Boi duong HSG chuyen de BDT

Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến Ths.Phạm Huy Tân - Trờng THPT Lơng Tài I/ Phơng pháp biến đổi tơng đơng Ví dụ 1. Cho ab 1. Chứng minh: Giải: Đpcm (đúng) Bài tập áp dụng: 1.Cho a, b, c 1. Chứng minh 2. Cho a, b, c, d, e 1. Chứng minh 3.Cho Chứng minh Ví dụ 2. Cho a, b > 0, m và n là hai số nguyên dơng. Chứng minh: 1. (a m + b m )(a n + b n ) 2(a m+n + b m+n ) 2. a m b n + a n b m a m+n + b m+n Giải: Cả hai BĐT trên cùng tơng đơng với BĐT : (a n -b n )(a m -b m ) 0 (đúng) Bài tập áp dụng: Cho a, b, c dơng. Chứng minh: 1) (a + b)(a 2 + b 2 )(a 3 + b 3 ) 4(a 6 + b 6 ) 2) với mọi n nguyên dơng 3) 4) với abc =1 Ví dụ 3. Với mọi số thực a, b, c. Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca Giải: Đpcm tơng đơng với (a - b) 2 +(b - c) 2 + (c - a) 2 0 (đúng). Bài tập áp dụng: Với mọi số thực a,b,c dơng chứng minh: 1) a 4 + b 4 + c 4 abc(a + b + c) 2) (ab + bc + ca) 2 3abc(a + b + c) Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài 1 ab ba + + + + 1 2 1 1 1 1 22 0)1()( 2 abba abc cba + + + + + + 1 3 1 1 1 1 1 1 333 abcde edcba + + + + + + + + + + 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 55555 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 dcba abcd dcba 121 4 251 1 161 1 91 1 41 1 2222 + + + + + + + + 22 nn n baba + + abc abcacabccbabcba 1111 333 ++ + ++ + ++ 1 555555 ++ + ++ + ++ acca ac bccb bc abba ab Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến Bài tập tự luyện 1) Cho ab>0, c . Chứng minh: 2) Cho a, b, c dơng. Chứng minh: a) b) II. Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi Ví dụ 1. CMR: với mọi x 1 ,x 2 ,,x n dơng Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có và Nhân vế với vế 2 bất đẳng thức trên ta đợc Đpcm. Đẳng thức xảy ra khi x 1 = x 2 == x n . Bài tập áp dụng: 1) Với mọi a,b,c dơng, chứng minh: 2) Với mọi tam giác ABC, chứng minh: Chú ý : Ta xem ví dụ 1 nh một kết quả đợc áp dụng cho các ví dụ ở phần sau. Ví dụ 2: Cho a, b, c dơng. Chứng minh: 1) 2) Giải: 1) Chú ý : Có thể sử dụng BĐT Bunhia để chứng minh BĐT trên. Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài 2 3 22 3 22 3 22 3 cba acac c cbcb b baba a ++ ++ + ++ + ++ 2 21 21 ) 1 11 )( .( n xxx xxx n n ++++++ n nn xxxnxxx 2121 +++ n nn xxx n xxx . 11 11 2121 +++ cbacbacbacba 4 1 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1 ++ ++ + ++ + ++ cbacpbpap 222111 ++ + + 2 3 + + + + + ba c ac b cb a 2 222 cba ba c ac b cb a ++ + + + + + ( ) [ ] 2 3 2 9111 )()( 2 1 )1()1()1(3 + + + + + +++++= + + ++ + +++ + =+ VT accbba cacbba ba c ac b cb a VT ab 2222 bc bc ac ac + + + + 3 2 22 3 ba baba a ++ Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến 2) áp dụng BĐT Côsi ta có Ta cũng có 2 BĐT tơng tự nh thế. Cộng vế với vế các BĐT đó lại ta đợc Đpcm. Chú ý : BĐT trên có thể chứng minh bằng cách sử dụng BĐT Bunhia hoặc có thể sử dụng kết quả của BĐT 1). Bài tập áp dụng : 1) Với mọi a, b, c dơng chứng minh: 2) Cho a, b, c dơng và abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3) Với mọi tam giác ABC chứng minh Ví dụ 3: 1) Với mọi a, b, x, y dơng chứng minh 2) Với mọi a, b, c, x, y, z dơng chứng minh Giải: 1) 2) Bài tập áp dụng: 1) Cho x, y,z dơng và xyz =8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2) Với mọi tam giác ABC tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Ví dụ 4 : Cho x, y, z dơng và Chứng minh Giải: Từ giả thiết và áp dụng BĐT Côsi ta có: Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài 3 . 4 2 a cb cb a + + + cba bcac ab cbab ac caba bc 2 1 2 1 2 1 222222 ++ + + + + + bcac ab cbab ac caba bc 222222 + + + + + 2 3 33 3 33 3 33 3 + + + + + ba c ac b cb a 2 )())(( xyabybxa +++ 3 3 3 )())()(( xyzabczcybxa ++++ VPxyabxyaybxabxybxayabVT =+=+++++= 2 )(2)( VPxyzabc xyzxyzabcxyzabcabcxyzcxybzxayzacybcxabzabcVT =+= ++++++++++= 3 3 3 3 2 3 2 )( )(3)(3)()( )1)(1)(1( zyxM +++= + + += 2 sin 1 1 2 sin 1 1 2 sin 1 1 CBA P 2 1 1 1 1 1 1 + + + + + zyx 8 1 xyz Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến Ta cũng có thêm 2BĐT tơng tự nh thế. Nhân vế với vế các BĐT đó và thu gọn ta đợc Đpcm. Bài tập áp dụng : Cho x, y, z, t dơng và Chứng minh Ví dụ 5 : Cho x, y dơng, . Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải : áp dụng Côsi ta có : Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy minS = 5. Ví dụ 6 : Cho x, y, z dơng và x+y+z = 1. Tìm min của Giải : áp dụng BĐT Côsi ta có : Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy Bài tập áp dụng : Cho x,y, z dơng và x+y+z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của Ví dụ 7 : Cho x,y,z dơng và x+y+z = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải : áp dụng BĐT Côsi ta có : . Ta cũng có 2 BĐT tơng tự nh vậy. Công các BĐT đó lại ta đợc . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 2. Vậy minA = 6. Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài 4 )1)(1( 2 111 1 1 1 1 1 1 1 zy yz z z y y zyx ++ + + + = + + + + 3 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + tzyx 81 1 xyzt 4 5 =+ yx yx S 4 14 += ( ) ( ) 525 4 14 425 4 11111 4 ++ ++++++++ S yx yx yxxxx yxxxx = = 4 1 1 y x 1 1 1 1 1 1 + + + + + = zyx P ( ) ( ) ( ) [ ] 4 9 3 9 9 1 1 1 1 1 1 111 = +++ + + + + + +++++ zyx P zyx zyx 3 1 === zyx 4 9 min =P 111 + + + + + = z z y y x x Q yx z xz y zy x A + + + + + = 3 3 3 x zy zy x 32 2 3 + + + + 6A Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến Bài tập áp dụng : 1) Cho x, y, z dơng và x+y+z = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2) Cho x, y, z dơng và xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của Ví dụ 8 : Cho x, y, z dơng. Chứng minh: Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có: . Ta cũng có 2BĐT t- ơng tự nh thế. Cộng vế với vế các đẳng thức ta đợc Đpcm Bài tập áp dụng : 1) Cho x, y, z dơng và xyz = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2) Cho x, y, z dơng và xy + yz + zx = xyz. Chứng minh : Ví dụ 9 : Cho x, y, z dơng và 4x + 4y + 4z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của Giải : áp dụng Côsi ta có : Ta cũng có 2 BĐT tơng tự nh thế. Cộng các phân thức đó lại ta đợc A3. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy maxA = 3. Bài tập áp dụng : Cho x, y, z, t dơng và 5x+5y+5z +5t= 4. Tìm giá trị lớn nhất của Ví dụ 10 : Cho x, y dơng và Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải : Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 2. Vậy Bài tập áp dụng : Cho x, y dơng và x + y 4. Chứng minh: Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài 5 yx z xz y zy x B + + + + + = 4 4 4 yx z xz y zy x C + + + + + = 222 4))(())(())(( 333 zyx yzxz z xyzy y zxyx x ++ ++ + ++ + ++ 4 3 88))(( 3 xzx yx zxyx x + + + + ++ ))(())(())(( 333 yzxz z xyzy y zxyx x P ++ + ++ + ++ = 4 2 2 2 zyx xyz z zxy y yzx x ++ + + + + + 3 33 333 xzzyyxA +++++= 3 113 1.1).3(3 33 +++ +=+ yx yxyx 4 1 z y x === 4 44 444 xzzyyxB +++++= 4+ yx 2 32 2 4 43 y y x x M + + + = 2 9 2 4 4 . 4 . 2 .3 1 . 4 2 244 21 4 3 22 =++ + + +++ += yy y x x yxyy y x x A 2 9 min =A 18 106 32 +++ yx yx Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến Ví dụ 11 : Cho x, y, z dơng và . Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải : Cách 1 : Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy Cách 2: Chú ý: Học sinh dễ bị sai lầm tìm ra minP = 6 ?! Bài tập áp dụng: 1) Cho x, y dơng và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2) Xác định các góc của tam giác ABC để biểu thức sau nhỏ nhất Ví dụ 12 : Cho x, y, z dơng và x + y + z = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải : Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 2. Vậy minB = 24 Bài tập áp dụng 1) Cho x, y , z dơng và x + y + z = 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2) Với mọi tam giác ABC tìm giá trị nhỏ nhất của Ví dụ 13 : Cho a, b, c, d dơng. Chứng minh: Giải: Ta có . Ta cũng có 3 BĐT tơng tự nh vậy. Cộng các BĐT đó lại ta đợc Đpcm. Bài tập áp dụng : Cho a, b, c, d dơng. Chứng minh 1) Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài 6 2 3 ++ zyx zyx zyxP 111 +++++= ( ) 2 15 2 9 4443 1 4 1 4 1 4 =++++ ++ ++ += zyx z z y y x xP 2 1 z y x === 2 15 minP = 2 15 2 3 .36.2)(3 9 )(4 9111 P =++ ++ +++= ++ ++++++++= zyx zyx zyx zyx zyx zyx zyx xy xyQ 1 += CBA CBAM sin 1 sin 1 sin 1 sinsinsin +++++= 333 zyxA ++= 24 72)(12.83.83.83)88()88()88(48 3 32 3 32 3 32333 =++=++++++++++=+ B zyxzyxzyxB 666 zyxB ++= 2 sin 2 sin 2 sin 666 CBA M ++= 33335 2 5 2 5 2 5 2 1111 dcbaa d d c c b b a ++++++ 335 2 3335 2 5 2 5 2 253511 abb a baab a b a b a ++++ 44447 3 7 3 7 3 7 3 1111 dcbaa d d c c b b a ++++++ Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến 2) Ví dụ 14 : Cho x, y , z dơng tìm giá trị nhỏ nhất của Giải : Mặt khác : . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. Vậy Lời bình: Còn có thể tìm đợc 5 cách giải khác sử dụng BĐT Côsi. Mời bạn thử sức! Ví dụ 15 : Cho a, b,c là các số thực dơng thoả mãn điều kiện a 2 +b 2 +c 2 +abc = 4. Chứng minh rằng a+ b + c 3. Giải: Cách 1: Đây là một BĐT có điều kiện. Một trong những phơng pháp xử lí những bài toán này là khử điều kiện ngay từ đầu. Coi điều kiện a 2 +b 2 +c 2 +abc = 4 nh ph- ơng trình bậc hai theo a, ta đợc Một cách tự nhiên, áp dụng BĐT Côsi cho căn thức trong biểu thức trên, ta có đánh giá Từ đó Cách 2: Đặt , ta có 4 = a 2 + b 2 + c 2 + abc = a 2 + 2t 2 + at 2 +(b 2 + c 2 - 2t 2 ) + a(bc - t 2 ) = Từ đây suy ra sẽ có đánh giá Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài 7 aa ++=++ 222t a c b a ++ ++ += xy z z zx y y yz x xP 1 2 1 2 1 2 ++ ++ += ++ + ++ ++ + ++ = z z y y x x xyz zxyzxyzyx xyz zyxzyx P 1 2 1 2 1 222 222222222222 2 9 2 3 2 1 2 1 2 1 2 22 ++=+ P xx x x x 2 9 min =P 2 )4)(4( 22 cbbc a + = . 4 )(8 2 2 44 2 22 cb cb bc a + = + + 3 4 12 4 )2(12 4 )(4)(8 22 = + = +++ ++ cbcbcb cba 2 cb t + = 22 2 22 )2( 4 ))(2( 2 taa cba atta ++ +++ at 2 2 321)2.(1.2 =+++= aaaa 2222 3 5 3 5 3 5 3 5 dcba a d d c c b b a ++++++ Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến Cách 3 : Từ điều kiện a 2 +b 2 +c 2 +abc = 4 ta suy ra . Từ đó áp dụng BĐT Côsi cho các số 2 a, 2 b, 2 c ta có Từ đó suy ra Cách 4 : Cũng do điều kiện đã gợi chúng ta đi đến phép thế lợng giác. Rõ ràng có thể đặt a= 2cosA và b =2 cosB, c = 2 cosC, với A, B là các góc nhọn. Khi đó, tính c theo a, b, ta đợc Vậy c = 2cos C với . Nh thế điều kiện a 2 + b 2 + c 2 +abc = 4 đã đợc tham số hoá thành a = 2 cosA, b= 2cosB, c= 2cosC với , A, B, C> 0. Yêu cầu của bài toán trở thành bất đẳng thức quen thuộc trong tam giác: Đó là một lời giải ngắn gọn cho bất đẳng thức Bài tập áp dụng: Cho x, y, z dơng và x 2 + y 2 + z 2 + 2xyz = 1. Chứng minh Bài tập tự luyện 1) Cho x, y dơng. Chứng minh: 2) Cho x > y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của 3) Cho x, y, z dơng. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4) Cho x, y không âm và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài 8 (0;2) c b, a, (0;2) c b, a, =++ C B A ( ) 256 9 111 2 + ++ y x y x )( 1 yxxy xA += ++++++++= 222 3 33 3 33 3 33 2)(4)(4)(4 x z z y y x xzzyyxA 11 + + + = x y y x A .0)3612)(3( )6()44(27 )6()4)(2)(48(27 )6())(2)(48(27 )222()2)(2)(2(27 2 32 3222 3 3 ++ + ++++++++ +++++ ++ sss sss cbacbacabcabcba cbaabccabcabcba cbacba .3 s ).cos(2)cos(2 2 sinsin4coscos4 2 )4)(4( 22 BABA BABA baab c =+= + = + = =++ C B A . 2 3 coscoscos ++= CBAP .2 3 2 1 2 sin2 2 3 2 sin21 2 sin2 2 sin21 2 cos 2 cos2 2 22 =++ =+ = CCCCBABA P 2 3 ++ zyx Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến 5) Cho x, y dơng và x + y < 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 6) Cho Chứng minh 7) Cho x, y dơng và x + y = 5. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức a) A= x 2 y b) B = x 4 y 3 8) Cho a, b, c là các số dơng. Chứng minh rằng 9) Cho a, b là các số dơng. Chứng minh rằng III. Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia Nội dung: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Ví dụ 1: Cho x + y+ z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của a) A= x 2 + y 2 + z 2 b) B= x 4 + y 4 + z 4 c) C = x 8 + y 8 + z 8 Giải : a) 3A = 3(x 2 + y 2 + z 2 ) (x + y+z) 2 = 1 . Đẳng thức xảy ra khi Vậy b) c) Ví dụ 2 : Cho x, y dơng và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải : Ta có Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài 9 yx yx y y x x A + +++ + = 1 11 22 10 xy 4 1 xyyx 2 22 3 22 3 22 3 cba ac c cb b ba a ++ + + + + + )(28)(7 22 22 baba a b b a ++++ ) )( () .( 22 1 22 1 2 11 nnnn bbaababa ++++++ n n a b a b == . 1 1 3 1 A 3 1 z y x === 3 1 minA = 9 1 minB = 27 1 minC = 2 2 11 ++ += y y x xM 2 254 1 2 111 1 2 111 2 1 2 22 = + + ++= ++ + yxyxy y x xM Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy Chú ý : Có thể chỉ sử dụng BĐT Cô si để chứng minh BĐT trên. Bài tập áp dụng : Cho x, y, z dơng và x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của Ví dụ 3 : Cho a, b, c dơng và ab + bc + ca = abc. Chứng minh: Giải: Ta có . Ta cũng có 2 BĐT tơng tự nh thế. Cộng các BĐT đó và sử dụng giả thiết ta đợc Đpcm. Bài tập áp dụng : Cho a, b, c dơng và ab + bc + ca = abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của Ví dụ 4 : Cho a, b, c dơng. Chứng minh: Giải: Ta có Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài tập áp dụng: 1) Cho a, b, c, p, q dơng. Chứng minh: 2) Cho x, y, z dơng và xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của Bài tập tự luyện 1) Cho a, b, c dơng và a + b + c = 1. Chứng minh Ths. Phạm Huy Tân Trờng THPT Lơng Tài 10 2 1 == yx 2 25 min =M 222 222 111 zyx zyxM +++++= 3 222 222222 + + + + + ca ac bc cb ab ba ab ba ab baa ab ba 3 22 22222 + ++ = + ac ac bc cb ab ba P 222222 434343 + + + + + = 1 222 + + + + + ba c ac b cb a .1 )(3 )(3 )(3 )( ).(3 .) .2.( )2( 2 )( 2 2 2 = ++ ++ ++ ++ ++=+++ +++ + =++ acbcab cabcab acbcab cba VT cabcabVTacabVTcba cb a cba qpqbpa c qapc b qcpb a + + + + + + 3 yyxx yxz xxzz xzy zzyy zyx P 2 )( 2 )( 2 )( 222 + + + + + + + + = 6+++++ accbba pcpbpapp 3++< . + 1 2 1 1 1 1 22 0)1()( 2 abba abc cba + + + + + + 1 3 1 1 1 1 1 1 333 abcde edcba + + + + + + + + + + 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 55555 5 1 , 4 1 , 3 1