chuyên đề Tổ hợp, khai triển nhị thức niutơn xác suất Chuyên đề Hoán vị chỉnh hợp tổ hợp I Lý thuyết Hoán vị * Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử, kết xếp thứ tự n phần tử tậphợp A gọi hoán vị n phần tử * Số hoán vị Số hoán vị n phần tử, ký hiệu lµ Pn Pn = n! VÝ dơ Cã cách xếp học sinh vào chỗ ngồi bàn học sinh Giải Số cách xếp học sinh vào chỗ ngồi số hoán vị phần tử Vậy P4 = 4! = 1.2.3.4 = 24 cách xếp Chỉnh hợp * Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tư (n 1) KÕt qu¶ cđa viƯc lÊy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử đà cho * Số chỉnh hợp Số chỉnh hợp chập k n phần tử ký hiƯu lµ A kn n! A kn = (1 k n) n k ! + ChØnh hợp chập n n phần tử hoán vị n phần tử A nn Pn Ví dụ 2: Từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Hỏi lập số có chữ số khác Giải Cã A = 5.6.7 = 210 sè cã chữ sốkhác Tổ hợp * Định nghĩa: Giả sư tËp A cã n phÇn tư (n 1) Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử đà cho * Số tổ hợp Số tổ hợp chập k n phần tử, ký hiệu lµ C kn n! C kn = k!n k ! Ví dụ 3: HÃy tính tổ hợp C36 Giải 6! 4.5.6 Ta cã: C 36 20 3!3! 1.2.3 DeThiMau.vn Ví dụ 4: Một cỗ túlơkhơ có 52 quân bài, chia cỗ thành phần (mỗi phần 13 quân) Hỏi có cách chia phần cho: a có ¸t b cã Ýt nhÊt mét ¸t Giải a Số cách chọn át từ át là: C Số cách chọn 11 lại 48 là: C 11 48 Theo quy tắc nhân ta có: C 24 C 11 48 c¸ch chia b Sè c¸ch chia phần có 13 C 13 52 Số cách chia phần mà át là: C 13 48 13 Vậy số cách chia phần có ¸t lµ C 13 52 - C 48 * TÝnh chÊt cđa tỉ hỵp: + TÝnh chÊt 1: C kn C nn k + TÝnh chÊt 2: C kn 11 C nk 1 C kn VÝ dô 3: Chøng minh r»ng C rn 2C nr 1 C rn C nr , r n ; n, r Z II Các tập vận dụng: * Bài toán đếm có điều kiện: Bài Một đội niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân công đội giúp đỡ tỉnh miền núi cho tỉnh có nam nữ Giải Gọi tỉnh có tên A, B, C Chọn đội niên tình nguyện phục vụ tỉnh A có C12 C13 Chọn đội niên tình nguyện phục vụ tỉnh A có C84 C12 Chọn đội niên tình nguyện phục vô tØnh A cã C 44 C11 Theo quy tắc nhân ta có: C12 C13 C84 C12 C 44 C11 = 207900 Bài Đội niên xung kÝch cđa nhµ trêng cã 12 häc sinh gåm häc sinh líp A, häc sinh líp B vµ häc sinh líp C CÇn chän häc sinh ®i lµm nhiƯm vơ, cho häc sinh nµy không lớp Giải Số cách chọn häc sinh tõ 12 häc sinh lµ C 12 NÕu chọn học sinh từ lớp thì: Số cách chän häc sinh tõ líp A, häc sinh líp B vµ häc sinh líp C lµ: C 52 C 14 C 13 Sè c¸ch chän häc sinh tõ líp A, häc sinh líp B vµ häc sinh líp C lµ: C 15 C 24 C 13 Sè c¸ch chän häc sinh tõ líp A, häc sinh líp B vµ häc sinh líp C lµ: C 15 C 14 C 32 Số cách chọn học sinh từ lớp C 52 C 14 C 13 + C 15 C 24 C 13 + C 15 C 14 C 32 Vậy số cách chọn học sinh từ không líp lµ: C 12 - ( C 52 C 14 C 13 + C 15 C 24 C 13 + C 15 C 14 C 32 ) Bµi Một tây có 52 con, cần rút Hỏi có cách: a Rót t ý b Cã Ýt nhÊt ¸t DeThiMau.vn Giải a Số cách rút tuỳ ý là: C b Ta xét trường hợp: - rút át át là: C 24 C 348 52 - Rút át át là: C 34 C 248 - Rút át át là: C 44 C 148 VËy cã C 24 C 348 + C 34 C 248 + C 44 C 148 c¸ch chọn Bài Có tem thư khác bì thư khác Người ta muốn chọn từ tem thư bì thư, bì thư dán tem Có cách vậy? Giải Số cách chọn tem thư tem thư C Số cách chän phong b× th phong b× thư là: C 36 Số cách dán 3! Vậy số cách thực công việc C 35 C 36 3! = 1200 cách Bài Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, dễ trung bình) số câu hỏi dễ không Giải Trong đề kiểm tra, số câu hỏi dễ Ta có trường hợp sau: 2 - Trường hợp 1: Đề gồm câu dễ, câu trung bình câu khó: có C 15 C 10 C 15 - Trường hợp 2: Đề gồm câu dễ, câu trung bình câu khó: cã C 15 C 110 C 52 - Trêng hợp 3: Đề gồm câu dễ, câu trung bình câu khó: có C 15 C 110 C 15 2 VËy ta cã C 15 C 10 C 15 + C 15 C 110 C 52 + C 15 C 110 C 15 = 56785 đề thi * Bài toán xếp: Bài a Một người có tượng khác muốn bày tượng vào dÃy vị trí kệ trang trí Hỏi có cách xếp? b Một người có tượng khác muốn bày tượng vào vị trí kệ trang trí Hỏi có cách xếp? Giải a Số cách bày tượng khác vào dÃy vị trí kệ trang trí là: A 64 b Số cách chọn tượng tượng là: C 86 Số cách bày tượng vào vị trÝ lµ: 6! VËy cã C 86 6! = 20160 cách Bài Có cách : a Mời số n bạn thân b Tặng m vật cho n ngêi Gi¶i a Víi mét ngêi cã cách mời: mời không mời Vậy với n người bạn thân có 2n cách mời DeThiMau.vn b Với đồ vật tặng cho n người: có n cách tặng Do có n.n.n.n = nm cách tặng Bài Một tổ có 10 học sinh Có cách: a Xếp thành hàng dọc b Ngồi quanh bàn tròn 10 ghế Giải a Số cách xếp 10 học sinh thành hàng dọc 10! b Người thứ có cách chọn, không kể vị trí ngồi đâu giống Khi người thứ đà ngồi vị trí lại cho người ngồi, có 9! Vậy có 1.9! = 9! Bµi Cã n nam vµ n nữ ngồi vào dÃy ghế đối diện Có cách xếp: a Nam nữ ngồi tuỳ ý b Nam nữ ngồi đối diện Giải a Có c¸ch chän d·y ghÕ Tỉng céng cã 2n ngêi, cần chọn n người có C n2n cách chọn Xếp n người vào n vỉtí dÃy là: n! VËy cã: C n2n n! c¸ch b Bíc 1: Xếp n nam vào dÃy có n! cách Bước 2: Xếp n nữ vào dÃy có n! cách Bước 3: đổi chỗ n cặp nam nữ có 2.2.2 = 2n cách Vậy có n!.n!.2n cách * Bài toán phân phối Bài 10 Có cách tặng quà khác cho người mà người có quà Giải Chia mãn quµ cho ngêi, ngêi nµo cịng cã quµ, ta có cách chia sau: Trường hợp 1: Một người nhận quà, hai người lại, người nhận quà: - Có cách chọn người nhận quà - Có cách cho ngêi nhËn mãn quµ - Cã C 24 cách cho quà người nhận quà thứ - Cã c¸ch cho ngêi cuèi cïng cã 3.5 C 24 = 90 cách Trường hợp 2: Một người nhận quà, hai người người nhận quà - Có cách chọn người nhận quà - Có C 35 cách cho người nhận quà - Có cách cho người nhận quà thứ - Có cách cho ngêi nhËn quµ thø hai cã C 35 = 60 c¸ch VËy cã 90 + 60 = 150 cách Bài 11 Cho cầu màu trắng khác cầu xanh khác Ta xếp cầu vào hàng chỗ cho trước a Có cách xếp khác nhau? b Có cách xếp cho hai cầu đứng cạnh không màu? c Có cách xếp cho cầu trắng đứng cạnh Giải a Có 9! = 362880 cách DeThiMau.vn b Gọi vị trí cần xếp 123456789 Vì có cầu màu trắng, cầu màu xanh nên vị trí số 1, 3, 5, 7, cầu trắng, vị trí 2, 4, 6, cầu màu xanh Để xếp cầu trắng có 5! cách Để xếp cầu xanh cã 4! c¸ch VËy cã 5!4! = 2880 c¸ch c Ta gọi cầu trắng vị trí a, với vị trí có vị trí số vị trí a Xếp cầu trắng vào vị trí a có 5! cách Xếp cầu xanh vào vị trí số 4! Có chọn vị trí a Vậy có 5.5!4! = 14400 cách * Bài toán đếm số: Bài 12: với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập bao nhiêu: a Số lẻ gồm chữ số khác b Số chẵn gồm chữ số khác nhau: Giải Gọi số có chữ số abcd a Số cần lập số lẻ nên: Có cách chọn số d Cã c¸ch chän sè a Cã A 24 c¸ch chän sè bc VËy cã: A 24 = 144 số b Số cần lập số chẵn: Trường hợp 1: d = Số cách lập số có chữ số với d = A 35 Trường hợp d Có c¸ch chän sè d Cã c¸ch chän sè a Cã A 24 c¸ch chän bc cã 2.4 A 24 = 96 sè VËy cã A 35 + 96 = 156 số Bài 13 Có ước nguyên dương số 23.34.56.781112.1314 Giải Ước nguyên dương số 23.34.56.781112.1314 đà phân tích thừa số nguyên tố có dạng: 2a.3b.5c.7d11e.13f Với số a chọn 0, 1, 2, có cách chọn Víi sè b cã thĨ chän 0, 1, 2, 3, có cách chọn Với số c có thĨ chän 0, 1, 2, 3, 4, 5, th× cã c¸ch chän Víi sè d cã thĨ chän 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, th× cã c¸ch chän Víi sè e cã thĨ chän 0, 1, 2, 3, …., 10, 11, 12 th× cã 13 c¸ch chän Víi sè f cã thĨ chän 0, 1, 2, 3, …., 12, 13, 14 th× cã 15 c¸ch chän VËy cã 4.5.7.9.13.15 = 245700 íc sè * Bài toán đếm số có điều kiện: Bài 14 Có số có chữ số khác mà có mặt chữ số chữ số Giải Gọi số cần lập A = a1a2a3a4a5a6 Trường hợp a1 = a2a3a4a5a6 Có vị trí chọn số DeThiMau.vn vị trí lại chọn số lại có A 84 A 84 Trêng hỵp a1 9, a2 = a19a3a4a5a6 Sè cã vÞ trí vị trí lại có A 84 cách chọn A 84 Vì số vị trí a2 a3 a4 a5 a6 sau nên ta cã 5.4 A 84 sè VËy cã A 84 + 5.4 A 84 = 42000 sè Bµi 15 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập số tự nhiên có chữ số, số có mặt lần số khác có mặt lần Giải Gọi số có chữ số a1a2a3a4a5a6a7 Trường hợp a1 = Chän vÞ trÝ vÞ trí cho số C 62 vị trí lại cho số 0, 2, 3, có 4! cách C 62 4! Trường hợp a1 Chän vÞ trÝ cho sè C 36 Có vị trí cho số vị trí lại cho số lại 3! C¸ch C 36 3! VËy cã C 62 4! + C 36 3! = 720 cách Bài 16 Có thể thành lập số có chữ số, chữ số chữ số có mặt lần, chữ số 2, 3, 4, cómặt lần Giải Chọn vị trí số có C 82 cách Chọn vị trí số có C 62 cách vị trí lại chọn cho số lại 4! c¸ch VËy cã C 82 C 62 4! = 10.080 cách Bài 17 Có số tự nhiên có chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần, chữ số lại có mặt không lần Giải Gọi số cần lập B = a1a2a3a4a5a6a7 Chọn vị trí cho số có C 72 cách Chọn vị trí cho số có C 35 cách Hai vị trí lại chọn cho số lại, tính a1 có A 82 cách có C 72 C 35 A 82 c¸ch NÕu a1 = Chän vÞ trÝ cho sè cã C 62 Chọn vị trí cho sô có C 34 DeThiMau.vn Vị trí lại chọn cho số lại, có cách chọn C 62 C 34 Vậy số số cần lập là: C 72 C 35 A 82 - C 62 C 34 = 11340 sè * Bµi toán chia hết Bài 18 Từ chữ số từ đến 9, lập số tự nhiên có chữ số khác nhau, có số: a Chia hết cho b Số đứng Giải a số số chia hết cho là: A = 40320 số b Chữ số có cách chọn, vị trí lại cho số số số thoả mÃn yêu cầu A 88 = 40320 số Bài 19 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có chữ số đôi khác chia hết cho Giải Gọi số có chữ số chia hÕt cho lµ sè abc, víi a + b +c VËy {a, b, c} = {0, 4, 5}, {1, 3, 5}, {2, 3, 4} Víi tËp {0, 4, 5} cã 2.2.1 = sè Víi c¸c tập{1, 3, 5} {2, 3, 4}, tập có 3! Sè VËy cã + 2.3! = 16 sè * Bài toán đếm số hơn, Bài 20 Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số có chữ số khác nhau, có số bé 345 Giải Gọi số cần lập abc , abc < 345 nên ta có trường hợp: Trường hợp 1: a a có c¸ch chän a bc chän sè cã A 52 cã A 52 = 40 số Trường hợp a = 3, 3bc < 345 Nếu b = {1, 2,} b có cách chọn Chữ số c có cách chọn 2.4 = cách chọn Nếu b = có c¸ch chän c cã sè cã + = 10 sè VËy cã 10 + 40 = 50 số cần lập * Bài toán giải phương trình, bất phương trình: n 1! n! Bài 21 Tìm số tự nhiên n cho: 5n n n 3!4! 24n 3n ! Bµi 22 Giải phương trình sau: A 2x C xx 1 48 C1x C 2x C 3x x A 4x 24 k k2 k 1 x 4 C14 C14 2C14 23 A x 1 C x x 3 C x 6C x 6C x 9x 14x C12 C12 2 Px A x 72 A x 2Px DeThiMau.vn Bài 23 Giải bất phương trình: A 3x 5A 2x 21x Bài 24 Tìm số hạng: a dương dÃy xn = A 2n C 4n 1 C 3n 1 , 4 A 143 b ©m cđa d·y yn = n , n1 Pn 4Pn * Bài toán giải hệ phương trình: Bài 25 Giải hệ phương trình sau: 2A y 5C xy 90 a yx 5A x 2C xy 80 A 2x A 2x C 3x 10 x n4 Bài tập nhà Bài Giả phương tr×nh sau: 1 a x x x C4 C5 C6 b C xy 1 : C xy 1 : C xy 1 : : b C1x 6C xx 6C xx 3 46C xx 1 14x c C 2x C xx 2C 2x C 3x C 3x C xx 3 100 d PxAx2 + 180 = 6(Ax2 + 5Px) A n4 3A 3n Bài Tính giá trị biÓu thøc A = n 1! 2 2 BiÕt C n 1 2C n 2C n 3 C n 149 Bài Cho dÃy {xn} xác định : xn = A n4 143 , víi n Z+ Pn 4Pn Tìm số âm dÃy số (ĐH An Ninh A - 2001) III Giải đề thi Bài Từ ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, cã thể lập số chẵn, số gồm chữ số khác (ĐH An ninh A - 1997) HD: Gọi số chẵn cần lập a a a a a TH 1: NÕu a5 = cã A 64 sè TH 2: NÕu a5 cã 3.5 A 35 VËy cã A 64 + 3.5 A 35 = 1260 số Bài Cho chữ số 0, 1, 2, 3, Hỏi thành lập số có chữ số từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần (ĐH An Ninh D - 2001) Bài a Chøng minh: C kn 2C nk 1 C kn C kn (2 k n) b Hái víi 10 ch÷ sè tõ đến lập số tự nhiên có chữ số khác (ĐH Cảnh sát ND A - 1999) Bài Với ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5, ta lËp số mà số có chữ số, chữ số khác đôi Hỏi DeThiMau.vn a Hỏi có số có mặt chữ số 2? b Có số phải có nặt hai chữ số 6? (ĐH Cần thơ - D - 2000) Bài Có thẻ trắng thẻ đen, loại đánh số từ đến Có cách xếp tất thẻ thành hàng cho hai thẻ màu không nằm liền (ĐH Đà Lạt D - 2000) Bài Cho ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Hỏi lập số gồm chữ số khác nhau, thiết phải có mặt chữ số (ĐH Giao thông vận tải A - 2001) Bài Trong số 16 häc sinh cã häc sinh giái, kh¸, trung bình Hỏi có cách chia số học sinh thành tổ, tổ người cho tổ có học sinh giỏi tổ có học sinh (Häc viƯn kü tht qu©n sù – A - 2001) Bài Trong mặt phẳng cho thập giác lồi A1A2A10 Xét tất tam giác mà đỉnh đỉnh hình thập giác Hỏi số tam giác có tam giác mà cạnh cạnh thập giác (ĐH Ngoại thương A - 2001) Bài Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập tất số có chữ số khác Hỏi số số đà thiết lập có số mà chữ số không đứng cạnh (ĐH Ngoại thương CS2 TP HCM A - 2001) Bài 10 Có học sinh nam học sinh nữ xếp theo hàng dọc để vào lớp Hỏi có cách để có học sinh nam đứng xen kẽ học sinh nữ (Khi đỏi chỗ hai học sinh cho ta cách xếp mới) (ĐH Nông nghiệp I A - 2001) Bài 11 Giải bất phương trình A x 5A 2x 21x (§HQG HN – B - 1998) Bài 12 Từ chữ số 0, 1, 3, 5, lập số, số gồm chữ số khác không chia hết cho 5? (ĐHQG HN B - 2000) Bài 13 Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} a Cã bao nhiªu tập X tập A thoả mÃn điều kiện X chứa không chứa 2? b Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác lấy từ tập A không bắt đầu 123? (ĐHQG TP HCM A - 1999) Bài 14 Một thầy giáo có 12 sách đôi khác nhau, có sách văn học, sách âm nhạc sách hội hoạ Ông muốn lấy đem tỈng cho em häc sinh A, B, C, D, E, F em a Giả sử thầy giáo muốn tặng cho em học sinh sách thuộc hai thể loại văn học âm nhạc Hỏi có tất cách tặng? b Giả sử thầy giáo muốn sau tặng sách xong, loại văn học, âm nhạc, hội hoạ lại Hỏi có tất cách chọn? (ĐHQG TP HCM A - 2000) Bài 15 Cho chữ số 1, 2, 5, 7, Có cách lập số gồm ba chữ số khác từ chữ số cho: a Số tạo thành số chẵn b Số tạo thành số chữ số c Số tạo thành số nhỏ 278 DeThiMau.vn (ĐH Thái nguyên A - 1997) Bài 16 Có nhà toán học nam, nhà toán học nữ nhà vật lý nam Lập đoàn công tác gồm người cần có nam nữ, cần có nhà toán học nhà vật lý Hỏi có cách? (ĐH Y Hà Nội B - 2000) Bài 17 Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số chẵn có chữ số khác không lớn 789 (ĐH Y Hà nội B - 2001) Bài 18 Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số chẵn gồm chữ số đôi khác nhau, chữ số phải khác (ĐH Y Dược TP HCM B - 1997) Bài 19 Cho đa giác A1A2A2n nội tiếp đường tròn (O, R) Biết số tam giác có ®Ønh lµ 2n ®iĨm A1, A2, …, A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có ®Ønh lµ 2n ®iĨm A1, A2, …, A2n, tìm n? (Đề ĐH + CĐ - B - 2002) Bài 20 Cho tập A gồm n phần tử (n 4) BiÕt r»ng, sè tËp gåm phÇn tư cđa A b»ng 20 lÇn sè tËp gåm phần tử tập A Tìm k {1, 2, 3, …, n} cho sè tËp gåm k phần tử A lớn (Đề ĐH + C§ - B - 2006) DeThiMau.vn ... vận tải A - 2001) Bµi Trong sè 16 häc sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Hỏi có cách chia số học sinh thành tổ, tổ người cho tổ có học sinh giỏi tổ cã Ýt nhÊt häc sinh kh¸ (Häc viƯn kü thuật... DeThiMau.vn (ĐH Thái nguyên A - 1997) Bài 16 Có nhà toán học nam, nhà toán học nữ nhà vật lý nam Lập đoàn công tác gồm người cần có nam nữ, cần có nhà toán học nhà vật lý Hỏi có cách? (ĐH Y Hà Nội B... HCM – A - 2001) Bµi 10 Cã häc sinh nam học sinh nữ xếp theo hàng dọc để vào lớp Hỏi có cách để có học sinh nam đứng xen kẽ học sinh nữ (Khi đỏi chỗ hai học sinh cho ta cách xếp mới) (ĐH Nông