Phát triển năng lực mô hình hoá toán học thông qua dạy học chủ đề hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhằm phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh lớp 9

Nghiên cứu được thực hiện nhằm thực hiện các nhiệm vụ chính như sau: (1) Nghiên cứu cơ sở lý luận về rèn luyện năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh thông qua dạy học nội dung hệ phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 9 (2) Nghiên cứu thực trạng của việc dạy học nội dung hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ở trường THCS hiện nay. (3) Thiết kế các tình huống dạy học chủ đề hệ phương trình bậc nhất hai ẩn như thế nào để phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh lớp 9. (4) Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm định tính hiệu quả và tính khả thi của phương pháp dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhằm góp phần phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh lớp 9

ĐỀ TÀI: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HOÁ TOÁN HỌC THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

2 ẨN LỚP 9

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 3

1 Lí do chọn đề tài 3

2 Mục đích nghiên cứu 6

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 6

4 Giả thuyết khoa học 6

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 6

5.1 Đối tượng nghiên cứu 6

5.2 Phạm vi nghiên cứu 6

5.3 Đối tượng khảo sát 6

6 Phương pháp nghiên cứu 6

6.1 Nghiên cứu lí luận 6

6.2 Quan sát – điều tra 6

6.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 6

6.4 Phương pháp thống kê toán học 7

7 Dự kiến kết quả nghiên cứu 7

7.1 Về mặt lí luận 7

7.2 Về mặt thực tiễn 7

8 Cấu trúc luận văn 7

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 8

1.1 Một số vấn đề về năng lực mô hình hoá toán học 8

1.1.1 Quan niệm về năng lực 8

1.1.2 Năng lực toán học 9

1.1.3 Năng lực mô hình hoá toán học 10

1.1.4 Biểu hiện năng lực mô hình hoá toán học 14

1.2 Tình huống dạy học 16

1.2.1 Quan niệm về tình huống dạy học 16

1.2.2 Một số yêu cầu trong việc thiết kế tình huống dạy học 18

1.3 Một số vấn đề về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 22

1.3.1 Vị trí, vai trò của chủ đề hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 22

1.3.2 Một số biểu hiện của năng lực mô hình hóa toán học trong học tập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Đại số 9 24

1.3.3 Tiềm năng phát triển năng lực mô hình hóa trong dạy hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Đại số 9 26

1.4 Thực trạng dạy học chương hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Đại số 9 29 1.4.1 Thực trạng việc dạy chủ đề phương trình bậc nhất hai ẩn 29

1.4.2 Thực trạng việc học chủ đề phương trình bậc nhất hai ẩn 38

CHƯƠNG 2: DẠY HỌC HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG MÔ HÌNH HÓA CHOHỌC SINH 9 44

2.1 Định hướng sư phạm trong việc thiết kế các tình huống dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Đại số 9 nhằm giúp học sinh phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh 44

2.1.1 Định hướng sư phạm trong thiết kế tình huống 44

2.1.2 Quy trình thiết kế tình huống dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học 47

2.2.Thiết kế tình huống dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học 49

2.2.1 Thiết kế tình huống dạy học khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 49

2.2.2 Thiết kế tình huống dạy học cách giải hệ phương trình bậc nhất hai

ẩn 53

2.2.3 Thiết kế tình huống dạy học ứng dụng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 57

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 61

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 61

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm 61

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 61

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 64

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 64

3.3.1 Đánh giá định tính 64

3.3.2 Đánh giá định lượng 65

Bảng 3.3: Đánh giá mức độ hứng thú của học sinh sau thực nghiệm 66

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 69

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 72

PHỤ LỤC 1 76

PHỤ LỤC 2 83

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Dạy học theo hướng tiếp cận năng lực là một xu hướng chung của cácnước trên thế giới, đồng thờiphù hợp với sự phát triển của khoa học kỹ thuật

Chương trình giáo dục phổ thông 2018 được xây dựng theo

hướng phát triển phẩm chất và năng lực người học, xác định: “Giáo dục toán học góp phần hình thành và phát triển cho học sinh các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học: tư duy và lập luận toán học, mô hình hoá toán học, giải quyết vấn đề toán học, giao tiếp toán học, sử dụng các công cụ và phương tiện học toán” [2] Một trong

những năng lực toán học cần tập trung phát triển trong dạy học mônToán là năng lực mô hình hóa toán học Phát triển năng lực mô hìnhhóa toán học có ý nghĩa quan trọng trong việc học toán, là cơ sở choviệc giải quyết vấn đề liên quan đến thực tiễn cũng như học các mônhọc khác

Trong chương trình Toán THCS, Hệ phương trình bậc nhất hai

ẩn là một chương khá quan trọng xuyên suốt từ cấp THCS đến cấpTHPT Nội dung hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có mối liên quan vớicácmôn học khác và giúp giải quyết nhiều vấn đề trong thực tiễn cuộcsống Khi học phần này, HS thường gặp khó khăn trong các bài toán cóliên quan đến thực tế đưa về giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhưkhông hiểu vấn đề đặt ra từ thực tế, khó khăn trong việc nhận ra cácmối liên hệ để thiết lập mô hình toán học, lựa chọn phương pháp giảiphù hợp Giáo viên ít tổ chức dạy phát triển năng lực mô hình hóa từbài toán thực tiễn cho học sinh mà giáo viên dạy cho học sinh cách tìmlời giải từ bài toán thuần tuý Một nguyên nhân cho khó khăn này đó lànăng lực mô hình hoá toán học bị hạn chế Vì vậy, nếu việc hình thành

và phát triển năng lực mô hình hoá cho HS sẽ góp phần giải quyết khókhăn trên.

Có nhiều công trình nghiên cứu liên quan đến việc dạy họcnhằmphát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh như:

* Nguyễn Thị Thu Ba (2019), Vận dụng mô hình hóa toán học trong dạy học chủ đề “Hàm Số Bậc Hai” (đại số 10), Luận văn thạc sĩ.

Trường Đại học Sài Gòn.Luận văn đãvận dụng quy trình dạy học môhình hóa toán học vào dạy học chủ đề Hàm số bậc hai và nêu cácnguyên tắc để mô hình hóa một bài toán

* Đỗ Thị Bích Định (2018), Phát triển năng lực mô hình hóa toánhọc cho học sinh trong dạy học đại số lớp 8, Luận văn thạc sĩ, TrườngĐại học Hùng Vương Luận văn đã đưa ra một số biện pháp để bồidưỡng năng lực mô hình hóa cho HS trong dạy Đại số lớp 8

* Bùi Văn Nam (2019), Dạy học đại số theo hướng phát triểnnăng lực mô hình hóa toán học cho HS THCS, Luận văn thạc sĩ,Trường Đại học Thái Nguyên Luận văn đã đưa ra một số biện pháp đểphát triểnnăng lực mô hình hóa cho HS trong dạy học cho HS THCS

* Thái Hán Nguyên (2020), Phát triển năng lực mô hình hóa toánhọc cho HS thông qua dạy học hàm số bậc nhất và bậc hai – đại số 10,Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Đồng Tháp Luận văn đã đưa ra 6định hướng và 5 giải pháp nhằmbồi dưỡng và phát triểnnăng lực môhình hóa cho HS thông qua chủ đề “hàm số bậc nhất và bậc hai” Đại số10

- Mai Thuỳ Linh (2019), Phát triển năng lực mô hình hoá toán học thông qua dạy học số học cho học sinh lớp 4, Luận văn thạc sĩ Giáo dục

học, Đại học Vinh

- Nguyễn Thị Tân An (2014), Sử dụng Toán học hóa để phát triển các năng lực hiểu biết định lượng của học sinh lớp 10, Luận án

tiến sĩ Giáo dục học, trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh,

- Huỳnh Quang Nhật Linh (2013), Phát triển năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn cho học sinh tiểu học thông qua dạy học các yếu tố thống kê, Luận văn thạc sĩ Giáo dục học, Đại học Sư phạm – Đại

- Nguyen Danh Nam (2016), "Modelling in Vietnamese School

Mathematics", International Journal of Learning, Teaching and Educational Research,Vol 15, No 6, pp, 114 – 126.

- Nguyễn Danh Nam (2016), "Năng lực mô hình hóa của giáo

viên toán phổ thông", Tạp chí Giáo dục, số 380 (kì 2 – 4/2016), tr.43 –

49

- Nguyễn Danh Nam (2015), "Năng lực mô hình hóa toán học của

học sinh phổ thông", Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Hà Nội, tập 60,

số 8, tr.44 - 52

-Nguyễn Danh Nam (2013), "Phương pháp mô hình hóa trong

dạy học tooánở trường phổ thông", Kỉ yếu hội thảo khoa học cán bộ trẻ các trường sư phạm toàn quốc, NXB Đà Nẵng, tr.512 – 516.

- Nguyễn Danh Nam (2015), "Quy trình mô hình hóa trong dạy

học toán ở trường phổ thông", Tạp chí Khoa học Đại học Quốc gia Hà Nội: Nghiên cứu Giáo dục, tập 31, số 3, tr.1 – 10.

- Nguyễn Danh Nam (2015), "Thiết kế hoạt động mô hình hóa

trong dạy học môn Toán", Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Hà Nội,

tập 60, số 8A, tr.152 – 160

Tuy nhiên, chưa có nghiên cứu nào nghiên cứu về phát triểnnăng lực mô hình hoá toán học thông qua dạy học chủ đề hệ phươngtrình bậc nhất hai ẩn nhằm phát triển năng lực mô hình hóa cho họcsinh lớp 9

Từ những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Phát triển năng lực mô hình hoá toán học thông qua dạy học chủ đề hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhằm phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh lớp 9”.

2 Mục đích nghiên cứu

Thiết kế các tình huống dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩnnhằm góp phần phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinhlớp 9 và nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn Toán ở trường trunghọc phổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu được thực hiện nhằm thực hiện các nhiệm vụ chính nhưsau:

(1) Nghiên cứu cơ sở lý luận về rèn luyện năng lực mô hình hoá toánhọc cho học sinh thông qua dạy học nội dung hệ phương trình bậc nhấthai ẩn lớp 9

(2) Nghiên cứu thực trạng của việc dạy học nội dung hệ phương trìnhbậc nhất hai ẩn ở trường THCS hiện nay

(3) Thiết kế các tình huống dạy học chủ đề hệ phương trình bậc nhấthai ẩn như thế nào để phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho họcsinh lớp 9

(4) Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm định tính hiệu quả và tính khả thicủa phương pháp dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhằm gópphần phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh lớp 9

4 Giả thuyết khoa học

Nếu thiết kế tình huống dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩnphù hợp nhằm phát triển năng lựcmô hình hóa toán học cho học sinhlớp 9 thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán cho HS

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

5.1 Đối tượng nghiên cứu

Các hoạt động giảng dạy để phát triển năng lực mô hình hóa toánhọc được thể hiện qua dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cho họcsinh lớp 9

5.2 Phạm vi nghiên cứu

Luận văn tập trung nghiên cứu các biện pháp nhằm để phát triểnnăng lực MHHcho học sinh thông qua dạy học hệ phương trình bậcnhất hai ẩn cho học sinh lớp 9

5.3 Đối tượng khảo sát

Học sinh khối 9 trường THCS …………và giáo viên dạy khối 9

ở một số trường THCS trên địa bàn……

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Nghiên cứu lí luận

Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục, lí luận dạy học bộ môn Toánliên quan đến năng lực mô hình hóa Các công trình nghiên cứu về pháttriển năng lực mô hìnhhóa cho học sinh thông qua dạy học hệ phươngtrình bậc nhất hai ẩn Đại số 9 trong chương trình giáo dục phổ thôngmôn Toán 2018

6.2 Quan sát – điều tra

Dự giờ, điều tra, trao đổi với một số giáo viên dạy toán lớp 9 vềthực trạng việc rèn luyện khả năng mô hình hóa liên quan hệ phươngtrình bậc nhất hai ẩn Đại số 9 ởtrường THCS ………và giáo viên dạykhối 9 ở một số trường THCS trên địa bàn huyện……

6.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Quan sát quá trình học tập của học sinh trong các giờ học màgiáo viên dạy thực nghiệm sư phạm với lớp thực nghiệm và lớp đốichứng trêncùng một đối tượng Thu thập kết quả, thống kê, phân tích sosánh để đánh giácác biện pháp đề xuất

6.4 Phương pháp thống kê toán học

Phát phiếu thăm dò, phân tích định tính, định lượng và rút ra kếtluận

7 Dự kiến kết quả nghiên cứu

7.1 Về mặt lí luận

- Xác định các thành tố cơ bản của năng lực mô hình hóa trongdạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Đại số 9

- Đề xuất một số biện pháp nhằm phát triển năng lực MHH trongdạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Đại số 9

7.2 Về mặt thực tiễn

- Nâng cao hiệu quả dạy và học nội dung hệ phương trình bậc nhất hai

ẩn Đại số 9, tăng cường tính ứng dụng thực tiễn của toán học trong chươngtrình môn Toán ở trường THCS

- Kết quả luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV và HStrong quá trình giảng dạy và học tập môn Toán ở trường THCS

8 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luậnvăn gồm 3 chương cụ thể như sau:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhằm phát triển năng môhình hóa cho học sinh 9

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Một số vấn đề về năng lực mô hình hoá toán học

1.1.1 Quan niệm về năng lực

Thuật ngữ về năng lực được quan tâm rất sớm từ những năm 1970, córất nhiều khái niệm được đưa ra xuất phát từ nhiều hướng tiếp cận trong nhữngbối cảnh khác nhau McClelland (1973) mô tả “năng lực như là một đặc tính cơbản để thực hiện công việc” Boyatzis (1982) mở rộng thêm định nghĩa củaMcClelland và quan niệm rằng “năng lực như là các đặc tính của một cá nhân

có liên quan đến việc thực hiện công việc đạt hiệu quả cao” Spencer andSpencer (1993) dựa trên định nghĩa về năng lực của Boyatzis và mô tả “nănglực như là đặc tính cơ bản của một cá nhân (kiến thức, kỹ năng, thái độ, động

cơ, nét tiêu biểu và ý niệm về bản thân) có liên quan đến các tiêu chí đánh giáhiệu suất công việc” [39] Tương tự, Dubois (2004) định nghĩa “năng lực là cácđặc tính mà cá nhân có được và sử dụng chúng trong những ngữ cảnh thích hợpvà nhất quán để đạt được kết quả mong muốn” Những đặc tính này bao gồmkiến thức, kỹ năng, động cơ, nét tiêu biểu, cách suy nghĩ, cảm nghĩ, hànhđộng… [Error: Reference source not found]

Đặt trên quan điểm chung về năng lực trong giảng dạy các môn họcphổ thông, Christian Delory cho rằng năng lực là “tập hợp đầy đủ các kiếnthức, kỹ năng làm việc, kỹ năng sống giúp thích nghi, giải quyết vấn đề vàthực hiện dự án trong một tình huống nào đó” (Christian Delory, 2000).Khái niệm này cho chúng ta thấy đầy đủ hơn về các yếu tố cấu thành “năng

lực” Như vậy, năng lực trước tiên là một tập hợp của các yếu tố “kiến thức” và “kỹ năng” để thực hiện một việc gì đó (giải quyết vấn đề hay thực hiện dự án) nhưng phải đặt trong một “tình huống” cụ thể Khái niệm này

đưa ra có tính bao hàm đầy đủ các yếu tố cấu thành đối tượng của việc học,dạy trong trường học [Error: Reference source not found]

* Phân loại năng lực:

Tùy theo quan điểm tiếp cận mà người ta chia năng lực thành các dạngthức khác nhau và theo đó cũng xuất hiện nhiều kiểu năng lực khác nhau Tuynhiên, phổ biến nhất vẫn là cách phân loại năng lực thành năng lựcchung và năng lực riêng (còn gọi là năng lực chuyên biệt)

Cũng trong lĩnh vực giáo dục, khi tiến hành xây dựng chương trình vàđánh giá chất lượng đào tạo đại học theo quan điểm tiếp cận kết quả đầu ra, cácnhà nghiên cứu và quản lý giáo dục cũng đã đề cập và tiến hành phân loại nănglực, theo hướng này Deborah Nusche (thuộc OECD) [Error: Reference sourcenot found], đã chia năng lực đầu ra thành: năng lực nhận thức và năng lực phinhận thức

Cùng hướng tiếp cận kết quả đầu ra trong giáo dục, năng lực đầu ra cònđược thành 3 nhóm [Error: Reference source not found]:

- Năng lực nhận thức: Những năng lực này đóng góp vào mục tiêu phát

triển kiến thức cá nhân, đồng thời cũng là những yếu tố hỗ trợ giúp ta áp dụngthành công những kiến thức sẵn có

- Năng lực thái độ: Đó là các hành động, giá trị và chuẩn mực nhằm chỉ

ra hoặc tạo ra hiệu suất cao, đồng thời cũng cho thấy các loại kiến thức khácnhau đã được người học phát triển một cách hữu hiệu như thế nào

- Năng lực nghề nghiệp: Kiến thức chuyên biệt về các nguồn thông tin,

khả năng tiếp cận, công nghệ, dịch vụ, quản lý, cùng khả năng đánh giá cóphê phán một cách hiệu quả, chọn lọc và sử dụng kiến thức này để hoàn thànhnhững công việc cụ thể và đạt đến những kết quả mong muốn

1.1.2 Năng lực toán học

Quan niệm về năng lực toán học của HS theo nghiên cứu của V.AKrutexki cho rằng: “Năng lực học tập toán học là đặc điểm tâm lí cá nhân

(trước hết là đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng nhu cầu hoạt động học toánvà giúp cho việc nắm giáo trình toán một cách sáng tạo, giúp cho việc nắmmột cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kĩ năng và kĩ xảotoán học” [39] Đây là cơ sở cho định hướng phát hiện và bồi dưỡng HS giỏitoán của Phạm Văn Hoàn [15] và Hoàng Chúng [10] Ý tưởng này đã dược cụthể phần nào trong các nghiên cứu về năng lực toán học của Trần Luận [22]và của Trần Đình Châu [8]

Cho đến nay, quan niệm năng lực toán học đã có những thay đổi, pháttriển đáng kể Một trong những nguyên nhân quan trọng cho sự thay đổi đó là

do quan niệm về mục tiêu giáo dục toán học đã có sự điều chỉnh để phù hợphơn với yêu cầu của sự phát triển kinh tế xã hội

Trong bối cảnh đó, Niss Mogens từ dự án nghiên cứu về năng lực toánhọc tại Đan Mạch cuối thế kỉ 20, đã đưa quan niệm về năng lực toán học đượcPISA lựa chọn ([53], [54]) Theo đó, PISA 2015 quan niệm: Năng lực toánhọc là khả năng cá nhân biết lập công thức (formulate), vận dụng (employ) vàgiải thích (explain) toán học trong nhiều ngữ cảnh Nó bao gồm suy luận toánhọc và sử dụng các khái niệm, phương pháp, công cụ toán học để mô tả, giảithích và dự đoán các hiện tượng Nó giúp con người nhận ra vai trò của toánhọc trên thế giới và đưa ra phán đoán, quyết định của công dân biết góp ý,tham gia và suy ngẫm” ([11], [30]) Đây cũng là quan niệm về năng lực toánhọc được chúng tôi sử dụng trong nghiên cứu của Luận văn

1.1.3 Năng lực mô hình hoá toán học

Theo từ điển Tiếng Việt, mô hình là "hình thức diễn đạt hết sức ngắngọn theo một ngôn ngữ nào đó các đặc trưng chủ yếu của một đối tượng đểnghiên cứu đối tượng ấy" [19, tr 617]]

Theo Nguyễn Danh Nam (2016), "Mô hình có thể hiểu là đối tượng vật

lý (ví dụ mô hình hình không gian), mô hình trong trí não sử dụng trong nhiềungữ cảnh học tập khác nhau hoặc mô hình tổng quát (như hệ tiên đề của hìnhhọc Ơcơlít)" [13, tr 15]

Như vậy, mô hình chứa đựng các đặc trưng của đối tượng thực tế.Thông qua việc thao tác trên mô hình, ta có thể khám phá được những thuộctính, bản chất của đối tượng mà không cần đến vật thật Có 2 loại mô hình chủyếu: (1) Mô hình trực quan (theo ý nghĩa vật lý) là bản sao thu nhỏ mangnhững đặc điểm đặc trưng của đối tượng thực tế mà mô hình đó biểu diễn(chẳng hạn như các hình phẳng, hình khối, mô hình đồng hồ trong bộ đồdùng môn Toán ở tiểu học); (2) Mô hình lý thuyết (mô hình trừu tượng) là tậphợp các quy tắc biểu diễn một sự vật, hiện tượng trong đầu của người quan sát(chẳng hạn đồ thị, bảng biểu, sơ đồ, biểu thức đại số ) Khi các quy tắc đó làquy tắc toán học thì một mô hình toán học được tạo ra [13]

Theo Nguyễn Danh Nam (2015), "Mô hình sử dụng trong dạy toán làmột mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả về một hệ thốngnào đó Nó có thể hiểu là các hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình,hệ phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hay thậm chí cả các mô hình ảotrên máy vi tính" [17] Trong dạy học toán ở tiểu học, ta có thể liệt kê 5 loại

mô hình sau đây:

- Mô hình số học là mô hình được biểu diễn bởi bảng phép toán, bộ số

có thứ tự;

- Mô hình hình học là mô hình được biểu diễn bởi các hình hình học;

- Mô hình được biểu diễn bởi sơ đồ biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng;

- Mô hình đại số giải tích là mô hình được biểu diễn bởi một số loạiphương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tập hợp ở tiểu học (yếu tố

phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tập hợp được dạy 1 cáchkhông tường minh thông qua những bài toán tìm thành phần chưa biết củaphép toán, giải bài toán bằng phương pháp đại số )

- Mô hình thống kê là mô hình đưược biểu diễn bởi các biểu đồ, bảngthống kê

- Mô hình hỗn hợp bao gồm các loại mô hình nêu trên

a) Quan niệm về mô hình hóa toán học

Theo Edwards và Hamson (2001) "Mô hình hóa toán học là quá trình

chuyển đổi một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập vàgiải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh

thực tế, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận" [trích theo 13].

Theo Lê Thị Hoài Châu (2015), "Mô hình toán học là sự giải thích bằngtoán học cho một hệ thống ngoài toán học với những câu hỏi xác định màngười ta đặt ra trên hệ thống này Quá trình mô hình hóa toán học là quá trìnhthiết lập một mô hình toán học cho vấn đề ngoài toán học, giải quyết vấn đềtrong mô hình đó rồi thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cảitiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận" [4]

Theo Nguyễn Danh Nam (2016), "Mô hình hóa toán học là toàn bộ quátrình chuyển đổi vấn đề thực tế sang vấn đề toán học và ngược lại cùng với mọithứ liên quan đến quá trình đó, từ bước xây dựng lại tình huống thực tế, quyếtđịnh một mô hình toán phù hợp, làm việc trong môi trường toán, giải thíchđánh giá kết quả liên quan đến tình huống thực tế và đôi khi cần phải điềuchỉnh các mô hình, lặp lại quá trình nhiều lần cho đến khi có được một kết quảhợp lý" [13]

Như vậy, mô hình hóa toán học là một hoạt động phức hợp bao gồm sựchuyển đổi giữa toán học và thực tế theo cả hai chiều, đòi hỏi HS phải vậndụng linh hoạt các thao tác tư duy phân tích tổng hợp, so sánh, tương tự, kháiquát hóa, trừu tượng hóa, có khả năng sử dụng tốt hệ thống ngôn ngữ toán họcvà có kiến thức liên quan đến các tình huống thực tế được xem xét.

Trong đề tài để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi sử dụng thuậtngữ "mô hình hóa", viết tắt là MHH, thay cho thuật ngữ "mô hình hóa toánhọc"

b) Quá trình mô hình hóa toán học

Tùy thuộc vào cách tiếp cận, mức độ phức tạp của tình huống thực tếđược xem xét, hoặc mục đích nghiên cứu, các tác giả thường sử dụng các sơ

đồ khác nhau để chỉ ra bản chất của quá trình MHH, nhưng tất cả sơ đồ đềunhằm minh họa cho quá trình bắt đầu với một tình huống thực tế và kết thúcvới việc đưa ra lời giải hoặc lặp lại quá trình để đạt được kết quả tốt hơn.Theo Nguyễn Danh Nam (2016), quá trình mô hình hoá trong dạy học môntoán ở phổ thông diễn ra theo các bước sau đây:

- Bước 1 (Toán học hóa): Hiểu vấn đề thực tiễn, xây dựng các giả

thuyết để đơn giản hóa vấn đề, mô tả và diễn đạt vấn đề bằng các công cụ vàngôn ngữ toán học Đây là quá trình chuyển các vấn đề từ thực tiễn sang toánhọc bằng cách tạo ra các mô hình toán học tương ứng của chúng Quá trìnhnày đòi hỏi phải hiểu vấn đề, có thể là vấn đề mở hoặc có độ phức tạp khácnhau, lập các giả thuyết, đơn giản hóa vấn đề để có thể giải được bài toán, xácđịnh các khái niệm toán học liên quan, các biến số, biểu diễn vấn đề bằngngôn ngữ toán học và lập mô hình toán học như bảng biểu, hình vẽ, đồ thị,hàm số hay phương trình hay công thức toán học

- Bước 2 (Giải bài toán): Sử dụng các công cụ và phương pháp

toánhọc thích hợp để giải quyết vấn đề hay bài toán đã được toán học hóa.Yêu cầu học sinh lựa chọn, sử dụng các phương pháp và công cụ toán họcthích hợp để thành lập và giải quyết vấn đề sử dụng ngôn ngữ toán học Ở giaiđoạn này, công nghệ thông tin sẽ hỗ trợ học sinh phân tích dữ liệu, thực hiệntính toán phức tạp và đưa ra đáp số của bài toán

- Bước 3 (Thông hiểu): Hiểu ý nghĩa lời giải của bài toán đối với tình

huống trong thực tiễn (bài toán ban đầu), trong đó cần nhận ra được nhữnghạn chế và khó khăn có thể có khi áp dụng kết quả này vào tình huống thựctiễn

- Bước 4 (Đối chiếu): Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế

của mô hình toán học cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ vàphương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đãxây dựng Đây là giai đoạn đòi hỏi học sinh có hiểu biết rõ về các công cụtoán học cũng như việc sử dụng nó để giải quyết các vấn đề nảy sinh trongcuộc sống Từ đó, xem lại các phương pháp và công cụ toán học đã sử dụng;xem lại các giả thuyết, hạn chế của mô hình và tiến tới cải tiến mô hình cũngnhư lời giải của bài toán [13, tr 29 - 30]

Hình 1 Quy trình mô hình hoá trong dạy học Toán [13, tr.29]

1.1.4 Biểu hiện năng lực mô hình hoá toán học

Theo Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán được ban hành năm 2018của Bộ Giáo dục và đào tạo thì các biểu hiện của năng lực mô hình hóa toánhọc được thể hiện qua các việc cụ thể như sau:

(1) Xác định được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng

biểu, đồ thị,…) cho tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn

(2) Giải quyết được các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập (3) Thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực thế và cải tiến

được mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp

Theo Ludwig và Xu (2018) năng lực mô hình toán học được cấu thành từ 08

kỹ năng cụ thể như sau:

(1) Đơn giản hóa giả thiết;

(2) Làm rõ mục yêu (yêu cầu của đề bài);

(3) Thiết lập vấn đề toán học;

(4) Xác lập biến số, hằng số (kèm theo điều kiện;

(5) Thiết lập mệnh đề toán học;

(6) Lựa chọn mô hình;

(7) Biểu diễn mô hình bằng đồ thị;

(8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn

Các cấp độ trong năng lực mô hình hóa toán học của học sinh cụ thể như sau(Ludwig và Xu, 2018)

Bảng 1 1 Cấp độ trong năng lực mô hình hóa toán học

Mức Các kỹ năng có

thể thực hiện

Biểu hiện của học sinh

Mức 0 Học sinh đọc không hiểu tình huống, không

thể viết, vẽ hay phác thảo những gì liên quantới vấn đề, bị đánh lừa bởi những tình huốnggây nhiễu

Mức 1 Học sinh chỉ hiểu được tình huống thực tiễn

trong bối cảnh, nhưng không cấu trúc lại hoặcchưa tìm ra được mối liên hệ giữa các giảithiết với nhau, không thể tìm được sự kết nốivới ý tưởng toán học nào

Mức 2 Học sinh cần đạt

02 kỹ năng MHH

(1) và (2)

Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, học sinhbiết tìm mô hình thật qua cấu trúc và đơngiản hóa, nhưng chưa biết chuyển đổi thànhvấn đề toán học

Mức 3 HS cần đạt được

các kỹ năng (1)

(2) (3) (4)

Không chỉ tìm ra mô hình thật mà còn phiêndịch nó thành vấn đề toán học, nhưng vẫnchưa thể làm việc với nó một cách rõ ràngtrong thế giới toán học

Mức 4 HS cần đạt được

ra được kết quả cụ thể

Mức 5 HS cần đạt được

1.2 Tình huống dạy học

1.2.1 Quan niệm về tình huống dạy học

Theo quan điểm triết học trong Chủ nghĩa mác bản về giáo dục (1959)thì tình huống được nghiên cứu như là một tổ hợp các mối quan hệ xã hội cụthể, mà đến một thời điểm nhất định liên kết con người với môi trường, biếncon người thành một chủ thể của một hoạt động có đối tượng nhằm đạt đượcmột mục tiêu nhất định Trong Từ điển tiếng Việt (2001), tình huống là toànthể những sự việc xảy ra tại một nơi, trong một thời gian hoặc một thời điểm.Một cách tổng quát có thể sử dụng khái niệm tình huống được xem xét về mặttâm lí học Đó là tình huống được quan niệm trên cơ sở quan hệ giữa chủ thểvà khách thể, trong không gian và thời gian “Tình huống là hệ thống các sựkiện bên ngoài có quan hệ với chủ thể, có tác dụng thúc đẩy tính tích cực củangười đó Trong quan hệ không gian tình huống xảy ra bên ngoài nhận thứccủa chủ thể, trong quan hệ thời gian tình huống xảy ra trước so với hành độngcủa chủ thể Trong quan hệ chức năng tình huống là sự độc lập của các sựkiện đối với chủ thể ở thời điểm mà người đó thực hiện hành động” (VũDũng, 2000)

Xét về mặt khách quan, tình huống dạy học là tổ hợp những mối quanhệ xã hội cụ thể được hình thành trong quá trình dạy học, khi mà người học

đã trở thành chủ thể hoạt động của đối tượng nhận thức trong môi trường dạyhọc, nhằm một mục đích dạy học cụ thể Xét về mặt chủ quan, tình huống dạyhọc chính là trạng thái bên trong được sinh ra do sự tương tác giữa chủ thểvới đối tượng nhận thức Bản chất của tình huống dạy học là đơn vị cấu trúccủa bài lên lớp, chứa đựng mối liên hệ M-N-P (mục đích – nội dung – phươngpháp) theo chiều ngang tại một thời điểm nào đó với nội dung là một đơn vịkiến thức (Danilop và Xkatkin, 1980) Một tình huống thông thường chưaphải là một tình huống dạy học Nó chỉ trở thành tình huống dạy học khi

người giáo viên đưa những nội dung cần truyền thụ vào trong các sự kiện tìnhhuống và cấu trúc các sự kiện sao cho phù hợp với logic sư phạm, để khingười học giải quyết nó sẽ đạt được mục tiêu dạy học.

Theo Nguyễn Bá Kim (2011) thì tình huống được hiểu là một hệ thốngphức tạp gồm chủ thể và khách thể, trong đó chủ thể có thể là con người cònkhách thể lại là một hệ thống nào đó

Một tình huống thông thường chưa phải là một tình huống dạy học Nóchỉ trở thành tình huống dạy học khi người giáo viên đưa những nội dung cầntruyền thụ vào trong các sự kiện tình huống và cấu trúc các sự kiện sao chophù hợp với logic sư phạm, để khi người học giải quyết nó sẽ đạt được mụctiêu dạy học Theo Nguyễn Bá Kim (2011, tr.230) thì “Tình huống dạy học làtình huống mà vai trò của giáo viên được thể hiện tường mình với mục tiêu đểhọc sinh học tập một tri thức nào đó” Trong đó giáo viên định hướng cho họcsinh thông qua việc đưa ra các yêu cầu đòi hỏi học sinh giải quyết vấn đề, ở

đó giáo viên và học sinh là chủ thể còn khách thể là những vấn đề được giáoviên đưa ra

Từ các nghiên cứu và khái niệm được đưa ra bới nhiều tác giả khi tiếpcận khái niệm tình huống dạy học dưới nhiều góc độ khác nhau và để phù hợpvới mục tiêu nghiên cứu thì trong nghiên cứu này sử dụng khái niệm tìnhhuống dạy học được định nghĩa bởi Nguyễn Bá Kim (2011 Tr.230)

1.2.2 Một số yêu cầu trong việc thiết kế tình huống dạy học

Theo Nguyễn Bá Kim (2011, tr.335) thì trong môn toán có những tình huốngđược lặp đi lặp lại nhiều lần ở những thời điểm khác nhau trong chương trìnhtoán học phổ thông, điển hình nhất bao gồm 04 tình huống sau: (1) Dạy họckhái niệm toán học; (2) Dạy học định lý toán học; (3) Dạy học quy tắc,

phương pháp; (4) Dạy học giải bài tập toán học Theo đó, mỗi tình huống sẽđặt ra các yêu cầu cụ thể Dưới đây là tiến trình dạy học và yêu cầu trong việcthiết kế tình huống dạy học 04 tình huống điển hình kể trên.

(1) Dạy học khái niệm toán học

Theo Nguyễn Bá Kim (2011) thì có 03 con đường tiếp cận khái niệm baogồm: (1) Con đường suy diễn; (2) Con đường quy nạp; (3) Con đường kiếnthiết Trong đó:

Quy trình tiếp cận khái niệm theo con đường suy diễn thường diễn ra như sau:

(i) Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm

đó một số đặc điểm mà ta quan tâm;

(ii) Phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định

nghĩa nó nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểmđển hạn chế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó

(iii) Đưa một ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa được định

nghĩa

Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đường quy nạp thường diễn ra nhưsay:

(i) Giá viên đưa ra những ví dụ cụ thể để học sing thấy sự tồn tại hoặc

tác dụng của một loạt đối tượng nào đó;

(ii) Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh và nêu bật những đặc

điểm chung của các đối tượng được xem xét Có thể đưa ra đốichiếu một vài đối tượng đang được xem xét Có thể đưa ra đối chiếuvài đối tượng không có đủ các đặc điểm đã nêu;

(iii) Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu một định nghĩa bằng cách

nếu tên và đặc điểm đặc trưng của khái niệm

Con đường tiếp cận khái niệm theo con đường kiến thiết thường diễn ra nhưsau:

(i) Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần được

hình thành hướng vào yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội

bộ Toán học hay từ thực tiễn;

(ii) Khái quát hóa quá tronhf xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới

đặc điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thanh;

(iii) Phát biểu định nghĩa được gợi ý do kết quả bước (ii)

Bên cạnh đó các hoạt động củng cố khái niệm cùng được đề cập đến baogồm: (1) Nhận dạng và thể hiện khái niệm; (2) Hoạt động ngôn ngữ; (3) Kháiquát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa những khái niệm đã học

(2) Dạy học định lý toán học

Theo Nguyễn Bá Kim (2011) thì có 02 con đường dạy học định lý toán họcbao gồm con đường có khâu suy đoán và con đường suy diễn Sự khác biệtcăn bản giữa hai có đường đó là ở chỗ: theo con đường có khâu suy đoán thìviệc dự đoán phát hiện trước việc chứng minh định lý, còn ở con đường suydiễn thì hai việc này nhập lại thành một bước

Quá trình dạy học định lý toán học theo con đường khâu suy đoán

(i) Gợi động cơ học tập định lý xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong

thực tiễn trong nội bộ Toán học

(ii) Dự đoán và phát triển định lý dựa vào những phương pháp nhận

thức mang tính suy đoan;

(iii) Chứng minh định lý trong đó đặc biệt chú ý đến việc gợi động cơ

chứng minh và gợi cho học sinh thực hiện những hoạt động ăn khớpvới phương pháp suy luận, chứng minh thông dụng

(iv) Vận dụng định lý vừa tìm được để giải quyết, khép kín vấn đề đặt ra

khi gợi động cơ

(v) Củng cố định lý bao gồm các hoạt động: nhận dạng và thể hiện định

lý; hoạt động ngôn ngữ; khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóanhững định lý

Quá trình dạy học định lý toán học theo con đường suy diễn

(i) Gợi động cơ học tập định lý như con đường khâu suy đoán

(ii) Xuất phát từ những tri thức Toán học đã biết, dùng suy diễn Logic

dẫn tới định lý

(iii) Phát biểu định lý

(iv) Vận dụng định lý vừa tìm được để giải quyết, khép kín vấn đề đặt ra

khi gợi động cơ

(vi) Củng cố định lý bao gồm các hoạt động: nhận dạng và thể hiện định

lý; hoạt động ngôn ngữ; khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóanhững định lý

(3) Dạy học quy tắc, phương pháp

Trong dạy học thuật giải đặt ra một số yêu cầu như sau:

Thứ nhất, nên cho học sinh biết nhiều hình thức thể hiện một quy tắc, tạo điềukiện thuận lợi cho họ nắm vừng từng bước và trình tự thực hiện các bước củaquy tắc đó

Thứ hai, cần trình bày rõ các bước trong những ví dụ cụ thể theo một sơ đồnhất quán trong một thời gian thích đáng

Thứ ba, cần tập luyện cho học sinh thực hiện tốt những chỉ dẫn nêu trongthuật giải hoặc trong quy tắc tựa thuật giải

Thứ tư, cần làm cho chọc sinh ý thước được và biết sử dụng các cấu trúc điềukhiển cơ bản để quyết định trình tự các bước

Thứ năm, thông qua dạy học những thuật giải và quy tắc tựa thuật giải cần có

ý thức góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh

(4) Dạy học giải bài tập toán học

Theo Nguyễn Bá Kim (2011) thi cách thức dạy học sinh phương pháp chung

để giả bài toán như sau:

Thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần nhấn mạnh để học sinh nắmđược phương pháp chung 4 bước và có ý thức vận dụng 4 bước này trong quátrình giải toán

Giáo viên cần đặt cho học sinh những câu hỏi gợi ý đúng tình huống để họcsinh dần dần biết sử dụng những câu hỏi này như những phương tiệ kích thứcsuy nghĩ tìm tòi, dự đoán, phát hiện ddeeer thực hiện từng bước của phươngpháp chung giải toán

1.3 Một số vấn đề về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

1.3.1 Vị trí, vai trò của chủ đề hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong chương trình tiểu học, phương trình chưa chính thức được đề cậpđến một cách tường minh Dù vậy, học sinh vẫn gặp các bài toán tìm x, mộtdạng phương trình bậc nhất một ẩn Học sinh tìm x theo các quy tắc về tìmmột số hạng trong các biểu thức tổng, hiệu, tích, thương Trong lớp 4 học sinhgặp các biểu thức chứa hai chữ đơn giản (a+b; a-b; a.b; ) với yêu cầu “Nhậnviết một số biểu thức chứa hai chữ đơn giản Biết tính giá trị của một số biểuthức đơn giản chứa hai chữ” (Sách giáo viên lớp 4, tr.8) Hệ phương trình bậc

nhất hai ẩn xuất hiện ngầm ẩn trong bài toán “Tìm hai ẩn số khi biết tổng và hiệu của hai số đó” năm lớp 4.

(Nguồn: Sách giáo khoa toán 4, tr.47)

Đối với bài toàn trên thì yêu cầu của Sách giáo viên toán 4 là giáo viênhướng dẫn học sinh tìm lời giải bằng sơ đồ như trên Thuật ngữ hệ phươngtrình và các ký hiệu ẩn số chưa được đưa vào Tuy nhiên, nếu đặt hai ẩn sốtương ứng với hai ẩn số chưa biết trong bài toán là x, y chúng ta sẽ được mộthệ phương trình bậc nhất hai ẩn {x + y=70 x− y=10 Có thể thấy cách giải màsách giáo khoa toán 4 yêu cầu tương ứng ngầm với cách giải hệ phương trìnhbậc nhất hai ẩn Các sơ đồ đoạn thẳng ở đây có thể xem như một mô hìnhtrung gian để lập luận đi đến giải quyết bài toán Mô hình trinh gian này chophép bài toán chuyển bài toán ban đầu về một bài toán trực quan hơn, dẫn đếnviệc lập luận sau đó có thể giải quyết bài toán dễ dàng hơn

Như vậy có thể thấy, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn đã xuất hiệnngầm ẩn từ bậc tiểu học với vai trò là một công cụ ngầm ẩn để giải quyết bàitoán “Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó” Việc giải các bài toán

đó luôn được thực hiện việc áp dụng ngầm ẩn phương pháp cộng đại số đểgiải hệ phương trình

Một trong những nguyên tắc xây dựng chương trình THCS được tác giả(, tr.3) xác định: “Không quá coi trọng tính cấu trúc, tính chính xác của hệ

thống kiến thức toán học trong chương trình; hạn chế đưa vào chương trìnhnhững kết quả có ý nghĩa lý thuyết thuần túy và các phép chứng minh dàidòng, phức tạp không phù hợp với đại đa số học sinh Tăng tính thực tiễn vàtính sư phạm, tạo điều kiện để học sinh được tăng cường luyện tập, thực hành,rèn luyện kỹ năng tính toán và vận dụng các kiến thức toán học với đời sốngvà vào các môn học khác”

Như vậy, tính thực tiễn của môn học và vấn đề áp dụng toán vào giảiquyết các vấn đề của đời sống được tăng cường khi xây dựng chương trình hệphương trình bậc nhất hai ẩn Điều này cho thấy, chương trình hệ phươngtrình bậc nhất hai ẩn của chương trình lớp 9 cũng muốn tăng khả năng hiểubiết toán học và khả năng vận dụng toán học của học sinh trong cuộc sống

1.3.2 Một số biểu hiện của năng lực mô hình hóa toán học trong học tập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Đại số 9

Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính đã được nghiên cứu trong mộtsố luận văn thạc sĩ chuyên ngành Didactic Toán trước đây cụ thể như:Nguyễn Thùy Trang (2006) với đề tài “Algorit và tham số trong dạy – họcphương trình ở trường trung học phổ thông Trường hợp: hệ phương trình bậcnhất nhiều ẩn”; Trần Thị Mỹ Dung (2008) với đề tài :nghiên cứu thực hànhcủa giáo viên trong dạy học hệ phương trình tuyến tính ở lớp 10”; Nguyễn ThịMinh Vân (2012) với đề tài “Nghiên cứu didactic về giải toán lập hệ phươngtrình ở trung học cơ sở” Các nội dung liên quan đến hệ phương trình bậc nhấthai ẩn được trình bày ở chương 3 – Sách giáo khoa lớp 9 tập 2: Các yêu cầuđối với học sinh về chủ đề hệ phương trình bậc nhất hai ẩn với các yêu cầutrong sách giáo viên lớp 9 tập 2 cụ thể như sau:

“Học sinh nắm được:

- Khái niệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn;

- Phương pháp minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trìnhbậc nhất hai ẩn;

- Khái niệm hai hệ phương trình tương đương.”

(Sách giáo viên lớp 9 tập 2, tr.6)

- Giúp học sinh hiểu cách biến đổi hệ phương trình bằng quy tắc thế

- Học sinh nắm vững cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế

- Học sinh không bị lúng túng khi gặp các trường hợp đặc biệt (hệ vô nghiệm hoặc hệ có vô số nghiệm)”

rộng các loại toán cũng như kỹ năng mô hình hóa toán học tổng quát khôngphải là mục tiêu mà sách giáo khoa nhắm đến.

Vận dụng về các cấp năng lực mô hình hóa toán học của Ludwig và Xu(2018) vào chủ đề hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thì biểu hiện năng lực môhình hóa toán học của học sinh bao gồm

(1) Học sinh nhận diện và đơn giản hóa được các thông tin trong đề bài(2) Học sinh xác định rõ ràng mục tiêu của đề bài

(3) Đưa ra công thức giải quyết vấn đề của bài toán

(4) Học sinh xác định được các ẩn số của bài

(5) Lập được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn từ tính huống toán học thựctiễn

(6) Kiểm soát quy trình mô hình hóa toán học trong hệ phương trình bậcnhất hai ẩn

1.3.3 Tiềm năng phát triển năng lực mô hình hóa trong dạy

hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Đại số 9

Chương trình giáo dục toán được tiến hành cải cách từ năm 2008 (nămchính thức bắt đầu đưa vào thực hiện) với kỳ vọng giảm tính hàn lâm, tăngtính tích cực chủ động của học sinh và găn liền toán học với thực tế qua cácbài toán thực tế Mặc dù tại thời điểm này thuật ngữ “Mô hình hóa” chưađược đề cập đến, tuy nhiên dựa trên quan điểm tăng tính thực tế này đã tạonên môi trường thuận lợi để phát triển dạy học mô hình hóa và dạy học băng

mô hình hóa

Theo Nguyễn Thị Thùy Trang (2006) liên quan đến hệ phương trình cócác kiểu nhiệm vụ cụ thể như sau: (1) Giải hệ phương trình; (2) Giải bài toánbằng cách lập hệ phương trình; (3) Đoán số nghiệm của hệ phương trình Bài

5 và bài 6 trong Chương 3 của sách giáo khoa lớp 9 chiếm 2/13 tiết của toàn

chương được dành cho việc giải toán bằng các lập hệ phương trình Đối vớinghiên cứu này, tác giả tập trung vào kiểu nhiệm vụ “giải toán bằng cách lậphệ phương trình Đối với kiều nhiệm vụ này thì chương trình hệ phương trìnhbậc nhất hai ẩn được Sách giáo khoa toán lớp 9 đưa vao thông qua các ví dụcụ thể:

“Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục một đơn vị và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị

Cách giải:

Trong bài toán trên, ta thấy đại lượng chưa biết là chữ số hàng chục và chữ

số hàng đơn vị của số cần tìm Theo giả thiết, khi viết hai chữ số ấy theo thứ

tự ngược lại, ta vẫn được một số có hai chữ số Điều đó chứng tỏ rằng cả hai chữ số ấy đều phải khác 0

Gọi chữ số cần tìm là x, chữ số hàng đơn vị là y: Điều kiện của ấn: x, y là những số nguyên, 0 ≤ x ≤ 9, 0 ≤ y ≤ 9

Khi đó số cần tìm là 10x + y Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được số 10y + x.

Theo điều kiện đầu, ta có 2y – x = 1 hay –x + 2y = 1.

Theo điều kiện sau, ta có (10x + y) – (10y + x) = 27 ↔ 9x – 9y = 27

sách giáo khoa lớp 9 đã hướng dẫn khá chi tiết về cách chọn ẩn, điều kiện cho

ẩn, cách lập hệ phương trình

Ẩn được chọn trong sách khoa chính là các đại lượng được đề cập trong yêu cầu của bài toán: hai chữ số của số tự nhiên cần tìm Điều kiện hai

ẩn cũng được sách giáo khoa chú ý từ đầu, điều kiện này chính là ràng buộc về số tự nhiên mà học sinh đã biết

Việc lập các phương trình trong hệ cũng được sách giáo khoa hướng dẫn chi tiết Phương trình thứ nhất chỉ là việc dịch giả thiết bằng lời thành phương trình Phương trình thứ hai không dễ thực hiện như vậy, học sinh phảibiết về cách biểu diễn số tự nhiên có hai chữ số là 10x + y và khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được số 10y + x Từ đó, suy ra được phương trình thứ hai (10x + y) – (10y + x) = 27 và từ đó hình thành được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, giải hệ so sánh kết quả tìm được với điều kiện ban đầu ta sẽ tìm được kết quả của bài toán Tuy nhiên, nếu chỉ dịch lời từ phương trình thứhai này thì ta được phương trình: xy− ´´ yx =27 và dẫn đến phương pháp giải bài toán này là dùng phương pháp thử sau

Như vây, bài toán này là một cơ hội để học sinh thấy được một vấn đề(toán học) có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau và việc cân nhắc lựachọn mô hình phù hợp là cần thiết Tuy nhiên, sách giáo khoa đã không tậndụng cơ hội này để giới thiệu việc lựa chọn, thiết lập mô hình toán học chohọc sinh Mô hình hệ phương trình tuyến tính được lựa chọn và trình bày trựctiếp cho học sinh.

Qua ví dụ trên có thể thấy mô hình toán học đã được định sẵn ngầmtrong bài toán Theo Sách giáo viên lớp 9 tập 2 (tr.20) thì “trong bài giải, sáchgiáo khoa dùng phương pháp chọn ẩn trực tiếp, tức là chọn chính đạo lượngmà bài toán cần tìm làm ẩn Các chọn ẩn như vậy cho phép dễ dàng lậpphương trình”

Như vậy có thể thấy, sách giáo khoa đã ngầm đề cập đến một khía cạnhquan trọng của quá trình mô hình hóa, đó là cần thiết lập mô hình toán họcsao cho phù hợp với tình huống thực tế và cho phép giải quyết tình huống tối

ưu nhất Với một tình huống thực tế, có thẻ tồn tại nhiều mô hình toán họckhác nhau Vấn đề là cần phải đánh giá lựa chọn ra mô hình tốt Tuy nhiên,vấn đề có thể chọn ẩn khác nhau trong kiểu nhiệm vụ giải bài toán bằng cáchlập hệ phương trình chỉ được đề cập duy nhất trong một số ví dụ Trong tất cảcác bài tập còn lại, ẩn luôn được chọn là địa lượng cần tìm trong đề toán Đặctrưng này cùng với chỉ dẫn của sách giáo khoa “Cách chọn ẩn như vậy chophếp dễ dàng lập hệ phương trình” sẽ dẫn đến hình thành nơi học sinh quy tắchợp đồng là luôn chọn ẩn là đại lượng cần tìm trong đề toán Từ đó cho thấytiềm năng của việc ứng dụng phương pháp mô hình hóa toán học trong giảngdạy hệ phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 9

1.4 Thực trạng dạy học chương hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Đại số 9

1.4.1 Thực trạng việc dạy chủ đề phương trình bậc nhất hai ẩn

Để thu thập dữ liệu nhằm đánh giá thực trạng dạy chủ đề phương trình bậcnhất 2 ẩn tác giả đã tiến hành điều tra với 32 giáo viên dạy toán tại trườngTHCS…… Mỗi câu hỏi ý kiến giáo viên sẽ trả lời bằng cách lựa chọn đáp

án phù hợp với đánh giá của mình Sau khi thu thập dữ liệu, tác giả tiến hànhthống kê số người lựa chọn các đáp án cụ thể như sau

Bảng 1 2 Thống kê kết quả khảo sát các giáo viên về vai trò của chương hệ phuong trình bậc nhất hai ẩn trong chương trình môn toán lớp 9

toàn đồng ý

Đồng ý

Không đồng ý

Hoàn toàn không đồng ý

Chương hệ phương trình bậc

nhất hai ẩn là một chương

quan trọng trong chương trình

và sách giáo khoa

31,25% 62,50

Chương hệ phương trình bậc

nhất hai ẩn có nhiều ứng dụng

trong thực tiễn cuộc sống

21,88% 50,00

Chương hệ phương trình bậc

nhất hai ẩn là nội dung có

nhiều cơ hội để phát triển năng

lực mô hình hóa Toán học cho

học sinh lớp 9

6,25% 50,00

Nội dung Chương hệ phương

trình bậc nhất hai ẩn trong sách

giáo khoa hiện hành ít các bài

12,50% 43,75

%

28,13% 15,63%

tập liên quan đến thực tế.

Kết quả khảo sát cho thấy hầu hết những giáo viên tham gia cuộc khảosát đều nhận thức được vai trò quan trong của Chương hệ phương trình bậcnhất hai ẩn trong chương trình toán lớp 9 Cụ thể, có tới 93,75% trong số 32giáo viên tham gia cuộc khảo sát thừa nhận rằng Chương hệ phương trình bậcnhất hai ẩn là một chương quan trong trong chương trường và sách giáo khoa,không có giáo viên nào hoàn toàn không đồng ý với phát biểu này 71,88%trong số các giáo viên đồng ý hoặc hoàn toàn đồng ý với nhận định cho rằngChương hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nhiều ứng dụng trong thực tiễncuộc sống Tuy nhiên đối với câu hỏi này vẫn có một bộ phận nhỏ các giáoviên (chiếm 29,12%) cho rằng Chương hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chưathực sự có nhiều ứng dụng trong cuộc sống

Trong số các giáo viên đồng ý tham gia khảo sát thì có 56,25% đồng ýhoặc hoàn toàn đồng ý với nhận định cho rằng Chương hệ phương trình bậcnhất hai ẩn là nội dung có nhiều cơ hội để phát triển năng lực mô hình hóatoán học cho học sinh lớp 9 Bên cạnh đó thì cũng có một bộ phận không nhỏcác giáo viên (chiếm 44,75%) bày tỏ quan điểm trái ngược, họ cho rằngChương hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hiện tại là nội dung không có nhiều

cơ hội để phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh lớp 9

Ngoài ra, cũng có 56,25% trong số những người tham gia khảo sát chorằng nội dung Chương hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong sách giáo khoahiện hành có ít các bài tập liên quan đến thực tế, 44,75% trong số họ tỏ rakhông đồng tình với phát biểu này

Bảng 1 3 Mức độ cần thiết về một số quan điểm dạy học Chương hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cho học sinh lớp 9 nhằm phát triển năng lực mô hình

hoá cho học sinh

Các quan điểm

Rất cần thiết

Cần thiết

Không cần thiết

Việc dạy học Chương hệ phương trình bậc

nhất hai ẩn cần chú trọng tăng cường rèn

luyện năng lực mô hình hoá Toán học để

vận dung kiến thức đã học vào thực tiễn

cho học sinh

25,00% 68,75% 6,25%

Việc dạy học vận dụng kiến thức Toán vào

thực tiễn cần đáp ứng mục tiêu, nhiệm vụ

quan trọng của việc dạy học Toán ở trường

phổ thông theo chương trình và sách giáo

khoa mới

34,38% 62,50% 3,13%

Việc dạy học góp phần phát triển năng lực

mô hình hoá Toán học của học sinh thông

qua việc vận dụng năng lực Toán học vào

thực tiễn cuộc sống

37,50% 50,00% 12,50%

Việc dạy cần tăng cường bài tập có chứa

tình huống thực tế, góp phần phát triển kỹ

năng xử lý tình lý huống và làm sáng tỏ

các vấn đề trong cuộc sống

18,75% 75,00% 6,25%

Kết quả cuộc khảo sát các giáo viên cho thấy phần lớn các giáo viênđều nhận thức được việc thực hiện các quan điểm dạy học Chương hệ phươngtrình bậc nhất hai ẩn cho học sinh lớp 9 nhằm phát triển năng lực mô hình hoácho học sinh là cần thiết và rất cần thiết Cụ thể

Đối với quan điểm việc dạy học Chương hệ phương trình bậc nhất hai

ẩn cần chú trọng tăng cường rèn luyện năng lực mô hình hóa Toán học để vậndụng kiến thức đã học vào thực tiễn cho học sinh thì có tới 68,75% trong sốhọ cho rằng cần thiết và 25% cho rằng rất cần thiết Chỉ có một bộ phận nhỏgiáo viên (chiếm 6,25%) cho rằng điều này không thực sự cần thiết

Có tới 96,88% trong số 32 giáo viên tham gia khảo sát cho rằng việcdạy học vận dụng kiến thức Toán vào thực tiễn cần đáp ứng mục tiêu, nhiệmvụ quan trọng của việc dạy học Toán ở trường phổ thông theo chương trình vàsách giáo khoa mới là cần thiết hoặc rất cần thiết Chỉ có duy nhất 01 giáoviên tương đương với 3,13% cho rằng việc này không thực sự cần thiết

Trong số những người tham gia khảo sát có 87,50% trong số họ chorằng việc dạy học góp phần phát triển năng lực mô hình hóa Toán học của họcsinh thông qua việc vận dụng năng lực Toán học vào thực tiễn cuộc sống làcần thiết hoặc rất cần thiết Tuy nhiên, có một bộ phận nhỏ các giáo viên(chiếm 12,5%) cho rằng việc làm này không thực sự cần thiết

Có 93,75% trong số 32 giáo viên tham gia khảo sát cho rằn việc dạycần tăng cường bài tập có chứa tình huống thực tế, góp phần phát triển kýnăng xử lý tình huống và làm sáng tỏ các vấn đề trong cuộc sống là rất quantrọng Chỉ có 6,25% trong số họ cho rằng việc tăng cường bài tập có chưa tìnhhuống thức tế là không thực sự cần thiết

Bảng 1 4 Những khó khăn khi dạy nội dung Chương hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhằm phát triển năng lực mô hình hoá cho học sinh trong chương

trình môn toán lớp 9

Do thời lượng số tiết quá ít 56,25% 43,75%

Do hệ thống bài tập trong SGK có ít bài liên quan

đến thực tiễn và những bài tập nhằm phát triển

năng lực mô hình hoá cho học sinh

62,50% 37,50%

Do khả năng tiếp thu của học sinh còn hạn chế 53,13% 46,88%

Do giáo viên chưa thiết kế được các tình huống

dạy học phù hợp với mục tiêu phát triển năng lực

mô hình hoá cho học sinh

được đề cập đến liên quan đến thái độ của giáo viên đã quá quen thuộc vớicác giảng dạy truyền thông nên hình thành nên tâm lý e ngại thay đổi phươngpháp giảng dạy Ngoài ra, có 02 giáo viên cho rằng một khó khăn khi khi dạynội dung Chương hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nhằm phát triển năng lực

mô hình hoá cho học sinh trong chương trình môn toán lớp 9 đó là việc thiếtkế bài giảng tốn khá nhiều thời gian

Bảng 1 5 Các yêu cầu cân đảm bảo khi xây dựng hệ thống các bài tập về nội dung Chương hệ phương trình bậc nhất hai ẩn dành cho học sinh lớp 9 có

liên quan đến thực tiễn

Bài tập phải giúp học sinh đạt mục tiêu của chương

trình, mục tiêu của bài học, đảm bảo chuẩn kiến thức

kĩ năng và phù hợp với định hướng phát triển năng

lục mô hình hoá cho học sinh

93,75% 6,25%

Bài tập phải gây hứng thú nhu cầu học tập của học

sinh, phải phát huy được tính tích cực tìm tòi và vận

dụng kiến thức vào thực tiễn

100,00% 0,00%

Bài tập phải đảm bảo tính chính xác 71,88% 28,13%Bài tập phải đảm bảo tính hệ thống và tính logic 81,25% 18,75%Bài tập phải đảm bảo tính vừa sức 68,75% 31,25%Bài tập phải đảm bảo tính khả thi và tính hiệu quả 78,13% 21,88%

Bài tập phải đảm bảo tính thực tiễn, phải gần gũi với

Bài tập phải đảm bảo tính giáo dục 65,63% 34,38%

Bài tập phải đảm bảo tính sư phạm 75,00% 25,00%

Kết quả cuộc khảo sát các giáo viên cho thấy việc xây dựng hệ thốngcác bài tập về nội dung Chương hệ phương trình bậc nhất hai ẩn dành cho họcsinh lớp 9 có liên quan đến thực tiễn cần đảm bảo khá nhiều các yêu cầu khácnhau Cụ thể, một trong các yêu cầu được 100% các giáo viên cho rằng phảiđảm bảo đó là bài taaoj phải gây hứng thú nhu cầu học tập của học sinh, phảiphát huy được tính tích cực tìm tòi và vận dụng kiến thức vào thực tiễn Yêucầu thứ hai được tới 93,75% trong số các giáo viên tham gia khảo sát chorằng phải đảm bảo đó là bài tập phải giúp học sinh đạt mục tiêu của chươngtrình, mục tiêu của bài học, đảm bảo chuẩn kiến thức kỹ năng và phù hợp vớiđịnh hướng phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh 84,38% trong số 32giáo viên tham gia khảo khảo sát cho rằng khi xây dụng hệ thống bài tập vềnội dung Chương hệ phương trình bậc nhất hai ẩn dành cho học sinh lớp 9 cóliên quan đến thực tiễn thì bài tập phải đảm bảo tính thực tiễn, phải gần gũivới học sinh và cuộc sống Có 81,25% cho rằng bài tập phải đảm bảo tính hệthống và tính logic, 78,13% trong số các giáo viên cho rằng bài tập phải đảmbảo tính khả thi và tính hiệu quả, 75% trong cho số họ cho biết bài tập phảiđảm bảo tính chính xác và 68,75% giáo viên cho rằng bài tập xây dựng cầnđảm bảo tính vừa sức với học sinh và 65,63% cho rằng bài tập phải đảm bảotính giáo dục Ngoài ra, một số điều kiện được các giáo viên bổ sung baogồm: bài tập cần đảm bảo được tính mới mẻ, khác với những bài tập truyềnthống để học sinh thay đổi lối tư duy truyền thống trong việc giải toán và bàitập