KINH NGHIỆM GIẢI TOÁN bđt cực TRỊ THCS

LỜI NÓI ĐẦUBài toán Bất đẳng thức và tìm cực trị của biểu thức đại số là bài toánthường xuyên xuất hiện trong các đề thi học thi giỏi các cấp, đề vào lớp 10THPT, cũng như nhiều trường Ch

Tài liệu dạng sưu tầm và biên soạn

11 15

LỜI NÓI ĐẦU

Bài toán Bất đẳng thức và tìm cực trị của biểu thức đại số là bài toánthường xuyên xuất hiện trong các đề thi học thi giỏi các cấp, đề vào lớp 10THPT, cũng như nhiều trường Chuyên trên cả nước Dạng toán này thường đượcngười ra đề lựa chọn là câu khó nhất của đề thi là do những bai toán xoay quaychủ đề này rất đa dạng, học sinh ít khi trúng tủ, một bài toán thường có nhiềucách giải nên có thể kiểm tra được năng lực tư duy giải toán của học sinh Vớimong muốn giúp của các bạn học sinh khá, giỏi không bị lúng túng trước nhữngbài toán dạng này để kiếm được chọn vẹn điểm của kì thi, Ad đã cố gắng sưutầm và đọc khá nhiều tài liệu về BĐT và tìm GTLN, GTNN, cũng như khamkhảo rất nhiều các đề toán thi học sinh giỏi lớp và thi vào lớp 10 để có thể đúcrút ra những dạng toán thường được các thầy cô trong ban ra đề ưa thích Đâykhông phải là cuốn sách của những bài toán quá khó, mang tính chất đánh đố,

mà là những bài toán được lấy trong chính các đề thi học sinh giỏi, đề vào lớp

10 các tỉnh, và đề thi vào các trường chuyên trên cả nước được mình sưu tầmnhững năm gần đây nhất được đem ra phân tích, bình luận một cách rất tỉ mĩ Nókhông chỉ là kiến thức mà còn là kinh nghiệm giải toán của bản thân mình và cảrất nhiều thầy cô khác mình đã đọc và viết lại trong cuốn sách này

Bản thân AD là người không thích những cuốn sách dày, viết tràn lankhông có trọng tâm Nên trong cuốn sách này chỉ có 2 phần :

- Những bài viết về kĩ thuật và kinh nghiệm các dạng toán thường gặptrong đề thi

- Các bài toán trong các kì thi HSG, Thi lớp 10 chuyên được phân tích kỹ.

Mong muốn làm sao của AD là các bạn cso thể vận dụng những kiến thức và kinh nghiệm trong cuốn sách này để có thể lấy được điểm 10 trong các kì thi toán cuối cấp 2 này ^^ !

Tài liệu kham phục vụ các bài viết trong sách :

+ Phương pháp giải đề tuyển sinh lớp 9 (Thầy : Nguyễn Ngọc Dũng)

+ Phân tích bình luận các đề thi vào Lớp 10 chuyên (Tập thể học sinh chuyên

toán)

+ Tạp trí toán học tuổi trẻ, Tạp trí toán học tuổi thơ./

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 11năm 2017

AD Page « Tài Liệu Toán Học »

CHƯƠNG I : Các bài toán hay, khó và lời giải, bình luận chi tiết.

Câu 1 (Trích đề tuyển sinh lớp 10 tỉnh Bắc Giang năm học 2017)

Cho x, y thỏa mãn x ≤ 2, x + y ≥ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A = 14x2 + 9y2 + 22xy – 42x – 34xy + 35

Phân tích.

Khi nhìn vào biểu thức cần đánh giá ta nghĩ ngay đến phương án đưa biểu thứcnày về dạng tổng các bình phương, tuy nhiên việc đưa biểu thức A về dạng tổngcác bình phương có quá nhiều các lựa chọn, và việc « mò mẫm » có khả năngdẫn tới bế tắc Để ý từ điều kiện hai biến x, y ta thấy rằng x ≤ 2 ; y ≥ 0 do đó có

thể đổi hai biến x, y thành hai biến a, b với điều kiện a ≥ 0, b ≥ 0 (hiển nhiên ta

nghĩ ngay đến việc đặt a = 2 - x ; b = x + y – 2) thì bài toán có lẽ sẽ trở nên đơn

giản hơn Và sau khi đổi biến như vậy cùng với việc đưa biểu thức A về tổng cácbình phương ta có thể giải bài toán đơn giản hơn

Dấu « = » xảy ra khi a – 2b – 2 = 0 và b = 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3 khi x = 0 và y = 2

Bình luận.

Đây là bài toán có thể gây mất thời gian Cho học sinh trong quá trình mò mẫn đưa biểu thức A về dạng tổng các bình phương và nhiều khả năng sẽ gặp bế tắc trong việc đánh giá biểu thức Và ngay sau đây là phương án giải quyết bài toán bằng cách mò mẫn

= (x + 2t – 2)2 + (t – 2)(5t – 8) + 3 ≥ 3 ∀x, t

Dấu « = » xảy ra khi x + 2t – 2 = 0 và t = 2

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 3 khi x = 0 và y = 2

Câu 2 (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Bình Định Năm 2017)

Cho a, b, c [0 ; 1] Chứng minh rằng : a + b2 + c3 – ab – bc – ca ≤ 1

Phân tích.

Đây là dạng toán chứng minh BĐT không đối xứng kèm theo điều kiện biên của các biến Dựa vào điều kiện ta dễ dàng thấy ngay 1 – a ≥ 0 ; 1 – b ≥ 0 ; 1 - c ≥ 0 nhân các đại lượng 1 – a ; 1 – b ; 1 – c với nhau kèm với sự đánh giá b2 ≤ b ; c3 ≤

c sẽ cho ta lời giải bài toán trên cụ thể lời giải bài toán trên như sau :

Câu 3 (Trích đề thi vào lớp 10 tỉnh Bắc Giang)

Cho các dương a, b, c thỏa mãn 2a + 3b ≤ 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2017 2

1

2 3 4

a a

a b b

Với dạng toán này khi chọ được điểm rơi thì việc biến đổi tương đối đơn giản,

áp dụng BĐT Cô – si quen thuộc và từ giả thiết bài toán để hoàn thành lời giải

Câu 4 (Trích đề thi vào lớp 10 tỉnh Bắc Ninh 2017)

Cho 4 số dương x, y, z, t thỏa mãn x + y + z + t = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

.

x y z x y A

xyzt

  



Phân tích.

Nhìn vào bài toán ta có thể đoán được A đạt giá trị nhỏ nhất khi các biến x, y, z, tđược giá trị không bằng nhau Do đó ta rất khó đoán được điểm rơi của bài toán,bài tập này đoài hỏi học sinh phải giải nhiều bài tập Cô – si trước đó mới có kinhnghiệm giải bài toán này.

Dấu “=” xảy ra khi

1 4 1 2 1 2

4 z 2 t

Bình luận.

Học sinh phải thành thục BĐT Cô – si Cộng thêm một chút may mắn để giải bài toán này

Câu 5 (Trích đề thi tuyển sinh Lớp 10 tỉnh Nình Định 2017)

Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y ≤ 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

y = 2 Sau khi xác định được điểm rơi, ta chỉ cần thêm bớt vào biểu thức P mộtvài biểu thức phù hợp để sử dụng BĐT Cô – si Lấy điểm rơi thay vào biểu thức P

ta sẽ biết trước được giá trị nhỏ nhất là của P là bao nhiêu, ở đây minP = 17

32 =

1

2 ;

35 35 16

16 =

35 2

x y

≤

1 2

Những lời giải bằng cách tách như trên đoài hỏi học sinh phải có những kĩ nănggiải toán tương đối tốt Với những bạn ở mức học TB-Khá và Khá muốn ănđiểm được câu này thì nên làm cách ít cần kĩ năng Mình xin trình bày lời giảiđơn giản nhất các bạn có thể kham khảo.

- Bước 1:Do bài toán đối xứng hoàn toàn với x và y nên dễ dàng dự đoán đượcdấu bằng đạt được khi x = y = 2, thay giá trị x = 2, y = 2 vào biểu thức P ta đượcgiá trị nhỏ nhất của P là: Pmin= 1

Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Đây là bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức khi biết điều

kiện cho trước (Tạm gọi điều kiện ban đầu) Ta nhận thấy biểu thức Q có dạng

đối xứng (nghĩa là vai trò của x, y, z trong bài toán là giống hệt nhau) Do đó tanghĩ đến việc sử dụng BĐT Cô – si để giải toán dấu bằng khi x = y = z Tuy vậybiểu thức Q khá phức tạp và không có dạng cơ bản, nên ta sẽ cố gắng thêm bớt

và tách các hạng tử nhỏ về các biến quen thuộc và đơn giản hơn để đánh giá

 ≥ 2

zx

z Suy ra:

Cho a, b, c thỏa mãn a + b + c = 2 Chứng minh rằng: a + b ≥ 4abc

Cách 1 4(a + b) = (a + b)(a + b + c)2 ≥ (a + b).4.(a + b).c = 4c.(a + b)2 ≥ 16abc

(áp dụng BĐT (x + y) ≥ 4xy)

Vậy a + b ≥ 4abc

Cách 2 Ta có:

2   a b c� 2 (a b c ) � 2 2 abc ⇔ 1 ≥ 2 ab c. ⇔ 1 ≥ 2 ab c. > 0

Mà a + b ≥ 2 ab nhân theo vế ta có: a + b ≥ 4abc

Đẳng thức xảy ra khi: a + b = c và a = b, khi đó:

 , như vậy trong P xuất hiện xy , x + y x2 + y2

Để đơn giải cần đưa P về xy và x + y như sau:

Do x, y đối xứng nên ta dự đoán P đạt giá trị nhỏ nhất là 10 khi x = y

Do đó sử dụng kĩ thuật chọn điểm rơi tại x = y ta được:

Khi đó áp dụng BĐT Cô – si cho ba số không âm ta dễ tìm được giá trị nhỏ nhấtcủa P , ngoài ra ta có thể sử dụng điều kiện dấu “=” khi P đạt giá trị nhỏ nhất đểthêm bớt các hằng số vào biểu thức đánh giá các hằng số như sau:

Tới đây ta có thể kết hợp phương pháp biến đổi tương đương kết hợp AM – GM

(Cô – si) để chứng minh:

Vậy (**) đúng hay (*) đúng Đẳng thức xảy ra khi x = y

Do đó P ≥ 10 Kết luận: Pmin  10 khi x = y

Cách 3 Ta có:

16 xy x y P

x y xy x y

xy x y

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 10 khi x = y

Bình luận.

Bài toán khá đơn giản Học sinh chỉ cần nắm vững BĐT AM-GM kết hợp kĩthuật chọn điểm rơi là có thể giải toán

Câu 9 (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa)

Cho a, b, c là độ dài của ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:

Đề bài cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên ta sẽ lưu ý đến BĐT sau

a + b – c > 0 Bắt đầu bài toán bằng cách chuyển hết sang một vế và quy đồng ,

do mẫu là số dương ta chỉ cần xét tử là thỏa mãn yêu cầu bài toán

i) Ta nhận thấy có xuất hiện a2 + b2; b2 + c2; c2 + a2 khi đó ta nghĩ đến việc làmsuất hiện hằng đẳng thức bằng cách thêm bớt 2ab; 2bc; 2ca cụ thể ta thêm bớt2abc

ii) Sau khi thêm bớt các hằng đẳng thức, ta tiếp tục sử dụng hằng đẳng thức A2 –

B2, sau đó để ý ta sẽ có nhân tử chung a + b – c

iii) Sau khi đặt nhân tử chung ta tiếp tục rút gọn để được (a + b – c)(b + c – a)(c+ a – b) – gợi ý cho ta sử dụng BĐT tam giác

Câu 10 (Trích đề vào KHTN – ĐHQG Hà Nội năm 2017 – 2018)

Cho a, b là số các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Ở bài tập này, đề bài không cho bất kì dữ liệu gì ngoài a, b là các số thực dương,

vì vậy để đánh giá được GTLN của biểu thức ta nghĩ đến việc đánh giá từngphần của biểu thức và rút gọn cho nhau

Đầu tiên, ta thấy nếu nhân a3 + b với

1

b

a

và sử dụng bất đẳng thức BCS ta sẽthấy xuất hiện được (a + b)2 , tương tự với a + b3 cũng xuất hiện (a + b)2

Bình luận.

Điểm mấu chốt của bài này là tìm ra được nhân tử nhân thêm vào rồi dùng BĐTBCS đánh giá được một phần của biểu thức Để tìm được nhân tử nhân thêmnày, ta cần quan sát xem ta cần xuất hiện đa thức gì Để tra lời câu hỏi này, tacần quan sát biểu thức để nhận ra rằng ta càn rút gọn đa thức nào, và trong bàinày đó là a + b

Câu 11 (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên KHTN vòng 2 năm 2017 )

Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca + abc = 2 Tìm giá trị lớn nhất cảu biểu thức:

Để bài toán đơn giải ta cần thay đổi biến của bài toán Đối chiếu với giả thiết

của bài toán ta nghĩ ngay đến việc đặt

Tuy nhiên nếu phân tích sâu hơn ta sẽ thấy điều kiện dấu “=” của bài toán là

sẽ giúp bài toán gọn hơn

Ngoài ra bài toán còn có hướng là đưa M về hai biến rồi đánh giá M

Ta có (**) luôn đúng nên (*) được chứng minh

Quay trở lại bài toán ta có:

Ta còn có thể giải cách khác như sau:

Cách 2 Trước tiên ta chứng minh hai BĐT phụ sau

i) (x + y)(y + z)(z + x) ≥

8 ( )( ), , , 0.

9 x y z xy yz zx    x y zBiến đổi tương đương BĐT này ta được:

Câu 12 (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Bình Dương 2017)

Cho x, y là số thực dương thỏa mãn x ≥ 2y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trong giả thiết bài toán ta để ý đến x và 2y ta sẽ chứng minh Cô – si cho 2 số x2

và 4y2 Khi đó, đẳng thức xảy ra khi x = 2y

Đây là Bất đẳng thức có điều kiện biến đơn giản, chỉ cần để ý điều kiện là dễ dàngtìm hướng đi đúng.

Câu 13 (Trích đề chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định 2017)

Xét các số thực a, b, c không âm, khác 1 thỏa mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ

Và điều kiện a+ b + c được dùng để giải điều kiện dấu « = » xảy ra

Câu 14 (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Quý Đôn – Bà Rịa Vũng Tàu)

Cho x, y là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

1 1 ( ) 2( ).

Nhận thấy vài trò của x và y trong biểu thức P là như nhau, ta có thể dễ thấy điểm

rơi của bài toán là x = y, khi đó P =

9 2

Do x, y là hai số thực dương ta có thể áp dụng BĐT Cô – si Ta có một vài bất

2 2

1

; 2

x y là hai số nghịch đảo áp dụng BĐT Cô – si cho tổng

của chúng sẽ được lướn hơn một hằng số là một yêu cầu khi muốn dùng BĐT Cô– si để tìm GTLN và GTNN

Khi chứng minh BĐT hoặc tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất ta thường gặp các trườnghợp « ngược chiều » như phân tích ở trên.

Việc xác định được điểm rơi của bài toán sẽ giúp nhiều cho việc định hướng giải

bài toán Chẳng hạn khi phân tích tới

và

 

nên suy ra

x y xy



= 2 2

4xy

x y

và áp dụng BĐT Cô – si cho hai số này

Câu 15 (Trich đề tuyển sinh vào lớp 10 – chuyên Bạc Lưu năm 2017)

Cho a, b, c thỏa mãn a� �1;b 4;c�9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

 thì 2  1 0 hay   1

Khi đó :

1 1 2

a a

4 1 ( 4) 4 4 4

4 ( 9) 9 6 9

9 1 6

a a

Đây là bài toán BĐT khá đơn giản, chỉ cần nắm vững BĐT AM-GM và cách tham

số hóa để triệt tiêu các hằng số tự do là có thể đạt điểm tối đa bài toán

Câu 16 Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b � 2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức: P =

1 1

a  b

Phân tích.

Việc tìm GTNN của biểu thức P bao giờ cũng vận hành theo sơ đồ "bé dần": P 

B, (trong tài liệu này chúng tôi sử dụng B - chữ cái đầu của chữ bé hơn)

1) Giả thiết a + b  đang ngược với sơ đồ "bé dần" nên ta phải chuyểnhoá a + b  

Từ đó mà lời giải đánh giá P theo

2) với a > 0, b > 0 là một bất đẳng thức đáng nhớ Tuy là một hệquả của bất đẳng

Cô-si, nhưng nó được vận dụng rất nhiều Chúng ta còn gặp lại nó trong một

số đề sau

3) Các bạn tham khảo lời giải khác của bài toán như là một cách chứng minhbất đẳng thức trên

đẳng thức có khi a = b = Vậy minP =

a a

 �

Thật vậy   Dấu đẳng thức có khi và

chỉ khi a = 2 Tương tự ta cũng có , Dấu đẳng thức có khi vàchỉ khi b = 2, c = 2

2) Mỗi giá trị của biến cân bằng bất đẳng thức được gọi là điểm rơi củabất đẳng thức ấy

Theo đó, bất đẳng thức (1) các biến a, b, c đếu có chung một điểm rơi là a =

3) Phương trình (2) thuộc dạng "phương trình điểm rơi"

Tại điểm rơi a = b = c = 2 ta có

Điều đó cắt nghĩa điểm mấu chốt của lời giải là tách :



2

1 1 4

b b

 �

2

1 1 4

c c

y = 9

Tương tự: b2 < ab + bc; c2 < ca + bc Suy ra: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

Câu 20

Cho biểu thức A = 2x - 2 xy + y - 2 x + 3 Hỏi A có giá trị nhỏ nhất hay không?

Vì sao?

Phân tích.

 Cảnh báo Các bạn cùng theo dõi một lời giải sau :

Biểu thức A có nghĩa khi và chỉ khi Biến đổi

Suy ra minA = 2, đạt được khi x = y = 1 (!)

0 0

x y

 Kết quả bài toán sai thì đã rõ Nhưng cái sai về tư duy mới đáng bàn hơn.

1) Điều kiện xác định của P(x; y) chứa đồng thời và là

Do vậy để tìm GTLN, GTNN P(x; y) cần phải xét độc lập hai trường hợp

và

2) Không thể gộp chung thành

3) Do cho rằng điều kiện xác định của P(x; y) là (bỏ sót

)Vậy nên A = 2 là GNNN của A trên , chưa đủ để kết luận đó là GTNN của

A trên D

4) Nhân đây liên tưởng đến phương trình (1)

Biến đổi đúng (1)  Cách biến đổi sau là sai (1) 

Lời giải.

A = 2 - 2x xy - 2 y x 3

Trước hết ta thấy biểu thức A có nghĩa khi và chỉ khi:

0 0

Từ (1) ta thấy nếu x = 0 thì y nhận mọi giá trị tùy ý thuộc R (2)

Mặt khác, khi x = 0 thì A = y + 3 mà y có thể nhỏ tùy ý nên A cũng có thể nhỏ

tùy ý Vậy biểu thức A không có giá trị nhỏ nhất

x y

y

x D

( ) 0 ( ) 0

Bất đẳng thức Cô-si chỉ áp dụng cho các số không âm Cụ thể là :

+ Với hai số a  0, b  0 ta có , dấu đẳng thức có khi và chỉ khi

Dấu bằng xẩy ra khi

x + y = 6

x = 2 3x 6

=

y = 4

2 x

y 8 =

Bình luận.

 Việc tìm GTNN của biểu thức P bao giờ cũng vận hành theo sơ đồ "bédần": P  B, (trong tài liệu này chúng tôi sử dụng B - chữ cái đầu của chữ béhơn)

1) Do giả thiết cho x + y  6, đã thuận theo sơ đồ "bé dần": P  B, điều ấymách bảo ta biểu thị P theo (x + y) Để thực hiện được điều ấy ta phải khử và

Do có x > 0; y > 0 nên việc khử được thực hiện dễ dàng bằng cách áp dụng

bất đẳng thức Cô-si cho các từng cặp số Ax và , By và

Bởi lẽ đó mà lời giải đã "khéo léo" tách ,

2) Tuy nhiên mấu chốt lời giải nằm ở sự "khéo léo" nói trên Các số , được nghĩ ra bằng cách nào?

1 2

Ta có , dấu đẳng thức có khi ; (3)

, dấu đẳng thức có khi ; (4)

Để (2) trở thành đẳng thức buộc phải có x + y = 6  (5)

Thấy rằng là một nghiệm của (5) Thay vào (2) ta có sự phân tích

như lời giải đã trình bày Các số , được nghĩ ra như thế đó

3) Phương trình (3) là phương trình "kết điểm rơi" Người ta không cần biết phươngtrình "kết điểm rơi" có bao nhiêu nghiệm Chỉ cần biết (có thể là đoán) được mộtnghiệm của nó là đủ cho lời giải thành công (Việc giải phương trình "kết điểm rơi"nhiều khi phức tạp và cũng không cần thiết.)

2

a

3 2 1 2

Cho x, y là hai số thực thoả mãn: (x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 = 0

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y + 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Câu 28 Tìm các giá trị x để là số nguyên âm.

x y x







2) Phương pháp giải bài toán trên cũng là phương phương pháp tìm GTNN,

GTLN của các biểu thức dạng (với b'2 4ac < 0), chẳng hạn

: Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 2

Tương tự với a, b dương ta có:

2 2

ax bx c P

x y

 





Dấu đẳng thức xảy ra khi x2 + y2 = 2xy � x = y.

Từ (1) và (2) suy ra: A 6 � Dấu "=" xảy ra

= 2 + 1 + (áp dụng BĐT Côsi với 2 số dương)

Đẳng thức xảy ra <=> (loại nghiệm x = - 1 - 2)

Vậy giá trị nhỏ nhất của y bằng 3 + 2 khi x = -1

Câu 33.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y =

2 2

hệ giữa K và giả thiết sẽ chỉ dẫn chúng ta tìm đến B

+ Trong bài toán trên, thấy trong biểu thức K = x2  2x  y có chứa  y, nên đểthuận theo sơ đồ "bé dần" ta biến đổi :

2x + 3y  6 

Thay  y bởi ta có

2 2 3

x y

 � 

2 2

3x  K�B ��x23��2229

 Cũng vậy, đối với tìm GTLN thì việc bắc cầu phải theo sơ đồ "lớn dần": K 

L

+ Trong các giả thiết không thể suy ra  y  h(x) để tìm L (lớn hơn) trong sơ đồ

"lớn dần" Vậy nên để có biểu thức L buộc phải đánh giá bộ phận còn lại x2 2x  g(x)

 Mấu chốt của bài toán tìm GTNN, GTLN là tìm "kết"

xy

( 2) 2

y

K�L  x

<=> p2 - 12p - 18 < 0 <=> 6 - 3 Dấu “=” có xảy ra.

Vậy min P = 6 - 3 , max P = 6 +3

x + z

2

z 2xy

�

+

2

x 2yz +

2

y 2xz + 3

�Vậy minA = 4

<=> 8 - 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) - abc > 0

<=> 2(ab + bc + ca) > 4(a + b + c) - 8 + abc

nên 2(ab + bc + ca) > 4 (vì a + b + c = 3 và abc � 0)

(y 2) 4

y 1 5

 (2)