Microsoft Word CHUYEN DE TOAN THCS HAU NGHIA docx ỦY BAN NHÂN DÂN HUYỆN ĐỨC HÒA TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ HẬU công tác văn phòng cũng như một số học phần khác có liên quan tới việc UDCNTT, máy tính vào công tác văn thư, lưu trữ, tác giả Nguyễn Đình Giới đã nghiên cứu xây dựng và nghiệm thu đề tài nghiên cứu khoa học năm 2016 với phần mềm “Quản Lý Văn Bản Và Điều Hành.” Đây là một phần mềm ứng dụng có thể áp dụng cho cơ quan nhỏ và vừa trong việc lưu trữ các văn bản đi, đến hoặc tài liệu lưu trữ của cơ quan. Thông qua việc sử dụng phần mềm, người dùng có thể rút ngắn các quy trình quản lý văn bản, đảm bảo chính xác, an toàn và tiết kiệm không gian lưu trữ (văn bản giấy chiếm nhiều diện tích do phải lưu lại trong các tủ). NGHĨA CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – HỆ THỨC VI ÉT VÀ ỨNG DỤNG Đơn vị Tổ Toán Tin Tháng 04.
ỦY BAN NHÂN DÂN HUYỆN ĐỨC HÒA TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ HẬU NGHĨA CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG Đơn vị: Tổ Toán -Tin Tháng 04 năm 2023 PHẦN MỞ ĐẦU Phương trình bậc hai hệ thức Vi-ét áp dụng nhiều viêc giải tốn Song, q trình giảng dạy thấy em vận dụng chưa linh hoạt, lập luận chưa chặt chẽ, có nhiều thiếu sót q trình giải Để giải tốn hệ thức Vi-ét học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức đại số, có cách nhìn khác nghiệm phương trình bậc hai thơng qua hệ số, Tuy nhiên lượng tập sách giáo khoa số lượng, chất lượng tập chưa phong phú, đa dạng Vậy nên Nhóm Tốn chúng tơi xây dựng chun đề nhằm mục đích giúp học sinh nắm vững sử dụng thành thạo giải phương trình bậc hai, hệ thức Vi-ét ứng dụng đồng thời làm tăng khả năng, lực học tốn kích thích hứng thú cho học sinh Làm để học sinh nhận dạng vận dụng lý thuyết giải tập cách nhanh nhất? Đó câu hỏi ln trăn trở người giáo viên dạy lớp Tốn học mơn học địi hỏi học sinh phải có hiểu biết, chút thơng minh, chịu khó hết hứng thú với mơn học Do giáo viên cần phải có phương pháp gọn, rõ ràng, cụ thể để giúp em tiếp cận kiến thức nhanh từ tạo ham học, hứng thú với môn Đa số học sinh trung bình, yếu khả vận dụng, phân tích đề em hạn chế Thông thường em dễ nhầm lẫn dạng tập với nhau, chẳng hạn hai dạng tập tìm tham số chứng minh phương trình ln có nghiệm Khi làm bài, em thường khơng phân biệt dạng tập Do đó, làm thường không đạt kết tốt Để giúp em định hình phương pháp giải khác dạng tập, cần phân loại tập phần kiến thức, loại hình thành phương pháp giải cụ thể làm tảng sở cho em Điều cần thiết tiến hành việc dạy cho em giải tốt dạng tập Trang PHẦN NỘI DUNG A Giải vấn đề Đặc trưng phân môn đại số địi hỏi học sinh cần tính tốn nhiều xác Nhưng học sinh khơng nắm dạng toán làm cho toán trở nên dài dịng phức tạp, chí bế tắc cách giải đặc biệt nhầm lẫn hướng giải thiếu điều kiện để kết luận xác kết toán Do vậy, để giúp học sinh giải vấn đề đòi hỏi người giáo viên cần phải phân loại dạng tập, đưa từ lý thuyết sang tốn cụ thể, từ đưa hướng giải tốn thích hợp rèn luyện cho học sinh thói quen nhận dạng tập, tránh nhầm lẫn q trình giải tốn để đạt hứng thú kết cao học tập Trước tình hình trên, chúng tơi nhận thấy kiến thức học phân dạng tập cụ thể, dạng hình thành phương pháp giải rõ ràng em vận dụng làm tập cách tốt giúp em thích thú học mơn Theo quan điểm phân loại tập để củng cố, rèn luyện kiến thức phần phương trình bậc hai - hệ thức Vi-ét ứng dụng vào việc giải dạng tập B Nội dung I Kiến thức cần nhớ Phương trình bậc hai ẩn 1.1 Định nghĩa Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng ax + bx + c = , x ẩn; a , b, c số cho trước gọi hệ số a ¹ 1.2 Giải phương trình bậc hai Trường hợp Phương trình bậc hai ẩn dạng khuyết: - Với c = , phương trình có dạng: éx = ax + bx = Û x(ax + b) = Û ê ê x = -b (a ¹ 0) a ë - Với b = , phương trình có dạng: -c ax + c = Û x = (*) a éc = -c ³0Ûê Điều kiện để phương trình có nghiệm là: a ëac < Trường hợp 2: Giải phương trình bậc hai ẩn đầy đủ: a Cơng thức nghiệm: Đối với phương trình bậc hai ax + bx + c = 0(a ¹ 0) biệt thức D = b - ac -b + D -b - D ; x2 = 2a 2a b + Nếu D = phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - 2a + Nếu D < phương trình vơ nghiệm Chú ý: Nếu phương trình có a c trái dấu D > Khi phương trình có nghiệm phân + Nếu D > phương trình có nghiệm phân biệt x1 = biệt b Công thức nghiệm thu gọn Đối với phương trình bậc hai ax + bx + c = 0(a 0) v b = 2bÂ, DÂ = bÂ2 - ac Trang -b¢ + D¢ -b¢ - D¢ ; x2 = a a b¢ + Nếu D¢ = phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - a + Nếu D¢ < phương trình vơ nghiệm + Nếu D¢ > phương trình có nghiệm phân biệt x1 = Hệ thức Vi-ét ứng dụng: 2.1 Hệ thức Vi-ét Định lí Vi-ét : b ì x1 + x2 = ï a Nếu x1 , x2 hai nghiệm phương trình ax + bx + c = (a ¹ 0) ïí ïx x = c ïỵ a *Chú ý: Định lí Vi-ét sử dụng phương trình phương trình bậc hai có nghiệm (nghĩa a ¹ 0; D ³ ) đó, GV cần ghi nhớ cho HS kể đề không yêu cầu tìm điều kiện có nghiệm phải tìm điều kiện có nghiệm trước áp dụng định lí Vi-ét 2.2 Ứng dụng hệ thức Vi-ét: Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm phương trình: ax + bx + c = (a ¹ 0) (1) a) Nếu phương trình (1) có dạng a + b + c = x1 = 1; x2 = c a c a b) Nếu phương trình (1) có dạng a - b + c = x1 = -1; x2 = - Ứng dụng 2: Tìm hai số biết tổng tích chúng: Nếu có hai số x1 , x2 mà x1 + x2 = S x1 x2 = P x1 , x2 nghiệm (nếu có) phương trình x - Sx + P = + Điều kiện tồn hai nghiệm x1; x2 là: S ³ P Ứng dụng 3: Xét dấu nghiệm x1 , x2 (mà khơng cần tính x1 , x2 ) - Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu x1 x2 < , đó: + Nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm cịn lại x1 + x2 > + Nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm cịn lại x1 + x2 < ìD ³ - Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm dấu là: í ỵ x1 x2 > ìD ³ ï - Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm dương là: í x1 x2 > ïx + x > î ìD ³ ï - Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm âm là: í x1 x2 > ïx + x < î Ứng dụng 4: Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm x1 , x2 (mà khơng cần tính x1 , x2 ) Một số biểu thức đối xứng: a) x12 + x22 = ( x1 + x2 ) - x1 x2 b) x13 + x23 = ( x1 + x2 ) - 3x1 x2 ( x1 + x2 ) Trang c) x1 - x2 = d) ( x1 + x2 ) - x1 x2 1 x1 + x2 + = x1 x2 x1 x2 f) ( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - x1 x2 2 ( ) g) x14 + x24 = ( x12 + x22 ) - x12 x22 = ( x1 + x2 ) - x1 x2 - x12 x22 2 h) ( x1 - a )( x2 - a ) = x1 x2 - a ( x1 + x2 ) + a i) 1 x1 + x2 - 2a x1 + x2 - 2a + = = x1 - a x2 - a ( x1 - a )( x2 - a ) x1.x2 - a ( x1 + x2 ) + a II MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP Đối với phương trình bậc hai: Dạng 1: Giải phương trình bậc hai ẩn * Dạng thường đưa vào cấu trúc đề thi tuyển sinh vào lớp 10 * Định hướng cho HS quy trình giải: - Nếu phương trình khuyết b c giải theo cách riêng - Đối với phương trình bậc hai đầy đủ thì: + Ưu tiên phương pháp nhẩm nghiệm cách sử dụng hệ định lí Vi-ét (nếu được) + Nếu hệ số b chẵn sử dụng công thức nghiệm thu gọn + Nếu hệ số b lẻ sử dụng cơng thức nghiệm Ví dụ Giải phương trình sau: a) x + x = ; b) x + x - = ; c) x + x - = ; d) x - x + = ; e) x + x + = Hướng dẫn giải: a) éx = éx = x + x = Û x( x + 6) = Û ê Ûê ë x = -3 ëê x + = b) Ta có D = b - 4ac = 52 - × × (-2) = 25 + 24 = 49 > Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt: -b + D -5 + 49 -5 + = = = = 2a 2.3 6 -b - D -5 + 49 -5 - -12 x2 = = = = = -2 2a 2.3 6 c) x + x - = Ta có: D¢ = b¢2 - ac = 22 - 1.(-1) = > x1 = Phương trình có nghiệm phân biệt: -2 + = -2 + -2 - x2 = = -2 - d) x - x + = Ta có a = 5; b = -6; c = a + b + c = + ( -6) + = x1 = Trang Nên phương trình cho có nghiệm phân biệt x1 = 1; x2 = c = a e) x + x + = Ta có : a - b + c = - + = nên phương trình cho có hai nghiệm x1 = -1; x2 = - c -3 = a Dạng 2: Giải phương trình quy phương trình bậc hai ẩn Giải phương trình trùng phương - Phương trình trùng phương phương trình có dạng: ax + bx + c = 0(a ¹ 0) - Cách giải: Bước Đặt ẩn phụ t = x (t ³ 0) để đưa phương trình phương trình bậc hai: at + bt + c = ( a ¹ ) Bước Giải phương trình bậc hai ẩn t từ ta tìm nghiệm phương trình trùng phương cho Bài tập áp dụng Giải phương trình sau: a) x + x - = ; b) ( x + 1) - 5( x + 1)2 - 84 = Giải phương trình sau: a) x + x + = ; b) x + x - 12 = Phương trình chứa ẩn mẫu thức Phương pháp giải: Để giải phương trình chứa ẩn mẫu thức, ta có bước giải sau: Bước Tìm điều kiện xác định ẩn Bước Quy đồng mẫu thức hai vế khử mẫu Bước Giải phương trình bậc hai nhận Bước Bước So sánh nghiệm tìm Bước với điều kiện xác định kết luận Bài tập áp dụng Giải phương trình sau: 2x - 3x = a) ; x -1 x - x+5 x-3 = b) ; x -3 x +5 æ 1+ x 1- x ỉ 1+ x - 1÷ = c) ỗ ữ:ỗ ố - x + x ø è - x ø 14 - x Giải phương trình sau: x - 3x - x - + = +3; a) x +1 x + x -1 x - 3x + = b) ; x - x-6 x -3 2x 5 c) = x - x - x - 5x + Phương trình đưa dạng tích Phương pháp giải: Để giải phương trình đưa dạng tích, ta có bước giải sau: Bước Chuyển vế phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải Bước Xét nhân tử để tìm nghiệm Bài tập áp dụng Giải phương trình sau: a) x - 3x - x - = ; b) ( x - 1)3 + x3 + ( x + 1)3 - ( x + 2)3 = Trang Giải phương trình sau: a) x3 - x + x + = ; b) ( x + x - 5)2 = ( x - x + 5)2 Dạng Giải phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp giải: Bước Đặt điều kiện xác định (nếu có); Bước Đặt ẩn phụ, đặt điểu kiện ẩn phụ (nếu có) giải phương trình theo ẩn mới; Bước Tìm nghiệm ban đầu so sánh với điều kiện xác định kết luận Bài tập áp dụng Giải phương trình sau: a) x( x + 1)( x + 2)( x + 3) = ; b) ( x + 16 x + 60)( x + 17 x + 60) = x ; 2x c) - = 3x - x + 3x + 5x + 2 Giải phương trình sau: a) ( x - 3x) - 6( x - 3x) - = ; b) x + 61x3 - 8000 = ; x 10( x + 1) = c) x +1 x Dạng Phương trình chứa biếu thức dấu Phương pháp giải: Làm dấu cách đặt ẩn phụ lũy thừa hai vế ìB ³ Chú ý: A = B Û í ỵA = B Bài tập áp dụng Giải phương trình sau: a) x - x +9 = 3- x ; b) x + x + = - x Giải phương trình sau: a) x - 3x + = (1 - x) 3x - ; b) x - + x + = 14 x - Dạng 5: Phương trình bậc hai ẩn có chứa tham số m Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt, nghiệm kép, có nghiệm, có hai nghiệm, vơ nghiệm Phương pháp: - Bước 1: Tính D D¢ - Bước 2: Chứng minh D > (hoặc D ³ 0; D = 0; D < ) theo yêu cầu đề Trường hợp D¢ làm tương tự - Bước 3: Kết luận Chú ý: Khi biệt thức D D¢ có dạng tam thức bậc hai cần biến đổi dạng ( A ± B)2 ( A ± B)2 + k (k > 0) Ví dụ 1: Cho phương trình: x + x - m - = ( m tham số) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m Hướng dẫn giải Ta có DÂ = 12 - 1ì ( -m - 1) = + m + = m + > , với m Vì D¢ > với m nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m Ví dụ 2: Cho phương trình x - 2(m - 1) x + m - = ( m tham số) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m Trang Hướng dẫn giải ỉ 3ư Vì D = [-(m - 1)]2 - 1.(m - 3) = m2 - 3m + = ỗ m - ữ + > 0, "m 2ø è Suy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với m Ví dụ 3: Cho phương trình x + mx - 4m - = ( m tham số) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m Hướng dẫn giải Vì D¢ = (2m)2 - (-4m - 1) = 4m2 + 4m + = (2m + 1) ³ 0, "m Suy phương trình cho ln có nghiệm với m Tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt, nghiệm kép, có nghiệm (có hai nghiệm), vơ nghiệm - Bước 1: Tính D D¢ - Bước 2: Căn yêu cầu đề để suy điều kiện D D¢ Từ tìm điều kiện tham số + Phương trình có nghiệm phân biệt D > (hoặc D¢ > ) + Phương trình có nghiệm kép D = (hoặc D¢ = ) + Phương trình có nghiệm (có hai nghiệm) D ³ (hoặc D¢ ³ ) + Phương trình vơ nghiệm D < (hoặc D¢ < ) - Trường hợp đặc biệt: Nếu tích a.c < phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị tham số mà không cần phải tính biện luận theo D D¢ - Bước 3: Kết luận * Một số ý: - Trong số tốn tìm điều kiện để phương trình có nghiệm mà hệ số a chứa tham số ta phải xét trường hợp a = Sau xét trường hợp a ¹ làm bước Trong số tốn tìm điểu kiện m để phương trình có nghiệm, có nghiệm kép, vơ nghiệm, có nghiệm phân biệt mà hệ số a chứa tham số ta phải tìm điều kiện để phương trình phương trình bậc hai ( a ¹ 0) * Đối với dạng 3.2, số học sinh chưa phân biệt điều kiện phương trình có hai nghiệm phương trình có hai nghiệm phân biệt nên dẫn tới việc xét sai điều kiện D D¢ Do giáo viên cần ý giúp HS tránh mắc sai lầm trường hợp Ví dụ 1: Cho phương trình: x - 2(2m - 1) x + 8(m - 1) = ( x ẩn số, m tham số) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Hướng dẫn giải: Ta có: D¢ = (2m - 1)2 - 8(m - 1) = (2m - 3) Phương trình có hai nghiệm phân biệt D¢ > Û (2m - 3) > Û 2m - ¹ Û m ¹ Vậy với m ¹ 3 pt có nghiệm phân biệt Sai lầm HS dạng chưa phân biệt điều kiện để phương trình có nghiệm ( D ³ ) phương trình có hai nghiệm phân biệt ( D > ) Do đó, giáo viên cần khắc sâu cho HS gặp dạng tốn tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt mà D D¢ có dạng ( A ± B)2 để suy A ± B ¹ Ví dụ 2: Với giá trị m phương trình x + mx + = ( x ẩn số, m tham số) có nghiệm kép Tính nghiệm kép Hướng dẫn giải Trang Ta có: D = m - Phương trình có nghiệm kép D = Û m - = Û m = ±2 - m -2 = = -1 2 -m Với m = -2 x3 = x4 = = = 2 Với m = x1 = x2 = Ví dụ 3: Với giá trị m phương trình x + mx + = ( x ẩn số, m tham số) có nghiệm? Hướng dẫn giải: Ta có: D¢ = m - 12 Phương trình cho có nghiệm D¢ ³ é m ³ 12 Û m - 12 ³ Û (m - 12)(m + 12) ³ Û ê êë m £ - 12 Vậy m ³ 12 m £ - 12 Một số dạng khác Phương pháp giải: Ngồi phương pháp trên, ta cịn dùng phương pháp đẳng thức, thêm bớt hạng tử, đánh giá hai vế để giải phương trình Bài tập áp dụng Giải phương trình sau phương pháp thêm bớt hạng tử dùng đẳng thức: a) x = 24 x + 32 ; b) x3 = -3x + 3x - ; c) x - x + x - = Giải phương trình sau phương pháp đánh giá: a) - x + x = ; b) x - x + + 12 x - 12 x + = ; Giải phương trình sau: a) x - x - | x - 1| +6 = ; b) x + 25 x = 11 ( x + 5)2 Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho phương trình (m - 3) x + 4mx + 4m + = ( x ẩn số, m tham số) a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Hướng dẫn giải a) Thay m = vào phương trình được: - x + x + = Suy x = -1; x = b) D¢ = ( 2m ) - ( m - 3) ( 4m + 1) ( = 4m - 4m + m - 12m - ) = 4m - 4m - m + 12m + = 11m + ìm ¹ ìa ¹ ìm - ¹ ï Phương trình có hai nghiệm phân biệt í Ûí Ûí -3 ỵD ' > ỵ11m + > ïỵm > 11 Trang Vậy m > -3 m ¹ phương trình có hai nghiệm phân biệt 11 Sai lầm HS khơng tìm điều kiện hệ số a hệ số a có chứa tham số Bài 2: Cho phương trình : (m - 1) x - 2mx + m + = ( x ẩn số, m tham số) a) Giải phương trình với m = -1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm Hướng dẫn giải b)+ Với m = 1, phương trình trở thành -2 x + = Û x = + Với m ¹ , ta có: D ' = -2m + Phương trình có nghiệm phương trình có nghiệm kép Û D ' = Û -2 m + = Û m = pt cho có nghiệm Bài 3: Cho phương trình mx - 2(m - 1) x + m + = ( x ẩn số, m tham số) Vậy m = 1; m = a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt? b) Tìm m để phương trình có nghiệm nhất? Hướng dẫn giải a) Ta có: D¢ = éë - ( m - 1) ùû - m ( m + 1) = m - 2m + - m - m = -3m + ỡa ợD ' > Phương trình có hai nghiệm phân biệt í ìm ¹ ìm ¹ ï Ûí Ûí ỵ-3m + > ïỵm < Vậy m < ; m ¹ phương trình cho có hai nghiệm phân biệt -1 b) + Nếu m = phương trình trở thành: x + = Û x = + Nếu m ¹ , Phương trình có nghiệm phương trình có nghiệm kép Û D¢ = Û -3m + = Ûm= Vậy m = 0; m = phương trình có nghiệm Bài 4: Cho phương trình: x + 2(m + 1) x + m - = ( x ẩn số, m tham số) a) Giải phương trình với m = -5 b) Tìm m để phương trình vơ nghiệm Hướng dẫn giải a) m = -5 phương trình có hai nghiệm x1 = -1; x2 = 19 ỉ b) Ta có: D¢ = (m + 1) - (m - 4) = m + m + = ỗ m + ÷ + > với giá trị m 2ø è 2 Nên khơng có giá trị m để phương trình vơ nghiệm Trang - Bước 3: Biến đổi hệ thức đề cho xuất tổng tích nghiệm, sau thay (*) vào biểu thức để tìm giá trị tham số - Bước 4: Đối chiếu (kết hợp) điều kiện Bước để kết luận Ví dụ 1: Cho phương trình bậc hai: x - 2(m + 2) x + m2 + = , ( x ẩn số, m tham số) (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x1 x2 - ( x1 + x2 ) = Hướng dẫn giải: Xét D¢ = (m + 2)2 - m2 - = 4m - 3 Áp dụng định lí Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2(m + 2) x1 × x2 = m2 + Phương trình có nghiệm Û D¢ ³ Û 4m - ³ Û m ³ x1 x2 - ( x1 + x2 ) = Û m + - × [2(m + 2)] = Û m - 4m - = Û m - m - = m1 = (Thỏa mãn đk); m2 = -1 (Không thỏa mãn đk) Vậy m = Ví dụ 2: Cho phương trình: x - 2mx + 2m - = ( x ẩn số, m tham số) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt xl x2 thỏa mãn ( x1 - )( x2 - ) = Hướng dẫn giải: D¢ = (-m) - (2m - 1) = m2 - 2m + = (m - 1)2 PT có nghiệm phân biệt D¢ > Û (m - 1) > Û m -1 ¹ Û m ¹1 ì x + x = 2m Theo định lí Vi-ét ta có: í ỵ x1 x2 = 2m - Theo đề bài, có: ( x1 - )( x2 - ) = Û x1 x2 - ( x1 + x2 ) + = Û 2m - - 2.2m = Û -2 m - = Û m = -3 (nhận) Vậy m = -3 phương trình có nghiệm phân biệt xl x2 thỏa mãn ( x1 - )( x2 - ) = Ví dụ Cho phương trình: x - (m + 2) x + 2m = ( x ẩn số, m tham số) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện x12 + x22 + x1 x2 £ Hướng dẫn giải: Tacó : D = ( m + 2) - 4.2m = m + 4m + - 8m = m - 4m + = ( m - 2) ³ 0, "m Þ Phương trình ln có nghiệm x1 , x2 với m ì x1 + x2 = m + (*) î x1 x2 = 2m Theo định lí Vi-ét: í Theo có x12 + x22 + x1 x2 £ Û ( x1 + x2 ) - x1 x2 £ (1) Thay (*) vào (1) ta được: (m + 2) - 2m £ Û m2 + 4m + - 2m £ Û m2 + 2m + £ Trang 13 Û (m + 1) £ Û m + = Û m = -1 Vậy với m = -1 phương trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện x12 + x22 + x1 x2 £ Ví dụ Cho phương trình x - x + m = ( x ẩn số, m tham số) Tìm m phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 1 + = x12 x22 Hướng dẫn giải: Phương trình có hai nghiệm phân biệt D¢ > Û (-1) - m > Û - m > Û m < ỡ x1 + x2 = ợ x1 ì x2 = m Theo định lí Vi-ét: í ì1 ï x2 + x2 = 2 ïï 1 + = Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn í x1 ¹ x1 x22 ïx ¹ ï ïỵ ì ( x1 + x2 ) - x1 x2 ì x12 + x22 ì1 =2 =2 ï ï + =2 ï Û í x12 x22 Û í x12 x22 Ûí x12 x22 ïx x ¹ ùm ù ợ ợ ợm ì 22 - 2m ém = ì4 - 2m = 2m =2 ï Ûê Û í m2 ởm = -2 ợm ùm î Kết hợp với điều kiện m < , m = -2 Ví dụ 5: Cho phương trình: x - (m + 2) x + m = ( x ẩn số, m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với giá trị m b) Tìm giá trị m để x1 , x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền 12 Hướng dẫn giải: Xét phương trình x - (m + 2) x + m = Có D = [ -(m + 2)] - 4.1.m = m2 + 4m + - 4m = m2 + > 0, "m Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m ì x1 + x2 = m + ỵ x1 x2 = m Áp dụng định lí Vi-ét ta có: í Vì x1 , x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền 12 ì ï x1 > ï nên ta có: í x2 > ï 2 ï x1 + x2 = ỵ ( 12 ) ì x1 + x2 > ï Û í x1 x2 > ï ỵ( x1 + x2 ) - x1 x2 = 12 ìm + > ìm + > ìm > -2 ï ï ï Û ím > Û ím > Û m = Û ím > ï ï ï 2 ỵ( m + 2) - 2.m = 12 ỵm + 2m - = ỵm = 2, m = -4 Vậy m = giá trị cần tìm Trang 14 Chú ý: Sai lầm thường gặp dạng ví dụ 4, HS qn khơng tìm điều kiện cho hai nghiệm khác lớn 0, khơng loại nghiệm khơng thoả mãn điều kiện có nghiệm phương trình Đối với biểu thức khơng đối xứng: Phương pháp: - Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (2 nghiệm phân biệt x1; x2 ) -b ì ïï x1 + x2 = a -Bước 2: Viết định lí Vi-ét : í ïx x = c a ỵï -Bước 3: Sử dụng giả thiết đề kết hợp với tổng (hoặc tích) phương trình bậc hai để giải x1 ; x2 thay x1 ; x2 vào tích (hoặc tổng) cịn lại phương trình bậc hai để tìm m (tuỳ thuộc vào đặc điểm mà có cách giải khác nhau) - Bước 4: Kết luận Ví dụ 1: Cho phương trình: x - x - m2 + = 0(*) ( x ẩn số, m tham số) Tìm giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x2 = -5 x1 Hướng dẫn giải: Ta có: D = 16 + 4m2 - 12 = 4m2 + > 0, "m nên phương trình (*) ln có nghiệm phân biệt với m ìï x1 + x2 = (1) ïỵ x1 x2 = - m + ( ) Theo định lí Vi-ét ta có: í Thay x2 = -5 x1 thay vào (1) ta có: -5 x1 + x1 = Þ x1 = -1, x2 = Lại có: x1 x2 = -m + Þ - m + = -5 Þ m = ±2 Vậy m = ±2 Ví dụ 2: Cho phương trình x - 2(m + 1) x + m2 + = Xác định giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 - x2 = -1 Hướng dẫn giải: Xét phương trinh x - 2(m + 1) x + m2 + = có: D¢ = [-(m + 1)]2 - 1.(m2 + 1) = m2 + 2m + - m2 - = 2m Phương trình có hai nghiệm phân biệt khỉ D¢ > Û 2m > Û m > (1) Vơi x1 , x2 hai nghiệm phương trình, theo định lí Vi-ét, ta có: ìï x1 + x2 = 2(m + 1) ( ) í ïỵ x1 x2 = m + 1( 3) Theo giả thiết, ta có: x1 - x2 = -1 nên kết hợp với (2), ta được: 2m + 2m + ì ì x2 = x2 = ï ï ì x1 + x2 = 2( m + 1) ì x + x = 2m + ï ï 3 Ûí Ûí Ûí í ỵ x1 - x2 = -1 ỵ x2 = m + ï x + m + = 2m + ï x = 4m + ïỵ ïỵ 3 Thế vào (3) ta được: 2m + 4m + × = m + Û ( 2m + 3)( 4m + 3) = m + Û 8m + 18m + = 9m + 3 ( Trang 15 ) ém = Û m2 - 18m = Û m ( m - 18 ) = Û ê ë m = 18 So sánh với điều kiện (1), ta chọn m = 18 Vậy, với m = 18 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 - x2 = -1 Ví dụ 3: Cho phương trình x - 2(m + 1) x + m2 + = ( x ẩn số, m tham số) Xác định giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x12 + 2(m + 1) x2 = 12m + Hướng dẫn giải: Có D¢ = [-(m + 1)]2 - (m2 + 2) = m2 + 2m + - m2 - = 2m - Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 D¢ > Û 2m - > Û m > Khi theo định lí Vi-ét ì x1 + x2 = 2( m + 1) (*) í ỵ x1 x2 = m + Thay 2(m + 1) = x1 + x2 vào biểu thức x12 + 2(m + 1) x2 = 12m + ta x12 + ( x1 + x2 ) x2 = 12m + Û ( x1 + x2 ) - x1 x2 = 12m + (1) Thay (*) vào (1) ta được: 4(m + 1) - (m2 + 2) = 12m + Û 3m2 - 4m = é m = 0(ktm) Ûê Ûm= ê m = (tm) 3 ë Vậy với m = phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12 + 2(m + 1) x2 = 12m + Tổng hợp tập liên quan đến hệ thức Vi-ét tuyển sinh 10 tỉnh Long An qua năm 1/ Tìm m để phương trình x - x - m = ( x ẩn số, m tham số) có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 thỏa x1 + x2 = 10 (TS 10 NH 2011-2012) 2/ Cho phương trình ẩn x - x + m = ( với x ẩn số, m ¹ tham số) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 thỏa mãn x1 x2 10 + =- x2 x1 (TS 10 NH 2013-2014) 3/ Cho phương trình ẩn x - x + 2m - = ( với x ẩn số, m tham số) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 thỏa mãn x13 x2 + x1 x23 = -6 (TS 10 NH 2014-2015) 4/ Cho phương trình ẩn x - 2mx + m2 - = ( với x ẩn số, m tham số) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 thỏa mãn x12 + x22 = (TS 10 NH 2015-2016) 5/ Cho phương trình x - ( m + 1) x + m - = ( với x ẩn số, m tham số).Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 thỏa mãn Trang 16 x1 x2 + = -2 x2 x1 (TS 10 NH 2015-2016) 6/ Cho phương trình x - ( m - 3) x + m + = ( với x ẩn số, m tham số).Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 thỏa mãn x12 + x22 = 86 (TS 10 NH 2018-2019) 7/ Cho phương trình x - x + m = ( x ẩn số, m tham số) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 thỏa mãn điều kiện x12 - x22 = 12 (TS 10 NH 2019-2020) 8/ Cho phương trình x + 3x + 1- m = ( x ẩn số, m tham số) Với giá trị m phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12 + x22 = 17 (TS 10 NH 2022-2023) Dạng 4: Tìm hai số biết tổng tích chúng - Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm Tìm hai số biết tổng tích chúng ìu + v = S Þ u, v hai nghiệm phương trình: x - Sx + P = 0(*) u × v = P ỵ Nếu số u v có: í Giải pt (*) : + Nếu D > (hoc DÂ > ) ị pt (*) cú nghiệm phân biệt x1 , x2 ìu = x1 ìu = x2 í ỵv = x2 ỵv = x1 Vậy í + Nếu D = (hoặc D¢ = ) Þ pt (*) có nghiệm kép x1 = x2 = - b¢ b¢ Vậy u = v = a a + Nếu D < (hoặc DÂ < ) ị pt (*) vụ nghim Vy khơng có số u, v thỏa mãn đề Lập phương trình bâc hai biết hai nghiệm + Tính tổng hai nghiệm S = x1 + x2 P = x1 x2 + Phương trình có hai nghiệm x1 , x2 x - Sx + P = Điều kiện để có hai số S - 4P ³ Ví dụ 1: Tìm số u , v biết u + v = 11 u.v = 28 Hướng dẫn giải: Theo đề ta có u , v hai nghiệm phương trình: x - Sx + P = Û x - 11x + 28 = 0(*) D=9>0 Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 = 7; x2 = ìu = ìu = í ỵv = îv = Ví dụ 2: Cho hai số a = + b = - Viết phương trình bậc hai có hai nghiệm a b Vậy: í Hướng dẫn giải: Ta có: a + b = ( + 1) + (3 - 3) = a × b = ( + 1) × (3 - 3) = Suy ra: a, b nghiệm phương trình: x - Sx + P = Û x - x + = Đây phương trình cần tìm Bài tập áp dụng: Bài 1: a) Lập phương trình bậc hai nhận hai số a, b làm nghiệm biết trung bình cộng hai số 5, tích hai số b) Lập phương trình bậc hai nhận + - làm nghiệm c) Tìm hai số u v biết: u + v = 42 u.v = 441 Trang 17 Hướng dẫn giải: a) x - 10 x + = b) x - x + = c) Do u + v = 42 u.v = 441 nên u v nghiệm phương trình x - 42 x + 441 = 0(*) Ta có: D¢ = (-21) - 441 = Phương trình (*) có nghiệm kép x1 = x2 = 21 Vậy u = v = 21 Bài 2: Cho phương trình: x - 2(m - 1) x + m - = ( x ẩn số, m tham số) có hai nghiệm x1 , x2 Hãy tìm phương trình bậc hai có nghiệm là: X1 = x1 x ; X2 = x1 + x2 + Hướng dẫn giải: Phương trình x - 2(m - 1) x + m - = có hai nghiệm khi: ém ³ 3ư ỉ D = ( m - 1) - m + ³ Û m - 3m + ³ ỗ m - ữ - 4ø è ëm £ ì x1 + x2 = 2m - ỵ x1 x2 = m - Theo định lí Vi-ét ta có: í Ta có: S = X1 + X = P = X1 X = x1 x x1 x2 m -1 × = = x1 + x2 + x1 x2 + x1 + x2 + 3m - Do S - P = = x1 x x1 x2 + x1 + x2 m - + 2m - m - + = = = x1 + x2 + x1 x2 + x1 + x2 + 2m - + m - + 3m - 16(m - 1)2 4(m - 1) (3m - 2) 3m - 4(m - 1)(4m - + - 3m) 4(m - 1)(m - 2) = (3m - 2) (3m - 2) = ( m2 - 3m + ) = > với m ¹ (3m - 2) (3m - 2) ÞD>0 Vậy X , X hai nghiệm phương trình bậc hai: X2 - 2 4(m - 1) m -1 X+ = ( X ẩn số, m tham số, m ¹ ) 3m - 3m - Dạng 5: Xét dấu hai nghiệm Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu x1 x2 < Û ac < , đó: · Nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm cịn lại ( x1 + x2 > 0) · Nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm cịn lại ( x1 + x2 < 0) Ví dụ 1: Xác định tham số m cho phương trình: x - (3m + 1) x + m2 - m - = có hai nghiệm trái dấu Hướng dẫn giải: Phương trình có nghiệm trái dấu ac < Û 2(m2 - m - 6) < Û (m - 3)(m + 2) < Û -2 < m < Trang 18 Vậy với -2 < m < phương trình có nghiệm trái dấu Ví dụ 2: Cho phương trình: x - mx + m - = (1)( x ẩn số, m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với m b) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu giá trị tuyệt đối Hướng dẫn giải: 1ư ỉ a) Ta có: D¢ = m - m + = ç m - ÷ + > 0, "m 2ø è Vậy phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt với m ì x1 + x2 = 2m ỵ x1 x2 = m - b Áp dụng định lý Vi-ét: í Để phương trình có nghiệm trái dấu giá trị tuyệt đối ìD¢ > ìD¢ > ìD¢ > ï ï ï é x1 = x2 ï Û í x1 = - x2 í x1 = x2 Û í ê ï x x < ï ë x1 = - x2 ï x x < î î ï x x < ỵ Trường hợp: x1 = - x2 Þ x1 + x2 = ìD¢ > ï í x1 = x2 ï x x < ỵ ỡDÂ > ỡ"m ù ù ị x1 + x2 = Û í2m = Û m = ï x x < ïm - < ỵ ỵ Trường hợp: x1 = x2 Ta có x1 = x2 mà x1 + x2 = 2m nên x1 = x2 = m Khi x1.x2 = m.m = m ³ , "m Do phương trình khơng có nghiệm trái dấu Vậy m = phương trình có nghiệm trái dấu giá trị tuyệt đối Tìm m để phương trình có hai nghiệm dấu ìD ³ ìD ' ³ ï ï Điều kiện để phương trình có hai nghiệm dấu dương là: í x1 + x2 > í x1 + x2 > ï x x > ï x x > ỵ ỵ ìD ³ ìD ' ³ ï ï Điều kiện để phương trình có hai nghiệm dấu âm là: í x1 + x2 < í x1 + x2 < ï x x > ï x x > ỵ ỵ 2 Ví dụ Cho phương trình: x + (m - 2) x + m - = 0(1) ( x ẩn số, m tham số) a) Chứng minh với m phương trình (1) ln có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt Hướng dẫn giải: a) x + (m - 2) x + m - = (1) (m tham số) D = (m - 2) - 4.1.(m - 3) D = m - 8m + 16 D = (m - 4) 0, "m ẻ R ị Phương trình có nghiệm với m b) Phương trình (1) có dạng a - b + c = - m + + m - = Do phương trình (1) có nghiệm x1 = -1 x2 = - m Trang 19 Vì x1 = -1 < nên phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt ìx < ì3 - m < ìm > Ûí ớ ợ3 - m - ợ m ¹ ỵ x2 ¹ x1 Vậy với m > 3; m ¹ phương trình cho có hai nghiệm âm phân biệt Ví dụ Cho pt: x - 2(m - 1) x + 2m - = (2) ( x ẩn số, m tham số) a) Chứng minh phương trình (2) ln có nghiệm với m b) Tìm m để phương trình(2) có nghiệm dấu Khi hai nghiệm mang dấu gì? Hướng dẫn giải: a) Có D¢ = (m - 1) - (2m - 5) = m2 - 4m + = (m - 2) + > với "m Ỵ R Vậy pt (2) ln có nghiệm với m b) Phương trình (2) ln có nghiệm (theo câu a) Giả sử hai nghiệm phương trình x1; x2 Theo hệ thức Vi-ét, có: x1 + x2 = 2m + x1 x2 = 2m - Phương trình có hai nghiệm dấu Û x1 x2 > Û 2m - > Û m > 5 ta có: x1 + x2 = 2m + > suy hai nghiệm dấu dương Vậy với m > phương trình cho có hai nghiệm dấu Khi hai nghiệm mang Với m > dấu dương So sánh hai nghiệm với số thức k Đặt x = y + k Khi phương trình cho trở thành a ( y + k ) + b( y + k ) + c = Đây phương trình bậc hai ẩn y Yêu cầu toán so sánh x với k tương đương với so sánh y với Ví dụ Cho phương trình x + (1 - m) x - m = (1) ( x ẩn số, m tham số) a) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm với giá trị m b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm nhỏ Hướng dẫn giải: a) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm với giá trị m Có: D = (1 - m) - 4.1.(-m) = - 2m + m2 + 4m = m2 + 2m + = (1 + m) ³ (Với m) => Phương trình (1) ln có hai nghiệm với m b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm nhỏ Theo câu a, phương trình (1) ln có hai nghiệm x1 , x2 với m ì x1 + x2 = m - ỵ x1 x2 = - m Nên theo định lí Vi-ét, ta có: í ì x1 < ìx -1 < ì x - + x2 - < ìx + x - < Ûí Ûí Ûí ỵ x2 < ỵ x2 - < ỵ( x1 - 1)( x2 - 1) > î x1 x2 - x1 - x2 + > Theo đề ta có : í ìx + x - < ìm - - < Ûí Ûí ỵ - m - ( m - 1) + > ỵ x1 x2 - ( x1 + x2 ) + > ìm < ìm < ìm < ìm < Ûí Ûí Ûí Ûí Û m î -2 m + > ỵ2m < ỵm < Vậy với m < phương trình (2) có hai nghiệm nhỏ Ví dụ Cho phương trình x + mx + (2m - 4) = (2)( x ẩn số, m tham số) Trang 20 Tìm giá trị m để phương trình (2) có nghiệm khơng âm Giải: D = m2 - 4(2m - 4) = m2 - 8m + 16 = (m - 4) ³ với m Vậy phương trình (2) có nghiệm với m ì x1 + x2 = 2m - ỵ x1 x2 = - m Theo định lí Vi-ét, ta có: í Phương trình (2) có nghiệm không âm é x1 x2 £ é 2m - £ ém £ ê ê ê ê ì x1 x2 ³ Û ê ì 2m - ³ Û ê ì m ³ Û m £ ê íỵ x1 + x2 ³ êë íỵ - m ³ êë íỵ m £ ë Vậy với m £ phương trình cho có nghiệm khơng âm Cách 2: Xét ĐK để phương trình có hai nghiệm âm m > ĐK để pt có nghiệm khơng âm m £ Chú ý: Ở dạng học sinh hay tính sai kết hợp bất phương trình ẩn m để tìm kết Do đó, GV cần khắc sâu, rèn kĩ giải bất phương trình kết hợp nghiệm HS Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho phương trình x - 2(m + 7) x + m2 - = (1)( x ẩn số, m tham số) Xác định m để: a phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu b phương trình (1) có hai nghiệm dương c phương trình (1) có hai nghiệm dấu Bài 2: Cho phương trình: x + mx + 2m - = (1)( x ẩn số, m tham số) a) Tìm giá trị m để pt (1) có nghiệm khơng âm b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt, âm Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc tham số Phương pháp: · Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm D ³ · Từ định lí Vi-ét tìm x1 + x2 , x1 x2 theo tham số m ; · Khử tham số m từ x1 + x2 , x1 x2 để có hệ thức x1 + x2 , x1 x2 (tức hệ thức x1 , x2 ) không phụ thuộc vào tham số m Ví dụ Cho phương trình : x - (m + 2) x + (2m - 1) = ( x ẩn số, m tham số) có nghiệm x1; x2 Hãy lập hệ thức liên hệ x1; x2 cho x1; x2 độc lập m Hướng dẫn giải: Ta có: D = (m + 2)2 - 4(2m - 1) = m2 - 4m + = (m - 2) + > Do phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo định lí Vi-ét, ta có: ìm = x1 + x2 - 2(1) ì x1 + x2 = m + ï Ûí í x1 x2 + ỵ x1.x2 = 2m - ïỵm = (2) x x +1 Từ (1) (2) suy ra: x1 + x2 - = Û 2( x1 + x2 ) - x1 x2 - = Ví dụ Cho phương trình: (m - 1) x - 2mx + m - = ( x ẩn số, m tham số) có nghiệm x1; x2 Lập hệ thức liên hệ x1; x2 cho chúng không phụ thuộc vào m Hướng dẫn giải: Để phương trình có nghiệm x1 x2 thì: Trang 21 ìm ¹ ìm ¹ ìm - ¹ ìm ¹ ù ớ ớ ợDÂ ỵ5m - ³ ỵm - (m - 1)(m - 4) ³ ïỵm ³ Theo định lí Vi-ét, ta có : 2m ì ïï x1 + x2 = m - í ï x x = m - ïỵ m - 2m ì ïï x1 + x2 = + m - (1) Ûí ï x x = - (2) ïỵ m -1 2 = x1 + x2 - Û m - = (1) Þ m -1 x1 + x2 - (2) Þ Þ 3 = - x1 x2 Û m - = m -1 - x1 x2 = x1 + x2 - - x1 x2 Û 2(1 - x1 x2 ) = 3( x1 + x2 - 2) Û 3( x1 + x2 ) + x1 x2 - = Chú ý: Tuỳ yêu cầu ta chọn cách làm thích hợp Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho phương trình bậc hai: x - 2(m + 1) x + m - = ( x ẩn số, m tham số) a) Giải phương trình m = -1 b) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m ? c) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Chứng minh biểu thức: A = x1 (1 - x2 ) + x2 (1 - x1 ) không phụ thuộc vào giá trị m Đáp số: a) Với m = -1 , ta có pt x - = Û x = ± b) D¢ = m + m + = (m + ) + 19 > với m => Phương trình ln có nghiệm phân biệt với m c) Biến đổi hệ thức: A = x1 (1 - x2 ) + x2 (1 - x1 ) = x1 + x2 - x1.x2 = = 10 Bài 2: Cho phương trình : x + (4m + 1) x + 2( m - 4) = ( x ẩn số, m tham số) Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 cho chúng không phụ thuộc vào m Đáp số: x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = Dạng 7: Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức A chứa hai nghiệm Phương pháp: · Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm D ³ · Từ định lí Vi-ét tìm x1 + x2 , x1 x2 theo tham số m ; - Biến đổi biểu thức chứa hai nghiệm kết hợp với hệ thức Vi-ét đưa biểu thức ẩn tham số m đưa dạng: + A = B + k để tìm giá trị nhỏ (với B biểu thức chứa m, k số thực) Trang 22 Khi GTNNA = k B = tìm giá trị m (thỏa mãn điều kiện có nghiệm) + A = - B + k để tìm giá trị lớn (với B biểu thức chứa m, k số thực) Khi GTLN B = tìm giá trị m (thỏa mãn điều kiện có nghiệm) - Nếu biểu thức A đa thức bậc m tùy thuộc vào điều kiện có nghiệm mà đánh giá Ví dụ 1: Cho phương trình: x - mx + m - = ( x ẩn số, m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để biểu thức: A = ( x1 - x2 )2 + x1 x2 đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn giải: a) D¢ = (- m) - (m - 1) = m - m + = (m - ) + > 0, "m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với m b) Theo phần a phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với m ì x1 + x2 = 2m ỵ x1 x2 = m - Theo định lí Vi-ét ta có: í A = ( x1 - x2 ) + x1 x2 = ( x1 + x2 ) - 3x1 x2 = 4m2 - 3m + 3 39 39 = (2m - ) + ³ , "m 16 16 3 Dấu “=" xảy 2m - = Û m = 39 Vậy GTNN P = Û m = 16 Ví dụ 2: Cho phương trình x - 2(m + 1) x + m2 - = 0(1) ( x ẩn số, m tham Số) Xác định giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 cho biểu thức M = x12 + x22 - x1 x2 đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn giải: Phương trình x - 2(m + 1) x + m2 - = 0(1) có hai nghiệm x1 , x2 D¢ ³ Û (m + 1) - m2 + ³ Û m2 + 2m + - m2 + ³ Û 2m + ³ Û m ³ -1 ìï x1 + x2 = 2m + ïỵ x1 x2 = m - Áp dụng định lí Vi-ét ta có: í Theo đề ta có: M = x12 + x22 - x1 x2 = ( x1 + x2 ) - x1 x2 = (2m + 2)2 - 3(m - 1) = 4m + 8m + - 3m2 + = m + 8m + = (m2 + 8m + 16) - = (m + 4) - Với m ³ -1 Þ m + ³ Þ ( m + ) ³ Û ( m + ) - ³ 2 Dấu "= " xảy m = -1(tm ) Vậy m = -1 thỏa mãn đề Chú ý: Ở ví dụ này, HS hay nhầm M = (m + 4)2 - ³ -9 nên GTNN M -9 m = -4 mà quên kiểm tra m = -4 khơng thoả mãn điều kiện có nghiệm phương trình Do Trang 23 đó, trường hợp tìm GTNN, GTLN biểu thức mà giá trị tham số tìm khơng thỏa mãn điều kiện có nghiệm phương trình ta làm ví dụ Bài tập áp dụng: Bài Cho phương trình x + mx - m - = ( x ẩn số, m tham số) a) Giải phương trình với m = -1 b) Tìm m để biểu thức A = x12 + x22 - x1 x2 đạt giá trị nhỏ Đáp án: Amin = m = -3 Bài Cho phương trình x - 2(m - 1) x + m - = ( x ẩn số, m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị nhỏ P = x12 + x22 (với x1 , x2 nghiệm phương trình cho) Đáp án 3ư ỉ a) D¢ = [-(m - 1)] - 1.(m - 3) = m - 3m + = ç m - ÷ + > 0, "m 2ø è 2 Vậy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt b) Pmin = 15 m = 4 Dạng 8: Đối với toán tương giao đường thẳng (d) Parabol (P) (d) y = bx + c ( P) : y = ax (a ¹ 0) Phương pháp Đối với yêu cầu tìm toạ độ giao điểm ( d ) ( P ) · Bước 1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( P ) · Bước 2: Giải phương trình hồnh độ giao điểm · Bước 3: Thay giá trị tìm bước vào phương trình ( d ) ( P ) để tìm tung độ giao điểm · Bước 4: Kết luận toạ độ giao điểm Đối với yêu cầu tìm điều kiện tham số m để ( d ) ( P ) thoả mãn điều kiện cho trước · Bước 1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( P ) · Bước 2: Dựa vào điều kiện đề để biện luận trường hợp tương giao ( d ) ( P ) từ đưa số nghiệm tương ứng phương trình hồnh độ giao điểm · Bước 3: Đưa toán dạng quen thuộc mà ta biết cách giải · Bước 4: Kết luận Ví dụ 1: Cho parabol ( P) : y = - x đường thẳng ( d ) : y = mx - (với m tham số) a) Chứng minh với m ( d ) cắt ( P ) điểm phân biệt b) Gọi x1; x2 hoành độ giao điểm đường thẳng ( d ) parabol ( P ) Tìm giá trị m để x12 x2 + x22 x1 - x1 x2 = Hướng dẫn giải: a) Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) - x = mx - Û x + mx - = (1) Có D = m2 + > 0, "m Nên phương trình ln có nghiệm phân biệt x1 x2 với giá trị m Vậy ( d ) cắt ( P ) điểm phân biệt với giá trị m b) Theo câu a, ( d ) cắt ( P ) điểm phân biệt có hồnh độ x1 x2 với giá trị m Do x1 x2 nghiệm phương trình (1) nên: Trang 24 ì x1 + x2 = - m ỵ x1.x2 = -1 Theo định lí Vi-ét, ta có: í Theo đề bài: x12 x2 + x22 x1 - x1 x2 = Û x1 x2 ( x1 + x2 ) - x1 x2 = (2) Thay (1) vào (2) ta được: -1.(- m) - ( -1) = Û m = Vậy m = giá trị cần tìm Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : y = x - m + ( m tham số) Tìm tất giá trị tham số m để ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt A( x1 , y1 ); B( x2 , y2 ) cho x1 x2 ( y1 + y2 ) + 48 = Hướng dẫn giải: Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng ( d ) ( P ) : x = x - m + Û x - x + 2m - = (1) Đường thẳng ( d ) ( P ) cắt hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Û D¢ > Û - 2m + > Û m < Vì ( d ) cắt ( P ) hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 nên x1; x2 hai nghiệm phân biệt phương trình (1) -b ì ïï x1 + x2 = a = Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: í (*) ï x x = c = 2m - ïỵ a Do A( x1 , y1 ) Ỵ (d ) : y = x - m + nên y1 = x1 - m + B( x2 , y2 ) Ỵ (d ) : y = x - m + nên y2 = x2 - m + Lại có x1 x2 ( y1 + y2 ) + 48 = Û x1 x2 ( x1 - m + + x2 - m + 1) + 48 = Û x1 x2 ( ( x1 + x2 ) - 2m + ) + 48 = Û x1 x2 ( ( x1 + x2 ) - m + 1) + 24 = ( ) Thay (*) vào phương trình (2) ta phương trình: ( 2m - ) ( - m + 1) + 24 = Û ( m - 1) ( - m ) + 12 = Û - m + 6m - + 12 = Û m - 6m - = Û m = -1 (thỏa mãn) m = (không thỏa mãn) Vậy m = -1 Ví dụ 3: Cho Parabol ( P) : y = x đường thẳng ( d ) : y = 2( m + 1) x + - m (với m tham số) a) Chứng minh ( P ) ( d ) cắt hai điểm phân biệt Tìm tọa độ giao điểm m = -1 b) Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x12 + x22 x1 (1 - x2 ) + x2 (1 - x1 ) Trang 25 Hướng dẫn giải: a) Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) : x = 2(m + 1) x + - m Û x - 2(m + 1) x - + m = D¢ = b¢2 - ac = [-(m + 1)]2 - 1.(m - 4) = m2 + 2m + - m + 19 ỉ = m + m + = ỗ m + ÷ + > , với m 2ø è Vì D¢ > với m nên phương trình hồnh độ ln có hai nghiệm phân biệt với m Do ( P ) ln cắt ( d ) hai điểm phân biệt với m +) Với m = -1 phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) có dạng: x - 2(-1 + 1) x - + (-1) = Û x - = Û x = Û x = x1 = 5; x2 = - Với x = y = Với x = - y = Vậy với m = -1 ( P ) ( d ) cắt hai điểm phân biệt ( b) Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) ( d ) : x - ( m + 1) x - + m = 0(*) Theo câu a phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m -b ì x + x = ïï ì x + x = 2( m + 1) a Áp dụng định lí Vi-ét, ta có: í hay í ỵ x1 x2 = -4 + m ï x x = c ïỵ a ( x + x ) - x1 x2 (2) x12 + x22 Theo đề bài: A = = x1 + x2 - x1 x2 x1 (1 - x2 ) + x2 (1 - x1 ) Thay (1) vào (2) ta có: A= ( 2(m + 1) ) - ( -4 + m ) 2(m + 1) - ( -4 + m ) 4m + 6m + 12 10 Û 10 A = 4m + 6m + 12 Û A= 39 ỉ Û 10 A = ỗ 2m + ữ + 2ứ ố ỉ 39 39 Û A = × ç 2m + ÷ + ³ 10 è ø 40 40 39 -3 Vậy giá trị nhỏ A = m = 40 Trang 26 )( 5;5 ; - 5;5 ) KẾT LUẬN Trên phương pháp dùng để hướng dẫn học sinh làm tốt dạng tập có ứng dụng định lí Vi-ét Để làm điều này, phải bắt đầu hệ thống tập tiết học Có đến lúc ôn tập, học sinh có hệ thống tập rõ ràng, phương pháp giải cụ thể nên làm em cần xác định dạng vận dụng cách giải Phương trình bậc hai – hệ thức Vi-ét ứng dụng việc giải tốn vấn đề lớn, địi hỏi người học phải có tính sáng tạo, có tư tốt kĩ vận dụng lý thuyết cách linh hoạt Chính lẽ đó, q trình giảng dạy, người giáo viên cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng thể loại tập cụ thể để học sinh hiểu sâu chất cách vận dụng Xây dựng cho em niềm đam mê, hứng thú học tập, tôn trọng suy nghĩ, ý kiến sáng tạo em Cần kiểm tra thường xuyên, đánh giá kết học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy kết hợp nhuần nhuyễn, logic tập khác Bài học rút sau: - Đối với giáo viên: + Xác định rõ dạng toán đồng thời thấy mối quan hệ tập theo trình tự hợp lý, lôgic để dạy cho học sinh + Dẫn dắt học sinh từ dễ đến khó, từ đến nâng cao, địi hỏi học sinh phải suy nghĩ đưa dạng toán biết + Hướng cho học sinh tìm hướng phù hợp để giải toán - Đối với học sinh: Rèn luyện ý thức tự giác, tự suy nghĩ, tự tìm tịi, nghiên cứu,sáng tạo giải tốn có vướng mắc trao đổi bạn bè, thầy cô - Đối với nhà trường: Cần phân loại học sinh để phụ đạo phù hợp Tóm lại, tính chất đặc thù mơn học lí thuyết lồng ghép vào tập Muốn giải tập bắt buộc học sinh phải nắm vững lí thuyết, nên trình ơn tập khơng thiết phải phân biệt rõ ràng lí thuyết tập mà phải từ tập kiểm tra lí thuyết ngược lại kiểm tra lí thuyết vận dụng để làm tập Quá trình phân loại hình thành cách giải dạng tập nhắc lại tự thân học sinh phải nắm lí thuyết học Vừa giải tập, vừa ôn lại kiến thức cho học sinh Như tiết ôn tập không tiết luyện tập mà hệ thống lại tồn kiến thức thơng qua dạng tập học Nghiên cứu chuyên đề “Phương trình bậc hai – Hệ thức Vi-ét ứng dụng” khơng giúp cho học sinh u thích học mơn tốn mà cịn sở giúp cho giáo viên có thêm kinh nghiệm giảng dạy Mặc dù cố gắng thực chuyên đề, song khơng tránh khỏi thiếu sót, mong đồng nghiệp tham gia góp ý xây dựng để chuyên đề có khả áp dụng rộng rãi có tính thiết thực Chúng xin chân thành cảm ơn! Trang 27