Chuyên đề Khảo Sát Hàm Số và Các Bài Toán Liên Quan25579

Ôn Thi Đại Học Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số Các Bài Toán Liên Quan KHẢO SÁT HÀM SỐ CÁC DẠNG BÀI TỐN LIÊN QUAN ******* I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1)ĐỊNH LÍ MỞ RỘNG VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Định lí : Cho hàm số y = f (x ) xác định khoảng K  f (x ) đồng biến K Û f '(x ) ³ 0, " x Ỵ K  f (x ) nghịch biến K Û f ' (x ) £ 0, " x Ỵ K (chỉ xét trường hợp f '(x ) = số hữu hạn điểm khoảng K ) 2) NHẮC LẠI KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TAM THỨC BẬC HAI a) Định lí dấu tam thức bậc hai g(x ) = ax + bx + c :  Nếu  < g(x) ln dấu với a với x Ỵ ¡ ìï b ü ïï b  Nếu  = g(x) ln dấu với a với x Ỵ ¡ \ ïí g(x ) = ý , ti x = ùợù 2a ùỵ 2a ï  Nếu  > g(x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g(x) khác dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm g(x) dấu với a, (trong trái - cùng) b) Tam thức g(x ) = ax + bx + c (a ¹ 0) khơng đổi dấu ¡ ìï a >  g(x ) ³ 0, " x Ỵ R Û ïí ïï D £ ỵ ìï a < ïï D £ ỵ  g(x ) £ 0, " x Ỵ R Û ïí c) So sánh nghiệm x1; x2 tam thức bậc hai g(x ) = ax + bx + c với số 0: ìï D > ìï D > ïï ïï ï  x1 < x2 < Û í P >  < x1 < x2 Û ïí P > ïï ïï ïï S < ïï S > ỵ ỵ 3) CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số sau: a) y = - x + x + b) y = x + x - x - 12 2 Lời giải a) y = - x - x +  x1 < < x2 Û P < c) y = x - 7x + 12 TXĐ D = ¡ y ' = - x + 3x = Û x = 0; x = ± BBT: x y' y - ¥ + - ¥ 13 Vậy hàm số đồng biến (- ¥ ; b) y = - 0 + +¥ - 13 3);(0; 3) ; nghịch biến (- - ¥ 3; 0);( 3; + ¥ ) x + x - x - 12 Tập xác định: D = ¡ éx = - ê Đạo hàm: y ' = 2x + 3x - = Û (x + 1)2(2x - 1) = Û ê êx = ê ë Th.s Lê Quốc Sang SĐT: 0169.9711027 ThuVienDeThi.com Trang Ôn Thi Đại Học Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số Các Bài Toán Liên Quan Do x = - nghiệm bội nên y' không đổi dấu x qua - BBT: x - ¥ -1 +¥ y' 0 + y - Ơ +Ơ ổ 1ử ữ Vy hm s nghch bin trờn ỗỗỗ- Ơ ; ữ v ng bin trờn ữ ữ 2ứ ố c) y = ổ1 ỗỗ ; + Ơ ỗố2 ữ ữ ữ ữ ứ x - 7x + 12 2x - TXĐ D = (- ¥ ; 3] È [4; + ¥ ) y ' = = 0Û x = +¥ x - 7x + 12 Dấu y ' dấu nhị thức 2x - Do đó, ta có bảng biến thiên x || ////// /////// || | //////////////////| - ¥ y' y - +¥ + +¥ 0 Vậy hàm số nghịch biến (- ¥ ; 3) đồng biến (4; + ¥ ) Ví dụ 2: Chứng minh rằng: x- x3 với x > < sin x < x Lời giải ìï sin x < x (a) ïï BĐT  í với x > ïï x - x < sin x (b) ïïỵ a) Ta chứng minh sin x < x với x > Xét hàm số f (x ) = sin x - x f (0) = Ta có: f ¢(x ) = cosx - £ , " x Ỵ (0; + ¥ )  f (x ) nghịch biến (0; + ¥ )  f (x ) < f (0) với x >  sin x - x < với x > b) Ta chứng minh x - x3 < sin x Xét hàm số f (x ) = sin x - x + với x > x3 x2 Ta có f ¢(x ) = cosx - + = g(x ) ị g Â(x ) = - sin x + x > với x >  g(x ) đồng biến  g(x ) > g(0) = với x > hay f ¢(x ) > với x >  f (x ) đồng biến  f (x ) > f (0) = với x >  sin x - x + x3 Từ a) b) Þ Ví dụ Cho hàm số y = > hay x - x- x3 x3 < sin x với x > < sin x < x với x > (m - m)x + 2mx + 3x - Tìm m để hàm số ln đồng biến ¡ Lời giải Th.s Lê Quốc Sang SĐT: 0169.9711027 ThuVienDeThi.com Trang Ôn Thi Đại Học Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số Các Bài Toán Liên Quan Tập xác định: D = ¡ Đạo hàm: y ' = (m - m)x + 4mx + Hàm số đồng biến ¡ Û y ' ³ " x Ỵ ¡ ém = Trường hợp 1: Xét m - m = Û ê êm = ê ë + Với m = , ta có y ' = > 0, " x Ỵ ¡ , suy m = thỏa + Với m = , ta có y ' = 4x + > Û x > - , suy m = khơng thỏa ìï m ¹ Trường hợp 2: Xét m - m ¹ Û ùớ , ú: ùù m ợ ỡù D ' = m + 3m £ ìï D ' £ ï ï Û íï y' ³ "x Ỵ ¡ Û í ïï a > ïï m - m > ỵ ïỵ ìï - £ m £ Û ïí Û - 3£ m < ïï m < Ú m > ỵ Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm - £ m £ Ví dụ 3: Cho hàm số y = x - 3(m + 1)x + 3(m + 1)x + Định m để: a) Hàm số đồng biến R b) Hàm số đồng biến khoảng (2;+ ¥ ) Lời giải a) Tập xác định D = ¡ y ' = 3x - 6(m + 1)x + 3(m + 1) ìï a > Û Hàm số đồng biến ¡ Û y ' ³ 0, " x Ỵ ¡ Û ïí ïï D ' £ ỵ ìï > 0(h / n ) ï Û - 1£ m £ í ïï 9m + 9m £ ïỵ b) Cách 1: Tập xác định D = ¡ y ' = 3x - 6(m + 1)x + 3(m + 1) Hàm số đồng biến khoảng (2;+ ¥ )Û y ' ³ 0, " x ẻ (2; + Ơ ) f (x ) = 3x - 6(m + 1)x + 3(m + 1) 0, " x ẻ (2; + Ơ ) TH1: Nếu D £ Û - £ m £ hàm số đồng biến ¡ nên hàm số đồng biến (2;+ ¥ ) TH2: Nếu D > Û m < - 1; m > (*) f (x ) có hai nghiệm x1, x2 , giả sử x1 < x2 Vì a = > nên BXD x - ¥ f (x ) + x1 x2 - +¥ + f (x ) 0, " x ẻ (2; + Ơ ) Û x2 £ Û m + + m + m £ Û So với điều kiện (*) ta m < - 1; < m £ m2 + m £ - m Û m £ 3 é ê ê- £ m £ ê Kết hợp hai trường hợp: êm < - Û m£ ê ê ê0 < m £ ê ë Cách 2: Hàm số ln đồng biến khoảng (2;+ ¥ ) Û y ' ³ 0, " x Ỵ (2; + ¥ ) Th.s Lê Quốc Sang SĐT: 0169.9711027 ThuVienDeThi.com Trang Ôn Thi Đại Học Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số Các Bài Toán Liên Quan Û x - 2(m + 1)x + m + ³ 0, " x ẻ (2; + Ơ ) x - 2x + Û g(x ) = ³ m, " x ẻ (2; + Ơ ) 2x - 2x - 2x Ta có g '(x ) = = Û x = 0; x = (2x - 1)2 BBT x 1 +¥ g '(x ) + || + | + g(x ) ///////////////////////////////////| +¥ ///////////////////////////////////| Dựa vào BBT ta có: m £ mx + 7m - Ví dụ Cho hàm số y = Tìm m để hàm số đồng biến khoảng xác định x- m Lời giải Tập xác định: D = ¡ \ {m } Đạo hàm: y ' = - ¥ - m - 7m + (x - m ) Dấu y ' dấu biểu thức - m - 7m + (khơng có dấu bằng) Hàm số đồng biến khoảng xác định Û y ' > , " x Ỵ D Û - m - 7m + > Û - < m < Vậy giá trị m cần tìm - < m < mx + 7m - Ví dụ Cho hàm số y = Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (3;+ ¥ ) x- m Lời giải Tập xác định: D = ¡ \ {m } Đạo hàm: y ' = - m - 7m + (x - m ) Dấu y ' dấu biểu thức - m - 7m + Hàm số đồng biến khoảng (3;+ ¥ )Û y ' > , " x Ỵ (3; + ¥ ) ìï - m - 7m + > ìï - < m < ï Û í Û ïí Û - 8< m £ ïï m £ ïï m £ ỵ ïỵ Vậy giá trị m cần tìm - < m £ 4) BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Tìm khoảng đơn điệu hàm số a) y = - 2x + 4x + b) y = x - 2x + x - c) y = x - 3x + 4x - f) y = d) y = x - 2x - e) y = - x - 2x + g) y = x- 2- x h) y = Th.s Lê Quốc Sang SĐT: 0169.9711027 2x + x + 26 x+2 ThuVienDeThi.com 2x - x+ k) y = - x + - 1- x Trang Ôn Thi Đại Học l) y = Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số Các Bài Toán Liên Quan 2x - - 3- x m) y = Bài Tìm m để hàm số hàm số y = 2x - x ỉ p pư ÷ < x< ữ n) y = sin 2x ỗỗỗữ ố 2ø (m - 1)x + mx + (3m - 2)x nghịch biến tập xác định HD: m £ Bài Xác định m để hàm số y = x3 a) Đồng biến R HD: a) m ẻ ặ mx - 2x + b) Đồng biến (1;+ ¥ ) - b) m £ - Bài Tìm m để hàm số y = x + 3x - mx - đồng biến khoảng (- ¥ ; 0) HD: m £ - mx + Bài Tìm m để hàm số y = nghịch biến khoảng (- ¥ ;1) x+m HD: - < m £ - Bài Cho hàm số y = x - 3(2m + 1)x + (12m + 5)x + a) Định m để hàm số đồng biến khoảng (2;+ ¥ ) b) Định m để hàm số đồng biến khoảng (- ¥ ; - 1) HD: a) m £ 12 b) m ³ - 12 Bài Tìm m để hàm số y = 2x - 3(2m + 1)x + 6m(m + 1)x + đồng biến khoảng (2; + ¥ ) HD: m £ Bài Tìm m để hàm số y = x + 3x + mx + m nghịch biến khoảng có độ dài HD: m = Bài Tìm m để hàm số y = x + (1 - 2m)x + (2 - m)x + m + đồng biến (0;+ ¥ ) HD: m £ Bài 10.Tìm m để hàm số y = x - 2mx - 3m + đồng bin trờn khong (1; 2) HD: m ẻ (- Ơ ;1ù ú û mx - Bài 11.Cho hàm số y = Tìm m để hàm số đồng biến khoảng xác định x+ m- HD: m < m > mx - Bài 12.Cho hàm số y = Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (- ¥ ;2) x- m HD: < m < mx - Bài 13.Cho hàm số y = Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng (1;+ ¥ ) x- m- HD: m < - II CỰC TRỊ HÀM SỐ ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ Định lí 1: (Bổ đề Fermat)Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm khoảng (a, b) điểm x Î (a, b) Nếu hàm số f(x) đạt cực trị điểm x f '(x ) = Th.s Lê Quốc Sang SĐT: 0169.9711027 ThuVienDeThi.com Trang Ôn Thi Đại Học Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số Các Bài Toán Liên Quan Chú ý: Điều ngược lại khơng Ví dụ hàm số y = x3 - x + x + có f '(1) = hàm số không đạt cực trị x = ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ Định lí 2: Cho hàm số y = f (x ) liên tục khoảng (a, b) chứa điểm x có đạo hàm khoảng (a, x ); (x 0, b) Khi đó: ìï f '(x ) <  Nếu ïí ïï f '(x ) > ỵ ìï f '(x ) >  Nếu ïí ïï f '(x ) < ỵ Hình vẽ minh họa: BBT x 0, " x Ỵ (a; x ) hàm số đạt cực tiểu điểm x 0, " x Î (x 0, b) 0, " x Î (a; x ) hàm số đạt cực đại điểm x 0, " x Ỵ (x 0, b) a f '(x ) f (x ) - x b x0 a f '(x ) f (x ) + b x0 + CĐ CT Định lí 3: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm cấp khoảng (a, b) chứa điểm x có đạo hàm cấp khác điểm x Khi đó: ìï ï  Nếu í ïï ïỵ ìï ï  Nếu í ïï ïỵ f ' (x ) = hàm số đạt cực tiểu điểm x f '' (x ) > f ' (x ) = hàm số đạt cực đại điểm x f '' (x ) < Chú ý: Điều ngược lại khơng Ví dụ hàm số y = x + đạt cực tiểu x = f ''(0) = NHẬN XÉT: a) Hàm số y = f (x ) = ax + bx + cx + d (a ¹ 0) có hai điểm cực trị Û f ' (x ) = 3ax + 2bx + c = có hai nghiệm phân biệt b) Hàm số y = f (x ) = ax + bx + c (a ¹ 0) có ba điểm cực trị Û f ' (x ) = 4ax + 2bx = có ba nghiệm phân biệt CÁCH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ  Dạng 1: Hàm số y = ax + bx + cx + d Chia y cho y' ta được: y = Q (x ).y '+ Ax + B Khi đó, y = Ax + B đường thẳng qua hai điểm cực trị ax + bx + c  Dạng (Nâng cao): Hàm số y = dx + e (ax Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng y = ) = 2a x + b + bx + c ' (dx + e)' d d CÁC VÍ DỤ : Th.s Lê Quốc Sang SĐT: 0169.9711027 ThuVienDeThi.com Trang Ôn Thi Đại Học Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số Các Bài Tốn Liên Quan Ví dụ 1: Cho hàm số y = (m - 1)x + (m + 1)x + 3x + Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị Lời giải Tập xác định: D = ¡ Đạo hàm: y ' = (m - 1)x + 2(m + 1)x + y ' = Û (m - 1)x + 2(m + 1)x + = Hàm số có hai điểm cực trị Û y ' = có hai nghiệm phân biệt Û ìï m - ¹ ïï í ïï D ' = (m + 1)2 - 3(m - 1) > ùợ ỡù m ỡù m ¹ ± ï ï Û í Û Û í ïï - < m < ïï - 2m + 2m + > ỵ ïỵ ìï m ¹ Vậy giá trị m cần tìm ïí ïï - < m < ỵ ìï m ¹ ï í ïï - < m < ỵ Ví dụ Cho hàm số y = mx + (m - 9)x + 10 Tìm m để hàm số có điểm cực trị Lời giải Tập xác định: D = ¡ Đạo hàm: y ' = 4mx + 2(m - 9)x = 2x.(2mx + m - 9) éx = y' = Û ê ê2 + - = (1) mx m ê ë Hàm số có ba điểm cực trị Û y ' = có ba nghiệm phân biệt Û (1) có hai nghiệm phân biệt khác ìï m ¹ ïï ìï m ¹ ïï ïï ém < - ém < - ï ê Û í D ' = - 2m(m - 9) > Û ïí ê Û ê0 < m < ïï ê ïï < < m ê ê ë ë ïï ïï m - ¹ ïỵ ïïỵ m ¹ ém < - Vậy giá trị m cần tìm ê ê0 < m < ê ë Ví dụ 3: Cho hàm số y = x + m - m + x + (3m + 1)x + m - Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = - Lời giải ( ) ( ) Tập xác định: D = ¡ Đạo hàm: y ' = x + m - m + x + 3m + Điều kiện cần: Hàm số đạt cực tiểu x = - Þ y '(- 2) = Û Điều kiện đủ: ém = - m + 4m - = Û ê êm = ê ë Với m = , ta có: y ' = x + 4x + , y ' = Û x = - Bảng biến thiên - ¥ - x + + y' y +¥ +¥ - ¥ Từ BBT ta suy m = không thỏa Th.s Lê Quốc Sang SĐT: 0169.9711027 ThuVienDeThi.com Trang Ôn Thi Đại Học Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số Các Bài Toán Liên Quan éx = - 14 Với m = , ta có: y ' = x + 16x + 28 , y ' = Û ê êx = - ê ë Bảng biến thiên - ¥ - 14 - x + 0 + y' y CĐ CT - ¥ Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu x = - Vậy giá trị m cần tìm m = +¥ +¥ Ví dụ 4: Tìm m để hàm số y = x + (1 - 2m)x + (2 - m)x + m + đạt cực trị x1, x2 cho x1 - x2 > Lời giải TXĐ: D = ¡ Ta có: y ' = 3x + 2(1 - 2m)x + (2 - m) Hàm số có CĐ, CT Û y ' = có nghiệm phân biệt x1, x2 Û D ' > Û 4m - m - > Û m < - 1; m > Theo định lí Viet: x1 + x2 = Theo giả thiết: x1 - x2 > (*) 2(1 - 2m) 2- m ; x1x2 = 3 2 1 Û (x1 - x2 ) = (x1 + x2 ) - 4x1x2 > Û 4(1 - 2m)2 - 4(2 - m) > Û 16m - 12m - > Û m < Kết hợp (*), ta suy m < - 1; m > 3+ 3- 29 ; m> 3+ 29 29 Ví dụ 5: Cho hàm số y = x - 2mx + m - Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực trịA, B,C đồng thời điểm A,B,C tạo thành đỉnh tam giác Giải TXĐ: D = ¡ Ta có: y’ = 4x(x - m) Cho y ' = Û x = 0; x = m Hàm số có cực trị Û phương trình y ' = có nghiệm phân biệt Û m > Toạ độ điểm cực trị A(0; m - 1) , B (- m ; - m + m - 1),C ( m ; - m + m - 1) Ta có AB=AC nên tam giác ABC khi: AB = BC Û m + m = 4m Û m = 3 (vì m > ) Ví dụ 6: Cho hàm số y = x - 2mx + 2m + m (1), với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B ,C đồng thời điểm A, B ,C tạo thành tam giác vuông Lời giải éx = Tập xác định: D = ¡ Đạo hàm: y ' = 4x - 4mx = 4x(x - m) y ' = Û ê ê2 = x m ê ë Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B ,C Û y ' = có ba nghiệm phân biệt Û m > (*) Khi y ' = có ba nghiệm phân biệt x = , x = ± m Với x = Þ y = 2m + m Với x = ± m Þ y = m - m + 2m Th.s Lê Quốc Sang SĐT: 0169.9711027 ThuVienDeThi.com Trang Ôn Thi Đại Học Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số Các Bài Toán Liên Quan Tọa độ điểm cực trị A, B ,C ) ( ( ) ( m;m A 0;2m + m ; B - m ; m - m + 2m ;C uuur ( Suy ra: AB = - ) uuur m ; - m ; AC = - m + 2m ) ( m;- m ) Tam giác ABC vuông Û Tam giác ABC vuông A uuur uuur Û AB AC = Û - m + m = Û So với (*) suy giá trị m cần tìm m = ém = ê êm = ê ë Ví dụ 7: Cho hàm số y = x - 3x - mx + a)Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số b)Tìm m để điểm cực đại cực tiểu đồ thị cách đường thẳng d : y = x - Lời giải a)TXĐ: D = ¡ Tính y’ = 3x - 6x - m Hàm số có cực đại cực tiểu Û y ' = có hai nghiệm phân biệt Û D > Û m > - x m m Chia đa thức y cho y’ , ta y = ( - )y '- 2( + 1)x + 3 3 Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị D : y = - 2( m + 1)x + - m b)Giả sử đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu A (x1; y1 ), B (x2; y2 ) ìï m ïï 2( + 1) = TH1: D / / d Û ïí Û m= - < - ïï m ¹ ïï ïỵ (loại) ìï ïï x = x1 + x2 = TH2: Trung điểm đoạn AB nằm d Toạ độ trung điểm AB E : í ïï ïïỵ y = - m Vì E (1; - m ) Ỵ d , suy m = 5) BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Tìm cực trị hàm số sau a) y = 3x - 2x d) y = x4 - x2 + - x + 3x + g) y = x+2 b) y = x - 2x + 2x - e) y = x - 4x + h) y = x - 2x + x + 4x - 15x x4 + x2 + f) y = 2 c) y = - i) y = x + 2x - x Bài Cho hàm số y = x + 3x + mx + m - Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị HD: m < Bài Cho hàm số y = (m - 1)x + (m + 1)x + 3x + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu HD: - < m < m ¹ Bài Xác định m để hàm số y = x - 3x + 3mx + 3m + a)Khơng có cực trị b)Có cực đại cực tiểu HD: a) m ³ b) m < Th.s Lê Quốc Sang SĐT: 0169.9711027 ThuVienDeThi.com Trang Ôn Thi Đại Học Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số Các Bài Toán Liên Quan Bài Cho hàm số y = x + (m + 1)x - 2m - Tìm m để hàm số có điểm cực trị HD: m < - Bài Tìm m để hàm số y = mx + (m - 1)x + 2m a) Có ba điểm cực trị b) Có cực đại mà khơng có cực tiếu HD: a) < m < b) m £ Bài Tìm m để hàm số: y = x + m - m + x + 3m + x + m - đạt cực tiểu x = - HD: m = ( ) ( ) Bài Cho hàm số y = x - (m + 1)x + (3m - 4)x + Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = HD: m = Bài Cho hàm số y = x - 3mx + 9x + 3m - Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị HD: y = (6 - 2m )x + 6m - x + (m + 1)x + (m + 4m + 3)x - Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số có hồnh độ dương HD: - < m < - Bài 10.Cho hàm số y = Bài 11.Cho hàm số y = x + (1 - 2m )x + (2 - m )x + m + Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ HD: m < - 1; < m < Bài 12.Cho hàm số y = x - mx + (2m - 1)x - m + (C m ) Định m để hàm số có hai điểm cực trị dương Bài 13.Tìm m để y = x + mx + 7x + có đường thẳng qua CĐ, CT vng góc với đường thẳng d: y = 3x - HD: m = ± 10 Bài 14.Tìm m để đồ thị hàm số y = x + 3x + mx + m - có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục hồnh HD: m < Bài 15.Tìm m để đồ thị hàm số y = - x + (2m + 1)x - (m - 3m + 2)x - có điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục tung HD: < m < Bài 16.Tìm m để đồ thị hàm số y = x - mx + (2m - 1)x - có điểm cực đại cực tiểu nằm phía trục tung HD: m > ; m ¹ Bài 17.Tìm m để đồ thị hàm số y = - x + 3mx - 3m - có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng d : x + 8y - 74 = HD: m = Bài 18.Tìm m để đồ thị hàm số y = x - 3x - mx + có điểm cực đại cực tiểu cách đường thẳng y = x - Th.s Lê Quốc Sang SĐT: 0169.9711027 ThuVienDeThi.com Trang 10 Ôn Thi Đại Học Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số Các Bài Toán Liên Quan HD: m = 0; m = - Bài 19.Tìm m để hàm số y = 1 mx - (m - 1)x + 3(m - 2)x + đạt cực trị x1, x2 thỏa mãn 3 x1 + 2x2 = HD: m = 2; m = Bài 20.Cho hàm số y = x + (m - 1)x - (2m + 1)x - 2m Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 cho x12 + x22 = x1x2 + HD: Bài 21.Cho hàm số y = mx - (m + 2)x + (m - 1)x + Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 cho x12 + x22 = 16 + x12x22 HD: Bài 22.Cho hàm số y = 2x + 3(m - 1)x + 6(m - 2)x - Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 cho x1 + x2 = HD: m = - Bài 23.Cho hàm số: y = x - (sin a + cosa )x + ỉ3 ÷ ÷x Tìm a để hàm số đạt cực i, cc tiu ti ỗỗỗ sin 2aữ ữ ố4 ứ x1, x2 x12 + x22 = x1 + x2 HD: Bài 24.Cho hàm số y = - x + 3x + 3(m - 1)x - 3m - Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số cách gốc tọa độ O HD: m = ± Bài 25.Cho hàm số y = 2x + 3(m - 3)x + 11 - 3m Tìm m để hàm số đạt CĐ, CT hai điểm A, B cho điểm A, B, C(0; -1) thẳng hàng HD: Bài 26.Tìm m để đồ thị hàm số y = x - (m + 1)x + (m + 1)3 có điểm cực đại cực tiểu nằm 3 hai phía đường tròn (C ) : x + y - 4x + = HD: m < Bài 27.Tìm m để đồ thị hàm số y = x - 3x - mx + có hai điểm cực đại cực tiểu A, B đường thẳng qua hai điểm A, B tạo với đường thẳng d : x + 4y - = góc 450 HD: m = - Bài 28.Cho hàm số: y = x - 2mx + 2m Xác định m để hàm số có ba điểm cực trị điểm cực trị thỏa a) Lập thành tam giác b) Lập thành tam giác vuông c) Lập thành tam giác có diện tích 32 HD: a) m = 3 Th.s Lê Quốc Sang SĐT: 0169.9711027 b) m = c) m = ThuVienDeThi.com Trang 11 Ôn Thi Đại Học Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số Các Bài Tốn Liên Quan Bài 29.Tìm m để đồ thị hàm số y = x + mx + a) b) c) d) m2 có ba điểm cực trị A, B ,C cho: D ABC tam giác vng Diện tích D ABC 32 Tứ giác ABOC hình bình hành Diện tích tứ giác OABC 52 HD: a) m = - ; b) m = - ; c) m = - d) m = - Bài 30.Tìm m để đồ thị hàm số y = x + 2mx + m + m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 1200 HD: m = 3 Bài 31.Cho hàm số y = x - 2mx + m - Tìm m để hàm số có điểm cực trị điểm cực trị đồ thị hàm số ba đỉnh tam giác vuông HD: m = Bài 32.Tìm m để đồ thị hàm số y = x + (3m + 1)x - có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân có độ dài cạnh đáy HD: m = - lần độ dài cạnh bên Bài 33.Tìm m để đồ thị hàm số y = x - 2(1 - m )x + m + có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn HD: m = Bài 34.Tìm m để đồ thị hàm số y = x - 2mx + có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có đường ỉ3 9ư ÷ ; ÷ trịn ngoại tiếp qua im D ỗ ỗ ữ ỗ ữ ố 5ứ HD: m = Bài 35.Tìm m để đồ thị hàm số y = x - 2mx + m - có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp HD: m = 1; m = - 1+ Bài 36.Tìm m để đồ thị hàm số y = x - 2mx + m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp HD: m = Bài 37.Tìm m để đồ thị hàm số y = x - 2mx + m - có ba điểm cực trị A, B ,C bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC đạt giá trị nhỏ HD: R = 33 Û m= Bài 38.Tìm m để đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x - mx + m tiếp xúc với đường tròn x + y = HD: m = ± Bài 39.Cho hàm số y = x - 3mx - 3x + 3m + (C m ) Định m để (C m ) có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách chúng bé Th.s Lê Quốc Sang SĐT: 0169.9711027 ThuVienDeThi.com Trang 12 Ôn Thi Đại Học Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số Các Bài Toán Liên Quan III KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1) CÁC BƯỚC KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ  Tìm tập xác định hàm số  Xét biến thiên hàm số:  Tính y  Tìm điểm đạo hàm y khơng xác định  Tìm giới hạn vô cực, giới hạn vô cực tìm tiệm cận (nếu có)  Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị hàm số  Vẽ đồ thị hàm số:  Tìm điểm đặc biệt đồ thị (giao điểm đồ thị với trục toạ độ Ox,Oy , điểm đặc biệt khác )  Vẽ đồ thị: vẽ tiệm cận, điểm cực trị, điểm đặc biệt cuối vẽ đồ thị  Nhận xét đồ thị: Chỉ trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) đồ thị Chú ý: Đối với hàm bậc ba tìm thêm điểm uốn Cách tìm sau: Tính y '' , giải pt y '' = tìm x Þ y0 = f (x ) Þ điểm uốn I (x 0; y0 ) 2) CÁC DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ: a) Hàm số bậc ba y = ax + bx + cx + d (a ¹ 0) Tập xác định D = ¡ Đồ thị ln có điểm uốn I nhận điểm uốn I làm tâm đối xứng Các dạng đồ thị: a> a< y y y’ = có nghiệm phân biệt    I x I x y’ = có nghiệm kép y’ = vơ nghiệm y y I I x x b) Hàm số trùng phương y = ax + bx + c (a ¹ 0)    Tập xác định D = ¡ Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng Các dạng đồ thị: Th.s Lê Quốc Sang SĐT: 0169.9711027 ThuVienDeThi.com Trang 13 Ôn Thi Đại Học Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số Các Bài Toán Liên Quan a0 a0 y y y’  có nghiệm phân biệt x x x y y’  có nghiệm y x ax + b (c ¹ 0, ad - bc ¹ 0) cx + d ïì d ü ï  Tập xác định D = ¡ \ í - ý ùợù c ùỵ ù d) Hm s biến y =  Đồ thị có tiệm cận đứng x = -  cận tâm đối xứng đồ thị hàm số Các dạng đồ thị: d a tiệm cận ngang y = Giao điểm hai tiệm c c y y 0 x x ad – bc  ad – bc  Ví dụ: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: a) y = x + 3x – b) y = x - 2x – c) y = -x+2 x+1 Giải a) y = x + 3x – Tập xác định: D = ¡ y’ = 3x + 6x éx = y’ = Û 3x + 6x = Û ê êx = - ê Þ y= - Þ y= ë Giới hạn: lim y = + ¥ ; lim y = - ¥ xđ + Ơ xđ - Ơ Bng bin thiờn: Th.s Lê Quốc Sang SĐT: 0169.9711027 ThuVienDeThi.com Trang 14 Ôn Thi Đại Học Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số Các Bài Toán Liên Quan Hàm số đồng biến (- ¥ ; - 2); (0; + ¥ ), nghịch biến (- 2; 0) Hàm số đạt cực đại x = - 2; yCD = , đạt cực tiểu x = 0; yCT = - Điểm đặc biệt: Điểm uốn: y '' = 6x + 6; x y -3 -4 -2 y '' = Û 6x + = Û x = - Þ y = - Þ I (- 1; - 2) -1 -2 -4 Đồ thị: Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn I (- 1; - 2) làm tâm đối xứng b) y = x - 2x – Tập xác định: D = ¡ ( ) y’ = 4x - 4x; y’ = Û 4x - 4x = Û x 4x – = Û x = 0; x = 1; x = - Giới hạn: lim y = + ¥ ; lim y = + Ơ xđ + Ơ xđ - Ơ Bảng biến thiên: Đồ thị hàm số đồng biến (- 1; 0); (1; + ¥ ), nghịch biến (- ¥ ; - 1); (0;1) Hàm số đạt cực đại x = 0; yCD = - , đạt cực tiểu x = ± 1; yCT = - Điểm đặc biệt: Đồ thị x y Th.s Lê Quốc Sang SĐT: 0169.9711027 -2 -1 -4 -3 ThuVienDeThi.com -4 -2 Trang 15 Ôn Thi Đại Học Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số Các Bài Toán Liên Quan Nhận xét: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng -x+2 d) y = x+1 Tập xác định D = ¡ \ { - 1} y’ = - < 0, " x Î D (x + 1)2 Hàm số luôn giảm khoảng xác định Giới hạn: lim y = - Ơ ; lim y = + Ơ ị x = - tiệm cận đứng x ® - 1- x ® - 1+ lim y = - ; lim y = - Þ y = - l tim cn ngang xđ + Ơ xđ - ¥ Bảng biến thiên: -∞ x y' y +∞ -1 - - -1 -∞ +∞ -1 Hàm số cực trị Điểm đặc biệt x y Đồ thị: -3 -5/2 -2 -4 -1 || 1/2 Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận I (- 1; - 1) làm tâm đối xứng BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Bài Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: a) y = x - 3x - 9x + b) y = x + 3x + 3x + d) y = (x - 1)2(4 - x ) e) y = x3 - x2 + Bài Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: Th.s Lê Quốc Sang SĐT: 0169.9711027 ThuVienDeThi.com c) y = - x + 3x - f) y = - x - 3x - 4x + Trang 16 Ôn Thi Đại Học Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số Các Bài Toán Liên Quan a) y = x - 2x - b) y = x - 4x + c) y = x4 - 3x + 2 d) y = (x - 1) (x + 1) e) y = - x + 2x + f) y = - 2x + 4x + Bài Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: x+1 2x + 3- x a) y = b) y = c) y = x+2 x- x- - 2x 3x - x- d) y = e) y = f) y = x- + 2x 2x + III SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ Cho hai đồ thị hàm số: y = f (x ) y = g(x ) (có thể chứa tham số) ìï y = f (x )  Tọa độ giao điểm hai đồ thị nghiệm hệ phương trình ïí ïï y = g(x ) ỵ  Hồnh độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình f (x; m) = g(x; m) (1) Do đó, số nghiệm (1) số giao điểm hai đồ thị hàm số Đặc biệt: Để tìm số nghiệm phương trình bậc ba ngồi cách thơng thường nhẩm nghiệm chia đa thức (sơ đồ hoocne), ta hai cách sau:  Cách 1: Biến đổi PT bậc ba f (x, m) = dạng g(x ) = h(m) Khi số nghiệm số giao điểm đồ thị y = g(x ) đường thẳng y = h(m)  Cách 2: PT bậc ba f (x, m) = có nghiệm phân biệt hàm số y = f (x, m) phải có cực đại, cực tiểu fCD fCT < CÁC VÍ DỤ 2x + đường thẳng y = x + 2x - Lời giải Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm đường cong (C): y = Phương trình hồnh độ giao điểm: 2x + = x+2 2x - (1) Khi đó: (1) Û 2x + = (2x - 1)(x + 2) Û 2x + x - = é êx = - Þ y = Û ê 2 ê x = 1Þ y = ê ë ỉ 1ư ÷ Vậy tọa độ giao im cn tỡm l ỗỗ- ; ữ v (1; 3) ữ ữ ỗố 2ứ iu kin: x Vớ dụ Cho hàm số y = hai điểm phân biệt 2x - có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng (d): y = - x + m cắt đồ thị (C) x- Lời giải 2x - = -x+m x- Điều kiện: x ¹ Khi đó: (1) Û 2x - = (- x + m)(x - 1) Phương trình hồnh độ giao điểm: Û x - (m - 1)x + m - = (d) cắt (C) hai điểm phân biệt Û (1) có hai nghiệm phân biệt Th.s Lê Quốc Sang SĐT: 0169.9711027 ThuVienDeThi.com (1) (2) Trang 17 Ôn Thi Đại Học Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số Các Bài Toán Liên Quan ìï ïï D = é- (m - 1)ù - (m - 1) > ê ú ë û Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác Û í ïï - (m - 1).1 + m - ¹ ỵï Û m - 6m + > Û m < Ú m > Vậy giá trị m cần tìm m < Ú m > Ví dụ Cho hàm số y = mx - x - 2x + 8m có đồ thị (C m ) Tìm m đồ thị (C m )cắt trục hoành điểm phân biệt Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: mx - x - 2x + 8m = é ù= Û êx = - (2 + 1) + Û (x + 2)é mx m x m ê - (2 + 1) + = ê ú ë û mx m x m ê ë (C m )cắt trục hoành điểm phân biệt Û (1) có ba nghiệm phân biệt (1) (2) ìï m ¹ ïï Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác - Û ïí D = - 12m + 4m + > ùù ùù 12m + ợ ỡù ùù m ¹ ïï ìï m ¹ ï ïï 1 Û í- < m < Û ïí ïï ïï - < m < ïï ùùợ ùù m ùợ Vớ dụ Cho hàm số y = x - (3m + 4)x + m có đồ thị (C m ) Tìm m đồ thị (C m )cắt trục hoành bốn điểm phân biệt Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x - (3m + 4)x + m = Đặt t = x (1) (t ³ 0) Phương trình (1) trở thành: t - (3m + 4)t + m = (C m )cắt trục hoành bốn điểm phân biệt Û (2) (1) có bốn nghiệm phân biệt ìï D = 5m + 24m + 16 > ïï ï Û (2) có hai nghiệm dương phân biệt Û ïí P = m > ïï ïï S = 3m + > ïỵ ìï ïï m < - Ú m > - ìï ïï ïm > - ï Û ím ¹ Û ïí ïï m ¹ ïï ïïỵ ïï ïï m > ỵ mx - Ví dụ 5: Cho hàm số y = có đồ thị (C m ) Tìm m để đường thẳng (d): y = 2x - cắt đồ thị x+2 (C m ) hai điểm phân biệt A, B cho AB = 10 Lời giải Th.s Lê Quốc Sang SĐT: 0169.9711027 ThuVienDeThi.com Trang 18 Ôn Thi Đại Học Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số Các Bài Tốn Liên Quan Phương trình hồnh độ giao điểm: Điều kiện: x ¹ - mx - = 2x - x+2 Khi đó: (1) Û mx - = (2x - 1)(x + 2) Û (1) 2x - (m - 3)x - = (2) (d) cắt (C m )tại hai điểm phân biệt A, B Û (1) có hai nghiệm phân biệt ìï ïï D = é- (m - 3)ù + > ê ú Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác - Û í ë û ïï + 2m - - ùợ Û m¹ (*) Đặt A (x1;2x1 - 1); B (x2;2x2 - 1) với x1, x2 hai nghiệm phương trình (2) ìï ïï x + x = m - ï í ïï ïï x1x2 = ïỵ Theo định lý Viet ta có: Khi đó: AB = (x1 - 2 x2 ) + (x1 - x2 ) = é ù 10 Û ê(x1 + x2 ) - 4x1x2 ú= 10 ê ú ë û ỉm - 3ư ữ ỗ ữ ỗ + = m = [tha (*)] ữ ữ ỗố ø Vậy giá trị m cần tìm m = Ví dụ 6: Gọi d đường thẳng qua điểm A(- 1; 0) với hệ số góc k (k Ỵ ¡ ) Tìm k để đường thẳng dk cắt đồ thị hàm số y = x - 3x + (C) ba điểm phân biệt A, B, C tam giác OBC có diện tích (O gốc tọa độ) Lời giải Đường thẳng d qua A(- 1; 0) có hệ số góc k nên có dạng: y = k(x + 1)  kx - y + k = Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d là: éx = - 2 ê é ù x - 3x + = kx + k Û (x + 1) ê ë(x - 4x + - k ú û= Û êg(x ) = x - 4x + - k = (* ) ê ë d cắt (C) điểm phân biệt Û phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1 ïì D ' > ïì k > Û ïí Û ïí ïï g(- 1) ¹ ùù k ợ ợ Khi ú g(x ) = Û x = - k;x = + k Các giao điểm A(- 1; 0), B (2 - k ; 3k - k k ),C (2 + k ; 3k + k k ) BC = k + k , d(O, BC ) = d(O, d) = SD OBC = k + k2 k k + k = Û k k = Û k = Û k = + k2 Ví dụ 7: Cho hàm số y = x - (3m + 4)x + m có đồ thị (C m ) Tìm m để đồ thị (C m ) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x - (3m + 4)x + m = Th.s Lê Quốc Sang SĐT: 0169.9711027 ThuVienDeThi.com (1) Trang 19 Ôn Thi Đại Học Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số Các Bài Toán Liên Quan Đặt t = x (t ³ 0), phương trình (1) trở thành: t - (3m + 4)t + m = (2) (C) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt Û (1) có bốn nghiệm phân biệt ìï D = 5m + 24m + 16 > ïï ï Û (2) có hai nghiệm dương phân biệt Û ïí P = m > ïï ïï S = 3m + > ïỵ ìï ïï m < - Ú m > - ìï ïï ïï m > - ï Û ím ¹ Û í (*) ïï m ¹ ïï ïïỵ ïï ïï m > ỵ Khi phương trình (2) có hai nghiệm < t < t Suy phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt x1 = - t < x2 = - t < x = t1 < x4 = t2 Bốn nghiệm x1, x2, x 3, x lập thành cấp số cộng Û x2 - x1 = x - x2 = x - x t1 + t = t1 Û Û t = t1 Û t = 9t1 (3) ìï t + t = 3m + (4) ï Theo định lý Viet ta có: í ïï t 1t = m (5) ïỵ ìï ïï t = 3m + 10 Từ (3) (4) ta suy ïí (6) ïï 9(3m + 4) ïï t = 10 ïỵ ém = 12 é3(3m + 4) = 10m ê ê 3m + 4) = m Û ê Û Thay (6) vào (5) ta được: [thỏa (*)] ( ê3 3m + = - 10m êm = - 12 100 ( ) ê ê ë 19 ë ém = 12 ê Vậy giá trị m cần tìm ê êm = - 12 ê 19 ë Ví dụ8: Tìm m để đồ thị hàm số y = x + mx + cắt trục hoành điểm Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm hàm số với trục hoành: (x ¹ 0) x + mx + = Û m = - x - x Xét hàm số: f (x ) = - x 2 x ; " x ị f '(x ) = - 2x + x2 = - 2x + x2 = 0Û x = BBT x  + f  (x) f (x) +   – –3    Đồ thị cắt trục hoành điểm Û m > - Nhận xét: Trong toán trên, lập phương trình hồnh độ giao điểm ta phương trình bậc ba Do khơng nhẫm nghiệm nên ta phải chuuyển vế cô lập m xét hàm số Th.s Lê Quốc Sang SĐT: 0169.9711027 ThuVienDeThi.com Trang 20 ... Đại Học Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số Các Bài Toán Liên Quan III KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1) CÁC BƯỚC KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ  Tìm tập xác định hàm số  Xét... Thi Đại Học Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số Các Bài Toán Liên Quan Chú ý: Điều ngược lại khơng Ví dụ hàm số y = x3 - x + x + có f '(1) = hàm số không đạt cực trị x = ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC... k) y = - x + - 1- x Trang Ôn Thi Đại Học l) y = Chuyên đề - Khảo Sát Hàm Số Các Bài Toán Liên Quan 2x - - 3- x m) y = Bài Tìm m để hàm số hàm số y = 2x - x ỉ p pư ÷ < x< ữ n) y = sin 2x ỗỗỗữ