Phương pháp quy nạp toán học – Chuyên đề Giải tích 11

Phương pháp chứng minh dựa trên nguyên lý quy nạp toán học gọi là phương pháp quy nạp toán học( hay gọi tắt là phương pháp quy nạp)... Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số [r]

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC TÓM TẮT GIÁO KHOA

Nguyên lý quy nạp toán học:

Giả sử P n  mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n Nếu hai điều kiện  i

 ii thỏa mãn P n  với nm (m số tự nhiên cho trước)

   i P m

 ii Với số tự nhiên k m, P k 1  

Phương pháp chứng minh dựa nguyên lý quy nạp toán học gọi phương pháp quy nạp toán học( hay gọi tắt phương pháp quy nạp)

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN PHƯƠNG PHÁP

Để chứng minh mệnh đề P n  phụ thuộc vào số tự nhiên n với nm (m

là số tự nhiên cho trước), ta thực theo hai bước sau: Bước 1: Chứng minh P n  nm

Bước 2: Với k số tự nhiên tùy ý, km Giả sử P n đúng nk, ta chứng

minh P n cũng nk 1 Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận  

P n với số tự nhiên nm

CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên n, ta có: a) 1.4 2.7   n 3n 1  n n 1  2

b)

  

 

  

n n

1 1

1.2.3 2.3.4 n n n n n



    

LỜI GIẢI a) 1.4 2.7   n 3n 1  n n 1  2 (1)

Với n = 1: Vế trái (1) 1.44; Vế phải (1) 1(1 1) 4 Suy Vế trái (1) = Vế

phải (1) Vậy (1) với n =

Giả sử (1) với nk Có nghĩa ta có: 1.4 2.7   k 3k 1  k k 2    2

Ta phải chứng minh (1) với nk 1 Có nghĩa ta phải chứng minh:

       2

1.4 2.7   k 3k 1  k 3k 4   k k 2 

Thật  

 

       

2

2

k k

1.4 2.7 k 3k k 3k k k k 3k

 

            



k k 2   2(đpcm)

Vậy (1) nk 1 Do theo ngun lí quy nạp, (1) với số nguyên

dương n b)

  

 

  

n n

1 1

1.2.3 2.3.4 n n n n n



    

   

(1)

Với n = 1: Vế trái (1) 1

1.2.3

  ; Vế phải (1) 1(1 3) 4(1 1)(1 2)



 

 

Suy Vế trái (1) = Vế phải (1) Vậy (1) với n = Giả sử (1) với nk Có nghĩa ta có:

  

      

k k

1 1

1.2.3 2.3.4 k k k k k



    

   

Ta phải chứng minh (1) với nk 1 Có nghĩa ta phải chứng minh:

      

  

     k k

1 1

1.2.3 2.3.4 k k k k k k k k

 

     

Thật

    

  

   

k k k k

1 1

1.2.3 2.3.4 k k k k k k

 

 

    

    



 

           

k k 1 1 4

k k

k

4 k k k k k k k

  

      



        

   

   

   

  

  

2

3 k 1 k 4 k k 4

k 6k 9k

4 k k k k k k k k

   

  

  

        (đpcm)

Vậy (1) nk 1 Do theo ngun lí quy nạp, (1) với số nguyên

dương n

Ví dụ 2: Với số nguyên dương n, gọi n n

u 9 1 Chứng minh với số

ngun dương n unln chia hết cho

LỜI GIẢI Ta có

1

u 9  1 chia hết cho (đúng)

Giả sử k

k

u 9 1chia hết cho

Ta cần chứng minh k k

u  9  1 chia hết cho

Thật vậy, ta có k k  k 

k k

u  9   1 9.9  1 9 1  8 9u 8 Vì 9uk chia hết cho 8, nên uk 1 chia hết cho

Vậy với số nguyên dương n un chia hết cho

Ví dụ 3: Chứng minh với số tự nhiên n 2 , ta ln có: 2n 1 2n 3

  (*)

LỜI GIẢI Với n 2 ta có 22 1 2.2 3 8 7

Ta phải chứng minh (*) với nk 1 , có nghĩa ta phải chứng minh:

k

2  2(k 1) 3 

Thật vậy, nhân hai vế (1) với ta được: 2.2k 1 2 2k 3  2k 2 4k 6 2(k 1) 3

        Vậy

k

2  2(k 1) 3  (đúng)

Do theo ngun lí quy nạp, (*) với số nguyên dương n3

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1: Chứng minh với số nguyên dương n, ta có:

1)    

2

2 2 n 4n

1 2n

3

       

2) 22 42 62  2n 2n n 2n 1  

 

     

3)  

2

3 3 n n

1 n

4

      

4) 1.2 2.3 3.4 n(n 1) n(n 1)(n 2)

        

5) 1.2 2.5 3.8    n 3n 1  n n 12  

6) 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n n n 2   n n n n 3   

  

       

7)     

2

2 n n 3n

1.2 2.3 3.4 n n , n

12

 

       

8) 1 1 1 12 n 1, n

4 16 n 2n

        

     

               

9) 1 1 n

2 n

10) 1 1n 2nn1

2 2

      

11) nn 2n 3n

3 27 3 4.3

       

LỜI GIẢI

1)      

2

2 2 n 4n

1 2n 1

3

       

Với n = 1: Vế trái (1) = 1, vế phải (1) 4.1 1 



  Vậy (1) với n =

Giả sử (1) với nk Có nghĩa ta có:      

2

2 2 k 4k

1 2k

3

       

Ta phải chứng minh (1) với nk 1 Có nghĩa ta phải chứng minh:

           

2

2

2 2 k k 1 2k k 2k

1 2k 2k

3

 

     

 

 

         

Thật        

2

2 2

2 2 k 4k

1 2k 2k 2k

3



           (thế (2) vào)

  

        

2

2 2k 2k 5k

k 2k 2k 2k k 2k

2k

3 3

  

    

     (đpcm)

Vậy (1) nk 1 Do theo nguyên lí quy nạp, (1) với số nguyên

dương n

 Chú ý : ax2bx c a x x  1x x 2 với x , x1 2 nghiệm phương trình ax2bx c 0 Áp dụng : ta thấy

2k 5k 3 0 có nghiệm k 1; k

    Do

    

2

2k 5k k k k 2k

2

 

          

2) 22 42 62  2n 2n n 2n 1   1 

3

 

Với n = 1: Vế trái (1) = 4, vế phải (1) 4 Suy (1) với n =

Giả sử (1) với nk Có nghĩa ta có: 22 42 62  2k 2k k 2k 1   2 

 

     

Ta phải chứng minh (1) với nk 1 Có nghĩa ta phải chứng minh:

 2  2    

2 2 k k 2k

2 2k 2k

3

  

       

Thật vậy: 22 42 62  2k 2k 22 2k k 2k 1   2k 22

3

 

          (thay (2) vào)

      

2 k 2k 7k 2 k k 2k 3

3

     

 (đpcm)

Vậy (1) nk 1 Do theo ngun lí quy nạp, (1) với số nguyên

dương n

3)    

2

3 3 n n

1 n

4

      

Với n = 1: Vế trái (1) = 1, vế phải (1) 1 Suy (1) với n =

Giả sử (1) với nk.Có nghĩa ta có:     2

3 3 k k

1 k

4

      

Ta phải chứng minh (1) với nk 1 Có nghĩa ta phải chứng minh:

     

2

3

3 3 k k

1 k k

4

 

       

Thật vậy:      

2

3

3 3 k k

1 k k k

4



         

k 12k2 4k 4   2 2

k k

4

    

 (đpcm)

Vậy (1) nk 1 Do theo ngun lí quy nạp, (1) với số nguyên

4) 1.2 2.3 3.4 n(n 1) n(n 1)(n 2)

 

       (1)

Với n = 1: Vế trái (1) = 2, vế phải (1) 2 Suy (1) với n =

Giả sử (1) với nk.Có nghĩa ta có: 1.2 2.3 3.4 k(k 1) k(k 1)(k 2) 2 

        

Ta phải chứng minh (1) với nk 1 Có nghĩa ta phải chứng minh:      k k k 3  

1.2 2.3 3.4 k k k k

3

  

         

Thật vậy: 1.2 2.3 3.4 k k 1  k k 2  k(k 1)(k 2) k k 2 

3

 

            

k k k 3  

3

  

 (đpcm)

Vậy (1) nk 1 Do theo nguyên lí quy nạp, (1) với số nguyên

dương n

5) 1.2 2.5 3.8    n 3n 1  n n 12   (1)

Với n = 1: Vế trái (1) = 2, vế phải (1) 2 Suy (1) với n = Giả sử (1) với nk Có nghĩa ta có: 1.2 2.5 3.8    k 3k 1  k2k 2   

Ta phải chứng minh (1) với nk 1 Có nghĩa ta phải chứng minh:

       2 

1.2 2.5 3.8    k 3k 1  k 3k 2   k 1 k 2

Thật vậy: 1.2 2.5 3.8    k 3k 1    k 3k 2   k k 12    k 3k 2    k k  23k 2 k k k 2       k 1  2 k 2  (đpcm)

Vậy (1) nk 1 Do theo ngun lí quy nạp, (1) với số nguyên

dương n

6) 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n n n 2   n n n n 3   

  

Với n = 1: Vế trái (1) = 6, vế phải (1) 6 Suy (1) với n = Giả sử (1) với nk Có nghĩa ta có:

   k k k k 3     

1.2.3 2.3.4 3.4.5 k k k 2

4

  

       

Ta phải chứng minh (1) với nk 1 Có nghĩa ta phải chứng minh:

       k k k k 4   

1.2.3 2.3.4 3.4.5 k k k k k k

4

   

            Thật vậy:

      

1.2.3 2.3.4 3.4.5    k k k 2   k k k 3   

   

        

k k k k k k k k

k k k

4

      

     (đpcm)

Vậy (1) nk 1 Do theo ngun lí quy nạp, (1) với số nguyên

dương n

7)     

2

2 n n 3n

1.2 2.3 3.4 n n , n

12

 

        (1)

Với n = 2: Vế trái (1) = 4, vế phải (1) 4 Suy (1) với n = Giả sử (1) với nk Có nghĩa ta có:

    

2

2 k k 3k

1.2 2.3 3.4 k k

12

 

      

Ta phải chứng minh (1) với nk 1 Có nghĩa ta phải chứng minh:

           

2

2 k k 1 k

1.2 2.3 3.4 k k k k

12

    

        

       

2

2 k k 2k 3k

1.2 2.3 3.4 k k k k

12

  

         

Thật vậy: 1.222.333.44  k k  2k k 1  2     

2

2

k k 3k

k k 12

 

  

      

k k 3k 11k 10 k k k 3k 5

12 12

     

Vậy (1) nk 1 Do theo ngun lí quy nạp, (1) với số nguyên

dương n 2

8) 1 1 1 12 n 1, n

4 16 n 2n

        

     

       

        (1)

Với n = 2: Vế trái (1) 1

4

   , vế phải (1)

2.2



  Suy (1) với n =

Giả sử (1) với nk Có nghĩa ta có:

2

1 1 k

1 1

4 16 k 2k

        

    

               

Ta phải chứng minh (1) với nk 1 Có nghĩa ta phải chứng minh:

2

1 1 1 k

1 1 1

4 16 k (k 1) 2(k 1)

 

        

      

        

 

        

Thật ta có: 1 1 1 12 1 2 k 1 2

4 16 k (k 1) 2k (k 1)

   

        

         

           

 

           

 

2 k k

k k

2k (k 1) 2(k 1)



 

 



 (đpcm)

Vậy (1) nk 1 Do theo ngun lí quy nạp, (1) với số nguyên

dương n 2

9) 1 1 n 1 

2 n

      

Với n = 1: Vế trái (1) 1, vế phải (1) 2 12 Suy (1) với n =

Giả sử (1) với nk Có nghĩa ta có: 1 1 k 2 

2 k

      

Ta phải chứng minh (1) với nk 1 Có nghĩa ta phải chứng minh:

1 1 1

1 k

2 k k

Thật vậy: 1 1 1 k k

2 k k k

          

  (đúng)

Vì k k k k 1  k 1 

k

       



   2

2

2 k k 2k k k 2k

        (đúng)

Vậy (1) nk 1 Do theo ngun lí quy nạp, (1) với số nguyên

dương n

10) 1 1n 2nn1

2 2

       (1)

Với n = 1: Vế trái (1)

2

 , vế phải (1) 1

2



  Suy (1) với n =

Giả sử (1) với nk Có nghĩa ta có:

k

k k

1 1

2 2 2

       (2)

Ta phải chứng minh (1) với nk 1 Có nghĩa ta phải chứng minh:

k

k k k

1 1 1

2 2



 

       

Thật vậy: 1 1k k 11 2kk1 k 11

2 2  2 

        

 k  k 1 k 1

k k k k k

2 1 2 2 1 2 1

2.2 2 2

 

   

  

     (đpcm)

Vậy (1) nk 1 Do theo nguyên lí quy nạp, (1) với số nguyên

dương n

11) nn 2n 3n 1 

3 27 4.3

       

Với n = 1: Vế trái (1)

3

 , vế phải (1) 2.1

4 4.3



   Suy (1) với n =

Giả sử (1) với nk Có nghĩa ta có:  

k k

1 k 2k

3 27 4.3

Ta phải chứng minh (1) với nk 1 Có nghĩa ta phải chứng minh:

k k k

1 k k 2(k 1)

3 27 3 3  4.3 

  

       

Thật vậy: kk k 1k 1 2k 3k k 1k 1

3 27 3  4.3 

  

        

k k k k k

3 3(2k 3) k 3(2k 3) 4(k 1) 2k 2(k 1)

4 4.3  3  4.3  4.3  4.3 

       

         (đúng)

Vậy (1) nk 1 Do theo ngun lí quy nạp, (1) với số nguyên

dương n

Câu 2: Chứng minh  n * ta có:

1) n311n chia hết cho

2) n33n25n chia hết cho

3) n3n chia hết cho

4) 2n33n2n chia hết cho

5) 13n1 chia hết cho

6) 4n15n 1 chia hết cho

7) 4n6n 8 chia hết cho

8) 2n 2n

7.2  3  chia hết cho

9) 2n n

3  2  chia hết cho

10) 11n 1 122n 1

 chia hết cho 133

11) Chứng minh  n * 16n15n 1 chia hết cho 225

12) Chứng minh  n  4.32n 2 32n 36 chia hết cho 32

13) 33n 3 26n 27 169, n *

    

1) n311n chia hết cho

Với n 1 ta có 1311.1 12 chia hết cho

Giả sử với nk k311k chia hết cho

Ta phải chứng minh với nk 1 k 1 311 k 1   chia hết cho

Thật ta có k 1 311 k 1  k33k23k 11k 11 (k    311k) 3k(k 1) 12 *    

Ta có k311k chia hết cho theo bước 2, 3k(k 1)

 chia hết cho 12 hiển nhiên chia hết

cho Từ suy  * chia hết cho (đpcm) 2)

n 3n 5n chia hết cho

Đặt

n

u n 3n 5n

Ta có

1

u 1 3.1 5.1 9 chia hết cho

Giả sử

k

u k 3k 5k chia hết cho

Ta cần chứng minh uk 1 k 1 33 k 1  25 k 1   chia hết cho

Thật vậy, ta có 2  

k k

u  k 3k 3k 3k  6k 5k 5   u 3 k 3k 3 Vì uk  

3 k 3k 3 chia hết cho 3, nên uk 1 chia hết cho Vậy với số nguyên dương n un chia hết cho

3) n3n chia hết cho

Đặt

n

u n n

Ta có

u 1  1 chia hết cho (đúng)

Giả sử

k

u k k chia hết cho

Thật vậy, ta có 2

k k

u  k 3k 3k k 1   u 3(k k) Vì uk 3(k2k) chia hết cho

3, nên uk 1 chia hết cho

Vậy với số nguyên dương n un chia hết cho 4)

2n 3n n chia hết cho

Đặt

n

u 2n 3n n

Ta có

1

u 2.1 3.1  1 chia hết cho (đúng)

Giả sử

k

u 2k 3k k chia hết cho

Ta cần chứng minh uk 1 2 k 1  33 k 1  2k 1 chia hết cho

Thật vậy, khai triển rút gọn ta 2

k k

u  2k 3k k 6k u 6k Vì uk 6k

chia hết cho 6, nên uk 1 chia hết cho

Vậy với số nguyên dương n un chia hết cho 5) 13n1 chia hết cho

Đặt n

n

u 13 1

Với n 1 , ta có 1

u 13  1 12 chia hết cho (đúng)

Giả sử k

k

u 13 1 chia hết cho

Ta cần chứng minh k k

u  13  1 chia hết cho

Thật ta có k  k 

k k

u  13.13  1 13 13 1 12 12u 12 Vì 12ukvà 12 chia hết cho 6, nên uk 1 chia hết cho

Vậy với số nguyên dương n un chia hết cho 6) 4n15n 1 chia hết cho

Đặt n

n

Với n 1 , ta có 1

u 4 15.1 18  chia hết cho (đúng)

Giả sử k

k

u 4 15k 1 chia hết cho

Ta cần chứng minh k k

u  4  15(k 1) 1  chia hết cho

Thật ta có k  k   

k k

u  4.4 15k 14 4 15k 1 45k 18 4.u 9 5k

Vì 4.uk 5k   chia hết cho 9, nên uk 1 chia hết cho Vậy với số nguyên dương n un chia hết cho

7) 4n6n 8 chia hết cho

Đặt n

n

u 4 6n 8

Với n 1 , ta có 1

u 4 6.1 8 18 chia hết cho (đúng)

Giả sử k

k

u 4 6k 8 chia hết cho

Ta cần chứng minh k k

u  4  6(k 1) 8  chia hết cho

Thật ta có k  k   

k k

u  4.4 6k 14 4 6k 8 18k 18 4u 18 k

Vì 4.uk 18 k   chia hết cho 9, nên uk 1 chia hết cho Vậy với số nguyên dương n un chia hết cho

8) 7.22n 2 32n 1 chia hết cho

Đặt 2n 2n

n

u 7.2  3 

Với n 1 , ta có u17.22.1 2 32.1 1 10 chia hết cho (đúng)

Giả sử 2k 2k k

u 7.2  3  chia hết cho

Ta cần chứng minh 2k 2k k

u  7.2 3  chia hết cho

Thật ta có  2k 2k 1 2k 2k 2k

k k

Vì 4.uk 5.32k 1

chia hết cho 5, nên uk 1 chia hết cho Vậy với số nguyên dương n un chia hết cho

9) 32n 1 2n 2 chia hết cho

Đặt 2n n n

u 3  2 

Với n 1 , ta có 2.1 1

u 3  2  35 chia hết cho (đúng)

Giả sử 2k k k

u 3  2  chia hết cho

Ta cần chứng minh 2k k k

u  3  2  chia hết cho

Thật ta có 2k k 2 2k k  2k k 2 k k

k k

u  3   2   3  2.2  9  2  7.2  9u 7.2 

Vì 9.uk k

7.2  chia hết cho 7, nên uk 1 chia hết cho Vậy với số nguyên dương n un chia hết cho

10) 11n 1 122n 1 chia hết cho 133

Đặt n 2n

n

u 11  12 

Với n 1 , ta có 1 2.1 1

u 11 12  133 chia hết cho 133 (đúng)

Giả sử k 2k k

u 11  12  chia hết cho 133

Ta cần chứng minh k 1 2k k

u  11   12   chia hết cho 133

Thật ta có k 2k  k 2k 1 2k 2k

k k

u  11.11  12 12  11 11  12  133.12  11.u 133.12 

Vì 11.uk 2k

133.12  chia hết cho 133, nên uk 1 chia hết cho 133 Vậy với số nguyên dương n un chia hết cho 133

11) Chứng minh  n * 16n15n 1 chia hết cho 225

Đặt n

n

Với n 1 , ta có 1

u 16 15.1 0  chia hết cho 225 (đúng)

Giả sử k

k

u 16 15k 1 chia hết cho 225

Ta cần chứng minh k k

u  16  15(k 1) 1  chia hết cho 225

Thật ta có k k  k 

k k

u  16  15(k 1) 16.16   15k 16 16 16  15k 1 225k 16u 225k

Vì 16uk 225kđều chia hết cho 225, nên uk 1 chia hết cho 225 Vậy với số nguyên dương n un chia hết cho 225

12) Chứng minh  n  4.32n 2 32n 36 chia hết cho 32

Đặt 2n

n

u 4.3  32n 36

Với n 1 , ta có u14.32 2 32 36 320 chia hết cho 32 (đúng)

Giả sử 2k k

u 4.3  32k 36 chia hết cho 32

Ta cần chứng minh 2(k 1) k

u  4.3   32(k 1) 36  chia hết cho 32

Thật ta có 2k  2k 

k k

u  9.4.3  32k 4 9 4.3  32k 36 32(8k 32) 9u  32(8k 32)

Vì 9uk 32(8k 32) chia hết cho 32, nên uk 1 chia hết cho 32 Vậy với số nguyên dương n un chia hết cho 32

13) 33n 3 26n 27 169, n *

    

Đặt 3n n

u 3  26n 27

Với n 1 , ta có 3

u 3  26 27 676 chia hết cho 169 (đúng)

Giả sử 3k k

u 3  26k 27 chia hết cho 169

Ta cần chứng minh 3(k 1) k

u  3   26(k 1) 27  chia hết cho 169

Thật ta có 3k  3k 

k

 

k

27u 169 4k

  

Vì 27uk 169 4k 4  đều chia hết cho 169, nên uk 1 chia hết cho 169 Vậy với số nguyên dương n un chia hết cho 169

Câu : Chứng minh  n *, ta có:

1) 3n 1 n n (*) n  4, n

    

2) 1 13 * , n  2, n

n 1 n 2   n n 24   

3) nn n 1 n 1 *  n *

4)  n! n *n   n *

5) 3nn24n (*), n  3

6) 2n 2n (*) n  3, n

7) 2n n , n 5, n2   

LỜI GIẢI

1) 3n 1 n n (*) n    4, n

Với n 4 , VT34 1 27, VP4.624, (*) với n 4

Giả sử ta có 3k 1 k k 2 

  Ta cần chứng minh 3k 1  k k 3 

  

Thật vậy, 3k 1  3.3k 1 3k k 2   Ta lại có 3k k 2    k k 3   2k22k 0  , bất đẳng

thức với k4 Suy 3k 1  k k 3    (đúng)

2) 1 13 * , n  2, n n 1 n 2   n n 24   

đặt un 1 1

n n n (n 1) n n

     

    

Với n 2 ta có u2 1 13

2 2 12 24

   

  (đúng)

Giả sử với nk (*) đúng, có nghĩa ta có: 1 13 k 1 k 2   k k  24

Ta phải chứng minh (*) với nk 1 , có nghĩa ta phải chứng minh:

1 1 13

k 2 k 3   k k (k 1) (k 1)    24

Thật ta có: 1 1 1 1

k k k k 2k (k 1) (k 1) k k k k

 

           

           

1 1 1 1

0

2k (k 1) (k 1) k 2k 2(k 1) k 2k 2k

        

          (đúng)

Vậy uk 1 uk 13 24

   (đúng) Vậy (*) với nk 1

Suy (*) với số nguyên dương n 2

3) nn n 1 n 1 *  n *

Với n 1 ta có 111 1 01 1 (đúng) Vậy (*) với n 1

Giả sử với nk (*) đúng, có nghĩa ta có: kk k 1 k 1 (1)

Ta phải chứng minh (*) với nk 1 , có nghĩa ta phải chứng minh: k 1 k 1 k 2 k

Thật vậy, nhân hai vế (1) với k 1 k 1 ta được: kkk 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1

           

k

2k

k 2k k k

k

k k

k 2k

k

k k k k k

k k

     

     

k k

2

k k 2k k 1 k

k k k k

k k

       

           

   

 

(đúng)

Vậy (*) với nk 1 Do (*) với  n *

4)  n! n *n   n *

Với n 1 ta có 111 1 01 1 (đúng) Vậy (*) với n 1

Giả sử với nk (*) đúng, có nghĩa ta có:  k!2 kk (1)

Ta phải chứng minh (*) với nk 1 , có nghĩa ta phải chứng minh: (k 1)!2 (k 1)k 1

  

Thật vậy, nhân hai vế (1) với k 1 2 ta được:   k! k 1 2 kkk 1 2 (k 1)!2 kkk 12 (k 1)!2 (k 1)k 1 k 12

         (theo câu c))

(k 1)!2 (k 1)k 1

    Vậy (*) với nk 1

Vậy (*) với số nguyên dương n*

5) 3nn24n (*), n  3

Với n 1 ta có 33 324.3 5 2726 (đúng) Vậy (*) với n 1

Giả sử với nk, k3 (*) đúng, có nghĩa ta có: 3k k24k 5 (1)

Ta phải chứng minh (*) với nk 1 , có nghĩa ta phải chứng minh:

k

3  (k 1) 4(k 1) 5 

Thật vậy, nhân hai vế (1) với ta được: 3.3k 3.k212k 15

k 2

3  (k 2k 1) 4(k 1) (2k     6k 5)

Vì (2k26k 5) 0 k 3 Vậy 3k 1 (k 1)2 4(k 1) 5

     (đúng)

6) 2n 2n (*) n  3, n

Với n3 ta có 23 2.3 1 87 (đúng) Vậy (*) với n3

Giả sử với nk, k3 (*) đúng, có nghĩa ta có: 2k 2k 1 (1)

Ta phải chứng minh (*) với nk 1 , có nghĩa ta phải chứng minh: 2k 1 2k 3

Thật vậy, nhân hai vế (1) với ta được: 2.2k2(2k 1) 2k 1 4k 2 k

2  2k

   (đúng), 4k 2 2k 3 2k1 k 3

7) 2n n , n 5, n2   

Với n5 ta có 25 52 3225 (đúng) Vậy (*) với n5

Giả sử với nk, k5 (*) đúng, có nghĩa ta có: 2kk2 (1)

Ta phải chứng minh (*) với nk 1 , có nghĩa ta phải chứng minh: 2k 1 (k 1)

Thật vậy, nhân hai vế (1) với ta được: 2.2k2k2 2k 1 2k2 2k 1 k2k2

 2

k

2  k

   (đúng), k2 2k 1  k

Vậy (*) với số nguyên dương n5

Câu 4: Chứng minh n5 n4 n3 n

5   30 số nguyên với n*

LỜI GIẢI Đặt un n5 n4 n3 n

5 30

   

Với n = u1 15 14 13 1 u1

5 30

      số nguyên (đúng)

Giả sử với nk, k*thì

5

k

k k k k

u

5 30

Ta cần chứng minh với nk 1

5

k

(k 1) (k 1) (k 1) (k 1)

u

5 30



   

    số

nguyên Thật : uk 1 k5 k4 10 k3 10 k2 k



    



4 3

k k k k k k k k

2 30

       

  

5 4 3 2

k

k k k k k 10 k 10 k k k k k k k

u

5 30



     

       

 

k k

u  u  k 4k 6k 4k 1 Vì uklà số nguyên k44k36k24k 1  số nguyên nên k

u  số ngun Kết luận theo ngun lí quy nạp un số nguyên

Câu 5: Cho xR \ 0  x x

 số nguyên Chứng minh: n n

1 x

x

 số nguyên với

nN *

LỜI GIẢI

Đặt n

n n

1

u x

x

 

Ta có: x x

 số nguyên

2

2

1

x x

x x

      

  số nguyên

Giả sử: k

k k

1

u x

x

  số nguyên với kN *

Ta phải chứng minh k

k k

1

u x

x



    số nguyên

Thật ta có k k k

k k k

1 1

x x x x

x

x x x

k k k

k k k

1 1

x x x x

x

x x x

 

 

     

          

      Vì

k k

1 x

x

 



 

 và

1 x

x

    

  số nguyên nên

k k

1

x x

x x

   

 

   

    số nguyên, hiển nhiên

k k

1 x

x

 

 



 

  số nguyên

Từ suy k

k k

1

u x

x



    số nguyên

Theo nguyên lý quy nạp suy n n

1 x

x