Toán học Chuyên đề về đa thức35178

C C H H U U Y Y Ê Ê N     V V    A    T T H H  C    T   ng  Tr  r  n N  Na  am D  D n  (   m  nn  (( h  hh tt tt p  pp :  :: // //  ll a  aa ii s  ss a  aa c  cc   p  pp a  aa g  gg e  ee   tt ll  s  ss   u  hh   p  p p ) )   u tt  m  m    ,,  tt  n    g  g h   A T    TH  H C  a th c là m t trong nh ng khái ni m trung tâm c a tốn h c. Trong ch ng trình  ph  thông, chúng ta đã làm quen v i khái ni m đa th c t  b c trung h c c  s , t   nh ng phép c ng, tr , nhân đa th c đ n phân tích đa th c ra th a s , dùng s  đ   Horner đ  chia đa th c, gi i các ph ng trình đ i s   Bài gi ng này s  h  th ng hoá l i nh ng ki n th c c  b n nh t v  đa th c 1 bi n,  các d ng toán th ng g p v  đa th c.   cu i bài s  đ  c p 1 cách s  l c nh t v   đa th c nhi u bi n.  1.  a th c và các phép toán trên đa th c  1.1.  nh ngh a.  a th c trên tr ng s  th c là bi u th c có d ng  P(x) = anx n  + an­1x n­1  + … + a1x + a0, trong đó ai ∈ R và an ≠ 0.  ai  đ c g i là các h  s  c a đa th c, trong đó an  đ c g i là h  s  cao nh t và a0  đ c g i là h  s  t  do.  n đ c g i là b c c a đa th c và ký ki u là n = deg(P). Ta quy  c b c c a  đa th c h ng P(x) = a0  v i m i x là b ng 0 n u a0 ≠ 0 và b ng n u a0  = 0.   ti n l i cho vi c vi t các cơng th c, ta quy  c v i đa th c P(x) b c n thì v n  có các h  s  ak  v i k > n, nh ng chúng đ u b ng 0.  T p  h p  t t  c   các  đa  th c 1  bi n  trên  tr ng  các  s   th c đ c  ký  hi u  là  R[x].  N u các h  s  đ c l y trên t p h p các s  h u t , các  s  ngun thì  ta có  khái  ni m đa th c v i h  s  h u t , đa th c v i h  s  nguyên và t ng  ng là các t p  h p Q[x], Z[x].  1.2.  a th c b ng nhau  m  n k = 0  k = 0  Hai đa th c P ( x ) = ∑ a k  x k  , Q ( x ) =∑ b k  x k  b ng nhau khi và ch  khi m = n và ak  = bk  v i m i k=0, 1, 2, …, m.  1.3. Phép c ng, tr  đa th c DeThiMau.vn m  n Cho hai đa th c P ( x ) = ∑ a k  x  , Q ( x ) =∑ b k  x k   Khi đó phép c ng và tr  hai  đa th c P(x) và Q(x) đ P ( x ) ± Q ( x ) = k  k = 0  k = 0  c th c hi n theo t ng h  s  c a xk, t c là max{ m , n }  ∑ ( a  ± b  ) x  k = 0  k  k  k  Ví d :  (x 3  + 3x 2  – x + 2) + (x 2  + x – 1) = x 3  + 4x 2  + 1.  1.4. Phép nhân đa th c.  m  n Cho hai đa th c P ( x ) = ∑ a k  x k  , Q ( x ) =∑ b k  x k   Khi đó P(x).Q(x) là m t đa  k = 0  th c có b c m+n và có các h  s  đ k k = 0  c xác đ nh b i c k  = ∑ a i b k −i    i = 0  Ví d : (x 3  + x 2  + 3x + 2)(x 2 +3x+1) = (1.1)x 5  + (1.3 + 1.1)x 4  + (1.1 + 1.3 + 3.1)x 3  +  (1.1 + 3.3 + 2.1)x 2  + (3.1 + 2.3)x + (2.1) = x 5  + 4x 4  + 7x 3  + 12x 2  + 9x + 1.  1.5. B c c a t ng, hi u và tích c a các đa th c  T  các đ nh ngh a trên đây, d  dàng suy ra các tính ch t sau đây  nh lý 1. Cho P(x), Q(x) là các đa th c b c m, n t ng ng. Khi đó  a) deg(P±Q) ≤ max{m, n} trong đó n u deg(P) ≠ deg(Q) thì d u b ng x y  ra. Trong tr ng h p m = n thì deg(P±Q) có th  nh n b t c  giá tr  nào ≤ m.  b) deg(P.Q) =  m + n.  1.6. Phép chia có d   nh lý 2. V i hai đa th c P(x) và Q(x) b t k , trong đó deg(Q) ≥ 1, t n t i duy  nh t các đa th c S(x) và R(x) tho  mãn đ ng th i các đi u ki n:  i)  P(x) = Q(x).S(x) + R(x)  ii)  deg(R)