KINH NGHIỆM GIẢI TOÁN CHỦ đề 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜ NG TH ẲNG PHƯƠNG PHÁP TỌA Đ Ộ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ HK2 Cơ sở lý thuyết M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∆ a Phương trình tham số đường thẳng qua điểm có vectơ  x = x0 + a1t   y = y0 + a2t ( t ∈ ¡ ) r r r z = z + a t a ( a1; a2 ; a3 ) , a ≠ 0  phương a1; a2 ; a3 ∆ b Nếu khác khơng Phương trình đường thẳng viết dạng tắc x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 c Dạng tổng quát là: A22 + B22 + C22 >  A1 x + B1 y + C1 z + D1 =   A2 x + B2 y + C2 z + D2 = ∀A1 , B1 , C1 , A2 , B2 , C2 với A12 + B12 + C12 > thỏa , d Vị trí tương đối hai đường thẳng: có hai phương án để xét vị trí tương đối hai đường thẳng Phương Án Phương Án Oxyz Trong cho hai đường thẳng  x = x0 + a1t  x = x0′ + a1′t ′   d :  y = y0 + a2t , d ′ :  y = y0′ + a′2t ′ z = z + a t  z = z ′ + a′ t ′ d 3   r ur u u′ d′ A có vtcp qua có vtcp B qua Oxyz Trong cho hai đường thẳng  x = x0 + a1t  x = x0′ + a1′t′   d :  y = y0 + a2t , d ′ :  y = y0′ + a′2t ′ z = z + a t  z = z ′ + a′ t ′ 3   r u d d′ A có vtcp qua có vtcp ur u′ B qua a b c  = = d / / d ′ ⇔  a′ b′ c′  A ∉ d ′  a b c  = = d / / d ′ ⇔  a′ b′ c′  A ∉ d ′  KINH NGHIỆM GIẢI TOÁN THI TỐT NGHIỆP THPT a b c  = = d ≡ d ′ ⇔  a′ b′ c′  A ∈ d ′  d′ d   r u  ur u′ r ur r  u ;u′  =   ′ d ≡d ⇔  A ∈ d ′ d  chéo ⇔ không phương hệ phương  x0 + a1t = x0′ + a1′t ′   y0 + a2t = y0′ + a2′ t ′ (I)  z + a t = z ′ + a′t ′ 3  trình vơ nghiệm r ur u′ d d′ u cắt ⇔ khơng phương hệ Ptrình (I) có nghiệm chéo d′ d  r ur uuur  ′ d′ ⇔ u ;u  AB ≠ cắt ⇔ r ur r  u ;u′  ≠    r ur uuur  u ;u′ AB = Các dạng tốn Dạng Tìm vectơ phương đường thẳng Phương pháp giải: - Đường thẳng  x = x0 + at   y = y0 + bt ( t ∈ R )  z = z + ct  r u = ( a; b; c ) có vectơ phương x − x0 y − y0 z − z0 r = = ( a , b, c ≠ ) u = ( a; b; c ) a b c - Đường thẳng có vectơ phương Oxyz Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ ( P) : 4x − z + = phẳng ? r u = ( 4; 1; − 1) A d , cho đường thẳng d Vectơ vectơ phương đường thẳng r u = ( 4; − 1; ) B d ⊥ ( P) Hướng dẫn giải Do r u = ( 4; 0; − 1) C r u = ( 4; 1; 3) D d nên vectơ phương đường thẳng ( P) tuyến Chọn C vng góc với mặt vectơ pháp r uuur u = n( P ) = ( 4; 0; − 1) d Suy một vectơ phương đường thẳng PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ HK2 d: Oxyz x − y −1 z = = −1 Ví dụ Trong khơng gian , cho đường thẳng vectơ phương uu r uu r uu r u1 = ( −1; 2;1) u2 = ( 2;1;0 ) u3 = ( 2;1;1) A B C x = 1− t  d :  y = −2 + 2t z = 1+ t  Oxyz Ví dụ Trong khơng gian , cho đường thẳng d vectơ phương ? r r r n = ( 1; − 2;1) n = ( 1;2;1) n = ( −1; − 2;1) B D ( −1; 2;1) d có uu r u4 = ( −1;2;0 ) Hướng dẫn giải Vectơ phương đường thẳng A d Đường thẳng C Chọn A Vectơ r n = ( −1;2;1) D d Hướng dẫn giải Dựa vào phương trình tham số đường thẳng r n = ( −1;2;1) d phương Chọn D  x = −2 + t  d :  y = + 2t  z = − 3t  Oxyz Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ phương r r a = ( 1; 2; − 3) a = ( 2;4;6 ) A ta có vectơ B , đường thẳng (t∈¡ ) , r a = ( 1;2;3) C r a = ( −2;1;5 ) d có vectơ D ( 1;2; −3) Hướng dẫn giải Vectơ phương đường thẳng Chọn A x+8 y −5 z d: = = Oxyz , −2 Ví dụ Trong khơng gian cho đường thẳng Khi vectơ d phương đường thẳng có tọa độ ( 4; −2;1) ( 4;2; −1) ( 4; −2; −1) ( 4;2;1) A B C D ( 4; − 2; 1) d Hướng dẫn giải Vectơ phương đường thẳng có tọa độ Chọn A Dạng Tìm hình chiếu, điểm đối xứng, điểm thỏa yêu cầu Phương pháp giải: - Bước 1: gọi H hình chiếu A t d (dạng tham số theo ), sau tham số KINH NGHIỆM GIẢI TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT tọa độ điểm H t theo uuuu r uu r AH ud = t H - Bước 2: giải phương trình tìm suy tọa độ điểm d H A AA′ A′ Chú ý: trung điểm với điểm đối xứng qua d: Oxyz x −1 y + z − = = 2 Ví dụ Trong không gian A ( 2;2;2 ) , cho đường thẳng d A Hình chiếu vng góc đường thẳng có tọa độ ( 2;0;4 ) ( 7;1; − 1) ( 2;1; − ) điểm A D B C H ( 0;2; − 5) d A Hướng dẫn giải Gọi hình chiếu vng góc đường thẳng uuuu r ⇒ AH = − + t ; − + t ; t ⇒ H + t ; − + t ; + t ( ) ( ) H ∈d Nên uuuu r uu r AH ud = ⇒ 1.( −1 + t ) + 2.( −4 + 2t ) + ( 2t ) = ⇒ t = H ( 2;0;4 ) Ta có: Vậy Chọn A x +1 y + z + d: = = A ( 3; 2;0 ) Oxyz 2 Ví dụ Trong khơng gian , cho đường thẳng điểm d A Điểm đối xứng điểm qua đường thẳng có tọa độ ( −1;0; ) ( 7;1; − 1) ( 2;1; − ) ( 0;2; − 5) A B P ( ) Hướng dẫn giải Gọi C D d A mặt phẳng qua vuông góc với đường thẳng 1( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = ⇔ x + y + z − = ( P) Phương trình mặt phẳng H = d ∩ ( P) Gọi d A hình chiếu lên đường thẳng , Suy H ∈ d ⇒ H ( −1 + t; − + 2t; − + 2t ) H ∈ ( P ) ⇒ −1 + t − + 4t − + 4t − = ⇒ t = , mặt khác Vậy H ( 1;1;2 ) d A′ A H H Gọi AA′ suy điểm đối xứng với A′ ( −1;0;4 ) Chọn A qua đường thẳng , trung điểm PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ HK2 A ( 1; − 1; ) B ( −1; 2; 3) Oxyz Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , x −1 y − z −1 d: = = M ( a; b; c ) d MA2 + MB = 28 1 đường thẳng Tìm điểm thuộc cho , c < biết M ( −1;0; −3) M ( 2;3;3) A C 1 2 M  ; ;− ÷ 6 3 B D + 2t < ⇒ t < ∃t ∈ ¡ : M ( + t; + t; + 2t ) M ∈d Hướng dẫn giải Ta có:  2 M  − ; − ; − ÷  6 3 nên −1 ( *) Đk: MA2 + MB = 28 ⇔ ( −t ) + ( −3 − t ) + ( − 2t ) + ( −2 − t ) + ( −t ) + ( − 2t ) = 28 ⇔ 12t − 2t − 10 = t = 1( L ) ⇔ t = − ( T / m )  t=− Với 2 , ta có 1 2 M  ; ; − ÷ 6 3 2 Chọn C Dạng Vị trí tương đối Phương pháp tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng: H - Bước 1: gọi giao điểm cần tìm, tham số tọa độ điểm đường thẳng đề cho - Bước 2: thay tọa độ điểm H H H theo tham số vào mặt phẳng tìm tham số suy tọa độ Oxyz Ví dụ Trong khơng gian với hệ trục tọa độ , giao điểm đường thẳng x −1 y − z − d1 : = = ( P ) : y + 2z + = mặt phẳng là: A Song song B Chéo C Trùng D Cắt H ∈ d ⇒ H + t ;2 + t ;3 + 4t ) ( H Hướng dẫn giải Gọi giao điểm cần tìm Nên 13 H ∈ ( P ) ⇒ + t + ( + 4t ) + = ⇒ t = − ( P) d1 Ta có : (một nghiệm) Vậy cắt Chọn D KINH NGHIỆM GIẢI TOÁN THI TỐT NGHIỆP THPT Oxyz Ví dụ Trong khơng gian , cho hai đường thẳng Mệnh đề sau đúng? d d′ A Hai đường thẳng chéo d d′ B Hai đường thẳng song song với d d′ C Hai đường thẳng cắt d d′ D Hai đường thẳng trùng uu r u1 = ( 1;1; −1) d Hướng dẫn giải Đường thẳng uu r u2 = ( 2;2; −2 ) uu r uu r u2 = 2.u1 Ta có M ( 1; 2;3) có VTCP d′ Đường thẳng có VTCP song song trùng Chọn điểm d thuộc đường thẳng 1 = + 2t ′  d ′ :  = −1 + 2t ′ 3 = − 2t ′  d′ d nên đường thẳng  x = + 2t ′  ′ d :  y = −1 + 2t′  z = − 2t ′  x = + t  d : y = + t z = − t  , thay tọa độ điểm ta có vơ nghiệm, vậy thẳng song song Chọn B M M d′ vào phương trình đường thẳng d′ khơng thuộc đường thẳng nên hai đường Oxyz Ví dụ Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai đường thẳng x = t  d :  y = − 2t x −1 y − z − d1 : = = z = − t  Vị trí tương đối hai đường thẳng A Song song B Chéo C Trùng D Cắt uu r u1 = ( 2;1; ) d1 d2 Hướng dẫn giải Đường thẳng uu r u2 = ( 1; −2; −1) có VTCP Đường thẳng uu r uu r r u1 ; u2  = ( 7;6; −5 ) ≠   có VTCP d1 d2 Ta có : nên đường thẳng cắt chéo uuuuuur M ( 1;7;3) ∈ d1 ; M ( 0;1; ) ∈ d ⇒ M 1M = ( −1; −6; −1) Chọn Ta có: uu r uu r uuuuuur u1 ; u2  M 1M = −38 ≠   d1 nên d2 chéo Chọn B , PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ HK2 Dạng Viết phương trình đường thẳng Phương pháp viết phương trình đường thẳng: A ( x0 ; y ; z ) - Bước 1: tìm điểm có tọa độ xác định thuộc đường thẳng r u = ( a; b; c ) - Bước 2: tìm vectơ phương đường thẳng, đơi phải tính tọa độ vectơ phương thơng qua tích có hướng hai vectơ pháp tuyến - Bước 3: viết phương trình đường thẳng dạng tắc tham số A ( 1; −2;3) Oxyz Ví dụ Trong khơng gian tọa độ r u = ( 2; −1; −2 ) phương x −1 y + = = −1 A x −1 y + = = −2 C , đường thẳng qua điểm có vectơ có phương trình z −3 −2 z −3 −2 B x −1 y + z − = = −2 −1 x +1 y − z + = = −1 −2 D A ( 1; −2;3) Hướng dẫn giải Đường thẳng qua điểm có vectơ phương r u = ( 2; −1; −2 ) 3!2!2!2! = 48 có phương trình Chọn A A ( 1; 2;3 ) Oxyz Ví dụ Trong khơng gian , đường thẳng qua điểm vng góc với x + y − 3z + = mặt phẳng có phương trình  x = −1 + 4t  x = + 4t  x = − 4t  x = + 4t     y = − + t y = + t y = − t     y = + 3t  z = −3 − 3t z = − t  z = − 3t  z = − 3t     A B C D d d Hướng dẫn giải Gọi đường thẳng cần tìm Ta có vectơ phương  x = + 4t   y = + 3t r  z = − 3t u = ( 4;3; −3)  d Phương trình đường thẳng là: Chọn D A ( 1; 2;3) B ( 2; 4; −1) Oxyz Ví dụ Trong khơng gian tắc đường thẳng AB , cho hai điểm Phương trình KINH NGHIỆM GIẢI TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT x +1 y + z +1 = = A C x + y + z −1 = = −4 B x −1 y − z − = = −4 x +1 y + z + = = D uuur AB = ( 1;2; −4 ) A ( 1;2;3) AB Hướng dẫn giải Ta có qua x −1 y − z − ⇒ AB : = = −4 Chọn B có vectơ phương A ( 1;0; −3) , B ( 3; −1;0 ) Oxyz Ví dụ Trong khơng gian tọa độ , cho hai điểm Viết phương d AB trình tham số đường thẳng hình chiếu vng góc đường thẳng ( Oxy ) mặt phẳng x =   y = −t  z = −3 + 3t  A  x = + 2t  y =  z = −3 + 3t  B  x = + 2t   y = −t z =  B ( 3; −1;0 ) ∈ ( Oxy ) Hướng dẫn giải Dễ thấy A′ ( 1;0;0 ) ( Oxy ) C D A′ A hình chiếu vng góc ′ A , B d mặt phẳng , ta có Đường thẳng qua hai điểm nên có vectơ  x = + 2t   y = −t uuuu r z = A′B = ( 2; −1;0 ) d  phương Phương trình tham số đường thẳng là: Chọn C x +1 y −1 z − d: = = Oxyz Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng A 1;1; − ( P) : x − y − z − = ( ) ∆ mặt phẳng ∆ // ( P ) biết x −1 = A x −1 = C Gọi x =  y =  z = −3 + 3t  Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt y −1 z + = −1 −1 y −1 z + = qua điểm d x −1 y −1 z + = = B x −1 y −1 z + = = 1 D , PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ HK2 uuuur AM = ( 2t − 2; t; 3t + ) M = ( d ) ∩ ( ∆ ) ⇒ M ( −1 + 2t ;1 + t ; + 3t ) Hướng dẫn giải Gọi uuuur ( ∆ ) ( ∆ ) // ( P ) ⇔ AM Khi uuur uuuur uuur n( P ) = ( 1; - 1; − 1) ⇔ AM n( P ) = uuur ⊥ n( P ) vectơ phương uuuur ⇔ 2t − − t − 3t − = ⇔ t = −3 ⇒ AM = ( −8; − 3; − ) với ( ∆) : x −1 y −1 z + = = Vậy Chọn C  x = + 3t  d :  y = − 4t , ( t ∈ R )  z = −6 + 7t  Oxyz Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ A ( 1;2;3) A , cho đường thẳng d điểm Đường thẳng qua song song với đường thẳng phương là: r r r u = ( 3; −4;7 ) u = ( 3; −4; −7 ) u = ( −3; −4; −7 ) có vectơ A D B ∆ ( ) Hướng dẫn giải Gọi ( ∆) Do VTCP C VTCP Vậy M ( 2;1;0 ) Ví dụ Cho điểm đường thẳng A đường thẳng qua ( d) ( ∆) có VTCP x −1 y +1 z ∆: = = −1 d Gọi đường thẳng d B C d H r u = ( 1; − 4; − ) ∆ Hướng dẫn giải Gọi giao điểm , giá uuuur uur MH = t − 1; t − 2; − t ) u∆ = ( 2;1; − 1) H + t ; − + t ; − t ( ( ) ∆ đường thẳng , , , uuuur MH D vng góc với ∆ VTCP u u u u r 2  uuuur uur MH =  ; − ; − ÷ MH u∆ = ⇔ ( 2t − 1) + 1( t − ) − 1( −t ) = ⇔ t = 3 3 Ta có suy Chọn D (α) Oxyz Ví dụ Trong khơng gian với hệ trục tọa độ , gọi mặt phẳng chứa đường x − y −1 z ∆: = = ( β ) : x + y + 2z + = 1 −2 thẳng vng góc với mặt phẳng Khi giao (α) ( β ) tuyến hai mặt phẳng x − y +1 z = = −5 A Chọn A qua , cắt vng góc với Vectơ phương là: r r r u = ( −3;0; ) u = ( 0;3;1) u = ( 2; − 1; ) A ( d) song song với đường thẳng r u = ( 3; −4;7 ) ∆ M r u = ( −3; −4;7 ) có phương trình B x + y −1 z = = −5 KINH NGHIỆM GIẢI TOÁN THI TỐT NGHIỆP THPT C x y +1 z = = 1 −1 x y +1 z −1 = = 1 D Hướng dẫn giải x − y −1 z ∆: = = 1 −2 M ( 2;1;0 ) r u = ( 1;1; − ) qua có VTCP đi qua M ( α ) :  r r  r n = ( 1;1; ) ( β ) : x + y + 2z + = vtpt u , n  = ( 4; − 4;0 ) = ( 1; − 1;0 ) có VTCP ( d) ( α ) :( x − ) − ( y − 1) = ⇔ x − y − = Phương trình Gọi giao tuyến hai mặt phẳng đi qua N ( 0; − 1;0 ) x y +1 z ( d ) :   r uur = (d) : = vtcp  n, nα  = ( 2;2; − ) = ( 1;1; − 1) (α) ( β ) 1 −1 , Ta có: Phương trình Chọn C x −1 y + z d: = = 1 −1 Ví dụ Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng cắt x +1 y +1 z − x −1 y − z − d1 : = = d2 : = = −1 −1 hai đường thẳng ; là: x +1 y +1 z − x −1 y z −1 = = = = −1 −1 1 −1 A B x −1 y − z − x −1 y z −1 = = = = 1 −1 −1 C D r u = 1;1; − ( ) d ∆ Hướng dẫn giải Vectơ phương  A ( −1 + 2a; −1 + a;2 − a )  A = ∆ ∩ d1 B = ∆ ∩ d  B ( − b;2 + b;3 + 3b ) , Suy ra: uuur AB = ( −b − a + 2; b − a + 3;3b + a + 1) uuur AB phương với Suy ra: 10 ∆ d song song với đường thẳng A∉d ta thấy nên  a =1  A ( 1;0;1) −b − 2a + b − a + 3b + a + ⇔  ⇒ = = b = −1   B ( 2;1;0 ) 1 −1 d thẳng đường thẳng cần tìm Khi đó: Vì đường thẳng r u Gọi Vậy phương trình đường thẳng A ( 1;0;1) Thay x −1 y z −1 ∆: = = 1 −1 vào đường Chọn B KINH NGHIỆM GIẢI TOÁN THI TỐT NGHIỆP THPT A ( 0;1;0 ) , Oxyz , Câu 38 Trong không gian tọa độ cho điểm x =  d : y = + t z = − t  ( Q) : x + y − 4z − = đường thẳng ( P) Phương trình mặt phẳng ( Q) d mặt phẳng song song với vng góc với 3x + y + z − = 3x − y − z + = A B A qua , x + 3y + z − = x + y + z −1 = D x = + t  d :  y = −3 + 2t  z = + 3t Oxyz  Câu 39 Trong không gian với hệ toạ độ , cho đường thẳng Viết Oyz ( ) d′ d phương trình đường thẳng hình chiếu vng góc lên mặt phẳng x = x = x = + t x = t     d ′ :  y = −3 + 2t d ′ :  y = + 2t d ′ :  y = −3 + 2t d ′ :  y = 2t  z = + 3t z = z = z =     A B C D ( P) Oxyz C Câu 40 Trong không gian với hệ toạ độ , mặt phẳng song song với hai đường  x = + 2t x = + t   d1 :  y = −1 − 3t d :  y = + 2t  z = 4t z = − t   thẳng , Vectơ sau vectơ pháp tuyến mặt ( P) phẳng ? r n = ( −5; −6;7 ) A r n = ( −5;6;7 ) B r n = ( −5;6; −7 ) C r n = ( 5; −6;7 ) Oxyz Câu 41 Trong không gian với hệ tọa độ M ( 2;0; −1) ( P) phẳng qua điểm ( P ) : x + y + 2z = A ( P ) : x − y + 2z = C , cho đường thẳng Mặt có phương trình là? ( P ) : x − y − 2z = B D ( P) : x − 2y − = Oxyz 24 d vng góc với Câu 42 Trong không gian với hệ tọa độ D x −1 y + z d: = = −1 , cho điểm M ( 1;0; ) đường thẳng PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ HK2 d: x y −1 z +1 = = −1 H ( 1;0;1) A Tìm hình chiếu vng góc H ( −2;3;0 ) B H d M lên đường thẳng H ( 0;1; −1) C Oxyz H ( 2; −1;3) D ( P) : 2x − y + z = Câu 43 Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng x +1 y z d: = = ( P) −1 ∆ đường thẳng Gọi đường thẳng chứa , cắt vuông r u = a ;1; b ( ) d S =a+b ∆ góc với Vectơ vectơ phương Tính tổng S =1 S =0 S =2 S =4 A B C D A 1;2;3 ( ) Oxyz Câu 44 Trong không gian với hệ tọa độ ( P) : 2x + y = ( Q ) : 3x + y = ( Q) , cho điểm Đường thẳng qua có phương trình tham số x = + t x =   y = + t y = z = + t z = t   A B A hai mặt phẳng x = t  y = z = + t  C ( P) song song với hai mặt phẳng , x =  y = t z =  D Oxyz Câu 45 Trong không gian A ( 1; 2;0 ) , phương trình phương trình đường ( P ) : x + y − 3z − = thẳng qua điểm  x = + 2t  y = 3+ t  z = −3 − 3t  A vuông góc với mặt phẳng  x = + 2t  x = + 2t   y = + t y = + t  z = 3t  z = − 3t   B C A B x  = + 2t  y = − t  z = −3t  D x−4 y−4 z −2 d: = = A ( 1;1; −1) Oxyz 2 −1 Câu 46 Trong không gian , cho đường thẳng Hình d A chiếu vng góc điểm lên đường thẳng H ( 2;2;3) H ( 6;6;3) H ( 2;1; −3) H ( 1;1; 4) C D ( P ) : x − y + z − 10 = Oxyz Câu 47 Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng x + y −1 z −1 d: = = ( P) d N −1 Δ M đường thẳng Đường thẳng cắt và A ( 1;3; ) MN MN cho trung điểm Tính độ dài đoạn 25 KINH NGHIỆM GIẢI TOÁN THI TỐT NGHIỆP THPT A MN = 33 MN = 26,5 B MN = 16,5 C D MN = 33 Oxyz Câu 48 Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình đường vng góc x−2 y −3 z +4 x +1 y − z − d: = = d′ : = = −5 −2 −1 chung hai đường thẳng x y z −1 x −2 y −2 z −3 = = = = 1 A B x −2 y + z −3 x y−2 z−3 = = = = 2 2 −1 C D ( P) : x + y + z − = Oxyz Câu 49 Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng x +1 y z + d: = = ∆ đường thẳng Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng ( P) d , đồng thời cắt vng góc với đường thẳng x −1 y −1 z −1 x −1 y −1 z −1 = = = = −1 −3 −3 A B x −1 y +1 z −1 x +1 y + z −1 = = = = −1 −1 C D x −3 y −3 z +2 d1 : = = Oxyz −1 −2 Câu 50 Trong không gian , cho hai đường thẳng ; x − y +1 z − d2 : = = ( P ) : x + y + 3z − = −3 mặt phẳng d1 d2 , cắt có phương trình x −1 y +1 z = = A x −3 y −3 z + = = C x − y − z −1 = = B Điểm đối xứng điểm ( −1;0; ) A 26 A B x −1 y +1 z = = D Oxyz Câu 51 Trong không gian ( P) Đường thẳng vng góc với x +1 y + z + d: = = 2 , cho đường thẳng d qua đường thẳng có tọa độ ( 7;1; − 1) ( 2;1; − ) C A ( 3; 2;0 ) điểm ( 0;2; − 5) D PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ HK2 d: Oxyz Câu 52 Trong không gian với hệ tọa độ A ( 1; −1;2 ) ( P ) : x + y − 2z + = , cho đường thẳng ∆ d x +1 y z − = = 1 , mặt ( P) M phẳng Đường thẳng cắt và N MN A ∆ cho trung điểm đoạn thẳng Một vectơ phương r r r r u = ( 2;3; ) u = ( 1; −1; ) u = ( −3;5;1) u = ( 4;5; −13) A B C D 27 KINH NGHIỆM GIẢI TOÁN THI TỐT NGHIỆP THPT Bảng đáp án 1.D 11.B 21.A 31.C 41.C 51.A 2.D 12.D 22.B 32.A 42.D 52.A 3.B 13.B 23.C 33.C 43.C 4.B 14.A 24.C 34.B 44.B 5.C 15.D 25.C 35.C 45.A 6.A 16.D 26.D 36.B 46.A 7.B 17.A 27.B 37.A 47.C 8.A 18.B 28.C 38.A 48.A 9.A 19.A 29.C 39.A 49.A 10.A 20.D 30.B 40.B 50.A Gợi ý giải r u ( 5;1; −2 ) A ( 3;0; −4 ) Câu Đường thẳng qua điểm x−3 y z +4 = = −2 trình Chọn D r u = ( −1;1;1) d Câu có vectơ phương Câu Đường thẳng B AB qua M có phương A ( 2;1;0 ) qua d song song với A ( 1; 2;3) Câu Ta có qua Chọn B d ⊥ ( P) Câu Do ( P) ∆ có vectơ phương có vectơ phương nên Chọn D x−2 y +3 z −5 ∆: = = −1 Chọn uuur x −1 y − z − AB = ( 1;2; −4 ) ⇒ AB : = = −4 d nên vectơ phương đường thẳng r uuur u = n( P ) = ( 4; 0; − 1) d Suy một vectơ phương đường thẳng Câu Chọn A M ( x0 ; y0 ; z0 ) vectơ pháp tuyến Chọn C r u = ( u1 ; u2 ; u3 ) Câu Đường thẳng qua điểm có vectơ phương có x − x0 y − y0 z − z0 = = ( 1; −2;3) u1 u2 u3 phương trình: Suy đường thẳng qua điểm Chọn B r u = ( 2; −1; −2 ) A ( 1; −2;3) Câu Đường thẳng qua điểm 3!2!2!2! = 48 phương trình Chọn A 28 có vectơ phương có PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ HK2 Câu Ta có A −1 − + ≠ ≠ −1 A ( −1;2;0 ) nên điểm ( ∆) không thuộc đường thẳng Chọn ( 4; − 2; 1) d Câu 10 Vectơ phương đường thẳng có tọa độ Chọn A Câu 11 Chọn B 3− 0+ = = =1 d D Câu 12 Ta có nên đường thẳng qua điểm Chọn D t Câu 13 Dựa vào hệ số trước r a = ( 2;1;0 ) vectơ phương r a với Chọn B phương trình tham số đường thẳng r n = ( −2; −1;0 ) nên ta chọn đáp án B vectơ ta có phương r u = ( 2; − 1;1) d Câu 14 Đường thẳng ∆ có vectơ phương Mặt phẳng −1 r = = r n = ( 4; − 2; ) 4x − y + 2z + = u −2 có vectơ pháp tuyến Ta có nên phương r 4x − y + 2z + = n d với đường thẳng vng góc với mặt phẳng Chọn A r u = ( 1; −1;1) d Câu 15 Nhìn vào phương trình tắc đường thẳng r d k u ( k ∈ ¡ ) vectơ phương D Khi M ( 1; −1;2 ) nên VTPT mặt phẳng làm VTPT có phương trình Chọn D A ( 2; −1;1) mặt phẳng qua r u d = ( 2;1; −1) có vectơ phương r u d = ( 2;1; −1) Khi ∆ r n = ( 2; −1;3) ( P) ( P) Chọn Chọn D Mặt phẳng qua , nhận ( x − 1) − ( y + 1) + ( z − ) = ⇔ x − y + z − = d d F ( 0;1; ) qua điểm Câu 17 Vì mặt phẳng vng góc với đường thẳng r n = ( 2; −1;3) Câu 18 Gọi một vectơ phương d Câu 16 Đường thẳng ta thấy Do d vng góc với đường thẳng d ⊥ ( P) nên vectơ pháp tuyến Ta có ( P) 2x + y − z − = : Chọn A 29 KINH NGHIỆM GIẢI TOÁN THI TỐT NGHIỆP THPT ( ∆) Câu 19 Gọi đường thẳng qua ( d) A ( ∆) Do VTCP VTCP Vậy ( d) song song với đường thẳng r u = ( 3; −4;7 ) ( ∆) có VTCP Chọn A r u = ( 4;3; −3) d d Câu 20 Gọi đường thẳng cần tìm Ta có vectơ phương  x = + 4t   y = + 3t  z = − 3t d  Phương trình đường thẳng là: Chọn D r u = ( −2;1;2 ) d ⊥ ( Q) d ( Q) Câu 21 Đường thẳng r u = ( −2;1;2 ) có VTCP Do nên nhận Q : − x + + y − + z − = ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ −2 x + y + z − = làm VTPT Vậy Chọn A uur uu r nα = u∆ = ( 3; − 2;1) M ( 3; − 1;1) (α) (α ) ⊥ ∆ (α) Câu 22 Gọi (α) mp cần tìm Do nên qua ( α ) : 3( x − 3) − ( y + 1) + 1( z − 1) = ⇔ 3x − y + z − 12 = nên pt mp là: Chọn B uur ud = ( 2;1;4 ) 2 x + y − =   d1  M = ( 1;7;3) d2  y + z + = Câu 23 Đường thẳng : Vectơ phương : r uu r uu r uuu r ⇒ u =  n1 , n2  = ( 6; −4;2 ) = ( 3; −2;1) ud2 = ( 3; −2;1) d2 Chọn vectơ phương uur uuu r ⇒ ud1 ≠ k ud2 ( 1)  x = + 2t  x = + 2t  y = + t y = + t    ⇔  z = + 4t  z = + 4t 2 + 2t + + t − = 2 x + y − = ) ( )  (  7 + t + ( + 4t ) + =  y + z + =   Mặt khác, xét hệ phương trình tọa độ giao điểm:  x = + 2t y = + t  x = −3  y = ⇔  z = + 4t  7t + 14 = ⇔  z = −5   t = −2 9t + 18 = d1 Vậy hai đường thẳng cắt điểm uu r u1 = ( 1;1;1) d M ( −3;5; − ) Chọn C uu r u2 = ( 1;2;3) ( P) Câu 24 có vectơ phương , có vectơ phương r uu r r uu r r d1 d2 ( P ) n ⊥ u1 n ⊥ u2 n chứa nên vectơ pháp tuyến thỏa Chọn 30 Vì PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ HK2 r uu r uu r n = u1; u2  = ( 5; − 4;1) M ( 3;1;5) ∈ d ( P) Vậy mặt phẳng cần tìm qua có vectơ pháp r n = ( 5; − 4;1) ( x − 3) − ( y − 1) + 1( z − ) = ⇔ x − y + z − 16 = tuyến , phương trình Chọn C uuuu r MN = ( −1; 3; ) N ( 0; 1; 3) MN Câu 25 Đường thẳng qua có vectơ phương có x y −1 z − = = −1 phương trình Chọn C uuuur d H ∆ MH Câu 26 Gọi giao điểm , giá vng góc với đường uuuur uur MH = t − 1; t − 2; − t u = 2;1; − H + t ; − + t ; − t ( ) ( ) ( ) ∆ ∆ ∆ thẳng , , uuuur uu r ⇔t = MH u∆ = ⇔ ( 2t − 1) + 1( t − ) − 1( −t ) = r u = ( 1; − 4; − ) d đường thẳng là VTCP Ta có uuuur   MH =  ; − ; − ÷ 3 3 Vậy vectơ phương Chọn D ( P) d M Câu 27 Gọi giao điểm của đường thẳng mặt phẳng M ( 12 + 4t; + 3t; + t ) ∈ d M ∈ ( P ) ⇔ ( 12 + 4t ) + ( + 3t ) − ( + t ) − = ⇔ 26t = −78 Ta có: M ( 0; 0; − ) ⇔ t = −3 Vậy Câu 28 Dễ thấy ( Oxy ) Chọn B B ( 3; −1;0 ) ∈ ( Oxy ) Gọi A′ A hình chiếu vng góc mặt A′ ( 1;0;0 ) A′, B d phẳng , ta có Đường thẳng qua hai điểm nên có vectơ  x = + 2t   y = −t uuuu r z = A′B = ( 2; −1;0 )  d phương Phương trình tham số đường thẳng là: Chọn C  M ( 1;1;0 ) ∈ ∆ ∆: uuuuur r MM = ( 0; −2; −2 ) VTCP u = ( 1;1; −1) Câu 29 Cách 1: Ta có đường thẳng Suy uuuuur ur , MM  24   d ( M , ∆) = = =2 r u Nên 31 KINH NGHIỆM GIẢI TOÁN THI TỐT NGHIỆP THPT ∆ r u = ( 1;1; −1) Cách 2: Đường thẳng có vtcp H + t ;1 + t ; − t ( ) H ∈∆ Vì nên d ( M ; ∆ ) = MH = 2 M ( 1;3;2 ) H Gọi hình chiếu uuuur uuuur r MH = ( t ; t − 2; −t − ) MH u = ⇔ t = Khi Vì Vậy Chọn C d r u = ( 1;1; −1) ∆ ∆ Câu 30 Vectơ phương Gọi đường thẳng cần tìm  A ( −1 + 2a; −1 + a;2 − a )  A = ∆ ∩ d1 B = ∆ ∩ d  B ( − b;2 + b;3 + 3b ) , Suy ra: Khi đó: uuur AB = ( −b − a + 2; b − a + 3;3b + a + 1) Vì đường thẳng Suy ra: ∆ d uuur AB r u song song với đường thẳng nên phương với  A 1;0;1 ( ) a =  −b − 2a + b − a + 3b + a + ⇔  ⇒ = = b = − A ( 1;0;1)    B ( 2;1;0 ) 1 −1 A∉d d thẳng Thay x −1 y z −1 ∆: = = 1 −1 ta thấy vào đường Vậy phương trình đường thẳng Chọn B x = + t  ∆ :  y = 2t uuuur z = + t ( t ∈ ¡ ) H ∈ ∆ ⇒ H ( t + 1;2t ; t + ) ⇒ MH = ( t − 1;2t; t + 1)  Câu 31 Ta có mà r u = ( 1;2;1) ∆ Đường thẳng có VTCP Khi uuuur r MH ⊥ ∆ ⇔ MH u = ⇔ ( t − 1) + 4t + ( t + 1) = ⇔ t = ⇒ H ( 1;0;2 ) Chọn C r u = ( 2;1; −1) A= ∆∩d Gọi uuur MA = ( 2a − 1; a − 2; − a ) d Câu 32 có VTCP A ( + 2a; −1 + a; −a ) Suy Ta có ⇔ ( 2a − 1) + a − + a = ⇔ a = Do đó, ur u′ = ( 1; −4; −2 ) Chọn A 32 ∆⊥d ∆ nên M ( 2;1;0 ) qua có VTCP uuur r uuur r MA ⊥ u ⇔ MA.u = uuur   MA =  ; − ; − ÷ 3 3 , chọn x − y −1 z = = −4 −2 ∆ ∆ VTCP nên phương trình đường thẳng là: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ HK2 uuuur AM = ( 2t − 2; t; 3t + ) M = ( d ) ∩ ( ∆ ) ⇒ M ( −1 + 2t ;1 + t ; + 3t ) Câu 33 Gọi ( ∆ ) ( ∆ ) // ( P ) Khi uuur n( P ) = ( 1; - 1; − 1) uuuur uuur ⇔ AM ⊥ n( P ) vectơ phương với uuuur uuur uuuur ⇔ AM n( P ) = ⇔ 2t − − t − 3t − = ⇔ t = −3 ⇒ AM = ( −8; − 3; − ) ( ∆) : x −1 y −1 z + = = Vậy Chọn C Câu 34 Đường thẳng ( Oxy ) Mặt phẳng ∆ uur u∆ = ( 2; 1; 1) M ( 1; − 1; ) qua điểm có vectơ phương: r k = ( 0; 0; 1) ( P) có vectơ pháp tuyến ( Oxy ) vng góc mặt phẳng Gọi ( P) , qua ( P) Khi đó, phương trình mặt phẳng M ∆ mặt phẳng chứa r uur r n = u∆ ; k  = ( 1; − 2; ) có vectơ pháp tuyến x − 2y − = ∆ d hình chiếu lên x − y − = d : ( Oxy ) ( P) ( Oxy ) z = d , giao tuyến với Suy hay  x = + 2t  d : y = t z =  Chọn B x − y −1 z r ∆: = = vtcp : u = ( 1;1; − ) M ( 2;1;0 ) 1 −2 Câu 35 qua có đi qua M ( α ) :  r r  r vtpt u , n  = ( 4; − 4;0 ) = ( 1; − 1;0 ) vtpt : n = ( 1;1;2 ) ( β ) : x + y + 2z + =  có ( α ) :( x − ) − ( y − 1) = ⇔ x − y − = ( d) Phương trình Gọi Gọi đi qua N ( 0; − 1;0 ) r uur vtcp  n, nα  = ( 2;2; − ) = ( 1;1; − 1)  giao tuyến hai mặt phẳng ( d ) : (α) ( β ) , Ta có: C Phương trình uuur AB = ( 1; − 2;1) Câu 36 Ta có uuur AB = ( 1; − 2;1) (d) : Đường thẳng AB x y +1 z = = 1 −1 Chọn A ( 1;1; ) qua điểm nhận vectơ x −1 y −1 z − = = −2 AB làm vectơ phương Vậy phương trình Chọn B 33 KINH NGHIỆM GIẢI TOÁN THI TỐT NGHIỆP THPT 1 + at = − t′  t = + 2t′ −1 + 2t = − t ′  a Ta tìm để hệ có nghiệm Từ t =   t ′ = phương trình thứ hai thứ ba hệ suy vào phương trình thứ + 2a = hệ, ta a=0 Do để hệ có nghiệm Chọn A uur uur nQ = ( 1;1; −4 ) ud = ( 0;1; −1) ( Q) d Câu 37 Xét hệ phương trình Câu 38 Mặt phẳng có VTPT uur ( P) nP Gọi VTPT mặt phẳng uur uur uur nP =  nQ , ud  = ( 3;1;1) A ( 0;1;0 ) , ( P) qua điểm ( Oyz ) Đường thẳng có VTCP uur uur uur uu r nP ⊥ nQ nP ⊥ ud Ta có: nên chọn uur nP = ( 3;1;1) VTPT 3x + y + z − = có phương trình Chọn A x=0 d A Câu 39 Mặt phẳng có phương trình Gọi giao điểm mặt Oyz A 0; − 7; − M 2; − 3;1 ∈ d ( ) ( ) ( ) H M phẳng ( Oyz ) suy H ( 0; − 3;1) suy d′ thẳng qua Chọn A Chọn Gọi d Hình chiếu vng góc H hình chiếu ( Oyz ) lên mặt phẳng uuuu r AH = ( 0; − 4; − ) = −2 ( 0; 2;3 ) nhận Một vectơ vectơ pháp tuyến mặt phẳng r uu r n ⊥ u1 r uu r uu r r  r uu ( P) ( P) d1 d2 n ⊥ u2 ⇒ n = u1 , u2  = ( −5;6;7 ) Do song song với hai đường thẳng nên Chọn B r r u = ( 1; −1; ) ( P ) ⊥ d n = ( 1; −1;2 ) ( P) d Câu 41 mặt phẳng 34 uu r u1 = ( 2; −3;4 ) d1 phương đường thẳng đường x =   d ′ :  y = −3 + 2t  z = + 3t  có phương trình: Câu 40 Ta có vectơ phương đường thẳng uu r r u2 = ( 1;2; −1) d2 n lên Gọi có VTCP nên có VTPT ( P ) : x − − ( y − ) + ( z + 1) = ⇔ x − y + z = Chọn C Vậy phương trình PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN OXYZ HK2 ( P) M ( 1;0;4 ) Câu 42 Gọi mặt phẳng qua vng góc với đường thẳng x y −1 z +1 d: = = ( P ) : x − − y + ( z − 4) = ⇔ x − y + 2z − = −1 Phương trình mặt phẳng d H M H Gọi hình chiếu vng góc lên đường thẳng Tọa độ ngiệm x − y + 2z − = t = x = t x =   ⇔  y = − t   y = −1  z = −1 + 2t  z = hệ phương trình: Chọn D r nP = ( 2; − 2;1) ( P) d Câu 43 Mặt phẳng r ud = ( 1;2; − 1) phương r u = ( 0;1; ) có vectơ pháp tuyến r r [ nP ; ud ] = ( 0;3;6 ) = 3( 0;1; 2) Ta có Đường thẳng Nên ∆ có vectơ có vectơ phương a =  b = ⇒ S = Vậy Chọn C ( P) ( Q) Câu 44 Vì đường thẳng cần tìm song song với hai mặt phẳng nên r  nr P , nr Q  = ( 0;0; −1) ud = ( 0;0;1)  ( ) ( ) d vectơ phương , chọn ta có phương trình x = x =   y = y = z = + t z = t d   tham số có phương trình Chọn B A ( 1; 2;0 ) d Câu 45 Đường thẳng ( P ) : x + y − 3z − = qua điểm vng góc với mặt phẳng uur ad = ( 2;1; −3) d có vectơ phương Đường thẳng có phương  x = + 2t  y = + t  z = −3t  trình B ( 3;3; −3) d Đường thẳng A qua  x = + 2t  y = + t  z = −3 − 3t  d nên đường thẳng cịn viết Chọn 35 KINH NGHIỆM GIẢI TOÁN THI TỐT NGHIỆP THPT uuuu r AH = ( + 2t;3 + 2t ;3 − t ) H ( + 2t ;4 + 2t ; − t ) ∈ d Câu 46 Lấy điểm Khi uuuu rr AH u = ⇔ + t + + 2t ) − ( − t ) = ⇔ t = −1 ( ) ( d A chiếu H ( 2;2;3) Chọn A N = Δ∩d N ∈d N ( −2 + 2t;1 + t;1 − t ) Để hình Ta hình chiếu A ( 1;3; ) MN Câu 47 Vì nên , Mà  xM = x A − x N  xM = − 2t ,    yM = y A − y N ⇔  yM = − t ,  z = 2z − z  z = + t M = Δ ∩ ( P) M ∈( P) A N  M  M nên Vì nên , ( − 2t ) − ( − t ) + ( + t ) − 10 = ⇔ t = −2 M ( 8;7;1) N ( −6; −1;3 ) Suy H trung điểm Vậy MN = 66 = 16,5 Chọn C M ∈d Câu 48 Ta có N ( −1 + 3n; − 2n;4 − n ) M ( + 2m;3 + 3m; −4 − 5m ) N ∈ d′ Tương tự suy uuuu r MN = ( −3 + 3n − 2m;1 − n − 3m;8 − n + 5m ) suy Từ ta có  MN ⊥ d   MN ⊥ d ′ MN d d′ Mà đường vuông góc chung nên 2 ( −3 + 3n − 2m ) + ( − 2n − 3m ) − ( − n + 5m ) = −38m + 5n = 43  m = −1 ⇔ ⇔ ⇔ − m + 14 n = 19 3 ( −3 + 3n − 2m ) − 2.( − 2n − 3m ) − 1( − n + 5m ) =  n = M ( 0;0;1) Suy x y z −1 = = 1 N ( 2;2;3) , uuuu r MN = ( 2;2; ) Ta có MN nên đường vng góc chung Chọn A r n( P ) = ( 1;2;1) ( P) Câu 49 Vectơ pháp tuyến mặt phẳng Vectơ phương  x = −1 + 2t  d :y = t r  z = −2 + 3t ud = ( 2;1;3)  d đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng −1 + 2t + 2t − + 3t − = ⇔ t − = ⇔ t = Xét phương trình: Suy giao điểm đường P A 1;1;1 ( ) ( ) d A∈ ∆ thẳng 36 mặt phẳng Ta có: Vectơ phương đường thẳng PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ HK2 ∆ r r r u∆ =  n( P ) , ud  = ( 5; − 1; − 3)   x −1 y −1 z −1 ∆: = = −1 −3 M Phương trình tắc đường thẳng Chọn A ( P) : N x y z + + =1 a b c Câu 50 Gọi giao điểm đường thẳng M ( − t ;3 − 2t ; −2 + t ) N ( − 3s; −1 + 2s;2 + s ) d1 d2 với , , uuuu r ⇒ MN = ( − 3s + t ; −4 + s + 2t ;4 + s − t ) cần tìm x y z ( P) : + + = a b c Đường thẳng vng góc với suy t =  − 3s + t −4 + 2s + 2t + s − t ⇔  = =  s = ⇒ M ( 1; −1;0 ) Do r u = ( 1;2;3) ⇒ M ( 1; −1;0 ) uur nP = ( 1;2;3) uuuu r MN ( P) phương với Vậy đường thẳng cần tìm qua x −1 y +1 z = = Chọn A có vectơ phương ( P) d A Câu 51 Gọi mặt phẳng qua vng góc với đường thẳng Phương trình ( P ) 1( x − ) + ( y − ) + ( z − ) = ⇔ x + y + z − = H mặt phẳng A chiếu lên đường thẳng H ∈ d ⇒ H ( −1 + t; − + 2t; − + 2t ) , A′ Gọi điểm đối xứng với A′ ( −1;0;4 ) suy A Chọn A M ∈ d ⇒ M ( −1 + 2t ; t ;2 + t ) hình Suy H ∈ ( P ) ⇒ −1 + t − + 4t − + 4t − = ⇒ t = , mặt khác H ( 1;1;2 ) AA′ Gọi H = d ∩ ( P) d Vậy d qua đường thẳng A , H trung điểm MN ⇒ N ( − 2t ; −2 − t; − t ) Câu 52 Điểm , trung điểm N ∈ ( P ) ⇒ − 2t − − t − ( − t ) + = ⇔ t = ⇒ M ( 3;2;4 ) N ( −1; −4;0 ) Điểm , uuuu r ⇒ MN = ( −4; −6; −4 ) = −2 ( 2;3; ) Chọn A Tìm đọc: 37 KINH NGHIỆM GIẢI TOÁN THI TỐT NGHIỆP THPT 38 ... −3t  trình B ( 3; 3; ? ?3) d Đường thẳng A qua  x = + 2t  y = + t  z = ? ?3 − 3t  d nên đường thẳng cịn viết Chọn 35 KINH NGHIỆM GIẢI TOÁN THI TỐT NGHIỆP THPT uuuu r AH = ( + 2t ;3 + 2t ;3. .. C D 27 KINH NGHIỆM GIẢI TOÁN THI TỐT NGHIỆP THPT Bảng đáp án 1.D 11.B 21.A 31 .C 41.C 51.A 2.D 12.D 22.B 32 .A 42.D 52.A 3. B 13. B 23. C 33 .C 43. C 4.B 14.A 24.C 34 .B 44.B 5.C 15.D 25.C 35 .C 45.A... hệ tọa độ A ( 1; 2 ;3) A điểm Đường thẳng qua phương là: r u = ( 3; −4;7 ) A , cho đường thẳng d song song với đường thẳng có vectơ r u = ( 3; −4; −7 ) B 19 KINH NGHIỆM GIẢI TOÁN THI TỐT NGHIỆP