Chuyên đề Định lý Vi et =>Ôn 10

I- Lý thuyết 1- Định lí Vi-ét Nếu phơng trình ax2 + bx + c = ( a 0) (1) có hai nghiệm x1 x2 thì: b x + x = a x ìx = c a Chứng minh: Do x1 x2 hai nghiệm pt (1) nên: a(x - x1).(x - x2) = ax2 + bx + c với x ax2 - ax1x - ax2x + ax1x2 = ax2 + bx + c ax2 - (ax1+ ax2)x + ax1x2 = ax2 + bx + c b x + x = ( ax1 + ax ) = b a ax1x = c x x = c a 2- Định lí Vi- ét đảo Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phơng trình: x2 -Sx + P = Điều kiện tồn hai số là: S2 - 4P > II- Các dạng tập Dạng 1: áp dụng hệ thức Vi-ét vào tìm giá trị tham số m để phơng trình thoả mãn điều kiện T cho trớc * Bài toán bản: Tìm giá trị tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a 0) (I) Có nghiệm thảo mãn điều kiện T cho trớc * Phơng pháp: Để phơng trình (I) có nghiệm ta phải có: (*) b x + x = a Khi theo hệ thức vi-ét ta có: x x = c a Để tìm giá trị tham số m ta giải hệ phơng trình: b x + x = a c so sánh với điều kiện (*) kết luận toán x1 ìx = a Điều kiện T Bài toán 1: Cho phơng trình x2 - 2m x + 2m -1 = (1) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 ,x2 thảo mãn x1 = x2 Bài giải: Để phơng trình (2) có nghiệm ta phải có: ' = ( m ) ( 2m 1) = m 2m + = ( m 1) với m Khi phơng trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x = 2m x1 ìx = 2m (*) (**) Kết hợp với điều kiện x1 = x2 Thay vào (*) ta có: 2x + x = 2m x = 2m 4m ;x1 = 3 2m 4m = 2m 8m 18m + = 3 3 Giải phơng trình ẩn m ta đợc : m1 = ; m = (thoả mãn ) 3 Vậy m1 = ; m = phơng trình có nghiệm x1 ,x2 thảo mãn x1 = x2 Thay vào (**) ta có: Bài toán 2: Cho phơng trình x2 -mx + m + = (2) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 ,x2 thảo mãn x1x2 + 2(x1 + x2) - 19 = Bài giải: Để phơng trình (2) có nghiệm ta phải có: = m2 - 4m - (*) m + 2 (**) m 2 x + x = m Khi phơng trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức vi-ét ta có: x1 ìx = m + Từ x1 x2 + 2(x1 + x2) - 19 = m + + 2m - 19 = 3m = 18 m = ( Thoả mãn (**)) Vậy m = giá trị cần tìm *Lu ý: Trong trình tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm điều kiện phơng trình hay bất phơng trình mà ta giải gặp khó khăn , chẳng hạn nh tập điều kiện m2 - 4m - ta không giải phơng trình hay bất phơng trình Sau tìm đợc m thay vào xem có thoả mãn không Ví dụ tập tìm đợc x = ta thay vào (*) ta có: = 62 - 4.6 - = > , m = thoả mãn (*) Bài toán 3: Cho phơng trình x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = (3 ) Tìm giái trị m để phơng trình có nghiệm x1 ,x2 thảo mãn : A = 10 x1x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị Bài giải: m Phơng trình (3 ) có nghiệm ' = m2 - (*) m Khi phơng trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x = ( m + 1) = 2m + x1 ìx = 2m + 10 Từ A = 10 x1x2 + x1 + x22 = (x1 + x2 )2 + x1x2 = (2m + )2 + 8(2m +10) = 4m2 + 24m + 84 = ( 2m + 6)2 + 48 48 Min A = 48 2m + = hay m = -3.( tmđk*) Vậy m =-3 A đạt giá trị nhỏ MinA = 48 Bài toán : Gọi x1 ,x2 hai nghiệm phơng trình: 2x2 + 2(m + 1) x + m2 + 4m + = (4 ) Tìm giá trị lớn M = x1x 2x1 2x Bài giải: Phơng trình (4 ) có nghiệm ' = -m - 6m - m + 6m + ( m + 1) ( m + ) m ( * ) Khi phơng trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x = m m2 + 4m + x ì x = m + 4m + Từ M = x1x 2x1 2x = x1x ( x1 + x ) = + 2m + 2 m + 8m + = m + 8m + = ( m + 8m + ) với m 2 2 m + 8m + < 2 9 M = ( m + ) = ( m + ) 2 2 Max M = ( m + ) = hay m = -4 ( tmđk*) Vậy m = - M đạt giá trị lớn MaxM = Bài toán : Cho phơng trình x2 - mx + m -1 = (5 ) a/ Chứng minh phơng trình có nghiệm với m b/ Gọi x1 , x2 hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn 2x1x + P= x + x 2 + ( x x + 1) Bài giải: a/ Có = m2 - 4m + = (m - 2)2 với m Vậy phơng trình (5) có nghiệm với m b/ Khi phơng trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x = m x1 x = m - 2x1x + 2m + 2m + = = Từ P = 2 x + x + ( x x + 1) m2 + m +2 = m P + 2P = 2m + m P + 2m + 2P = Để tồn P phải tồn m phơng trình ẩn m phải có nghiệm hay: 'm = 2P + P ( P 1) ( 2P + 1) P Min P = m=-2.( tm) Max P = m=1.( tm) * Nhận xét: Đối với biểu thức chứa nghiệm phơng trình cho trớc muốn tìm giá trị lớn hay giá trị nhỏ ta làm theo trình tự sau: +Trớc hết ta phải tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm +Biến đổi biểu thức xuất tổng hai nghiệm tích hai nghiệm +Từ áp dụng hệ thức Vi -ét thay vào đợc biểu thức chứa tham số m Ta tiến hành tìm GTNN, GTLN biểu thức với ẩn m Bài toán 6: Cho phơng trình x2 - 2(m + 1) x + m -1 = (6 ) a/ Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt với m b/ Gọi x1 , x2 hai nghiệm phơng trình Chứng minh biểu thức: A = x1 ( x ) + x ( x1 ) không phụ thuộc vào giá trị m Bài giải: 2 a/ Có ' = ( m + 1) ( m 1) = m + m + = m + ữ + > với m Vậy phơng trình (6 ) có hai nghiệm phân biệt với m b/ Khi phơng trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x = 2m + x1 ìx = m Vậy giá trị lớn P Giá trị nhỏ P Từ A = x1 ( x ) + x ( x1 ) = ( x1 + x ) 2x1x = 2m + ( m 1) = Vậy giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị m Dạng 2: Hệ thức Vi-ét tơng giao hàm số * Phơng pháp: Cho hàm số: y = ax2 ( a 0) (P) : y = mx + n (d) Hoành độ giao điểm (d ) (P) nghiệm phơng trình: ax2 = mx + n ax2 - mx - n = (II) +/ Nếu phơng trình (II) có hai nghiệm phân biệt (d) cắt (P) hai điểm phân biệt +/ Nếu phơng trình (II) có nghiệm kép (d) tiếp xúc với (P) +/ Nếu phơng trình (II) vô nghiệm (d ) điểm chung với cắt (P) Bài toán : Cho hàm số y = x2 (P) y = 3x + m2 (d) a/ Chứng minh với giá trị m (d) cắt (P) hai điểm phân biệt b/ Gọi y1 , y2 tung độ giao điểm (d) (P) Tìm m để: y1 + y2 = 11y1y2 Bài giải: a/ Hoành độ giao điểm d P nghiệm phơng trình: x2 = 3x + m2 x2 - 3x - m2 = (7) Xét = + 4m > với m nên phơng trình (7) có hai nghiệm phân biệt với m , chứng tỏ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt b/ Khi hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phơng trình (7) Gọi hai nghiệm x1 ,x2 , theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x = x1 ìx = m Ta có tung độ tơng ứng là: y1 = x12 ; y2 = x22 Từ y1 + y2 = 11y1y2 ta có: x12 + x22 =11x12.x22 (x1 + x2) - 2x1x2 -11 (x1x2) = +2m2 - 11m4 = 11m4 - 2m2 - = 2 ( m 1) ( 11m + ) = m = m = (tm) Vậy với m = giá trị cần tìm Bài toán : Cho hàm số y = x (P) a/ Gọi A B hai điểm phân biệt thuộc đồ thị có hoành độ -2 Viết phơng trình đờng thẳng AB b/ Đờng thẳng y = x + m - (d) (d) cắt (P) hai đểm phân biệt Gọi x , x2 hoành độ hai giao điểm Tìm m để x12 + x 2 + 20 = x12 ìx 2 Bài giải: 2 1 a/ A (P) , xA = y A = = ; B (P) , xB = - y B = ( ) = 2 2 Vậy A 1; ữ; B ( 2; ) Phơng trình đờng thẳng AB là: 1 y + y + x x = y = x (AB ) = + 2 b/ Hoành độ giao điểm (d) (P ) nghiệm phơng trình : (8) x = x + m x + 2x + 2m = Do (d) cắt (P) hai đểm phân biệt pt (8) có hai nghiệm phân biệt > ' = - 2m > m < (*) x + x = Gọi hai nghiệm x1 ,x2 , theo hệ thức vi-ét ta có: x1 ìx = 2m Từ x12 + x 2 + 20 = x12 ìx 2 ( x1 + x ) 2x1x x12 x 2 + 20 = Thay vào ta có: ( ) ( 2m ) ( 2m ) + 20 = 4m 12m 16 = 2 m = Giải phơng trình tìm đợc kết hợp với điều kiện (*) ta có m = -1 thoả mãn điều kiện m = toán nên với m = -1 giá trị cần tìm Bài toán : Cho hàm số y = x (P) điểm M (1; -2) a/ Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua M có hệ số góc m b/ Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với m c/ Gọi xA ; xB hoành độ A B Tìm m để x A x B + x A x B đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị Bài giải: a/ Đờng thẳng có hệ số góc m có dạng : y = mx + b Đờng thẳng qua điểm M (1; -2) nên ta có: -2 = m + b b = - m -2 Vậy đờng thẳng cần tìm là: y = mx - m - (d) b/ Hoành độ giao điểm (d) (P ) nghiệm phơng trình : (9) x = mx m x + 2mx 2m = 2 Xét ' = m2 +2m + = ( m + 1) + > với m , (d) cắt (P) hai đểm phân biệt với m c/ Khi xA ,xB nghiệm phơng trình (1) , theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x = 2m x1 ìx = 2m Từ x A x B + x A x B = x A x B (x A + x B ) = ( 2m ) ( 2m ) = 4m + 8m + + ( ) = ( 2m + ) + ( ) Vậy Min ( x A x B + x A x B ) = -4 2m + = hay m = -1 Kết luận: Với m = -1 x A x B + x A x B + giá trị nhỏ nhất, giá trị -4 Dạng 3: Lập phơng trình bậc hai ẩn sử dụng định lý vi-ét đảo * Phơng pháp: Bớc 1: Tính tổng hai nghiệm tích hai nghiệm Bớc 2: Sử dụng định lí Vi- ét đảo để lập đợc phơng trình Bài toán 10: Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm là: a/ - b/ c/ m m -1 + Bài giải : a/ Có x1 = x2 = -6 Ta có tổng hai nghiệm là: x1 + x = + ( ) = Tích hai nghiệm là: x1x = ì( ) = Vậy phơng trình cần lập là: x + 5x = có hai nghiệm x1 = x2 = -6 Các phần khác tơng tự Bài toán 11: Cho phơng trình x + 2x = có hai nghiệm x1 x2 x x2 Hãy lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm là: x2 x1 Bài giải : a/ Ta có : ' = ( ) = > nên phơng trình có hai nghiệm x1 x2 Phơng trình cần lập có: 2 x1 + x ) 2x1x ( ) ( ) ( x x 14 Tổng hai nghiệm là: + = = = x x1 x1 x 5 x x 14 Tích hai nghiệm là: ì = Vậy phơng trình cần lập là: y + y + = x x1 * Lu ý : Để lập đợc phơng trình bậc hai ẩn có hai nghiệm cho trớc cách khác chẳng hạn: phơng trình có nghiệm x = a x = b ( x - a)( x - b) = x ( a + b ) x + ab = (Vận dụng phơng trình tích ), xong lập phơng trình bậc hai ẩn sử dụng định lí vi-ét đảo đa số học sinh dễ hiểu vận dụng tốt Dạng 4: Giải hệ phơng trình định lý vi-ét đảo x + y = 25 Bài toán 12 : Giải hệ phơng trình xy = 12 Bài giải: 2 2 x + y = 25 ( x + y ) 2xy = 25 ( x + y ) = 49 x + y = xy = 12 xy = 12 xy = 12 xy = 12 x + y = t = * Nếu x y nghiệm phơng trình t 7t + 12 = (tm) xy = 12 t = x + y = t = * Nếu x y nghiệm pt : t + 7t + 12 = (tm) xy = 12 t = x = x = x = x = Vậy hpt cho có bốn nghiệm là: ; ; ; y = y = y = y = ( x + y ) + 2xy = 19 x + y + 3xy = 35 Bài giải: 5S + 2P = 19 S = Đặt x + y = S xy = P ta có: S + 3P = 35 P = 12 Bài toán 13 : Giải hệ phơng trình x + y = Thay vào ẩn phụ ta có x y hai nghiệm phơng trình: xy = 12 t = (tm) t t 12 = t = x = x = Vậy hpt cho có hai nghiệm là: ; y = y = Bài toán 14: Cho hệ phơng trình x + xy + y = m + 2x + xy + 2y = m a/ Giải hệ phơng trình với m = b/ Tìm tất giá trị m để hệ phơng trình có nghiệm Bài giải: ( x + y ) xy = x + xy + y = a/ Khi m = thay vào pt ta có hệ: 2x + xy + 2y = ( x + y ) + xy = S P = Đặt x + y = S xy = P ta có: 2S + P = Cộng vế với vế sau chuyển vế ta có: S1 = S + 2P = Giải phơng trình ẩn S ta tìm đợc: S = x + y = +/ Nếu S1 = P1 = -3 ta có: x y nghiệm phơng trình xy = t = (tm) t 2t = t = x + y = +/ Nếu S = P2 = ta có: x y nghiệm phơng trình xy = t + 4t + = (ph ơng trình vô nghiệm) x = x = Vậy hpt cho có nghiệm là: ; y = y = ( x + y ) xy = m + x + xy + y = m + b/ Ta có 2x + xy + 2y = m ( x + y ) + xy = m S P = m + Đặt x + y = S xy = P ta có: 2S + P = m Cộng vế với vế sau chuyển vế ta có: S + 2P 2m = (10) Để hệ phơng trình có nghiệm phơng trình (10) ẩn S phải có nghiệm nhất( Do a , nên nghiệm nghiệm kép) ' = Ta có ' = + 2m = m = ( tm) Vậy với m = hệ phơng trình có nghiệm * Kết luận : Phơng pháp chung để giải hệ phơng trình sử dụng định lí Vi-ét đảo x + y = S cách biến đổi hệ phơng trình dạng x y nghiệm phơng trình xy = P t S ìt + P = đa dạng hệ phơng trình có chứa x + y = S xy = P , giải phơng trình hệ phơng trình ẩn S P xác định đợc nghiệm hệ phơng trình III- Bài toán vận dụng Bài toán 1: Cho phơng trình x2 - 2(m + ) x + m + = a/ Giải phơng trình với m = b/ Trong trờng hợp phơng trình có nghiệm x1 ,x2 , tìm hệ thức liên hệ x1 ,x2 không phụ thuộc vào m c/ Tìm giá trị nhỏ x12 + x 2 Bài toán 2: Cho phơng trình x2 + (2m - )x - m = a/ Chứng minh phơng trình có nghiệm với m b/ Gọi x1 , x2 hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị m để A = x12 + x 2 6x1x có giá trị nhỏ Bài toán : Cho hàm số y = x (P) điểm M (1; -2) a/ Chứng minh đờng thẳng qua M có hệ số góc m cắt (P) hai điểm phân biệt A B với m b/ Gọi xA ; xB hoành độ A B Tìm m để x A + x B 2x A x B ( x A + x B ) đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị Bài toán : Cho hàm số y = 2x 6x m + ( * ) với m tham số a/ Khi m = tìm x để y = b/ Tìm m để đờng thẳng y = x + cắt đồ thị hàm số (*) hai điểm phân biệt Tìm tung độ trung điểm đoạn thẳng nối hai giao điểm Bài toán : Giải hệ phơng trình: x + x + y + y = 18 x + y + xy = x xy + y = a/ b/ c/ x + y = x + y = 17 x ( y + 1) + y ( x + 1) = 72 x y = Bài toán 6: Tìm tất giá trị m để hệ phơng trình có nghiệm x y = m x + y + xy = m Bài toán 7: Tìm tất giá trị m để hệ phơng trình vô nghiệm x + y = m ... trình bậc hai ẩn sử dụng định lý vi- ét đảo * Phơng pháp: Bớc 1: Tính tổng hai nghiệm tích hai nghiệm Bớc 2: Sử dụng định lí Vi- ét đảo để lập đợc phơng trình Bài toán 10: Lập phơng trình bậc... trình tích ), xong lập phơng trình bậc hai ẩn sử dụng định lí vi- ét đảo đa số học sinh dễ hiểu vận dụng tốt Dạng 4: Giải hệ phơng trình định lý vi- ét đảo x + y = 25 Bài toán 12 : Giải hệ phơng trình... trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi- ét ta có: x1 + x = ( m + 1) = 2m + x1 ìx = 2m + 10 Từ A = 10 x1x2 + x1 + x22 = (x1 + x2 )2 + x1x2 = (2m + )2 + 8(2m +10) = 4m2 + 24m + 84 = ( 2m + 6)2 +