Toán học Chuyên đề 13: Tích phân và ứng dụng34501

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÓM TẮT GIÁO KHOA Chuyên đề 13: I Bảng tính nguyên hàm bản: Bảng Hàm số f(x) a ( số)  x x ax Bảng Họ nguyên hàm F(x)+C ax + C x 1 C  1 ln x  C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C (ax  b) (ax  b) 1 C  1 a ln ax b C a ax  b ex ax C ln a ex  C eax  b sinx -cosx + C sin(ax+b) cosx Sinx + C cos(ax+b) cos2 x tgx + C cos (ax  b) cos(ax b) C a sin(ax b) C a tg(ax b) C a sin x -cotgx + C sin (ax  b) cot g(ax b) C a u' ( x ) u( x ) ln u( x )  C x  a2 xa ln C 2a x  a tgx ln cos x 2 C x a cotgx ax  b e C a ln x x a2 C ln sin x  C Phương pháp 1:  Phân tích tích phân cho thành tích phân đơn giản có công thức bảng nguyên hàm  Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số mũ, lũy thừa, đẳng thức biến đổi lượng giác công thức lượng giác Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: 2x  f ( x ) cos3 x f(x)  x 4x x 1 x 83 DeThiMau.vn Phương pháp 2: Sử dụng cách viết vi phân hóa tích phân tgx  ln x dx dx Ví dụ: Tính tích phân:  cos5 x sin xdx   cos x x I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN Định nghóa: Cho hàm số y=f(x) liên tục  a; b  Giả sử F(x) nguyên hàm hàm số f(x) thì: b b  F ( x )a  f ( x )dx  F (b) F (a) ( Công thức NewTon - Leiptnitz) a Các tính chất tích phân:  b  f ( x )dx  Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác định a : a  b a a b f ( x )dx  Tính chất 2: f ( x )dx b  Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi  a; b  thì:  cdx c(b a) a  Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục  a; b  f ( x )  b  f ( x )dx  a  g( x ) x Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) g(x) liên tục  a; b  vaø f ( x )  b b a a f ( x )dx   a;b g( x )dx Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục  a; b  vaø m f ( x ) M ( m,M hai số) m(b  a) b  f ( x )dx M (b a) a  Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) g(x) liên tục  a; b  b b a a g( x ) dx  f ( x )   f ( x )dx b g( x )dx a Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục  a; b  k số b b a a k f ( x )dx  k f ( x )dx  Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục  a; b  c số b c b a a c f ( x )dx  f ( x )dx  f ( x )dx Tính chất 10: Tích phân hàm số  a; b  cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghóa : b b b a a a f ( x )dx f (t)dt f (u)du 84 DeThiMau.vn Bài 1: Tính tích phân sau: x 1)  2) dx (2x  1) 5) 2x  0 x2 4x 4dx 6)   sin 2x dx cos x   x 0 x2 2x 1dx 7)  (sin x  cos6 x)dx  sin 2x cos 2x dx sin x  cos x  11)  2) x  1dx  6)   1 dx e  12)  sin x dx cos x  cos x dx  sin x 15)  3) x )dx  ( x  16)  4) 7) 2   sin xdx  3  cos 2xdx x  x 8)  x  x dx 0 Baøi 3: A sin x B thỏa mãn đồng thời điều kiện 1) Tìm số A,B để hàm số f(x)  f ' (1)  vaø  f(x)dx  2) Tìm giá trị số a để có đẳng thức :  [a  (4 4a)x 4x3 ]dx 12 II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : b 1) DẠNG 1:Tính I =  f[u(x)].u' (x)dx cách đặt t = u(x) a Công thức đổi biến số dạng 1: b u (b ) a u(a)  f u ( x).u ' ( x)dx   f (t )dt Cách thực hiện: Bước 1: Đặt t  u ( x)  dt  u ' ( x)dx xb t  u (b) Bước 2: Đổi cận :  xa t  u (a) Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta b u (b ) a u(a) I   f u ( x).u ' ( x)dx   f (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) 85 DeThiMau.vn x  1 2x  4dx 4sin3 x 0  cos xdx x 3x 2dx   cos x dx  sin x dx 18)  1 x  2x  dx x  2x  8) 14)  3 5) 1) 4x  11 dx x  5x 4)    13)  (cos x  sin x)dx Baøi 2: 0 2  3)  x  xdx 10)  cos4 2xdx  x dx 2x   9)  17)  2dx Tính tích phân sau:   1)  cos x sin xdx 5)  sin 2x(1  sin x)3dx 6) e  1  ln x 9)  dx x 1  cos x dx 7) cos x  sin x 0  sin x dx  ln x dx x  sin x 12) cos x  sin x   19)  sin x  cos x  sin x  16)  x  20)  dx  sin x cos x dx  cos x  tg4 x dx cos 2x sin x dx (  sin x ) dx x 3 ln e  2e ln dx 15)  21)   cos xdx  18)  (1  tg x)dx   8) cos x dx 11)  5sin x sin x 14)   ln(tgx) 17)  dx  sin x  4)  x3  x dx   e 10)  x (1  x ) dx sin 4x dx 3)   cos2 x 2)  cos xdx  13)  2 x 1 x 1 22)  (e sin x  cos x) cos xdx 23)  dx e 24)  sin x  sin x  cos x  ln x ln x dx x   sin x dx  sin x 25)  b 2) DẠNG 2: Tính I =  f(x)dx cách đặt x = (t) a Công thức đổi biến số dạng 2: b  a  I   f ( x)dx   f  (t ) ' (t )dt Cách thực hiện: Bước 1: Ñaët x   (t )  dx   ' (t )dt xb t Bước 2: Đổi cận :  xa t  Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta b  a  I   f ( x)dx   f  (t ) ' (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) Tính tích phân sau: 1)   x dx 2) 1 0  x2 dx 3)  86 DeThiMau.vn  x2 dx 1 dx x x 4)  dx dx 6)  cos x sin x x 5)  dx x x 2 x 9) 2  x 1 2 dx  13) dx   3x 17)   x2  3x dx x2 11)  1 x4 14)  dx 1 x6 15) (1  x )  8)  x  x dx dx 1 x cos x dx  cos x  10)  x2  7) x x2 1  cos x  12) dx cos x  dx dx 1 x  2x  16)  dx x x 1 dx x5 18)  II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN: Tính tích phaân sau: 1)  x x 1 5)  2) dx  x 1 dx 3x  6) x3 1 x2 3) dx  x  x dx 4) 2  x x  1dx 7)   ln dx x x2  III TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Công thức tích phân phần: b b  u ( x).v' ( x)dx  u ( x).v( x)a   v( x).u ' ( x)dx b a a b b  udv  u.v a   vdu Hay: b a a Cách thực hiện: Bước 1: Đặt u  u ( x) du  u ' ( x)dx  dv  v' ( x)dx v  v( x) b b Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng phần :  udv  u.v a   vdu b a Bước 3: Tính u.v a b a b  vdu a Tính tích phân sau: ln x 1)  dx x  2)  x cos2 xdx 87 DeThiMau.vn 3)  ex sin xdx ex  dx 4) 2  sin e 5)  x ln xdx xdx   8)  x(2 cos2 x  1)dx 7)  x sin x cos2 xdx 10)  (x  1)2 e2x dx ln x  ( x  1) e 14) dx ln(1  x) dx x2  12)  cos x.ln(1  cos x)dx 11)  (x ln x)2 dx 1 x  sin x dx cos2 x   e 13) 9) 0 e 6)   xtg xdx 15)  ( x  2)e x dx 0  16)  x ln(1  x )dx e ln x x 17)  18)  ( x  cos x) sin xdx dx 19)  (2 x  7) ln( x  1)dx 20)  ln( x  x)dx MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG a  f(x)dx  Bài 1: 1) CMR f(x) lẻ liên tục [-a;a] (a>0) : a 2) CMR f(x) chẵn liên tục [-a;a] (a>0) : a a a f(x)dx  f(x)dx Baøi 2: 1) CMR f(t) hàm số liên tục đọan [0,1] thì:  2 a) f(sin x)dx  f(cos x)dx  b) xf(sin x)dx   f(sin x)dx 20 ÁP DỤNG: Tính tích phân sau:  cosn x dx 1)  cosn x  sin n x với n  Z+  cos4 x dx 2)  cos4 x  sin x   4)  x sin xdx  5) 7)   x sin x   cos x dx 8)  x  cosx dx  sin x  x cos 3)  sin x 0 sin6 x  cos6 xdx x  sin x 6)  dx x2  1 x sin3 xdx Bài 3:CMR f(x) liên tục chẵn R  f (x) dx  f ( x )dx x 1  a  88 DeThiMau.vn với  R + a > ; a  ÁP DỤNG : Tính tích phân sau: 1) x4  x  dx 1 2)  1 1 x2 dx  2x 3)  sin x  3x  dx  IV ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: Công thức: y (C1 ) : y  f ( x) (C ) : y  g ( x)  (H ) :   1 : x  a   : x  b xa (H ) O a xb (C1 ) : y  f ( x) (C ) : y  g ( x) b x y (C ) : x  g ( y ) yb b (H ) a ya (C1 ) : x  f ( y ) (C ) : x  g ( y )  (H ) :   : y  a   : y  b x O (C1 ) : x  f ( y ) b b S    f ( x)  g ( x)dx a yC1 y C2 S    f ( y )  g ( y )dy a xC1 xC2 Tính diện tích hình phẳng sau:  x2 y   1) (H1):  y  x  y  x 4) (H4):  x  y ln x  y  x  7) (H7): y  x  e  x  y  2y x 10) (H10):  x y y  x 4x 2) (H2) :  y x  3x  y  x   3) (H3): y  x    y  x 5) (H5):  y 2 x y  x 6) (H6):  y x  y x 2x 8) (H8) :  y x 4x  x2 y  9) (H9):  y  x  (C ) : y  x  11) (d ) : y   x (Ox)  (C ) : y  e x  12) (d ) : y  () : x   89 DeThiMau.vn 3 x 2 V ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY Công thức: y xa O a y0 b y xb (C ) : y  f ( x) b b x0 yb (C ) : x  f ( y ) ya a x x O b V     f ( y ) dy V     f ( x) dx a a Bài 1: Cho miền D giới hạn hai đường : x2 + x - = ; x + y - = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn đường : y  x; y x; y Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn hai đường : y (x 2)2 y = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh: a) Trục Ox b) Truïc Oy x2; y x2 Bài 4: Cho miền D giới hạn hai đường : y  Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox x2 Bài 5: Cho miền D giới hạn đường : y  ; y x 1 Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh truïc Ox Heát - 90 DeThiMau.vn ... Sử dụng cách viết vi phân hóa tích phân tgx  ln x dx dx Ví dụ: Tính tích phân:  cos5 x sin xdx   cos x x I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN Định nghóa: Cho hàm... cận :  xa t  Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta b  a  I   f ( x)dx   f  (t ) ' (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) Tính tích phân sau: 1)   x dx 2) 1 0... II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN: Tính tích phân sau: 1)  x x 1 5)  2) dx  x 1 dx 3x  6) x3 1 x2 3) dx  x  x dx 4) 2  x x  1dx 7)   ln dx x x2  III TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG