- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn[r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Chuyên đề bồi dưỡng HSG
SỬ DỤNG CƠNG THỨC DIỆN TÍCH ĐỂ THIẾT LẬP QUAN HỆ ĐỘ DÀI CỦA CÁC ĐOẠN THẲNG 1 Kiến thức cần nhớ
a) Cơng thức tính diện tích tam giác: S =
2 a.h (a – độ dài cạnh, h – độ dài đường cao tương ứng)
b) Một số tính chất:
Hai tam giác có chung cạnh, có độ dài đường cao có diện tích Hai tam giác có diện tích
2 Một số tốn Bài
Cho ABC có AC = 6cm; AB = cm; đường cao AH; BK; CI Biết AH = CI + BK
2
Tính BC Giải
Ta có: BK = 2SABC
AC ; CI =
ABC
2S AB
BK + CI = SABC 1
AC AB
+
2AH = 2.1
2 BC AH
1 AC AB
+
BC
1 AC AB
+
= BC = : 1
AC AB
+
= :
1
+
= 4,8 cm
Bài 2:
Cho ABC có độ dài cạnh a, b, c; độ dài đường cao tương ứng ha, hb, hc Biết a + = b + hb = c + hc Chứng minh ABC tam giác
Giải
Gọi SABC = S
K I
H C
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Ta xét a + = b + hb a – b = – hb = 2S - 2S 2S - 2S a - b
b a b a ab
= =
a – b = 2S a - b
ab (a – b)
2S -
ab
= ABC cân C vuông C (1)
Tương tự ta có: ABC cân A vuông A (2); ABC cân B vuông B (3)
Từ (1), (2) (3) suy ABC cân vuông ba đỉnh (Không xẩy vuông ba đỉnh) ABC tam giác
Bài 3:
Cho điểm O nằm tam giác ABC, tia AO, BO, Co cắt cạnh tam giác ABC theo thứ tự A’, B’, C’ Chứng minh rằng:
a) OA' OB' OC'
AA'+BB'+CC'= b)
OA OB OC AA'+BB'+CC'=
c) M = OA OB OC
OA'+OB'+OC'= Tìm vị trí O để tổng M có giá trị nhỏ
d) N = OA OB OC
OA' OB' OC' = Tìm vị trí O để tích N có giá trị nhỏ
Giải
Gọi SABC = S, S1 = SBOC , S2 = SCOA , S3 = SAOB Ta có:
3
2
OA'C OA'B
S S S S
OA
= =
OA' S S S
+
= (1)
OA'C OA'B OA'C OA'B
AA'C AA'B AA'C AA'B
S S S S S
OA'
= =
AA' S S S S S
+
= =
+ (2)
Từ (1) (2) suy OA S2 S3
AA' S
+ =
Tương tự ta có
S S OB
OB' S
+
= ;
3
S S OC
OC' S
+
= ; OB' S2
BB' = S ;
3
S OC' CC' = S
a) OA' OB' OC' S1 S2 S3 S 1
AA'+BB'+CC' = S + S + S = =S
C' B'
A' O
C B
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | b) OA OB OC S2 S3 S1 S3 S1 S2 2S
2 AA' BB' CC' S S S S
+ + +
+ + = + + = =
c) M = 3 2 3
1 2 3
S S S S S S S S S S S S
OA OB OC
OA' OB' OC' S S S S S S S S S
+ + +
+ + = + + = + + + + +
p dụng Bđt Cơ si ta có 3
2 3
S S
S S S S
2 2
S S S S S S
+ + + + + + + =
Đẳng thức xẩy S1 = S2 = S3 O trọng tâm tam giác ABC d) N = 3 ( 3)( 3)( 2)
1 3
S S S S S S S S S S S S
S S S S S S
+ + +
+ + + =
N2 = ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 3 2 3
2
1 3
S S S S S S 4S S 4S S 4S S 64 S S S S S S
+ + +
N
Đẳng thức xẩy S1 = S2 = S3 O trọng tâm tam giác ABC Bài 4:
Cho tam giác ABC, đường caoAD, BE, CF; gọi A’, B’, C’ hình chiếu M
(nằm bên tam giác ABC) AD, BE, CF Chứng minh rằng: Khi M thay đổi vị trí tam giác ABC thì:
a) A’D + B’E + C’F không đổi b) AA’ + BB’ + CC’ không đổi Giải
Gọi h = AH chiều cao tam giác ABC h khơng đổi
Gọi khoảng cách từ M đến cạnh AB; BC; CA MP; MQ; MR A’D + B’E + C’F = MQ + MR + MP
Vì M nằm tam giác ABC nên SBMC + SCMA + SBMA = SABC
BC.(MQ + MR + MP) = BC AH
R
Q P
C'
B'
A' M
F E
D C
B
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
MQ + MR + MP = AH A’D + B’E + C’F = AH = h Vậy: A’D + B’E + C’F = AH = h không đổi
b) AA’ + BB’ + CC’ = (AH – A’D)+(BE – B’E) (CF – C’F) = (AH + BE + CF) – (A’D + B’E + C’F) = 3h – h = 2h không đổi Bài 5:
Cho tam giác ABC có BC trung bình cộng AC AB; Gọi I giao điểm phân giác, G trọng tâm tam giác Chứng minh: IG // BC
Giải
Gọi khoảng cách từ a, I, G đến BC AH, IK, GD
Vì I giap điểm ba đường phân giác nên khoảng cách từ I đến ba cạnh AB, BC, CA IK
Vì I nằm tam giác ABC nên:
SABC = SAIB + SBIC + SCIA BC.AH = IK(AB+BC+CA) (1) Mà BC = AB + CA
2 AB + CA = BC (2)
Thay (2) vào (1) ta có: BC AH = IK 3BC IK =
3 AH (a)
Vì G trọng tâm tam giác ABC nên: SBGC =
3 SABC BC GD =
3 BC AH GD =
3 AH (b)
Từ (a) (b) suy IK = GD hay khoảng cách từ I, G đến BC nên IG // BC *Bài tập tự luyện
1) Cho C điểm thuộc tia phân giác
xOy = 60 , Mlà điểm nằm đường vng góc với OC C thuộc miền xOy , gọi MA, MB thứ tự khoảng cách từ M đến Ox, Oy Tính độ dài OC theo MA, MB
2) Cho M điểm nằm tam giác ABC A’, B’, C’ hình chiếu M cạnh BC, AC, AB Các đường thẳng vng góc với BC C, vng góc với CA A , vng góc với AB B cắt D, E, F Chứng minh rằng:
a) Tam giác DEF tam giác
b) AB’ + BC’ + CA’ khơng phụ thuộc vị trí M tam giác ABC M
K H
G I
D C
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao HSG
- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
I.Luyện Thi Online - Luyên thi ĐH, THPT QG: - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí - HOC247 TV: