Chuyen de he thuc vi et

«n thi vµo THPT Toán nâng cao ứng dụng định lí vi- ét I LP PHNG TRèNH BẬC HAI Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1 ; x2 Ví dụ : Cho x1 = ; x2 = lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm  S = x1 + x2 = Theo hệ thức VI-ÉT ta có  x1 ; x2 nghiệm phương trình có dạng:  P = x1 x2 = x − Sx + P = ⇔ x − x + = Bài tập áp dụng: x1 = vµ x2 = -3 x1 = 3a vµ x2 = a x1 = 36 vµ x2 = -104 x1 = + vµ x2 = − 2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước: V í dụ: Cho phương trình : x − 3x + = có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn : y1 = x2 + 1 y2 = x1 + x1 x2 Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: 1 1 1 x +x S = y1 + y2 = x2 + + x1 + = ( x1 + x2 ) +  + ÷ = ( x1 + x2 ) + = + = x1 x2 x1 x2 2  x1 x2  1 1 P = y1 y2 = ( x2 + )( x1 + ) = x1 x2 + + + = +1+1+ = x1 x2 x1 x2 2 Vậy phương trình cần lập có dạng: hay y − Sy + P = 9 y2 − y + = ⇔ y2 − y + = 2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình x + x − = có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Khơng giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 = x1 + (Đáp số: y + 1 y2 = x2 + x2 x1 y − = hay y + y − = ) 2/ Cho phương trình : x − x − = có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn y1 = x14 y2 = x24 (có nghiệm luỹ thừa bậc nghiệm phương trình cho) ôn thi vào THPT -(Đáp số : y − 727 y + = ) 3/ Cho phương trình bậc hai: x − x − m = có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 ; y2 cho : (Đáp số a) y1 = x1 − y2 = x2 − b) y1 = x1 − y2 = x2 − a) y − y + − m = b) y − y − (4m − 3) = ) II TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có Tổng S Tích P hai số hai nghiệm phương trình : (§iều kiện để có hai số S2 − 4P ≥ ) x − Sx + P = Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = − tích P = ab = − Vì a + b = − ab = − n ên a, b nghiệm phương trình : x + x − = giải phương trình ta x1 = x2 = −4 Vậy a = b = − a = − b = Bài tập áp dụng: Tìm số a b biết Tổng S Tích P S = P=2 S = − P=6 S = P = 20 S = 2x P = x2 − y2 Bài tập nâng cao: Tìm số a b biết a + b = a2 + b2 = 41 a − b = ab = 36 a2 + b2 = 61 v ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức VI- ÉT cần tìm tích a v b 81 − ( a + b ) T a + b = ⇒ ( a + b ) = 81 ⇔ a + 2ab + b = 81 ⇔ ab = = 20  x1 = Suy : a, b nghiệm phương trình có dạng : x − x + 20 = ⇔   x2 = Vậy: Nếu a = b = a = b = 2) Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đ ặt c = − b ta có : a + c = a.c = − 36  x1 = −4 Suy a,c nghiệm phương trình : x − x − 36 = ⇔   x2 = Do a = − c = nên b = − a = c = − nên b = 2 2 Cách 2: Từ ( a − b ) = ( a + b ) − 4ab ⇒ ( a + b ) = ( a − b ) + 4ab = 169  a + b = −13 ⇒ ( a + b ) = 132 ⇒   a + b = 13 ôn thi vào THPT - x1 = −4 *) Với a + b = −13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x + 13x + 36 = ⇔   x2 = −9 Vậy a = −4 b = −9  x1 = *) Với a + b = 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x − 13 x + 36 = ⇔   x2 = Vậy a = b = 3) Đã biết ab = 30, cần tìm a + b:  a + b = −11 T ừ: a2 + b2 = 61 ⇒ ( a + b ) = a + b + 2ab = 61 + 2.30 = 121 = 112 ⇒   a + b = 11  x1 = −5 *) Nếu a + b = −11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình: x + 11x + 30 = ⇔   x2 = −6 Vậy a = −5 b = −6 ; a = −6 b = −5  x1 = *) Nếu a + b = 11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình : x − 11x + 30 = ⇔   x2 = Vậy a = b = ; a = b = III TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối toán dạng điều quan trọng c¸c em phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 + x2 tích nghiệm x1 x2 để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị ca biu thc 1.Phơng pháp: Bin i biu thc làm xuất : ( x1 + x2 ) x1 x2 D¹ng x12 + x22 = ( x12 + x1 x2 + x22 ) − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 3 2 D¹ng x1 + x2 = ( x1 + x2 ) ( x1 − x1 x2 + x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2  D¹ng x14 + x24 = ( x12 ) + ( x22 ) = ( x12 + x22 ) − x12 x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2  − x12 x22 D¹ng x15 + x25 = ( x13 + x )( x1 + x 2 ) − x1 x 2 ( x1 + x ) 1 x1 + x2 + = x1 x2 x1 x2 D¹ng x1 − x2 = ? Ta biết ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 ⇒ x1 − x2 = ± ( D¹ng x12 − x22 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) = ± ( x1 + x ) − x1 x ( x1 + x ) ) ( x1 + x2 ) − x1 x2 2 D¹ng x13 − x23 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x1 x2 + x2 ) = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2  =…… 2 2 D¹ng x14 − x24 = ( x1 + x2 ) ( x1 − x2 ) =…… 3 2 2 D¹ng x16 + x26 = ( x1 ) + ( x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 − x1 x2 + x2 ) = …… [ ] D¹ng 10 x16 − x26 = ( x1 ) − ( x 2 ) = ( x1 − x 2 ) ( x1 ) + x1 x 2 + ( x 2 ) = D¹ng 11 «n thi vµo THPT -1 + D¹ng13 x1 − x2 Bài tập áp dụng: Khụng giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x − x + 15 = Khơng giải phương trình, tính 2 x1 + x2 x1 x2 + x2 x1 1 + x1 x2 (34)  34   ÷  15  ( x1 + x2 ) 8  ÷  15  (46) b) Cho phương trình : x − 72 x + 64 = Khơng giải phương trình, tính: 1 + x1 x2 9  ÷ 8 2 x1 + x2 (65) c) Cho phương trình : x − 14 x + 29 = Khơng giải phương trình, tính: 1 + x1 x2  14   ÷  29  2 x1 + x2 (138) d) Cho phương trình : x − x + = Khơng giải phương trình, tính: 1 + x1 x2 (3) − x1 − x2 + x1 x2 (1) 2 x1 + x2 (1) x1 x + x2 + x1 + 5  ÷ 6 e) Cho phương trình x − x + = có nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình, tính Q= HD: Q = x12 + 10 x1 x2 + x22 x1 x23 + x13 x2 x12 + 10 x1 x2 + x22 6( x1 + x2 ) − x1 x2 6.(4 3) − 2.8 17 = = = 3 2 x1 x2 + x1 x2 x1 x2 ( x1 + x2 ) − x1 x2  5.8 (4 3) − 2.8 80   IV TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Để làm toán loại này, c¸c em làm theo bước sau: 1- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ∆ ≥ 0) −b c ; x1 x = a a 3- Sau dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đồng vế ta biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham s.Đó h thc liờn h 2- p dụng hệ thức VI-ÉT: x1 + x = cỏc nghim x1 v x2 không phụ thuộc vào tham sè m ôn thi vào THPT -2 Ví dụ 1: Cho phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m − = (1) có nghiệm x1 ; x2 Lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho chỳng khụng ph thuc vo m (Bài đà cho PT có hai nghiệmx1 ;x2 nên ta không biện luận bíc 1) Gi¶i: Bíc2: Theo hệ th ức VI- ÉT ta có : 2m    x1 + x2 = m −  x1 + x2 = + m − (1) ⇔   x x = m −  x x = − (2) 2 m −1 m −1   Bíc2: Rút m từ (1) ta có : 2 = x1 + x2 − ⇔ m − = m −1 x1 + x2 − (3) Rút m từ (2) ta có : 3 = − x1 x2 ⇔ m − = m −1 − x1 x2 Bíc 3: (4) Đồng vế (3) (4) ta có: = ⇔ ( − x1 x2 ) = ( x1 + x2 − ) ⇔ ( x1 + x2 ) + x1 x2 − = x1 + x2 − − x1 x2 Ví dụ 2: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m − = Chứng minh biểu thức A = ( x1 + x2 ) + x1 x2 − không phụ thuộc giá trị m Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó : 2m  x + x =  m −1   x x = m −  m − §K:( m − ≠ ⇔ m ≠ ) ;Thay vào A ta c ó: 2m m−4 6m + 2m − − 8(m − 1) + −8 = = =0 m −1 m −1 m −1 m −1 Vậy A = với m ≠ Do biểu thức A không phụ thuộc vào m Bài tập áp dụng: A = ( x1 + x2 ) + x1 x2 − = 1 Cho phương trình : x − ( m + ) x + ( 2m − 1) = Hãy lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho x1 ; x2 độc lập m Hướng dẫn: B1: Dễ thấy ∆ = ( m + ) − ( 2m − 1) = m − 4m + = ( m − ) + > Do phương trình cho ln 2 có nghiệm phân biệt x1 x2 ôn thi vào THPT -B2: Theo hệ thức VI- ÉT ta có  m = x1 + x2 − 2(1)  x1 + x2 = m +  ⇔  x1 x2 +  x1.x2 = 2m −  m = (2) B3: Từ (1) (2) ta có: x1 + x2 − = x1 x2 + ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 − = 2 Cho phương trình : x + ( 4m + 1) x + ( m − ) = Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 cho chúng không phụ thuộc vào m Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ = (4m + 1) − 4.2(m − 4) = 16m + 33 > phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có  x1 + x2 = −(4m + 1) 4m = −( x1 + x2 ) − 1(1) ⇔   x1.x2 = 2(m − 4) 4m = x1 x2 + 16(2) Từ (1) (2) ta có: −( x1 + x2 ) − = x1 x2 + 16 ⇔ x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = V.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM Đà CHO Đối với tốn dạng này,c¸c em làm sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ∆ ≥ 0) - Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn tham số) - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ 1: Cho phương trình : mx − ( m − 1) x + ( m − 3) = Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2 Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó nghiệm x1 x2 l :  m ≠ m ≠ m ≠  m ≠ ⇔ ⇔ ⇔  2 ∆ ' = ( m − 1) ≥  m ≥ −1 ∆ ' = ( m − 2m + 1) − 9m + 27 ≥  ∆ ' = 3 ( m − 21)  − 9(m − 3)m ≥ 6(m − 1)   x1 + x2 = m Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:   x x = 9(m − 3)  m v t gi ả thi ết: x1 + x2 = x1 x2 Suy ra: 6(m − 1) 9(m − 3) = ⇔ 6(m − 1) = 9(m − 3) ⇔ 6m − = 9m − 27 ⇔ 3m = 21 ⇔ m = m m (thoả mãn điều kiện xác định ) ôn thi vào THPT -Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2 2 Ví dụ 2: Cho phương trình : x − ( 2m + 1) x + m + = Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm x1 & x2 : ∆ ' = (2m + 1) − 4(m + 2) ≥ ⇔ m + 4m + − m − ≥ ⇔ 4m − ≥ ⇔ m ≥  x1 + x2 = 2m + Theo hệ thức VI-ÉT ta có:  từ giả thiết x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = Suy  x1 x2 = m + 3(m + 2) − 5(2m + 1) + = ⇔ 3m + − 10m − + =  m = 2(TM ) ⇔ 3m − 10m + = ⇔   m = ( KTM )  Vậy với m = phương trình có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 − ( x1 + x2 ) + = Bài tập áp dụng Cho phương trình : mx + ( m − ) x + m + = Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 − x2 = 2 Cho phương trình : x + ( m − 1) x + 5m − = Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức: x1 + x2 = Cho phương trình : x − ( 3m − ) x − ( 3m + 1) = Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 − x2 = Hướng dẫn cách giải: Đối với tập dạng ta thấy có điều khác biệt so với tập Ví dụ ví dụ chỗ + Trong ví dụ biểu thức nghiệm chứa sẵn tổng nghiệm x1 + x2 tích nghiệm x1 x2 nên ta vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m + Cịn tập biểu thức nghiệm lại khơng cho sẵn vậy, vấn đề đặt làm để từ biểu thức cho biến đổi biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 + x2 tích nghiệm x1 x2 từ vận dụng tương tự cách làm trình bày Ví dụ ví dụ 16 BT1: - ĐKX Đ: m ≠ & m ≤ 15 ôn thi vào THPT -−( m − 4)   x1 + x2 = m (1) -Theo VI-ÉT:  x x = m +  m  x1 + x2 = x2 ⇒ 2( x1 + x2 ) = x1 x2 (2) - Từ x1 − x2 = Suy ra:  2( x + x ) = x  2 - Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình sau: m + 127 m − 128 = ⇒ m1 = 1; m2 = −128 BT2: - ĐKXĐ: ∆ = m − 22m + 25 ≥ ⇔ 11 − 96 ≤ m ≤ 11 + 96  x1 + x2 = − m (1) - Theo VI-ÉT:   x1 x2 = 5m −  x1 = − 3( x1 + x2 ) ⇒ x1 x2 = [ − 3( x1 + x2 ) ] [ 4( x1 + x2 ) − 1]  - Từ : x1 + x2 = Suy ra:  x2 = 4( x1 + x2 ) − (2) ⇔ x1 x2 = 7( x1 + x2 ) − 12( x1 + x2 ) − m = - Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 12m(m − 1) = ⇔  (thoả mãn ĐKXĐ) m = BT3: - Vì ∆ = (3m − 2) + 4.3(3m + 1) = 9m + 24m + 16 = (3m + 4) ≥ với số thực m nên phương trình ln có nghiệm phân biệt 3m −  x + x =  (1) - -Theo VI-ÉT:  − (3 m + 1) x x =  8 x1 = 5( x1 + x2 ) + ⇒ 64 x1 x2 = [ 5( x1 + x2 ) + 6] [ 3( x1 + x2 ) − 6]  - Từ giả thiết: x1 − x2 = Suy ra: 8 x2 = 3( x1 + x2 ) − (2) ⇔ 64 x1 x2 = 15( x1 + x2 ) − 12( x1 + x2 ) − 36 m = 32 - Thế (1) vào (2) ta phương trình: m(45m + 96) = ⇔  m=− 15  (thoả mãn ) VI XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho phương trình: ax + bx + c = (a ≠ 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm … Ta lập bảng xét dấu sau: S = x1 + x2 P = x1 x2 ∆ Dấu nghiệm x1 x2 Điều kiện chung m ∆≥ ∆ ≥ ; P < ± trái dấu P0 ± ± dấu, P>0 ∆≥ ∆≥ ;P>0;S>0 dương, + + S>0 P>0 − − ∆≥ ∆ ≥ ; P > ; S < âm S0 ôn thi vào THPT -Ví dụ: Xác định tham số m cho phương trình: x − ( 3m + 1) x + m − m − = có nghiệm trái dấu Để phương trình có nghiệm trái dấu ∆ = (3m + 1) − 4.2.(m − m − 6) ≥ ∆ = ( m − 7) ≥ 0∀m ∆ ≥  ⇔ ⇔ ⇔ −2 < m <    m −m−6 P = ( m − 3)( m + 2) < P = < P <    Vậy với −2 < m < phương trình có nghi ệm trái dấu Bài tập tham khảo: mx − ( m + ) x + ( m − ) = có nghiệm dấu 2 3mx + ( 2m + 1) x + m = có nghiệm âm ( m − 1) x + x + m = có nghiệm khơng âm VII TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM Áp dụng tính chất sau bất đẳng thức: trường hợp ta phân tích được: A+ m C= (trong A, B biểu thức không âm ; m, k số)(*) k − B ⇒ C = m ⇔ A = Thì ta thấy : C ≥ m (v ì A ≥ ) C ≤ k (v ì B ≥ ) ⇒ max C = k ⇔ B = Ví dụ 1: Cho phương trình : x + ( 2m − 1) x − m = Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm m để : A = x12 + x22 − x1 x2 có giá trị nhỏ  x1 + x2 = −(2m − 1) Bài giải: Theo VI-ÉT:   x1 x2 = − m A = x12 + x22 − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 Theo đ ề b ài : = ( 2m − 1) + 8m = 4m − 12m + = (2m − 3) − ≥ −8 Suy ra: A = −8 ⇔ 2m − = hay m = «n thi vµo THPT -Ví dụ 2: Cho phương trình : x − mx + m − = Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức sau: B= x1 x2 + x + x22 + ( x1 x2 + 1)  x1 + x2 = m Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT :   x1 x2 = m − x1 x2 + x1 x2 + 2(m − 1) + 2m + ⇒B= = = = 2 x1 + x2 + ( x1 x2 + 1) ( x1 + x2 ) + m2 + m +2 Cách 1: Thêm bớt để đưa dạng phần (*) hướng dẫn Ta biến đổi B sau: m + − ( m − 2m + 1) m − 1) ( B= = 1− m2 + m +2 m −1 Vì ( m − 1) ≥ ⇒ ( ) ≥ ⇒ B ≤ m +2 Vậy max B=1 ⇔ m = Với cách thêm bớt khác ta lại có: 1 2 m + 2m + − m m + 4m + ) − ( m + ) ( m + 2) ( 2 2 B= = = − 2 m +2 m +2 ( m + 2) Vì ( m + ) ≥ ⇒ ( m + 2) 2 ( m + 2) ≥0⇒ B≥− ⇔ m = −2 Cách 2: Đưa giải phương trình bậc với ẩn m B tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để phương trình cho ln có nghiệm với m 2m + B= ⇔ Bm − 2m + B − = (Với m ẩn, B tham số) (**) m +2 Ta có: ∆ = − B (2 B − 1) = − B + B Để phương trình (**) ln có nghiệm với m ∆ ≥ −2 B + B + ≥ ⇔ B − B − ≤ ⇔ ( B + 1) ( B − 1) ≤ hay Vậy B = −  B≤−    2 B + ≤    B ≥ B −1 ≥ ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ B ≤1  2 B + ≥   B ≥ −     B − ≤  B ≤  10 ôn thi vào THPT -Vậy: max B=1 ⇔ m = 1 B = − ⇔ m = −2 Bài tập áp dụng 2 Cho phương trình : x + ( 4m + 1) x + ( m − ) = Tìm m để biểu thức A = ( x1 − x2 ) có giá trị nhỏ Cho phương trình x − 2(m − 1) x − − m = Tìm m cho nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn điều kiện x12 + x22 ≥ 10 Cho phương trình : x − 2(m − 4) x + m − = xác định m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn a) A = x1 + x2 − x1 x2 đạt giá trị lớn 2 b) B = x1 + x2 − x1 x2 đạt giá trị nhỏ 2 Cho phương trình : x − ( m − 1) x − m + m − = Với giá trị m, biểu thức C = x1 + x2 dạt giá trị nhỏ 2 Cho phương trình x + (m + 1) + m = Xác định m để biểu thức E = x1 + x2 đạt giá trị nhỏ 11 ... làm theo bước sau: 1- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a ≠ ∆ ≥ 0) −b c ; x1 x = a a 3- Sau dựa vào hệ thức VI- ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích... Lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho chúng không ph thuc vo m (Bài đà cho PT có hai nghiệmx1 ;x2 nên ta không biện luận bớc 1) Gi¶i: Bíc2: Theo hệ th ức VI- ÉT ta có : 2m    x1 + x2 = m −  x1... x22 − x1 x2 có giá trị nhỏ  x1 + x2 = −(2m − 1) Bài giải: Theo VI- ÉT:   x1 x2 = − m A = x12 + x22 − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 Theo đ ề b ài : = ( 2m − 1) + 8m = 4m − 12m + = (2m − 3) − ≥