Chuyên đề: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan (cho học sinh TB và yếu)

Sơ đồ khảo sát hàm số + Tập xác định hàm số + Chiều biến thiên  Tính đạo hàm  Giải phương trình y '  0  Tính giới hạn hàm số khi x    Lập bảng biến thiên  Kết luận các khoảng đồ[r]

CHUYÊN ĐỀ : KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ A Hàm bậc ba : I Sơ đồ khảo sát hàm số + Tập xác định hàm số + Chiều biến thiên  Tính đạo hàm  Giải phương trình y '   Tính giới hạn hàm số x    Lập bảng biến thiên  Kết luận các khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số, cực trị hàm số + Vẽ đồ thị hàm số  Tìm các điểm đặc biệt ( giao điểm đồ thị với hai trục tọa độ , điểm uốn các điểm khác )  Biểu diễn các điểm cực trị và các điểm đặc biệt lên hệ trục tọa độ Oxy , dựa vào chiều mũi tên bảng biến thiên để vẽ đồ thị hàm số CHÚ Ý : Hàm số bậc ba có hai cực trị không có cực trị a>0 a<0 Pt y’ = có hai nghiệm phân biệt 2 O -2 -2 Pt y’ = có nghiệm kép Pt y’ = vô nghiệm 2 2 II Các dạng toán liên quan thường gặp Hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên R  Miền xác định : D = R Lop12.net  Tính đạo hàm y '  Hàm số đồng biến trên R  y '  0, x  R a      y '  0, x  R   a  0 Hàm số có cực đại và cực tiểu  Miền xác định : D = R  Tính đạo hàm y '  Hàm số có cực đại và cực tiểu  y '  có hai nghiệm phân biệt 0 Hàm số đạt cực trị x0  Miền xác định : D = R  Tính đạo hàm y '  y '( x0 )   y ''( x0 )   Hàm số đạt cực trị x0 :  Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình Các bước thực : Giả sử biện luận theo m số nghiệm phương trình f ( x; m)   Biến đổi phương trình đã cho thành : g ( x)  h(m) (1)  (1) là phương trình hoành độ giao điểm (C) y  g ( x) và đường thẳng d : y  h(m) Do đó số giao điểm chúng chính là số nghiệm phương trình (1)  Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận theo trường hợp sau : + h(m) < giá trị cực tiểu : phương trình có nghiệm + h(m) = giá trị cực tiểu : Phương trình có nghiệm + Giá trị cực tiểu < h(m) < giá trị cực đại : Phương trình có nghiệm + h(m) = giá trị cực đại : Phương trình có nghiệm + h(m) > giá trị cực đại : Phương trình có nghiệm Số giao điểm đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x) và đường thẳng d : y  g ( x)  Lập phương trình hoành độ giao điểm (C) và d : f ( x)  g ( x) (2)  Biến đổi (2) thành dạng phương trình tích số , giả sử (2) có nghiệm là x0 ta có (2)  f ( x)  g ( x)   x  x0  ( x  x0 )(ax  bx  c)     g ( x)  ax  bx  c  (3) Lop12.net Tùy theo yêu cầu bài toán , ta lập luận liên quan đến số nghiệm (2) , dẫn đến điều kiện nghiệm (3) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số a Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) y  f ( x) điểm M ( x0 ; f ( x0 ))  Tính đạo hàm y '  f '( x)  Tính f '( x0 )  Áp dụng công thức : y  f '( x0 )  x  x0   f ( x0 ) Chú ý : Nếu đề bài cho x0 ta phải tìm y0  f ( x0 ) Nếu đề bài cho y0 , ta phải tìm x0 cách giải phương trình f ( x)  y0 b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) y  f ( x) biết hệ số góc tiếp tuyến k     Tính đạo hàm y '  f '( x) Gọi M ( x0 ; y0 )  (C ) là tiếp điểm Ta có : f '( x0 )  k Giải phương trình trên tìm x0 , suy y0  f ( x0 ) Áp dụng công thức : y  f '( x0 )  x  x0   f ( x0 ) Chú ý : Đôi lúc đề bài không cho trực tiếp giá trị k mà gián tiếp cho nó thông qua quan hệ hai đường thẳng là song song vuông góc Khi đó ta phải tìm k các điều kiện sau : Giả sử có hai đường thẳng d : y  kx  m và d ' : y  k ' x  n d / /d '  k  k ' d  d '  k k '  1 Bài tập rèn luyện : Bài : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số: y  x3  3x  điểm trên (C) có hoành độ 2 y  x  x điểm trên (C) có tung độ y  2x  giao điểm (C) với trục tung 2x 1 Bài : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y  x3  3x  biết tiếp tuyến có hệ số góc y  x  x biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y  24 x y  2x  biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  x 2x 1 Lop12.net Bài : Tìm m để hàm số: y  x3  3(m  1) x  (2m  3m  2) x  m(m  1) có cực đại và cực tiểu y  (m  2) x  3x  mx  có cực đại và cực tiểu y  x3  3mx  (m  1) x  đạt cực đại x  Bài : Tìm m để hàm số : y  x3  (m  2) x  (m  2) x  đồng biến trên R y   x3  mx  2(5m  8) x  nghịch biến trên R Bài : Chứng minh hàm số sau luôn có cực đại và cực tiểu : y  x3  3mx  3(m  1) x  m3 Bài : Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) các hàm số : y  x3  3x  x  y  x3  3x  3x  y   x  3x  y  y  ( x  1) (4  x) x3  x2  3 y   x3  3x  x  Bài : Cho hàm số y   x3  3x  có đồ thị là (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Biện luận theo k số nghiệm phương trình : x3  3x  k  Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm x0 , biết y ''( x )  Bài : Cho hàm số y  x3  3x  có đồ thị là (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ 3 Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc 24 Bài : Cho hàm số y  x3  x  Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Tìm các giá trị tham số m để phương trình x3  x  m  có ba nghiệm phân biệt Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hoành độ x  Bài 10 : Cho hàm số y  x3  3x  , có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm tọa độ giao điểm (C) với đường thẳng d: y  x  Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình : x3  3x  m  Bài 11 : Cho hàm số y   x3  3x  , có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có tung độ y = -2 Tìm m để đường thẳng d : y  mx  cắt đồ thị (C) điểm phân biệt Bài 12 : Cho hàm số y  x3  3(m  1) x  6mx  2m Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để hàm số đạt cực trị x  Lop12.net B Hàm số trùng phương I Sơ đồ khảo sát hàm số + Tập xác định hàm số + Chiều biến thiên  Tính đạo hàm  Giải phương trình y '   Tính giới hạn hàm số x    Lập bảng biến thiên  Kết luận các khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số, cực trị hàm số + Vẽ đồ thị hàm số  Tìm các điểm đặc biệt ( giao điểm đồ thị với hai trục tọa độ , các điểm khác )  Biểu diễn các điểm cực trị và các điểm đặc biệt lên hệ trục tọa độ Oxy , dựa vào chiều mũi tên bảng biến thiên để vẽ đồ thị hàm số CHÚ Ý : Hàm số trùng phương : y  ax  bx  c (a  0) có cực trị a và b cùng dấu b = 0, có cực trị a và b trái dấu Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a  0) a>0 a<0 Pt y’ = có ba nghiệm phân biệt -2 Pt y’ = có nghiệm -2 II Các dạng toán thường gặp giống hàm số bậc ba III Bài tập rèn luyện : Bài : Cho hàm số y  x  3x  có đồ thị là (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ x  Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x  x   m  Lop12.net Bài : Cho hàm số : y  (1  x )  có đồ thị là (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Biện luận theo m số nghiệm phương trình : m  x  x  Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc 24 Bài : Cho hàm số y   x  x  có đồ thị là (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Dựa vào đồ thị (C), xác định m để phương trình : x  x  m  có nghiệm phân biệt Bài : Cho hàm số y  x4  2( x  1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với oy Bài : Cho hàm số y   x  x  Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến vuông góc với Bài : Cho hàm số y  x  x  có đồ thị (C) đường thẳng y  x  1 Khảo sát biến thiên và vẽ dồ thị (C) hàm số Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt : x  x  log m  Bài : Cho hàm số y  x  (3m  2) x  3m (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị hàm số (1) điểm phân biệt C HÀM NHẤT BIẾN I Sơ đồ khảo sát hàm số + Tập xác định hàm số + Chiều biến thiên  Tính đạo hàm  Tìm tiệm cận đồ thị hàm số  Lập bảng biến thiên  Kết luận các khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số + Vẽ đồ thị hàm số  Tìm các điểm đặc biệt ( giao điểm đồ thị với hai trục tọa độ , các điểm khác )  Biểu diễn các điểm đặc biệt lên hệ trục tọa độ Oxy , dựa vào chiều mũi tên bảng biến thiên để vẽ đồ thị hàm số Lop12.net CHÚ Ý : Hàm số biến không có cực trị , đồ thị luôn có đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang và nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng Hàm số y = ax  b (c  0, ad  bc  0) cx  d D = ad – bc > D = ad – bc < 4 2 -2 Bài Cho hàm số y  2x  (C) x 1 Khào sát và vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ y   2 Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ x  Viết phương trình tiếp tuyến (C) , biết hệ số góc tiếp tuyến k  3 5 Tìm m để đường thẳng  d  : y  mx   2m cắt (C) điểm phân biệt Bài Cho hàm số y  x 1 x 1 (C) Khào sát và vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ y  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng  d1  : y   x  2011 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  d  : y  x  Tìm m để đường thẳng  d  : y  mx  2m  phân biệt có hoành độ âm Lop12.net cắt đồ thị (C) điểm Bài Cho hàm số y  x 1 x 1 (C) Khào sát và vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) và trục hoành Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) và trục tung Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  d1  : y   x  Tìm m để đường thẳng  d  : y  mx  2m  cắt đồ thị (C) điểm phân biệt có hoành độ dương Bài Cho hàm số y  3x  (C) 1 x Khào sát và vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường phân giác góc phần tư thứ Tìm m để đường thẳng  d1  : y  mx  2m  cắt đồ thị (C) hai điểm A, B phân biệt Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng AB Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  d  : x  y   Tìm điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ là số nguyên Bài Cho hàm số y  x2 2 x (C) Khào sát và vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ hai Viết phương trình đường thẳng qua điểm M  3;4  và tiếp xúc với đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng  d1  : y  mx   m đồ thị (C) hai điểm A, B phân biệt Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng AB Tìm điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ là số nguyên Bài Cho hàm số y  3 x 2x 1 (C) Khào sát và vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường phân giác góc phần tư thứ hai Viết phương trình đường thẳng qua điểm M  3;  và tiếp xúc với  đồ thị (C) Lop12.net 5 Tìm điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ là số nguyên Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm trên (C) đến hai đường tiệm cận (C) là số Bài Cho hàm số y  x4 x 1 (C) Khào sát và vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm m để đường thẳng  d  : x  y  m  cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm trên (C) đến hai đường tiệm cận (C) là số Bài Cho hàm số y  2x  x 1 (C) Khào sát và vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến (C) các giao điểm (C) và đường thẳng  d1  : y   x Bài Cho hàm số y  x2 x 1 (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm điểm trên (C) cho khoảng từ điểm đó đến trục hoành gấp đôi khoảng cách từ đó đến trục tung Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm tìm câu Lop12.net