Toán học Chuyên đề 13: Tích phân và ứng dụng39743

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÓM TẮT GIÁO KHOA Chuyên đề 13: I Bảng tính nguyên hàm bản: Bảng Hàm số f(x) a ( số) xα x ax Bảng Họ nguyên hàm F(x)+C ax + C xα +1 +C α +1 ln x + C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C (ax + b)α (ax + b)α +1 +C a α +1 ln ax + b + C a ax + b ex ax +C ln a ex + C eax + b sinx -cosx + C sin(ax+b) cosx Sinx + C cos(ax+b) cos2 x tgx + C cos (ax + b) − cos(ax + b) + C a sin(ax + b) + C a tg(ax + b) + C a sin2 x -cotgx + C sin (ax + b) − cot g(ax + b) + C a u' ( x ) u( x ) ln u( x ) + C x − a2 x−a +C ln 2a x + a tgx − ln cos x + C ln x + x + a2 + C 2 2 x +a cotgx ax + b e +C a ln sin x + C Phương pháp 1: • Phân tích tích phân cho thành tích phân đơn giản có công thức bảng nguyên hàm • Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số mũ, lũy thừa, đẳng thức biến đổi lượng giác công thức lượng giác Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: 2x − f ( x ) = cos3 x + f(x) = x − 4x + x +1 − x 83 DeThiMau.vn Phương pháp 2: Sử dụng cách viết vi phân hóa tích phân tgx + ln x Ví dụ: Tính tích phân: ∫ cos5 x sin xdx ∫ ∫ dx dx x cos x I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN Định nghóa: Cho hàm số y=f(x) liên tục [ a; b] Giả sử F(x) nguyên hàm hàm số f(x) thì: b ∫ f ( x )dx = [ F ( x )]a = F (b) − F (a) b ( Công thức NewTon - Leiptnitz) a Các tính chất tích phân: • b ∫ f ( x )dx = Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác định a : a • b a a b ∫ f ( x )dx = −∫ f ( x )dx Tính chất 2: b • Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi [ a; b] thì: ∫ cdx = c(b − a) a • Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục [ a; b] f ( x ) ≥ b ∫ f ( x )dx ≥ a • Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) g(x) liên tục [ a; b] f ( x ) ≥ g( x ) ∀x ∈ [ a;b] b ∫ a • b f ( x )dx ≥ ∫ g( x )dx a Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục [ a; b] m ≤ f ( x ) ≤ M ( m,M laø hai số) b m(b − a) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a) a • Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) g(x) liên tục [ a; b] b b b a a a ∫ [ f ( x ) ± g( x )] dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx • Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục [ a; b] k số b b a a ∫ k f ( x )dx = k.∫ f ( x )dx • Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục [ a; b] c số b c b a a c ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx • Tính chất 10: Tích phân hàm số [ a; b] cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghóa laø : b b b a a a ∫ f ( x )dx = ∫ f (t)dt = ∫ f (u)du = 84 DeThiMau.vn Bài 1: Tính tích phaân sau: x 2) 1) ∫ dx (2x + 1) 5) 2x − ∫0 x2 − 4x + 4dx 6) π x ∫0 x2 + 2x + 1dx −2 Baøi 2: 2) − 1dx ∫x 6) 2x − 4dx π π + sin 2x + cos 2x dx sin x + cos x π 11) ∫ − 3x + 2dx ∫ ∫ ( x + − x − )dx dx e + 16) 4) 7) 2π ∫ + sin xdx ∫ x2 + −3 + cos 2xdx 4sin3 x ∫0 + cos xdx cos x dx − sin x ∫ − 2dx x2 8) ∫ x − x dx 0 Bài 3: 1) Tìm số A,B để hàm số f(x) = A sin πx + B thỏa mãn đồng thời điều kiện f (1) = ' vaø ∫ f(x)dx = 2) Tìm giá trị số a để có đẳng thức : ∫ [a + (4 − 4a)x + 4x3 ]dx = 12 II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : b 1) DẠNG 1:Tính I = ∫ f[u(x)].u' (x)dx cách đặt t = u(x) a Công thức đổi biến số daïng 1: ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt b u (b ) a u(a) Cách thực hiện: Bước 1: Đặt t = u ( x) ⇒ dt = u ' ( x)dx x=b t = u (b) ⇒ Bước 2: Đổi cận : x=a t = u (a) Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) b u (b ) a u (a) 85 DeThiMau.vn x π sin 3x dx 15) ∫ cos x + 3) π 4x + 11 dx x + 5x + 12) ∫ π 0 8) −1 −3 7) ∫ (sin x + cos6 x)dx cos x dx 14) ∫ + sin x dx 18) ∫ −1 x + 2x + dx x + 2x − 17) ∫ ∫ 3 4) ∫ π π 13) ∫ (cos x − sin x)dx 5) 0 ∫x ∫ 3) ∫ x − xdx 10) ∫ cos4 2xdx π 1) x dx 2x + π + sin 2x 9) ∫ dx cos x Tính tích phân sau: π 1) ∫ cos3 x sin xdx 5) ∫ sin 2x(1 + sin x)3dx 6) e ∫ cos 0 x 7) dx e 10) ∫ x (1 − x3 )6 dx cos x + sin x ∫0 + sin x dx π ln(tgx) dx 17) ∫ π sin x 12) ∫ tg4 x dx cos2x π sin x 14) ∫ ∫ cos xdx cos x ∫0 − 5sin x + sin2 xdx 11) π 8) π π π 4) ∫ x − x dx + ln x dx x ∫ 1 + ln x ∫1 x dx 13) 3) ∫ π sin 4x dx + cos2 x 2) ∫ cos5 xdx π 9) π π cos x + sin x dx −x x −3 ln e + 2e ln sin x dx ( + sin x ) 16) ∫ dx 15) ∫ π π sin x − cos x 19) ∫ 18) ∫ (1 − tg x)dx + sin x π π 20) ∫ dx sin x + sin x + cos x 4 π π sin x cos x dx + cos x 21) ∫ x 2 22) ∫ (e sin x + cos x) cos xdx 23) ∫ 1+ x −1 e dx 24) ∫ 1 + ln x ln x dx x π − sin x dx + sin x 25) ∫ b 2) DẠNG 2: Tính I = ∫ f(x)dx cách đặt x = ϕ(t) a Công thức đổi biến số dạng 2: b β a α I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt Cách thực hiện: Bước 1: Đặt x = ϕ (t ) ⇒ dx = ϕ ' (t )dt x=b t=β ⇒ Bước 2: Đổi cận : x=a t =α Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta b β a α I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) Tính tích phân sau: 1) ∫ − x dx 2) x dx x + x2 + 5) ∫ dx 6) 1 ∫0 + x2 dx π 3) ∫ ∫0 + cos x + sin x dx 7) 2 ∫ 86 DeThiMau.vn − x2 x2 − x2 dx dx 1 dx x − x +1 4) ∫ 2 8) ∫ x − x dx ∫x 9) x −1 2 10) dx dx + + 3x 17) ∫ + 3x dx x2 11) 1− x ∫ (1 + x ) cos x dx + cos x ∫ 13) ∫ π 1+ x4 14) ∫ dx 1+ x6 15) π x x2 −1 + cos x ∫ 12) dx cos x ∫ dx dx −1 x + 2x + 16) ∫ dx x x −1 dx x−5 18) ∫ II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN: Tính tích phân sau: 1) ∫x 5) ∫ x2 + 2) dx ∫ x +1 dx 3x + 6) x3 1+ x2 3) dx ∫ x + x dx 4) 2 ∫ x x + 1dx 7) ln ∫ ∫ dx x x2 + III TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Công thức tích phân phần: ∫ u ( x).v' ( x)dx = [u ( x).v( x)]a − ∫ v( x).u ' ( x)dx b b a b a ∫ udv = [u.v ]a − ∫ vdu b Hay: b b a a Cách thực hiện: Bước 1: Đặt u = u ( x) du = u ' ( x)dx ⇒ dv = v' ( x)dx v = v( x) Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng phaàn : ∫ udv = [u.v ]a − ∫ vdu b b b a Bước 3: Tính [u.v ]a b a b ∫ vdu a Tính tích phân sau: ln x 1) ∫ dx x 4) π2 ∫ sin xdx π 2) ∫ x cos2 xdx e 5) ∫ x ln xdx 87 DeThiMau.vn 3) ∫ e x sin xdx 6) π x + sin x dx cos2 x ∫ ex + dx π π 8) ∫ x(2 cos x − 1)dx 7) ∫ x sin x cos xdx 0 13) ln x ∫ ( x + 1) e 12) ∫ cos x.ln(1 + cos x)dx 14) dx ln(1 + x) dx x2 ∫ π 11) ∫ (x ln x)2 dx 10) ∫ (x + 1)2 e2x dx e e 9) ∫ xtg xdx 15) ∫ ( x − 2)e x dx 0 π ln x e 16) ∫ x ln(1 + x )dx 17) ∫ x 19) ∫ (2 x + 7) ln( x + 1)dx 18) ∫ ( x + cos x) sin xdx dx 20) ∫ ln( x − x)dx MOÄT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG a ∫ f(x)dx = Bài 1: 1) CMR f(x) lẻ liên tục [-a;a] (a>0) : −a 2) CMR f(x) chẵn liên tục [-a;a] (a>0) : a a −a ∫ f(x)dx = 2∫ f(x)dx Bài 2: 1) CMR f(t) hàm số liên tục đọan [0,1] thì: π π π a) ∫ f(sin x)dx = ∫ f(cos x)dx π π b) ∫ xf(sin x)dx = ∫ f(sin x)dx 20 ÁP DỤNG: Tính tích phân sau: 1) π cos x ∫0 cosn x + sin n xdx n với n ∈ Z+ 2) π cos x ∫0 cos4 x + sin xdx 3) π π 4) ∫ x sin xdx ∫π 5) 7) π − x sin x ∫ − cos x dx 8) π x + cosx dx − sin x 6) ∫ x cos π sin x ∫0 sin6 x + cos6 xdx x + sin x ∫ x + dx −1 x sin3 xdx Bài 3:CMR f(x) liên tục chẵn R α α f (x) ∫−α a x + dx = ∫0 f ( x )dx với α ∈ R + a > ; a ≠ ÁP DỤNG : Tính tích phân sau: x4 1) ∫ x dx +1 −1 2) ∫ −1 − x2 dx + 2x 3) 88 DeThiMau.vn π sin x ∫ 3x + dx −π IV ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: Công thức: y ⎧(C1 ) : y = f ( x ) ⎪( C ) : y = g ( x ) ⎪ (H ) : ⎨ ⎪Δ : x = a ⎪⎩Δ : x = b x=b (C1 ) : y = f ( x) x=a (H ) y (C2 ) : x = g ( y) y =b b (C2 ) : y = g ( x) (H ) y=a a O a ⎧( C ) : x = f ( y ) ⎪( C ) : x = g ( y ) ⎪ (H ) : ⎨ ⎪Δ : y = a ⎪⎩Δ : y = b x x b O (C1 ) : x = f ( y) S = ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx a yC1 y C2 S = ∫ [ f ( y ) − g ( y )]dy a xC2 xC1 b b Tính diện tích hình phẳng sau: ⎧ x2 = − y ⎪ ⎪ 1) (H1): ⎨ ⎪y = x ⎪⎩ 4) 7) ⎧⎪ y = x (H4): ⎨ ⎪⎩ x = − y ln x ⎧ ⎪y = x ⎪⎪ (H7): ⎨y = ⎪x = e ⎪ ⎪⎩x = ⎧y − 2y + x = 10) (H10): ⎨ ⎩x + y = 2 ⎪⎧y = x − 4x + 2) (H2) : ⎨ ⎪⎩y = x + ⎧⎪ y = x 5) (H5): ⎨ ⎪⎩ y = − x −3x − ⎧ ⎪y = x − ⎪ 3) (H3): ⎨y = ⎪x = ⎪ ⎩ ⎧y + x − = 6) (H6): ⎨ ⎩x + y − = ⎧⎪y = x − 2x 8) (H8) : ⎨ ⎪⎩y = −x + 4x 3 ⎧ ⎪y = x + x − 2 9) (H9): ⎨ ⎪y = x ⎩ ⎧(C ) : y = x ⎪ 11) ⎨(d ) : y = − x ⎪(Ox) ⎩ ⎧(C ) : y = e x ⎪ 12) ⎨(d ) : y = ⎪(Δ ) : x = ⎩ V ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY Công thức: 89 DeThiMau.vn O y=0 a y x=b (C ) : y = f ( x) y x=a y=a a x x b O 2 V = π ∫ [ f ( y )] dy V = π ∫ [ f ( x)] dx b y =b (C ) : x = f ( y) b x=0 b a a Bài 1: Cho miền D giới hạn hai đường : x2 + x - = ; x + y - = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn đường : y = x; y = − x; y = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn hai đường : y = (x − 2)2 y = Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh: a) Truïc Ox b) Truïc Oy Bài 4: Cho miền D giới hạn hai đường : y = − x ; y = x + Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox x2 Bài 5: Cho miền D giới hạn đường : y = ; y = x +1 Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox Heát - 90 DeThiMau.vn ... Sử dụng cách viết vi phân hóa tích phân tgx + ln x Ví dụ: Tính tích phân: ∫ cos5 x sin xdx ∫ ∫ dx dx x cos x I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN Định nghóa: Cho hàm... cận : x=a t =α Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t ta b β a α I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới) Tính tích phân sau: 1) ∫ − x dx 2) x dx... ∫ II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN: Tính tích phân sau: 1) ∫x 5) ∫ x2 + 2) dx ∫ x +1 dx 3x + 6) x3 1+ x2 3) dx ∫ x + x dx 4) 2 ∫ x x + 1dx 7) ln ∫ ∫ dx x x2 + III TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG