cac dang bai tap vdc phuong trinh bac hai tren tap so phuc

BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC A LÍ THUYẾT Căn bậc hai phức Định nghĩa Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z  w gọi bậc hai w Nhận xét: Tìm bậc hai số phức w +) Số có bậc hai  w số thực  + Nếu w  w có hai bậc hai i  w +) Mỗi số phức khác có hai i  w bậc hai hai số đối (khác + Nếu w  w có hai bậc hai w  w 0) w  a  bi  a, b    , b  Nếu z  x  iy bậc hai w  x  iy   a  bi  x2  y2  a Do ta có hệ phương trình:  2xy  b Mỗi nghiệm hệ phương trình cho ta bậc hai w Mọi phương trình bậc n: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực A0 z n  A1 z n 1   An 1 z  An  Xét phương trình az  bz  c   a, b, c  ; a   ln có n nghiệm phức (khơng Ta có   b  4ac thiết phân biệt) với n nguyên b 2a  Nếu   phương trình có nghiệm thực x    Nếu   phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x1   b   b   ; x2  2a 2a Nếu   phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x1  b  i  2a Chú ý: ; x2  b  i  2a Hệ thức Vi-ét phương trình bậc hai với hệ số thực Phương trình bậc hai ax  bx  c   a  0 có hai nghiệm dương phân biệt x1 , x2 (thực phức) b   S  x1  x2   a  P  x x  c  a B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Giải phương trình Tính tốn biểu thức nghiệm Phương pháp giải Ví dụ: Xét phương trình z  z   Cho phương trình: a) Giải phương trình tập số phức  az  bz  c   a, b, c  ; a   b) Tính z1  z2 Giải pương trình bậc hai với hệ số thực Hướng dẫn giải  Áp dụng phép toán tập số phức a) Ta có:  '    4   2i 2 để biến đổi biểu thức Phương trình có hai nghiệm là: z1   2i ; z2   2i b) Ta có z1  z2  22  22  2 Suy z1  z2  2  2  2 Bài tậ Bài tập Trong số sau, số nghiệm phương trình z   z A  3i B 1 C 1  z   ? D  2i Hướng dẫn giải Chọn A Ta có z   z  z     z  2.z 1  3i    z   4 2     3i 3i z   z      3i   3i z   z   2  Bài tập Phương trình z  az  b   a, b    có nghiệm phức  4i Giá trị a  b A 31 B C 19 D 29 Hướng dẫn giải Chọn C Chú ý: Nếu z0 Cách 1: Do z   4i nghiệm phương trình z  az  b  nên ta có: nghiệm phương   4i  trình bậc hai với hệ  a   4i   b    3a  b     4a  24  i  số thực z0 3a  b   a  6   4a  24  b  25 nghiệm phương trình Do a  b  19 Cách 2: Vì z1   4i nghiệm phương trình z  az  b  nên z2   4i nghiệm phương trình cho  z  z  a Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình ta có   z1.z2  b   4i     4i   a a  6    a  b  19 b  25   4i   4i   b Bài tập Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z  z  34  Giá trị z0   i A 17 B 17 C 17 D 37 Hướng dẫn giải Chọn A có  '  25   5i  Phương trình có hai nghiệm z  3  5i ; z  3  5i Do z0  3  5i  z0   i  1  4i  17 Bài tập Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z  z   Tọa độ điểm biểu diễn số phức A P  3;   4i mặt phẳng phức z1 B N 1; 2  C Q  3; 2  Hướng dẫn giải Chọn A  z   2i Ta có z  z      z   2i Theo yêu cầu toán ta chọn z1   2i Khi đó:  4i  4i   4i 1  2i      2i z1  2i 12  22 Vậy điểm biểu diễn số phức P  3;  D M 1;  Bài tập Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  z   Giá trị biểu thức  z1  1 2019   z2  1 2019 A 21009 B 21010 D 21010 C Hướng dẫn giải Chọn D z   i Xét phương trình z  z     z    1    z2   i Khi ta có:  z1  1   1  i  1  i   1  i   2i  1009   2i  1009  1009 2019   z2  1 2019   1  i  1  i   1  i  2019  1  i  2019  1009  1  i   2i  1009  1  i   1  i     2i  1010  i2  505 21010  21010 Dạng 2: Định lí Vi-ét ứng dụng Phương pháp giải Ví dụ: Phương trình z  z  24  có hai Định lí Vi-ét: Cho phương trình: nghiệm phức z1 , z2 nên az  bz  c  ; a, b, c   ; a  z1  z2  ; z1.z2  24 b   z1  z2   a có hai nghiệm phức z1 , z2   z z  c  a Chú ý: Học sinh hay nhầm lẫn: z1  z2  b a Bài tập Bài tập 1: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  z   Giá trị biểu thức z12  z22 A 14 B –9 C –6 D Hướng dẫn giải Chọn C Gọi z1 , z2 nghiệm phương trình z  z   z  z  Theo định lí Vi-ét ta có:   z1.z2  Suy z12  z22   z1  z2   z1 z2  22  2.5  6 Bài tập 2: Phương trình bậc hai sau có nghiệm  2i ? Chúng ta giải A z  z   B z  z   phương trình: C z  z   D z  z   +) z  z   Hướng dẫn giải   z  1  2i 2 Chọn C Phương trình bậc hai có hai nghiệm phức liên hợp nên phương trình bậc hai có nghiệm  2i nghiệm cịn lại  2i  z   i  z  1 i Khi tổng tích hai nghiệm 2; +) z  z   Vậy số phức  2i nghiệm phương trình z  z     z  1  4i 2  z   2i  z  1  2i +) z  z     z  1  4i 2  z   2i  z   2i +) z  z     z  1  2i 2  z   i  z  1  i Bài tập 3: Kí hiệu z1 , z2 nghiệm phức phương trình z  z   Tính giá trị biểu thức P  z1 z2  i  z1  z2  A P  B P  C P  D P  Hướng dẫn giải Chọn D Ta có z1 , z2 hai nghiệm phương trình z  z    z1  z2  2  Theo định lý Vi-ét ta có   z1.z2  Ta có P  z1 z2  i  z1  z2  3 3   i  2    2i      2   2 2 Bài tập 4: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình Cách khác: Ta có: z  z   Giá tị P  z13  z23 z2  4z   A –20 B 20   z    3i C 14 D 28  z1   3i   z2   3i Hướng dẫn giải Chọn A Do đó: z  z  Theo định lý Vi-ét ta có   z1.z2  Suy z  z   z1  z2   z  z1 z2  z 3 2    z1  z2   z1  z2   z1 z2 z13  z23 2       3i   3i   20    42  3.7   20 Bài tập 5: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình 3z  z  27  Giá trị z1 z2  z2 z1 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Áp dụng định lý Vi-ét, ta có z1  z2  Mà z1  z2  z1 z2  z1.z2  z1.z2   Do z1 z2  z2 z1  z1.3  z2   z1  z2    Bài tập 6: Cho số thực a  gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  z  a  Mệnh đề sau sai? A z1  z2 số thực C B z1  z2 số ảo z1 z2  số ảo z2 z1 D z1 z2  số thực z2 z1 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có z1  z2   b  Đáp án A a Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm số phức liên hợp Gọi z1  x  yi ; x, y   nghiệm, nghiệm lại z2  x  yi Suy z1  z2  yi số ảo Đáp án B z1 z2 z12  z22  z1  z2   z1 z2  2a      z2 z1 z1.z2 z1.z2 a Vậy C đáp án sai D Dạng 3: Phương trình quy phương trình bậc hai Phương pháp giải   Ví dụ: Giải phương trình: z  z   tập Nắm vững cách giải phương trình bậc số phức Hướng dẫn giải hai với hệ số thực tập số phức Nắm vững cách giải số phương trình Đặt z  t , ta có phương trình: quy bậc hai, hệ phương trình đại số t  t2  t     bậc cao;… t  2 Với t  ta có z   z   Với t  2 ta có z  2  z  i Vậy phương trình cho có bốn nghiệm z   ; z  i 2 Bài tậpmẫu Bài tập 1: Tổng môđun bốn nghiệm phức phương trình z  3z   A B C D Hướng dẫn giải Chọn A z   z   2 z    Ta có: z  3z     z  i  z    i   2  z   i  Khi đó, tổng 2 2 mơđun bốn nghiệm phức phương trình cho 2 i i 3 2 Bài tập 2: Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phức phương trình z  z   Giá trị 2 z1  z2  z3  z4 A  B 12 C Hướng dẫn giải Chọn B z   z  1 z    Ta có: z  z     z  5i  z  5   z   5i D  Phương trình có bốn nghiệm là: z1  , z2  1 , z3  i , z4  i 2 2 Do đó: z1  z2  z3  z4  12  12   5   5 2  12 Bài tập 3: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 nghiệm phức phương trình  z  z    z  z   12  2 2 Giá trị biểu thức S  z1  z2  z3  z4 A S  18 B S  16 C S  17 D S  15 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có:  z  z    z  z   12  t  Đặt t  z  z , ta có t  4t  12    t  6  z1   z  2   z2  z      z  1  i 23 Suy ra:  z  z     1  i 23  z4   2 2 23     23     Suy S    2                  17   2    2  2 z Bài tập 4: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình  z  4 Khi z1  z2 z A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Điều kiện: z  2  z2  z z  z   z  4   Ta có:  z  4     z  4  z  z  z      15 i z    z    2  z2  z 4 0      15 i z    z      2 15 i 15 i 15 15 Vậy z1  z2    i  i  1  2 2 Bài tập 5: Cho số thực a, biết phương trình z  az   có bốn nghiệm z1 , z2 , z3 , z4 thỏa mãn  z12   z22   z32   z42    441 Tìm a a  A   a   19   a  1 B   a  19   a  1 C   a   19  a  D   a  19  Hướng dẫn giải Chọn B Nhận xét: z   z   2i    z  2i  z  2i  Đặt f  x   z  az  , ta có: z   z22   z32   z42      zk  2i    zk  2i   f  2i  f  2i  4 k 1 k 1  16i  4ai  116i  4ai  1  17  4a  Theo giả thiết, ta có 17  4a  2  a  1  441    a  19  Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn 11z 2018  10iz 2017  10iz  11  Mệnh đề đúng? A  z  B  z  C  z  D  z  2 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có z 2017 11z  10i   11  10iz  z 2017  11  10iz 11  10iz 2017  z  11z  10i 11z  10i Đặt z  a  bi 10b  11  100a  100  a  b2   220b  121 11  10iz 11  10i  a  bi    11z  10i 11 a  bi   10i 121 a  b   220b  100 121a  11b  10  Đặt t  z  t   ta có phương trình t 2017  Nếu t   VT  ; VP  Nếu t   VT  ; VP  Nếu t   z  100t  220b  121 121t  220b  100 có