Đs9 chuyên đề 8 hệ thức vi ét và liên quan (203 trang)

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN ĐS9-CHUYÊN ĐỀ 9.HỆ THỨC VI-ÉT PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT A Kiến thức cần nhớ Hệ thức Vi-ét  Nếu x1 ; x2 hai nghiệm phương trình ax  bx  c 0 a 0  thì: b  x  x   a   x x  c  a  Nếu phương trình ax  bx  c 0 a 0  có a  b  c 0 phương trình có nghiệm x1 1 , cịn nghiệm x2  c a  Nếu phương trình ax  bx  c 0 a 0  có a  b  c 0 phương trình có nghiệm x1  , cịn nghiệm x2  c a Tìm hai số biết tổng tích chúng  Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình x  Sx  P 0 Điều kiện để có hai số là: S  P 0  0  B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho phương trình mx  m   x  m  0 ( x ẩn số) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá tr ị ệt đ ối lớn nghiệm dương (Thi học sinh giỏi Tốn 9, TP Hồ Chí Minh năm học 2011 – 2012) Giải Tìm cách giải Những toán liên quan đến dấu nghi ệm ph ương trình b ậc hai liên quan đến công thức nghiệm hệ thức Vi-ét Cụ thể là:  Phương trình có hai nghiệm trái dấu gồm: Phương trình có nghi ệm (  0 ) x1 x2   c  điều kiện nghiệm chung là: ac  a | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ 9.HỆ THỨC VI-ÉT  Phương trình có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá tr ị ệt đ ối l ớn h ơn nghiệm dương gồm: Phương trình có hai nghiệm trái d ấu ( ac  ) nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương ( x1  x2  ) Trình bày lời giải a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  ac   m m  3    m  b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có gái tr ị ệt đ ối l ớn h ơn nghiệm dương 0  m   ac       m     m    x1  x2   m  Vậy với  m  phương trình có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá tr ị tuyệt đối lớn nghiệm dương Ví dụ 2: Cho phương trình: x  m  1 x  m  0 ( m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm số đo c ạnh c m ột tam giác vuong có đ ộ dài đ ường cao k ẻ t đỉnh góc vng (đơn vị độ dài) Giải Tìm cách giải Bản chất tốn gồm bước:   0   Bước Phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 dương   x1  x2  x x    Bước Hai nghiệm x1 ; x2 số đo cạnh tam giác vuông có đ ộ dài đ ường cao kẻ từ đỉnh góc vng (đơn vị độ dài) thỏa mãn: 1   2 x1 x2 h Trình bày lời giải Xét  m  1  4.2 m  1 m  2m   8m  m  3 0 2 Phương trình ln có hai nghiệm Để hai nghiệm số đo hai cạnh tam giác  phương trình có hai nghiệm dương CHUN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN  x  x2     x1 x2   m  1 0    m     m    Hai nghiệm số đo cạnh tam giác vng có đ ộ dài đ ường cao k ẻ t đ ỉnh góc vng (đơn vị độ dài)  x  x2   x1 x2 25 m  1  4m  25 1 25        16 16 x1 x2 16 x12 x22 m  1 2  9m  18m  55 0 Giải ra, ta được: m1  Kết hợp điều kiện, ta m1  11 ; m2  3 11 thỏa mãn Ví dụ 3: Cho phương trình x  3mx  m 0 ( m tham số khác 0) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 Tìm giá trị nhỏ của: A x12  3mx2  3m m2  x22  3mx1  3m m2 (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Hưng n, năm học 2011 -2012) Giải Phương trình có hai nghiệm phâm biệt 9m  4m  hay m 9m     m  m   (*)  x1  x2 3m Theo Vi-ét:   x1 x2  m Ta có: m2 m2 m2 m2    0 x22  3mx1  3m x22   x1  x2  x1  3x1 x2 x12  x22  x1 x2  x1  x2 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương: A  Vậy Amin 2  m2  x1  x2   x1  m x2  2 m2  x1  x2    m  x1  x2   m  x1  x2   x12 x22  x1  x2   x12 x22  x1  x2   x1 x2 2  x1 x2  x1 x2   9m   m  m   9m | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN  x1  x2  m2 2 CHUYÊN ĐỀ 9.HỆ THỨC VI-ÉT  m 0 L   8m  4m 0  4m 2m  1 0    m   2 Vậy với m  A 2 Ví dụ 4: Cho phương trình x  x  m 0 (với m tham số) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn: x12  x22 12 (Thi học sinh giỏi Tốn 9, Tình Phú Thọ năm học 2012 – 2013) Giải  36  4m   m   36  m    x1  x2 6 * Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:   x1 x2  m 2 * Ta có: x1  x2  x1  x2  x1  x2  12  x1  x2 2 Suy ra: x1 4; x2 2 Từ suy ra: m  4.2  (thỏa mãn điều kiện) Vậy với m  phương trình có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x12  x22 12 Ví dụ 5: Tìm tất giá trị m cho phương trình x  x  x  m 0 có nghiệm phân biệt (Thi học sinh giỏi Tốn 9, Tỉnh Thanh Hóa năm học 2012 – 2013) Giải Cách Ta có x  x3  x  m 0 (1)   x  1   x  1  m  0 Đặt y  x  1 , y 0 phương trình có dạng: y  y  m  0 (2) Phương trình (1) có nghiệm phân biệt  Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt      S   P   9  m      6  m    4  m   5m4  m   Cách Ta có x  x3  x  m 0 (1)   x  x    x  x   m 0 Đặt y  x  x phương trình có dạng: y  y  m 0 (3) CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN Phương trình (1) có nghiệm phân biệt  phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt lớn        x1  1 x2  1   x  x  1  4  m    x1 x2  x1  x2   x  x    m  m    5m4 4  m     m    4    Ví dụ 6: Chứng minh a b hai nghiệm phương trình x  px  0 (1), c d hai nghiệm phương trình x  qx  0 (2) ta có hệ thức: a  c b  c a  d b  d  q  p2 Giải  a  b  p c  d  q ; Theo hệ thức Vi-et ta có:   ab 1 cd 1 2 Xét a  c b  c a  d b  d  ab  ac  bc  c ab  ad  bd  d  1  pc  c 1  pd  d  1  pd  d  pc  p cd  pcd  c  pc d  c d 1  pd  d  pc  p  pd  c  pc  c   d  p c  d   p q  p 2 Suy a  c b  c a  d b  d  q  p Điều phải chứng minh Nhận xét Nếu chọn p q hai số nguyên cho q  p số phương ta có kết quả: a  c b  c a  d b  d  số phương Chẳng hạn: cho số nguyên m , chứng minh a b hai nghiệm phương trình x  15mx  0 (1), cịn c d hai nghiệm phương trình x  17mx  0 ta có a  c b  c a  d b  d  số phương Ví dụ 7: Cho phương trình x  px  q 0 (1) Hãy tìm giá trị nguyên p q cho phương trình (1) có nghiệm ngun phân bi ệt nghi ệm g ấp l ần nghi ệm (Thi học sinh giỏi Toàn 9, tỉnh Yên Bái, năm học 2003 – 2004) | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ 9.HỆ THỨC VI-ÉT Giải Giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt x2 4 x1  p  4q  p  x    x1  x2 5 x1  p   Ta có:   2  x1 x2 4 x1 q  p q  p; q ¢  25  2 Suy p M25  p 25k k ¢   p 5k Do q  4.25k  4k 25   2 Vậy  p; q   5k ; 4k ;  5k ; 4k  với k ¢ phương trình (1) có hai nghiệm nguyên ohana biệt nghiệm gấp lần nghiệm Ví dụ 8: Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình bậc hai ax  bx  c 0 Đặt S n  x1n  x2n với n nguyên dương a) Chứng mỉnh rằng: aS n 2  bSn 1  cS n 0 b) Khơng khai triển, khơng dùng máy tính, tính giá trị biểu thức: A  1   1   5 Giải a) x1 nghiệm phương trình nên ax12  bx1  c 0 ; x2 nghiệm phương trình nên ax22  bx2  c 0; Suy ra: ax1n 2  bx1n 1  cx1n 0 (1), ax2n 2  bx2n 1  cx2n 0 (2) Từ (1) (2) cộng vế với vế, ta được: a  x1n 2  x2n 2   b  x1n 1  x2n 1   c  x1n  x2n  0 Từ suy ra: aS n 2  bS n 1  cS n 0 b) Đặt: x1 1  3; x2 1  3; S n  x1n  x2n  x1  x2 2 Suy   x1 x2  Vậy x1 ; x2 nghiệm phương trình x  x  0 Áp dụng câu a, ta có: Sn 2  S n 1  Sn 0  Sn 2 2 Sn 1  Sn (*) Ta có: S1 2, S2  x12  x22  x1  x2   x1 x2 4  8 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN Áp dụng cơng thức (*), ta có: S3 2 S2  S1 2.8  2.2 20; S4 2 S3  S2 2.20  2.8 56 S5 2S  S3 2.56  2.20 152 1    1   1   Ta có: A  1   1   1   1   5 5 5  152  19   32 C Bài tập vận dụng Cho phương trình x  2mx  m  0 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x13  x23 26m b) Tìm m ngun để phương trình có hai nghiệm nguyên (Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Quảng Bình năm học 2012 – 2013) Hướng dẫn giải – đáp số a) Xét   m  m   m     , phương trình ln có hai nghiệm phân biệt 2  với m Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình  x1  x2 2m Theo hệ thức Vi-ét ta có:   x1 x2 m   x12  x22  x1  x2   x1 x2 4m  2m  3 2 Ta có: x1  x2 26m   x1  x2  x1  x1 x2  x2  26m  2m 4m  3m  12  26m  2m 4m  3m  1 0  m1 0; m2 1; m3  1 b) Vì x1.2 m    nên điều kiện để phương trình có hai nghiệm nguyên:   m  m  2 2 Đặt   m  m  k k  ¢   4m  4m  16 4k  2m  1  15 2k   2k  2m  12k  2m  1 15 2 Từ ta có bảng sau: 2k  2m  1 15 -1 -3 -5 -15 2k  2m  15 -15 -5 -3 -1 Suy ra: | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ 9.HỆ THỨC VI-ÉT k 2 -4 -4 -2 -4 m -3 -3 Vậy với m   4;1;0;  3 phương trình có nghiệm nguyên Cho phương trình bậc hai x  x  m  0 Tìm m để phương trình: a) Có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện x12  x22 8 b) Có nghiệm dương (Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Vĩnh Long năm học 2012 – 2013) Hướng dẫn giải – đáp số a) Điều kiện để phương trình có nghiệm là:   1  m  0  m   x1  x2 2 Theo hệ thức Vi-et, ta có:   x1 x2  m  x12  x22  x1  x2   x1 x2 4  2m  8  m 0 (thỏa mãn m  ) Vậy m 0 phương trình có nghiệm x12  x22 8 b) Với m  phương trình ln có nghiệm Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1  x2 2 nên   0  m  phương trình có nghiệm kép số dương Nếu phương trình có hai nghiệm trái dấu phương trình có m ột nghi ệm dương  m 20 m 2 Vậy với m  m   phương trình có nghiệm dương Cho phương trình mx  m  1 x  m  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn: x12  x22 3 Hướng dẫn giải – đáp số mx  m  1 x  m  0  4 m  1  4m m  3 4m  8m   4m  12m 4m    m   m 0 Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình: mx  m  1 x  m  0 m  1   x1  x2  m * Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:  x x  m   m CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN Ta có:  x1  x2   x12  x22  x1 x2 3  m  1   m2 3  m   m m   m 4m  8m  2m   3  m m 4m  8m  5m   m m2  4m  8m  5m  6m  m2  2m  0  m  1 5  m1   (thỏa mãn), m2   (không thỏa mãn) Vậy với m   phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn: x12  x22 3 Cho phương trình bậc hai x  m  1 x  2m  10 0 với m tham số thực a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 b) Tìm m để biểu thức P 6 x1 x2  x12  x22 đạt giá trị nhỏ (Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Vĩnh Long, năm học 2011 – 2012) Hướng dẫn giải – đáp số a)  4 m  1  8m  40 4m  8m   8m  40 4m  36 0  m 3  m 9  m 3    m  b) Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình x  m  1 x  2m  10 0  x1  x2 2m  Áp dụng hệ thức Vi-ét:   x1 x2 2m  10 Ta có: P 6 x1 x2  x12  x22  x1  x2   x1 x2 4 m  1  2m  10  2 4m  8m   8m  40 4m  16m  44 4m2  16m  16  28 4 m    28 4     28 32 2 Vậy Pmax 32 m  2 Cho phương trình bậc hai x  2m m   x  m  0 (1) ( m tham số) a) Giải phương trình (1) m 1 b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn: x1 x2   x1  x2  4 Hướng dẫn giải – đáp số | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN CHUYÊN ĐỀ 9.HỆ THỨC VI-ÉT a) Với m 1 , phương trình có dạng: x  x  0 Giải ta được: x1 2; x2 4 b) Điều kiện để phương trình có nghiệm là:   m2 m    m   0 (*)  x1  x2 2m m   Theo hệ thức Vi-ét ta có:   x1 x2 m  Theo đề bài: x1 x2   x1  x2  4  m   2.2.m m   4  3m2  8m  0  m1  ; m2  3 Thử lại với điều kiện (*) m1  ; m2  không thỏa mãn Vậy không tồn m thỏa mãn điều kiện đề Cho phương trình x  2mx  0 (ẩn x ) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương b) Gọi x1 ; x2  x1  x2  hai nghiệm dương phương trình Tính P  x1  x2 theo m tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q  x1  x2  x1  x2 (Thi học sinh giỏi Toán 9, Tỉnh Quảng Bình, năm học 2011 – 2012) Hướng dẫn giải – đáp số    0  a) Phương trình có hai nghiệm dương  x1  x2   x x    m  0  2m   m 1 1   Vậy m 1 phương trình có hai nghiệm dương b) Với m 1 phương trình có hai nghiệm dương  x1  x2 2m Theo hệ thức Vi-ét, ta có:   x1 x2 1 Xét: P  x1  x2  x1 x2 2m  Vì P 0 nên P  2m  Ta có: Q  x1  x2  2 1  2m  m  m  1  m 3 x1  x2 2m m m Vậy giá trị nhỏ biểu thức Q m 1 Cho phương trình x  m  1 x  2m  0 (1) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương 10