TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC HAY ĐỘC LẬP VỚI THAM SỐ Để làm các bài toán loại này, c¸c em làm lần lượt theo các bước sau: 1[r]
(1)To¸n n©ng cao ứng dụng định lí vi- ét I LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1 ; x2 Ví dụ : Cho x1 3 ; x2 2 lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên S x1 x2 5 P x1 x2 6 Theo hệ thức VI-ÉT ta có x1 ; x2 là nghiệm phương trình có dạng: x Sx P 0 x x 0 Bài tập áp dụng: x1 = vµ x2 = -3 x1 = 3a vµ x2 = a x1 = 36 vµ x2 = -104 x1 = vµ x2 = 2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước: V í dụ: Cho phương trình : x x 0 có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc có ẩn là y thoả mãn : Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: 1 1 S y1 y2 x2 x1 ( x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 y1 x2 1 y2 x1 x1 và x2 x1 x2 3 ( x1 x2 ) x1 x2 2 1 1 P y1 y2 ( x2 )( x1 ) x1 x2 1 1 2 1 1 x1 x2 x1 x2 2 y Sy P 0 Vậy phương trình cần lập có dạng: hay y2 9 y 0 y y 0 2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình x x 0 có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Không giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm (Đáp số: y2 y1 x1 1 y2 x2 x2 và x1 y 0 hay y y 0 ) 2/ Cho phương trình : x x 0 có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn y1 x14 và y2 x24 (có nghiệm là luỹ thừa bậc các nghiệm phương trình đã cho) (Đáp số : y 727 y 0 ) (2) 2 3/ Cho phương trình bậc hai: x x m 0 có các nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 ; y2 cho : a) (Đáp số y1 x1 và y2 x2 2 a) y y m 0 b) y1 2 x1 và y2 2 x2 2 b) y y (4m 3) 0 ) II TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có Tổng S và Tích P thì hai số đó là hai nghiệm phương trình : x Sx P 0 (§iều kiện để có hai số đó là S2 4P ) Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = và tích P = ab = Vì a + b = và ab = n ên a, b là nghiệm phương trình : x 3x 0 x 1 giải phương trình trên ta và x2 Vậy a = thì b = a = thì b = Bài tập áp dụng: Tìm số a và b biết Tổng S và Tích P S = và P=2 S = và P=6 S = và P = 20 S = 2x và P = x2 y2 Bài tập nâng cao: Tìm số a và b biết a + b = và a2 + b2 = 41 a b = và ab = 36 a2 + b2 = 61 v à ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng hai số a và b , để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích a v à b 81 a b 2 a b 9 a b 81 a 2ab b 81 ab 20 Từ x 4 x x 20 0 x2 5 Suy : a, b là nghiệm phương trình có dạng : Vậy: Nếu a = thì b = a = thì b = 2) Đã biết tích: ab = 36 đó cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = và a.c = 36 x x x 36 0 x2 9 Suy a,c là nghiệm phương trình : Do đó a = thì c = nên b = a = thì c = nên b = 2 2 a b a b 4ab a b a b 4ab 169 Cách 2: Từ a b 13 a b 132 a b 13 x x 13 x 36 0 x2 *) Với a b 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm phương trình : Vậy a = thì b = (3) x 4 x 13x 36 0 x2 9 *) Với a b 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm phương trình : Vậy a = thì b = 3) Đã biết ab = 30, đó cần tìm a + b: a b 11 2 2 a b a b 2ab 61 2.30 121 11 a b 11 T ừ: a2 + b2 = 61 x x 11x 30 0 x2 *) Nếu a b 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm phương trình: Vậy a = thì b = ; a = thì b = x 5 x 11x 30 0 x2 6 *) Nếu a b 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm phương trình : Vậy a = thì b = ; a = thì b = III TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối các bài toán dạng này điều quan trọng là c¸c em phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 x2 và tích nghiệm x1 x2 để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức 1.Ph¬ng ph¸p: Biến đổi biểu thức để làm xuất : ( x1 x2 ) và x1 x2 x x22 ( x12 x1 x2 x22 ) x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 D¹ng 1 x13 x23 x1 x2 x12 x1 x2 x22 x1 x2 x1 x2 3x1 x2 D¹ng 2 x x24 ( x12 ) ( x22 ) x12 x22 x12 x22 ( x1 x2 ) x1 x2 x12 x22 D¹ng x15 x25 D¹ng = (x + x )(x1 + x )− x x ( x + x 2) 3 2 2 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 x x x1 x2 x1x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 D¹ng x1 x2 ? Ta biết x 1+ x ¿2 − x x ¿ 2 x1 x2 x1 x2 x x (.( x + x2 ) ¿ ) D¹ng = ±√¿ ¿ 2 3 x1 x2 x1 x1x2 x2 x1 x2 x1 x2 x1x2 x x D¹ng = =…… 2 2 4 x x2 x1 x2 =…… D¹ng x1 x2 = 6 ( x )3 ( x22 )3 x12 x22 x14 x12 x22 x24 D¹ng x1 x2 = = …… (4) x ¿2 x ¿2 + x x2 +¿= ¿ x2 ¿3=( x − x )¿ x1 ¿3 − ¿ ¿¿ 2 6 D¹ng 10 x x 2 2 2 D¹ng 11 1 x1 x2 D¹ng13 Bµi tËp ¸p dông: Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x x 15 0 Không giải phương trình, hãy tính x x (34) 1 x x2 x1 x2 x x1 34 15 x x 2 2 8 15 (46) b) Cho phương trình : x 72 x 64 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1 x x2 1 9 8 2 x1 x2 (65) c) Cho phương trình : x 14 x 29 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1 x x2 1 14 29 2 x1 x2 (138) d) Cho phương trình : x x 1 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1 x1 x2 2 x x (3) x1 x2 x2 x1 (1) (1) x1 x x2 x1 5 6 e) Cho phương trình x 3x 0 có nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính x12 10 x1 x2 x22 Q x1 x23 x13 x2 Q HD: x12 10 x1 x2 x22 6( x1 x2 ) x1 x2 6.(4 3) 2.8 17 3 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 5.8 (4 3) 2.8 80 IV TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Để làm các bài toán loại này, c¸c em làm theo các bước sau: 1- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a và 0) (5) 2- Áp dụng hệ thức VI-ÉT: x 1+ x 2= −b c ; x x2 = a a 3- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng các vế ta biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.§ã chÝnh lµ hệ thức liên hệ các nghiệm x1 và x2 kh«ng phô thuéc vµo tham sè m Ví dụ 1: Cho phương trình : m 1 x 2mx m 0 (1) có nghiệm x1 ; x2 Lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho chúng không phụ thuộc vào m (Bài này đã cho PT có hai nghiệmx1 ;x2 nên ta không biện luận bớc 1) Gi¶i: Bíc2: Theo hệ th ức VI- ÉT ta có : 2m x1 x2 m x x m m x1 x2 2 m (1) x x 1 (2) m Bíc2: Rút m từ (1) ta có : 2 x1 x2 m m x1 x2 (3) Rút m từ (2) ta có : 3 1 x1 x2 m m 1 x1 x2 (4) Bíc 3: Đồng các vế (3) và (4) ta có: x1 x2 3 x1 x2 x1 x2 x1 x2 0 x1 x2 x1 x2 m 1 x 2mx m 0 Chứng minh biểu Ví dụ 2: Gọi x1 ; x2 là nghiệm phương trình : A 3 x1 x2 x1 x2 thức không phụ thuộc giá trị m Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó : 2m x x m m x x m m− 1≠ ⇔m ≠1 ) ;Thay vào A ta c ó: §K:( A 3 x1 x2 x1 x2 3 2m m 6m 2m 8(m 1) 8 0 m m m m Vậy A = với m 1 Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m Bài tập áp dụng: 1 Cho phương trình : lập m Hướng dẫn: x m x 2m 1 0 Hãy lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho x1 ; x2 độc (6) 2 m 2m 1 m2 4m m B1: Dễ thấy có nghiệm phân biệt x1 và x2 B2: Theo hệ thức VI- ÉT ta có x1 x2 m x1.x2 2m B3: m x1 x2 2(1) x1 x2 m (2) Từ (1) và (2) ta có: x1 x2 Do đó phương trình đã cho luôn x1 x2 x1 x2 x1 x2 0 Cho phương trình : x 4m 1 x m 0 Tìm hệ thức liên hệ x1 và x2 cho chúng không phụ thuộc vào m 2 Hướng dẫn: Dễ thấy (4m 1) 4.2(m 4) 16m 33 đó phương trình đã cho luôn có nghiệm phân biệt x1 và x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có x1 x2 (4m 1) x1.x2 2(m 4) 4m ( x1 x2 ) 1(1) 4m 2 x1 x2 16(2) Từ (1) và (2) ta có: ( x1 x2 ) 2 x1 x2 16 x1 x2 ( x1 x2 ) 17 0 V.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM Đà CHO Đối với các bài toán dạng này,c¸c em làm sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a và 0) - Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số) - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm mx m 1 x m 3 0 Ví dụ 1: Cho phương trình : Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 x1.x2 Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó nghiệm x1 và x2 l à : m 0 ' m 21 9(m 3)m 0 m 0 2 ' 9 m 2m 1 9m 27 0 6(m 1) x1 x2 m x x 9(m 3) m Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: m 0 ' 9 m 1 0 v à t gi ả thi ết: x1 x2 x1 x2 Suy ra: 6(m 1) 9(m 3) 6(m 1) 9( m 3) 6m 9m 27 3m 21 m 7 m m (thoả mãn điều kiện xác định ) m 0 m (7) Vậy với m = thì phương trình đã cho có nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 x1.x2 x 2m 1 x m 0 Ví dụ 2: Cho phương trình : 3x x x1 x2 0 Tìm m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm x1 & x2 là : ' (2m 1) 4( m2 2) 0 4m 4m 4m 0 4m 0 m x1 x2 2m 3x x x1 x2 0 x x m2 Theo hệ thức VI-ÉT ta có: và từ giả thiết Suy 3(m2 2) 5(2m 1) 0 3m 10m 0 m 2(TM ) 3m 10m 0 m ( KTM ) Vậy với m = thì phương trình có 3x x x1 x2 0 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : Bài tập áp dụng Cho phương trình : mx m x m 0 Tìm m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 0 Cho phương trình : x m 1 x 5m 0 Tìm m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: x1 x2 1 Cho phương trình : 3x 3m x 3m 1 0 Tìm m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 x2 6 Hướng dẫn cách giải: Đối với các bài tập dạng này ta thấy có điều khác biệt so với bài tập Ví dụ và ví dụ chỗ + Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1 x2 và tích nghiệm x1 x2 nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m + Còn bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn vậy, đó vấn đề đặt đây là làm nào để từ biểu thức đã cho biến đổi biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 x2 và tích nghiệm x1 x2 từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày Ví dụ và ví dụ 16 m 0 & m 15 BT1: - ĐKX Đ: (8) (m 4) x x m (1) m x x m -Theo VI-ÉT: x1 x2 3x2 2( x1 x2 ) 9 x1 x2 2( x x ) x x x - Từ Suy ra: (2) - Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình sau: m 127m 128 0 m1 1; m2 128 BT2: - ĐKXĐ: m 22m 25 0 11 96 m 11 96 x1 x2 1 m (1) x1 x2 5m - Theo VI-ÉT: x1 1 3( x1 x2 ) x1 x2 3( x1 x2 ) 4( x1 x2 ) 1 x2 4( x1 x2 ) - Từ : x1 3x2 1 Suy ra: x1 x2 7( x1 x2 ) 12( x1 x2 ) (2) m 0 12m(m 1) 0 m 1 (thoả mãn ĐKXĐ) - Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 2 BT3: - Vì (3m 2) 4.3(3m 1) 9m 24m 16 (3m 4) 0 với số thực m nên phương trình luôn có nghiệm phân biệt 3m x1 x2 (1) x x (3m 1) - -Theo VI-ÉT: 8 x1 5( x1 x2 ) 64 x1 x2 5( x1 x2 ) 6 3( x1 x2 ) 6 x 3( x x ) 2 - Từ giả thiết: 3x1 x2 6 Suy ra: 64 x1 x2 15( x1 x2 ) 12( x1 x2 ) 36 m 0 m(45m 96) 0 m 32 15 (thoả mãn ) - Thế (1) vào (2) ta phương trình: (2) VI XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax bx c 0 (a 0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: Cho phương trình: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm … Ta lập bảng xét dấu sau: S x1 x2 Dấu nghiệm x1 x2 trái dấu cùng dấu, cùng dương, + + S>0 cùng âm S<0 Ví dụ: Xác định tham số m cho phương trình: P x1 x2 P<0 P>0 P>0 P>0 0 0 0 0 Điều kiện chung ; P < 0 ;P>0 0 ;P>0;S>0 ; P > ; S < (9) x 3m 1 x m m 0 có nghiệm trái dấu Để phương trình có nghiệm trái dấu thì 0 P (3m 1) 4.2.(m2 m 6) 0 (m 7) 0m 2m3 m m P ( m 3)( m 2) P Vậy với m thì phương trình có nghi ệm trái dấu Bài tập tham khảo: mx m x m 0 3mx 2m 1 x m 0 m 1 x x m 0 có nghiệm cùng dấu có nghiệm âm có ít nghiệm không âm VII TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM Áp dụng tính chất sau bất đẳng thức: trường hợp ta luôn phân tích được: Am C k B (trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là số) (*) Thì ta thấy : C m (v ì A 0 ) C m A 0 C k (v ì B 0 ) max C k B 0 Ví dụ 1: Cho phương trình : x 2m 1 x m 0 Gọi x1 và x2 là các nghiệm phương trình Tìm m để : A x12 x22 x1 x2 có giá trị nhỏ x1 x2 (2m 1) x x m Bài giải: Theo VI-ÉT: 2 A x12 x22 x1 x2 x1 x2 x1 x2 Theo đ ề b ài : 2m 1 8m 4m 12m (2m 3)2 Suy ra: A 2m 0 hay m 2 Ví dụ 2: Cho phương trình : x mx m 0 Gọi x1 và x2 là các nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ và giá trị lớn biểu thức sau: (10) B x1 x2 x x22 x1 x2 1 x1 x2 m x x m Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì : 2 x1 x2 x1 x2 2( m 1) 2m 1 B 2 x1 x2 x1 x2 1 ( x1 x2 ) m2 m 2 Cách 1: Thêm bớt để đưa dạng phần (*) đã hướng dẫn Ta biến đổi B sau: m m2 2m 1 m 1 B 1 m2 m2 2 m 1 0 B 1 m 1 0 m 2 Vì Vậy max B=1 m = Với cách thêm bớt khác ta lại có: 1 2 m 2m m m 4m m m 2 2 2 B 2 m 2 m 2 m 2 m 2 0 Vì m 2 2 m 2 0 B m 2 Vậy Cách 2: Đưa giải phương trình bậc với ẩn là m và B là tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với m 2m B Bm2 2m B 0 m 2 (Với m là ẩn, B là tham số) (**) B Ta có: 1 B(2 B 1) 1 B B Để phương trình (**) luôn có nghiệm với m thì B B 0 B B 0 B 1 B 1 0 hay B 2 B 0 B 1 B 0 B 1 2 B 0 B B 0 B 1 Vậy: max B=1 m = 1 B m 2 Bài tập áp dụng x 4m 1 x m 0 A x1 x2 Cho phương trình : Tìm m để biểu thức có giá trị nhỏ (11) 2 Cho phương trình x 2( m 1) x m 0 Tìm m cho nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn điều kiện x12 x22 10 2 Cho phương trình : x 2(m 4) x m 0 xác định m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn a) A x1 x2 x1 x2 đạt giá trị lớn 2 b) B x1 x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ 2 2 Cho phương trình : x (m 1) x m m 0 Với giá trị nào m, biểu thức C x1 x2 dạt giá trị nhỏ 2 Cho phương trình x ( m 1) m 0 Xác định m để biểu thức E x1 x2 đạt giá trị nhỏ (12)