THÔNG TIN TÀI LIỆU
CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BIẾN ĐỔI Dạng tốn PHƯƠNG TRÌNH THEO SIN, COS Sử dụng biến đổi lượng giác, biến đổi đại số để đưa phương trình cho phương trình lượng giác bản, phương trình theo hàm số lượng giác, phương trình bậc với với sinx cosx, phương trình (đẳng cấp) sinx cosx, phương trình đối xứng với sinx cosx, tích phương trình Chú ý: 1) Định hướng biến đổi theo cung góc lượng giác, theo hàm số lượng giác, theo hệ số đặc biệt phương trình 2) Có đơn vị khơng có đơn vị ẩn, kết hợp nghiệm 3) Đánh giá vế dựa tập xác định, tập giá trị bất đẳng thức 4) Công thức cộng công thức nhân: cos( a + b ) = cosa cosb - sin a sin b ; cos( a - b ) = cosa cosb + sin a sin b sin( a + b ) = sin a cosb + cosa sin b , sin( a - b ) = sin a cosb - cosa sin b tan a + tan b tan a - tan b tan( a - b ) = 1- tan a tan b ; 1+ tan a tan b æ pử ữ sina cosa = sinỗỗa ữ çè ÷ 4÷ Đặc biệt: ỉ pư cosa ± sin a = cosỗỗa m ữ ữ ữ ỗố 4ữ ø Công thức nhân hai: cos2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a - = 1- 2sin2 a sin2a = 2sin a cosa 2tan a tan2a = 1- tan2 a ; Công thức hạ bậc hai: 1+ cos2a 1- cos2a cos2 a = sin2 a = 2 ; Hay: 1+ cos2a = 2.cos a ; 1- cos2a = 2.sin2 a 1- cos2a 1+ cos2a tan2 a = cot a = 1+ cos2a ; 1- cos2a Bài tốn Giải phương trình sau: cos3x = sin2x a) b) sin( x - 120°) - cos2x = tan( a + b ) = Giải ổp ữ cos3x = sin2x cos3x - cosỗỗ - 2xữ = ữ ữ ỗố2 ứ a) ộx p ê + = kp ỉx p ỉ5x p ữ ữ - 2sinỗ + ữ sinỗỗ - ữ = ờ2 ỗ ữ ữ ỗ ờ5x p ố2 ữ ứ ỗố ÷ ø = kp ê ê2 ë ỉp ữ cos3x = sin2x = cosỗỗ - 2xữ ữ ữ ỗố2 ứ Cỏch khỏc; ộ p ờx = + k2p ê 12 ê ê p 2p +k êx = ê ë 10 b) sin( x - 120°) - cos2x = Û cos( 210°- x) - cos2x = ổx ổ ỗỗ105- 3x ữ ữ ữ - 2sinỗỗ + 105ữ sin ữ ữ= ữ ữ ỗố2 2ứ ứ ỗố ộx + 105 = k180° éx = - 210° + k360° ê Û ê2 Û ê ê x = 70° + k120° ê 3x = k180° ë ê105°ê ë Cách khác: sin( x - 120°) = cos2x = sin( 90°- 2x) Bài tốn Giải phương trình: a) cos x cos5x = cos2x cos4x 1 10 cos x + + sin x + = cos x sin x b) Giải a) cos x cos5x = cos2x cos4x Û cos6x + cos4x = cos6x + cos2x é éx = kp ê 4x = 2x + k2p ê p Û cos4x = cos2x Û ê Û ê Û x= k p ê4x = - 2x + k2p êx = k ê ê ë ë sin x ¹ cos x ¹ kp Û x¹ b) Điều kiện sin x + cos x 10 sin x + cos x + = sin x.cos x Phương trình biến đổi ỉ pư t2 - t Ê ữ ỗ ữ t = sin x + cos x = sinỗx + ữ sinx.cos x = ỗố 4ữ ứ, t Thỡ 3t - 10t + 3t + 10 = Û ( t - 2) ( 3t - 4t - 5) = Và phương trình trở thành: ỉ p - 19 - 19 ÷= t= sinỗỗx + ữ = sin a ữ ỗố 4÷ ø Chọn p p Û x + = a + k2p x + = p - a + k2p 4 p 3p Û x = a - + k2p x= - a + k2p 4 p 3p Û x = a - + k2p x = - a + k2p 4 Vậy nghiệm phương trình: , Bài tốn Giải phương trình: 3cos4x - 2cos2 3x = 2cos2x - 8cos x + = cos x a) b) Giải a) Ta có: 3cos4x - 2cos2 3x = Û 3cos2( 2x) - (1+ cos6x) = Û 3( 2cos2 2x - 1) - 1- cos3( 2x) - = Û 6cos2 2x - 5- ( 4cos3 2x - 3cos2x) = Û 4cos3 2x - 6cos2 2x - 3cos2x + = t = cos2x t £ Đặt , phương trình tương đương: 4t - 6t - 3t + = Û ( t - 1) ( 4t - 2t - 5) = Û t= t= 1- 21 t= hoặc Khi t = Û cos2x = Û x = kp ; 1+ 21 (loại) Khi t= 1- 21 , đặt cosa = 1- 21 a + kp PT x = kp a x = ± + kp Vậy phương trình có nghiệm: ; p x¹ + kp b) Điều kiện: , phương trình 2cox2x - 8cos x + = Û 2( 2cos2 x - 1) cos x - 8cos2 x + 7cos x = cos x t = cos x t £ 1, t ¹ Đặt , , phương trình tương đương: Û cos2x = cosa Û x = ± 2( 2t - 1) t - 8t + 7t - = Û 4t - 8t + 5t - = Û ( t - 1) ( 4t - 4t + 1) = Û ( t - 1)( 2t - 1) = Û t= 1 Û cos x = 1 cos x = 2 hoặc Û x = k2p p x = ± + k2p (chọn) Bài toán Giải phương trình sau: cos2 x - 3sin2 x = a) Giải a) PT t= Û cos2 x = 3sin2 x Û tan2 x = b) sin x + sin2 x = 2 Û tan x = ± 3 ỉ pư p ÷ Û tan x = tanỗỗ ữ x = + kp ữ çè ÷ ø x 1- cos x 1 = Û sin x + = Û sin x = cos x 2 2 b) 1 Û tan x = Û x = arctan + kp 2 Bài toán Giải phương trình sau: 1 + = cos x cos2x cos4x cos8x = 16 a) sin2x cos2x sin 4x b) Giải sin 4x = 2sin2x.cos2x p sin 4x ¹ Û x ¹ k a) Vì nên điều kiện : 1 1 + = Û + = PT: sin2x cos2x sin4x sin2x cos2x sin2x.cos2x ỉ pư p ÷ Û sin2x + cos2x = sinỗỗ2x + ữ = sin ữ ỗố 4ữ ø é 2x = k2p é x = kp ê ê Û ê Û ê p p ê2x = + k2p êx = + kp ê ê (loại) ë ë Vậy phương trình vơ nghiệm sin x + sin2 sin x.cos x cos2x cos4x cos8x = sin x = sin16x 16 Vì khơng thỏa mãn phương trình, b) Ta có nên phương trình tương đương với Û sin16x = sin x 1 sin16x = sin x 16 16 Û 16x = x + k2p 16x = p - x + k2p Û 15x = k2p 17x = p + k2p k2p p k2p k Ỵ Z Û x= x= + 15 17 17 , Bài toán 6: Giải phương trình a) sin11x + sin 7x + cos7x = 2 b) sin8x - cos6x = ( sin6x + cos8x) Giải a) Phương trình tương đương với sin 7x - cos7x 2 ổ ổ pử ỗỗ- 7x - p ữ ữ ữ sin11x = - sinỗỗ7x + ữ = sin ữ ữ ỗ ỗ 6ữ 6ữ ố ứ ố ứ sin11x = - é é p p kp k Ỵ Z ê 11x = - 7x - + k2p êx = + ê ê 108 Û ê Û ê ê ê p 7p kp + ê11x = p + 7x + + k2p ê x= ê ê 24 , ë ë b) Phương trình tương đương với sin8x - cos8x = cos6x + sin6x 3 sin8x cos8x = cos x + sin6x 2 2 ổ ổ pử ỗỗ6x + p ữ ữ ữ sinỗỗ8x - ữ = sin ữ ữ ỗố ỗố 3ữ 6ữ ứ ứ kỴ Z é é p p p ê8x - = 6x + + k2p êx = + kp ê ê Û ê Û ê ê ê p kp p 5p + + k2p ê8x - = 6x + êx = ê 12 , ê ë ë Bài tốn 7: Giải phương trình: 3cos4 x - 4cos2 x.sin2 x + sin4 x = a) ổ pử ữ sin3 ỗỗx - ữ = ữ ỗố 4ữ ứ b) sin x Gii a) Vì cos x = khơng thỏa mãn phương trình nên chia hai vế phương trình cho cos4 x ¹ ta phương trình tương đương: cos4 x cos2 x.sin x sin4 x - + = Û 3- 4tan2 x + tan4 x = 4 cos x cos x cos x Đặt t = tan x , t ³ phương trình: Û t - 4t + = Û t= t = Û tan x = ± hoặc tan x = ± kỴ Z p p Û x = ± + kp x = ± + kp ; ; b) Ta biến đổi phương trình cho sau é ù ê ( sin x - cos x)ú = sin x Û ( sin x - cos x)3 = 4sin x ê2 ú ê ú ë û cos x = Vì khơng thỏa mãn phương trình, nên chia hai vế phương trình cho cos3 x ¹ ta phương trình tương đương: ỉsin x - cos x sin x ữ ỗỗ ữ = ( tan x - 1) = 4tan x (1+ tan2 x) ữ ỗố cos x ÷ cos x ø t = tan x t - 1) = 4t (1+ t ) ( Đặt phương trình Û 3t + 3t + t + = Û ( t + 1) ( 3t + 1) = Û t = - Û tan x = - Û x = - kỴ Z p + kp , Bài tốn 8: Giải phương trình: a) cos3x + cos2x - cos x - = ỉ pư ỉ pư ÷ ÷- = cos4 x + sin4 x + cosỗỗx - ữ sinỗỗ3x - ữ ữ ữ ỗố 4ữ 4ữ ứ ỗố ứ b) Giải a) Phương trình tương đương: cos3x - cos x + cos2x- = Û - 2sin2x sin2x- 2sin2 x = Û sin x ( sin2x + sin x) = Û sin2 x ( 2cos x + 1) = kỴ Z é x = kp ê ê êx = ± 2p + k2p ê , ë é ù ỉ pư ú- = ữ 1- 2sin2 x cos2 x + ờsinỗỗ4x - ữ + sin2 x ữ ỗố ỳ ÷ 2 ø b) PT ë û 2 Û - sin 2x - cos4x + sin2x - = Û - sin x - (1- 2sin2 2x) + sin2x - = é sin x = ê Û ê Û êcos x = - ê ë é sin2x = p Û sin2 2x + sin2x - = Û ê êsin2x = - ( loaïi ) Û sin2x = Û 2x = + k2p ê ë kỴ Z p x = + kp Vậy nghiệm , Bài tốn 9: Giải phương trình: (1- 2sin x) cos x = a) (1+ 2sin x)(1- sin x) 1+ sin2 x) cos x + (1+ cos2 x) sin x = 1+ sin2x b) ( Giải sin x ¹ sin x ¹ a) Điều kiện (1- 2sin x) cos x = + 2sin x sin x ( )( ) Ta có phương trình: Û (1- 2sin x) cos x = Û cos x - (1+ 2sin x)(1- sin x) sin x = sin2x + 3.cos2x ỉ pư ỉ 3 ỗỗ2x - p ữ ữ ÷ cos x sin x = sin2x + cos2x Û cosỗỗx + ữ = cos ỗố ỗố ữ ữ 2 2 3÷ 6÷ ø ø é p êx = + k2p ( loaïi ) ê p 2p Û ê Û x= + k ,k Ỵ Z ê 18 p 2p +k ê x= ê 18 ë b) Phương trình tương đương: Û sin x + cos x + sin x cos x ( sin x + cos x) = ( sin x + cos x) Û ( sin x + cos x)(1+ sin x cos x - sin x - cos x) = Û ( sin x + cos x)(1- sin x)(1- cos x) = é p é ỉ ê x = - + kp sinỗỗx + p ữ ữ = ữ ỗố ộsin x + cos x = ê 4÷ ø ê ê ê ê p Û ê Û ê sin x = Û ê x = + k2p ê ê sin x = ê ê ê cos x = ê cos x = ê ê ë x = k p, k Ỵ Z ê ê ê ê ë ê ë Dạng tốn PHƯƠNG TRÌNH THEO TAN, COT Phương pháp: Sử dụng biến đổi lượng giác, biến đổi đại số để đưa phương trình cho phương trình lượng giác bản, phương trình theo hàm số lượng giác, phương trình bậc sinx cosx, phương trình (đẳng cấp) sinx cosx, phương trình đối xứng sinx cosx, tích phương trình Chú ý: sin x p tan x = ,x ¹ + kp , p , k Ỵ Z 1+ tan2 x = cos x cos2 x 1) ; cos x cot x = , x ¹ kp , k Î Z 1+ cot x = sin x sin2 x 2) ; 3) Định hướng biến đổi theo cung góc lượng giác, theo hàm số lượng giác, theo hệ số đặc biệt phương trình 4) Đánh giá vế dựa tập xác định, tập giá trị bất đẳng thức 5) Công thức biến đổi tổng thành tích: a+ b a- b cosa + cosb = 2cos cos 2 , a+ b a- b cosa - cosb = - 2sin sin 2 a+ b a- b sin a + sin b = 2sin cos 2 a+ b a- b sin a - sin b = 2cos sin 2 sin( a + b ) sin( a - b ) tan a + tan b = tan a - tan b = cosa cosb ; cosa cosb cot a + cot b = cos( b + a ) sin a sin b ; Cơng thức biến đổi tích thành tổng: cot a + cot b = cos( b - a ) sin a sin b 1é cos a + b ) - cos( a - b )ù ú ë ( û 2ê ù cosa cosb = é êcos( a + b ) + cos( a - b )û ú 2ë sin a cosb = é sin a + b ) + sin( a - b )ù ú ë ( û 2ê sin a sin b = - 1é sin a + b ) - sin( a - b )ù ú ë ( û 2ê Bài toán 1: Giải phương trình sau: tan x = cot 2x a) b) tan( 2x + 30°) + tan10° = Giải cos x ¹ sin2x ¹ p p p Û xạ + kp xạ + k ,k ẻ Z 2 a) Điều kiện: và ỉp ÷ tan x = cot 2x Û tan x = tanỗỗ - 2xữ ữ ữ ỗố2 ứ Phng trỡnh: cosa sin b = p p p p - 2x + kp Û 3x = + kp Û x = + k 2 p x = ± + kp , k Ỵ Z Chọn nghiệm: b) Điều kiện: 2x + 30° ¹ 90° + k180° Û x ¹ 30° + k90° PT: tan( 2x + 30°) + tan10° = Û tan( 2x + 30°) = - tan10° Û x= Û tan( 2x + 30°) = tan(- 10°) Û 2x + 30° = - 10° + k180° Û 2x = - 40° + k180° Û x = - 20° + k90° (chọn) Bài toán 2: Giải phương trình: 2sin x + cot x = 2sin2x + a) b) 2( tan x - sin x) + 3( cot x - cos x) + = Giải p x¹ + kp a) Điều kiện Phương trình: 2 2sin x + cos x = 4sin x cos x + sin x Û ( 2sin x - 1) sin x - cos x ( 4sin2 x - 1) = Û ( 2sin x - 1)( sin x - cos x - 2sin x cos x) = p = sin Xét p 7p Û x = + k2p x= + k2p 6 Xét sin x - cos x - 2sin x cos x = ỉ pư ÷, t £ t = sin x - cos x = sinỗỗx - ữ ữ ỗố 4ữ ứ t 2sin x - = Û sin = t - phương trình trở thành t + ( t - 1) = Û t + t - = sin x.cos x = - Û t= - 1- - 1+ t= 2 (loại) (chọn) æ p - 1+ ổ pử - 1+ ỗỗx - ữ ữ ữ sinỗỗx - ữ = sin = ữ ữ ỗố ỗ ữ 4ữ 4ứ ø è 2 p 5p - 1+ Û x = a + + k2p x= - a + k2p sin a = 4 2 với kp x¹ Phương trình tương đương b) Điều kin ổsin x ổcos x ữ ỗỗ ữ ữ 2ỗỗ - sin x + 1ữ + cos x + = ữ ữ ỗốcos x ữ ữ ứ ỗốsin x ứ sin x + cos x - sin x cos x) + ( ( cos x - sin x cos x + sin x) = cos x sin x ỉ2 ÷ ÷= Û ( sin x + cos x - sin x cos x) ỗỗ + ỗốcos x sin x ÷ ÷ ø Û Û ( sin x + cos x - sin x cos x)( 2sin x + 3cos x) = Û sin x + cos x - sin x cos x = (1) 2sin x + 3cos x = (2) ỉ pư ÷, t £ t = sin x + cos x = sinỗỗx + ữ ỗố ữ 4ữ ứ t PT (1): t- t2 - = Û t - 2t - = Û t = 1+ t = 1- 2= ỉ pư ữ sinỗỗx + ữ ữ ỗố 4ữ ứ (loi) hoc ổ p 1- sinỗỗx + ữ = = sin a ữ ữ ỗố 4ữ ứ p p Û x + = a + k2p x + = p - a + k2p 4 p 3p Û x = a - + k2p x= - a + k2p 4 Û tan x = - = tan b Û x = b + kp , k Ỵ Z (2) Bài tốn 3: Giải phương trình sau: a) tan x + tan2x = sin3x cos x b) tan x + cot 2x = 2cot 4x Giải a) ĐKXĐ: cos x ¹ cos2x ¹ Với điều kiện đó, ta có: sin3x tan x + tan2x = sin3x cos x Û = sin3x cos x cos x cos2x cos2 x.cos2x = Û sin3x (1- cos2 x.cos2x) = Û sin3x = Û sin3x = Û sin3x = (1+ cos2x) cos2x = cos 2x + cos2x - = Û sin3x = p p x = kp Û x = k , k Ỵ Z hoặc b) Vì sin 4x = 2sin2x cos2x = 4sin x cos x cos2x nên điều kiện sin 4x ¹ sin x cos2x 2cos4x tan x + cot 2x = 2cot 4x Û + = cos x sin2x sin 4x Ta có: sin x sin2x + cos x cos2x 2cos4x Û = cos x sin2x 2sin2xcox2x cos2x = Û x = k cos( 2x - x) cos4x Û cos4x = cos2x cos x cos2x éx = kp ê p Û 4x = ± 2x + k2p Û ê Û x= k p êx = k ê ë sin 4x = sin 4mp = Nếu k = 3m( m Ỵ Z ) : loại k = 3m ± ( m Ỵ Z ) ổ 4p p sin4x = sinỗỗ + 4mp ữ = sin = ữ ữ ỗ ữ ố ứ Nu thỡ m p x = ( 3m ± 1) với Vậy nghiệm phương trình ngun Bài tốn 4: Giải phương trình sau: (1- tan x)(1+ sin2x) = 1+ tan x a) ( tan x + cot x) - ( tanx+ cotx) = b) Giải p t = tan x + cot x Þ t = tan x + cot x ³ x¹ k Đặt a) ĐK: 2 Phương trình: t - t = Û t - t - = Chọn nghiệm t = Û tan x + cot x = Û tan x + = Û tan2 x - 2tan x + = tan x p p Û ( tan x - 1) = Û tan x = = tan Û x = + kp , k Î Z 4 Các nghiệm thỏa mãn điều kiện b) Với điều kiện cos x ¹ , đặt t = tan x Û = (1+ t) 2t Þ 1+ sin2x = 1+ = 1+ t 1+ t Phương trình: (1- t) (1+ t) 2 = 1+ t Û (1- t )(1+ t ) = (1+ t ) (1+ t ) 1+ t Û 2t (1+ t ) = Û t = t = - kỴ Z é x = kp étan x = ê ê Û ê êtan x = - êx = - p + kp ë ê Do đó: , (chọn) ë Bài tốn 5: Giải phương trình 2 ( cos x - sin x) = cot x - a) tan x + cot 2x 2 cot x - tan x = 16(1+ cos4x) cos2x b) Giải ìï cos x ¹ ïï ïï sin2x ¹ Û í ïï tan x + cot 2x ¹ ïï cot x ¹ a) iu kin ùợ ỡù ùù x kp ù ùù p + kp ùù x ùợ cos x sin2x = cos x Phương trình: Û sin2x = sin x Û Û sin x = ( cos x - sin x) cos x - sin x sin x sin x cos x - sin x = Û sin x ( ) cos x - = p x = ± + k2p Û x = kp (loại) kỴ Z p x = - + k2p Ta chọn nghiệm với p kp x¹ + b) Điều kiện: cos4 x - sin4 x = 16(1+ cos4x) Phương trình: cos2 x sin2 x cos2x Û = 32cos2 2x Û = 8cos2 2x sin2 2x 2 cos x sin x p kp Û 1- 2sin2 4x = Û cos8x = Û x = + 16 p kp k Ỵ Z x= + 16 , So với điều kiện ta chọn nghiệm: Bài toán 6: Giải cỏc phng trỡnh: ổ xử cot x + sin xỗỗ1+ tan x.tan ữ ữ= ỗ ữ 2ữ ố ứ a) 3( sin x + tan x) b) tan x - sin x cos x = - 2cos x = Giải x sin x ¹ 0, cos x ¹ 0, cos ¹ a) Điều kiện: x x cos x cos + sin x sin cos x 2= + sin x x sin x cos x cos PT: cos x sin x 1 Û + = 4Û = Û sin2x = sin x cos x sin x cos x p 5p Û x= + kp x= + kp , k Ỵ Z 12 12 (thỏa mãn) ìï cos x ¹ ïï ïí tan x ¹ sin x Û x ¹ kp ùù b) iu kin: ùùợ sin x Phương trình Û 3( sin x + tan x) - 2cos x( tan x - sin x) = 2( tan x - sin x) ỉ ÷ sin x ỗỗ3 + + 2cos xữ = ữ ữ ỗố cos x ứ sin x ( 2cos2 x + 3cos x + 3) = Û 2cos2 x + 3cos x + = Vì D < nên phương trình cho vơ nghiệm Bài tốn 7: Giải phương trình: 10 sin x 1 cos2x cos p p Û x = - + k2p 2x = ± + k2p p p Û x = - + k2p x = ± + kp , k Ỵ Z b) sin x + sin2x = Û sin x + 2sin x cos x = Û sin x (1+ 2cos x) = Û sin x = cos x = Û sin x = 2p 2p cos x = cos Û x = kp x= ± + kp , k Ỵ Z 3 hoặc Bài tốn 2: Giải phương trình sau: a) sin x sin x sin x b) cos3 x sin x cos x Giải a) sin x sin x sin x 2sin x cos x 2sin x cos x sin x cos x cos x 2sin x sin x sin x x k xk x k ,k Z xk x k 2 b) PT: sin x cos x 1 sin x cos x cos x sin x sin x cos x sin x cos x sin x cos x 1 sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x tan x 1 x k Xét Xét sin x cos x sin x cos x t sin x cos x sin x , t 4 Đặt PT: t 1 t t 2t t 1 sin x 1 sin x sin 4 4 4 5 x k 2 x k 2 4 4 x k 2 3 x k 2 , k Z Bài tốn 3: Giải phương trình: a) cos3 x cos x sin x b) sin x sin x sin x sin x cos x cos x cos3 x cos x Giải a) Phương trình cos x cos x sin x cos x cos x 1 1 sin x 1 sin x 1 sin x cos x 1 1 sin x 1 sin x 2sin x cos x 2sin x cos x 1 sin x (1) 2sin x cos x 2sin x cos x (2) 12 k 2 Ta có (1) ; t sin x cos x sin x , t 4 Đặt (2): 2 2t t 1 t 2t sin x x 1 t sin x sin 4 Chọn x k 2 x k 2 4 3 x k 2 x k 2 , k Z 4 2 3 b) PT: cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x 1 cos x sin x 1 sin x cos x cos x sin x cos x sin x 2sin x cos x sin x cos x cos x sin x (1) sin x cos x sin x cos x (2) tan x x k Ta có (1) t sin x cos x sin x , t 4 Đặt PT t 4t t 3 (loại) t 1 3 x k 2 sin x sin x k 2 4 4 4 x k 2 k 2 Vậy phương trình có nghiệm : x k 2 k Z x k 2 x k 2 ; ; với Bài toán 4: Giải phương trình sau: a) sin x sin x sin 2 x sin x b) cos x cos 2 x cos x cos x Giải 2 2 a) sin x sin x sin x sin x 1 1 1 cos8 x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 2 2 cos8 x cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x sin x sin x x x k x k xk ,k Z x k xk cos x cos x cos x cos8 x 2 2 2 b) PT: cos x cos x cos x cos8 x cos x.cos x cos x.cos x 13 cos x cos x cos x cos x.cos x.cos x cos x cos x cos x x k x k x k 10 Bài toán 5: Giải phương trình sau: 6 a) 16 sin x cos x 1 3sin x b) sin x cos x cos x sin x Giải sin x sin x 3sin x 4sin x sin x cos x sin 2 x a) Ta có 16 sin 2 x 9sin x 12sin x sin x 4sin 2 x 4sin x 3 PT: sin x 4sin 2 x 4sin x (vô nghiệm) k x k x ,k Z sin x x k b) Điều kiện Phương trình: cos x cos x sin x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x sin x cos x 1 0 cos x sin x sin x cos x cos x sin x sin x cos x cos x 4 tan x tan cos x cos 4 x k x k 2 4 x k 2 x k x k 2 , k Z hoặc Các nghiệm thỏa mãn điều kiện Bài tốn 6: Giải phương trình: 5 7 sin x 3cos x 2sin x a) x x x sin sin x cos sin x cos 2 2 b) Giải a) Phương trình tương đương: cos x 3sin x sin x 2sin x 2sin x sin x 1 sin x sin x sin x x k x k 2 x k k Z x k 2 Vậy phương trình có nghiệm ; , 14 x x sin sin x cos sin x sin x 2 b) PT: x x sin x sin cos sin x 1 sin x x x sin cos sin x 2 (1) (2) Ta có (1) x k (2) tương đương: x x x x x sin 1 sin sin 2sin sin 2 2 x x x sin 1 2sin 2sin 1 2 x x x sin 2sin 2sin 2 (3) (4) x x sin k 2 x k 4 2 Ta có (3) Cịn phương trình (4) vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x k với k Z Bài tốn 7: Giải phương trình: 8cos3 x cos x 3 a) 2 b) cos x cos x cos x cos x 2sin x 1 Giải 3cos x cos x cos x 3 a) Phương trình cos x cos x cos x sin x cos x 3 cos x cos x sin x 2sin x sin x sin x 2sin x sin x 2sin x sin x Ta có: sin x x k x k 2sin x sin x sin x k 3 Và hay x k k Z x k x k Vậy phương trình có nghiệm: ; ; với b) Ta có phương trình tương đương: cos2 x cos4 x cos6 x cos4 x 2sin x 1 cos x cos x cos x cos x 2sin x 1 cos x cos x cos x cos x 2sin x 1 cos x cos x 1 cos x 2sin x 1 cos x cos x sin x cos x cos x sin x x k x k k k k k Z x x x 8 , Bài tốn 8: Giải phương trình: 15 a) sin x cos x cos x sin x cos x 3 5 b) sin x cos x sin x cos x Giải a) PT: 1 cos x sin x cos x cos x sin x 2sin x sin x 2sin x sin x 2sin x cos x sin x 2sin x 2sin x cos x sin x (1) 2(sin x cos x ) 2sin x (2) Ta có: (1) x k t sin x cos x sin x , t 4 Đặt (2): 1 1 2t 2t t t 2 1 t sin x 4 Khi 1 sin x sin x k 2 ; x k 2 4 2 Khi t 1 sin x 4 1 sin x sin x k 2 ; x k 2 4 2 Vậy nghiệm phương trình là: x k x k 2 ; x k 2 x k 2 ; x k 2 ; ; với sin 1 2 , 1 2 3 b) Ta có sin x cos x sin x cos x 1 sin x cos x sin sin x cos5 x sin x cos x 1 sin x cos x sin x cos x Nên phương trình đề tương đương sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x sin x cos x sin x tan x 1 sin x k x k x ,k Z Dạng toán PHƯƠNG TRÌNH ĐÁNH GIÁ VẾ A A2 B B M A M Dấu = xảy A M B M Dấu = xảy B n m nm Với T T T Với A B A 1 A 1 A B ; A B 2 B B 1 Bất đẳng thức Côsi: với a, b, c 16 ab ab ab Dấu = xảy ; abc abc abc Dấu = xảy Bài toán 1: Giải phương trình: 3sin x cos x Giải Ta có sin x cos x nên VT sin x Do dấu = xảy cox : vô nghiệm Bài tốn 2: Giải phương trình: sin x cos3 x Giải Ta có sin x sin x cos x cos x nên VT sin x cos x Do dấu = xảy nên x 2k , k Z sin x sin x x k 2 cos x cos x 3 Bài toán 3: Giải phương trình: sin 2016 x cos 2016 x Giải 2016 Ta có cos x cos x , dấu = xảy cos x cos x 1 Và sin 2016 x sin x , dấu = xảy sin x sin x 1 Nên sin 2016 x cos 2016 x sin x cos x sin x k x ,k Z Do đó, phương trình tương đương với : cox Bài tốn 4: Giải phương trình: cos x cos x Giải PT: cos x cos x cos x cos x Ta có cos x cos x nên VT Do dấu = xảy nên 2 cos x 3 x k 2 x k x m2 , m Z cos x x m2 x m2 Bài tốn 5: Giải phương trình: cos x sin x sin x cos x Giải 3 cos x sin x sin x cos x 2 2 PT: sin x sin x 6 6 VP sin x sin x 6 6 Vì với x nên Do phương trình đề tương đương sin x 2 x k 2 sin x x k 2 6 17 x k x k 2 , k Z x k 2 Bài toán 6: Giải phương trình: sin x cos8 x sin10 x cos10 x cos x Giải sin x 2sin x 1 cos8 x cos x 1 cos x PT: 5 cos8 x cos x sin x cos x cos x cos x cos8 x sin8 x 4 cos x sin x cos8 x (2) (1) k x k x Ta có (1) VT 1; VP Phương trình (2) vơ nghiệm k x , k Z Vậy phương trình có nghiệm: Bài tốn 7: Giải phương trình: 4cos2 x 3tan x cos x tan x Giải sin x ĐK: Phương trình tương đương cos x cos x cos x tan x tan x tan x x k 2 cos x x k 2 , k Z tan x x k Bài tốn 8: Giải phương trình: 1 sin y cos x sin x 8 cos x sin x Giải k x Ta có Điều kiện: VT cos x sin x 1 sin x cos x 16 1 2sin x cos x 1 2sin x cos x 16 17 1 sin 2 x 1 1 1 16 sin x k sin 2 x cos2 x x k x Dấu “=” xảy khi: 18 Và VP sin y 17 8 2 sin y y m2 Dấu “=” xảy khi: k, m Z k x y m2 Vậy nghiệm: với Dạng toán ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM Phương trình: vơ nghiệm m > , phương trình có nghiệm m £ cosx = m Phương trình: vơ nghiệm m > , phương trình có nghiệm m £ Phương trình: tan x = m ln ln có nghiệm với m Phương trình: cot x = m ln ln có nghiệm với m 2 Phương trình Acosu+ Bsinu = C có nghiệm A + B ³ C Bài tốn 1: Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm: 5cos2x = 2m- a) b) 2( m- 7) cot x + = m sin x = m Giải 5cos2x = 2m- Û cos2x = 2m- a) Điều kiện có nghiệm: 2m- - 1£ £ Û - £ 2m- £ Û - £ 2m £ Û - £ m £ b) 2( m- 7) cot x + = m Û 2( m- 7) cot x = m- Xét m= phương trình vơ nghiệm m¹ m- cot x = 2( m- 7) Xét phương trình: Vì cot x có giá trị từ - ¥ đến + ¥ nên phương trình ln có nghiệm với m Vậy điều kiện có nghiệm m¹ Bài tốn 2: Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm: 2 a) sin x + ( m- 2) sin x - 2m = b) m.tan x + 2( m- 3) tan x + m+ = Giải a) Ta có sin x + ( m- 2) sin x - 2m = Û ( sin x - 2)( sin x + m) = Û sin x = sin x = - m Vì phương trình sin x = > vơ nghiệm nên phương trình cho có nghiệm phương trình sin x = - m có nghiệm Û - £ - m £ Û - £ m £ m= - 6tan x + = Û tan x = : có nghiệm b) Xét phương trình: Xét m¹ phương trình bậc theo t = tan x : m.t + 2( m- 3) t + m + = có nghiệm D Â 0, m 2 ( m- 3) - m( m + 4) ³ 0, m ¹ Û - 10m ³ 0, m ¹ Û m £ , m¹ 10 , m¹ 10 Vậy phương trình cho có nghiệm Bài tốn 3: Cho phương trình cos4x + 6sin x cos x = m a) Giải phương trình m= m£ 19 é pù ê0, ú ú b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc ê ë û Giải Phương trình tương đương: 1- 2sin 2x + 3sin2x = m t = sin2x Đặt , điều kiện t £ phương trình trở thành - 2t + 3t + = m a) Với m= : ta phương trình - 2t + 3t + = Û 2t - t = Û t= Û sin2x = t= sin2x = 2 hoặc kp p 7p Û x= x = + kp x= + kp 6 kỴ Z kp p 7p x= x = + kp x = + kp ; 6 Vậy phương trình có nghiệm: ; , é pù p x Ỵ ê0, úÛ £ 2x £ Û £ t = sin2x £ ê b) Với ë 4ú û Bài toán trở thành tìm m điều kiện để phương trình - 2t + 3t + = m có hai nghiệm thỏa mãn: £ t1 < t2 £ y = f ( t ) = - 2t + 3t + 1, £ t £ Xét parabol có bề lõm hướng xuống hồnh độ đỉnh ỉ3ư 17 ÷Û < m < f (1) < m < f ỗỗ ữ ỗố4ữ ữ ứ Do điều kiện: Bài tốn 4: Xác định m để phương trình sau có nghiệm: 3sin2x - 4cos2x = m a) b) ( m- 1) cos x + ( m + 4) sin x = 25 t= Giải 2 a) Phương trình có nghiệm a + b ³ c Û + 16 ³ m2 Û m2 £ 25 Û - £ m £ 2 b) Phương trình có nghiệm a + b ³ c 2 Û ( m- 1) + ( m + 4) ³ 25 Û 2m2 + 6m- ³ Û m £ - m³ Bài tốn 5: Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m: ( m- 1) cos x + ( m+ 3) sin x = Tìm nghiệm Giải 2 Ta có ( m- 1) + ( m + 3) = 2m + 4m + 10 nên phương trình tương đương với m- m+ cos x + sin x = 2m2 + 4m + 10 2m2 + 4m + 10 2m2 + 4m + 10 a 2 ỉ ỉ m- m + ữ ữ ỗỗ ỗ ữ ữ + ỗỗ ữ ữ=1 ỗỗ ữ ỗ 2m2 + 4m + 10 ÷ ÷ ÷ è ø è ø m + m + 10 Vì nên tồn số cho m- m+ cosa = ; sin a = 2m2 + 4m + 10 2m2 + 4m + 10 Phương trình viết thành 20 cos( x - a ) = 2m2 + 4m + 10 2 Vì 2m + 4m + 10 ln có nghiệm £ Û m2 + 2m + ³ Û ( m + 1) + ³ : với m, nên phương trình x = a ± arccos + k2p , k Ỵ Z 2m2 + 4m + 10 Nghiệm Bài tốn 6: Xác định m để phương trình sau có nghiệm: ( 2m+ 1) sin2 x - msin2x + cos2x = Giải Ta viết lại phương trình ( 2m+ 1) sin2 x - 2msin x cos x + cos2 x - sin2 x = Û 2msin2 x - 2msin x cos x + cos2 x = Vì sin x = khơng thỏa mãn phương trình, nên chia hai vế phương trình cho sin2 x ¹ ta phương trình tương đương, 2m- 2m cot x + cot x = Đặt t = cot x phương trình t - 2mt + 2m = Ta có D ¢= m2 - 2m Điều kiện phương trình có nghiệm: D ¢³ Û m2 - 2m ³ Û m £ m³ Bài toán 7: Xác định a để hai phương trình sau tương đương 2cos x cos2x = 1+ cos2x + cos3x (1) 4cos2 x - cos3x = a cos x + ( - a)(1+ cos2x) (2) Giải (1) Û cos x + cos3x = 1+ 2cos x - 1+ cos3x Û cos x = 2cos2 x Û cos x = cos x = Û 4cos x - ( 4cos x - 3cos x) = a cos x + 2( - a) cos2 x (2) Û 4cos3 x + ( - 2a) cos2 x + ( a - 3) cos x = Û cos x ( 2cos x - 1) é 2cos x - ( a - 3)ù = ê ú ë û Û cos x = a- cos x = cos x = Hai phương trình cho tương đương a- a- = 0Û a= = Û a= Hoặc: ; a- a- > 1Û a> < - 1Û a < Hoặc: a = Vậy hai phương trình tương đương khi: a = a < a > Dạng toán TỐN ỨNG DỤNG Giải phương trình, hệ phương trình đại số Lượng giác hóa: đưa hàm số lượng giác vào toán đại số x = cost x = sin t - Nếu x £ đặt hay x = r cost x = r sin t - Nếu x £ r , r > đặt hay 21 2 y = cost - Nếu x + y = đặt x = sin t 2 y = r cos t - Nếu x + y = r đặt x = r sin t 1 x³ x= sin t hay cost - Nếu đặt x = tan a hay x = cot a x Ỵ R - Nếu đặt Tính góc tam giác, dạng tam giác ABC Cho tam giác ABC gọi cạnh a, b, c đối diện với góc A, B, C, ìï A, B, C > A+ B p C ïí A + B = p - C, = ïïỵ A + B + C = p nên có 2 ,… a b c = = = 2R Định lý sin: sin A sin B sin C 2 2 2 Định lý cosin: a = b + c - 2bc.cosA ; b = c + a - 2ca.cosB ; c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC Dùng hệ thức bản, công thức lượng giác, … để biến đổi đưa phương trình lượng giác để tính góc tam giác, dạng loại tam giác cân, vng, đều,… Bài tốn 1: Giải phương trình: 8x - 6x + = Giải 8x3 - 6x + = Û 4x3 - 3x = - 5p = cos Ta có: x = cos3t Xét x £ đặt 5p 5p cos3t = cos Û 3t = ± + k2p 18 với k ngun Từ phương trình bậc có nghiệm 5p 17p 29p x1 = cos , x2 = cos , x3 = cos 18 18 18 0< x < 8x 1- 2x )( 8x4 - 8x2 + 1) = Bài toán 2: Giải phương trình: ( với Giải x = sin t p 0< t < phương trình trở thành Đặt , với 8sin t cos2t ( 8sin4 t - 8sin2 t + 1) = Û 8sin t cos2t é 8sin2 t ( sin2 t - 1) + 1ù =1 ê ú ë û Û 8sin t cos2t (1- 2sin2 2t ) = Û 8sin t cos2t.cos4t = æp Û 8sin t.cos2t.cos4t.cost = cost Û sin8t = cost = sinỗỗ ỗố2 ữ tữ ữ ữ ứ p k2p p k2p + t= + , kỴ Z 18 14 p 0< t < , suy có bốn nghiệm thích hợp là: Từ điều kiện p 5p p 5p x = sin ; x = sin ; x = sin ; x = 18 18 14 14 Û t= Bài toán 3: Giải phương trình 1+ x - - 1£ x £ Điều kiện; 1- x = x Giải é pù x = cos2t , t Ỵ ê0, ú ê nên đặt ë 2ú û 22 Phương trình trở thành 1+ cos2t - 1- cos2t = cos2t sin t = cos2 t - sin2 t Û cost = Û ( cost - sin t ) = ( cost + sin t )( cost - sin t ) ỉ pư ỉ p ưỉ ỉ p ỉ pư ÷ ççt - ÷ ççt - ÷ ççt + ÷ ÷ cos ữ= ữ ữ ữ cosỗỗt + ữỗ cos = cos = ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗố ữ ữ ỗố ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ố 4ứ ữ ứ øè è 4ø ø x= - x= p p t= t= Vậy nghiệm Chọn nghiệm , Bài toán 4: Giải phương trình x3 + (1- x ) = x 2(1- x2 ) Giải é ù Điều kiện: x £ nên đặt x = cosu, u Ỵ ë0, p û Phương trình trở thành cos3 u + sin3 u = Đặt t = sin u + cosu, t £ sin u cosu (1) (1) Û ( sin u + cosu)(1- sin u cosu) = sin u cosu ỉ t - 1ư t2 - ữ ữ t ỗỗỗ1= t + 2t - 3t - = ữ ỗố ÷ ø ( Û t- )( ) t + 2t + = Û t = Chọn hai nghiệm t = Vậy nghiệm x= t = 1- 1; x= 2- hay t= - 2± 2- sinA + sinB- cosC = Bài toán 5: Hãy tính góc tam giác ABC có: Giải sinA + sinB- cosC = Ta có A+ B A- B C Û 2sin cos - 2cos2 = 2 2 C C A- B Û cos2 - cos cos + = 2 é C A- B ù ỉ A- Bư ÷ ú + sin çç ÷ Û êcos - cos = ÷ ê ỳ ỗ ỷ ố ữ ứ 2 ì ìï ïï cos C = cos A - B ïïï A = B = p ï 2 Û ïï Û ïí í ïï ï A- B ïï C = 2p sin = ïï ïỵï ỵï p 2p A= B= C= Vậy góc Bài tốn 6: Tính góc C tam giác ABC biết rằng: (1+ cotA )(1+ cot B) = Giải Tam giác ABC có hệ thức cot A cot B cot B cot C cot C cot A Nên từ giả thiết cot A cot B cot A cot B 23 cot A cot B cot A cot B cot A cot B cot B cot C cot C cot A Nên cot A cot B cot B cot C cot C cot A cot C cot A cot B cot A cot B cot C 1 Giả sử cot A cot B cot A cot B A B 180 : vô lý nên cot C C 45 Bài toán 7: Chứng minh tam giác ABC vuông cân a cos B b cos A a sin A b sin B Giải Hệ thức đề tương đương với sin A cos B sin B cos A sin A sin A sin B sin B 1 sin A B 1 cos A 1 cos B 2 sin A B cos B cos A sin A B sin A B sin A B sin A B A B A B / sin A B tam giác ABC vuông cân đỉnh C B ac cot b Bài toán 8: Xét dạng tam giác ABC thỏa mãn Giải B ac cot b Áp dụng hàm số sin, ta có: B AC AC cos 2sin cos sin A sin C 2 B B B sin B sin 2sin cos 2 AC AC cos sin 2 A C A C A C A C cos cos sin sin sin cos cos sin 2 2 2 2 C A A C sin cos sin cos 2 2 C A C A tan tan 45 45 2 hoặc Vậy tam giác ABC vuông A hay C B sin A sin C sin 2sin A Bài toán 9: Xét dạng tam giác ABC thỏa mãn: Giải B sin A sin C cos B sin A sin C sin 2sin A 2sin A Ta có sin C sin A cos B sin A B sin A cos B sin B cos A cos A A 90 Vậy tam giác ABC vuông A cos A cos B cos C Bài toán 10: Xét dạng tam giác ABC thỏa mãn: Giải 24 cos A cos B C cos B C Ta có 4 cos A cos B C cos A cos A cos B C cos A cos A cos B cos C cos A cos B C sin B C 2cos A cos( B - C ) sin( B - C ) BC cos A B C A 60 Vậy tam giác ABC Bài tập 1: Giải 3sin x cos x tan x a) BÀI TẬP TỔNG HỢP phương trình: tan x tan x 4 b) HD – ĐS x k , x k , k Z b) Kết 2 k , k Z a) Kết Bài tập 2: Giải phương trình: a) 9sin x cos x 3sin x cos x cot x cot x cot x cot x 6 6 b) HD – ĐS x k 2 , k Z a) Kết x k , x k , k Z b) Kết Bài tập 3: Giải phương trình: a) tan x tan x tan x b) tan x tan x tan x HD – ĐS k x , k Z a) Kết k x k , x , k Z b) Kết Bài tập 4: Giải phương trình: sin x sin x sin x 3 6 a) cos x cos x 3 b) HD – ĐS k 2 x ,x k , x k 2 , k Z 18 3 a) Kết 2 2 2 x k 2 , x k 2 , x 2k , k Z 3 b) Kết Bài tập 5: Tìm điều kiện phương trình sau có nghiệm: 6 a) m.sin x 2m 1 sin x m b) sin x cos x m sin x HD – ĐS a) Kết m 2 25
Ngày đăng: 07/04/2022, 21:45
Xem thêm: