Đặc biệt hóa trong các trường hợp khi cần thiết hoặc phù hợp với một đề bài cụ thể, đồng thời nắm được các bước cơ bản khi giải dạng toán này: Khi cần tính diện tích 1 hình phẳng: Nắ[r]
(1)Chuyên đề : PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I Định nghĩa Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a,b) 1) f tăng trên (a,b) với x1, x2 (a,b) mà x1<x2 thì f(x1)<f(x2) 2) f giảm trên (a,b) với x1, x2 (a,b) mà x1<x2 thì f(x1)>f(x2) 3) x0 (a,b) gọi là điểm tới hạn hàm số tạ đó f’(x) không nh hay II Định lý: 1) Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b]và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn điểm c(a,b) cho f (b) f (a ) f '(c).(b a ) hay f '(c) f (b) f (a ) ba 2) Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a,b) Nếu f’(x)>0 x(a,b) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên (a,b) Nếu f’(x)<0 x(a,b) thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên (a,b) (Nếu f’(x) =0 số hữu hạn điểm trên khoảng (a,b) thì định lý còn đúng) B CÁC BÀI TẬP: Bài 1: Cho hàm số y x3 3mx 3(2m 1) x a) Khảo sát hàm số m=1 b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định c) Định m để hàm số giảm trên (1,4) Bài 2: Cho hàm số y x x a) Tính y’’(1) b) Xét tính đơn điệu hàm số Bài 3: Cho hàm số y mx 2x m a) Khảo sát và vẽ đồ thị m=2 b) Xác định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1 c) Chứng minh với giá trị m hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định nó Bài 4: Chứng minh a) x > sinx x (-π/2,π/2) b) e x 1 x x R c) x e ln x x>1 Bài : Chứng minh phương trình sau có đúng nghiệm : x5 x3 x 2 CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1.Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xác định trên (a,b) và điểm x0 (a,b) Điểm x0 gọi là điểm cực đại hàm số y= f(x) với x thuộc lân cận điểm x0 ta có f(x) < f(x0) (x ≠ x0) Lop12.net (2) Điểm x0 gọi là điểm cực tiểu hàm số y = f(x) với x thuộc lân cận điểm x0 ta có f(x)>f(x0) (x ≠ x0) Điều kiện để hàm số có cực trị: Định lý fermat: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm x0(a,b) và đạt cực trị điểm đó thì f’(x) = Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên lân cận điểm x0 (có thể trừ x0) a) Nếu f’(x0) > trên khoảng (x0 ; x0); f’(x) < trên khoảng (x0; x0 + ) thì x0 là điểm cực đại hàm số f(x) b) Nếu f’(x) <0 trên khoảng (x0 - ; x0) ; f’(x) > trên khoảng (x0; + x0) thì x0 là điểm cực tiểu hàm số f(x) Nói cách vắn tắt: Nếu x qua x0, đạo hàm đổi dấu thì điểm x0 là điểm cực trị Định lí Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp x0 và f’(x0) = 0, f''(xo) thì xo là điểm cực trị hàm số Hơn 1) Nếu f”(x0) > thì x0 là điểm cực tiểu 2) Nếu f”(x0) < thì x0 là điểm cực đại Nói cách khác: 1) f’(x0) = 0, f”(x0) > x0 là điểm cực tiểu 2) f’(x0) = 0, f”(x0) < x0 là điểm cực đại B CÁC BÀI TẬP: Bài 1: Cho hàm số y x 2mx 2m (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số m=1/3 b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) và trục hoành c) Biện luận theo m số cực trị hàm số (1) Bài 2: Cho hàm số y x mx 2m x2 a) Khảo sát hàm số m=-1 b) Xác định m để hàm số có hai cực trị Bài 3: Cho hàm số y x 3(m 1) x 6mx 2m a)Khảo sát hàm số m = gọi đồ thị là (C) Chứng tỏ trục hoành là tiếp tuyến (C) b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;) Bài 4: Cho hàm số x 2kx k y với tham số k xk 1)Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số k=1 2)Viết phương trình đường thẳng (d) qua A(3;0) có hệ số góc a Biện luận theo a số giao điểm (C) và (d) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua A 3)Chứng minh với k đồ thị luôn có cực đại, cực tiểu và tổng tung độ chúng x xm Bài 6: Cho hàm số y Xác định m cho hàm số x 1 Bài 5: Định m để hàm số y x3 mx (m m 1) x đạt cực tiểu x = a) Có cực trị b) Có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu Lop12.net (3) Bài 7: Cho hàm số y f ( x) x3 3x 3mx+3m-4 a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn m b) Chứng minh tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn tất các tiếp tuyến đồ thị hàm số 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D Số M gọi là GTLN hàm số y=f(x) trên D nếu: x D : f ( x) M x0 D : f ( x0 ) M (ký hiệu M=maxf(x) ) Số m gọi là GTNN hàm số y=f(x) trên D nếu: x D : f ( x) m x0 D : f ( x0 ) m (ký hiệu m=minf(x) ) 2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b) + Lập bảng biến thiên hàm số trên (a,b) + Nếu trên bảng biến thiên có cực trị là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) hàm số trên (a,b) 3) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b] + Tìm các điểm tới hạn x1,x2, , xn f(x) trên [a,b] + Tính f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b) + Tìm số lớn M và số nhỏ m các số trên M max f ( x) ; m f ( x) [ a ,b ] [ a ,b ] B CÁC BÀI TẬP: Bài 1:Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ các hàm số: a) y x3 3x trên [-2;-1/2] ; [1,3) b) y x x d) y 2cos2x+4sinx c) y 2s inx- sin x e) y x 3x 2 trên đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ) x[0,π/2] trên đoạn [-10,10] (TN-THPT 01-02/1đ) Bài 2: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y= x 3x 6x trên đoạn[-1,3] Bài 3: Chứng minh x2 với giá trị x x x2 góc bé 4 TIỆM CẬN A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1) Tiệm cận đứng: f ( x) thì đường thẳng (d) có phương trình x= x0 là tiệm cân đứng Nếu xlim x đồ thị (C) 2) Tiệm cận ngang: f ( x) y0 thì đường thẳng (d) có phương trình y= x0 là tiệm cân ngang Nếu lim x đồ thị (C) 3) Tiệm cận xiên: Lop12.net (4) Điều kiện cần và đủ để đuờng thẳng (d) là tiệm cận đồ thị (C) là lim [f ( x) (ax+b)] x lim [f ( x) (ax+b)] x lim[f ( x) (ax+b)] x 4) Cách tìm các hệ số a, b tiệm cận xiên y=ax+b f ( x) x a lim x b= lim[f ( x) ax] x B CÁC BÀI TẬP: Bài 1: x2 4x Khảo sát hàm số y x2 Xác định m để đồ thị hàm số y x (m 4) x m 4m có các tiệm cận trùng xm2 với các tiệm cận đồ thị hàm số khảo sát trên (TN-THPT 02-03/3đ) Bài 2: Tìm các tiệm cận đồ thị hàm số a) y x b) y x3 x c) x2 1 y 3x x d) 1 2x y x2 x x 5x2 PHẦN II: ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ Các bước khảo sát hàm số : Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ Tập xác định Sự biến thiên - Chiều biến thiên, cực - Giới hạn - Bảng biến thiên Đồ thị - Giá trị, tính chất đặt biệt - Đồ thị Tập xác định Sự biến thiên - Chiều biến thiên, cực - Giới hạn, tiệm cận - Bảng biến thiên Đồ thị - Giá trị, tính chất đặt biệt - Đồ thị Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai Các dạng đồ thị hàm số: Hàm số bậc 3: y = axy + bx2 + cx + d (ay 0) y y O I a>0 x O a<0 Dạng 1: hàm số có cực trị ? I I I x O a>0 x O a<0 x Dạng 2: hàm số không có cực trị ? Lop12.net (5) Hàm số trùng phương: y y = ax + bx + cy (a 0) y O O x a>0 x O Dạng 1: hàm số có cực trị ? y O x a>0 a<0 Hàm số biến : y y x a<0 Dạng 2: hàm số có cực trị ? ax b (ad bc 0) cx d y I I O O x Dạng 1: hsố đồng biến x Dạng 2: hsố nghịch biến ax bx c Hàm số hữu tỷ (2/1) : y (tử, mẫu không có nghiệm chung, ) a1x b1 y y O I x O y y I x O I x I O x Dạng 2: hàm số không có cực trị Dạng 1: hàm số có cực trị Phần III: ÔN TẬP CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình: f(x) = m f(x) = g(m) f(x) = f(m) (1) + Với đồ thị (C) hàm số y = f(x) đã khảo sát + Đường thẳng (d): y = m y = g(m) y = f(m) là đường thẳng thay đổi luôn cùng phương với trục Ox Các bước giải Bước : Biến đổi phương trình đã cho dạng pt (1) và dùng bảng sau: Bước : Dựa vào đồ thị ta có bảng biện luận: Ví dụ 1: Lop12.net (6) Biện luận phương trình Biện luận phương trình x x2 3 x x2 = m ( dùng bảng 1) = 3m -2 ( dùng bảng 2) ( dùng bảng 3) m m2 Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể tròn xoay Học sinh cần nhớ và vận dụng thành thạo các công thức: Biện luận phương trình x x2 = Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = f(x), trục Ox và đường thẳng x = a, x = b ( a < b) b Ta sử dụng công thức (I) S f ( x ) dx a Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = f(x), y = g(x) / [a;b] Ta sử dụng công thức S b f ( x ) g ( x ) dx (II) a Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh từ hình phẳng (H) giới hạn (C): y = f(x), trục Ox và đường thẳng x = a, x = b ( a < b), (H) quay quanh Ox Ta dùng công thức b V f ( x ) dx (III) a Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh từ hình phẳng (H’) giới hạn (C): x = g(y), trục Oy và đường thẳng y = a, y = b ( a < b), (H’) quay quanh Oy Ta dùng công thức b V g ( y ) dy (IV) a Đặc biệt hóa các trường hợp cần thiết phù hợp với đề bài cụ thể, đồng thời nắm các bước giải dạng toán này: Khi cần tính diện tích hình phẳng: Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (I) hay (II) (có hay không có Ox) Xác định cận a và cận trên b (nếu chưa có thì biết tìm) Dựa vào đồ thị (hoặc xét dấu riêng), để biết dấu biểu thức f(x)/[a;b] (hay dấu f(x) – g(x) /[a;b]) Biết các bước trình bày bài giải và tính đúng kết Khi cần tính thể tích vật thể tròn xoay: Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (III) hay (IV) (hình sinh quay quanh Ox hay quay quanh Oy) Xác định các cận trên, cận và tính đúng kết Ví dụ 4: (trích đáp án kì thi THPT không phân ban 2006 ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các hàm số y = ex, y = và đường thẳng x = Giải: (0,75 đ) Ta có: ex = x = ln2 Lop12.net (7) Diện tích hình phẳng cần tìm S = e dx x ln = ex 2x ln e x dx (0,25 đ) ln (e 2) (2 ln 2) e ln (đvdt) (0,25đ + 0,25đ) Ví dụ 5: ( trích đáp án kì thi THPT phân ban 2006) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) : y = – x – 3x2 và trục Ox Giải: Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm 3 Từ đồ thị ta có: S x 3x dx ( x3 3x )dx 3 x4 x3 = 27/4 ( đvdt) 0 Bài tập : (cho dạng và dạng 2) Bài 1: Cho hàm số y = x3 – mx + m + có đồ thị là (Cm) a) Khảo sát hàm số m = b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo k số nghiệm phương trình: x3 – 3x – k +1 = c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) và đường thẳng (D): y = Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 2x2 – (m - 1)x + m = a) Xác định m để hàm số có cực trị b) Khảo sát hàm số trên Gọi đồ thị là (C) c) Tiếp tuyến (C) O cắt lại (C) điểm A Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) và đoạn OA Bài 3: Cho hàm số y = (x +1)2(x –1)2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm phương trình : (x2 – 1)2 – 2n + = c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) và trục hoành Bài 4: Cho hàm số y (m 1) x m (m khác 0) và có đồ thị là (Cm) xm a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C2) b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C2), tiệm cận ngang nó và các đường thẳng x = 3, x = Bài 5: Cho hàm số y x2 x x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết pttt (C) các giao điểm (C) với trục hoành c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) và trục hoành Lop12.net (8) Bài 6: Cho hàm số y x mx mx a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C2) b) Dùng đồ thị (C2) giải và biện luận phương trình : x2 – 2(k + 1)x + 4(k + 1) = c) Tính diện tích hình phẳng hình (H) giới hạn bởi: (C2), trục Ox, trục Oy, và đường thẳng x = d)* Tính thể tích hình tròn xoay (H) quay vòng xung quanh Ox tạo Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường cong : y= x ; y = x 3x Bài 8: Cho miền D giới hạn đường: x2 + y – = 0; x + y – = Tính thể tích vật thể tạo D quay quanh Ox Bài 9: Tính thể tích vật thể tròn xoay phần mặt phẳng bị giới hạn các đường: y = x2 và y = x quay quanh Ox Dạng 3: Biện luận số giao điểm đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x) Số giao diểm hai đường cong (C1) y= f(x) và (C2) y=g(x) là số nghiệm phương trình hoànhđộ giao điểm f(x) = g(x) (1) Ví dụ Cho hàm số y x 1 và đường thẳng y= mx - biện luận số giao điểm hai x 1 đường cong Giải : Số giao điểm hai đường cong là số nghiệm phương trình x 1 mx x 1 (điều kiện x khác 1) mx (m 2) x x(mx (m 2)) +Nếu m = hay m = -2: Phương trình có nghiệm x = nên đường thẳng cắt đường cong điểm +Nếu m và m -2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m và x= m2 Đường thẳng cắt đường cong hai điểm phân biệt m (chú ý hai nghiệm khác 1) Kết luận: + m = hay m = - có giao điểm + m và m - có hai giao điểm BÀI TậP: 3 Bài 1: Biện luận số giao điểm đồ thị (C): y x x x và đường thẳng (T): y 13 m( x ) 12 KQ: giao điểm ( m 27 ), 12 giao điểm ( m > 27 ) 12 Bài 2: Định a để đường thẳng (d): y = ax + không cắt đồ thị hàm số y 3x KQ: -28 < x 1 a0 Lop12.net (9) Dạng 4: Cực trị hàm số Yêu cầu học sinh: Biết số lượng cực trị dạng hàm số học chương trình: Hàm số bậc : y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) không có cực trị có cực trị Hàm số bậc dạng : y = ax4 + bx2 + c (a 0) có cực trị cưc trị Hàm số biến dạng: y ax+b tăng giảm và không có cực trị cx+d Hàm số hữu tỷ (2/1)dạng: y ax bx c không có cực trị có cưc trị a 'x b' Tóm tắt: Cho hàm số y = f(x) xác định / (a;b) và x0 (a;b) Nếu f’(x0) = và f’(x) đổi dấu x qua x0 thì hàm số có cực trị x = x0 Nếu f’(x0) = và f’(x) đổi dấu từ + – x qua x0 thì hàm số có cực tiểu x = x0 Nếu f’(x0) = và f’(x) đổi dấu từ – + x qua x0 thì hàm số có cực đại x = x0 (Điều này đúng hsố không có đạo hàm x0 hàm số có xác định đó) Hoặc: Nếu f’(x0) = và f’’(x) thì hàm số có cực trị x = x0 Nếu f’(x0) = và f’’(x) > thì hàm số có cực tiểu x = x0 Nếu f’(x0) = và f’’(x) < thì hàm số có cực đại x = x0 Bài tập:1 Định tham số m để: i) Hàm số y = 2i)Hsố y = x mx (m 6) x x mx mx có cực đại và cực tiểu.Kết quả: m < - hay m > có cực trị Kết quả: - < m < 3i) Hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + có cực đại và cực tiểu x1, x2 và đó x2 – x1 không phụ thuộc tham số m Kết : m và x2 – x1 = Bài 2: Hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + – m có cực đại và cực tiểu Giả sử M1(x1;y1), y1 y2 M2(x2;y2) là điểm cực trị đồ thị hàm số Chứng minh : = ( x1 x2 )( x1x2 1) Kết : m < Dạng 4: Viết PTTT đồ thị hàm số? Yêu cầu học sinh nắm các bước trình bày bài giải các dạng bài toán sau: Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = f(x) M0(x0;y0) (C) Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y0 = f’(x0) x x0 hay y – y0 = k(x – x0) (*) Bước 2: Tìm các thành phần chưa có x0, y0, f’(x0) thay vào (*) Rút gọn ta có kết Bài toán 2: Viết pttt (C): y = f(x) biết tiếp tuyến qua hay xuất phát từ A(xA;yA) Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) qua A và có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA) (1) f ( x) k ( x x A ) y A f '( x) k Bước 2: (d) là tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm: Bước 3: Giải tìm k và thay vào (1) Ta có kết Bài toán 3: Viết pttt (C): y = f(x) biết hệ số góc k tiếp tuyến (hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với đường thẳng (D) ) Lop12.net (10) C1: Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k x = x0 ( hoành độ tiếp điểm) Bước 2: Tìm y0 và thay vào dạng y = k(x – x0) + y0 ta có kết C2: Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**) (trong đó m là tham số chưa biết) f ( x) kx m k = ? thay vào (**) Ta có kết f '( x) k Bước 2: Lập và giải hệ pt: Bài tập PTTT đồ thị (C ): Bài 1: Cho hàm số y = – 2x + có đồ thị là (C)và (d): 8x – 4y + = a) CMR (C) và (d) cắt điểm A và B b) CMR các tiếp tuyến (C) A,B vuông góc Bài 2: Cho hàm số y = x3 + mx2 – m – 1, có đồ thị (C) a) Tìm các điểm cố định (Cm) b) Lập pttt các điểm cố định đó Bài 3: Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 – 2m + Tìm m để các tiếp tuyến đồ thị hàm số A(1;0), B(-1;0) vuông góc x2 Bài 4: Cho hàm số y = x2 Lập pttt đồ thị (C) hàm số các giao điểm với x2 trục tung và trục hoành Bài 5: Cho hàm số y = x ax - Lập pttt đồ thị (C) hàm số các giao điểm x2 với trục tung và trục hoành Bài 6: Cho hàm số y = x Viết pttt (C) qua A(-6;5) x2 Bài 7: Viết pttt đồ thị hàm số y = x2 2x qua B(1;0) x 1 Bài 8) Cho hàm số y = x3 – 3x Lập các Pttt kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số Bài 9) Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 + Lập Pttt kẻ từ A( 19 ;4) 12 Bài 10) Cho hàm số y = + – 12x – Tìm M đồ thị (C) hàm số đã cho cho tiếp tuyến M qua gốc tọa độ O MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP 2x3 3x2 x (m 2)x m Bài 1) Cho hàm số y , m là tham số, có đồ thị là (Cm) x 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Với giá trị nào k thì (C) và đường thẳng (D): y = k có giao điểm phân biệt A và B Trong trường hợp đó, tìm tập hợp trung điểm I đoạn AB 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), trục Oy, y = 1, y = 3/2 Bài 2) Cho hàm số y x 4mx 5m , có đồ thị là (Cm) x2 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm tất giá trị tham số m để trên đồ thị (Cm) hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng qua O Bài 3) Cho các đường: y = x2 – 2x + 2, y = x2 + 4x + và y = Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường trên Bài 4) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = Lop12.net 10 2x 4x 2( x 1) (11) Định m để ptrình : 2x2 – 4x – + 2mx - 1 = có nghiêm phân biệt Bài : Cho hàm số y x3 x 1 gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm các điểm trên (C ) có tọa độ là số nguyên c) Chứng minh đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt MN ;xác định m để đoạn MN có độ dài nhỏ d) Tìm điểm trên trục hoành từ đó vẽ đúng hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ hai tiếp tuyến có tiếp điểm là P;Q viết phương trình đường thẳng PQ e) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị (C) cho khoảng cách giửa chúng bé f) Tiếp tuyến điểm S (C) cắt hai đường tiệm cận hai điểm I;J chứng minh S là trung điểm IJ g) Với giá trị m nào thì đường thẳng y=-x+m là tiếp tuyến đường cong (C) Bài 6:Cho hàm số y ( x 1) (4 x) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Chứng tỏ đồ thị có tâm đối xứng c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(3;5) d) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn e) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: x3 x x m Bài 7: Cho hàm số y x 3(m 1) x 6mx 2m a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) m=1 chứng tỏ trục hoành là tiếp tuyến (C) b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;) Bài : Cho hàm số y -x x x a) b) c) d) e) f) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình 3x3-6x2-5x+m=0 Tiếp tuyến với (C) gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) điểm M tìm tọa độ M Biện luận theo k vị trí tương đối (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) và trục hoành Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng Lop12.net 11 (12) Chuyên đề : §1 NGUYÊN HÀM: Nguyên hàm hàm số cần nhớ a, b a : dx dx x C ax b a ln ax b C x 1 x dx C, 1 e dx e sin xdx cos x C ax ax e dx e C a cos xdx sin x C sin axdx a cos ax C dx cos x tgx C , x x C k dx sin2 x cot gx C, x k x dx ln x C , x x cos axdx a sin ax C dx tgx C , x k ax a cos dx cot gax C , x k ax a sin Bài tập: Ghi nhớ: Nguyên hàm tổng (hiệu) nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) các nguyên hàm hàm số thành phần Nguyên hàm tích (thương) nhiều hàm số không tích (thương) các nguyên hàm hàm số thành phần Muốn tìm nguyên hàm hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành tổng hiệu hàm số tìm nguyên hàm Áp Dụng: Bài Tìm nguyên hàm các hàm số sau cách biến đổi và sử dụng bảng nguyên hàm x dx (3x 1)dx (3x x 1)dx ( x x 5)dx (3x 1)dx ( x x 3 x 1)dx x (3x x e x )dx (e x 5.3x )dx (3s inx-5cosx 1)dx e x x 10 (3s inx+2cosx )dx 11 e (2 )dx cos x cos x x 1 dx dx 14 15 x dx 16 7x 5x sin 3xdx Lop12.net 12 12 x 5dx 13 e38 x dx 17 sin 5xdx 18 cos(4 x)dx 19 (13) 20 cos (1 x)dx 21 s inx sin 5xdx 22 s inxcos3xdx 24 sin x.cos xdx 25 tan 5xdx x x( x 1) dx 26 tan xdx 27 28 dx 4 dx 5x sin x e cos xdx 29 23 cos2xcos3xdx x 30 3x dx x 10 31 7x 2x dx 32 Bài Tìm các nguyên hàm sau phương pháp đổi biến số: x(2 x)7 dx (đặt t= 2-x) x xdx (đặt t 3x ) ln x x dx (đặt t ln x ) x dx (đặt t=1+x2) 2 (1 x ) x 23 x3 dx ( đặt t= 3+x3) x3 x dx (đặt t=1+x2) sin x 5cos x dx 33 1 sin dx (đặt t ) x x x x dx (đặt t e x ) e e sin(ln x) dx (đặt x x t=lnx) Bài Tìm các nguyên hàm sau phương pháp nguyên hàm phần: x i) (3x 1) sin xdx 2i) (2 x 3) cos xdx 3i) (3 x) cos dx 4i) (1 x) sin xdx 5i) (2 x 3)e dx x 6i) ( x x 1)e dx 7i) (2 x 1)e dx x x 9i) ( x x 1)e x dx 10i) (2 x 1)e x dx 11i) e x sin xdx 13i) x ln(1 x)dx 15i) 14i) x ln xdx x 1 dx sin x 8i) e x sin xdx (2 x 3)e x dx 12i) ln x dx x3 Bài 4: Cho hai hàm số F x x sin x ; f x cos2 x a Chứng minh F x là nguyên hàm f x b Tìm nguyên hàm G x biết G 4 x cos x Bài 5: Cho hàm số f x cos x cos 4 cos x sin x Tìm nguyên hàm F x hàm số f x biết F Bài 6: Cho hàm số f x cos2 x cos x Tìm hàm số G x biết G x f x và G 0 29 ; G 144 12 32 Bài 7: Cho hàm số f x sin x cos x cos x cos x a Giải phương trình f x f x b Tìm nguyên hàm F x hàm số f x biết đồ thị hàm số F x qua điểm M ; Bài 8: Biết hàm số F x cho f x f x sin x cos x là nguyên hàm f x Hãy tìm các giá trị x Bài 9: Cho hàm số y xe x Lop12.net 13 (14) a Tính y và y b Tìm nguyên hàm hàm số f x x 2007 e x Bài 10: Cho hàm số f x e x sin x Chứng minh hàm số f x f x là nguyên hàm hàm số f x Bài 11: Tìm nguyên hàm F x hàm số f x x 23x 3x ,biết F 1 (Đề thi x 2x tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2003) §2 TÍCH PHÂN : b 1) Định nghĩa: f x dx F x b F b F a a a 2) Bài tập: Ghi nhớ: Muốn tính tích phân định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dấu tích phân thành tổng hiệu hàm số đã biết nguyên hàm Nếu hàm số dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc tử lớn bậc mẫu ta phải thực phép chia tử cho mẫu Nếu hàm số dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm dấu GTTĐ Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành đoạn cho trên đoạn biểu thức nằm dấu GTTĐ không đổi dấu Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ Bài 1: Tính các tích phân sau đây: a cos x cos xdx b cos x sin x dx c e2 x ln x d dx x x2 x x dx 1 Bài 2: Cho hàm số f x 2x x 1 và hàm số F x ln x a Chứng minh F x là nguyên hàm f x b Áp dụng câu a tính xdx 1 x Bài 3: Cho hàm số f x x ln x x ln x a Tính f x e ln b Áp dụng câu a tính xdx Bài 4: Biết hàm số F x cos x sin x là nguyên hàm f x Hãy tính : cos x sin x f x dx Bài 5: Tính các tích phân sau: (cos x2 dx dx x 3x (2 sin x cos x).dx 4 x sin x)dx Lop12.net 14 sin x .dx (15) 6 sin x sin x.dx 10 2 4x 15 dx x 6x 1 x( x 4)dx 14 21 x dx 3x 16 dx x 1 13 dx x dx 12 3x sin x.dx cos x.cos xdx 11 tan xdx x 3x 20 cot xdx 1 sin x cos 3x.dx x2 5x 1 x 17 dx 18 sin dx x 3 0 22 sin 2xdx 19 x dx x sin dx §3 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ: 1) Công thức tổng quát: b a f x . x dx f t dt Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân vế trái Hàm số dấu tích phân có dạng tích f x (hàm số theo biến là x ) với đạo hàm hàm x Áp dụng công thức trên vào các trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể sau: a) TH1: f sin x cos xdx Đặt t sin x t p sin x q p, q t n p sin x q biểu thức p sin x q nằm b) n n TH2: f cos x sin xdx Đặt t cos x t p cos x q p, q t n p cos x q biểu thức p cos x q nằm c) TH3: f ln x x dx Đặt t ln x t p ln x q p, q t n p ln x q biểu thức p ln x q nằm dấu d) TH4: f tan x cos x n dx Đặt t tan x t p tan x q p, q t n p tan x q biểu thức ptgx q nằm dấu Lop12.net 15 n (16) e) TH5: f cotx sin x Đặt t cotx t pcotx q dx p, q t n pcotx q biểu thức pcotgx q nằm n 2) Bài tập: Bài 1: Tính các tích phân sau đây: a cos xdx sin x 1 b dx c x ln x cos x sin xdx xdx 19 e d x2 Bài 2: Tính các tích phân sau đây: e2 tgx dx b cos2 x a 2x dx x 4x dx c dx d cot gx sin x e x 1 x Bài 3: Tính các tích phân sau đây: tgxdx a cos3 x sin xdx c cos4 x sin x b sin x cos3 xdx cos xdx d sin x cos x Bài 4: Tính các tích phân sau đây: a sin3 xdx 0 cos4 x b c x 1x dx sin xdx 0 sin x d dx tgx tg x Bài 5: Tính các tích phân sau đây: ( Tổng hợp) 3 1 x dx (HD: x=3tant) x2 3 x dx dx (HD: x=tant) 1 (HD: x=sint) 4 x x dx (HD: x=2sint) 16 x dx ( HD: x=4sint) 1 x+1=tant) a a2 x2 dx(a 0) (HD: x=asint) 2x x dx (HD:đặt 1 sin x sin x dx ( x t ) Bài 6: Tính các tích phân sau đây: ( Tổng hợp) 1 x(1 x) 2009 dx (t=1-x) 0 x x 3dx (t x 3) x x dx (t x ) cos x x x 1dx (t x 1) sin x dx (t 3sin x ) Lop12.net 16 (17) e ln x dx (t=lnx) x (t 3ln x ) x 5x (t e x 1) 10 dx (t x 1) x 1 3x ln8 ln x dx (t 3ln x ) x 12 e ` e 1dx (t e 1) x x 13 ln e 11 dx (t 3 x 1) e tan x 1 cos x dx ln x ln xdx x ex 1 e x dx (t=tanx+2) §4 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN: b uvdx uv 1) Công thức tổng quát: a b udv uv hay a b a b a b vudx a b vdu (1) a 2) Các bước thực hiện: Bước 1: Đặt u u( x ) du u( x )dx (Đạo hàm) dv v( x )dx v v( x ) (nguyeân haøm) Bước 2: Thế vào công thức (1) b b Bước 3: Tính uv a và suy nghĩ tìm cách tính tiếp vdu a (tích phân này có thể tính định nghĩa đổi biến số tích phân phần tùy bài toán cụ thể mà ta phải xem xét) 3) Các dạng tích phân tính phương pháp phần: Tích phân phần thường áp dụng để tính các tích phân có dạng sau: a) Dạng 1: b p x q x dx a Trong đó p x là hàm số đa thức, còn q x là hàm sin ( x ) cos ( x ) Trong trường hợp này ta đặt: u p x dv q x dx Ghi nhớ : b Trong trường hợp này đặt ngược lại thì vào công thức ta vdu phức tạp a b udv ban đầu a b b) Dạng 2: p x q x dx Trong đó p x là hàm số đa thức, còn q x là hàm logarit a Lop12.net 17 (18) Trong trường hợp này ta đặt: u q x dv p x dx Ghi nhớ: Trong trường hợp này đặt ngược lại thì ta gặp khó khăn suy v từ dv 4) Bài tập: Bài 1: Tính các tích phân sau đây: a x 1 sin xdx b x x cos xdx c 1 f 3x x dx xdx cos g ( x 3)2 x dx e d x cos xdx 0 e x 12 e2 x dx h x e x 2 x dx Bài 2: Tính các tích phân sau đây: a 3x 1 ln xdx e b x ln x 1 dx 1 d x ln x 1 dx c ln xdx 0 Bài Tính các tích phân sau phương pháp tích phân phần: 2 ( x 2) sin xdx (1 x) cos xdx x sin 3xdx 0 ( x 3x 1)e dx 2 sin xe dx 2x x e cos xdx 0 x ( x 1) cos dx e ln xdx xe x dx 10 1 ln( x 3)dx e ln xdx 11 e ln(1 3x)dx 13 (ln x) dx 1 12 e 14 x(2 ln x)dx 15 x 1 dx x cos 16 e 17 x (ln x) dx e sin x sin xdx 18 cos x dx 19 §5 CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN: Tính các tích phân sau đây: a 1 cos2 x dx sin x b ln x x e dx x c x cot g2 x sin x dx sin x ln x 1 ( x 1) dx 20 e x dx e d x sin xdx cos x xdx e sin x cos 2 e cos x f 1 0 x e x xdx g cos x cos xdx sin x h x ln 3x 1dx §6 DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG: 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: C1 : y f x ; C2 : y g x ; x a; x b (trong đó hai đường thẳng x a; x b có thể thiếu hai) a) Công thức: b S f x g x dx (2) a Lop12.net 18 (19) b) Các bước thực hiện: Bước1: Nếu hai đường x a, x b đề bài cho thiếu hai thì giải phương trình f x g x (PTHĐGĐ C1 và C2 để tìm Bước 2: Áp dụng công thức (2) Bước 3: Rút gọn biểu thức f x g x , sau đó xét dấu hiệu này Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ c) Chú ý: Nếu bài toán này cho chung bài khảo sát hàm số thì ta dùng hình vẽ để khử dấu GTTĐ dễ dàng Có nghĩa là, trên đoạn tích phân nào đó mà trên hình vẽ, C1 nằm trên C2 thì hiệu f x g x , và C1 nằm C2 thì hiệu f x g x 2) Diện tích hình phẳng giới hạn các đường không rơi vào trường hợp 1: Bước 1: Vẽ hình (không cần phải khảo sát) Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ cho hình nhỏ tính diện tích công thức (2) Bước 3: Dùng công thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích tất các hình nhỏ 3) Thể tích hình tròn xoay quay hình phẳng giới hạn các đường sau đây quanh trục Ox: C : y f x ; Ox; x a; x b (trong đó hai đường thẳng x a; x b có thể thiếu hai) a) Công thức: b V f x dx (3) a b) Các bước thực hiện: Bước 1: Nếu hai đường x a, x b đề bài cho thiếu hai thì giải phương trình f x (PTHĐGĐ C và trục Ox) để tìm Bước 2: Áp dụng công thức (3) 4) Bài tập: ÁP Dụng 01: Bài i Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau: y x 1, y 0, x 0, x y x 3x 4, y 0, x 1, x 3 y x3 x x, y 0, x 1, x y sin x, y 0, x 0, x x y cos , y 0, x , x y e2 x 1 , y 0, x 0, x 2 y xe x , y 0, x 0, x y sin x cos3 x, y 0, x 0, x 3 y ln x, y 0, x ,x e e2 10 y x ln x, y 0, x 1, x e Bài 2i Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau: y x x, y x, x 0, x y x , x y Lop12.net 19 (20) y x x 5, y x 3x y e x , y 1, x y ( x 1)( x 2)( x 3), y (C): y x x và các tiếp tuyến (C) qua A( , 1) (C): y x3 3x x và tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ 1; y sin x, y cos x, x 0, x Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong C : y x x và trục Ox 2x Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong C : y x x 3 và trục Ox Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong C : y x x và trục Ox Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong C : y x 3x và đường thẳng d : y Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: C : y x x ; đường x 1 tiệm cận xiên C ; Ox; x e Bài 6: Cho đường cong C : y x 3x x Viết phương trình tiếp tuyến d C gốc tọa độ O Từ đó tính diện tích hình phẳng giới hạn C và d Bài 7: Cho parabol P : y x x a Viết phương trình các tiếp tuyến P các giao điểm P với trục Ox b Tính diện tích hình phẳng giới hạn P và các tiếp tuyến nói câu a Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: C : y x ; d : y x và trục Ox Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol P : y x và đường thẳng d : y 2x Bài 10: Cho parabol P : y x a Viết phương trình tiếp tuyến P điểm tung độ b Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: P , trục Ox và tiếp tuyến nói câu a Bài 11: Cho đường cong C : y x Gọi (H) là hình phẳng giới hạn các đường: x 1 C ; Ox; Oy Tính thể tích hình tròn xoay sinh quay (H) xung quanh trục Ox Bài 12: Cho đường cong C : y x x Gọi (H) là hình phẳng giới hạn C và trục Ox Tính thể tích hình tròn xoay sinh quay (H) xung quanh trục Ox Bài 13 Tính thể tich vật thể tròn xoay sinh hình phẳng D tạo các đường sau quay xung quanh trục Ox y 3x x , y y x , y 3x y x3 1, y 0, x 0, x y x, y x y sin x, y 0, x 0, x y x ln x, y 0, x 1, x e y xe x , y 0, x 0, x y cos x sin x , y 0, x 0, x Lop12.net 20 (21)