Skkn chuyên đề định lý vi et

A NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ GỒM : I Ứng dụng Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn II Ứng dụng Lập phương trình bậc hai III Ứng dụng Tìm hai số biết tổng tích chúng IV Ứng dụng Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình V Ứng dụng Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số VI Ứng dụng Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai VII Ứng dụng Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm VIII Ứng dụng B CỤ THỂ: ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TỐN Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a0) Có hai nghiệm (*) ; Suy ra: Vậy đặt : - Tổng nghiệm S : S = - Tích nghiệm P : P= Như ta thấy hai nghiệm phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với hệ số a, b, c Đây nội dung Định lí VI-ÉT, sau ta tìm hiểu số ứng dụng định lí giải tốn skkn I NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH : Dạng đặc biệt: Xét phương trình (*) ta thấy : a) Nếu cho x = ta có (*)  a.12 + b.1 + c =  a + b + c = Như vây phương trình có nghiệm b) Nếu cho x = nghiệm lại ta có (*)  a.( 1)2 + b( 1) + c =  a Như phương trình có nghiệm b+c=0 nghiệm cịn lại Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm phương trình sau: 1) (1) 2) (2) Ta thấy : Phương trình (1) có dạng a b + c = nên có nghiệm Phương trình (2) có dạng a + b + c = nên có nghiệm và Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm phương trình sau: Cho phương trình , có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm tìm nghiệm cịn lại hệ số phương trình : Vídụ: a) Phương trình x  px   Có nghiệm 2, tìm p nghiệm thứ hai b) Phương trình x  x  q  có nghiệm 5, tìm q nghiệm thứ hai c) Cho phương trình : x  x  q  , biết hiệu nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình d) Tìm q hai nghiệm phương trình : x  qx  50  , biết phương trình có nghiệm có nghiệm lần nghiệm Bài giải: a) Thay v phương trình ban đ ầu ta đ ợc : skkn Từ b) Thay suy v phương trình ban đ ầu ta đ ợc Từ suy c) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử theo VI-ÉT ta có , ta giải hệ sau: Suy d) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử Với theo VI-ÉT ta có Suy th ì Với th ì II LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm Ví dụ : Cho ; lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm Theo hệ thức VI-ÉT ta có nghiệm phương trình có dạng: Bài tập áp dụng: x1 = vµ x1 = 3a vµ x2 = a x1 = 36 vµ x2 = -104 x1 = vµ x2 = -3 x2 = Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước: skkn V í dụ: Cho phương trình : x  3x   có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn : y1  x2  1 y2  x1  x1 x2 Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: Vậy phương trình cần lập có dạng: hay Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình 3x  x   có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Không giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1  x1  (Đáp số: 1 y2  x2  x2 x1 hay ) 2/ Cho phương trình : x  x   có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn y1  x14 y2  x24 (có nghiệm luỹ thừa bậc nghiệm phương trình cho) (Đáp số : y  727 y   ) 3/ Cho phương trình bậc hai: x  x  m  có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 ; y2 cho : (Đáp số a) y1  x1  y2  x2  b) y1  x1  y2  x2  a) y  y   m  b) y  y  (4m  3)  ) III TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có Tổng S Tích P hai số hai nghiệm phương trình : (điều kiện để có hai số S2 Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = Vì a + b = ab = tích P = ab = 4P  ) 4 n ên a, b nghiệm phương trình : skkn giải phương trình ta Vậy a = b = a = 4 b = Bài tập áp dụng: Tìm số a b biết Tổng S Tích P S = P=2 P=6 S = P = 20 S = 2x P = x2 S = y2 Bài tập nâng cao: Tìm số a b biết a + b = a2 + b2 = 41 a b = ab = 36 a2 + b2 = 61 v ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức VI- ÉT cần tìm tích a v b Từ Suy : a, b nghiệm phương trình có dạng : Vậy: Nếu a = b = a = b = 2) Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = a.c = 36 Suy a,c nghiệm phương trình : Do a = c = nên b = a = c = nên b = Cách 2: Từ *) Với ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : Vậy a = b = skkn *) Với ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : Vậy a = b = 3) Đã biết ab = 30, cần tìm a + b: T ừ: a2 + b2 = 61 *) Nếu ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình: Vậy a = *) Nếu b = ; a = b = ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình : Vậy a = b = ; a = b = IV TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối toán dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức Biến đổi biểu thức để làm xuất : ( Ví dụ ) a) b) c) d) Ví dụ Ta biết Từ biểu thức biến đổi biến đổi biểu thức sau: ( (= (= =…….) =…… ) =…… ) skkn (= = …… ) Bài tập áp dụng Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x  x  15  Khơng giải phương trình, tính 2 x1  x2 x1 x2  x2 x1  34     15   x1  x2  b) Cho phương trình : 1  x1 x2 1  x1 x2 (34) 8    15  (46) Khơng giải phương trình, tính: 9   8 2 x1  x2 c) Cho phương trình : x  14 x  29  Khơng giải phương trình, tính: 1  x1 x2  14     29  2 x1  x2 (138) d) Cho phương trình : x  x   Khơng giải phương trình, tính: 1  x1 x2 (3)  x1  x2  x1 x2 2 x1  x2 (1) x1 x  x2  x1  1 (1) e) Cho phương trình x  x   có nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình, tính Q HD: Q  x12  10 x1 x2  x22 x1 x23  x13 x2 x12  10 x1 x2  x22 6( x1  x2 )  x1 x2 6.(4 3)  2.8 17    3 2 x1 x2  x1 x2 x1 x2  x1  x2   x1 x2  5.8 (4 3)  2.8 80   V TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHƠNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Để làm toán loại này, ta làm theo bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a    0) - Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v P = x1 x2 theo tham số skkn - Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x1 x2 Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 Ví dụ 1: Cho phương trình :  m  1 x  2mx  m   có nghiệm x1 ; x2 Lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho chúng khơng phụ thuộc vào m Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì : Theo hệ th ức VI- ÉT ta có : Rút m từ (1) ta có : (3) Rút m từ (2) ta có : (4) Đồng vế (3) (4) ta có: Ví dụ 2: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình :  m  1 x  2mx  m   Chứng minh biểu thức A   x1  x2   x1 x2  không phụ thuộc giá trị m Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì : Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó : thay v A ta c ó: skkn Vậy A = với Do biểu thức A không phụ thuộc vào m Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm - Sau dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đồng vế ta biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số Bài tập áp dụng: Cho phương trình : x   m   x   2m  1  có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho x1 ; x2 độc lập m Hướng dẫn: Dễ thấy phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có Từ (1) (2) ta có: 2 Cho phương trình : x   4m  1 x   m    Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 cho chúng không phụ thuộc vào m Hướng dẫn: Dễ thấy phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có Từ (1) (2) ta có: VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO Đối với toán dạng này, ta làm sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a    0) skkn - Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn tham số) - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ 1: Cho phương trình : mx   m  1 x   m  3  Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1  x2  x1.x2 Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó nghiệm x1 x2 l : Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: v t gi ả thi ết: Suy ra: (thoả mãn điều kiện xác định ) Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1  x2  x1.x2 2 Ví dụ 2: Cho phương trình : x   2m  1 x  m   Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2   x1  x2    Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm Theo hệ thức VI-ÉT ta có: : từ giả thiết 3x1 x2   x1  x2    Suy Vậy với m = phương trình có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2   x1  x2    Bài tập áp dụng 10 skkn Cho phương trình : mx   m   x  m   Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1  x2  2 Cho phương trình : x   m  1 x  5m   Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức: x1  x2  Cho phương trình : 3x   3m   x   3m  1  Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1  x2  Hướng dẫn cách giải: Đối với tập dạng ta thấy có điều khác biệt so với tập Ví dụ ví dụ chỗ + Trong ví dụ biểu thức nghiệm chứa sẵn tổng nghiệm tích nghiệm nên ta vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m + Còn tập biểu thức nghiệm lại khơng cho sẵn vậy, vấn đề đặt làm để từ biểu thức cho biến đổi biểu thức có chứa tổng nghiệm tích nghiệm từ vận dụng tương tự cách làm trình bày Ví dụ ví dụ BT1: - ĐKX Đ: -Theo VI-ÉT: - Từ x1  x2  Suy ra: (2) - Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình sau: BT2: - ĐKXĐ: - Theo VI-ÉT: - Từ : x1  x2  Suy ra: (2) - Thế (1) vào (2) ta có phương trình : (thoả mãn ĐKXĐ) 11 skkn BT3: - Vì với số thực m nên phương trình ln có nghiệm phân biệt - -Theo VI-ÉT: - Từ giả thiết: 3x1  x2  Suy ra: (2) - Thế (1) vào (2) ta phương trình: (thoả mãn ) VII XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho phương trình: ax  bx  c  (a  0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm … Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm x1 x2  Điều kiện chung trái dấu P0 0 0 ;P>0 S>0 P>0 0 0 ;P>0;S>0 S0 0   ; P > ; S < dương, + + âm Ví dụ: Xác định tham số m cho phương trình: có nghiệm trái dấu Để phương trình có nghiệm trái dấu Vậy với phương trình có nghi ệm trái dấu Bài tập tham khảo: mx   m   x   m    có nghiệm dấu 2 3mx   2m  1 x  m  có nghiệm âm  m  1 x  x  m  có nghiệm khơng âm 12 skkn VIII TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM Áp dụng tính chất sau bất đẳng thức: trường hợp ta ln phân tích được: (trong A, B biểu thức khơng âm ; m, k số) Thì ta thấy : (v ì (v ì (*) ) ) Ví dụ 1: Cho phương trình : x   2m  1 x  m  Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm m để : A  x12  x22  x1 x2 có giá trị nhỏ Bài giải: Theo VI-ÉT: Theo đ ề b ài : Suy ra: Ví dụ 2: Cho phương trình : x  mx  m   Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức sau: B x1 x2  x  x22   x1 x2  1 Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT : Cách 1: Thêm bớt để đưa dạng phần (*) hướng dẫn Ta biến đổi B sau: 13 skkn Vì Vậy m=1 Với cách thêm bớt khác ta lại có: Vì Vậy Cách 2: Đưa giải phương trình bậc với ẩn m B tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để phương trình cho ln có nghiệm với m (Với m ẩn, B tham số) (**) Ta có: Để phương trình (**) ln có nghiệm với m   hay Vậy: m=1 Bài tập áp dụng Cho phương trình : x   4m  1 x   m    Tìm m để biểu thức A   x1  x2  có giá trị nhỏ 14 skkn Cho phương trình Tìm m cho nghiệm thỏa mãn điều kiện Cho phương trình : a) đạt giá trị lớn b) đạt giá trị nhỏ Cho phương trình : xác định m để phương trình có nghiệm Với giá trị m, biểu thức thỏa mãn dạt giá trị nhỏ Cho phương trình Xác định m để biểu thức đạt giá trị nhỏ 15 skkn ... : skkn Từ b) Thay suy v phương trình ban đ ầu ta đ ợc Từ suy c) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử theo VI- ÉT ta có , ta giải hệ sau: Suy d) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề. .. x1 x2 (thường a    0) skkn - Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức VI- ÉT để giải phương trình (có ẩn tham số) - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ... ĐKXĐ) 11 skkn BT3: - Vì với số thực m nên phương trình ln có nghiệm phân biệt - -Theo VI- ÉT: - Từ giả thiết: 3x1  x2  Suy ra: (2) - Thế (1) vào (2) ta phương trình: (thoả mãn ) VII XÁC ĐỊNH DẤU