Toanhocsodo ĐT 0945943199 BÀI 3 HỆ THỨC VI ÉT VÀ ỨNG DỤNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Hệ thức Vi ét Cho phương trình bậc hai ax2 +bx + c = 0 (a 0) Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình thì 2 Ứng dụng củ[.]
BÀI HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Hệ thức Vi-ét Cho phương trình bậc hai ax2 +bx + c = (a 0) Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình thì: b S x1 x2 a P x x c a Ứng dụng hệ thức Vi-ét a) Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) - Nếu a + b + c = phương trình có nghiệm x1 = 1, nghiệm lại c x2 a - Nếu a - b + c = phương trình có nghiệm x1 = -1, nghiệm lại x2 c a b) Tìm hai số biết tổng tích chúng: Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình: X2 - S X + P = II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Khơng giải phương trình, tính giá trị biêu thức đối xứng nghiệm Phương pháp giải: Ta thực theo bước sau: a 0 Bước Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: 0 Từ áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: S x1 x2 b c P x1.x2 a a Bước Biến đổi biểu thức đối xứng nghiệm đề theo tổng x1 + x2 tích x1x2 sau áp dụng Bước 1.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Chú ý: Một số biểu thức đối xứng nghiệm thường gặp là: A x12 x22 ( x1 x2 ) 2x1 x2 S P; B x13 x23 ( x1 x2 )3 3x1 x2 ( x1 x2 ) S 3PS; C x14 x24 ( x12 x22 ) 2x12 x22 ( S P ) P ; D x1 x2 ( x1 x2 ) 4x1 x2 S P 1A Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 - 5x + = Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức: 2 a) A x1 x2 ; 3 b) B x1 x2 ; 1B Cho phưoug trình: -3x2 - 5x-2 = Với x1,x2 nghiệm phương trình, khơng giải phương trình, tính: M x1 a) P c) 1 x2 ; x1 x2 x1 x2 ; x12 x2 N 1 ; x1 x2 Q x1 x x2 x1 b) d) 2A Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + 2m -5 = (ra tham số) a) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 b) Với tìm trên, tìm biểu thức liên hệ x1,x2 khơng phụ thuộc vào 2B Cho phương trình x2 +(m + 2)x + 2m = Với giá trị tham số m phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 ? Khi đó, tìm biểu thức liên hệ x1, x2 khơng phụ thuộc vào Dạng Giải phương trình cách nhấm nghiệm Phương pháp giải: Sử dụng ứng dụng hệ thức Vi-ét 3A Xét tổng a + b + c a - b + c tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 15x2 -17x + = 0; b) 1230x2 - 4x - 1234 = 0; 2.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên c) (2 d) )x2 + x - (2 + 5x - (2 - ) = 0; )x - = 3B Tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 7x2 -9x + = 0; c) 1975x2 + 4x - 1979 = 0; b) 23x2 -9x-32 = 0; d) 31, 1x2 - 50,9x + 19,8 = 4A Cho phương trình (ra - 2)x2 - (2m + 5)x + + = với tham số a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm không phụ thuộc vào tham số m b) Tìm nghiệm phương trình cho theo tham số 4B Cho phương trình (2m - 1)x2 + (m - 3)x – 6m - = a) Chứng minh phương trình cho ln có nghiệm x = -2 b) Tìm nghiệm phương trình cho theo tham số 5A Cho phương trình mx2 -3(m + l)x + m2 - 13m - = (ra tham số) Tìm giá trị để phương trình có nghiệm x = -2 Tìm nghiệm cịn lại 5B Tìm giá trị tham số để phương trình x2 +3mx - 108 = (ra tham số) có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại Dạng Tìm hai số biết tổng tích Phương pháp giải: Để tìm hai số x, y biết tổng S = x + y tích P = x.y, ta làm sau: Bước Giải phương trình X2 - S X + P = để tìm nghiệm X1,X2 Bước Khi số x, y cần tìm x = X1,y = X2 x = X2, y = X1 6A Tìm hai số u v trường hợp sau: a) u + v = 15,uv = 36; b) u2 + v2 = 13,uv = 6B Tìm hai số u v trường hợp sau: a) u + v = 4,uv = 7; b) u + v = -12,uv - 20 7A Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm + - 7B Tìm phương trình bậc hai biết nhận -11 nghiệm 8A Cho phương trình x2 + 5x - 3m = (m tham số) 3.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên a) Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 b) Với điều kiện m tìm câu a), lập phương trình bậc hai có hai nghiệm 2 x1 x22 8B Cho phương trình 3x2 +5x - m = Với giá trị tham số m, phương trình có hai x1 x2 x x nghiệm x1 x2 ? Khi đó, viết phương trình bậc hai có hai nghiệm Dạng Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử Phương pháp giải: Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm x1; x2 tam thức phân tích thành nhân tử: ax2 + bx + c - a(x – x1 )(x – x2) 9A Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 - 7x + 6; c) x - x + 6; b) 30x2 - 4x - 34; d) 2x - x + 9B Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 4x2 - 5x +1; c)4x - x +3; b) 21x2 - 5x - 26; d) 12x- x -7 Dạng Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai Phương pháp giải: Xét phương trình ax2 +bx + c - ( a ≠ ) Khi đó: Phương trình có hai nghiệm trái dấu p < P Phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt P S 4.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ khơng làm khơng nên Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt P S Phương trình có hai nghiệm trái dâ'u mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm P S dương Chú ý: Phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆ > 0; Phương trình có hai nghiệm ∆ > 10A Tìm giá trị tham số m để phương trình: a) x2 -2(m – 1)x + +1 = có hai nghiệm phân biệt trái dấu; b) x2 - 8x + 2m + = có hai nghiệm phân biệt; c) x2 - 2(m - 3)x + – 4m = có hai nghiệm phân biệt âm; d) x2 - 6x + 2m + = có hai nghiệm phân biệt dương; e) x2 - 2(m- 1)x - - = có nghiệm dương 1OB Tìm giá trị tham số để phương trình: a) 2xz - 3(m + 1)x + m2 - - = có hai nghiệm trái dấu; b) 3mx2 + 2(2m +l)x + m = có hai nghiệm âm; c) x2 + mx+m - = có hai nghiệm lớn m; d) mx2 - 2(m - 2)x+ 3(ra - 2)= có hai nghiệm dâu Dạng Xác định điều kiện tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn hệ thức cho trước Phương pháp giải: Ta thực theo bước sau: Bước Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm ∆ ≥ Bước Từ hệ thức cho hệ thức Vi-ét, tìm điều kiện tham số Bước Kiểm tra điều kiện tham số xem có thỏa mãn điều kiện Bước hay khơng kết luận 11A Cho phương trình x2 - 5x + m + = Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt x1, x2 thòa mãn: 5.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên a) |x1| + |x2| = 4; b)3x1 + 4x2=6; x1 x2 3; x x1 c) = -3; d) x1(1 - 3x ) + x (1 - 3x1) = m2 - 23 11B Cho phuơng trình x2 -mx-m-1 = (m tham số) Tìm giá trị tham số m để phương trình: a) Có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại b) Có hai nghiệm âm phân biệt; c) Có hai nghiệm trái dấu, nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dương; d) Có hai nghiệm dấu; 3 e) Có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn: x1 x2 1; g) Có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn: |x1 -x,| ≥ III BÀI TẬP VỂ NHÀ 12 Cho phương trình: -3x2 + x + l = Với x1, x2 nghiệm phương trình, khơng giải phương trình, tính: A x12 a) B c) 2 x22 ; x1 x2 B b) x1 x2 ; x1 x2 2 ; x1 x2 D d) x1 x2 x14 x2 13 Tính nhẩm nghiệm phương trình: a) 16x - 17x + l = 0; c) 2x2 - 40x + 38 = 0; b) 2x2 - 4x - = 0; d) 1230x2 -5x - 1235 = 14 Tìm hai số u, v biết rằng: a) u + v = -8, uv = -105; b) u + v = 9, uv = -90 15 Cho phương trình x2+ (4m + 1)x + 2(m - 4) = Tìm giá trị tham số để phương trình có hai nghiệm x1, x2 và: a) Thoả mãn điều kiện x - x1 =17; b) Biểu thức A = (x - x )2 có giá trị nhỏ nhất; 6.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ khơng làm khơng nên c) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ vào 16 Cho phương trình bậc hai: (m + 2)x2 - 2(m + 1)x + m - = Tìm giá trị tham số để phương trình: a) Có nghiệm trái dấu; b) Có nghiệm dương phân biệt; c) Có nghiệm trái dấu nghiệm dương nhỏ giá trị tuyệt đối nghiệm âm; d) Có nghiệm x1,x thỏa mãn: 3(x +x ) = 5x ,x 17 Cho phương trình: x2 - (2m + l)x + m2 + m - = (ra tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị tham số để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt c) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x12 x22 d) Tìm giá trị để phương trình có nghiệm x ,x thỏa mãn: x13 x23 19 18 Cho phương trình: x2 – (m - 2)x + 2m - = (ra tham số) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với b) Gọi x , x nghiệm phương trình Tìm để x ,x thỏa mãn: x (1 – x ) + x2 (1 – x1) < BÀI HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 1A Ta có 13 PT cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 x1 x2 5 x x 3 Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có 2 2 a) Ta có A x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 5 2.3 19 3 b) Ta có C x1 x2 ( x1 x2 ) 3x1 x2 ( x1 x2 ) 80 c) Ta có x14 x24 ( x12 x22 ) 2( x1 x2 )2 343 1 D x1 x2 x1.x2 ( x1 x2 ) 81 7.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm khơng nên d) Ta có E x1 x2 x1 x2 x1 x2 13 1B Tương tự 1A M a) Ta có P c) Ta có 25 13 N 14 b) Ta có 49 Q d) Ta có 17 12 2A a) Ta có ' (m 3) 0, m Phương trình có hai nghiệm x1, x2 với m x1 x2 2m x x 2m b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có 1 Biểu thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào m là: x1 + x2 x1 x2 1 2B Tương tự 2A Phương trình có hai nghiệm x1 x2 với m x1 x2 x1 x2 Biểu thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào m là: a b c 15 17 0 x1 1, x2 15 3A a) Ta có 1234 a b c 0 x1 1, x2 1230 b) Ta có c) Ta có a b c 0 x1 1, x2 a b c 0 x1 1, x2 d) Ta có 3B.Tương tự 3A a) Ta có c) Ta có x1 1, x2 x1 1, x2 b) Ta có 1979 1975 x1 1, x2 32 23 198 x1 1, x2 311 d) Ta có 8.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên 4A a) Ta thấy a b c (m 2) ( 2m 5) m 0 Phương trình ln có nghiệm x = khơng phụ thuộc vào m b) Với m = 2: Phương trình có nghiệm x = Với m 2 : Phương trình có hai nghiệm x = x m7 m 4B a) Thay x = -2 vào phương trình cho, ta có 2m 1 m 3 6m 0 (luôn đúng) ĐPCM m b) Với m Với : Phương trình có nghiệm x = -2 3m x 2; 2m : Phương trình có hai nghiệm 5A Thay x = -2 vào phương trình ta tìm m = m = x 8 x x 16 0 x * Với m = 1, ta có: 13 x x x 26 0 x * Với m = 2, ta có: 5B Tương tự 5A Tính m = 4; x2 = -18 6A a) Ta có u , v hai nghiệm phương trình sau X 12 X 15 X 36 0 (u , v) 12;3 , 3;12 X 3 u v b) Ta có u v 5 u v 2uv 13 2.6 25 u v * Với u v 5 ta có u , v hai nghiệm phương trình sau: X 2 X X 0 X 3 Vậy u, v 2;3 , 3; , 2; 3 , 3; 6B Tương tự 6A 9.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên a) Không tồn u , v thỏa mãn 42 - 4.7 = -12 < b) Tìm 7A Ta có u, v 2; 10 , 10; 4 1 Do nghiệm phương trình sau: X2 - 4X + = 7B Tương tự 7A Tìm phương trình X2 + 4X -77 = 8A a) Ta có 25 12m 0 Tìm b) Ta có P Và m 25 12 2 2 x1 x2 50 12m S 2 x1 x2 9m x1 x2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 9m X2 phương trình bậc hai m Với ĐK 2 25 2 12 ta có x1 x2 hai nghiệm 50 12 X 0 : 9m X 2(6m 25) X 0 9m 9m 8B Tương tự 8A m Điều kiện m 25 10 6m m X2 X 0 12 Phương trình tìm 3m m2 (Điều kiện: 25 12 ) 9A a) Ta có x2 - 7x + = (x - 1) (x - 6) b) Ta có 30x2 - 4x - 34 = 30 c) Ta có x x 6 x 2 x x 2 d) Ta có 17 15 x3 x 1 x 3 x1 x 2 9B Tương tự 9A 1 x x 4 x 1 x 4 a) Ta có 10.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên 26 21x x 26 21 x 1 x 21 b) Ta có x x 4 c) Ta có 12 x x 12 d) Ta có 3 x1 x 4 7 x1 x 12 10A a) Phương trình có nghiệm trái dấu ac m b) Phương trình có nghiệm phân biệt 82 4(2m 6) m c) Phương trình có nghiệm phân biệt âm S P 4m 8m 2(m 3) 8 4m m m 1 d) Phương trình có nghiệm phân biệt dương S P 32 8m 1 m4 6 2m 2 e) Vì (m 1) 4( m) (2m 1) 15 0, m Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Phương trình có dungd nghiệm dương ac m Tìm m 10B Tương tự 10A a) Tìm m c) Tìm m m 0 m b) Tìm d) Tìm m 11A Ta có 5 4( m 4) 9 4m m Phương trình có hai nghiệm phân biệt 11.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm khơng nên Theo hệ thức Vi-ét ta có x1 x2 5 x1.x2 m a) ta có x1 x2 4 x1 x2 x1 x2 x1 x2 16 m 2m Tìm m b) Ta có 3x1 x2 6 3( x1 x2 ) x2 6 x2 9 Vì x = -9 nghiệm phương trình nên ta có m 0 m 13 11B Tương tự 10A 11A m 4 x a) Tìm m x b) Tìm c) Tìm m m x d) Tìm 3) Tìm m m 1 g) Tìm m 12 Tương tự 1A A a) Ta có 11 c) Ta có C 9 B b) Ta có 16 87 d) Ta có D 41 13 Tương tự 3A x 1, x2 16 a) Ta có c) Ta có x 1, x2 19 b) Ta có x 1, x2 3 d) Ta có x 1, x2 247 246 14 Tương tự 6A a) Tìm u, v 7; 15 , 15; 12.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên Tìm b) Tìm u, v 15; , 6;15 15 a) Tìm m 4 b) Ta có Amin 33 m 0 c) Ta có hệ thức x1 x2 x1 x2 17 16 Tương tự 10A a) Tìm m m m b) Tìm c) Tìm m d) Tìm m 17 Tương tự 10A 11A a) ta có 25 0, m c) Ta có Amin 25 1 m 2 b) Tìm m m d) Tìm m 0 18 a) Ta có 4( m 3) 0, m b) Tìm m > 13.Đường gắn không không đến-Việc nhỏ không làm không nên