Toán học Chuyên đề Thể tích34694

http://laisac.page.tl  Chuyên    T  TH  H  T  TÍ  ÍC  CH  L u Tu n Hi p  GVTHPT Lai Vung 2 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – KHỐI LĂNG TRỤ Phần I Trong trường phổ thông , Hình học Khôn g gian toán khó học sinh, học sinh phải đọc thật kỹ đề từ xác định giả thuyết toán , vẽ hình tiến hành giải toán C hai ch ng trình chu n nâng cao đ u đ c p đ n thể tích khối đa diện ( thể tích khối chóp , khối lăn g trụ) Thông thường toán hình chóp phân thành dạng sau: Cho hình chóp Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy S C  A  B  Đa giác đáy : − Tam giác vuông − Tam giác cân DeThiMau.vn − Tam giác − Hình vuông, chữ nhật Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay ToánĞįİ  Hình chóp S  A  C  O B  - Hình chóp tam giác - Hình chóp tứ giác Thông thường toán hình lăng trụ: C1  A1  C1  A1  V = B.h B1  B1  B: dieän tích đáy h : đường cao A  C  A  C  G B  H  B  Lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 Lăng trụ xiên ABC.A1B1C1 A1A ⊥ (ABC) A1G ⊥ (ABC) HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN  A Các Tính Ch t :  a. Tam giác : −  Di n tích c a tam giác  A  1  2  *  S DABC  =  AB AC.sin µ  A h  1  2  *  S DABC  = BC  AH B  C  H  −  Các tam giác đ c bi t :  o  Tam giác vng :  Tài liệu lưu hành nội Hiệp 1  DeThiMau.vn Lưu Tuấn  Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay ToánĞįİ  +  nh lý pitago: BC = AB + AC 2  + T  s  l ng giác trong tam giác vuông  A  b  c  C  a  B  b Đối = Huyền a µ = Kề = c cos B Huyền a µ = Đối = b tan B Kề c  µ= sin B + Di n tích tam giác vng:  1  S DABC  = AB. AC 2  o  Tam giác cân:  A  B  H  o  Tam giác đ u  +  ng  cao  AH  c ng  là  đ n  + Tính đ ng cao và di n tích  µ  AH =  BH tan B 1  S DABC  = BC. AH 2  C  A +  ng cao c a tam giác đ u h = AM = AB  Tài liệu lưu hành nội C  3 )  2  3  + Di n tích :  S DABC  = ( AB ) 2 .  4  (đ G  B  ng  trung  ng cao h = c nh  x M 3  DeThiMau.vn Lưu Tuấn Hiệp  Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay ToánĞįİ  b. T  giác −  Hình vng  A  + Di n tích hình vng :  B  S ABCD  = ( AB) 2  ( Di n tích b ng c nh bình ph +  O  ng)  ng chéo hình vng AC = BD = AB  (đ D  C  ng chéo hình vng b ng c nh x 2 )  + OA = OB = OC = OD −  Hình ch  nh t  + Di n tích hình vng :  A  B  S ABCD  =  AB. AD ( Di n tích b ng dài nhân r ng)  O  +  D  C  B Th  Tích Kh i Chóp:  + Th  tích kh i chóp S  V = B.h  h  C  A  ng chéo hình ch a nh t b ng nhau và  OA = OB = OC = OD  H  Trong đó : B là di n tích đa giác đáy  h : là đ ng cao c a hình chóp  B  Các kh i chóp đ c bi t : −  Kh i t  di n đ u:  + T t c  các c nh đ u b ng nhau  A  + T t c  các m t đ u là các tam giác đ u  D  B O  +  O là tr ng tâm c a tam giác đáy  Và  AO ⊥  (BCD)  M  S C  −  Kh i chóp t  giác đ u  + T t c  các c nh bên b ng nhau  +  a giác đáy là hình vng tâm O  A  + SO ⊥  (ABCD)  O  D  Tài liệu lưu hành nội B  C  4  DeThiMau.vn Lưu Tuấn Hiệp  Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay ToánĞįİ  C Góc:  Cách xác đ nh góc −  Góc gi a đ ng th ng d và m t ph ng (P):  o  Tìm hình chi u d /  c a d lên m t ph ng (P)  o  Khi đó góc gi a d và (P) là góc gi a d và d /  Ví d  1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vng, SA vng góc v i (ABCD) và  góc gi a SC v i (ABCD) b ng 45 0 . Hãy xác đ nh góc đó.  S  Gi i  Ta có : AC = hc( ABCD ) SC · = 45o ⇒ (· SC ,( ABCD )) = (· SC , AC ) = SCA A  B  O  D  45  C  −  Góc gi a hai m t ph ng (P) và (Q) :  o  Xác đ nh giao tuy n d c a (P) và (Q)  o  Tìm trong (P) đ ng th ng a ⊥  (d) , trong m t ph ng (Q) đ o  Khi đó góc gi a (P) và (Q) là góc gi a hai đ ng th ng b ⊥  (d)  ng th ng a và b  Ví d  2: Cho hình chóp t  giác đ u S.ABCD có ABCD là hình vng, và góc gi a m t bên  v i m t đáy b ng 60 0 . Hãy xác đ nh góc đó.  S  A  B  60  ( ABCD )  M  O  Gi i  G i M là trung đi m BC  Ta có : (SBC) ∩ (ABCD) = BC (ABCD) ⊃ AM ⊥ BC  (SBC) ⊃ SM ⊥  BC  ( vì  AM = hc SM ) ·  = 60 o  · ⇒ (( SBC ), ( ABCD )) = (· SM , AM ) = SMA C Tài liệu lưu hành nội 5  DeThiMau.vn Lưu Tuấn Hiệp  Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay ToánĞįİ  Bài Toán 1.1:  Cho  hình  chóp  S.ABC  có  tam  giác  ABC  vng  t i  B,  AB  =  a  ,  AC  =  a  ,  c nh  bên  SA  vng  góc  v i  m t  ph ng  đáy  và  SB  =  a  3 .Tính  th   tích  kh i  chóp  S.ABC  Gi i  §  Giáo viên phân tích cho h c sinh hi u đ  bài và h ng d n h c sinh v  hình: −  V  tam giác đáy, v  đ ng cao SA ⊥  (ABC) và v  th ng đ ng −  S  d ng đ nh lý pitago trong tam giác vng  §  L i gi i:  Ta có : AB = a  2 ,  S  AC = a  3  SB =  a  3 .  * D  ABC vuông t i B nên  BC = AC − AB 2  = a C  A  ⇒  SDABC  = a 2  2  1 BA.BC = a 2. a =  2 2  * D  SAB vng t i A có  SA = SB − AB 2  = a * Th  tích kh i chóp S.ABC  B  a 3  2  1 a2 VS  ABC = S ABC .SA =  a = 3 6  Bài Toán 1.2:  Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng  cân t i B, AC = a  , c nh bên  SA vng góc v i m t ph ng đáy và SB =  a  3 .Tính th  tích kh i chóp S.ABC  Gi i  §  Giáo viên phân tích cho h c sinh hi u đ  bài và h ng d n h c sinh v  hình: −  V  tam giác đáy, v  đ ng cao SA ⊥  (ABC) và v  th ng đ ng −  Tam  giác  ABC  vuông  ,  cân  t i  B  nên  BA  =  BC  và  s   d ng  đ nh  lý  pitago  trong tam giác vng  §  L i gi i:  Ta có : AC = a  2 ,  S SB =  a  3 .  * D  ABC vuông, cân t i B nên  AC 2  =a 2  a 2  1  ⇒  SDABC  = BA.BC = a. a =  2 2  BA = BC = C  A  B  * D  SAB vng t i A có  SA = SB − AB 2  = a * Th  tích kh i chóp S.ABC  a 3  1  a VS  ABC = S ABC .SA =  a = 3 6  Tài liệu lưu hành nội 6  DeThiMau.vn Lưu Tuấn Hiệp Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay ToánĞįİ  Bài Toán 1.3:  Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đ u c nh 2a, c nh bên SA vng góc v i  m t ph ng đáy và SB =  a  5 .Tính th  tích kh i chóp S.ABC  Gi i  §  Giáo viên phân tích cho h c sinh hi u đ  bài và h ng d n h c sinh v  hình: −  V  tam giác đáy, v  đ ng cao SA ⊥  (ABC) và v  th ng đ ng −  Tam giác ABC  đ u có ba góc b ng 60 0  và s  d ng đ nh lý pitago trong tam  giác vng SAB  §  L i gi i:  * D  ABC đ u c nh 2a nên  AB = AC = BC = 2a S  ⇒  SDABC  = C  A  1 3  2  BA.BC.sin 600 = 2a.2 a = a 3  2 2  * D  SAB vng t i A có  SA = SB − AB 2  = a * Th  tích kh i chóp S.ABC  a 3  3  1 VS  ABC = S ABC .SA = a 2  3. a = 3 3  B  Bài Toán 1.4:  ·  Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân t i A, BC = 2a  ,  B AC = 120 0 ,c nh  bên SA vng góc v i m t ph ng đáy và SA =2a.Tính th  tích kh i chóp S.ABC  Gi i  §  Giáo viên phân tích cho h c sinh hi u đ  bài và h ng d n h c sinh v  hình: −  V  tam giác đáy, v  đ ng cao SA ⊥  (ABC) và v  th ng đ ng −  Tam giác ABC cân t i A và Â = 120 0  §  L i gi i:  ·  * D  ABC cân t i A,  B AC = 120 0 , BC = 2a  3  AB = AC = BC = 2a  S  Xét D  AMB vng t i M có BM = a  , Â = 60 0 C  A M  B  BM a  3  = =a 0  tan 60  3  1  ⇒  SDABC  = AM BC = a.2a = a 2  3  2  ⇒  AM =  * SA = a  * Th  tích kh i chóp S.ABC  1 a 3  3  VS  ABC = S ABC .SA = a 2  3. a = 3 3  Tài liệu lưu hành nội 7  DeThiMau.vn Lưu Tuấn Hiệp Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay ToánĞįİ  Bài Toán 1.5:  Cho  hình  chóp  S.ABCD  có  đáy  ABCD  là  hình  vng  c nh  a  ,  c nh  bên  SA  vng góc v i m t ph ng đáy và SC =  a  5 .Tính th  tích kh i chóp S.ABCD  Gi i  §  Giáo viên phân tích cho h c sinh hi u đ  bài và h ng d n h c sinh v  hình: −  V   đáy  là  hình  vng  (  v   nh   hình  bình  hành),  cao  SA ⊥  (ABCD)  và  v   th ng đ ng −  ABCD là hình vng ;  s  d ng đ nh lý pitago trong tam giác vng  §  L i gi i:  Ta có : ABCD là hình vng c nh a  2  S  SC =  a  5 .  * Di n tích ABCD ( ⇒ SABCD  = a A  D  B  )  = 2 a 2  2  * Ta có : AC = AB.  2 =  a 2 = 2 a D  SAC vuông t i A ⇒  SA = SC − AC 2  = a * Th  tích kh i chóp S.ABCD  C  1 2 a 3  VS  ABCD = S ABCD .SA = 2a 2 . a = 3 3  Bài Toán 1.6:  Cho  hình  chóp  S.ABCD  có  đáy  ABCD  là  hình  vng,  c nh  bên  SA  vng  góc  v i m t ph ng đáy và SA = AC = a  Tính th  tích kh i chóp S.ABCD  Gi i  §  Giáo viên phân tích cho h c sinh hi u đ  bài và h ng d n h c sinh v  hình: −  V   đáy  là  hình  vng  (  v   nh   hình  bình  hành),  cao  SA ⊥  (ABCD)  và  v   th ng đ ng −  Bi t AC và suy ra c nh c a hình vng ( ng chéo hình vng b ng c nh  nhân v i  2 )  §  L i gi i:  S Ta có : SA = AC = a  2  * ABCD là hình vng  AC = AB.  ⇒  AB = Di n tích ABCD :  S ABCD  = a 2  A  B  AC  2  = a * SA = a  2  * Th  tích kh i chóp S.ABCD  D  Tài liệu lưu hành nội C  1 a 3  2  VS  ABCD = S ABCD .SA = a 2 .a 2  = 3 3  8  DeThiMau.vn Lưu Tuấn Hiệp Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay ToánĞįİ  Bài Toán 1.7:  Cho  hình  chóp  tam  giác  đ u  S.ABC  có  c nh  đáy  b ng  a  ,  c nh  bên  b ng  2a.Tính th  tích kh i chóp S.ABC  Gi i  §  Giáo viên phân tích cho h c sinh hi u đ  bài và h ng d n h c sinh v  hình: −  Hình chóp tam giác đ u có đáy là tam giác đ u tâm O  + G i M là trung đi m BC  + O là tr ng tâm c a tam ABC  + AM là đ ng cao trong D  ABC −  ng cao c a hình chóp là SO ( SO ⊥  (ABC))  §  L i gi i:  * S.ABC là hình chóp tam giác đ u  G i M là trung đi m BC D  ABC đ u c nh  a  3 , tâm O  SO ⊥  (ABC)  SA=SB=SC = 2a  S  A  * D  ABC đ u c nh  a 3  C  O M  B  3 a  = 2  2 3 a  ⇒  AO= AM =   = a 3 2  1 3a 2  3  ⇒  SDABC  = AB AC.sin 600  = a 3.a 3.  =  2 4  ⇒  AM =  a 3.  * D  SAO vng t i A có  SO = SA2 − AO 2  = a 3  * Th  tích kh i chóp S.ABC  a 3  3  1 3a VS  ABC = S ABC .SA =  a = 3 4  §  Nh n xét: h c sinh th ng làm sai bài tốn trên −  H c sinh v  “sai” hình chóp tam giác đ u vì  + khơng xác đ nh đ c v  trí đi m O  + khơng hi u tính ch t c a hình chóp đ u là SO ⊥  (ABC)  + khơng tính đ c AM và khơng tính đ c AO −  Tính tốn sai k t qu  th  tích  Tài liệu lưu hành nội 9  DeThiMau.vn Lưu Tuấn Hiệp Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay ToánĞįİ  Bài Toán 1.8:  Cho  hình  chóp  t  giác  đ u  S.ABCD  có  c nh  đáy  b ng  2a,  c nh  bên  b ng  a  3  Tính th  tích kh i chóp S.ABCD  Gi i  §  Giáo viên phân tích cho h c sinh hi u đ  bài và h ng d n h c sinh v  hình: −  Hình chóp t  giác đ u có  + đa giác đáy là hình vng ABCD tâm O  + SO ⊥  (ABCD)  + t t c  các c nh bên b ng nhau −  ng cao c a hình chóp là SO ( SO ⊥  (ABCD))  §  L i gi i:  S * S.ABCD là hình chóp t  giác đ u  ABCD là hình vng c nh 2a , tâm O  SO ⊥  (ABCD)  SA=SB=SC =SD =  a  3  * Di n tích hình vng ABCD ⇒  AC = 2a.  A  B  O  D  C  AC a  2  = = a 2  2  2  ⇒ SABCD  = ( 2a )  = 4 a 2  ⇒  AO= * D  SAO vuông t i O có  SO = SA2 − AO 2  = a * Th  tích kh i chóp S.ABCD  1 4 a 3  VS  ABCD = S ABCD .SA = 4a 2 . a = 3 3  §  Nh n xét: h c sinh th ng làm sai bài tốn trên −  H c sinh v  “sai” hình chóp t  giác đ u  + khơng xác đ nh đ c tính ch t đa giác đáy là hình vng  + khơng SO ⊥  (ABCD) mà l i v  SA D  (ABCD)  + khơng tính đ c AC và khơng tính đ c AO −  Tính tốn sai k t qu  th  tích  Tài liệu lưu hành nội 10  DeThiMau.vn Lưu Tuấn Hiệp Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay ToánĞįİ  Bài Toán 1.9:  Tính th  tích c a kh i t  di n đ u c nh a  Gi i  §  Giáo viên phân tích cho h c sinh hi u đ  bài và h ng d n h c sinh v  hình: −  T  di n đ u ABCD có các tính ch t  + t t c  các c nh đ u b ng nhau  + t t c  các m t là các tam giác đ u  + g i O là tr ng tâm c a tam giác đáy −  ng cao c a hình chóp là AO ( AO ⊥  (BCD))  §  L i gi i:  * ABCD là t  di n đ u c nh a  G i M là trung đi m CD  Ta có : AB=AC=AD = AC=CD=BD = a D  BCD đ u c nh a, tâm O ⇒  AO ⊥  (BCD)  A  D  B  O  * D  BCD đ u c nh a a 2  ⇒  BM =  M  2 a a  3  ⇒  BO= BM =   =  3 2  a  3  ⇒  S DBCD  =  C  * D  AOB vuông t i O có 2  a 3 a  6  AO = AB − BO = ( a )  −   =    2  2  * Th  tích kh i chóp S.ABC  1 a a a 3  2  VABCD = S BCD  AO =   =  3 12 Bài Toán 1.10:  Cho  l ng  tr   đ ng  ABC.A / B / C /  có  đáy  ABC  là  tam  giác  vng  t i  B,  AB=a,  AC=a , c nh A / B = 2a. Tính th  tích kh i l ng tr   Gi i  * Tam giác ABC vuông t i B C /  A /  ⇒  BC = B /  ⇒ S ABC = 2a  AC − AB = a a2 AB.BC =  2 * Tam giác A / AB vuông t i A a  3  A  a  B Tài liệu lưu hành noäi boä C  ⇒ A / A = A / B − AB = a * VABC A B C = S ABC A / A = / / 11  / DeThiMau.vn a3 Lưu Tuấn Hiệp Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay ToánĞįİ  D ng THỂ TÍCH KHỐI CHÓP- KH I L NG TR LIÊN QUAN ĐẾN GÓC Trong chương trình Toán phổ thôn g , Hình học Khôn g gian phân phối học cuối năm lớp 11 đầu năm lớp 12, kiến thức góc ( góc đường thẳng mặt phẳng ; góc hai mặt phẳng) học vào cuối năm lớp 11 đến đầu năm lớp 12 vận dùng vào toán tính thể tích khối chóp , kh i l ng tr Đó vấn đề khó học sinh lớp 12 vận dụng đa số học sinh quên cách vận dụng, từ đa số học sinh bỏ làm sai toán tính thể tích khối chóp , kh i l ng tr kỳ thi học kỳ, thi Tốt nghiệp THPT Ở đây, hệ thống lại số sai lầm mà học sinh thường gặp giải toán tính thể tích liên quan đến giả thuyết góc Góc Góc đường thẳng mặt phẳng Góc hai mặt phẳng S  S C  A  A  C  O B  M  B  Xác định Góc SB (ABC) Ta có :  AB = hc SB  Xác định góc (SBC) (ABC) Ta có : (SBC) ∩ (ABC) = BC SM ⊥ BC AM ⊥ BC ( ABC )  ·  ⇒ (· SB, ( ABC )) = (· SB , AB ) = SBA ⇒ · ·  (( SBC ), ( ABC )) = (· SM , AM ) = SMA Chú ý : Xác định hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng vuông góc với giao tuyến điểm Tài liệu lưu hành nội 12  DeThiMau.vn Lưu Tuấn Hiệp Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay ToánĞįİ  Bài Toán 2.1:  Cho  hình  chóp  S.ABC  có  tam  giác  ABC  vng  t i B,  AB  = a,  ·  ACB = 60 0 ,  c nh  bên SA vng góc v i m t ph ng đáy và SB  t o v i m t đáy m t góc b ng 45 0  Tính  th  tích kh i chóp S.ABC  Gi i  §  Giáo viên phân tích cho h c sinh hi u đ  bài và h ng d n h c sinh v  hình: −  V  tam giác đáy, v  đ ng cao SA ⊥  (ABC) và v  th ng đ ng −  Xác  đ nh  góc  gi a  SB  và  (ABC)  là  góc  gi a  SB  v i  hình  chi u  c a  nó  lên  (ABC)  §  L i gi i:  * Ta có : AB = a ,  AB = hc SB  ( ABC )  S  · = 45 o  ⇒ (· SB, ( ABC )) = (· SB , AB ) = SBA * D  ABC vuông t i B có AB = a,  ·  ACB = 60 0  AB a a  3  = = ⇒  BC = 0  tan 60 3  3  A  60  45  B  1 a a 2  3  BA BC = =  a.  C  2 6  0  µ  * D  SAB vng t i A có AB= a,  B = 45  ⇒  SA = AB.tan 45 o  = a ⇒  SDABC  = * Th  tích kh i chóp S.ABC  VS  ABC Bài Toán 2.2:  1 a2 a 3  3   a = = S ABC .SA = 3 18  Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng c nh a, c nh bên SA  vng góc v i m t ph ng đáy và SC t o v i m t đáy m t góc b ng 60 0  Tính th  tích  kh i chóp S.ABCD  Gi i  §  Giáo viên phân tích cho h c sinh hi u đ  bài và h ng d n h c sinh v  hình: −  V  tam giác đáy, v  đ ng cao SA ⊥  (ABC) và v  th ng đ ng −  Xác đ nh góc gi a SC và (ABCD) là góc gi a SC v i hình chi u AC c a SC  lên (ABCD)  §  L i gi i:  * Ta có : ABCD là hình vng c nh a ,  S AC = hc SC  ( ABCD )  ·  = 60 o  ⇒ (· SC , ( ABCD )) = (· SC , AC ) = SCA * Di n tích hình vng ⇒  S ABCD  = a 2  µ  = 60 0  * D  SAC vng t i A có AC=  a  2  ,  C A  B  * Th  tích kh i chóp S.ABCD  60  D  C  Tài liệu lưu hành nội ⇒  SA = AC tan 60o  = a 6  1 a 3  6  VS  ABCD = S ABCD .SA = a 2 .a 6  = 3 3  13  DeThiMau.vn Lưu Tuấn Hiệp Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay ToánĞįİ  Bài Toán 2.3:  Cho hình chóp S.ABC có  tam giác ABC vng t i B, AB =  a  3  , BC = a, c nh  bên SA vng góc v i m t ph ng đáy ; m t bên (SBC) t o v i m t đáy (ABC) m t góc  b ng 60 0  Tính th  tích kh i chóp S.ABC  §  Sai l m c a h c sinh: −  G i M là trung đi m BC −  Ta có AM ⊥  BC  SM ⊥  BC Gi i  ·  = 60 o  · ⇒ (( SBC ),( ABC )) = (· SM , AM ) = SMA S  C  60  A  M  B  (Hình v  sai)  §  L i gi i đúng:  * Ta có : AB =  a  3  , (SBC) ∩ (ABC) = BC AB ⊥ BC ( D ABC vng t i B)  SB ⊥  BC ( vì  AB = hc SB  S  ( ABC )  ·  = 60 o  · ⇒ (( SBC ), ( ABC )) = (· SB , AB ) = SBA A C  60  B  * D  ABC vng t i B có AB =  a  3  ,BC =a ⇒  SDABC  = 1 a 2  3  BA.BC = a 3. a =  2 2  µ  = 60 0  * D  SAB vng t i A có AB= a,  B ⇒  SA = AB tan 60o  = 3 a * Th  tích kh i chóp S.ABC  §  Nh n xét: 1 a2 a 3  3  3 a = VS  ABC = S ABC .SA = 3 2  −  H c sinh không lý lu n đ  ch  ra góc nào b ng 60 o  , do đó m t 0.25 đi m −  H c sinh xác đ nh góc gi a hai m t ph ng b  sai vì đa s  h c sinh khơng n m rõ  cách xác đ nh góc và c  hi u là góc SMA v i M là trung đi m BC  o  N u đáy là tam giác vng t i B (ho c C), hình vng và SA vng góc v i  đáy thì góc gi a m t bên và m t đáy s  là góc đ c xác đ nh t i m t trong hai  v  trí đ u mút c a c nh giao tuy n  o  N u  đáy  là  m t  tam  giác  cân  (đ u)  và  SA  vng  góc  v i  đáy  ho c  là  hình  chóp đ u  thì  góc  gi a m t bên  và m t đáy  là  góc   t i  v  trí trung đi m  c a  c nh giao tuy n.  Tài liệu lưu hành nội 14  DeThiMau.vn Lưu Tuấn Hiệp Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay ToánĞįİ  Bài Toán 2.4:  Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân t i A, c nh BC =  a  2  , c nh bên SA vng góc v i m t ph ng đáy ; m t bên (SBC) t o v i m t đáy (ABC)  m t góc b ng 45 0  Tính th  tích kh i chóp S.ABC  Gi i  §  Sai l m c a h c sinh: · ·  = 45 o  ⇒ (( SBC ), ( ABC )) = SBA §  L i gi i đúng:  * Ta có : AB =  a  3  , (SBC) ∩ (ABC) = BC G i M là trung đi m BC AM ⊥ BC ( D ABC cân t i A)  SM ⊥  BC ( vì  AM = hc SM  S  ( ABC )  · ·  = 45 o  SBC ),( ABC )) = (· SM , AM ) = SMA ⇒ (( C  45  A M  B  * D  ABC vng cân t i A có ,BC =  a 2  a 2  1  a 2  ⇒  SDABC  = AB AC = a. a =  2 2  ⇒  AB = BC = a và AM =  a  ¶  ,  M = 45 0  2  a  2  ⇒  SA = AB tan 45 o  =  2  * D  SAM vng t i A có AM=  * Th  tích kh i chóp S.ABC  1 a a a 3  2  VS  ABC = S ABC .SA =   = 3 2 12  Tài liệu lưu hành nội 15  DeThiMau.vn Lưu Tuấn Hiệp Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay ToánĞįİ  Bài Toán 2.5:  Cho  l ng  tr   đ ng  ABC.A / B / C /  có  đáy  ABC  là  tam  giác  vuông  t i  B,  AB=a, BC =  a  2  , m t bên (A / BC) h p v i m t đáy (ABC) m t góc 30 0  Tính th  tích  kh i l ng tr   Gi i  * Ta có A / A ⊥  (ABC) C /  A /  B /  ( A/ BC ) ∩ ( ABC ) = BC AB ⊥  BC  2a  Mà AB = hc ( ABC ) A / B nên A / B ⊥  BC ( A  30 0  a  B  ) · · ⇒ ( A / BC ),( ABC ) = A / BA = 30 C  * Tam giác ABC vuông t i B a  2  ⇒ S ABC = a2 AB.BC =  2 * Tam giác A / AB vuông t i A ⇒ A / A = AB.tan 30 =  * VABC A B C = SABC A / A = / / / a 3 a3 6 Bài Toán 2.6:  Cho  l ng tr   ABC.A / B / C /  có đáy ABC là tam giác đ u c nh 2a 3  , hình  chi u vng góc c a A /  lên m t ph ng (ABC) trùng v i tr ng tâm c a tam giác ABC,  c nh A / A h p v i m t đáy (ABC) m t góc 30 0 . Tính th  tích kh i l ng tr   A /  C /  B /  Gi i  * G i M là trung đi m BC  G là tr ng tâm c a tam giác ABC  Ta có A / G ⊥  (ABC)  GA = hc( ABC ) A / A 30 0  A  2a  3  · A A,( ABC ) ) = A AG = 30 (· / ⇒ C  G M  B  ( / ) * Tam giác ABC đ u c nh 2a ⇒ S ABC = a µ = 300 , AG = * Tam giác A / AG vng t i G có  A ⇒ A / G = AG tan 30 =  Tài liệu lưu hành nội = 3a 2 AM = 2a = 2a 3 2a V y VABC A/ B/ C / = SABC A / A = 6a3 16  DeThiMau.vn Lưu Tuấn Hiệp Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay ToánĞįİ  D ng T  S  TH  TÍCH - Vi c  tính  th   tích  c a  m t  kh i  chóp  th ng  h c  sinh  gi i  b   nhi u  sai  sót,  Tuy  nhiên trong các đ  thi l i yêu c u h c sinh tính th  tích c a m t kh i chóp “nh ” c a kh i  chóp đã cho. Khi đó h c sinh có th  th c hi n các cách sau:  + Cách 1:  o  Xác đ nh đa giác đáy  o  Xác đ nh đ ng cao ( ph i ch ng minh đ ng cao vuông g i v i m t  ph ng đáy)  o  Tính th  tích kh i chóp theo cơng th c  + Cách 2  o  Xác đ nh đa giác đáy  o  Tình các t  s  đ  dài c a đ tích  đáy  (n u  cùng  đ ng cao (n u cùng đa giác đáy) ho c di n  ng  cao)  c a  kh i  chóp  “nh ”  và  kh i  chóp đã  cho và k t lu n th  tích kh i c n tìm b ng k l n th  tích kh i đã cho  + Cách 3: dùng t  s  th  tích  Hai kh i chóp S.MNK và S.ABC có chung đ nh S  S  và góc  đ nh S  M K  n  Ta có :  V S  MNK  SM SN SK  =    VS  ABC  SA SB SC N  A  C  B  C  hai ch ng trình chu n và nâng cao đ u có đ  c p đ n tính th  tích c a m t kh i  chóp “nh ” liên quan đ n d  ki n c a kh i chóp l n.Tuy nhiên  Ch ng Trình Chu n  Ch ng Trình Nâng Cao  ­  Khơng  trình  bày  khái  ni m  t   s   th   Có trình bày khái ni m t  s  th  tích c a  tích c a 2 kh i chóp  Tài liệu lưu hành nội 2 kh i chóp  17  DeThiMau.vn Lưu Tuấn Hiệp Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay ToánĞįİ  Bài Toán 3.1:  Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đ u c nh 2a, c nh bên SA vng góc v i  m t ph ng đáy và SA =  a  3   G i M,N l n l t là trung đi m c a AB và AC. Tính th   tích kh i chóp S.AMN  Gi i  §  Giáo viên phân tích cho h c sinh hi u đ  bài và h ng d n h c sinh v  hình: −  H ng d n h c  sinh tính  th   th   tích  m t  kh i  chóp “nh ” d a  trên d   ki n  liên quan đ n kh i chóp đã cho  §  L i gi i:  1  3  S Cách 1: (dùng cơng th c th  tích  V =  S  h )  * Kh i chóp S.AMN có  N  A  M  B  C  ­ áy là tam giác AMN  ­  ng cao là SA  * D  AMN có Â = 60 0 , AM=AN = a 1 a 2  3  AM AN sin 600  = a.a.  =  2 4  * SA =  a  3  ⇒  SDAMN  = * Th  tích kh i chóp S.ABC  1 a 3  a 3  a 3  =  VS  AMN = S AMN .SA = 3 4  Cách 2 : ( Dùng cơng th c t  s  th  tích)  Kh i chóp S.AMN và S.ABC có chung đ nh A và góc   đ nh A  Do đó theo cơng th c t  s  th  tích , ta có  V A. SMN  AS AM AN  1 1  = = .  = VA. SBC  AS AB AC 2 4  V  1  ⇒  VS AMN = VA.SMN =  VA. SBC  =  S  ABC  4  2  1 a  3  Ta có : VS  ABC = S ABC .SA = a 3  = a 3  3 4  V S  ABC  a 3  V y  VS  AMN  = = 4  §  Nh n xét: −  H c sinh th ng lúng túng khi g p th  tích c a kh i chóp “nh ” h n kh i chóp đã  cho và khi đó xác đ nh đa giác đáy và đ ng cao th ng b  sai −  Trong m t s  bài tốn thì vi c dùng “t  s  th  tích “ có nhi u thu n l i h n.  Tài liệu lưu hành nội 18  DeThiMau.vn Lưu Tuấn Hiệp Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay ToánĞįİ  Bài Toán 3.2:  Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đ u c nh 2a, c nh bên SA vng góc v i  m t ph ng đáy và SA =  a  3   G i M, N l n l t là trung đi m c a SB và SC. Tính th   tích kh i chóp S.AMN và A.BCNM  Gi i  §  Giáo viên phân tích cho h c sinh hi u đ  bài và h ng d n h c sinh v  hình: −  H ng d n h c  sinh tính  th   th   tích  m t  kh i  chóp  “nh ” d a  trên d   ki n  liên quan đ n kh i chóp đã cho  §  L i gi i:  ( Dùng cơng th c t  s  th  tích)  S  Kh i chóp S.AMN và S.ABC có chung đ nh S và góc   đ nh S  Do đó theo cơng th c t  s  th  tích , ta có  N  M  C  A  V S  AMN  SA SM SN  1 1  = = .  = VS  ABC  SA SB SC 2 4  1  2  a 3.a  3  V  a 3  = ⇒  VS  AMN  = S  ABC  = 3  4 4  3  3 a  ⇒  VA.BCNM = VS  ABC  = 4  B  Bài Toán 3.3:  Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng c nh a, c nh bên SA vng  góc v i m t ph ng đáy và SA = 2a   G i I là trung đi m SC. Tính th  tích  kh i chóp  I.ABCD  Gi i  §  Giáo viên phân tích cho h c sinh hi u đ  bài và h ng d n h c sinh v  hình: −  H ng d n h c  sinh tính  th   th   tích  m t  kh i  chóp “nh ” d a  trên d   ki n  liên quan đ n kh i chóp đã cho  §  L i gi i:  G i O là giao đi m AC và BD  Ta có : IO // SA và SA ⊥  (ABCD) ⇒  IO ⊥  (ABCD) S I  A  D  O  C  Tài liệu lưu hành nội 1  ⇒  VI  ABCD =  S ABCD . IO 3  Mà :  S ABCD  = a 2  B  SA  IO = = a 2  1  a 3  V y  VI  ABCD  = a 2 . a = 3  19  DeThiMau.vn Lưu Tuấn Hiệp Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay ToánĞįİ  D ng DI N TÍCH M T C U NGO I TI P KH I CHĨP  TH  TÍCH KH I C U NGO I TI P KH I CHĨP  Trong ch ng trình tốn ph  thơng, u c u xác đ nh tâm , bán kính c a m t c u ngo i ti p  hình chóp và tính di n tích c a m t c u, th  tích c a kh i c u đó -  Xác đ nh tâm I và bán kính c a m t c u ngo i ti p hinh chóp -  Cơng th c tính di n tích m t c u và th  tích kh i c u  S ( s )  = 4 π R 2  V( s )  = 4 π R 3  3  Bài Toán 4.1:  Cho hình chóp t  giác đ u S.ABCD có c nh đáy b ng 2a, c nh bên t o v i đáy  m t góc b ng 45 o  Tính th  tích kh i chóp S.ABCD và th  tích c a kh i c u ngo i ti p  kh i chóp  Gi i  §  L i gi i:  S * S.ABCD là hình chóp t  giác đ u  ABCD là hình vng c nh 2a , tâm O  SO ⊥  (ABCD)  OC = hc SC  ( ABCD )  ·  = 45 o  ⇒ (· SC , ( ABCD )) = (· SC , OC ) = SCO * Di n tích hình vng ABCD ⇒  AC = 2a.  A  D  B  O  AC 2a  2  = = a 2  2  2  ⇒ SABCD  = ( 2a )  = 4 a 2  ⇒  OC=AO= 45  C  ·  = 45 o  * D  SOC vng t i O có OC =  a  2 ,  SCO ⇒ SO = OC =  a  2  * Th  tích kh i chóp S.ABCD  1 4a 3  2  VS  ABCD = S ABCD .SO = a 2 .a 2  =  3 3  * Th  tích kh i c u ngo i ti p kh i chóp  Ta có OA=OB=OC=OD=OS=  a 2  ⇒  m t c u (S) ngo i ti p kh i chóp S.ABCD có tâm O và bán kính R =  a  2  4π R 4π ( a )3 8π a 3  2  = = V y  V( s )  = Taøi liệu lưu hành nội 3  20  DeThiMau.vn Lưu Tuấn Hiệp ... phẳng) học vào cuối năm lớp 11 đến đầu năm lớp 12 vận dùng vào toán tính thể tích khối chóp , kh i l ng tr Đó vấn đề khó học sinh lớp 12 vận dụng đa số học sinh quên cách vận dụng, từ đa số học. .. Lưu Tuấn Hiệp Thể? ?Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay Toán? ?įİ  D ng THỂ TÍCH KHỐI CHÓP- KH I L NG TR LIÊN QUAN ĐẾN GÓC Trong chương trình Toán phổ thôn g , Hình học Khôn g gian phân phối học cuối năm... số học sinh bỏ làm sai toán tính thể tích khối chóp , kh i l ng tr kỳ thi học kỳ, thi Tốt nghiệp THPT Ở đây, hệ thống lại số sai lầm mà học sinh thường gặp giải toán tính thể tích liên quan đến