(SKKN 2022) phát triển các bài toán hình học lớp 9 nhằm rèn luyện năng lực tư duy, kỹ năng cho học sinh lớp 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GD&ĐT CẨM THỦY - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC NHẰM RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TƯ DUY, KỸ NĂNG CHO HỌC SINH LỚP Người thực : Trịnh Hồng Dũng Chức vụ : Giáo Viên Đơn vị công tác : Trường THCS Cẩm Vân SKKN thuộc lĩnh vực (mơn) : Tốn THANH HÓA NĂM 2022 MỤC LỤC STT 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.3 Trang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Giải pháp tổ chức thực Phát triển từ số toán SGK nhằm rèn luyện tư duy, kỹ 2.3 năng, sáng tạo hình học cho học sinh Phát triển từ số toán quen thuộc dạng tốn Nội dung 11 có nhiều câu hỏi nhằm rèn luyện tư duy, kỹ năng, sáng tạo 2.3 hình học cho học sinh Phát triển từ toán thành nhiều dạng toán liên quan nhằm rèn luyện tư duy, kỹ năng, sáng tạo hình học cho học 2.4 sinh Hiệu Sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo 19 dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Kiến nghị Tài liệu tham khảo 20 20 21 22 3.1 3.2 15 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong bối cảnh ngành giáo dục đào tạo nỗ lực đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực chủ động học sinh hoạt động học tập, để đáp ứng đòi hỏi đặt cho bùng nổ kiến thức sáng tạo kiến thức mới, cần phải phát triển lực tư duy, lực giải vấn đề tính sáng tạo Hướng giải tích cực hóa hoạt động học tập học sinh, khơi dậy phát triển lực tự học nhằm hình thành cho học sinh tư tích cực, độc lập sáng tạo,nâng cao lực phát triển giải vấn đề, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiến, tác động đến tình cảm, đem lại niềm tin hứng thú học tập cho học sinh Dạy toán thực chất dạy hoạt động toán, học sinh cần phải hút vào hoạt động học tập giáo viên tổ chức đạo, thơng qua học sinh tự lực khám phá điều chưa biết thụ động tiếp thu tri thức đặt sẵn Theo tinh thần tiết lên lớp tổ chức đạo học sinh tiến hành hoạt động học tập Củng cố kiến thức cũ, tìm tịi phát kiến thức mới, luyện tập vận dụng kiến thức vào tình khác Khơng tơi ln suy nghĩ làm để học sinh đọc hiểu tài liệu, tự làm tập, nắm vững hiểu sâu kiến thức bản, đồng thời phát huy tiềm sáng tạo thân Do tơi tìm tịi học hỏi đồng nghiệp, tham khảo tài liệu để viết đề tài nhằm hướng dẫn học sinh biết phát triển toán đơn giản sách giáo khoa toán đơn giản hay gặp thành toán đa dạng có đơn giản, có phức tạp, giúp học sinh tự phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa tương tự, quy lạ quen, quy khó dễ, để từ giúp học sinh hứng thú học toán Với lý tơi chọn viết sáng kiến kinh nghiệm “Phát triển tốn hình học nhằm rèn luyện lực tư duy, kỹ cho học sinh lớp ’’ Ngoài cách thay đổi, thêm, bớt số yếu tố đề tốn, thay đổi cách hỏi ta có toán thú vị độc đáo Xuất phát từ quan điểm trên, vấn đề khai thác học sinh khai thác toán sách giáo khoa để từ xây dựng hệ thống tập từ đến nâng cao đến tốn khó hoạt động khơng thể thiếu người giáo viên 1.2 Mục đích nghiên cứu - Chia sẻ kinh nghiệm với giáo viên dạy Toán trường THCS - Giúp học sinh biết cách định hướng giải tập hình học cách dễ dàng - Phát huy trí tuệ, rèn luyện khả phân tích, xem xét tốn dạng đặc thù riêng lẻ - Tạo cho học sinh lịng ham mê, u thích học tập, đặc biệt học toán cách phân loại cung cấp phương pháp giải cho dạng toán từ bản, đơn giản phát triển thành toán phức tạp Giúp học sinh tự tin giải toán kì thi 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trong kì thi cuối kì lớp 9, thi HSG vào lớp 10 thi có câu hỏi hình học từ đơn giản đến phức tạp Đề tài áp dụng cho tất học sinh lớp thầy cô tham khảo, nhiên đắc dụng học sinh lớp ôn tập vào lớp 10 BDHSG 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp điều tra khảo sát - Phương pháp thể nghiệm - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong mục tiêu mơn Tốn THCS nêu lên rằng: “Rèn luyện khả suy luận lôgic; khả quan sát dự đốn, phát triển trí tưởng tượng không gian Rèn luyện kỹ sử dụng ngôn ngữ xác Bồi dưỡng phẩm chất tư như: linh hoạt, độc lập, sáng tạo” Chúng ta biết hệ thống kiến thức chương trình biên soạn lơgíc Hệ thống tập SGK SBT biên soạn công phu, chọn lọc, xếp cách khoa học, phù hợp với khả nhận thức học sinh Để đạt mục tiêu đó, thầy giáo cần trang bị cho HS không kiến thức, kỹ làm tập Tốn mà cịn phải khơi dậy em lịng say mê, tính tích cực, tự giác học tập Đây không vấn đề riêng ai! Nhưng làm để đạt mục đích khơng dễ chút 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Đa số học sinh kể học sinh giỏi giải xong tốn lịng với kết Chính lý thay đổi vài kiện học sinh lúng túng Trong thực tế biết khai thác phát triển tốn ta thấy tốn hay, kích thích tìm tịi khám phá kiến thức học sinh Qua nhiều năm phân công giảng dạy lớp ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Thực trạng cho thấy phần nhiều học sinh cịn tình trạng thụ động tiếp thu kiến thức, vận dụng máy móc kiến thức, chưa có tính sáng tạo, chưa phát huy lực tự học, tự nghiên cứu thân Bên cạnh yêu cầu đặt cho người thời đại phải thực tích cực, động thích ứng với thay đổi điều kiện ngoại cảnh Đây yêu cầu mà Đảng Nhà nước ta đặt cho ngành giáo dục Trên thực tế giảng dạy nhiều năm lớp ôn thi tuyển sinh vào lớp10 nhận thấy: Nếu dừng lại việc học thuộc làm tập SGK SBT chưa đủ Đặc biệt kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 Sở dĩ đề tốn ln địi hỏi vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, uyển chuyển phương pháp giải, kết hợp tập tương tự 2.3 Giải pháp tổ chức thực Từ thực trạng nêu trên, tơi nghĩ phải làm để học sinh thấy hình học khơng cịn q khó tiếp thu, khơng cịn ngại học mơn hình nhận dạng tốt kiến thức dùng để giải tập hình học cụ thể Để áp dụng chuyên đề thấy cần phải đảm bảo điều kiện sau: - Đối với học sinh : + Phải nắm kiến thức vận dụng linh hoạt vào tốn khác + Phải có lịng say mê học tập khơng ngại khó khơng ngại khổ, đầu tư thời gian, thường xuyên đọc tài liệu tham khảo - Đối với giáo viên : + Cần có nhiều thời gian tài liệu tham khảo để nghiên cứu áp dụng vào tốn dạng tốn cụ thể + Phải có trình độ chun mơn vững vàng để khơng có lời giải hay mà khai thác phát triển toán thành toán hay hơn, đa dạng Các tập hình học kì thi cuối kì , thi vào 10, thi HSG đa dạng phong phú kết hợp kiến thức hình học từ lớp đến lớp Nhưng phát triển từ toán sau: - Phát triển từ số toán SGK - Phát triển từ số toán quen thuộc - Phát triển từ toán thành nhiều dạng toán liên quan 2.3.1 Phát triển từ số toán SGK nhằm rèn luyện tư duy, kỹ năng, sáng tạo hình học cho học sinh Chúng ta xuất phát từ toán gốc dùng để chứng minh định lý số hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông o µ 2.3.1a Bài tốn 1: Cho ABC có A  90 , AH đường cao ( H  BC ) a) Chứng minh AB  BH BC b) Chứng minh AC  CH BC c) Chứng minh AB AC  AH BC d) Chứng minh AH  BH HC 1   AB AC e) Chứng minh AH Hướng dẫn giải: a) Chứng minh : AB  BH BC o µ µ Xét HBA ABC ta có H  A  90 µ chung  HBA ∽ ABC (g-g) B AB BH   CB AB  AB  BH BC b) Chứng minh AC  CH BC o µ µ Xét HAC ABC ta có H  A  90 µ C  HAC ABC chung ∽ (g-g) AC CH   BC AC  AC  CH BC c) Chứng minh AB AC  AH BC µ  µA  90o H ABC HBA Xét ta có µ chung  HBA ∽ ABC (g-g) B AB AH   BC AC  AB AC  AH BC d) Chứng minh AH  BH CH · · ·  ·AHC  90o ; HBA  CAH BHA AHC có: BHA Xét AH HB  ·     AHC AH  BH CH CH AH  BHA ( phụ với BAH ∽ (g-g) ) 1   2 AB AC e) Chứng minh AH 2 2 theo chứng minh câu c) ta có BC AH  AB AC  BC AH  AB AC 1 AB AC 2 2 2   AH   AB  AC AH  AB AC 2 2  AB  AC  AH AB AC Phát triển toán đưa câu hỏi:   Từ H vẽ HN vng góc với AB , HM vng góc với AC ta vận dụng tốn để chứng minh ANM ∽ ACB hay không ? từ ta có tốn o µ Bài Cho ABC có A  90 , AH đường cao Từ H vẽ HN vng góc với AB , HM vng góc với AC Chứng minh ANM ∽ ACB A   N M  B H  C Hướng dẫn giải: Xét hai tam giác vng AHB AHC 2 Ta có AH  AN AB ; AH  AM AC (Hệ thức lượng tam giác vuông) AN AM  ·  AN AB  AM AC  AC AB BAC chung  ANM ∽ ACB (c-g-c) Tiếp tục phát triển tốn ta có o µ Bài Cho ABC có A  90 , AH đường cao Từ H vẽ HN vng góc với AB 2 AB , HM vng góc với AC Chứng minh AC  BH CH Hướng dẫn giải: xét ABC vng A có AH  BC theo hệ thức lượng tam giác vuông ta có : AB  BH BC AC  CH BC A AB BH BH  BC   CH BC M CH  AC  N  B H  C Tiếp tục phát triển tốn ta có tốn sau: Bài Chứng minh: CM CA.BN BA  AH Bài Chứng minh: CM BN BC  AH AH BC Bài Chứng minh: AB BN  Bài Chứng minh: AC CM Bài Chứng minh: AN NB  AM MC  AH AM AN  3 Bài Chứng minh: BC  BN  CM Hướng dẫn giải Bài Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông AHB, AHC , ABC ta có: BN BA  BH , CM CA  CH , HB.HC  AH , suy CM CA.BN BA   CH BH   AH Bài Chú ý rằng: AB AC  AH BC   S ABC  Từ suy ra: CM BN AH BC  AH  CM BN BC  AH 2 Bài Ta có: AM AC  AH , AN AB  AH  AM AN AB AC  AH , mặt khác AB AC  AH BC   2S ABC  nên AM AN BC  AH BN BH CA CM CA  CH , BN BA  BH   CM CH AB (*) ta lại có: Bài Ta có: BA4 2 CA BH BC  BA2  BH  , CH CB  CA  CH  BC BC , thay vào (*) ta suy : 2 BH AB3  CM AC 2 2 Bài Ta có: AN NB  HN , AM MC  HM  AN NB  AM MC  HN  HM 2 2 Tứ giác ANHM hình chữ nhật nên HN  HM  MN  AH hay AN NB  AM MC  AH Bài Ta có: 2 CM CA  CH , BN BA  BH  BN  BH AB 2 , CM  CH AC Lại có BA2 BA8 BH BA6 BH   BH    BC BC BA2 BC hay BA2  BH BC nên suy BN  CM  BA6 BC , tương tự ta có: CA6 BC 3  BN  CM  BA BC  CA BC  BA2  CA2 BN  CM  BC BC Theo định lý  BC 2 2 BC pitago ta có: BA  CA  BC suy toán ta chế biến tí ta tốn sau o µ Bài Cho ABC có A  90 , AH đường cao Từ H vẽ HN vuông góc với AB , HM vng góc với AC Gọi diện tích tam giác BNH S1, diện tích tam S  S2  S giác CMH S2, diện tích tam giác ABC S chứng minh Hướng dẫnA giải: + Ta có  BNH ∽M BAC NH //AC N 2 SBNH  BH  S1  BH       SBAC   BC   S  BC   C B H ∽ CAB HM //AB Mà CMH S1 BH  S BC SCMH  CH  S2  CH  S2 CH      BC  SCAB  BC   S  BC   S S1 S BH  CH BC    1 S BC BC  S1  S2  S Do S Với toán ta thêm kiện ta tốn sau o µ Bài 10 Cho ABC có A  90 , AH đường cao Từ H vẽ HN vng góc với AB , HM vng góc với AC Gọi BC có độ dài khơng đổi 2a , tìm GTLN diện tích tứ giác AMHN ? Hướng dẫn giải: Xét tứ giác AMHN có µA  90o (gt) o ¶  90 M (vì HM  AC ) µ  90o N (vì HN  AB )  Tứ giác AMHN hình chữ nhật AH AH AH AH AH AH     S AMHN  AM AN  AC AB AB AC BC AH BC 2a AMHN AH Vậy diện tích tứ giác lớn BC 2a AI   a 2 Gọi I trung điểm BC ( khơng đổi) AH  AI  a  AH nên lớn a AH  AI hay ABC tam giác a2 vng cân Vậy diện tích Tứ giác AMHN lớn là: Tiếp tục thay đổi kiện ta tốn sau o µ Bài 11 Cho ABC có A  90 , AH đường cao Trên tia tia đối tia AB lấy điểm M cho AM  AB , vẽ đường cao MK MBC 1   MB AC Chứng minh : MK Hướng dẫn giải: Tam giác vng MKB có  AH / / MK  AH  MK  AB  AM  (1) theo hệ thức lượng tam giác vng ta có 1   AH AB AC (2) Từ (1) (2) ta có: MK  MB  AC    MK MB AC Như xuất phát từ hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông thêm kiện để tạo thành 11 hướng chứng minh nhằm rèn luyện tư duy, kỹ , sáng tạo hình học cho học sinh Chúng ta xuất phát từ toán đơn giản (?3 SGK Trang 109-Toán – Tập 1) 12 Phát triển toán ta thêm kiện để tạo thành hướng chứng minh nhằm rèn luyện tư duy, kỹ năng, sáng tạo hình học cho học sinh 3) Chứng minh D trung điểm AE 4) Chứng minh CBO ∽ BAE 5) Chứng minh: AD.BC  R ; AD  BC  CD Tiếp tục phát triển tốn ta có câu 6) Dựng MH vng góc với AB Chứng minh: AC , BD qua trung điểm I MH 7) Chứng minh EO  AC Tiếp tục phát triển tốn dạng tốn quỹ tích 8) Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác MHO lớn 9) Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác MAB lớn 10) Tìm vị trí điểm M để chu vi tam giác MAB lớn 11) Tìm vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABCD nhỏ 12) Tìm vị trí điểm M để chu vi tứ giác ABCD nhỏ Hướng dẫn giải 1) Vì DA , DM tiếp tuyến  O  · · nên DMO  DAO  90 , suy điểm D , M , O , A nằm đường tròn đường kính DO Hồn tồn tương tự ta có điểm C , M , O , B nằm đường trịn đường kính CO 2) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: OC , OD phân giác · · góc MOA , MOB nên :   · · · · · COD  MOC  MOD  BOM  COM  90 hay tam giác COD vuông O ·AMB  90 M AB 3) Do điểm nằm đường trịn đường kính nên: ·  EMA  90 Cũng theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: DA  DM nên · · · · · ·  90  DAM  90  DMA  DEM  DME  DM  DE DAM  DMA Vậy DE  DA  DM hay D trung điểm AE Cũng chứng minh theo cách OD đường trung bình tam giác EAB 13 · · 4) Xét tam giác CBO tam giác BAE ta có: CBO  BAE  90 Theo tính chất · · hai tiếp tuyến cắt ta có: BM  CO nên COB  BEA phụ với · EBA  CBO ∽ BAE (g.g) 5) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: AD  DM ; BC  CM  AD.BC  DM CM Mặt khác tam giác COD vng O có OM đường cao nên theo hệ thức lượng tam giác vng ta có: CM DM  OM  R Vậy AD.BC  R AD  BC  CM  DM  CD 6) Giả sử BD cắt MH I Theo định lý Thales ta có: IM IB IH IM IH     DE DB AD DE AD mà DE  DA  IH  IM hay I trung điểm HM Chứng minh tương tự ta có AC qua trung điểm I MH tức MH , BD , AC đồng quy I Chú ý: Ta chứng minh cách dùng Bổ đề hình thang: “ Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên AB , CD , cắt M , hai đường chéo cắt N Gọi E , F trung điểm cạnh đáy BC , AD Khi điểm M , E , N , F nằm đường thẳng” Thật vậy, giả sử MN cắt BC , AD E , F theo định lý Thales ta có: BE CE  AF DF  1 (cùng BE CE  DF AF   (cùng ME MF ) NE NF ) Nhân hai đẳng thức  1 ,   ta có: BE CE  DF AF AF DF suy BE  CE thay vào  1 ta có: AF  DF (đpcm) 7) Theo chứng minh câu 4) ta có: AB AE BO AE AE AB BAE ∽ CBO       OAE ∽ CBA AB BC AO BC hay AO BC  OE  AC Chú ý: Nếu AC cắt  O  K từ việc chứng minh: OE  AC ta suy : · · EAO  EKO  EAO  EKO  90 ta suy EK tiếp tuyến  O  14 8) Tam giác MOH vuông H nên ta có:   2 1 MH  HO OM R S MHO  MH HO    2 4 Dấu xảy MH  HO nên tam giác MHO vuông cân H Tức M nằm nửa đường trịn cho OM tạo với AB góc 45 9) Ta có: S MAB  1 MH AB  MH R  R.MH 2 Trong tam giác vng MHO ta có: MH  MO  R nên S MAB  R Dấu xảy H  O , MH  AB Hay M điểm cung AB 10) Chu vi tam giác MAB kí hiệu p : p  MA  MB  AB  MA  MB  R Để ý :  MA  MB   2. MA2  MB   AB  8R 2 p  2R  2R  2R   suy MA  MB  2 R 1 Suy Dấu xảy MA  MB hay M điểm cung AB 11) Ta có: S ABCD  1  AD  BC  AB  R.CD  R.CD 2 Do CD  AB  R nên S ABCD  R Dấu xảy CD  AB hay CD // AB M điểm cung AB 12) Chu vi tứ giác ABCD q : q  AD  CD  BC  AB  2CD  AB  2CD  R mà CD  AB  R nên chu vi tứ giác ABCD : q  2CD  R  R Dấu xảy CD  AB hay CD // AB M điểm cung AB Như xuất phát từ tốn gốc có ý để chứng minh hướng dẫn học sinh 10 hướng chứng minh nhằm rèn luyện tư duy, kỹ năng, sáng tạo hình học cho học sinh Tương tự ta phát triển toán sau: 2.3.2b Bài toán 4: Qua điểm A nằm ngồi đường trịn  O; R  vẽ hai tiếp tuyến AB , AC đường tròn ( B , C hai tiếp điểm) Gọi E trung điểm AC , F giao điểm thứ hai EB với đường tròn  O  Gọi K giao điểm thứ hai đường thẳng AF với đường tròn  O  ; I trung điểm BC 15 1) Chứng minh tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp, CEF đồng dạng với BEC 2) Chứng minh AB  AF AK Xuất phát từ tốn gốc phát triển toán sau: 3) Chứng minh BF CK  BK CF 4) Chứng minh BK // AC 5) Chứng minh AE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ABF 6) Chứng minh OI OA  AF AK  OA 7) Gọi G giao điểm AO BE , OA  3R Tính AG theo R 8) Kẻ đường kính CD đường trịn  O  Chứng minh FD tia phân giác · góc BFK 9) Chứng minh tứ giác FIOK nội tiếp 10) Kẻ dây KN song song với BC Chứng minh ba điểm F , I , N thẳng hàng Như xuất phát từ tốn gốc có ý để chứng minh hướng dẫn học sinh hướng chứng minh nhằm rèn luyện tư duy, kỹ năng, sáng tạo hình học cho học sinh   2.3.2c Bài toán 5: Cho đường tròn  O, R   O , R  có R  R tiếp xúc ngồi  C Gọi AC BC hai đường kính qua điểm C  O   O  DE dây cung  O  vng góc với AB trung điểm M AB Gọi giao  O  F BD  O  DC G điểm thứ hai với MDGC 1) Tứ giác nội tiếp , cắt Chứng minh rằng: 2) Bốn điểm M , D , B , F nằm đường tròn 3) Tứ giác ADBE hình thoi Xuất phát từ tốn gốc phát triển toán sau: 4) Ba điểm B , E , F thẳng hàng 5) Ba đường thẳng DF , EG , AB đồng quy 6) MF  DE  7) MF tiếp tuyến  O  16 8) Qua C dựng tiếp tuyến chung CK đường tròn cho AK  KB Hai  đường tròn  O  ,  O  cắt AK , BK L H Chứng minh ALHB tứ giác nội tiếp 9) KL KA = KH KB 10) Chứng minh LH tiếp tuyến chung hai đường tròn Như xuất phát từ tốn gốc có ý để chứng minh hướng dẫn học sinh hướng chứng minh nhằm rèn luyện tư duy, kỹ năng, sáng tạo hình học cho học sinh 2.3.3 Phát triển từ toán thành nhiều dạng toán liên quan nhằm rèn luyện tư duy, kỹ năng, sáng tạo hình học cho học sinh Xuất phát từ toán gốc sau ta phát triển dạng toán cách chia thành nhiều dạng toán liên quan Bài toán 6: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O; R  cố định Kẻ đường cao AD , BE , CF cắt H BE , CF cắt  O  điểm thứ hai M N Gọi I trung điểm BC Kẻ đường kính AK  O  1.1 Chứng minh tứ giác BHCK hình bình hành 1.2 Chứng minh DC.DB  DH DA 1.3 Chứng minh BH BE  CH CF  BC Phát triển từ toán thành nhiều dạng toán liên quan + Dạng toán liên quan yếu tố tứ giác đặc biệt, tam giác đồng dạng 2.1 Chứng minh tứ giác BHCK hình bình hành 2.2 Chứng minh DC.DB  DH DA 2.3 Chứng minh AF AB  AE AC 2.4 Chứng minh H M đối xứng qua AC 2.5 Chứng minh EF //MN + Dạng toán liên quan đến đường trịn, góc với đường trịn 3.1 Chứng minh BH BE  CH CF  BC 3.2 Chứng minh AO   EF 3.3 Gọi P Q hình chiếu D BH CH Chứng minh PQ //EF 17 3.4 Chứng minh H tâm đường tròn nội tiếp tam giác EFD 3.5 Chứng minh IF tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF 3.6 Qua A kẻ đường thẳng xy song song với EF Chứng minh xy tiếp tuyến  O; R  3.7 Gọi P điểm đối xứng với K qua B Chứng minh P thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB 3.8 Gọi P , Q điểm đối xứng với K qua B C Chứng minh: H trung điểm PQ 3.9 Chứng minh FEID tứ giác nội tiếp +Dạng tốn quỹ tích Cho B , C cố định, điểm A chuyển động cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn 4.1 Chứng minh AH có độ dài khơng đổi (Có thể hỏi cách khác: Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF , tam giác HEF có bán kính chu vi không đổi) 4.2 Chứng minh H chuyển động cung tròn cố định · 4.3 Giả sử 45  BAC  90 Tìm vị trí điểm A để tam giác AEH có diện tích lớn 4.4 Tìm vị trí điểm A để tam giác HBC có diện tích lớn 4.5 Xác định vị trí điểm A cung lớn BC để chu vi tam giác DEF có giá trị lớn 4.6 AI cắt OH G Khi A di chuyển cung lớn BC G chuyển động đường nào? Hướng dẫn giải + Dạng toán liên quan yếu tố tứ giác đặc biệt, tam giác đồng dạng 2.1 Chứng minh tứ giác BHCK hình bình hành Xét tứ giác BHCK có : CH //BK ( Vì CH , BK  AB ) có BH //CK ( Vì BH , CK  AC )  BHCK hình bình hành 2.2 Chứng minh DC.DB  DH DA µ µ Xét tứ giác HFAE có E  F  90  90  180 nên tứ giác HFAE nội tiếp nên: 18 · · FAH  FEH ( góc nội tiếp chắn cung) · · Xét tứ giác FECB có BEC  BFC  90 nên tứ giác FECB nội tiếp nên : · · · · · · FCB  FEB Nên FCB  FAH  BAD  HCD · · · · Xét DBA DHC có BDA  HDC  90 ; BAD  HCD nên DBA ∽ DHC DB DA    DC.DB  DH DA DH DC 2.3 Chứng minh AF AB  AE AC · · · Xét AFC AEB có AEB  AFC  90 ; BAC chung AF AC    AF AB  AE AC  AFC ∽ AEB AE AB 2.4 Chứng minh H M đối xứng qua AC µ µ Xét tứ giác HECD có E  D  90  90  180 nên tứ giác HECD nội tiếp nên · · · · ECD  DHE  1800 mà ·AHE  DHE  180 nên ·AHE  ECD · · ·  ·AHM mặt khác BCA  BMA ( góc nội tiếp chắn cung) nên ta có: HMA  AHM cân A mà AE  HM nên AE đường trung trực HM Vậy H M đối xứng qua AC 2.5 Chứng minh EF //MN Tương tự 2.4 ta chứng minh H N đối xứng qua AB nên F trung điểm NH E trung điểm HM nên EF đường trung bình tam giác HNM Vậy EF //MN + Dạng toán liên quan đến đường trịn, góc với đường trịn 3.1 Chứng minh: BH BE  BD.BC ; CH CF  CD.CB  BH BE  CH CF  BC.BD  BC.CD  BC  1 3.2 Theo 2.4 có F trung điểm HN , tương tự E trung điểm HM  EF //MN · · » ¼ Chứng minh ABE  ACF  AN  AM hay A điểm cung MN  AO   MN  AO   EF Chú ý: Có thể dùng Câu 3.6 chứng minh câu A · · 3.3 Chứng minh tứ giác HPDQ tứ giác nội tiếp HPQ  HDQ · DH · DQ NCB · · · HC  ·NMP  HPQ  MN //O'QP  NMB Chứng minh ; hay EF //PQ (Khai thác thêm: AO   MN  AO   PQ ) F B H D E O I C 19 · DH  FBH · 3.4 Tứ giác BFHD nội tiếp  F · ·  EDH Ta có FBH ·ABE  ·ADE · · Tứ giác HDCE nội tiếp  HDE  HCE · · · DH  E · DH Mà FBH  ECH  F · DE  DA tia phân giác F · E Chứng minh tương tự FC phân giác DF  H giao điểm đường phân giác tam giác DEF hay H tâmđường tròn ngoại tiếp tam giác DEF 3.5 Chứng minh AH đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF Gọi O trung điểm AH Chứng minh IF   FO · · (Chứng minh AFO  IFC )  IF tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF 3.6 Vì xy // EF , mà AO  EF nên xy  AO A  xy tiếp tuyến  O; R  3.7 Chứng minh tứ giác PHCB hình bình hành  PH // BC  PH   AH  ·AHP  90 KB  AB  ·ABP  90  Tứ giác AHBP tứ giác nội tiếp  Điểm P thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB 3.8 Tứ giác PHCB hình bình hành nên PH  BC PH // BC Tứ giác HQCB hình bình hành nên HQ  BC HQ // BC  HP  HQ P, H , Q thẳng hàng  H trung điểm PQ 3.9 Tự làm +Dạng tốn quỹ tích 20 4.1 AH  2OI , mà BC cố định nên I cố định, suy OI không đổi hay AH không đổi 4.2 Vì B, C cố định nên trung điểm I BC cố định  OI không đổi AH  2OM (theo 3.9) suy AH không đổi · · Cách 1: Vì BC cố định nên BAC   không đổi.Chứng minh BHC  180   không đổi  Điểm H chuyển động cung chứa góc 180   dựng đoạn BC cố định Cách 2: BC cố định nên trung điểm I BC cố định Gọi O điểm đối xứng với O qua M  O cố định Chứng minh tứ giác HOKO hình bình hành nên OH  OK  R Vậy điểm H nằm cung tròn tâm O cố định, bán kính R khơng đổi  Cách 3: Lấy A  AD   O  ta chứng minh A đối xứng với H qua BC Vì A di động cung chứa góc 180   , nên H di động cung tròn ¼ đối xứng với BAC qua BC 2 2 4.3 SAEH max AE EH max, mà AE EH   AE  EH  AH  4OI · không đổi Dấu “ =” xảy AE  EH hay ACB  45 4.4 S BHC lớn  HD lớn nhất, mà AH không đổi nên HD lớn  AD lớn  A điểm cung lớn BC 4.5 Ta có : AE  FE (theo 3.4)Chứng minh A tương tự ta có BO  DF ; CO  ED SABC  S AEOF  S BFOD  SCDOE E 1  AO.FE  OB.FD  OC ED 2  R  FE  ED  DF  Vì R khơng đổi nên  FE  ED  DF  lớn  SABC lớn  AD lớn (do BC không đổi).Suy A điểm cung lớn BC 4.6 Chứng minh: G trọng tâm ABC F B O D C 21 Kẻ GQ // AO  Q  OI  A GQ IQ IG    Chứng minh AO IO IA Vì B , C , O cố định  I cố định 1 GQ  AO  R  Q cố định 3 không đổi Suy G thuộc đường trịn cố định tâm R Q bán kính E F H G O Q B D I C Như xuất phát từ toán gốc có ý để chứng minh ta phát triển toán cách chia thành nhiều dạng toán liên quan để nhằm rèn luyện tư duy, kỹ năng, sáng tạo hình học cho học sinh 2.4 Hiệu Sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết đạt được: Sau học xong tốn học sinh có kỹ làm tốn cách hợp lý, em nhìn nhận tốn nhiều khía cạnh khác Từ kích thích tị mị, sáng tạo, ham học hỏi, khám phá lạ học tập mơn Tốn nói riêng mơn khoa học khác nói chung Đặc biệt nhiều em học sinh vận dụng phương pháp khai thác toán cách hợp lý nên taọ nhiều toán hay,bài tốn khó có lời giải độc đáo Sau áp dụng sáng kiến vào dạy học có chuyển biến rõ rệt, đặc biệt em có học lực từ trở lên, em chịu khó suy nghĩ, tìm tịi, lời giải mạch lạc + Khảo sát thực tế 70 học sinh lớp năm học (2020-2021) đơn vị kết sau Áp dụng NB TH VDT VDC Trước áp dụng đề tài 50/70 40/70 25/70 2/70 Sau áp dụng đề tài 55/70 50/70 37/70 4/70 + Cũng đề tài đồng nghiệp áp dụng 90 học sinh cho kết sau Áp dụng Trước áp dụng đề tài Sau áp dụng đề tài NB 80/ 90 85/90 TH 75/90 80/90 VDT 45/90 55/90 VDC 6/90 10/90 22 Như sau áp dụng số lượng HS giải theo mức độ có thay đổi đáng kể Đặc biệt em giải từ 50% trở lên tăng rõ rệt, tư duy, kỹ tăng lên sau đề tài áp dụng Những hạn chế: Ngoài kết đạt nêu trình thực áp dụng kinh nghiệm vào việc hướng dẫn giảng dạy cho học sinh thấy hạn chế sau : - Số lượng tốn cịn nên việc hình thành kỹ vận dụng chuyên đề cịn hạn chế - Có số tốn phát triển khó áp dụng học sinh khá,giỏi KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua việc tìm hiểu tốn cần vận dụng linh hoạt , sáng tạo kết toán , vận dụng triệt để hình vẽ số tập để chuyển tiếp sang khác khai thác phát triển để tốn hay hơn, khó Nếu làm tốt điều giúp em hiểu sâu sắc kiến thức học, góp phần phát triển tư sáng tạo tiếp thu tốt kiến thức mới, phát huy trí lực học sinh Các tốn chắn nhiều hướng khai thác khác, mong đồng nghiệp tiếp tục phát triển xem Trên kinh nghiệm thân nhiều GV q trình giảng dạy tích góp lại tạo thành Có thiếu sót mong góp ý q thầy Tơi xin chân thành cảm ơn 3.2 Kiến nghị Để tăng thêm hiệu khắc phục tồn áp dụng đề tài, tơi tiếp tục đề cho hướng giải Tiếp tục nghiên cứu đề tài “Phát triển tốn hình học nhằm rèn luyện lực tư duy, kỹ cho học sinh lớp ’’ áp dụng lớp đặc biệt ôn tập cho học sinh lớp ôn thi tuyển sinh hiệu đồng thời theo dõi kết học sinh để tìm biện pháp khắc phục nhược điểm hạn chế đề tài Về phía nhà trường cần tiến hành khảo sát chất lượng đầu năm để phân loại học sinh giỏi yếu kém.Có kế hoạch cụ thể tăng thời lượng ôn tập cho học sinh lớp lên để có thời gian nghiên cứu dạng tốn 23 Tơi xin cam đoan SKKN hoàn toàn thân tơi tìm tịi, nghiên cứu khơng copy Người viết Hiệu trưởng Trịnh Hồng Dũng Phạm Thanh Phương TÀI LIỆU THAM KHẢO -Sách giáo khoa toán ( Nhà xuất giáo dục) - Nhóm GV Tốn THCS Việt Nam -Nâng cao phát triển toán ( Tác giả : Vũ Hữu Bình - Nhà xuất giáo dục) - Tạp chí Tốn học tuổi trẻ - Để học tốt toán ( Tác giả : Vũ Hữu Bình - Nhà xuất giáo dục) - Tổng hợp chuyên đề trọng tâm thi vào 10 chuyên & học sinh giỏi ( Tác giả : Nguyễn Trung Kiên – Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội ) ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SKKN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC, SÁNG KIẾN NHÀ TRƯỜNG ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… Xếp loại: ………………………………………………………………………… TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG Chủ tịch ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SKKN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC, SÁNG KIẾN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CẨM THỦY ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… Xếp loại: ………………………………………………………………………… TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GD&ĐT Chủ tịch ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SKKN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC, SÁNG KIẾN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THANH HÓA ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… Xếp loại: ………………………………………………………………………… TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GD&ĐT Chủ tịch ... dẫn học sinh hướng chứng minh nhằm rèn luyện tư duy, kỹ năng, sáng tạo hình học cho học sinh 2.3.3 Phát triển từ toán thành nhiều dạng toán liên quan nhằm rèn luyện tư duy, kỹ năng, sáng tạo hình. .. nhằm rèn luyện tư duy, kỹ 2.3 năng, sáng tạo hình học cho học sinh Phát triển từ số toán quen thuộc dạng toán Nội dung 11 có nhiều câu hỏi nhằm rèn luyện tư duy, kỹ năng, sáng tạo 2.3 hình học cho. .. tiếp tục đề cho hướng giải Tiếp tục nghiên cứu đề tài ? ?Phát triển tốn hình học nhằm rèn luyện lực tư duy, kỹ cho học sinh lớp ’’ áp dụng lớp đặc biệt ôn tập cho học sinh lớp ôn thi tuyển sinh hiệu