Một đài phát thanh vệ tinh đang đưa ra một chiến dịch quảng cáo tích cực để tăng số lượng người nghe hàng ngày.. Trong đó t là số lượng của ngày kể từ khi bắt đầu chiến dịch.[r]
(1)TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG
(2)ĐỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM
Định nghĩa: Cho hàm f(x) liên tục (a,b) Ta nói F(x) nguyên hàm f(x) (a,b) nếu:
Ví dụ 1.
( ) ( ), ( ),
F Â x = f x " x ẻ a b
( )
( )
laø một nguyên hàm của trên
là một nguyên hàm của a trên R.
2
t a n 1 t a n
\ 2 1
(3)TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Tích phân bất định hàm f(x) ký hiệu:
Được xác định sau:
F(x) nguyên hàm f(x) C: số tùy ý
( )
f x dx
ò
( ) ( )
f x dx = F x + C
(4)TÍNH CHẤT
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
)
) . )
i f x dx f x
ii k f x dx k f x dx
iii f x g x dx f x dx g x dx
¢
é ù =
ê ú
ë û
=
é + ù = +
ê ú
ë û
ò
ò ị
(5)CƠNG THỨC NGUN HÀM CƠ BẢN
1
3
5 x x
k dx x dx
dx dx
x x
a dx e dx
a
b
a
= =
= =
= =
ò ò
ò ò
(6)VÍ DỤ 2.
Tính tích phân sau
( ) ( )
2
2 1
. . 3
1
3 1
.
x x
x
a dx b e e dx
(7)VÍ DỤ 3.
Tính tích phân sau
( )
3
. cos 2 . 2 1
. 1 .
a x x dx b x dx c x x dx
+ +
+
ò ò
(8)VÍ DỤ 4.
Tính tích phân sau
2 2 0 2 2 2
) 4 )
1
) )
1 1
x
a x dx b dx
x
dx dx
c d
x x x
-+
+
-ò ò
(9)VÍ DỤ 5.
Tính tích phân sau
( )
) ln ) 2 1 sin
) cos ) a r ct a n
a x xdx b x xdx c x xdx d x xdx
+
ò ò
(10)TÍCH PHÂN HÀM MŨ
Cơng thức:
Ví dụ Tính tích phân sau:
( ) ( ) ( )
1
x x
ax b ax b
u u
i e dx e C
ii e dx e C
a
iii e du e C
+ + = + = + = + ò ò ò 4
) 3 ) 4
) ) D a
x x
I
x T x
a A e dx b B e x dx
c C xe- dx d e- dx
= =
= =
ị ị
(11)VÍ DỤ 7.
Tìm phương trình đường cong y=y(x) biết qua điểm (1;0) và:
Đáp án:
3
x
dy
e dx
+
=
( 2)
2 x
(12)VÍ DỤ 8.
1 Tìm phương trình đường cong y=y(x) qua điểm (2;5) có hệ số góc dy/dx=2x điểm
(13)VÍ DỤ 9.
Một đài phát vệ tinh đưa chiến dịch quảng cáo tích cực để tăng số lượng người nghe hàng ngày
Hiện đài phát có 27.000 người nghe ngày nhà quản lý mong muốn số lượng người nghe, S(t), tăng lên với tốc độ tăng trưởng là: S’(t)=60t1/2 người ngày. Trong t số lượng ngày kể từ bắt đầu chiến dịch
(14)VÍ DỤ 10.
Bộ phận nghiên cứu thị trường chuỗi siêu thị xác định rằng, cửa hàng, giá biên tế p’(x) ứng với nhu cầu x tuýp kem đánh tuần cho bởi:
Hãy tìm phương trình đường cầu biết giá 4,35$/tuýp nhu cầu hàng tuần 50 tuýp
Hãy xác định nhu cầu giá tuýp 3,89$ Đáp số:
( ) 0,01
' 0, 015 x
p x = - e
-( ) 0,01
1, 5 x 3, 44
(15)PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Tăng trưởng giới hạn
(16)PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Khái niệm
Nghiệm PTVP hàm số???
2 0,01
2
6 4 ' 400
" ' 5 2
x
dy
x x y e
dx
dy dy
ky y xy x xy
dx dx
-= - =
(17)PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài tốn lãi kép liên tục
Gọi P số tiền đầu tư ban đầu
A số tiền có sau thời gian t
Giả sử tốc độ tăng trưởng số tiền A thời điểm t bất kỳ tỷ lệ thuận với số tiền khoảng thời gian đó.
Ta có mơ hình:
R: số phù hợp
( )
. 0 , 0
dA
r A A P A P
(18)PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Ta có mơ hình:
Mặt khác:
Ta có cơng thức tính lãi kép liên tục với lãi suất r và t thời gian đầu tư.
( )
1 1
. 1
ln rt . C
dA dA dA
r A r dt rdt
dt A dt A dt
dA rt A rt C A t e e
A
= Û = Û =
Û = Û = + Û =
ò ò
ò
( ) ( )
0 r . C . rt
(19)LUẬT TĂNG TRƯỞNG THEO HÀM MŨ
Định lý Nếu = (0) = 0 = 0
Trong đó:
Q0: khối lượng t=0
r>0: tốc độ tăng trưởng tương đối t: thời gian
Q: khối lượng thời điểm t
(20)PHÂN RÃ PHÓNG XẠ
Năm 1946, Willard Libby (người sau nhận giải Nobel Hóa học) nhận thấy động vật cịn sống, chất phóng xạ cacbon-14 giữ mức khơng đổi mơ
Tuy nhiên, thực vật động vật chết, carbon-14 giảm phân rã phóng xạ với tỷ lệ tương ứng với lượng có Tốc độ phân rã 0,0001238
Ví dụ 11 Một mảnh xương người tìm thấy địa điểm khảo cổ Châu Phi Nếu 10% lượng chất phóng xạ cacbon-14 ban đầu có mặt, ước lượng tuổi