(Luyện thi Toán học) chuyên đề Hình Học vào 10 (FULL) TTC

(Luyện thi Toán học) chuyên đề Hình Học vào 10 (FULL) TTC (Luyện thi Toán học) chuyên đề Hình Học vào 10 (FULL) TTC (Luyện thi Toán học) chuyên đề Hình Học vào 10 (FULL) TTC (Luyện thi Toán học) chuyên đề Hình Học vào 10 (FULL) TTC (Luyện thi Toán học) chuyên đề Hình Học vào 10 (FULL) TTC

(Người với sách, Trường Athena củaRafaeln) .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: (O) (O; R) ABC SABC (ABC) a, b, c ha, hb, hc ma, mb, mc la, lb, lc R, r ra, rb, rc đpcm 2p CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG CHUYÊN ĐỀ : Đường tròn tâm O : Đường tròn tâm O, bán kính R : Tam giác ABC : Diện tích ABC : Đường tròn ngoại tiếp ABC : Độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C ABC : Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A, B, C ABC : Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C ABC : Độ dài đường phân giác xuất phát từ đỉnh A, B, C ABC : Bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác : Bán kính đường tròn bàng tiếp đối diện với đỉnh A, B, C ABC : Điều phải chứng minh abc : Chu vi tam giác (p = nửa chu vi) n a k = a1 + a + + a n : Tổng n số hạng từ a1 đến an = a1a a n : Tích n số hạng từ a1 đến an k=1 n a k k=1 TỔNG KẾT KIẾN THỨC Đường thẳng: Định nghĩa: Một đường thẳng hiểu đường dài (vơ tận), mỏng (vơ cùng) thẳng tuyệt đối Tiên đề Ơ'Clit: Qua hai điểm ta ln xác định đường thẳng đường thẳng Kí hiệu: Người ta thường dùng chữ in thường a, b, c, , m, n, p để đặt tên cho đường thẳng dùng hai chữ in hoa hay hai chữ in thường để đặt tên cho đường thẳng Ví dụ: AB, xy, y x A B Điểm khơng thuộc đường thẳng: Điểm A khơng nằm đường thẳng a, điểm A khơng thuộc đường thẳng a (hay nói cách khác đường thẳng a khơng qua điểm A) Kí hiệu: A  a Đoạn thẳng: Định nghĩa: Đoạn thẳng AB hình gồm điểm A, điểm B tất điểm nằm A B B A Hai điểm A B gọi hai đầu mút (hay gọi hai mút) đoạn thẳng AB Lưu ý: Điểm M nằm A B AM + MB = AB A, M, B thẳng hàng A M B Tia: Tia hình gồm điểm O phần đường thẳng bi chia điểm O gọi tia gốc O (có hai tia Ox Oy hình vẽ) Biên soạn: Trần Trung Chính www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: x y O Hai tia có chung góc O tạo thành đường thẳng gọi hai tia đối (hai tia Ox Oy hình vẽ hai tia đối nhau) Điểm: Để kí hiệu điểm, người ta dùng chữ in hoa A, B, C, Bất hình tập hợp điểm Trung điểm đoạn thẳng: Trung điểm M đoạn thẳng AB điểm nằm hai điểm A, B cách hai điểm A B M B A Trung điểm M đoạn thẳng AB gọi điểm đoạn thẳng AB Lưu ý: Điểm hai điểm khác với điểm nằm hai điểm Mặt phẳng: Nửa mặt phẳng bờ a: Hình gồm đường thẳng a phần mặt phẳng bị chia a gọi nửa mặt phẳng bờ a a Mặt phẳng hai nửa mặt phẳng hợp lại theo phương (phương vectơ) định u d P Q Góc: Góc nhọn Góc vng Góc bẹt Góc tù B A Góc phản Góc đầy Góc khối Biên soạn: Trần Trung Chính B A Đường phân giác www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: R R Chia đơi góc compa thước kẻ Góc ngồi tam giác Góc đối đỉnh Góc tâm đường tròn (1) Hai góc phụ hai góc có tổng số đo 900 x y O z  góc yOz  hai góc phụ Góc xOy (2) Hai góc bù hai góc có tổng số đo 1800 y O x z  góc yOz  hai góc bù Góc xOy (3) Hai góc so le trong: Cho hai đường thẳng a //b đường thẳng c cắt a, b A, B c A a b 2 B Khi đó:  B  A  B  A 1 2 (4) Hai góc đồng vị: Cho hai đường thẳng a //b đường thẳng c cắt a, b A, B Khi đó: =B , A  B , A  B , A  B  A 1 2 3 4 Biên soạn: Trần Trung Chính www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: A a b c 4 B Tam giác: 7.1 Kí hiệu: Tam giác ABC kí hiệu ABC Một tam giác ABC có ba đỉnh (góc) A, B, C ba cạnh AB, BC, CA 7.2 Các đường tam giác: Đường cao: Là đoạn thẳng nối đỉnh vng góc với cạnh đối diện đỉnh Một tam giác có ba đường cao Giao điểm ba đường cao gọi trực tâm tam giác Trong ABC, có đường cao AH, BK, CF A K F B C H Đường trung tuyến: Là đường thẳng kẻ từ đỉnh qua trung điểm cạnh đối diện với đỉnh Một tam giác có ba đường trung tuyến Giao điểm ba đường trung tuyến gọi trọng tâm tam giác A M B N G P C Trong ABC, có đường trung tuyến AP, BN, CM Độ dài đường trung tuyến: BG AG CG = = = BN AP CM GN GP GM = = = BN AP CM GN GP GM = = = GB GA GC Đường trung trực: Là đường thẳng vng góc với cạnh trung điểm Một tam giác có ba đường trung trực Giao điểm ba đường trung trực gọi tâm đường ngoại tiếp tam giác Biên soạn: Trần Trung Chính www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: d B A Đường thẳng (d) đường trung trực đoạn thẳng AB A O B C Điểm O giao điểm ba đường trung trực Đường phân giác: Là đường thẳng chia góc thành hai góc có số đo Một tam giác có ba đường phân giác Giao điểm ba đường phân giác gọi tâm đường nội tiếp tiếp tam giác Trong ABC có: OM = ON = ON A N P C M Đường trung bình: Là đường thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác Một tam giác có ba đường trung bình Tam giác tạo ba đường trung bình đồng dạng với tam giác cho B A M B N C MN gọi đường trung bình tam giác Ta có: MN // BC MN  BC 7.3 Phân loại tam giác: Tam giác nhọn: Là tam giác có ba góc nhọn (số đo ba góc < 900) Biên soạn: Trần Trung Chính www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: A B C Tam giác đều: Là tam giác có ba cạnh ba góc Trong tam giác đều, đường cao đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực A 600 600 600 B C Tam giác cân: Là tam giác có hai cạnh hai góc đáy A B C Tam giác vng: Là tam giác có góc vng (bằng 90 ) Trong tam giác vng, cạnh đối diện với góc vng gọi cạnh huyền cạnh lớn   900 BC2 = AB2 + AC2 Đây hệ thức hệ thức Pitago Cho ABC, có A B A C Định lý PITAGO: Định lý thuận: Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng BC2 = AB2 + AC2 Định lý đảo: Tam giác có tổng bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh lại tam giác vng Nếu tam giác ABC thỏa mãn BC2 = AB2 + AC2 ABC tam giác vng A Biên soạn: Trần Trung Chính www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: 7.4 Tính chất cạnh góc tam giác: Tính chất 1: Cho tam giác ABC, tổng ba góc:  B  C   1800 A Tính chất 2: Độ dài cạnh lớn hiệu độ dài hai cạnh nhỏ tổng độ dài chúng AB + BC > AC > |AB - BC| Tính chất 3: Trong hai cạnh tam giác, cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn Góc đối diện với cạnh lớn góc lớn  B   C  BC  AC  AB  A 7.5 Diện tích tam giác: (1) Cơng thức tính diện tích tam giác: S  b.h b độ dài cạnh h độ dài đường cao ứng với cạnh b h (2) Cơng thức Heron: S  p  p  a  p  b  p  c  b b  a  b  c  nửa chu vi tam giác Đường tròn: 8.1 Khái niệm: Đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0) hình gồm điểm cách điểm O cho trước khoảng khơng đổi R p  R O Kí hiệu: (O; R), ta có kí hiệu (O) Lưu ý: - Qua ba điểm khơng thẳng hàng ta xác định đường tròn - Một đường tròn có tâm đối xứng tâm đường tròn - Một đường tròn có vơ số trục đối xứng đường kính đường tròn D C A B O 8.2 Đường kính dây cung: Định lý 1: Trong dây đường tròn, dây lớn đường kính AB đường kính, CD dây cung AB > CD Định lý 2: Trong đường tròn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây Nếu OH  AB H AH = HB Định lý 3: Trong đường tròn, đường kính qua trung điểm O dây khơng qua tâm vng góc với dây 8.3 Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây: Định lý 1: Trong đường tròn: A B H Hai dây cách tâm Nếu AB = CD OM = ON C Hai dây cách tâm A A Nếu OM = ON AB = CD O O Định lý 2: Trong hai dây đường tròn: N Dây lớn dây gần tâm M C M N Nếu AB > CD OM < ON Dây gần tâm dây lớn D B D B Nếu OM < ON AB > CD Biên soạn: Trần Trung Chính www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: 8.4 Khoảng cách đường thẳng đường tròn: Gọi R bán kính đường tròn d khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a Ta có: O O O a H a a H (d > R) H (d = R) Đường thẳng đường tròn khơng giao Đường thẳng đường tròn tiếp xúc (d < R) Đường thẳng đường tròn cắt hai điểm (giao nhau) Định lý 1: A Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường tròn vng góc với bán kính qua tiếp điểm O Nếu a tiếp tuyến với (O) H O H a  OH Định lý 2: a Tiếp tuyến với đường tròn: Nếu hai H tiếp tuyến đường tròn cắt B điểm điểm cách hai tiếp điểm AH = BH Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến  HO tia phân giác góc AHB Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm  OH tia phân giác góc AOB 8.5 Đường tròn nội tiếp đường tròn bàng tiếp: Đường tròn nội tiếp: - Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác đường tròn nội tiếp tam giác - Tâm đường tròn nội tiếp giao điểm ba đường phân giác góc tam giác Đường tròn ngoại tiếp: - Đường tròn tiếp xúc ngồi với ba cạnh tam giác đường tròn ngoại tiếp tam giác - Tâm đường tròn ngoại tiếp giao điểm ba đường phân giác góc ngồi tam giác 8.6 Vị trí tương đối hai đường tròn: Nếu gọi bán kính (O) R (O') r ta có: - Hai đường tròn có hai điểm chung gọi hai đường tròn cắt Hai điểm chung A, B gọi giao điểm Đoạn thẳng AB nối hai điểm gọi dây chung Biên soạn: Trần Trung Chính www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: A A O O' O O O' O' A B (R - r < OO' < R + r) (R + r = OO') Hai đường cắt O Hai đường tiếp xúc (R - r = OO') Hia đường tròn nhau, O' (OO' > R + r) Hai đường ngồi 8.7 Góc với đường tròn: Góc tâm: Định nghĩa: Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn gọi góc tâm m B A Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung   AOB  s®AmB Số đo cung lớn hiệu số 3600 số đo cung nhỏ   360  s® AnB  s® AmB Số đo nửa đường tròn 1800   α O n 8.8 Liên hệ cung dây cung: Định lý 1: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: Hai cung căng hai dây Hai dây căng hai cung Định lý 2: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường O tròn nhau: Cung lớn căng dây lớn Cung nhỏ căng dây nhỏ 8.9 Góc nội tiếp: O Định nghĩa: Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh chứa hai dây cung dường tròn Định lý: Trong đường tròn, số đo góc nội tiếp nửa số đo A cung bị chắn   s® AB  AOB Hệ quả: Trong đường tròn: Biên soạn: Trần Trung Chính B www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: Bài tập 10: Cho đường tròn (O; R) (I; r) tiếp xúc ngồi A (R > r) Dựng tiếp tuyến chung ngồi BC (B nằm đường tròn (O) C nằm đường tròn (I)) Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến A hai đường tròn E a) Chứng minh tam giác ABC vng A b) Kẻ OE cắt AB N; IE cắt AC F Chứng minh: N; E; F; A nằm đường tròn c) Chứng tỏ rằng: BC2 = 4Rr d) Tính diện tích tứ giác BCIO theo R; r Hướng dẫn c) Chứng minh: BC2 = 4Rr Ta có tứ giác FANE có góc vng (cmt)  FANE hình vng  OEI vng E EA  OI (tính chất tiếp tuyến) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng có: AH2 = OA.AI (bình phương đường cao tích hai hình chiếu) BC2 BC Mà AH = OA = R; AI = r   Rr  BC2 = Rr d) SBCIO = ? Ta có BCIO hình thang vng OB  IC  SBCIO = BC (r  R) rR S= Bài tập 11: Trên hai cạnh góc vng xOy lấy hai điểm A B cho OA = OB Một đường thẳng qua A cắt OB M (M nằm đoạn OB) Từ B hạ đường vng góc với AM H, cắt AO kéo dài I a) Chứng minh: Tứ giác OMHI nội tiếp  b) Tính OMI c) Từ O vẽ đường vng góc với BI K Chứng minh: OK = KH d) Tìm tập hợp điểm K M thay đổi OB Hướng dẫn d) Tập hợp điểm K: Do OK  KB  = 900 Suy ra: OKB OB khơng đổi M di động  K nằm đường tròn đường kính OB Khi M ≡ O K ≡ O Khi M ≡ B K điểm cung AB Vậy quỹ tích điểm K đường tròn đường kính OB Bài tập 12: Cho đường tròn (O) đường kính AB dây CD vng góc với AB F Trên cung BC lấy điểm M Nối A với M cắt CD E a) Chứng minh: AM phân giác góc CMD b) Chứng minh: Tứ giác EFBM nội tiếp c) Chứng tỏ: AC2 = AE.AM d) Gọi giao điểm CB với AM N; MD với AB I Chứng minh: NI // CD e) Chứng minh: N tâm đường tròn nội tiếp CIM Hướng dẫn e) Chứng tỏ N tâm đường tròn nội tiếp ICM: Biên soạn: Trần Trung Chính 104 www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: Ta phải chứng minh N giao điểm đường phân giác CIM  Theo chứng minh, ta có MN phân giác CMI   NBM  (cùng chắn cung MN) Do MNIB nội tiếp (cmt)  NIM   MAC  (cùng chắn cung CM) Góc MBC Ta lại có:   900 );   900 (góc nội tiếp ACB CAN   900 )   900 (vì NIB NIA Suy ra: ACNI nội tiếp   CIN  (cùng chắn cung CN)  CAN   NIM   CIN   IN phân giác CIM Vậy N tâm đường tròn nội tiếp ICM Bài tập 13: Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường tròn Vẽ tiếp tuyến AB;AC cát tuyến ADE Gọi H trung điểm DE a) Chứng minh: A; B; H; O; C nằm đường tròn  b) Chứng minh: HA phân giác góc BHC c) Gọi I giao điểm BC DE Chứng minh: AB2 = AI.AH d) Kẻ BH cắt (O) K Chứng minh: AE//CK Bài tập 14: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R; xy tiếp tuyến với (O) B CD đường kính Gọi giao điểm AC; AD với xy theo thứ tự M; N a) Chứng minh: Tứ giác MCDN nội tiếp b) Chứng tỏ: AC.AM = AD.AN c) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN H trung điểm MN Chứng minh: AOIH hình bình hành d) Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O I di động đường nào? Hướng dẫn d) Quỹ tích điểm I: Do AOIH hình bình hành Suy ra: IH = AO = R khơng đổi  CD quay xung quanh O I nằm đường thẳng song song với xy cách xy khoảng R Bài tập 15: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D điểm cung nhỏ BC Kẻ DE; DF; DG vng góc với cạnh AB; BC; AC Gọi H hình chiếu D lên tiếp tuyến Ax (O) a) Chứng minh: Tứ giác AHED nội tiếp b) Gọi giao điểm AH với HB với (O) P Q; ED cắt (O) M Chứng minh: HA.DP = PA.DE c) Chứng minh: QM = AB d) Chứng minh: DE.DG = DF.DH e) Chứng minh: E; F; G thẳng hàng (đường thẳng Sim sơn) Hướng dẫn e) Chứng minh: E; F; G thẳng hàng:   BDE  (cmt) GFC   CDG  (cmt) Ta có: BFE Do ABCD nội tiếp   BMC   1800 Suy ra: BAC Do GDEA nội tiếp   EAG   1800 Suy ra: EDG Biên soạn: Trần Trung Chính 105 www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::   BDC   EDG   EDB   BDG  BCD   BDG   CDG  Mà EDG   CDG   EDB   BEF   GFC Vậy E; F; G thẳng hàng Bài tập 16: Cho tam giác ABC có A = 900; AB < AC Gọi I trung điểm BC Qua I kẻ IKBC (K nằm BC) Trên tia đối tia AC lấy điểm M cho MA = AK a) Chứng minh: Tứ giác ABIK nội tiếp đường tròn (O)   2ACB  b) Chứng minh: BMC c) Chứng tỏ rằng: BC = 2AC.KC d) Kéo dài AI cắt đường thẳng BM N Chứng minh AC = BN e) Chứng minh: Tứ giác NMIC nội tiếp Bài tập 17: Cho (O) đường kính AB cố định Điểm C di động nửa đường tròn Tia phân giác  cắt (O) tai M Gọi H; K hình chiếu M lên AC AB ACB a) Chứng minh: Tứ giác MOBK nội tiếp b) Chứng minh: Tứ giác CKMH hình vng c) Chứng minh: Ba điểm H; O; K thẳng hàng d) Gọi giao điểm HK CM I Khi C di động nửa đường tròn I chạy đường nào? Hướng dẫn c) Chứng minh: Ba điểm H, O, K thẳng hàng Gọi I giao điểm HK MC Do MHCK hình vng  HK  MC trung điểm I MC Do I trung điểm MC  OI  MC (t/c đường kính dây cung) Vậy HI  MC; OI  MC KI  MC Suy ra: H; O;I thẳng hàng   900 ; OM cố định d) Do OIM Suy ra: I nằm đường tròn đường kính OM Giới hạn: Khi C  B I  Q; Khi C  A I  P Vậy C di động nửa đường tròn (O) I chạy cung tròn PHQ đường tròn đường kính OM Bài tập 18: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 2a, chiều rộng BC = a Kẻ tia phân giác  Từ A hạ AH vng góc với đường phân giác nói ACD a) Chứng minh: Tứ giác AHDC nội tiếp đường tròn (O) Khi xác định tâm bán kính đường tròn theo a b) Kẻ HB cắt AD I cắt AC M; HC cắt DB N Chứng tỏ rằng: HB = HC AB.AC = BH.BI c) Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến H (O) d) Từ D kẻ đường thẳng song song với BH; đường cắt HC K cắt (O) J Chứng minh: Tứ giác HOKD nội tiếp Bài tập 19: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, bán kính OC  AB Gọi M điểm cung BC Kẻ đường cao CH ACM a) Chứng minh: Tứ giác AOHC nội tiếp  b) Chứng tỏ CHM vng cân OH phân giác COM Biên soạn: Trần Trung Chính 106 www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: c) Gọi giao điểm OH với BC I MI cắt (O) D Chứng minh rằng: Tứ giác CDBM hình thang cân d) Kẻ BM cắt OH N Chứng minh: BNI ∽ AMC Từ suy ra: BN.MC = IN.MA Bài tập 20: Cho ABC nội tiếp (O; R) Trên cạnh AB AC lấy hai điểm M; N cho BM = AN a) Chứng tỏ rằng: OMN cân b) Chứng minh: Tứ giác OMAN nội tiếp c) Kéo dài BO cắt AC D cắt (O) E Chứng minh: BC2 + DC2 = 3R2 d) Đường thẳng CE AB cắt F Tiếp tuyến A (O) cắt FC I; AO kéo dài cắt BC J Chứng minh: BI qua trung điểm AJ Hướng dẫn c) Chứng minh: BC2 + DC2 = 3R2 Do BO phân giác   BO  AC hay BOD vng D Áp dụng định lý Pi-ta-go, ta có: BC2 = DB2 + CD2 = (BO + OD)2 + CD2= BO2 + 2.OB.OD + OD2 + CD2 (1) Mà OB = R   300 AOC cân O có OAC   600   1200  AOE  AOC R Áp dụng định lý Pi-ta-go, ta có: OD2 = OC2 - CD2 = R2 - CD2 (2) R Từ (1) (2), suy ra: BC2 = R2 + 2.R + CD2 - CD2 = 3R2 Bài tập 21: Cho ABC, (A = 900) nội tiếp đường tròn (O) Gọi M trung điểm cạnh AC Đường tròn (I) đường kính MC cắt cạnh BC N cắt (O) D a) Chứng minh: Tứ giác ABNM nội tiếp CN.AB = AC.MN b) Chứng tỏ rằng: B, M, D thẳng hàng OM tiếp tuyến (I) c) Tia IO cắt đường thẳng AB E Chứng minh: Tứ giác BMOE hình bình hành  d) Chứng minh: NM phân giác AND Bài tập 22: Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi I điểm đường chéo AC Qua I kẻ đường thẳng song song với AB; BC Các đường cắt AB; BC; CD; DA P; Q; N; M a) Chứng minh: Tứ giác INCQ hình vng b) Chứng tỏ rằng: NQ // DB c) Kéo dài BI cắt MN E; MP cắt AC F Chứng minh: Tứ giác MFIN nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường tròn d) Chứng tỏ tứ giác MPQN nội tiếp Tính diện tích theo a e) Chứng minh: Tứ giác MFIE nội tiếp Bài tập 23: Cho hình vng ABCD Gọi N trung điểm DC; Kẻ BN cắt AC F Vẽ đường tròn (O) đường kính BN (O) cắt AC E Kéo dài BE cắt AD M; MN cắt (O) I a) Chứng minh: Tứ giác MDNE nội tiếp b) Chứng tỏ rằng: BEN vng cân c) Chứng minh: MF qua trực tâm H BMN d) Chứng minh: BI = BC IEF vng e) Chứng minh: FIE tam giác vng Bài tập 24: Cho ABC có góc nhọn(AB < AC) Vẽ đường cao AH Từ H kẻ HK; HM vng góc với AB; AC Gọi J giao điểm AH MK  AOE tam giác đều, có AD  OE  OD = ED = Biên soạn: Trần Trung Chính 107 www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: a) Chứng minh: Tứ giác AMHK nội tiếp b) Chứng minh: JA.JH = JK.JM c) Từ C kẻ tia Cx  AC Cx cắt AH kéo dài D Vẽ HI  DB HN  DC Chứng minh rằng:   HCN  HKM d) Chứng minh: M; N; I; K nằm đường tròn Bài tập 25: Cho ABC (A = 900) Đường cao AH Đường tròn tâm H, bán kính HA cắt đường thẳng AB D cắt AC E; Trung tuyến AM ABC cắt DE I a) Chứng minh: D; H; E thẳng hàng b) Chứng minh: Tứ giác BDCE nội tiếp Xác định tâm O đường tròn c) Chứng minh: AM  DE d) Chứng minh: Tứ giác AHOM hình bình hành Bài tập 26: Cho ABC có góc nhọn Đường cao AH Gọi K điểm đối xứng H qua AB; I điểm đối xứng H qua AC Gọi E; F giao điểm KI với AB AC a) Chứng minh: Tứ giác AICH nội tiếp b) Chứng minh: AI = AK c) Chứng minh: Các điểm A; E; H; C; I nằm đường tròn d) Chứng minh: CE; BF đường cao ABC e) Chứng tỏ giao điểm đường phân giác HFE trực tâm ABC Bài tập 27: Cho ABC, (AB = AC) nội tiếp (O) Gọi M điểm cung nhỏ AC Trên tia BM lấy MK = MC tia BA lấy AD = AC   2BKC  a) Chứng minh: BAC b) Chứng minh: Tứ giác BCKD nội tiếp Xác định tâm đường tròn c) Gọi giao điểm DC với (O) I Chứng minh: B; O; I thẳng hàng d) Chứng minh: DI = BI Bài tập 28: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O) Gọi I điểm cung AB (cung AB khơng chứa điểm C; D) IC ID cắt AB M; N a) Chứng minh: D; M; N; C nằm đường tròn b) Chứng minh: NA.NB = NI.NC c) Kéo dài DI cắt đường thẳng BC F; đường thẳng IC cắt đường thẳng AD E Chứng minh: EF // AB d) Chứng minh: IA2 = IM.ID Bài tập 29: Cho hình vng ABCD, cạh BC lấ để E Dựng tia Ax  AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài F Kẻ trung tuyến AI AEF Kéo dài AIcắt CD K Qua E dựng đường thẳng song song với AB, cắt AI G a) Chứng minh: Tứ giác AECF nội tiếp b) Chứng minh: AF2 = KF.CF c) Chứng minh: Tứ giác EGFK hình thoi d) Chứng minh rằng: Khi E di động BC EK = BE + DK chu vi CKE có giá trị khơng đổi e) Gọi giao điểm EF với AD J Chứng minh: GJ  JK Hướng dẫn d) Chứng minh: EK = BE + DK Xét ADF ABE có: AD = AB; AF = AE (AEF vng cân)  ADF = ABE  BE = DF Mà FD + DK = FK FK = KE (t/c hình thoi)  KE = BE + DK Biên soạn: Trần Trung Chính 108 www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: Chứng minh chu vi CKE khơng đổi: Gọi chu vi C = KC + EC + KE = KC + EC + BE + DK = (KC + DK) + (BE + EC) = 2BC khơng đổi e) Chứng minh: IJ  JK   JDK   900 Do JIK  Tứ giác IJDK nội tiếp   IDK  (cùng chắn cung IK),  JIK   450 (t/c hình vng) IDK   450  JIK vng cân I  JIK  JI = IK, mà IK = GI  JI = IK = GI = GK  GJK vng J hay GJ  JK Bài tập 30: Cho ABC Gọi H trực tâm tam giác Dựng hình bình hành BHCD Gọi I giao điểm HD BC a) Chứng minh: Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn tâm O, nêu cách dựng (O)  OAC  b) So sánh BAH c) Kẻ CH cắt OD E Chứng minh: AB.AE = AH.AC d) Gọi giao điểm AI OH G Chứng minh: G trọng tâm ABC   900 C để tuỳ ý cung lớn AB Các đường cao Bài tập 31: Cho đường tròn (O) AB AI; BK; CJ ABC cắt H Kẻ BK cắt (O) N; AH cắt (O) M BM AN gặp D a) Chứng minh: B; K; C; J nằm đường tròn b) Chứng minh: BI.KC = HI.KB c) Chứng minh: MN đường kính đường tròn (O) d) Chứng minh: Tứ giác ACBD hình bình hành e) Chứng minh: OC // DH Bài tập 32: Cho hình vng ABCD Gọi N để CD cho CN < ND; Vẽ đường tròn tâm O đường kính BN Đường tròn (O) cắt AC F; BF cắt AD M; BN cắt AC E a) Chứng minh: BFN vng cân b) Chứng minh: MEBA nội tiếp c) Gọi giao điểm ME NF Q Kẻ MN cắt (O) P Chứng minh: B; Q; P thẳng hàng d) Chứng tỏ: ME // PC BP = BC e) Chứng minh: FPE tam giác vng Bài tập 33: Trên đường tròn tâm O lấy bốn để A; B; C; D cho AB = DB.AB CD cắt ởc E Kẻ BC cắt tiếp tuyến A đường tròn (O) Q; DB cắt AC K  a) Chứng minh: CB phân giác ACE b) Chứng minh: Tứ giác AQEC nội tiếp c) Chứng minh: KA.KC = KB.KD d) Chứng minh: QE // AD Bài tập 34: Cho (O) tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy hai để B C cho AB = BC Kẻ cát tuyến BEF với đường tròn Kẻ CE CF cắt (O) M N Dựng hình bình hành AECD a) Chứng minh: D nằm đường thẳg BF b) Chứng minh: Tứ giác ADCF nội tiếp c) Chứng minh: CF.CN = CE.CM d) Chứng minh: MN // AC Biên soạn: Trần Trung Chính 109 www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: e) Gọi giao điểm AF với MN I Chứng minh rằng: DF qua trung điểm NI Bài tập 35: Cho (O; R) đường kính AB; CD vng góc với Gọi M điểm cung nhỏ CB a) Chứng minh: Tứ giác ACBD hình vng b) Kẻ AM cắt CD; CB P I Gọi J giao điểm DM AB Chứng minh: IB.IC = IA.IM  c) Chứng tỏ rằng: IJ // PD IJ phân giác CJM d) Tính diện tích AID theo R Hướng dẫn d) Tính diện tích AID theo R:  SIAD = SCAD Mà SACD = SABCD 1  SIAD = SABCD.SABCD = AB.CD (diện tích có đường chéo vng góc) 2  SABCD = 2R.2R = 2R2  SIAD = Rb) Bài tập 36: Cho (O; R) Một cát tuyến xy cắt (O) E F Trên xy lấy điểm A nằm ngồi đoạn EF Vẽ tiếp tuyến AB AC với (O) Gọi H trung để EF a) Chứng tỏ điểm: A; B; C; O; H nằm đường tròn b) Đường thẳng BC cắt OA I cắt đường thẳng OH K Chứng minh: OI.OA = OH.OK = R2 c) Khi A di động xy I di động đường nào? d) Chứng minh: KE KF hai tiếp tuyến (O) Bài tập 37: Cho ABC (A = 900); AB = 15; AC = 20 (cùng đơn vị đo độ dài) Dựng đường tròn tâm O đường kính AB đường tròn (O’) đường kính AC Hai đường tròn (O) (O’) cắt điểm thứ hai D a) Chứng tỏ D nằm BC b) Gọi M để cung nhỏ DC AM cắt DC E cắt (O) N Chứng minh: DE.AC = AE.MC c) Chứng minh: AN = NE O; N; O’ thẳng hàng   900 d) Gọi I trung để MN Chứng minh: OIO' e) Tính diện tích AMC Hướng dẫn c) Chứng minh: AN = NE Do BA  AO’(ABC vng A)  BA tiếp tuyến (O’)  = sđ AM   sđ AE  = sđ MC   AD  Sđ ED   DM   MC   AD   AM  Mà MC   BAC   AED  BAE cân B, mà BM  AE  NA = NE Chứng minh: O; N; O’ thẳng hàng: Ta có: ON đường trung bình ABE   Biên soạn: Trần Trung Chính 110 www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::  ON // BE OO’ // BE  O, N, O’ thẳng hàng Bài tập 38: Cho ABC đều, có cạnh a Gọi D giao điểm hai đường phân giác góc A góc B ABC Từ D dựng tia Dx  DB Trên Dx lấy điểm E cho ED = DB (D E nằm hai phía đường thẳng AB) Từ E kẻ EF  BC Gọi O trung điểm EB a) Chứng minh: Tứ giác AEBC EDFB nội tiếp Xác định tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác theo a b) Kéo dài FE phía F, cắt (D) M Kẻ EC cắt (O) N Chứng minh: Tứ giác EBMC thang cân Tính diện tích  c) Chứng minh: EC phân giác DAC d) Chứng minh: FD đường trung trực MB e) Chứng tỏ A; D; N thẳng hàng f) Tính diện tích phần mặt trăng tạo cung nhỏ EB hai đường tròn Hướng dẫn e) Chứng minh: A; N; D thẳng hàng:  ) ENB   BED   450 (cùng chắn DB  góc ngồi ANC  = 90o (cmt); ENA Ta có: BND   NAC   CAN   450  ENA   ENB   BND   1800  ENA  A, N, D thẳng hàng f) Gọi diện tích mặt trăng cần tính S Ta có: S = Snửa (O) - Sviên phân EDB a 6 a 2 S(O) = .OE =    =   a 2  S1  O 12 2 .BD2 90o   a  a 2 Squạt EBD = =    360o   12 a2 SEBD = DB2 = a  a a (  2) Sviên phân = Squạt EBD - SEDB = - = 12 12 2 a  a (  2) a S= = 12 12 Bài tập 39: Cho hình vng ABCD, E điểm thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE, đường cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K a) Chứng minh: Tứ giác BHCD nội tiếp  b) Tính CHK c) Chứng minh: KC.KD = KH.KB d) Khi E di động BC H di động đường nào? Hướng dẫn  d) Do BHD  900 khơng đổi Suy ra: E di chuyển BC H di động đường tròn đường kính DB Biên soạn: Trần Trung Chính 111 www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: Bài tập 40: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB Gọi C điểm thuộc đường tròn (C  A B) Hai điểm M, N điểm cung nhỏ AC BC Các đường thẳng BN AC cắt I, dây cung AN BC cắt P a) Chứng minh: Tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác b) Chứng minh: KN tiếp tuyến đường tròn (O; R) c) Chứng minh C di động đường tròn (O; R) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường tròn cố định Hướng dẫn c) Chứng minh C di động đường tròn (O) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường tròn cố định:  = MC  (gt) nên AOM  = MOC  Ta có AM  Vậy OM phân giác AOC  COB  , mà AOC  kề bù nên MON  = 900 Tương tự ON phân giác COB Vậy tam giác MON vng cân O R Kẻ OH  MN, ta có OH = OM.sinM = R = khơng đổi 2 Vậy C di động đường tròn (O) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường tròn cố  R 2 định  O;    Bài tập 41: Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB Trên đường tròn (O; R) lấy điểm M cho  = 600 Vẽ đường tròn (B; BM) cắt đường tròn (O; R) điểm thứ hai N MAB a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn (B; BM) b) Kẻ đường kính MI đường tròn (O; R) MJ đường tròn (B; BM) Chứng minh N, I J thẳng hàng JI.JN = 6R2 c) Tính phần diện tích hình tròn (B; BM) nằm bên ngồi đường tròn (O; R) theo R Hướng dẫn b) Chứng minh: N; I; J thẳng hàng JI.JN = 6R2  = MNJ  = 900 (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O tâm B) MNI Nên IN  MN JN  MN Vậy ba điểm N; I J thẳng hàng MJI có BO đường trung bình nên IJ = 2BO = 2R  = 600 nên MAO AMO cân O (vì OM = OA), MAO AB  MN H (tính chất dây chung hai đường tròn (O) (B) cắt nhau) 1 Nên OH = OA = R 2 R 3R Vậy HB = HO + OB = + R = 2 3R  NJ = = 3R Vậy JI.JN = 2R.3R = 6R2 c) Tính diện tích phần hình tròn (B; BM) nằm ngồi đường tròn (O; R) theo R: Gọi S diện tích phần hình tròn nằm (B; BM) nằm bên ngồi hình tròn (O; R) S1 diện tích hình tròn tâm (B; BM) S2 diện tích hình quạt MBN S3, S4 diện tích hai viên phân cung MB NB đường tròn (O; R) Ta có : S = S1 – (S2 + S3 + S4) Biên soạn: Trần Trung Chính 112 www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 ::   600  MB   1200 Tính S1: MAB  MB = R  Vậy: S1 = π R  = 3πR Tính S2:  = 600  S2 = MBN   π R 600 = πR 2 3600 Tính S3: S3 = Squạt MOB – SMOB πR 1200 πR  = MOB = 120  Squạt MOB = 3600 R2 1 1 OA = OB  SMOB = SAMB = AM.MB = R.R = 2 4 2 πR R Vậy S3 = = S4 (do tính chất đối xứng)  πR 2πR R  11πR + 3R Từ S = S1 - (S2 + 2S3) = 3πR –  (đvdt) +  =   Bài tập 42: Cho ba điểm A, B, C nằm đường thẳng xy theo thứ tự Vẽ đường tròn (O) qua B C Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM AN Gọi E F trung điểm BC MN a) Chứng minh AM2 = AN2 = AB AC b) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) I Chứng minh IN // AB c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm đường thẳng cố định đường tròn (O) thay đổi Bài tập 43: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R dây MN có độ dài bán kính (M thuộc cung AN) Các tia AM BN cắt I Các dây AN BM cắt K   AKB a) Tính MIN b) Tìm quỹ tích điểm I quỹ tích điểm K dây MN thay đổi vị trí c) Chứng minh I trực tâm tam giác KAB d) AB IK cắt H Chứng minh HA.HB = HI.HK e) Với vị trí dây MN tam giác IAB có diện tích lớn nhất? Tính giá trị diện tích lớn theo R Bài tập 44: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC cắt N a) Chứng minh AC + BD = CD   900 b) Chứng minh: COD AB2 c) Chứng minh: AC.BD = d) Chứng minh: OC // BM e) Chứng minh: AB tiếp tuyến đường tròn đường kính CD f) Chứng minh: MN  AB g) Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn g) Ta có: Chu vi tứ giác: ACDB = AB + AC + CD + BD Mà AC + BD = CD Suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD Biên soạn: Trần Trung Chính 113 www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: Mà AB khơng đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ Và CD nhỏ CD khoảng cách giữ Ax By tức CD vng góc với Ax By Khi CD // AB Suy ra: M phải trung điểm cung AB Bài tập 45: Cho đường tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M (M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP Kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC  MB, BD  MA Gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB a) Chứng minh: Tứ giác AMBO nội tiếp b) Chứng minh: Năm điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn c) Chứng minh: OI.OM = R2; OI IM = IA2 d) Chứng minh: Tứ giác OAHB hình thoi e) Chứng minh: Ba điểm O, H, M thẳng hàng f) Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d Hướng dẫn e) Theo OAHB hình thoi Suy ra: OH  AB; theo OM  AB Suy ra: O, H, M thẳng hàng (vì qua O có đường thẳng vng góc với AB) f) Theo OAHB hình thoi Suy ra: AH = AO = R Vậy M di động d H di động ln cách A cố định khoảng R Do quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R Bài tập 46: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC cắt N a) Chứng minh: AC + BD = CD   900 b) Chứng minh: COD AB2 c) Chứng minh: AC BD = d) Chứng minh: OC // BM e) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn đường kính CD e) Chứng minh: MN  AB f) Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn f) Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD Suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB khơng đổi Chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ Mà CD nhỏ CD khoảng cách giữ Ax By, tức CD vng góc với Ax By Khi CD // AB  M phải trung điểm cung AB Bài tập 47: Cho đường tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M (M khác A) kẻ cát tuyến MNP Gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC  MB, BD  MA Gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB a) Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp b) Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn c) Chứng minh: OI.OM = R2; OI IM = IA2 d) Chứng minh OAHB hình thoi e) Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng Biên soạn: Trần Trung Chính 114 www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: f) Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d Hướng dẫn e) Theo OAHB hình thoi Suy ra: OH  AB; theo OM  AB Suy ra: O, H, M thẳng hàng (vì qua O có đường thẳng vng góc với AB) f) Theo OAHB hình thoi Suy ra: AH = AO = R Vậy M di động d H di động ln cách A cố định khoảng R Do quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R Bài tập 48: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP > R Từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M a) Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đường tròn b) Chứng minh BM // OP c) Đường thẳng vng góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành d) Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng Hướng dẫn d) Tứ giác OBNP hình bình hành Suy ra: PN // OB hay PJ // AB Mà ON  AB  ON  PJ Ta có PM  OJ (PM tiếp tuyến ) Mà ON PM cắt I nên I trực tâm tam giác POJ Dễ thấy tứ giác AONP hình chữ nhật   AON   ONP   900 Vì có PAO Suy ra: K trung điểm PO (tính chất đường chéo hình chữ nhật) (6)   Ta có: AONP hình chữ nhật  APO  NOP (so le) (7) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt thì:   APO   MPO  PO tia phân giác góc APM (8) Từ (7) (8)  IPO cân I có IK trung tuyến đơng thời đường cao Suy ra: IK  PO (9) Từ (6) (9)  I, J, K thẳng hàng Bài tập 49: Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn P Chứng minh : a) Tứ giác OMNP nội tiếp b) Tứ giác CMPO hình bình hành c) CM CN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M d) Khi M di chuyển đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định Hướng dẫn d) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c)   900 Suy ra: ODP Suy ra: P chạy đường thẳng cố định vng góc với CD D Vì M chạy đoạn thẳng AB nên P chạy doạn thẳng A’B’ song song AB Bài tập 50: Cho ABC vng A.và điểm D nằm A B Đường tròn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn F, G a) Chứng minh: ABC ∽ EBD b) Chứng minh: Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp c) Chứng minh: AC // FG d) Chứng minh: Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy Biên soạn: Trần Trung Chính 115 www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: Hướng dẫn d) Dễ thấy CA, DE, BF ba đường cao DBC nên CA, DE, BF đồng quy S Bài tập 51: Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H (H khơng trùng O, B); đường thẳng vng góc với OB H, lấy điểm M ngồi đường tròn; MA MB thứ tự cắt đường tròn (O) C D Gọi I giao điểm AD BC a) Chứng minh MCID tứ giác nội tiếp b) Chứng minh đường thẳng AD, BC, MH đồng quy I c) Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID Chứng minh KCOH tứ giác nội tiếp Bài tập 52: Cho hình vng ABCD Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đường tròn phía hình vng Lấy AB làm đường kính, vẽ 1/2 đường tròn phía hình vng Gọi P điểm tuỳ ý cung AC (khơng trùng với A C) H K hình chiếu P AB AD, PA PB cắt nửa đường tròn I M a) Chứng minh I trung điểm AP b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui c) Chứng minh PM = PK = AH d) Chứng minh tứ giác APMH hình thang cân e) Tìm vị trí điểm P cung AC để tam giác APB Bài tập 53: Cho đường tròn (O) dây AB Gọi M điểm cung nhỏ AB Vẽ đường kính MN Cắt AB I Gọi D điểm thuộc dây AB Tia MD cắt đường tròn (O) C a) Chứng minh tứ giác CDIN nội tiếp b) Chứng minh tích MC MD có giá trị khơng đổi D di động dây AB   AO  c) Gọi O' tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD Chứng minh rằng: MAB 'D d) Chứng minh ba điểm A, O', N thẳng hàng MA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD  = 900), trung điểm I cạnh BC Xét điểm D Bài tập 54: Cho tam giác vng cân ABC ( A tia AC Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với cạnh AB, BD, DA điểm tương ứng M, N, P a) Chứng minh điểm B, M, O, I, N nằm đường tròn b) Chứng minh ba điểm N, I, P thẳng hàng c) Gọi giao điểm tia BO với MN, NP H, K Tam giác HNK tam giác gì, sao? d) Tìm tập hợp điểm K điểm D thay đổi vị trí tia AC Bài tập 55: Cho hai đường tròn (O) (O') cắt hai điểm A B Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) (O') C C' Đường thẳng AO' cắt đường tròn (O) (O') D D' a) Chứng minh C, B, D' thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác ODC'O' nội tiếp c) Đường thẳng CD đường thẳng D'C' cắt M Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp Bài tập 56: Từ điểm C ngồi đường tròn ( O) kể cát tuyến CBA Gọi IJ đường kính vng góc với AB Các đường thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đường tròn (O) M, N a) Chứng minh IN, JM AB đồng quy điểm D b) Chứng minh tiếp tuyến đường tròn (O) M, N qua trung điểm E CD Bài tập 57: Cho hai đường tròn ( O; R) ( O'; R' ) tiếp xúc ngồi A ( R > R' ) Đường nối tâm OO' cắt đường tròn (O) (O') theo thứ tự B C ( B C khác A) EF dây cung đường tròn (O) vng góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đường tròn (O') D a) Tứ giác BEFC hình gi? b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng c) CF cắt đường tròn (O’) G Chứng minh ba đường EG, DF CI đồng quy d) Chứng minh ID tiếp xúc với đường tròn (O’) Bài tập 58:Cho đường tròn (O) (O’) tiếp xúc ngồi C AC BC đường kính (O) (O’), DE tiếp tuyến chung ngồi (D  (O), E  (O’)) AD cắt BE M Biên soạn: Trần Trung Chính 116 www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: a) MAB tam giác gì? b) Chứng minh: MC tiếp tuyến chung (O) (O’) c) Kẻ Ex, By vng góc với AE, AB Ex cắt By N Chứng minh: D, N, C thẳng hàng d) Về phía nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đường tròn đường kính AB OO’ Đường thẳng qua C cắt hai nửa đường tòn I, K Chứng minh OI // AK Bài tập 59: Cho đường tròn (O ; R) Đường thẳng d cắt (O) A, B C thuộc d ngồi (O) Từ điểm P cung lớn AB kẻ đường kính PQ cắt AB D CP cắt (O) điểm thứ hai I, AB cắt IQ K a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp b) Chứng minh: CI.CP = CK.CD c) Chứng minh IC phân giác ngồi tam giác AIB d) A, B, C cố định, (O) thay đổi ln qua A, B Chứng minh IQ ln qua điểm cố định Bài tập 60:Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) M di động AB N di động tia đối tia CA cho BM = CN a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) A D Chứng minh D cố định b) Tính góc MDN c) MN cắt BC K Chứng minh DK vng góc với MN d) Đặt AM = x Tính x để diện tích tam giác AMN lớn Bài tập 61: Cho (O; R) Điểm M cố định ngồi (O) Cát tuyến qua M cắt (O) A B Tiếp tuyến (O) A B cắt C a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đường tròn tâm K b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định O H cát tuyến quay quanh M c) CH cắt AB N, I trung điểm AB Chứng minh: MA.MB = MI.MN d) Chứng minh: IM.IN = IA2 Bài tập 62: Cho nửa đường tròn đường kính AB tâm O C điểm cung AB M di động cung nhỏ AC Lấy N thuộc BM cho AM = BN a) So sánh AMC BCN b) CMN tam giác gì? c) Kẻ dây AE//MC Chứng minh tứ giác BECN hình bình hành d) Đường thẳng d qua N vng góc với BM Chứng minh d ln qua điểm cố định Bài tập 63: Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d cắt (O) hai điểm C D Điểm M tuỳ ý d, kẻ tiếp tuyến MA, MB I trung điểm CD a) Chứng minh điểm M, A, I, O, B thuộc đường tròn b) Gọi H trực tâm MAB, tứ giác OAHB hình gì? c) Khi M di đồng d Chứng minh AB ln qua điểm cố định d) Đường thẳng qua C vng góc với OA cắt AB, AD E K Chứng minh: EC = EK Bài tập 64: Cho ABC cân (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O) M điểm di động đường tròn Gọi D hình chiếu B AM P giao điểm BD với CM a) Chứng minh BPM cân b) Tìm quỹ tích điểm D M di chuyển đường tròn (O) Bài tập 65: Đường tròn (O ; R) cắt đường thẳng d hai điểm A, B Từ điểm M d ngồi đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến MP, MQ   QPO  đường tròn ngoại tiếp MPQ qua hai điểm cố định M a) Chứng minh rằng: QMO di động d b) Xác định vị trí M để MQOP hình vng? c) Tìm quỹ tích tâm đường tròn nội tiếp MPQ M di động d Bài tập 66: Hai đường tròn tâm O tâm I cắt hai điểm A B Đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) (I) P, Q Gọi C giao điểm hai đường thẳng PO QI Biên soạn: Trần Trung Chính 117 www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: a) Chứng minh tứ giác BCQP, OBCI nội tiếp b) Gọi E, F trung điểm AP, AQ, K trung điểm EF Khi đường thẳng d quay quanh A K chuyển động đường nào? c) Tìm vị trí d để PQB có chu vi lớn Bài tập 67: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = cm; AC = cm A’C = 13 cm Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật Bài tập 68: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ 25 cm2 Tính thể tích diện tích tồn phần hình lập phương Bài tập 69: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = 15 cm, AC’ = 20 cm  A 'AC'  600 Tính thể tích diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật Bài tập 70: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ Tính diện tích xung quanh thể tích biết cạnh đáy dài cm góc AA’B 300 Bài tập 71: Cho ABC cạnh a Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G ABC Trên đường thẳng d lấy điểm S Nối SA, SB, SC a) Chứng minh rằng: SA = SB = SC b) Tính diện tích tồn phần thể tích hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a a Bài tập 72: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a đường cao a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình chóp Bài tập 73: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy cạnh bên a a) Tính diện tích tốn phần hình chóp b) Tính thể tích hình chóp Bài tập 74: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiếu cao 15cm thể tích 1280cm3 a) Tính độ dài cạnh đáy b) Tính diện tích xung quanh hình chóp Bài tập 75: Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ 75cm2, diện tích đáy lớn gấp lần diện tích đáy nhỏ chiều cao cm Tính thể tích hình chóp cụt Bài tập 76: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) a) Tính thể tích hình chóp b) Chứng minh bốn mặt bên tam giác vng c) Tính diện tích xung quanh hình chóp Bài tập 77: Một hình trụ có đường cao đường kính đáy Biết thể tích hình trụ 128cm3, tính diện tích xung quanh Bài tập 78: Một hình nón có bán kính đáy cm diện tích xung quanh 65cm2 Tính thể tích hình nón Bài tập 79: Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn cm, đường cao 12cm đường sinh 13 cm a) Tính bán kính đáy nhỏ b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt Bài tập 80: Một hình cầu có diện tích bề mặt 36 cm2 Tính thể tích hình cầu Biên soạn: Trần Trung Chính 118 www.TaiLieuLuyenThi.com [...]... www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: - Cơng thức tính diện tích mặt cầu: S = 4R2 hay S = d2 (Với R là bán kính mặt cầu, d là đường kính mặt cầu) - Thể tích hình cầu: 4 V  R 3 3 (Với R là bán kính mặt cầu) Biên soạn: Trần Trung Chính 12 www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHỦ ĐỀ 1 NHẬN BIẾT VÀ TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA MỘT HÌNH 1 Kiến thức... pháp chứng minh hình thang vng: Phương pháp 1: Hình thang vng là hình thang có một góc vng Phương pháp chứng minh hình thang cân: Phương pháp 1: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau Phương pháp 2: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau Phương pháp 3: Hình thang cân là hình thang có hai đường chéo bằng nhau 1.6 Hình bình hành: Định nghĩa: Hình bình hành là... ABCD A B D C Chu vi hình chữ nhật: C  2  AB  BC   2  AD  DC  ABCD Biên soạn: Trần Trung Chính 14 www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: Diện tích hình chữ nhật: S  AB.CD Các phương pháp chứng minh hình chữ nhật: Phương pháp 1: Tứ giác có ba góc vng Phương pháp 2: Hình thang cân có một góc vng Phương pháp 3: Hình bình hành có một góc vng Phương pháp 4: Hình bình hành có hai... Phương pháp chứng minh hình vng: Phương pháp 1: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau Phương pháp 2: Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với nhau Phương pháp 3: Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc ABCD 2 2 2 2 ABCD Biên soạn: Trần Trung Chính 15 www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: Phương pháp 4: Hình thoi có một góc vng Phương pháp 5: Hình thoi có hai... 1.5 Hình thang, hình thang cân, hình thang vng: Diện tích hình thang: 1 S   AB  CD  AH 2 Tính chất: Định lý 1: Trong hìn thang cân, hai cạnh bên bằng nhau Định lý 2: Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau Định lý 3: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân Đường trung bình của hình thang: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình. .. Biên soạn: Trần Trung Chính  10 www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: - Cơng thức tính độ dài đường tròn: C = 2R = d (R là bán kính, d là đường kính) - Cơng thức tính độ dài cung tròn: Trên đường tròn bán kính R, độ dài l của một cung n0 được tính như sau: Rn l 180 8.13 Diện tích hình tròn, hình quạt tròn: - Diện tích hình tròn: S = R2 - Diện tích hình quạt tròn: S R 2 n lR... Trung Chính 13 www.TaiLieuLuyenThi.com .:: CHUN ĐỀ ƠN THI VÀO LỚP 10 :: B A N M C D Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai Định lý 2: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy 1 MN  AB  CD  2 Phương pháp chứng minh hình thang: Phương pháp 1: Hình thang là tứ giác có hai... bằng nhau Phương pháp 3: Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với nhau Phương pháp 4: Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc 1.9 Hình vng: B A ABCD ABCD C D Định nghĩa: Hình vng là tứ giác có bốn góc vng và bốn cạnh bằng nhau Tính chất: Hình vng có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi Chu vi hình vng: C  4AB  4BC  4CD  4AD Diện tích hình vng: S  AB  BC... lR hay S  360 2 R O n0 l R O n0 9 Hình học khơng gian: l Hình trụ - diện tích xung quanh của hình trụ: - Diện tích xung quanh: Sxq = 2Rh R (R là bán kính đáy và h là chiều cao) - Diện tích tồn phần: Stp = 2Rh + 2r2 = 2R(h + R) h - Thể tích hình trụ: V = Sh = R2h (S là diện tích đáy, h là chiều cao) Hình nón - hình nón cụt: * Hình nón: - Diện tích xung quanh của hình nón: Sxq = Rl (với l là độ... 1.8 Hình thoi: ABCD A D O B C Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau Tính chất: Trong hình thoi: Hai đường chéo vng góc với nhau Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi Chu vi hình thoi: C  4AB  4BC  4CD  4DA Diện tích hình thoi: 1 S  AC.BD  BO.AC  OD.AC 2 Các phương pháp chứng minh hình thoi: Phương pháp 1: Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau Phương pháp 2: Hình