Toán học Chuyên đề 18: Giải tích tổ hợp40151

GIẢI TÍCH TỔ HP Chuyên đề 18: I.KHÁI NIỆM VỀ GIAI THỪA: 1.Định nghóa: Với n ∈ Nvà n > Tích n số tự nhiên liên tiếp từ đến n gọi n - giai thừa Ký hiệu : n! Ta có : n! = 1.2 n * Quy ước : 0! = 1! = Một số công thức: n! n! * n! = (n - 1)!.n * = (k+1)(k+2) n (n ≥ k) * = (n − k + 1)(n − k + 2) n (n − k)! k! II CAÙC QUY TẮC CƠ BẢN VỀ PHÉP ĐẾM: QUY TẮC CỘNG: Ví dụ: Có sách khác khác Hỏi có cách chọn Quy tắc cộng cho trường hợp hai đối tượng : (Áp dụng ta phân chia trường hợp để đếm) Nếu có m cách chọn đối tượng x n cách chọn đối tượng y cách chọn x không trùng với cách chọn y có (m+n) cách chọn Tổng quát: Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1 m2 cách chọn đối tượng x2 mn cách chọn đối tượng xn cách chọn đối tượng xi không trùng với cách chọn đối tượng xj (i ≠ j ; i,j=1,2, ,n) có (m1+m2+ mn) cách chọn đối tượng cho QUY TẮC NHÂN: (Áp dụng ta phân tích việc thực phép chọn thành nhiều bước liên tiếp ) Ví dụ: An muốn rủ Bình đến chơi nhà Cường Từ nhà An đến nhà Bình có đường Từ nhà Bình đến nhà Cường có đường Hỏi An có cách đến nhà Cường 141 DeThiMau.vn Quy tắc nhân: Nếu phép chọn thực qua n bước liên tiếp: bước có m1 cách chọn bước có m2 cách chọn bước n có mn cách chọn có (m1.m2 mn) cách chọn Ví dụ: Người ta ghi nhãn cho ghế giảng đường chữ số nguyên dương không vược 100 Bằng cách vậy, nhiều có ghế ghi nhãn khác III HOÁN VỊ: Ví dụ: Từ chữ số 1;2;3 lập số tự nhiên có chữ số khác 1.Định nghóa : Cho tập hợp X gồm n phần tử (n >1) Mỗi cách thứ tự n phần tử tập hợp X gọi hoán vị n phần tử • • n phần tử Hoán vị Nhóm có thứ tự Đủ mặt n phần tử X 2.Định lý : Ký số hoán vị n phần tử Pn , ta có công thức: Pn = n! Ví dụ: Một tổ có 10 học sinh Hỏi có cách tổ đứng thành hàng dọc IV.CHỈNH HP: Ví dụ: Từ chữ số 1;2;3 lập số tự nhiên có chữ số khác 1.Định nghóa: Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi gồm k ( ≤ k ≤ n) phần tử thứ tự tập hợp X gọi chỉnh hợp chập k n phần tử X n phần tử 142 DeThiMau.vn Chỉnh hợp • Nhóm có thứ tự • Gồm k phần tử lấy từ n phần tử X 2.Định lý: Ký hiệu số chỉnh hợp chập k n phần tử A kn , ta có công thức: A kn = n! (n − k)! Ví dụ: Có số có chữ số gồm toàn chữ số lẻ khác ? V TỔ HP: Ví dụ: Cho tập hợp X= {1,2,3}.Viết tất tập X gồm phần tử 1.Định nghóa: Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi tập gồm k phần tử ( ≤ k ≤ n ) X gọi tổ hợp chập k n phần tử cho • n phần tử • Tổ hợp Nhóm thứ tự Gồm k phần tử lấy từ n phần tử X Định lý : Ký hiệu số tổ hợp chập k n phần tử Ckn , ta có công thức: C kn = n! k!(n − k)! Ví dụ 1: Một lô hàng gồm 10 sản phẩm Hỏi có cách chọn sản phẩm Ví dụ 2: Trong mặt phẳng cho điểm, ba điểm thẳng hàng Hỏi có tam giác tạo thành 3.Một số công thức tổ hợp: Tổ hợp có hai tính chất quan trọng sau đây: a) C kn = C nn − k với k = 0,1, ,n b) C kn + C kn +1 = C kn ++11 với k = 0,1, ,n-1 143 DeThiMau.vn VI NHỊ THỨC NIU TƠN: n (a + b)n = C0n a n b0 + C1n a n −1b + Cn2 a n − b + + Cnn a b n = ∑ Cnk a n − k b k k =0 Ví dụ : Khai triển ( x + 2) Ví dụ : Chứng minh : C0n + C1n + C 2n + + C nn = n LƯU Ý QUAN TRỌNG: Các toán giải tích tổ hợp thường tóan hành động : lập số từ số cho ,sắp xếp số người hay đồ vật vào vị trí định , lập nhóm người hay đồ vật thỏa mãn số điều kiện cho v.v Nếu hành động gồm nhiều giai đọan cần tìm số cách chọn cho giai đọan áp dụng quy tắc nhân Những toán mà kết thay đổi ta thay đổi vị trí phần tử , toán liên quan đến hoán vị chỉnh hợp Đối với toán mà kết giữ nguyên ta thay đổi vị trí phần tử toán tổ hợp Luyện tập Bài 1: Từ chữ số 1,2,3,4,5,6 lập số có bốn chữ số a) Các chữ số không cần khác b) Các chữ số khác c) Số đầu số cuối trùng nhau, khác với số Bài 2: Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 lập a) Số có chữ số b) Số có chữ số khác c) Số chẵn có chữ số khác d) Số nhỏ 2005, khác Bài 3: Có cách xếp người ngồi vào dãy bàn có có bảy chổ ngồi Bài 4: Một lớp học có 20 nam, 10 nữ Có cách chọn người trực lớp a) Một cách tùy ý b) Có nữ c) Có nữ d) Có nhiều hai nữ Bài 5: Một lớp học có 20 nam, 10 nữ Có cách chọn ban cán gồm lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó phong trào a) Một cách tuỳ ý b) Lớp trưởng nữ c) Có nữ d) Có nữ Bài 6: Cho n điểm A1,A2, ,An thuộc đường thẳng a điểm B không thuộc đường thẳng a Nối B với A1,A2, ,An Hỏi có tam giác tạo thành? Bài 7: Trên đường tròn cho n điểm A1,A2, ,An.Hỏi lấy điểm làm đỉnh thì: 144 DeThiMau.vn a) Xác định tam giác b) Xác định tứ giác lồi BÀI TẬP RÈN LUYỆN I CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM: Bài 1:Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, thành lập số chẵn , mổi số gồm chữ số khác đôi KQ: 1260 Bài 2: Một tổ gồm nam nữ Cần lấy nhóm người có nữ Hỏi có cách chọn KQ: 840 Bài 3: Cho hai đường thẳng song song (d1) , (d2) Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt , (d2) lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có đỉnh điểm số 37 điểm chọn (d1) (d2) KQ:5950 Bài 4: Từ tập thể gồm 12 học sinh ưu tú , người ta cần cử đoàn dự trại hè quốc tế có trưởng đoàn , phó đoàn đoàn viên Hỏi có cách cử ? KQ: 15840 Bài 5: Xét dãy gồm chữ số , mổi chữ số chọn từ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 thoả mãn điều kiện sau : - Chữ số vị trí số số chẵn - Chữ số cuối không chia hết cho - Các chữ số vị trí 4,5,6 đôi khác Hỏi có cách chọn KQ:2.880.000 Bài 6: Người ta viết số có chữ số chữ số 1,2,3,4,5 sau: Trong số viết có chữ số xuất hai lần chữ số lại xuất lần Hỏi có số KQ:1800 Bài 7: Cho tập hợp A = {1,2,3,4,5,6,7,8} a) Có tập hợp X tập A thoả điều kiện chứa không chứa ? b) Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác lấy từ tập A không bắt đầu 123? KQ: a) 64 b) 3348 Bài 8: Với chữ số phân biệt 1, 2, 3, 4, 5, lập số có chữ số phân biệt số điều phải có mặt số KQ: 1630 Bài 9: Có số tự nhiên gồm chữ số khác đôi cho tất chử số khác không có mặt đồng thời chữ số 2, 4, KQ: 1800 Bài 10: Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm 10 chữ số chọn từ chữ số , chữ số có mặt lần , chữ số khác có mặt lần KQ: 544.320 Bài 11: Có viên bi xanh , viên bi đỏ , viên bi vàng có kích thứơc đôi khác 1) Có cách chọn viên bi có viên bi đỏ ? KQ:10.010 2) Có cách chọn viên bi số bi xanh số bi đỏ? KQ:4.665 Bài 12: Một hộp đựng viên bi đỏ , viên bi trắng viên bi vàng Người ta chọn viên bi từ hộp Hỏi có cách chọn để số bi lấy không đủ màu KQ:645 Bài 13: Cho chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 Từ chữ số số lập số , số gồm chữ số đôi khác số không chia hết cho 10 KQ: 1260 Bài 14:Hỏi từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập số gồm chữ số khác cho chữ số có mặt số số KQ:42000 Bài 15: Có số chẵn gồm chữ số khác đôi có chữ số số lẻ? 145 DeThiMau.vn KQ: 42000 Bài 16: Có số gồm chữ số khác đôi có chữ số lẻ chữ số chẵn ( chữ số phải khác không ) KQ:64800 Bài 17: Trong mặt phẳng cho đa giác H có 20 cạnh Xét tam giác có đỉnh lấy từ đỉnh H 1) Có tam giác vậy? Có tam giác mà có hai cạnh hai cạnh H KQ:20 2) Có tam giác có cạnh cạnh H? KQ:320 Có tam giác cạnh cạnh H? KQ:800 Bài 18: Một lớp học có 20 học sinh , có hai cán lớp Hỏi có cách cử người dự Hội nghị sinh viên trường cho người có cán lớp KQ:324 Bài 19: Có nhà toán học nam , nhà toán học nữ nhà vật lý nam Lập đoàn công tác người cần có nam nữ , cần có nhà toán học nhà vật lý Hỏi có cách KQ:90 Bài 20: Cho đa giác A1 A2 A2 n (n ≥ , n nguyên) nội tiếp (O) Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1 , A2 , , A2 n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1 , A2 , , A2 n Tìm n Bài 21: Cho tập hợp A = {1;2;3;4;5;6;7;8;9} Từ tập A lập số có sáu chữ số khác cho số chia hết cho có chữ số lẻ? Bài 22: Cho tập hợp A = {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} Từ tập A lập số có sáu chữ số khác cho có mặt hai chữ số 3? Bài 23: Cho tập hợp A = {1;2;3;4;5;6;7;8;9} Từ tập A lập số có sáu chữ số khác cho chữ số thứ ba chia hết cho chữ số cuối chẵn? Bài 24: Cho tập hợp A = {1;2;3;4;5;6;7;8;9} Từ tập A lập số có sáu chữ số khác cho số chia hết cho có chữ số lẻ? Bài 25: Cho tập hợp A = {0;1;2;3;4;5;6;7} Từ A lập số : a) Có năm chữ số khác chữ số có mặt lần b) Có sáu chữ số cho số lẻ; chữ số đứng vị trí thứ ba chia hết cho 6? Bài 26: Cho tập hợp A = {0;1;2;3;4;5;6;7; ;8;9} Từ A lập số : a) Có sáu chữ số khác cho có mặt hai chữ số b) Có bảy chữ số khác cho có mặt hai chữ số Bài 27: Một trường trung học có thầy dạy toán, thầy dạy vật lý, ba thầy dạy hóa học Chọn từ đội có thầy dự đại hội Hỏi có cách chọn để có đủ ba môn? Bài 28: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 4) Biết rằng, số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm k ∈ {1,2, , n} cho số tập gồm k phần tử A lớn Bài 29: Đội nhiên xung kích trường phổ thông có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B, học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn vậy? Bài 30: Có số tự nhiên gồm hai chữ số khác ? Tính tổng tất số Bài 31: Có số tự nhiên gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần, hai chữ số lại phân biệt II CÁC BÀI TOÁN GIẢI PT,BPT,HPT: 146 DeThiMau.vn Bài 1: Giải phương trình : Px Ax2 + 72 = 6( Ax2 + Px ) Baøi 2: Giải phương trình: C 1x + 6C x2 + 6C x3 = x − 14 x Bài 3:Giải phương trình: x C xx−−14 = A42 C x3−1 − xC xx−−14 C x4−1 − C x3−1 − Ax2− ≤ y y ⎧⎪2 Ax + 5C x = 90 ⎨ y ⎪⎩5 Ax + 2C xy = 80 Bài 4: Giải bất phương trình: Bài 5: Giải hệ phương trình: Bài 6: Giải hệ phương trình: a) ⎧⎪C xy++11 = C xy+1 ⎨ y ⎪⎩3C x +1 = 5C xy+−11 ⎧ x x ⎪⎪C y : C y + = b) ⎨ ⎪C x : A x = y ⎪⎩ y 24 ( x ≥ y) Bài 7: Tìm số nguyên dương m, n thỏa mãn: C nm++11 : C nm+1 : C nm+−11 = : : III CÁC BÀI TOÁN VỀ NHỊ THỨC NIU-TƠN: ⎛ ⎞⎟ Bài 1: Tìm hệ số số hạng chứa x khai trieån ⎜⎜ x + ⎟ x2 ⎠ ⎝ 21 43 ⎛ Bài 2: Biết tổng hệ số ba số hạng khai trieån ⎜⎜ x x + 15 28 x ⎝ không chứa x n ⎞ ⎟ 79 Tìm số hạng ⎟ ⎠ n ⎛ ⎞⎟ Bài 3: Cho khai triển ⎜⎜ x + Biết tổng hệ số ba số hạng khai triển ⎟ x ⎝ ⎠ 631 Tìm hệ số số hạng có chứa x5 n ⎛ ⎞ Bài 4: Tìm giá trị x cho khai triển ⎜ x + ⎟ ( n số nguyên dương ) có số hạng ⎜ x −1 ⎟ ⎝ ⎠ thứ thứ có tổng 135, hệ số ba số hạng cuối khai triển có tổng 22 ⎞ ⎛ Bài 5: Tìm số hạng không chứa x khai triển : P ( x) = ⎜1 + x − ⎟ x ⎠ ⎝ k k −1 k −2 k −3 k Bài 6: Chứng minh rằng: C n + 3C n + 3C n + C n = C n +3 với ≤ k ≤ n Bài 7: Chứng minh raèng : C n1 + C n2 C n3 C nk C nn n(n + 1) k n + + + + + = n −1 k −1 Cn Cn Cn Cn Bài 8: Chứng minh : n C n0 + n −1.71.C n1 + n − 2.7 2.C n2 + + n C nn = n Bài 9: Chứng minh raèng : n n −1 C n0 + ( n − 1) n − 2.3.C n1 + (n − 2) n −3.3 2.C n2 + + n −1 C nn −1 = n.5 n −1 n +1 n n +1 − 22 23 C n + C n + + Cn = n +1 n +1 2005 + 2C 2005 + 3C 2005 + + C 2005 Bài 10: Chứng minh rằng: 2C n0 + Bài 11: Tính tổng : S = C 2005 n ⎛ ⎞ Bài 12: Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển nhị thức Niutơn ⎜ + x ⎟ , biết raèng ⎝x ⎠ n 20 C n +1 + C n +1 + + C n +1 = − 147 DeThiMau.vn Baøi 13: Tính tổng S = 1.C n0 2.C n1 3.C n2 (n + 1).C nn , biết C n0 + C n1 + C n2 = 211 + + + + A11 A21 A31 An1+1 Baøi 14: Khai triển biểu thức (1 − x) n ta đa thức có dạng a + a1 x + a x + + a n x n Tìm hệ số x5, biết a + a1 + a = 71 ( Baøi 15: Tìm hệ số x 29 y khai triển x − xy ) 15 Bài 16: Tìm n ∈ N cho : C 40n + + C 41n + + C 42n + + + C 42nn+ = 256 1 Bài 17: Tìm số tự nhiên n cho : n − n = n C C5 C6 Bài 18: Chứng minh C n3 n − C n1 n −1 + + ( −1) n C nn = C n0 + C n1 + C nn 1 Baøi 19: Cho A = ( x − ) 20 + ( x − )10 Sau khai triển rút gọn biểu thức A gồm số x x hạng? Bài 20: Tìm số tự nhiên n thỏa mãn đẳng thức sau: C 20n + C 22n + + C 22nk k + + C 22nn − n − + C 22nn n = 215 ( 216 + 1) -Heát - 148 DeThiMau.vn ... H? KQ:800 Bài 18: Một lớp học có 20 học sinh , có hai cán lớp Hỏi có cách cử người dự Hội nghị sinh viên trường cho người có cán lớp KQ:324 Bài 19: Có nhà toán học nam , nhà toán học nữ nhà vật... 29: Đội nhiên xung kích trường phổ thông có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B, học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn vậy?... dụng quy tắc nhân Những toán mà kết thay đổi ta thay đổi vị trí phần tử , toán liên quan đến hoán vị chỉnh hợp Đối với toán mà kết giữ nguyên ta thay đổi vị trí phần tử toán tổ hợp Luyện tập Bài