆ > m > ⇔ S > ⇔ 2m > ⇔ m < −1 P > −m − > e) (Vô lý) Vậy khơng tồn m Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt (2m + 1)2 + > ∆ > m < ⇔ S < ⇔ 2m < ⇔ ⇔ m < −1 m < −1 P > −m − > Ví dụ 23 Cho phương trình x2 − x + m = Tìm giá trị tham số m để phương trình x1 x2 x12 + x22 = 10 có hai nghiệm phân biệt , thỏa mãn Lời giải ∆ = (−4) − 4m = 16 − 4m Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 + x2 = Theo định lý Vi-et ta có ⇔ ∆ > ⇔ 16 − 4m > ⇔ m < x1 x2 = m Ta có x12 + x22 = 10 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 10 ⇔ 42 − 2m = 10 ⇔ m = Vậy m = thuvienhoclieu.com Trang 21 thuvienhoclieu.com x − 2x + m −1 = m Cho phương trình Tìm giá trị tham số để phương Ví dụ 24 x1 x2 x12 x2 + x1 x22 = trình có hai nghiệm phân biệt , thỏa mãn Lời giải ∆ = (−2) − 4(m − 1) = − 4m + = − 4m ⇔ ∆ > ⇔ − 4m > ⇔ m < Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 + x2 = Theo định lý Vi-et ta có x1 x2 = m − Ta có x12 x2 + x1 x22 = ⇔ x1 x2 ( x1 + x2 ) = ⇔ (m − 1)2 = ⇔ m = Vậy Bài (thỏa mãn) m= Khơng giải phương trình, tính tổng tích nghiệm phương trình sau a) c) x2 − 5x − = 2x2 − 4x − = − x − x + 12 = b) x − 5x = d) Lời giải Tất phương trình cho có tích a) x − x − = x1 + x2 = x1 x2 = −7 , b) − x − 3x + 12 = x1 + x2 = −3 x1 x2 = −12 , c) Bài nên ln có nghiệm.2 x − x − = x1 + x2 = 2 x1 x2 = −4 , 6x − 5x = ⇔ 6x − 5x − = d) ac < x1 + x2 = x1 x2 = − , r x1 x2 x − 3x − = Gọi , hai nghiệm phương trình Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức thuvienhoclieu.com Trang 22 thuvienhoclieu.com B = x12 + x22 b) A = 3( x1 + x2 ) + x1 x2 a) C = ( x1 − x2 ) c) D= d) x2 x1 + x1 x2 Lời giải x1 + x2 = Theo định lý Vi-ét, ta có x1 x2 = −5 A = 3( x1 + x2 ) + x1 x2 = ×3 + (−5) = a) B = x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 32 − ×(−5) = 19 b) C = ( x1 − x2 ) = x12 + x22 − x1 x2 = 19 − ×(−5) = 29 c) D= d) Bài x2 x1 x12 + x22 19 19 + = = =− x1 x2 x1 x2 −5 Tính nhẩm nghiệm phương trình sau2 a) x2 − 5x − = x2 + x + = b) x + ( − 1) x − + = c) x − x + 15 = d) Lời giải a) x2 − 5x − = a − b + c = − (−5) + (−6) = Ta có nên phương trình có nghiệm x1 = −1 x2 = −6 , b) 2x2 + x + = Ta có a−b+c = 2−7+5 = x1 = −1 nên phương trình có nghiệm , x2 = x + ( − 1) x − + = c) a − b + c = − ( − 1) − + = Ta có nên phương trình có x1 = −1 x2 = − nghiệm , d) x − x + 15 = ∆ = ( −2) − ×15 = −56 < Ta có nên phương trình vơ nghiệm thuvienhoclieu.com Trang 23 Bài Tìm hai số a) u u+v =5 và v thuvienhoclieu.com trường hợp sau uv = −14 u + v = −4 b) uv = −21 Lời giải a) u+v =5 uv = −14 x = −2 x − x − 14 = ⇔ x = b) u + v = −4 Vậy uv = −21 x = −7 x + x − 21 = ⇔ x = Bài Hai số u u = −2 v = Hai số Vậy nghiệm phương trình u u = −7 v = v v u = v = −2 nghiệm phương trình u = v = −7 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm −1 +1 Lời giải ( − 1) + ( − 1) = Ta có phương trình Bài ( − 1) ×( − 1) = nên hai số cho nghiệm x − 3x + = Cho phương trình x1 x2 − 5x − = hai có hai nghiệm x1 x2 có hai nghiệm x2 Lập phương trình bậc Lời giải Phương trình có tích ac = −2 < nên có nghiệm x1 + x2 = Theo định lý Vi-et ta có 1 1 −1 × = = = x1 x2 x1 x2 −2 Bài x1 x2 = −2 Ta có 1 x1 + x2 −5 + = = = x1 x2 x1 x2 −2 x2 + nên phương trình cần tìm x − = ⇔ x + 5x − = 2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử thuvienhoclieu.com Trang 24 x + 3x − thuvienhoclieu.com x2 + 5x + b) a) x − ( m + 1) x + m x + ( − 1) x − c) d) Lời giải a) x =1 x2 + 3x − = ⇔ x = −4 x + x − = ( x − 1)( x + 4) Vậy x = −1 4x + 5x + = ⇔ x = − b) c) d) Vậy 1 x + x + = 4( x + 1) x + ÷ 4 x =1 x + ( − 1) x − = ⇔ x = − x = x − (m + 1) x + m = ⇔ x = m ( Vậy x − ( m + 1) x + m = ( x − 1)( x − m) Vậy r x − 2(m + 2) x + m − = Bài ) x + ( − 1) x − = ( x − 1) x + Cho phương trình Tìm a) Có hai nghiệm phân biệt b) c) Có hai nghiệm phân biệt dấu d) e) Có hai nghiệm âm phân biệt m để phương trình Có hai nghiệm phân biệt trái dấu Có hai nghiệm dương phân biệt Lời giải ∆ = [−2(m + 2)]2 − 4( m − 1) = 4m + 12m + 20 = (2m + 3) + 11.S = 2( m + 2) P = m − , ⇔ ∆ > ⇔ (2m + 3) + 11 > a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt m , với ⇔ P < ⇔ m − < ⇔ m < b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu (2 m + 3) + 11 > ∆ > ⇔ ⇔ ⇔ m > P > m − > thuvienhoclieu.com Trang 25 d) thuvienhoclieu.com Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt (2m + 3)2 + 11 > ∆ > ⇔ S > ⇔ 2(m + 2) > ⇔ m > P > m − > e) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt (2m + 3)2 + 11 > ∆ > m < −2 ⇔ S < ⇔ 2(m + 2) < ⇔ m > P > m − > (Vô lý.)Vậy không tồn x − 2(m − 1) x + m − = Bài Cho phương trình m Tìm để phương trình a) Có nghiệm b) Có nghiệm c) x1 x2 x12 + x22 = Có hai nghiệm phân biệt , thỏa mãn m Tìm nghiệm cịn lại Lời giải a) 3 ∆′ = [− (m − 1)]2 − (m − 2) = m − 3m + = m − ÷ + > 2 nghiệm với m x1 + x1 = 2(m − 1) b) Theo định lý Vi-ét, ta có x1 = nghiệm Vậy Vậy x1 x2 = m − Phương trình có 2 + x2 = 2(m − 1) x − 2m = −4 x = ⇔ ⇔ m = 2 x2 = m − 2 x2 − m = −2 nghiệm lại m = x + x = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ⇔ 4( m − 1) − 2(m − 2) = ⇔ m = 2 c) ta có m=2 nên phương trình ln có 2 m=0 m= 2 - HẾT thuvienhoclieu.com Trang 26 ... Theo định lý Vi- ét, ta có r Sử dụng định lý Vi- ét tính nhẩm nghiệm phương trình2 a) x2 + 5x + = b) x2 − 5x + = Lời giải a) b) x2 + 5x + = x2 − 5x + = Theo định lý Vi- ét, ta có Theo định lý Vi- ét,... x1 + x2 = Theo định lý Vi- et ta có ⇔ ∆ > ⇔ 16 − 4m > ⇔ m < x1 x2 = m Ta có x12 + x22 = 10 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 10 ⇔ 42 − 2m = 10 ⇔ m = Vậy m = thuvienhoclieu.com Trang 21 thuvienhoclieu.com... x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 32 − ×(−5) = 19 b) C = ( x1 − x2 ) = x12 + x22 − x1 x2 = 19 − ×(−5) = 29 c) D= d) Bài x2 x1 x12 + x22 19 19 + = = =− x1 x2 x1 x2 −5 Tính nhẩm nghiệm phương