Toán học Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan23294

Đ e àcư ơn g t oa ù n T H P T 2016 CHUYÊN KH O SÁT HÀM S VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Ch đ 1: Bài toán v ti p n 1.1 D ng 1: Ti p n c a đ th hàm s t i m t m M( x0 , y0 )  (C ) : y  f ( x ) * Tính y '  f ' ( x) ; tính k  f ' ( x0 ) (h s góc c a ti p n) * Ti p n c a đ th hàm s y  f ( x) t i m M  x0 ; y0  có ph ng trình y  y0  f ' ( x0 )  x  x0  v i y0  f ( x0 ) Ví d a) b) c) 1: Cho hàm s y  x  x  (C) Vi t ph ng trình ti p n c a đ th (C): T i m A (-1; 7) T i m có hồnh đ x = T i m có tung đ y =5 Gi i: a) Ph ng trình ti p n c a (C) t i m M ( x0 ; y0 ) có d ng: y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) Ta có y '  3x   y '( 1)  Do ph ng trình ti p n c a (C) t i m A(-1; 7) là: y   hay y = b) T x   y  y’(2) = Do ph ng trình ti p n c a (C) t i m có hồnh đ x = là: y   9( x  2)  y   x  18  y  x  11 x   c) Ta có: y   x  x    x3  3x    x   x   +) Ph ng trình ti p n t i c a (C) t i m (0; 5) Ta có y’(0) = -3 Do ph ng trình ti p n là: y   3( x  0) hay y = -3x +5 +) Ph ng trình ti p n t i c a (C) t i m ( 3;5) y '(  3)  3(  3)   Do ph ng trình ti p n là: y   6( x  3) hay y  x   +) T ng t ph ng trình ti p n c a (C) t i ( 3;5) là: y  x   Ví d a) b) c) 2: Cho đ Vi t ph Vi t ph Vi t ph th (C) c a hàm s y  x  x  x  ng trình ti p n v i (C) t i giao m c a (C) v i tr c hồnh ng trình ti p n v i (C) t i giao m c a (C) v i tr c tung ng trình ti p n v i (C) t i m x0 th a mãn y”(x0) = 1|Page ThuVienDeThi.com Đ e àcư ơn g t oa ù n T H P T 2016 Gi i: Ta có y '  3x  x  G i M  x0 ; y0  ti p m ti p n có ph y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y  y '( x0 )( x  x0 )  y0 a) Khi M  (C )  Ox y0 = x0 nghi m ph ng trình: (1) ng trình: x  x  x    x  ; y’(2) = 6, thay giá tr bi t vào (1) ta đ c ph ng trình ti p n: y  6( x  2) b) Khi M  (C )  Oy x0 =  y0  y (0)  4 y '( x0 )  y '(0)  , thay giá tr bi t vào (1) ta đ c ph ng trình ti p n: y  x  c) Khi x0 nghi m ph ng trình y”= Ta có: y” = 6x – 88 2 2 y” =  x    x   x0  y0  y     ; y '( x0 )  y '    27 3 3 Thay giá tr bi t vào (1) ta đ c ph ng trình ti p n: y  100 x 27 Ví d 3: Cho hàm s y  x  3x  (C) a) Vi t ph ng trình ti p n d v i (C) tai m có hồnh đ x=2 b)Ti p n d c t l i đ th (C) t i m N, tìm t a đ c a m N Gi i a) Ti p n d t i m M c a đ th (C) có hồnh đ x0   y0  Ta có y '( x )  3x   y '( x0 )  y '(2)  Ph ng trình ti p n d t i m M c a đ th (C) y  y '( x0 )( x  x0 )  y0  y  9( x  2)   y  x  15 V y ph ng trình ti p n d t i m M c a đ th (C) y  x  15 b) Gi s ti p n d c t (C) t i N x  ng trình x  x   x  15  x  12 x  16    x    x  x       x  4 V y N  4; 51 m c n tìm Xét ph Ví d 4: Cho hàm s y  x  x  (C ) m A( x0 , y0 )  (C), ti p n c a đ th (C) t i m A c t (C) t i m B khác m A tìm hồnh đ m B theo x0 L i gi i: Vì m A( x0 , y0 )  (C)  y0  x03  x0  , y '  3x   y ' ( x0 )  x02  Ti p n c a đ th hàm có d ng: y  y ' ( x0 )( x  x0 )  y0  y  (3 x02  3)( x  x0 )  x03  x0   y  (3 x02  3)( x  x0 )  x03  ( d ) Ph ng trình hồnh đ giao m c a (d) (C): 2|Page ThuVienDeThi.com Đ e àcư ơn g t oa ù n T H P T 2016 x  x   (3 x  3)( x  x0 )  x03   x3  x02 x  x03   ( x  x0 ) ( x  x0 )  ( x  x0 )   x  x0 ( x0  0)   x x   x x     V y m B có hồnh đ xB  2 x0 hoctoancapba.com y  x3  x  x (C) Vi t ph ng trình ti p n d c a đ th (C) t i m có hồnh đ x0 th a mãn y '' ( x0 )  ch ng minh d ti p n c a (C) có h s góc Ví d 5: Cho hàm s nh nh t Gi i Ta có y  x  x   y  x  ' '' y ''( x0 )   x0    x0   M (2; ) ' Khi ti p n t i M có h s góc k0  y ( x0 )  y ' (2)  1  2 V y ti p n d c a đ th (C) t i m M  2;  có ph  3 suy y   1 x   hay y   x  3 Ti p n d có h s góc k0  -1 ng trình y  y0  f ' ( x0 )  x  x0  M t khác ti p n c a đ thi (C) t i m b y k (C) có h s góc k  y ' ( x)  x  x    x     1  k0  2 D u “=” x y  x  nên t a đ ti p m trùng v i M  2;   3  2 V y ti p n d c a (C) t i m M  2;  có h s góc nh nh t  3 Ví d 6: Vi t ph đ ng trình ti p n v i đ th (C): y  x2 t i giao m c a (C) v i x 1 ng th ng (d): y  x  Gi i + Ph ng trình hồnh đ giao m c a (d) (C): x2  x   x   (3 x  2)( x  1) (x = không ph i nghi m ph x 1  3x  x   x  ( y  2)  x  ( y  4) V y có hai giao m là: M1(0; -2) M2(2; 4) 3 + Ta có: y '  ( x  1) 3|Page ThuVienDeThi.com ng trình) Đ e àcư ơn g t oa ù n T H P T 2016 + T i ti p m M1(0; -2) y’(0) = -3 nên ti p n có ph ng trình: y  3x  + T i ti p m M2(2; 4) y’(2) = -3 nên ti p n có ph ng trình: y  3 x  10 Tóm l i có hai ti p n th a mãn yêu c u toán là: y  3x  y  3 x  10 m y  x3  x  (Cm).G i M m thu c đ th (Cm) có hồnh đ b ng 3 -1 Tìm m đ ti p n v i (Cm) t i M song song v i đ ng th ng d: 5x-y=0 Gi i Ta có y '  x  mx ng th ng d: 5x-y=0 có h s góc b ng 5, nên đ ti p n t i M song song v i đ ng th ng d tr c h t ta c n có y ' ( 1)   m    m  Ví d 7: Cho hàm s x  x  ta có x0  1 y0  2 3 ' ng trình ti p n có d ng y  y ( x0 )( x  x0 )  y0  y  5( x  1)   y  x  Khi m  ta có hàm s y  Ph Rõ ràng ti p n song song v i đ V y m  giá tr c n tìm ng th ng d Ví d 8: Cho hàm s y  x  3x  m (1) Tìm m đ ti p n c a đ th (1) t i m có hồnh đ b ng c t tr c Ox, Oy l n l m A B cho di n tích tam giác OAB b ng Gi i V i x0   y0  m   M(1 ; m – 2) tt i - Ti p n t i M d: y  (3 x02  x0 )( x  x0 )  m   d: y = -3x + m + m2  - d c t tr c Oy t i B: yB  m   B (0 ; m  2) m2  ; 0 A   - d c t tr c Ox t i A:  3 x A  m   x A  - SOAB  3 m2 m    ( m  2)   | OA || OB | | OA || OB |  2 m   m     m   3  m  5 V y m = m = - 1.2 D ng 2: Vi t ti p n c a đ thi hàm s + G i M ( x0 , y0 ) ti p m, gi i ph + y  f ( x) (C) bi t tr c h s góc c a ng trình f ( x0 )  k  x  x0 , y0  f ( x0 ) n tr v d ng 1,ta d dàng l p đ ' c ti p n c a đ th : y  k ( x  x0 )  y0  Các d ng bi u di n h s góc k:hoctoancapba.com 4|Page ThuVienDeThi.com Đ e àcư ơn g t oa ù n T H P T 2016 *) Cho tr c ti p: k  5; k  1; k   3; k   *) Ti p n t o v i chi u d 2    ng c a tr c Ox m t góc  , v i   150 ;300 ; 450 ; ;  Khi 3   h s góc k = tan  *) Ti p n song song v i đ ng th ng (d): y = ax + b Khi h s góc k = a 1 *) Ti p n vng góc v i đ ng th ng (d): y = ax + b  ka  1  k  a k a *) Ti p n t o v i đ ng th ng (d): y = ax + b m t góc  Khi đó,  tan   ka Ví d 9: Cho hàm s y  x  x (C) Vi t ph c a ti p n k = -3 Gi i: Ta có: y '  3x  x ng trình ti p n c a đ th (C) bi t h s góc G i M ( x0 ; y0 ) ti p m  Ti p n t i M có h s góc k  f ' ( x0 )  x02  x0 Theo gi thi t, h s góc c a ti p n k = - nên: x02  x0  3  x02  x0    x0  Vì x0   y0  2  M (1; 2) Ph ng trình ti p n c n tìm y  3( x  1)   y  3x  Ví d 10: Vi t ph ng trình ti p n c a đ th hàm s song song v i đ ng th ng y = 9x + Gi i: Ta có: y '  3x  x y  x  3x  (C) Bi t ti p n G i M ( x0 ; y0 ) ti p m  Ti p n t i M có h s góc k  f ' ( x0 )  x02  x0 Theo gi thi t, ti p n song song v i đ ng th ng y = 9x + +6  ti p n có h s góc k  x  1  M (1; 3) =  x02  x0   x02  x0      x0   M (3;1) Ph ng trình ti p n c a (C) t i M(-1;-3) là: y  9( x  1)   y  x  (lo i) Ph ng trình ti p n c a (C) t i M(3;1) là: y  9( x  3)   y  x  26 Ví d 11: Cho hàm s vng góc v i đ y  x  x  (C) Vi t ph ng th ng y  ng trình ti p n c a (C) bi t ti p n 1 x Gi i: Ta có y '  x  Do ti p n c a (C) bi t ti p n vng góc v i đ y 1 x nên h s góc c a ti p n k = 9 5|Page ThuVienDeThi.com ng th ng Đ e àcư ơn g t oa ù n T H P T 2016 Do y '  k  x    x   x  2 +) V i x =  y  Pttt t i m có hồnh đ x = là: y  9( x  2)   y  x  14 +) V i x  2  y  Pttt t i m có hồnh đ x = - là: y  9( x  2)   y  x  18 V y có hai ti p n c (C) vng góc v i đ ng th ng y  1 x là: y =9x - 14 y = 9x + 18 Ví d 12: L p ph ng trình ti p n v i đ th (C) c a hàm s : y  n vng góc v i đ x  x , bi t ti p ng th ng (d): x  y  2010  Gi i: 1 ng trình: y   x  402 nên (d) có h s góc - 5 G i  ti p n c n tìm có h s góc k  k  1  k  (   ( d )) Ta có: y '  x  x nên hoành đ ti p m nghi m ph ng trình: x  x  (d) có ph  x3  x    ( x  1)( x  x  5)   x    x   y   9 V y ti p m M có t a đ M 1;   4 11 Ti p n có ph ng trình: y   5( x  1)  y  x  4 11 V y ti p n c n tìm có ph ng trình: y  x  x2 (C) Vi t ph ng trình ti p n v i (C) bi t r ng ti p n Ví d 13: Cho hàm s y  2x  c t tr c hoành t i A, tr c tung t i B cho tam giác OAB vuông cân t i O, O góc t a đ Gi i 1 Ta có: y '  (2 x  3) Vì ti p n t o v i hai tr c t a đ m t tam giác vuông cân nên h s góc c a ti p n là: k  1 Khi g i M  x0 ; y0  ti p m c a ti p n v i đ th (C) ta có y ' ( x0 )  1 6|Page ThuVienDeThi.com Đ e àcư ơn g t oa ù n T H P T 2016   x0  2 1     (2 x0  3)  x0  1 V i x0  1 y0  lúc ti p n có d ng y   x (tr ng h p lo i ti p n qua góc t a đ , nên khơng t o thành tam giác OAB) V i x0  2 y0  4 lúc ti p n có d ng y   x  V y ti p n c n tìm y   x  2x  có đ th (C) x 1 L p ph ng trình ti p n c a đ th (C) cho ti p n c t tr c Ox, Oy l n l t t i m A B th a mãn OA = 4OB Gi i Gi s ti p n d c a (C) t i M ( x0 ; y0 )  (C ) c t Ox t i A, Oy t i B cho OA  4OB Ví d 14: Cho hàm s y= OB 1   H s góc c a d b ng ho c  OA 4  x   ( y  ) 0  1 H s góc c a d y ( x0 )   0     ( x0  1) ( x0  1) x  (y  5)     y   ( x  1)  y   x  Khi có ti p n th a mãn là:    y   ( x  3)   y   x  13   4 Do OAB vuông t i O nên tan A  1.3 D ng 3: Ti p n qua m Cho đ th (C): y = f(x) Vi t ph A( ;  ) Cách gi i + Ti p n có ph ng trình ti p n v i (C) bi t ti p n qua m ng trình d ng: y  f ( x0 )  f '( x0 )( x  x0 ) , (v i x0 hoành đ ti p m) + Ti p n qua A( ;  ) nên   f ( x0 )  f '( x0 )(  x0 ) (*) + Gi i ph ng trình (*) đ tìm x0 r i suy ph Ví d 15: Cho đ th (C): y  x  3x  , vi t ph n qua m A(-2; -1) Gi i: Ta có: y '  x  3 ng trình ti p n ng trình ti p n v i (C) bi t ti p G i M  x0 ; x03  3x0  1 ti p m H s góc c a ti p n y '( x0 )  x02  Ph ng trình ti p n v i (C) t i M  : y   x03  x0  1  (3 x02  3)( x  x0 ) 7|Page ThuVienDeThi.com Đ e àcư ơn g t oa ù n T H P T 2016  qua A(-2;-1) nên ta có: 1   x03  x0  1  (3x02  3)(2  x0 )  x03  x02    x   y0  1  ( x0  1)( x02  x0  4)     x0  2  y0  1 V y có hai ti p n c n tìm có ph ng trình là:  : y  1 ;  : y  x  17 1.4 D ng M t s tốn ti p n nâng cao Ví d 16: Tìm hai m A, B thu c đ th (C) c a hàm s : y  x  x  cho ti p n c a (C) t i A B song song v i đ dài đo n AB = Gi i: G i A(a; a  3a  2) , B (b; b3  3b  2) , a  b hai m phân bi t (C) Ta có: y '  x  nên ti p n v i (C) t i A B có h s góc l n l t là: y '(a )  3a  y '(b)  3b  2 Ti p n t i A B song song v i khi: y '( a )  y '(b)  3a   3b   ( a  b)( a  b)   a  b (vì a  b  a  b  0) AB   AB  32  (a  b)  (a  3a  2)  (b3  3b  2)   32 2  ( a  b)   (a  b3 )  3( a  b)   32  ( a  b)  (a  b)(a  ab  b )  3(a  b)   32  ( a  b)  (a  b)  (a  ab  b )  3  32 , thay a = -b ta đ c: 4b  4b  b  3  32  b  b  b  3    b  6b  10b   2 b   a  2  (b  4)(b  2b  2)   b     b  2  a  - V i a  2 b   A(2;0) , B (2; 4) - V i a  b  2  A(2;4) , B (2;0) Tóm l i c p m A, B c n tìm có t a đ là: (2; 0) (2; 4) Ví d 17: Tìm hai m A, B thu c đ th (C) c a hàm s : y  2x 1 cho ti p n x 1 c a (C) t i A B song song v i đ dài đo n AB = 10 Gi i: Hàm s đ c vi t l i: y   x 1     G i A  a;2   , B  b;2   c p m đ th (C) th a mãn yêu c u toán a 1  b 1  V i u ki n: a  b, a  1, b  1 8|Page ThuVienDeThi.com Đ e àcư ơn g t oa ù n T H P T 2016 Ta có: y '  y '( a )  nên h s góc c a ti p n v i (C) t i A B là: ( x  1)2 3 y '(b)  (a  1) (b  1) Ti p n t i A B song song khi: y '( a )  y '(b)  3  (a  1) (b  1) a   b  a  b    a  b  (1) (do a  b )        a b a b      AB  10  AB  40  ( a  b)     40  b 1 a 1 2 2      ( 2b  2)      40  4(b  1)     40 ( thay a  b  b    b 1 (1) ) (b  1)  b    b   1  (b  1)  10(b  1)      b    b    (b  1)  b   a  2 b  2  a   b   a  4  b  4  a  C p m A B c n tìm có t a đ là: (2;5) (0; 1) ; (2;1) ( 4;3) Ví d 18: Cho hàm s : y = x3 + 3x2 + mx + có đ (Cm); (m tham s ) Xác đ nh m đ (Cm) c t đ ng th ng y = t i m phân bi t C(0, 1), D, E cho ti p n c a (C m) t i D E vng góc v i Gi i Ph ng trình hồnh đ giao m c a (Cm) đ ng th ng y = là: x   x(x2 + 3x + m) =   x3 + 3x2 + mx + = (2)  x  3x  m  * (Cm) c t đ ng th ng y = t i C(0, 1), D, E phân bi t:  Ph ng trình (2) có nghi m xD, xE  m     4m      m       m  Lúc ti p n t i D, E có h s góc l n l t là: kD = y’(xD) = xD2  xD  m  ( xD  2m); kE = y’(xE) = xE2  xE  m  ( xE  2m) Các ti p n t i D, E vng góc ch khi: kDkE = –1 9|Page ThuVienDeThi.com Đ e àcư ơn g t oa ù n T H P T 2016   (3xD + 2m)(3xE + 2m) = 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1 9m + 6m  (–3) + 4m2 = –1; (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo đ nh lý Vi-t)  4m2 – 9m + =  m =  65 1 S: m =  65 hay m   65 8 2x  Ví d 19: L p ph ng trình ti p n v i đ th (C) c a hàm s : y  , bi t r ng x 1 kho ng cách t m I(-1; 2) đ n ti p n l n nh t Gi i:  2a   G i  ti p n c a đ th (C) t i ti p m M  a;  ,  M  (C )   a 1        Ta có: y '  4  y '( a)  ,  a  1 ( x  1) ( a  1) V y : y  2a   ( x  a)  x  ( a  1) y  2a  4a   (*) a  (a  1) d I;  4(1)  ( a  1) 2  2a  4a   (a  1)  a 1  (a  1) Ta có:  ( a  1)  22  ( a  1)   2.2(a  1)   ( a  1)  2.2( a  1)  a   d  I;   a 1  V y d  I ;   l n nh t d  I ;   = a 1 a   a   2  ( a  1)    C hai giá tr đ u th a mãn a       a a   + V i a = thay vào (*) ta đ c ph ng trình ti p n là: x  y    x  y   + V i a = -3 thay vào (*) ta đ c ph ng trình ti p n là: x  y  28   x  y   Tóm l i: Có hai ti p n c n tìm có ph ng trình là: x  y   ; x  y   x 1 Vi t ph ng trình ti p n v i (C), bi t 2x  ti p n c t tr c hoành, tr c tung t ng ng t i m A, B th a mãn  OAB vuông cân t i g c t a đ O Gi i: G i M  x0 ; y0  ti p m Ti p n v i (C) t i M ph i th a mãn song song v i Ví d 20: Cho (C) đ th hàm s y đ ng th ng y = x ho c y = -x 1 Ta có: y '   nên ti p n v i (C) t i M có h s góc là: y '( x )   0 (2 x  1) (2 x0  1) V y ti p n v i (C) t i M song song v i đ ng th ng d: y = -x 10 | P a g e ThuVienDeThi.com Đ e àcư ơn g t oa ù n T H P T 2016 Do đó,  1  1  (2 x0  1)  ; ( x0   không nghi m ph 2 (2 x0  1) ng trình) 2 x    x   y0    V y có hai ti p m là: M (0;1) , M ( 1;0) x x y          0 + T i m M1(0; 1) ta có ph ng trình ti p n là: y = - x + 1: th a mãn song song v i d + T i m M2(-1; ) ta có ph ng trình ti p n là: y = - x - 1: th a mãn song song v i d V y có hai ti p n c n tìm có ph ng trình là: y   x  1; y   x  x3 x 1 a) Kh o sát s bi n thiên v đ th (C) c a hàm s b) Cho m M o ( xo ; yo ) thu c đ th (C) Ti p n c a (C) t i M0 c t ti m c n c a (C) Ví d 21: Cho hàm s y t i m A B Ch ng minh Mo trung m c a đo n th ng AB Gi i a) T làm b) M o ( xo ; yo )  (C)  y0   x0  Ph ng trình ti p n (d) t i M0: y  y0   ( x  x0 ) ( x0  1) Giao m c a (d) v i ti m c n là: A(2 x0  1;1), B (1;2 y0  1) x A  xB y  yB  x0 ; A  y0  M0 trung m AB 2 x2 (C) Ví d 22: Cho hàm s : y  x 1 a) Kh o sát s bi n thiên v đ th (C) c a hàm s b) Ch ng minh r ng m i ti p n c a đ th (C) đ u l p v i hai đ tam giác có di n tích khơng đ i Gi i a) T làm  a2 b) Gi s M  a;   (C)  a 1   PTTT (d) c a (C) t i M: y  y (a ).( x  a )  a2 3 a  4a   y x a 1 ( a  1) ( a  1)  a5 Các giao m c a (d) v i ti m c n là: A 1;  , B (2a  1;1)  a 1    6   IA  ; IB  (2a  2;0)  IB  a  IA   0;   a 1  a 1  11 | P a g e ThuVienDeThi.com ng ti m c n m t Đ e àcư ơn g t oa ù n T H P T 2016 IA.IB = (đvdt)  PCM 2x  Ví d 23: Cho hàm s y  x2 1) Kh o sát s bi n thiên v đ th (C) c a hàm s 2) Cho M m b t kì (C) Ti p n c a (C) t i M c t đ ng ti m c n c a (C) t i A B G i I giao m c a đ ng ti m c n Tìm t a đ m M cho đ ng tròn ngo i ti p tam giác IAB có di n tích nh nh t Gi i Di n tích IAB : S IAB =  2x   1 Gi s M  x0 ;  , x0  , y '( x0 )  x0    x0  2  Ph ng trình ti p n () v i (C) t i M: y  1 x  2 (x  x )  2x  x0   2x   T a đ giao m A, B c a () v i hai ti m c n là: A  2;  ; B  x0  2;   x0   x  xB  x0  y  yB x0    x0  xM , A   yM suy M trung m c a AB Ta th y A 2 x0  2 M t khác I(2; 2) IAB vuông t i I nên đ ng trịn ngo i ti p tam giác IAB có di n tích   x0      S =  IM   ( x0  2)        ( x0  2)    2 ( x0  2)    x0     x  1 D u “=” x y ( x0  2)   ( x0  2)  x0  Do m M c n tìm M(1; 1) ho c M(3; 3) 2x 1 Tìm t a đ m M cho kho ng cách t m I (1; 2) t i x 1 ti p n c a (C) t i M l n nh t Gi i Ví d 24: Cho hàm s y   N u M  x0 ;    (C ) ti p n t i M có ph ng trình x    3 y2 ( x  x0 ) hay 3( x  x0 )  ( x0  1) ( y  2)  3( x0  1)   x0  ( x0  1) 12 | P a g e ThuVienDeThi.com Ñ e àcư ơn g t oa ù n T H P T 2016 Kho ng cách t I (1;2) t i ti p n d 3( 1  x0 )  3( x0  1)   x0  1 Theo b t đ ng th c Côsi x0    ( x0  1)   ( x0  1) 2 ( x0  1)  ( x0  1)   , vây d  ( x0  1) Kho ng cách d l n nh t b ng  ( x0  1)   x0  1   x0  1  ( x0  1)  V y có hai m M: M 1  3;   2x  Vi t ph x 1 n cách đ u hai m A(2; 4), B(4; 2) Gi i G i x0 hoành đ ti p m ( x0  1 ) Ví d 25: Cho hàm s PTTT (d) y  y  ho c M 1  3;   ng trình ti p n c a đ th (C), bi t r ng ti p 2x  ( x  x0 )   x  ( x0  1) y  x02  x0   ( x0  1) x0  Ta có: d ( A, d )  d ( B, d )   4( x0  1)  x02  x0   4  2( x0  1)  x02  x0   x0   x0   x0  2 x  ; y  x  1; y  x  4 Chú ý: Bài tốn có th gi i b ng cách sau: Ti p n cách đ u A, B nên có kh n ng: Ti p n song song (trùng) AB ho c ti p n qua trung m c a AB V y có ba ph ng trình ti p n: y  2x (C ) tìm m M  (C ) cho ti p n c a đ th hàm s t i x 1 M c t hai tr c t a đ t i A, B cho tam giác OAB có di n tích b ng Gi i: x0 G i M ( x0 , y0 )  (C )  y0  , y'  x0  ( x  1)2 Ví d 26: Cho hàm s y Ti p n t i M có d ng: x0 x02 2 y y  y '( x0 )( x  x0 )  y0  y  ( x  x0 )  x (d ) ( x0  1) x0  ( x0  1) ( x0  1) G i A  ( d )  ox  t a đ m A nghi m c a h : 13 | P a g e ThuVienDeThi.com Đ e àcư ôn g t oa ù n T H P T 2016  2x x y  ( x0  1) ( x0  1)  y    x   x02   A(  x02 , 0) y  G i B  ( d )  oy  t a đ m B nghi m c a h :  2 x02 y x    ( x0  1) ( x0  1)  x    x  x02 x02   B (0, ) ( x0  1)  y  ( x0  1) Tam giác OAB vuông t i O ; OA =  x  x 2 ; OB = x02 x02  ( x0  1) ( x0  1) Di n tích tam giác OAB: 1 x04 S = OA.OB =  2 ( x0  1)   x02  x0   x02  x0   x0    y0  2   x  ( x0  1)       x0   x0   x0  1x0  (vn)  x0   y0  c hai m M th a mãn yêu c u toán: M ( ; 2) ; M (1,1)  Bài t p t luy n Bài Cho hàm s y  x  3x  x  (C ) Vi t ph ng trình ti p n t i m có hồnh đ V y tìm đ x=1 y  x3  x  , vi t ph ng trình ti p n bi t ti p n vng góc v i 3 đ ng th ng y   x  ( d ) 3 Bài Cho hàm s y  x  x  x  (C ) t t c ti p n c a (C ) tìm ti p Bài Cho hàm s n có h s góc nh nh t 4x  Bài Cho hàm s : y  (C) Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i (C), tr c Oy ti p x 1 n c a (C) t i m có hồnh đ x = Bài Cho hàm s y   x  x  Vi t ph ng trình ti p n c a đ th (C) bi t ti p n vng góc v i đ Bài L p ph ng th ng d: y  x 1 ng trình ti p n v i đ th (C) c a hàm s m A(-1; 3) 14 | P a g e ThuVienDeThi.com y 2x  Bi t ti p n qua x 1 Ñ e àcư ơn g t oa ù n T H P T 2016 x2 có đ th (C) Vi t ph ng trình ti p n c a (C) qua A(-6,5) x2 ng trình ti p n c a đ th (C) c a hàm s y = 2x3 + 3x2 - 12x - k t m Bài Cho hàm s : y = Bài L p ph  23  A  ; 2    2x  có đ th (C) x2 a) Kh o sát s bi n thiên v đ th c a hàm s (C) b) Tìm (C) nh ng m M cho ti p n t i M c a (C) c t hai ti m c n c a (C) t i A, B cho AB ng n nh t x 1 Bài 10 Cho hàm s : y  CMR: x 1 a) N u ti p n c a đths c t hai đ ng ti m c n t i A B ti p m trung m c a AB b) M i ti p n c a đ th đ u t o v i hai đ ng ti m c n m t tam giác có di n tích khơng đ i c) Tìm t t c m thu c đ th hàm s cho ti p n t i t o v i hai đ ng ti m c n m t tam giác có chu vi nh nh t Bài 11 Cho hàm s y  x   m( x  1) (Cm ) Tìm m đ ti p n c a (Cm ) t i giao m c a Bài Cho hàm s y v i tr c tung t o v i hai tr c t a đ m t tam giác có di n tích b ng x 1 Bài 12 Cho hàm s : y  2( x  1) a) Kh o sát s bi n thiên v đ th (C) c a hàm s b) Tìm nh ng m M (C) cho ti p n v i (C) t i M t o v i hai tr c t a đ m t tam giác có tr ng tâm n m đ ng th ng 4x + y = Ch đ 2: C c tr c a hàm s 2.1 Ki n th c c b n 2.1.1 Các quy t c tìm m c c tr c a hàm s : B B QUY T C I c 1: Tìm TX c 2: Tính f /  x  Xác đ nh m t i h n B c 3: L p b ng bi n thiên K t lu n B B QUY T C II c 1: Tìm TX c 2: Tính f /  x  Gi i ph ng trình f /  x   kí hi u xi ( i  1, 2, ) nghi m c a B c 3: Tính f / /  x  f / /  xi  K t lu n 2.1.2 S t n t i c c tr a/ i u ki n đ hàm s có c c tr t i x = x0: 15 | P a g e ThuVienDeThi.com Ñ e àcư ơn g t oa ù n T H P T 2016  y '( x0 )   y ' ( x0 )  ho c    y ' ' ( x0 )   y ' dôi dau qua x b/ i u ki n đ hàm s có c c đ i t i x0:  y '( x0 )    y ' doi dau tu  sang  qua.x0 c/ i u ki n đ hàm s có c c t u t i x0: ho c  y '( x0 )  ho c   y ' doi dau tu  sang  qua.x0 d/ i u ki n đ hàm b c có c c tr (có c c đ i, c  y' ( x )    y' ' ( x )   y '( x )    y ''( x )  c ti u): y’= có hai nghi m phân bi t   a    e/ i u ki n đ hàm b c có c c tr : y/ = có nghi m phân bi t 2.1.3 Tìm u ki n đ m c c tr c a hàm s th a mãn u ki n cho tr c Ph ng pháp:  Tìm u ki n đ hàm s có c c tr  Bi u di n u ki n c a toán qua t a đ m c c tr c a đ th hàm s , t đ a u ki n c a tham s 2.2 Ví d t p Ví d 1: Tìm c c tr c a c a hàm s y  x3  x  x  Gi i Cách * T p xác đ nh:R  x  1 x  Ta có: y '  x  x  2; y '    * B ng bi n thiên: x   y’ y –1 + – 16 | P a g e ThuVienDeThi.com + Đ e àcư ơn g t oa ù n T H P T 2016 V y hàm s đ t c c đ i t i x = -1 giá tr c c đ i yC  y  1  19 Hàm s đ t c c ti u t i x = giá tr c c ti u yCT  y    4 Cách (S d ng quy t c 2) * T p xác đ nh:  x  1 x  Ta có: y '  x  x  2; y '    * y ''  x  1, y ''  1  3  nên hàm s đ t c c đ i t i m x = -1 giá tr c c đ i yC  y  1  19 * y ''     nên hàm s đ t c c ti u t i x = giá tr c c ti u Ví d 2: Tìm c c tr c a hàm s sau: a) y  cos x  cos2 x  b) y  3sinx  cos x  2x  (?) Ta th y hàm s r t khó xét d u c a y’, s d ng quy t c đ tìm c c tr ? Gi i a) TX : D=R * y '   sinx  sin x  x  k sinx    y '   sinx(1  2cos x)    1 2 cos x   x  n2   * y "   cos x  2cos2 x Ta có y "(k )  cos(k )  2cos(k 2 )  1    Hàm s đ t c c ti u t i: x  k (k  )  2 y "     2   4 - 2cos        n2   cos     Hàm s đ t c c ti u t i: x      1    2  n2 (n  Z ) b) TX : D=R * y '  cos x  sinx  y '   cos x  sinx  1   x   k 2  1     cos x  sinx    sin  x     sin   2 3  x  7  k 2   17 | P a g e ThuVienDeThi.com Đ e àcư ơn g t oa ù n T H P T 2016 * y "   3sinx  cos x Ta có:     + y "    k 2    3sin  cos    2 2   7  + y "  k 2      V y hàm s đ t c c đ i t i x  Hàm s đ t c c ti u t i x    k 2 7  k 2 * Giáo viên c n làm cho h c sinh hi u rõ th m nh c a vi c s d ng quy t c quy t c Chú ý: Quy t c có u m ch c n tính đ o hàm c p m t r i xét d u y’ l p b ng xét d u y’, t suy m c c tr Nh ng quy t c có nh c m địi h i ph i xét d u y’, u không ph i bao gi c ng đ n gi n N u tốn khơng u c u tìm m c c tr quy t c h i th a, ta s d ng quy t c Song quy t c c ng có nh c m nhi u vi c tính y” r t ph c t p, đ c bi t không s d ng đ c tr ng h p f , ( x0 ) = f ,, ( x0 ) =0 Quy t c th ng đ c dùng cho hàm đa th c, hàm phân th c tích l y th a Quy t c th ng đ c s d ng cho hàm l ng giác Ví d 3: Tìm m đ hàm s : y  x3   m  m   x   3m  1 x  m  đ t c c ti u t i x  2 Gi i: y  x   x   m  m   x  3m   y  x   x   m  m   hàm s đ t c c ti u t i x  2  m  4m    y   2    m  1 m      m3  m  m   y  2   m  m  1  Ví d 4: Cho hàm s : y  x  3(m  1) x  x  m , v i m tham s th c.Xác đ nh m đ hàm s cho đ t c c tr t i x1 , x2 cho x1  x2  Gi i  Ta có y '  3x  6( m  1) x   Hàm s có c c đ i, c c ti u x1, x2  PT y’ = có hai nghi m phân bi t x1, x2  x  2( m  1) x   có hai nghi m phân bi t x1 , x2   '  (m  1)    m  1   m  1  (1) Theo đ ta có: x1  x2    x1  x2   x1 x2  Theo đ nh lý Viet ta có: x1  x2  2(m  1); x1 x2  18 | P a g e ThuVienDeThi.com (*) Đ e àcư ơn g t oa ù n T H P T 2016 (*)   m  1  12   ( m  1)   3  m  (2) T (1) (2) suy giá tr m c n tìm là: 3  m  1  ho c 1   m  Ví d 5: Cho hàm s m đ hàm s y  f ( x)  mx3  3mx   m  1 x  , m tham s Xác đ nh giá tr c a y  f ( x) khơng có c c tr Gi i + Khi m =  y  x  , nên hàm s khơng có c c tr + Khi m   y '  3mx  6mx   m  1 Hàm s khơng có c c tr ch y '  khơng có nghi m ho c có nghi m kép   '  9m  3m  m  1  12m  3m    m  V y  m  gtct Ví d 6: Cho hàm s y   x3  (2m  1) x  ( m  3m  2) x  (m tham s ) có đ th (Cm) Xác đ nh m đ (Cm) có m c c đ i c c ti u n m v hai phía c a tr c tung Gi i y  3 x  2(2m  1) x  ( m  3m  2) (Cm) có m C CT n m v hai phía c a tr c tung  PT y  có nghi m trái d u  3( m  3m  2)    m  Ví d 7: Tìm m đ hàm s f  x   mx3   m  1 x   m   x  đ t c c tr t i x1, x2 th a 3 mãn x1  x2  Gi i: Hàm s có C , CT  f   x   mx   m  1 x   m    có nghi m phân bi t  m  0 m  1  3m  m  2     m    (*) 2 V i u ki n (*) f   x   có nghi m phân bi t x1, x2 hàm s f (x) đ t c c tr t i x1, x2     Theo đ nh lý Viet ta có: x1  x2  m  ; x1 x2  m  m m     Ta có: x1  x2   x2   m    m ; x1  m    m  3m  m m m m m m      m  3m   m     m  3m    3m  m     m  m m m  C giá tr đ u th a mãn u ki n (*) V y x1  x2   m   m  Ví d Cho hàm s y  x  3mx  m3 (m tham s ) có đ th (Cm) Xác đ nh m đ (Cm) có m c c đ i c c ti u đ i x ng qua đ ng th ng y = x 19 | P a g e ThuVienDeThi.com Đ e àcư ôn g t oa ù n T H P T 2016 Gi i x  Ta có: y’ = 3x2  6mx =    x  2m hàm s có c c đ i c c ti u m   Gi s hàm s có hai m c c tr là: A(0; 4m3), B(2m; 0)  AB  (2m; 4m3 ) Trung m c a đo n AB I(m; 2m3) i u ki n đ AB đ i x ng qua đ I thu c đ ng th ng y = x ng th ng y = x AB vng góc v i đ ng th ng y = x  2m  4m3    2m  m Gi i h ph ng trình ta đ c m K t h p v i u ki n ta có: m   Ví d Cho hàm s ;m=0 2 y  x  3mx  3( m  1) x  m3  m (1) Tìm m đ hàm s (1) có c c tr đ ng th i kho ng cách t m c c đ i c a đ th hàm s đ n g c t a đ O b ng cách t m c c ti u c a đ th hàm s đ n g c t a đ O l n kho ng Gi i Ta có y  3x  6mx  3( m  1) Hàm s (1) có c c tr PT y  có nghi m phân bi t  x  2mx  m   có nhi m phân bi t     0, m Khi đó, m c c đ i A(m  1;2  2m) m c c ti u B ( m  1; 2  2m)  m  3  2 Ta có OA  2OB  m  6m      m  3  2 Ví d 10 Cho hàm s y  x  2m x  Cm  (1) Tìm m d hàm s (1) có ba m c c tr ba đ nh c a m t tam giác vng cân Gi i x  Ta có: y '  x3  4m x  x  x  m      m  (*) x m   V i u ki n (*) hàm s (1) có ba m c c tr G i ba m c c tr là: A  0;1 ; B  m;1  m  ; C  m;1  m  Do n u ba m c c tr t o thành m t tam giác vuông cân, đ nh s A 20 | P a g e ThuVienDeThi.com ... góc v i 3 đ ng th ng y   x  ( d ) 3 Bài Cho hàm s y  x  x  x  (C ) t t c ti p n c a (C ) tìm ti p Bài Cho hàm s n có h s góc nh nh t 4x  Bài Cho hàm s : y  (C) Tính di n tích hình ph... ti p n c a đ th (C) c a hàm s y = 2x3 + 3x2 - 12x - k t m Bài Cho hàm s : y = Bài L p ph  23  A  ; 2    2x  có đ th (C) x2 a) Kh o sát s bi n thiên v đ th c a hàm s (C) b) Tìm (C) nh... Ví d Cho hàm s ;m=0 2 y  x  3mx  3( m  1) x  m3  m (1) Tìm m đ hàm s (1) có c c tr đ ng th i kho ng cách t m c c đ i c a đ th hàm s đ n g c t a đ O b ng cách t m c c ti u c a đ th hàm s đ