BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC A LÍ THUYẾT Căn bậc hai phức Định nghĩa Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z w gọi bậc hai w Nhận xét: Tìm bậc hai số phức w +) Số có bậc hai w số thực + Nếu w w có hai bậc hai i w +) Mỗi số phức khác có hai i w bậc hai hai số đối (khác + Nếu w w có hai bậc hai w w 0) w a bi a, b , b Nếu z x iy bậc hai w x iy a bi x2 y2 a Do ta có hệ phương trình: 2xy b Mỗi nghiệm hệ phương trình cho ta bậc hai w Mọi phương trình bậc n: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực A0 z n A1 z n 1 An 1 z An Xét phương trình az bz c a, b, c ; a ln có n nghiệm phức (khơng Ta có b 4ac thiết phân biệt) với n nguyên b 2a Nếu phương trình có nghiệm thực x Nếu phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x1 b b ; x2 2a 2a Nếu phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x1 b i 2a Chú ý: ; x2 b i 2a Hệ thức Vi-ét phương trình bậc hai với hệ số thực Phương trình bậc hai ax bx c a 0 có hai nghiệm dương phân biệt x1 , x2 (thực phức) b S x1 x2 a P x x c a B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Giải phương trình Tính tốn biểu thức nghiệm Phương pháp giải Ví dụ: Xét phương trình z z Cho phương trình: a) Giải phương trình tập số phức az bz c a, b, c ; a b) Tính z1 z2 Giải pương trình bậc hai với hệ số thực Hướng dẫn giải Áp dụng phép toán tập số phức a) Ta có: ' 4 2i 2 để biến đổi biểu thức Phương trình có hai nghiệm là: z1 2i ; z2 2i b) Ta có z1 z2 22 22 2 Suy z1 z2 2 2 2 Bài tậ Bài tập Trong số sau, số nghiệm phương trình z z A 3i B 1 C 1 z ? D 2i Hướng dẫn giải Chọn A Ta có z z z z 2.z 1 3i z 4 2 3i 3i z z 3i 3i z z 2 Bài tập Phương trình z az b a, b có nghiệm phức 4i Giá trị a b A 31 B C 19 D 29 Hướng dẫn giải Chọn C Chú ý: Nếu z0 Cách 1: Do z 4i nghiệm phương trình z az b nên ta có: nghiệm phương 4i trình bậc hai với hệ a 4i b 3a b 4a 24 i số thực z0 3a b a 6 4a 24 b 25 nghiệm phương trình Do a b 19 Cách 2: Vì z1 4i nghiệm phương trình z az b nên z2 4i nghiệm phương trình cho z z a Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình ta có z1.z2 b 4i 4i a a 6 a b 19 b 25 4i 4i b Bài tập Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z z 34 Giá trị z0 i A 17 B 17 C 17 D 37 Hướng dẫn giải Chọn A có ' 25 5i Phương trình có hai nghiệm z 3 5i ; z 3 5i Do z0 3 5i z0 i 1 4i 17 Bài tập Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z z Tọa độ điểm biểu diễn số phức A P 3; 4i mặt phẳng phức z1 B N 1; 2 C Q 3; 2 Hướng dẫn giải Chọn A z 2i Ta có z z z 2i Theo yêu cầu toán ta chọn z1 2i Khi đó: 4i 4i 4i 1 2i 2i z1 2i 12 22 Vậy điểm biểu diễn số phức P 3; D M 1; Bài tập Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z z Giá trị biểu thức z1 1 2019 z2 1 2019 A 21009 B 21010 D 21010 C Hướng dẫn giải Chọn D z i Xét phương trình z z z 1 z2 i Khi ta có: z1 1 1 i 1 i 1 i 2i 1009 2i 1009 1009 2019 z2 1 2019 1 i 1 i 1 i 2019 1 i 2019 1009 1 i 2i 1009 1 i 1 i 2i 1010 i2 505 21010 21010 Dạng 2: Định lí Vi-ét ứng dụng Phương pháp giải Ví dụ: Phương trình z z 24 có hai Định lí Vi-ét: Cho phương trình: nghiệm phức z1 , z2 nên az bz c ; a, b, c ; a z1 z2 ; z1.z2 24 b z1 z2 a có hai nghiệm phức z1 , z2 z z c a Chú ý: Học sinh hay nhầm lẫn: z1 z2 b a Bài tập Bài tập 1: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z z Giá trị biểu thức z12 z22 A 14 B –9 C –6 D Hướng dẫn giải Chọn C Gọi z1 , z2 nghiệm phương trình z z z z Theo định lí Vi-ét ta có: z1.z2 Suy z12 z22 z1 z2 z1 z2 22 2.5 6 Bài tập 2: Phương trình bậc hai sau có nghiệm 2i ? Chúng ta giải A z z B z z phương trình: C z z D z z +) z z Hướng dẫn giải z 1 2i 2 Chọn C Phương trình bậc hai có hai nghiệm phức liên hợp nên phương trình bậc hai có nghiệm 2i nghiệm cịn lại 2i z i z 1 i Khi tổng tích hai nghiệm 2; +) z z Vậy số phức 2i nghiệm phương trình z z z 1 4i 2 z 2i z 1 2i +) z z z 1 4i 2 z 2i z 2i +) z z z 1 2i 2 z i z 1 i Bài tập 3: Kí hiệu z1 , z2 nghiệm phức phương trình z z Tính giá trị biểu thức P z1 z2 i z1 z2 A P B P C P D P Hướng dẫn giải Chọn D Ta có z1 , z2 hai nghiệm phương trình z z z1 z2 2 Theo định lý Vi-ét ta có z1.z2 Ta có P z1 z2 i z1 z2 3 3 i 2 2i 2 2 2 Bài tập 4: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình Cách khác: Ta có: z z Giá tị P z13 z23 z2 4z A –20 B 20 z 3i C 14 D 28 z1 3i z2 3i Hướng dẫn giải Chọn A Do đó: z z Theo định lý Vi-ét ta có z1.z2 Suy z z z1 z2 z z1 z2 z 3 2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z13 z23 2 3i 3i 20 42 3.7 20 Bài tập 5: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình 3z z 27 Giá trị z1 z2 z2 z1 A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Áp dụng định lý Vi-ét, ta có z1 z2 Mà z1 z2 z1 z2 z1.z2 z1.z2 Do z1 z2 z2 z1 z1.3 z2 z1 z2 Bài tập 6: Cho số thực a gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z z a Mệnh đề sau sai? A z1 z2 số thực C B z1 z2 số ảo z1 z2 số ảo z2 z1 D z1 z2 số thực z2 z1 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có z1 z2 b Đáp án A a Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm số phức liên hợp Gọi z1 x yi ; x, y nghiệm, nghiệm lại z2 x yi Suy z1 z2 yi số ảo Đáp án B z1 z2 z12 z22 z1 z2 z1 z2 2a z2 z1 z1.z2 z1.z2 a Vậy C đáp án sai D Dạng 3: Phương trình quy phương trình bậc hai Phương pháp giải Ví dụ: Giải phương trình: z z tập Nắm vững cách giải phương trình bậc số phức Hướng dẫn giải hai với hệ số thực tập số phức Nắm vững cách giải số phương trình Đặt z t , ta có phương trình: quy bậc hai, hệ phương trình đại số t t2 t bậc cao;… t 2 Với t ta có z z Với t 2 ta có z 2 z i Vậy phương trình cho có bốn nghiệm z ; z i 2 Bài tậpmẫu Bài tập 1: Tổng môđun bốn nghiệm phức phương trình z 3z A B C D Hướng dẫn giải Chọn A z z 2 z Ta có: z 3z z i z i 2 z i Khi đó, tổng 2 2 mơđun bốn nghiệm phức phương trình cho 2 i i 3 2 Bài tập 2: Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phức phương trình z z Giá trị 2 z1 z2 z3 z4 A B 12 C Hướng dẫn giải Chọn B z z 1 z Ta có: z z z 5i z 5 z 5i D Phương trình có bốn nghiệm là: z1 , z2 1 , z3 i , z4 i 2 2 Do đó: z1 z2 z3 z4 12 12 5 5 2 12 Bài tập 3: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 nghiệm phức phương trình z z z z 12 2 2 Giá trị biểu thức S z1 z2 z3 z4 A S 18 B S 16 C S 17 D S 15 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: z z z z 12 t Đặt t z z , ta có t 4t 12 t 6 z1 z 2 z2 z z 1 i 23 Suy ra: z z 1 i 23 z4 2 2 23 23 Suy S 2 17 2 2 2 z Bài tập 4: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z 4 Khi z1 z2 z A B C D Hướng dẫn giải Chọn A Điều kiện: z 2 z2 z z z z 4 Ta có: z 4 z 4 z z z 15 i z z 2 z2 z 4 0 15 i z z 2 15 i 15 i 15 15 Vậy z1 z2 i i 1 2 2 Bài tập 5: Cho số thực a, biết phương trình z az có bốn nghiệm z1 , z2 , z3 , z4 thỏa mãn z12 z22 z32 z42 441 Tìm a a A a 19 a 1 B a 19 a 1 C a 19 a D a 19 Hướng dẫn giải Chọn B Nhận xét: z z 2i z 2i z 2i Đặt f x z az , ta có: z z22 z32 z42 zk 2i zk 2i f 2i f 2i 4 k 1 k 1 16i 4ai 116i 4ai 1 17 4a Theo giả thiết, ta có 17 4a 2 a 1 441 a 19 Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn 11z 2018 10iz 2017 10iz 11 Mệnh đề đúng? A z B z C z D z 2 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có z 2017 11z 10i 11 10iz z 2017 11 10iz 11 10iz 2017 z 11z 10i 11z 10i Đặt z a bi 10b 11 100a 100 a b2 220b 121 11 10iz 11 10i a bi 11z 10i 11 a bi 10i 121 a b 220b 100 121a 11b 10 Đặt t z t ta có phương trình t 2017 Nếu t VT ; VP Nếu t VT ; VP Nếu t z 100t 220b 121 121t 220b 100 có