Thông tin tài liệu
Tài Liệu Kỉ Niệm Page “Tài Liệu Toán Học” Kinh Nghiệm Giải Tốn Bất Đẳng Thức & Tìm Cực Trị Thứ 15 11 Tài liệu dạng sưu tầm biên soạn LỜI NĨI ĐẦU Bài tốn Bất đẳng thức tìm cực trị biểu thức đại số toán thường xuyên xuất đề thi học thi giỏi cấp, đề vào lớp 10 THPT, nhiều trường Chuyên nước Dạng toán thường người đề lựa chọn câu khó đề thi bai toán xoay quay chủ đề đa dạng, học sinh trúng tủ, tốn thường có nhiều cách giải nên kiểm tra lực tư giải toán học sinh Với mong muốn giúp bạn học sinh khá, giỏi khơng bị lúng túng trước tốn dạng để kiếm chọn vẹn điểm kì thi, Ad cố gắng sưu tầm đọc nhiều tài liệu BĐT tìm GTLN, GTNN, kham khảo nhiều đề toán thi học sinh giỏi lớp thi vào lớp 10 để đúc rút dạng tốn thường thầy ban đề ưa thích Đây khơng phải sách tốn q khó, mang tính chất đánh đố, mà toán lấy đề thi học sinh giỏi, đề vào lớp 10 tỉnh, đề thi vào trường chuyên nước sưu tầm năm gần đem phân tích, bình luận cách tỉ mĩ Nó khơng kiến thức mà kinh nghiệm giải tốn thân nhiều thầy khác đọc viết lại sách Bản thân AD người khơng thích sách dày, viết tràn lan khơng có trọng tâm Nên sách có phần : - Những viết kĩ thuật kinh nghiệm dạng toán thường gặp đề thi - Các toán kì thi HSG, Thi lớp 10 chuyên phân tích kỹ Mong muốn AD bạn cso thể vận dụng kiến thức kinh nghiệm sách để lấy điểm 10 kì thi tốn cuối cấp ^^ ! Tài liệu kham phục vụ viết sách : + Phương pháp giải đề tuyển sinh lớp (Thầy : Nguyễn Ngọc Dũng) + Phân tích bình luận đề thi vào Lớp 10 chun (Tập thể học sinh chun tốn) + Tạp trí tốn học tuổi trẻ, Tạp trí tốn học tuổi thơ./ Thanh Hóa, ngày 15 tháng 11năm 2017 AD Page « Tài Liệu Toán Học » CHƯƠNG I : Các tốn hay, khó lời giải, bình luận chi tiết Câu (Trích đề tuyển sinh lớp 10 tỉnh Bắc Giang năm học 2017) Cho x, y thỏa mãn x ≤ 2, x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = 14x2 + 9y2 + 22xy – 42x – 34xy + 35 Phân tích Khi nhìn vào biểu thức cần đánh giá ta nghĩ đến phương án đưa biểu thức dạng tổng bình phương, nhiên việc đưa biểu thức A dạng tổng bình phương có q nhiều lựa chọn, việc « mò mẫm » có khả dẫn tới bế tắc Để ý từ điều kiện hai biến x, y ta thấy x ≤ ; y ≥ đổi hai biến x, y thành hai biến a, b với điều kiện a ≥ 0, b ≥ (hiển nhiên ta nghĩ đến việc đặt a = - x ; b = x + y – 2) tốn có lẽ trở nên đơn giản Và sau đổi biến với việc đưa biểu thức A tổng bình phương ta giải tốn đơn giản Lời giải Đặt a = – x , b = x + y – (a, b ≥ 0) suy y = a + b Ta có biểu thức A trở thành : A = 14(2 – a)2 + 9(a + b)2 + 22(2 – a)(a + b) – 42(2 – a) – 34(2 – a)(a + b) + 35 = a2 + 9b2 – 4ab – 4a + 10b + = a2 + 4b2 + – 4ab – 4a + 8b + 15b2 + 2b + = (a - 2b – 2)2 + 15b2 + 2b + ≥ ∀a, b Dấu « = » xảy a – 2b – = b = Vậy giá trị nhỏ A x = y = Bình luận Đây tốn gây thời gian Cho học sinh trình mò mẫn đưa biểu thức A dạng tổng bình phương nhiều khả gặp bế tắc việc đánh giá biểu thức Và sau phương án giải tốn cách mò mẫn Lời giải Ta có : A = 14x2 + 9y2 + 22xy – 42x – 34xy + 35 = x2 + 9(x + y)2 + 4x(x + y) – 8x – 34(x + y) + 35 Đặt x + y = t , t ≥ Ta có : A = x2 + 9t2 + 4xt – 8x – 34t + 35 = (x + 2t – 2)2 + (t – 2)(5t – 8) + ≥ ∀x, t Dấu « = » xảy x + 2t – = t = Vậy A đạt giá trị nhỏ x = y = Câu (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Bình Định Năm 2017) Cho a, b, c [0 ; 1] Chứng minh : a + b2 + c3 – ab – bc – ca ≤ Phân tích Đây dạng tốn chứng minh BĐT khơng đối xứng kèm theo điều kiện biên biến Dựa vào điều kiện ta dễ dàng thấy – a ≥ ; – b ≥ ; - c ≥ nhân đại lượng – a ; – b ; – c với kèm với đánh giá b2 ≤ b ; c3 ≤ c cho ta lời giải toán cụ thể lời giải toán sau : Lời giải Vì a, b, c [0 ; 1] nên – a ≥ ; – b ≥ ; - c ≥ Do : (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ ⇔ a + b + c – ab – bc – ca + abc ≤ (1) Vì a, b, c [0 ; 1] nên b2 ≤ b ; c3 ≤ c ; a, b, c ≥ ⇒ a + b2 + c3 – ab – bc – ca ≤ a + b + c – ab – bc – ca + abc (2) Từ (1) (2) ta có : a + b2 + c3 – ab – bc – ca ≤ Vậy ta có điều phải chứng minh Bình luận Đây dạng tốn khó, thường xuất câu phân loại kì thi lớn, kể thi đại học Thường khơng có phương pháp chung để giải toán mà tùy thuộc vào nhạy bén người giải Tuy nhiên dựa vào điều kiện tốn ta đưa định hướng ban đầu cho toán Cụ thể toán ta dùng phương pháp đánh giá điều kiện biên Câu (Trích đề thi vào lớp 10 tỉnh Bắc Giang) Cho dương a, b, c thỏa mãn 2a + 3b ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Q= 2002 2017 2996a 5501b a b Phân tích Quan sát tốn cho số dương a, b biểu thức Q , giúp ta định hướng đến việc sử dụng BDDT Cô – si để giải tốn Dự đốn dấu « = » xảy a = ;b Để bảo tồn dấu « = » sử dụng BĐT Cô – si, ta chọn số α , β cho Lời giải 2002 2017 2996a 5501b a b Q= ( 2002 2017 8008a) ( 2017b) 2506(2a 3b) a b Áp dụng BĐT Cô- si sử dụng giả thiết 2a + 3b ≤ ta có : Q≥ 2002 2017 8008a .2017b 2506.4 a b ≥ 8008 + 4034 – 10024 = 2018 Dấu « = » xảy : Vậy Qmin 2018 �2002 � a 8008a � � a �2017 � 2017b � � � �b �b � � 2a 3b � � a ; b Bình luận Với dạng tốn chọ điểm rơi việc biến đổi tương đối đơn giản, áp dụng BĐT Cô – si quen thuộc từ giả thiết tốn để hồn thành lời giải Bài tập tương tự Cho a ≥ 10, b ≥ 100, c ≥ 100 Tìm giá trị biểu thức : Pa 1 b c a b c Đáp án Pmin 1110111 = 1000 đạt a = 10, b = 100, c = 1000 Câu (Trích đề thi vào lớp 10 tỉnh Bắc Ninh 2017) Cho số dương x, y, z, t thỏa mãn x + y + z + t = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A ( x y z )( x y ) xyzt Phân tích Nhìn vào tốn ta đốn A đạt giá trị nhỏ biến x, y, z, t giá trị khơng Do ta khó đốn điểm rơi tốn, tập đồi hỏi học sinh phải giải nhiều tập Cô – si trước có kinh nghiệm giải tốn Lời giải Với x, y, z, t > theo BĐT Cơ – si ta có : x y x y ≥ xy ( x y ) z ≥ ( x y ).z ( x y z ) t ≥ ( x y z ).t Suy : ( x y )( x y z )( x y z t ) ≥ xyzt ( x y )( x y z ) Mà x + y + z + t = suy : ( x y )( x y z ).2 ≥ xyzt ( x y)( x y z ) ⇔ ( x y )( x y z ) ≥ xyzt ( x y )( x y z ) ⇔ ( x y)( x y z ) ≥ xyzt ⇔ ( x y )( x y z ) ≥ 16 xyzt ( x y )( x y z ) 16xyzt xyzt ⇔ ≥ xyzt = 16 � �x y x y � � � x y z � � �� z � � x yz t � � � t 1 �x y z t � � Dấu “=” xảy 1 , z , t Vậy Amin= 16 x = y = Bình luận Học sinh phải thành thục BĐT Cô – si Cộng thêm chút may mắn để giải tốn Câu (Trích đề thi tuyển sinh Lớp 10 tỉnh Nình Định 2017) Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 35 xy x y xy Phân tích Khi nhìn vào biểu thức P ta nhận thấy biểu thức đối xứng Khi ta thay đổi vị trí x y cho biểu thức khơng thay đổi, ta nghĩ đến giải cách sử dụng điểm rơi dùng BĐT Cô – si Mặt khác giả thiết x + y ≤ kết hợp với biểu thức P đối xứng nên ta có điểm rơi x = y = Sau xác định điểm rơi, ta cần thêm bớt vào biểu thức P vài biểu thức phù hợp để sử dụng BĐT Cô – si Lấy điểm rơi thay vào biểu thức P ta biết trước giá trị nhỏ P bao nhiêu, minP = 17 Lời giải Ta có: P 35 xy x y xy 2 x y 35 35 xy x y 35 xy xy 2 x y 32 xy 16 32 16 = x y 35 35 xy ( x y ) xy 2 32 xy 16 32 = x y 35 35 xy x2 y 2 Sử dụng Cô – si cho cặp ( 32 ; x y ) ( xy ; 16 ) ta có: x2 y 2 352 35 35 xy 35 2 2 x y 32 ≥ 16 ≥ 32 = ; xy 16 = xy ( x y)2 Mặt khác: x + y ≤ ⇒ x.y ≤ nên ≤ , 32 ≤ 35 1 Vậy minP = + - - = 17 Dấu “=” xảy x = y = Cách khác P 35 2 34 17 xy xy 2.4 34.17 ( x y ) xy 2 x y xy ≥ x y xy 32 = x y xy xy 8 17 17 ≥ 16 Dấu “=” xảy x = y = Bình luận Những lời giải cách tách đoài hỏi học sinh phải có kĩ giải tốn tương đối tốt Với bạn mức học TB-Khá Khá muốn ăn điểm câu nên làm cách cần kĩ Mình xin trình bày lời giải đơn giản bạn kham khảo - Bước 1:Do tốn đối xứng hồn tồn với x y nên dễ dàng dự đoán dấu đạt x = y = 2, thay giá trị x = 2, y = vào biểu thức P ta giá trị nhỏ P là: Pmin= - Bước 2: từ đẳng thức (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy 2 Ta biểu diễn x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy ≤ 16 – 2xy ⇒ x y ≥ 16 2xy ( x y )2 42 4 4 Đặt điều kiện cho biến: xy ≤ < xy ≤ Ta chứng theo phương pháp tương đương trực tiếp: Ta có: P 35 35 xy 2xy x y xy ≥ f(xy)= 16 2xy + xy 35 2t Đặt xy = t Bài toán trở thành: P ≥ f(t) = t + t với < t ≤ 35 2t Ta chứng minh: f(t) = t + t ≥ 17 (*) Thật vậy: (*) ⇔ t + 35(8 – t) + 2t2(8 – t) ≥ 17t(8 – t) ⇔ t + 280 – 35t+ 16t2 – 2t3 ≥ 136t – 17t2 ⇔ 2t3 – 33t2 + 170t - 280 ≤ ⇔ (t – 4)(2t2 – 25t + 70) ≤ ⇔ 2t2 – 25t + 70 ≥ ⇔ (4 – t)(17 - 2t) + ≥ (Đúng với < t ≤ 4) Vậy Pmin = 17 t = hay x = y = Nhận xét Do dự đoán x = y = nên dấu “=” t = sở để ta dồn nhân tử (t – 4) để đánh giá Câu (trích đề tuyển sinh lớp 10 tỉnh Bình Dương) Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q x 1 y 1 z 1 y z x2 Phân tích Đây tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức biết điều kiện cho trước (Tạm gọi điều kiện ban đầu) Ta nhận thấy biểu thức Q có dạng đối xứng (nghĩa vai trò x, y, z tốn giống hệt nhau) Do ta nghĩ đến việc sử dụng BĐT Cơ – si để giải tốn dấu x = y = z Tuy biểu thức Q phức tạp khơng có dạng bản, nên ta cố gắng thêm bớt tách hạng tử nhỏ biến quen thuộc đơn giản để đánh giá Lời giải Q x 1 y 1 z 1 x y z 1 ( )( ) 2 2 2 2 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 x y z x2 = M + N Xét M x y z 2 y z x , áp dụng BĐT Cô – si ta có: x x(1 y ) xy xy xy xy x x x 2 2y 1 y 1 y 1 y ≥ y yz z zx y z 2 ; 1 x ≥ Suy ra: Tương tự ta có: z ≥ M x y z xy yz zx xy yz zx ( x y z) ( ) 2 1 y 1 z 1 x ≥ 2 =32 2 2 Lại có: x y z �xy yz zx � ( x y z ) �3( xy yz zx) � xy yz zx �3 Suy ra: M �3 xy yz zx �3 2 Dấu “=” xảy ⇔ x = y = z = 1 1 2 Xét N y z x ta có: 1 y2 z2 x2 (1 ) (1 ) (1 ) 1 y2 1 z2 x2 y z x2 3–N= y z x2 x y z 2 N � y 2z 2x N 3 Dấu “=” xảy x = y = z = Từ suy ra: Q ≥ Vậy Qmin = ⇔ x = y = z = Câu Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x + y + z = Chứng minh: x + 2y + z ≥ 4(1- x)(1 – y)(1 – z) Lời giải Đặt a = x + y, b = y + z, c = z + x tốn trở thành: Cho a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a + b ≥ 4abc Cách 4(a + b) = (a + b)(a + b + c)2 ≥ (a + b).4.(a + b).c = 4c.(a + b)2 ≥ 16abc (áp dụng BĐT (x + y) ≥ 4xy) Vậy a + b ≥ 4abc Cách Ta có: a b c �2 (a b).c �2 abc ⇔ ≥ ab c ⇔ ≥ ab c > Mà a + b ≥ ab nhân theo vế ta có: a + b ≥ 4abc Đẳng thức xảy khi: a + b = c a = b, đó: � � a x y � � � 2 �x � � � � � b � �y z � �y � � � � �c �z x �z � � � � � Câu Cho x, y hai số thực dương Tìm giá trị nhỏ cảu biểu thức: 16 xy x y P x y xy Phân tích 16 xy x y & x y xy , P xuất xy , x + y x2 + y2 Ta có P gồm Để đơn giải cần đưa P xy x + y sau: P 16 xy x y 16 xy ( x y ) 2 x y xy = x y xy Do x, y đối xứng nên ta dự đoán P đạt giá trị nhỏ 10 x = y Do sử dụng kĩ thuật chọn điểm rơi x = y ta được: 16 xy xy xy ( x y ) ( x y )2 4 8 4 x y xy , xy Suy x = y x y x y 10 Cộng theo vế ba bất đẳng thức áp dụng BĐT 1 � x y z x yz Ta (*) 1 18 � (dpcm) x( y z ) x( z x) z ( x y ) 4( x y z ) Đẳng tức xảy a b c 57) (Trích đề vào lớp 10 Chuyên đại học Vinh năm 2010-2011) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x x x y y y y x 2010 2 Lời giải Ta có: P ( x y ) ( y x ) 2010 �2010 (x �0; y �0) Đẳng thức xảy x = y = x = y = 57) Cho a, b, số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a 2b 3 b 2c 3 c 2a �1 Lời giải Đặt vế trái BĐT A 1 � Với x, y, z số thực dương ta có: x y z x y z Thật vậy, theo bất đẳng thức Cauchy ta có: �1 1 � 1 1 ( x y z ) � ��3 xyz 3 9� � xyz x y z x yz �x y z � Vậy (*) chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z 194 (*) Sử dụng bất đẳng thức (*) (1) ta có: 9 �3 1 1 � 3 ( a 2) (b 2) (b 2) a 2 b 2 a 2b3 a 2b Tương tự với hai số hạng lại sau ra: 3 6A � 3 a 2 b 2 c 2 (2) 1 �1 (3) Ta chứng minh a b c Thật vậy, biến đổi (3) sử dụng giả thiết abc = Ta có: (3) � a 3b3 b3c3 c 3a3 �3 (đúng theo BĐT Cauchy) Đẳng thức xảy a = b= c = Từ (2) (3) suy điều phải chứng minh 59) Chứng minh với số dương x, y, z thỏa mãn xy yz zx 3, ta � có bất đẳng thức: xyz ( x y )( y z )( z x) Lời giải Với BĐT Cauchy ta có xyz �1 Q 2 � xyz ( x y )( y z )( z x) xyz ( x y )( y z )( z x) 2( xy yz zx) Q �1 � P Q ( xy yz )( yz zx)( zx xy ) � Mà nên xyz 60) (Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc năm 2010) 1 1 (a b c abc ) � Chứng minh rằng: a b b c c a abc (a b)(b c)(c a ) (a, b, c 0) 2 Lời giải Dễ thấy: (a b)(b c)(c a) c (a b) a (b c ) b (c a ) 2abc Áp dụng bất đẳng thức Cô-si bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta được: 195 ( 1 � �1 c (a b ) a (b c ) b (c a ) 2abc ) � � �a b b c c a abc � � 1 1 �� c a b a b c b c a 2abc � ca bc ca abc � 2 � c a b abc � � � Suy điều phải chứng minh, đẳng thức xảy a = b = c 2 61) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T x 40 y , Trong x, y số thực không âm thỏa mãn điều kiện x + y = Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số khơng âm ta có: 2 11 � 2� � � (1 x ) � ��� x �� x � (3 x) 11 � 9� � � x Đẳng thức xảy khi: Tương tự ta có: (40 y )(40 4) �(40 y ) � 40 y � Đẳng thức xảy Từ ta có: T� y 11 (40 y) 11 11 (49 6( x y )) 11 11 1 x ,y 3 Đẳng thức xảy 62) (Trích đề vào lớp 10 Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An) Cho a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện a b c Tìm giá trị lớn biểu thức: P a b b c c a abc Lời giải Đặt a x, b y, c z x, y , z 196 0, x y2 z2 2 Khi đó: P x y y z z x xyz Khơng tính tổng giát giả sử: y �x �z Khi ta có: y ( x y )( x z ) �0 � xyz xy Suy ra: x y y z z x xyz �xy xz x ( y z ) x (3 x ) ( x 1) ( x 2) �2 Do đó: P �2 Đẳng thức xảy a = b = c = a = 1, b = 0, c = hoán vị Vậy giá trị lớn P 63) (Trích đề tuyển sinh Lớp 10 Chuyên Lam Sơn 2010-2011) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: b c �16abc Đẳng thức xảy 2 Lời giải Ta có: (a b c) (a (b c)) �4a(b c) Do a b c nên từ bất đẳng thức suy ra: �4a (b c ) � b c �4a(b c) Lại có: (b c) �4bc � b c �16abc 1 a ;b c Đẳng thức xảy 6 64) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x y y 3x , 1 �2 Trong x, y số dương thỏa mãn a b 1 2� � � x y �2 x y x y Lời giải Ta có: Từ suy ra: x3 y �2; x y �2 197 Áp dụng bất đẳng thức Min-cốp- xki: a12 b12 a22 b22 � (a1 a2 )2 (b1 b2 )2 , 6 3 2 2 Từ suy ra: P x y y 3x � ( x y ) 3( x y ) �4 Ta Min P = x = y = 65) Cho a, b, c ba số thực thỏa mãn hai điều kiện: a + b + c = ab bc ca Tìm giá trị nhỏ của: P 2 a b b c c a ab bc ca Lời giải Không tính tổng quát giải sử: a > b > c Khi ta có: A 2 ab bc a c ab bc ca 1 2 � � , (m 0, n 0) 2 m n mn m n Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc: Đẳng thức xảy m = n Ta có: � 10 �1 A 2� � � ab bc ca a c ab bc ca �a b b c � a c � 20 20 (a c)(a c 4b) (1 b)(1 3b) (1) (3 3b 3b) 2 3(1 b)(1 3b) � � (1 b)(1 3b) � Lại có: Kết hợp với bất đẳng thức (1) suy ra: A �10 � 2 a � � a b b c ,3 b b , � � �� b � a b c 1 � � � 2 �c � Đẳng thức xảy khi: 198 Vậy giá trị nhỏ A= 10 hoán vị a 2 2 b c , 3, 66) (Trích đề vào lớp 10 Chuyên Lê Quý Đơn Bình Định năm 2010-2011) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c ≤ Chứng minh rằng: 1 �9 a 2bc b 2ca c 2ab Lời giải Với x, y, z số thực dương ta có: 1 � x y z x yz (*) Thật vậy, theo bất đẳng thức Cauchy ta có: �1 1 � 1 1 ( x y z ) � ��3 xyz 3 9� � xyz x y z x yz �x y z � Vậy (*) chứng minh Đẳng thức xảy x = y = z Áp dụng BĐT (*) ta có: 1 9 �2 � 9 2 a 2bc b 2ca c 2ab a b c 2ab 2bc 2ca (a b c) Bất đẳng thức cho chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c 67) Cho x, y, z số dương thỏa mãn x y z Tìm giá trị lớn biểu thức: P x3 y ( x yz )( y zx)( z xy ) x3 y3 P ( x y ) ( x 1)3 ( y 1)3 Lời giải Cho a b c z vào P, biến đổi ta được: 199 x2 y P � 3 ( x y ) � xy ( x 1) ( y 1) Vì nên Lại có: x 1 x x x2 27 27 �3 � ( x 1)3 � x , ( y 1)3 � y 2 4 tương tự �2 � P �� � �27 � Từ đó: Đẳng thức xảy x y 2; z �2 � maxP= � � �27 � Vậy 68) Cho a, b, c thỏa mãn a > b > c Chứng minh rằng: a b c (a b c) Lời giải BĐT cần chứng minh tương đương với a b c a b c 2ab 2bc 2ac � (b c )(b a ) 0, (luôn a > b > c) 69) Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 3 5 79 80 Lời giải Đặt S1 1 1 1 , S2 1 3 79 80 2 4 80 81 Khi đó, ta có: S1 S2 81 Lại có: 2k 2k 2k 2k 2k 2k 2k 2k với k �1 Do đó: S1 S2 nên S1 70) (Trích đề thi vào Chuyên KHTN-ĐHQG Hà nội năm 2011-2012) Với x, y số thực dương tìm giá trị nhỏ biểu thức: 200 P x3 x3 y y3 y ( x y )3 Lời giải Ta chứng minh hai bất đẳng thức: x3 x2 � x3 y x y (1) y3 y2 � y ( x y )3 x y x3 ۳�3� x 8y Thật vậy: BĐT (1) x4 ( x2 y )2 x2 y2 xy (2) (luôn đúng) y3 y4 � � ( x y )( x y ) �y ( x y )3 2 2 BĐT (2) � y ( x y ) ( x y ) 2 2 2 Ta có: x y x y y �2 xy y y ( x y ) ( x y )( x y ) � ( x y) 2 y( x y ) y ( x y ) Nên: Suy bất đẳng thức (2) Từ (1) (2) ta P �1 Dấu “=” xảy x = y Vậy Pmin=1 71) (Trích đề thi Chuyên KHTN-ĐHQG Hà nội năm 2011-2012- Chuyên toán) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn đẳng thức: xy yz zx , tìm giá trị P nhỏ biểu thức: 3x y z 6( x 5) 6( y 5) ( z 5) Lời giải Vì xy yz zx nên ta có: 6( x 5) 6( y 5) z 6( x y )( x z ) 6( y z )( y x) ( z x)( z y ) 3( x y ) 2( x z ) 3( x y ) 2( y z ) ( z x) ( z x) x y z � (3x y z ) 2 2 201 P� Suy ra: Đẳng thức xảy x = y = 1; z = 2 Vậy MinP = 72) Cho x, y, z số thực dương chứng minh rằng: x2 z z y y2 x2 �0 yz x y zx (1) Đẳng thức xảy nào? Lời giải Cách Gọi vế trái BĐT (1) A ta có: x2 z z y y x2 A yz x y zx �1 � 2� 1 � 2� 1 � x2 � � y � � z � � �y z z x � �z x x y � �x y y z � x ( x y) y2 ( y z) z ( z x) x2 (x2 y ) y ( y z ) z (z x2 ) ( y z )( z x ( z x )( x y ) ( x y )( y z ) 2( x y )( y z )( z x ) ( x y )2 ( y z )2 ( z x )2 2( x y )( y z )( z x) Do x, y, z số dương nên A > Đẳng thức xảy x y y z z x � x y z Cách Do vai trò bình đẳng hốn vị vòng quanh x, y, z nên khơng tính tổng qt, Giả sử: x = max x; y; z Ta có: x2 z z2 y2 y x2 ( x z )( x y ) ( y z )2 ( y z ) A ( x z) ( z x) ( y x) yz x y zx yz ( x y )( z x ) Vì x, y, z số dương x �y; x �z nên A �0 202 ( x z )( x y ) � � x y z � y z � Đẳng thức xảy khi: 73) (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Hà Tĩnh năm 2011-2012) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: F 1 x 2x 2x 1 x 1 Lời giải Điều kiện: x �0 F 1 x 2x 2( x 1) ( x 1) 1 1 �2 2x 1 x 1 2x 1 x 1 Vậy MinF= -2 x = 2 74) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x 54 x 14 75) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: xy yz zx �3 Chứng minh rằng: 27 �3 xyz (2 x y )(2 y z )(2 z x ) Lời giải Đặt P 27 xyz (2 x y )(2 y z )(2 z x) 1 27 xyz xyz (2 x y )(2 y z )(2 z x) Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số P� 3 (2 x yz )(2 xy xz )(2 zy xy ) 1 27 , , xyz xyz (2 x y )(2 y z )(2 z x ) ta có: (1) Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số (2 xz yz ), (2 xy xz ), (2 yz xy) ta được: 203 (2 xz yz ) (2 xy xz ) (2 zy xy ) (2 x yz )(2 xy xz )(2 zy xy ) � �3 (2) Từ (1) (2) suy P �3 Đẳng thức xảy x = y = z = 76) Cho a, b, c số không âm Chứng minh rằng: a b bc ca abc � b2 c2 a2 (1) Đẳng thức xảy nào? �a b b c c a � A (a b c) � � �b c a � Lời giải Cách Xét hiệu: � a b � � b c � � c a � ab a b bc b c ca c a a b c � � � � � � c2 a2 =� b � � c � � a � b Do a, b, c số thực không âm nên A �0 Đẳng thức xảy a = b = c Cách Đặt: a x, b y , c z với x �2, y �2, z �2 BĐT (1) trở x y yz zx x y z x y z 6 � � x y z � 3 y z x y z x thành: (2) Vì x �2, y �2, z �2 � x y z �6 Do đó: x y z x y z x yz x yz 3� 3 x y z y z x 2 2 Điều chứng tỏ BĐT (2) Điều chứng tỏ BĐT (1) chứng minh Đẳng thức xảy x y z � a b c 78) (Trích đề thi HSG tỉnh Thái Bình năm 2010-2011) Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh rằng: 204 a b c � b c 2a c a 2b a b 2c Lời giải Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki ta có: � � � a a b c b c � � � � � � (1) � b c 2a � c a b a b c b c a c a b a b c � � � � Đặt �a c 2a x � c a 2b y � �a b 2c z � a b c x y z y z x 3z x y b c 2a c a 2b a b 2c 4x 4y 4z Khi đó: �y z z x x y � � � 4 �x x y y z z � y z z x x y a b c � Mà: x x y y z z �6 � b c 2a c a 2b a b 2c 4 Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 79) (Trích đề thi HSG tỉnh Thái Bình năm 2010-2011) 87 1 88 2011 2010 45 Chứng minh rằng: 89 Lời giải Đặt A 2011 2010 Ta có: k k k 1 k k 1 (k 1) k (k 1)k k k 1 � �1 � � 87 � �1 � A� � � � � � 2��2 3� 2011 � 2011 89 �1 � 2010 205 Lại có: 2 (k 1) k k k k k 1 k k k 1 k 1 k k k 1 �1 � � � k 1 � �k � � � � �1 � � � 88 � �1 � A� 1 � � � � � � � � � 2��2 3� 2011 � �1 � 2010 � � � 2011 � 45 2 80) Cho a, b, c số thực thỏa mãn: a b c �2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S 2011ca ab bc x2 y xy � Lời giải Áp dụng BĐT dấu “=” xảy x = y a b c �2 ta có: Cách 1: b (a c) a b c 2ac ab bc b(a c ) � �1 ac 2 a2 c2 a2 b2 c2 ac � �� ac 2010ac 2010 2 Do đó: S 2011ac (ab bc) �2011ac (1 ac ) 2010ac �2011 � a b � �a 1, b 0, c 1 � b ac �� �2 2 a 1, b 0, c a b c � � � ac 1 S 2011 khi: � Vậy giá trị nhỏ S -2011 (a; b; c) � (1;0; 1), ( 1;0;1) Cách 2: Ta có: S 4022ac 2ab 2ac 2010(a c) ( a c b) 2010( a c ) ( a b c ) 2 2 Do a c �0; a c b �0, a c �a b c �2 nên: 2 S 2010.2 � 2 4022 S 2011 206 ac 0 � �a 1, b 0, c 1 � a c b �� � a 1, b 0, c � � a c2 a2 b2 c2 � S 2011 Vậy giá trị nhỏ S -2011 81) Cho x y thỏa mãn x y 15 (a; b; c) � (1;0; 1), ( 1;0;1) x y Tìm giá trị lớn nhỏ cảu biểu thức P x y 82) Cho a, b, c số thực dương có tổng Chứng minh rằng: 4 a b c � 3 ( a b ) (b c ) ( c a ) bc ca ab (1) Lời giải Bài toán (AD Page “Tài liệu toán học” sáng tác 14/12/2017) Cho a, b số thực dương thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ của: 8a Lời giải Ta có: Tương tự: Do đó: a b4 P 8a 8b3 2a 1 4a 2a 1 2a 4a 2a � 2a 8b3 �2b 8a 8b3 �2 a b a b a b a b P � 2 3 8a 8b a b Suy ra: a2 b2 4 a b2 �2 a b2 207 a b2 6 Do đó: P a b4 � 8a 8b3 Đẳng thức xảy khi: Vậy Pmin � 2a a 2a � �2b 4b 2b � a b 1 � 2 a b � 2 � � a b 1 a b 1 208 ... chứng minh Câu 28 Tìm giá trị x để số nguyên âm Lời giải Đặt Khi ta có (1) Ta tìm điều kiện y để (1) có nghiệm Nếu (1) có nghiệm Nếu , (1) có nghiệm Kết hợp lại (1) có nghiệm Theo giả thiết... cách giải nên kiểm tra lực tư giải toán học sinh Với mong muốn giúp bạn học sinh khá, giỏi không bị lúng túng trước toán dạng để kiếm chọn vẹn điểm kì thi, Ad cố gắng sưu tầm đọc nhiều tài liệu BĐT... thức mà kinh nghiệm giải tốn thân nhiều thầy khác đọc viết lại sách Bản thân AD người khơng thích sách dày, viết tràn lan khơng có trọng tâm Nên sách có phần : - Những viết kĩ thuật kinh nghiệm
Ngày đăng: 14/05/2018, 08:41
Xem thêm:
