Ñònh lyù : Taäp hôïp caùc ñieåm coù cuøng phöông tích ñoái vôùi hai ñöôøng troøn khaùc taâm laø moät ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi ñöôøng noái hai taâm.. Ñöôøng thaúng naøy ñöôïc [r]
(1)Chuyên đề 14: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG
A KIẾN THỨC CƠ BẢN:
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ
I Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC mặt phẳng :
x'Ox : trục hoành y'Oy : trục tung
O : gốc toạ độ e e1 2,
: véc tơ đơn vị ( e1 e2 1 e1e2
)
Quy ước : Mặt phẳng mà có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vng góc Oxy gọi mặt phẳng Oxy ký hiệu : mp(Oxy)
II Toạ độ điểm véc tơ:
1 Định nghĩa 1: Cho M mp Oxy ( ) Khi véc tơ OM biểu diển cách theo
e e1 2,
bởi hệ thức có dạng : OM xe ye 1 với x,y
.
Cặp số (x;y) hệ thức gọi toạ độ điểm M
Ký hiệu: M(x;y) ( x: hoành độ điểm M; y: tung độ điểm M )
/
1
( ; ) ñ n
M x y OM xe ye
Ý nghóa hình học :
x OP vaø y=OQ
2 Định nghĩa 2: Cho a mp Oxy ( ) Khi véc tơ a biểu diển cách theo
e e1 2,
bởi hệ thức có dạng : a a e a e 1 2 với a ,a1 2
.
Cặp số (a1;a2) hệ thức gọi toạ độ véc tơ a Ký hiệu: a( ; )a a1
/
1 1 2
=(a ;a ) ñ n
a a a e a e Ý nghóa hình học :
1 1 vaø a =A2 2
a A B B
x y e e O ' x ' y ' x x y e e O ' y M Q P x y O ' x ' y M Q P x y x y e e O ' x ' y P a x y O ' x ' y
(2)BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Trong mặt phẳng Oxy vẽ điểm sau: A(2;3), B(-1;4), C(-3;-3), D(4;-2), E(2;0), F(0;-4) III Các công thức định lý toạ độ điểm toạ độ véc tơ :
Định lý 1: Nếu A x y( ; ) B(x ; )A A B yB AB(xB x yA; B yA)
Định lý 2: Nếu a( ; ) a a1 b( ; )b b1
*
1
2
a
b
a b
a b
* a b (a b a1 2; b2)
* a b (a b a1 2; b2)
* k a ( ;ka ka1 2)
(k )
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Cho A(1;3), B(-2;-1), C(3;-4) Tìm toạ độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành
Bài 2: Cho A(1;2), B(2;3), C(-1;-2) Tìm điểm M thoả mãn MA−2MB+2CB=0
IV Sự phương hai véc tơ: Nhắc lại
Hai véc tơ phương hai véc tơ nằm đường thẳng nằm hai đường
thaúng song song
Định lý phương hai véc tơ :
Định lý : Cho hai véc tơ a với b b0
phương a b !k cho a k b
Nếu a0 số k trường hợp xác định sau: k > a hướng b
k < a ngược hướng b
a k
b
Định lý : A B C, , thẳng hàng AB phương AC
(Điều kiện điểm thẳng hàng )
A
B
C
a b
2
a b , b - a
5
) ; (xA yA A
) ; (xB yB B
a b
a b
a
b
(3)
Định lý 5: Cho hai véc tơ a( ; ) a a1 b( ; )b b1
ta coù : a phương b a 2b a b2 0
(Điều kiện phương véc tô
¿a=(a1;a2)
¿b=(b1;b2) VD :
¿a=(1;2) ¿b=(2;4)
BÀI TẬP ÁP DỤNG : Baøi 1: Cho
1 (0; 1); (2;3); ( ;0)
2
A B C
Chứng minh A, B, C thẳng hàng Bài 2: Cho A(1;1), B(√3−2;1+√3
4 ) , C(−2−√3; 1−√3
4 ) Chứng minh A, B, C thẳng hàng
V Tích vơ hướng hai véc tơ: Nhắc lại:
b a b a b .cos( , )a b
2
a a
a a b .a b 0
Định lý 6: Cho hai véc tơ a( ; ) vaø a a1 b( ; )b b1
ta coù : a b a b a b 1 2
(Cơng thức tính tích vơ hướng theo tọa độ)
Định lý 7: Cho hai véc tơ a( ; ) a a1
ta coù : a a12a22
(Cơng thức tính độ dài véc tơ )
A(xA; yA) B(xB; yB)
Định lý 8: Nếu A x y( ; ) vaø B(x ; )A A B yB
AB (xB xA)2(yB yA)2 (Cơng thức tính khoảng cách điểm) Định lý 9: Cho hai véc tơ a( ; ) a a1 b( ; )b b1
ta coù : a b a1 1b a b 2 0
(Điều kiện vuông góc véc tơ)
a
b b
a O
B
A
(4) Định lý 10: Cho hai véc tơ a( ; ) vaø a a1 b( ; )b b1 ta coù
1 2
2 2
1 2
cos( , )
.
a b a b ab
a b
a b a a b b
(Công thức tính góc véc tơ) BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Chứng minh tam giác với đỉnh A(-3;-3), B(-1;3), C(11;-1) tam giác vuông Bài 2: Cho A(2;3), B(8;6√3+3),C(2+4√3;7) Tính góc BAC
VI Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:
Định nghĩa: Điểm M gọi chia đoạn AB theo tỷ số k ( k 1 ) : MA k MB A M B
Định lý 11 : Nếu A x y( ; ) , B(x ; )A A B yB vaø MA k MB
( k 1 ) A B M A B M
x k x
x
k
y k y
y k
Đặc biệt : M trung điểm AB
2 A B M A B M x x x y y y
VII Một số điều kiện xác định điểm tam giác :
1 G trọng tâm tam giaùc ABC ⇔ GA+GB+GC=0 ⇔
xG=xA+xB+xC
3
yG=yA+yB+yC
3
¿{
2
H trực tâm tam giác ABC
AH BC AH BC
BH AC BH AC
' ' ' chân đường cao kẻ từ A
phương AA BC A BA BC IA=IB I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
(5)5
D chân đường phân giác góc A ABC DB AB.DC AC
6
' ' '
D chân đường phân giác ngồi góc A ABC D B AB.D C AC
7 J tâm đường tròn nội tiếp ABC
AB
JA JD
BD
VIII Một số kiến thức thường sử dụng khác:
Công thức tính diện tích tam giác theo toạ độ ba đỉnh :
B Định lý 12: Cho tam giác ABC Đặt AB( ; ) a a1 AC( ; )b b1
ta coù : SABC 1 a b1 2 a b2
C C
Các bất đẳng thức véc tơ :
Định lý 13: Với hai véc tơ ,u v ta ln có :
u v u v
u v u v
Dấu xảy ,u v hai véc tơ phương chiều có trong hai véc tơ véc tơ khơng
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Tìm diện tích tam giác có đỉnh A(-2;-4), B(2;8), C(10;2) Bài 2: Cho tam giác ABC có diện tích với A(3;1), B(1;-3)
1 Tìm C biết C Oy
2 Tìm C biết trọng tâm G tam giác Oy Bài 3: Cho A(1;1), B(-3;-2), C(0;1)
1 Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp I tam giác ABC Chứng minh G, H, I thẳng hàng GH=−2GI
3 Vẽ đường cao AA' tam giác ABC Tìm toạ độ điểm A' Bài 4: Cho tam giác ABC biết A(6;4), B(-4;-1), C(2;-4)
Tìm toạ độ tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 5: Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC, biết toạ độ đỉnh A( 1;2), (5;7), (4; 3) B C
Baøi 6: Cho ba ñieåm A(1;6), B(-4;-4), C(4;0)
1 Vẽ phân giác AD phân giác ngồi AE Tìm toạ độ D E Tìm toạ độ tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC
Bài 7: Cho hai điểm A(0;2), B(−√3;−1) Tìm toạ độ trực tâm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp
B
A
C D
J
u
v v u
(6)cuûa tam giaùc OAB (TS A 2004)
Bài 8: Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;0), B(4;0), C(0;m) với m≠0 Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC theo m Xác định m để tam giác GAB vuông G (TS D 2004)
-Hết -ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I Các định nghĩa VTCP PVT đường thẳng:
a
là VTCP đường thẳng () đn
a có giá song song trùng với ( )
a
n
VTPT đường thẳng () đn
n có giá vng góc với ( )
n
* Chú ý:
Nếu đường thẳng () có VTCP a( ; )a a1
có VTPT n ( a a2; )1
Nếu đường thẳng () có VTPT n( ; )A B
có VTCP a ( ; )B A
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Cho đường thẳng ( ) đi qua hai điểm A(1;-2), B(-1;3) Tìm VTCP VTPT ( )
II Phương trình đường thẳng :
1 Phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng :
a(a ;a ) y a Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy) Đường thẳng () qua M0(x0;y0) nhận a( ; )a a1
laøm VTCP có :
) ( n
a
a ()
a
n
) (
(7)M(x ; y) Phương trình tham số :
0
0
( ) : ( )
x x t a
t
y y t a
x O M0(x0; y0)
Phương trình tắc :
0
1
( ) :x x y y
a a
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Cho hai điểm A(-1;3), B(1;2) Viết phương trình tham số tắc đường thẳng qua A, B Bài 2: Các điểm P(2;3); Q(4;-1); R(-3;5) trung điểm cạnh tam giác Hãy lập phương trình tắc đường thẳng chứa cạnh tam giác
2 Phương trình tổng qt đường thẳng :
n(A;B) y a Phương trình đường thẳng qua điểm M0(x0;y0) có VTPT n( ; )A B
laø:
M(x ; y)
x O
M0(x0; y0)
( ) : ( A x x 0)B y y( 0) 0 BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Cho tam giác ABC biết A( 1;2), (5;7), (4; 3) B C
Viết phương trình đường cao tam giác Viết phương trình đường trung trực tam giác Bài 2: Cho tamgiác ABC với A(1;-1) ; B(-2;1); C(3;5).
a) Viết phương trình đường vng góc kẻ từ A đến trung tuyến BK tam giác ABC b) Tính diện tích tam giác ABK
b Phương trình tổng quát đường thẳng :
Định lý :Trong mặt phẳng (Oxy) Phương trình đường thẳng () có dạng :
Ax + By + C = với A2B2 0
Chú ý:
Từ phương trình ():Ax + By + C = ta ln suy :
1 VTPT () laø n( ; )A B
2 VTCP () a ( ; ) hay a ( ;B A B A )
3 M x y0( ; ) ( )0 Ax0By0C0 )
; ( 0 x y
M ) ; (A B n
x y
O
) ; ( B A a
) ; (B A a
(8)Mệnh đề (3) hiểu :
Điều kiện cần đủ để điểm nằm đường thẳng tọa độ điểm nghiệm phương trình đường thẳng
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Viết phương trình tham số đường thẳng biết phương trình tổng quát 5x 2y 3
Bài 2: Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua M(-1;2) song song ( ) : 2 x 3y 4
Bài 3: Viết phương trình tổng qt đường thẳng qua N(-1;2) vng góc ( ) : 2 x 3y 4
Bài 4: Cho hai điểm A(-1;2) B3;4) Tìm điểm C đường thẳng x-2y+1=0 cho tam giác ABC vuông C
Bài 5: Cho A(1;1) ; B(-1;3) đường thẳng d:x+y+4=0. a) Tìm d điểm C cách hai điểm A, B
b) Với C tìm Tìm D cho ABCD hình bình hành Tính diện tích hình bình hành 3 Các dạng khác phương trình đường thẳng :
a Phương trình đường thẳng qua hai điểm A(xA;yA) B(xB;yB) :
( ) :
A A
B A B A
x x y y
AB
x x y y
(AB x x) : A (AB y y) : A
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(-2;1), C1;5) Viết phương trình ba cạnh tam giác
b Phương trình đường thẳng qua điểm M0(x0;y0) có hệ số góc k:
y Định nghĩa: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng Gọi ( , )Ox k tg gọi hệ số
goùc
củađường thẳng
x α
O
Định lý 1: Phương trình đường thẳng qua M x y0( ; )0 có hệ số góc k :
y - y = k(x - x )0 0 (1)
) ; (xB yB
B A(xA;yA)
) ; (xB yB B A x xB A
y
B y
x y
) ; (xA yA
A B(xB;yB) A
y yB
x y
) ; (x y M
x y
O x0
0
y
(9)
Chú ý 1: Phương trình (1) khơng có chứa phương trình đường thẳng qua M0 vng góc Ox nên sử dụng ta cần để ý xét thêm đường thẳng qua M0 vng góc Ox x = x0
Chú ý 2: Nếu đường thẳng có phương trình y ax b hệ số góc đường thẳng k a Định lý 2: Gọi k1, k2 hệ số góc hai đường thẳng 1, ta có :
1//2 k1 k2
1 k 1k2 1
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Viết phương trình đường thẳng qua A(-1;2) vng góc với đường thẳng x 3y 4
c Phương trình đt qua điểm song song vng góc với đt cho trước:
i Phương trình đường thẳng ( ) //( ): Ax+By+C=0 có dạng: Ax+By+m =01 ii Phương trình đường thẳng ( ) ( ): Ax+By+C=0 có dạng: Bx-Ay+m =01 Chú y ù: m m1; 2 xác định điểm có tọa độ biết nằm 1;
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua M(-1;2) song song ( ) : 2 x 3y 4
Bài 2: Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua N(-1;2) vng góc ( ) : 2 x 3y 4
III Vị trí tương đối hai đường thẳng :
Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng :
1 1
2 2
( ) :
( ) :
A x B y C A x B y C
2
1
y
1
y
0
: 2
1
Bx Ay m
x y
O x0
1
M
0
: 1
Ax By C
0
:
1
1
m
B
y
A
x x
y
O
0
x
0
:
1
C
B
y
A
x
1
M
(10)Vị trí tương đối ( ) ( )1 2 phụ thuộc vào số nghiệm hệ phương trình :
1 1
2 2
0
A x B y C A x B y C
hay
1 1
2 2
(1)
A x B y C
A x B y C
Chú ý: Nghiệm (x;y) hệ (1) tọa độ giao điểm M ( ) ( )1 2 Định lý 1:
1
1
1
Hệ (1) vô nghiệm ( )//( ) Hệ (1) có nghiệm ( ) cắt ( )
Hệ (1) có vô số nghiệm ( ) ( )
i ii iii
Định lý 2: Nếu A B C2; ;2 2 khác thì
1 2
1 1
1
2 2
1 1
1
2 2
A ( ) caét ( )
A A ( ) // ( ) A A ( ) ( ) A B i B B C ii B C B C iii B C
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Cho tam giác ABC có phương trình ba cạnh
( ) : 17 ( ) : 13 ( ) :
AB x y
AC x y
BC x y
Tìm toạ độ ba đỉnh A, B, C
Bài 2: Cho tamgiác ABC có đỉnh A(2;2) Lập phương trình cạnh tam giác ABC.Biết rằng đường thẳng 9x-3y-4=0 x+y-2=0 đường cao tam giác xuất phát từ B C
Bài 3: Tuỳ theo m, biện luận vị trí tương đối hai đường thẳng sau:
1
:
:
d mx y m d x my
IV Góc hai đường thẳng
Định lý : Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng :
1 1
2 2
( ) :
( ) :
A x B y C A x B y C
Gọi (00 900) góc ( ) ( )1 2 ta có :
x x
O
2
2
caét x O
(11)
1 2
2 2
1 2
cos
A A B B
A B A B
Hệ quả:
( ) ( ) 1 2 A1 2A B B1 0 BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(0;1) tạo với đường thẳng : x+2y+3=0 góc 450
Bài 2: Lập phương trình cạnh hình vng có đỉnh (-4;5) đường chéo có phương trình 7x-y+8=0
V Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng :
Định lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( ) : Ax By C 0 điểm M x y0( ; )0 0
Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng ( ) tính cơng thức:
0
0 2 2
( ; ) Ax By C
d M
A B
Định lý 2: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng :
1 1
2 2
( ) :
( ) :
A x B y C A x B y C
Phương trình phân giác góc tạo ( ) ( )1 2 :
1 1 2
2 2
1 2
A x B y C A x B y C
A B A B
Định lý 3: Cho đường thẳng (Δ1):Ax+By+C=0 hai điểm M(xM;yM), N(xN;yN) không nằm
( Δ ) Khi đó:
N Hai điểm M , N nằm phía ( Δ )
(AxM+ByM+C)(AxN+ByN+C)>0
Hai điểm M , N nằm khác phía ( Δ )
(AxM+ByM+C)(AxN+ByN+C)<0
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Cho tam giác ABC biết A(1;-1) ; B(-2;1); C(3;5) Tính chiều cao kẻ từ A
Bài 2: Cho hai đường thẳng d1: 2x y & d2: 2x4y 0 Viết phương trình đường phân giác
góc tạo d1 d2
Bài 3: Cho tam giác ABC với A(-6;-3); B-4;3), C9;2) Lập phương trình đường phân giác góc A tam giác ABC
Bài 4: Cho hai điểm P(2;5) Q(5;1) Lập pt đường thẳng qua P cách Q đọan có độ dài 3 Bài 5: Cho ba đường thẵng (d1):x+y+3=0,(d2):x − y −4=0,(d3):x −2y=0 Tìm tọa độ điểm M
nằm đường thẳng (d3) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (d1) hai lần khoảng x y
O ) (
0
M
H
1
x y
O
2
M N
M
N
(12)cách từ M đến đường thẳng (d2) VI Chùm đường thẳng :
1 Định nghĩa: Tập hợp đường thẳng qua điểm I gọi chùm đường thẳng I gọi đỉnh chùm
Một chùm đường thẳng hoàn toàn xác định biết : i Đỉnh chùm
ii Hai đường thẳng chùm
2 Định lý: Trong Mp(Oxy) cho hai đường thẳng 1, cắt xác định phương trình :2
1 1
2 2
( ) :
( ) :
A x B y C A x B y C
Khi : Mỗi đường thẳng qua giao điểm 1, có phương trình dạng:2
( ) : ( A x B y C1 1)(A x B y C2 2) ( 22 0) Chú ý:
1 vaø
Đặc bieät :
1
1 1 2
1 1 2
Nếu trường hợp phương trình viết dạng sau:
m(A ) (A )
hoặc (A ) (A )
x B y C x B y C
x B y C n x B y C
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm hai đường thẳng 3x 5y 2 & 5x 2y 4
và vuông góc với đường thẳng ( ) : 2d x y 4 0.
I I
2
1
I
I I
2
1
I
(13)BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Phương trình hai cạnh tam giác mặt phẳng tọa độ 5x-2y+6=0 4x+7y-21=0 Viết phương trình cạnh thứ ba tam giác biết trực tâm tam giác trùng với gốc tọa độ Bài 2: Cho tam giác ABC , cạnh BC có trung điểm M(0;4) cịn hai cạnh có phương trình 2x+y-11=0 x+4y-2=0
a) Xác định đỉnh A
b) Gọi C điểm đường thẳng x+4y-2=0, N trung điểm AC Tìm điểm N tính tọa độ B, C
Bài 3: Cho tam giác ABC có M(-2;2) trung điểm BC , cạnh AB có phương trình x-2y-2=0, cạnh AC có phương trình : 2x+5y+3=0.Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Bài 4: Cho tam giác ABC có đỉnh B(3;5) đường cao kẻ từ A có phương trình 2x-5y+3=0 đường trung tuyến kẻ từ C có phương trình x+y-5=0
a) Tính tọa độ điểm A
b) Viết phương trình cạnh tam giác ABC
Bài 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;-1) có cạnh AB:4x+y+15=0 vàAC:2x+5y+3=0 a) Tìm tọa độ đỉnh A tọa độ trung điểm M BC
b) Tìm tọa độ điểm B viết phương trình đường thẳng BC Bài 6: Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3).
a) Biết đường cao BH: 5x+3y-25=0, đường cao CK: 3x+8y-12=0 Tìm tọa độ đỉnh B , C b) Biết đường trung trực AB 3x+2y-4=0 trọng tâm G(4;-2) Tìm B, C
Bài 7: Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1) đường cao trung tuyến ke û từ đỉnh có phương trình 2x-3y+12=0 2x+3y=0
Bài 8: Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết A(1;3) hai đường trung tuyến có phương trình x-2y+1=0 y-1=0
Bài 9: Cho tam giác ABC biết C(4;3) phân giác (AD):x+2y-5=0, trung tuyến (AE) 4x+13y-10=0.Lập phương trình ba cạnh
(14)Bài 10: Cho tam giác ABC biết A(2;-1) phương trình hai đường phân giác góc B C d: x-2y+1=0 x+y+3=0 Tìm phương trình đường thẳng chứa cạnh BC Bài 11: Cho điểm M(-2;3) Tìm phương trình đường thẳng qua M cách hai điểm A(-1;0) B(2;1)
Bài 12: Cho A(2;-3) , B(3;-2) Trọng tâm G tam giác nằm đường thẳng d: 3x-y-8=0, diện tích tam giác ABC 3/2 Tìm C
Bài 13: Viết phương trình đường thẳng song song với d: 3x-4y+1=0 có khỏang cách đến đường thẳng d
Bài 14: Cho tam giác cân ABC biết phương trình cạnh đáy AB:2x-3y+5=0 cạnh bên AC:x+y+1=0 Tìm phương trình cạnh bên BC biết qua điểm D(1;1)
Bài 15: Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3) , đường cao BH nằm đường thẳng y=x , phân giác góc C nằm đường thẳng x+3y+2=0 Viết phương trình cạnh BC
Bài 16: Cho đường thẳng d: 2x+y-4=0và hai điểm M(3;3) , N(-5;19).Hạ MK d gọi P điểm
đối xứng M qua d: a) Tìm tọa độ K P
b) Tìm điểm A d cho AM + AN có giá trị nhỏ tính giá trị
Bài 17: Cho tam giác ABC vng A , phương trình BC 3x y 0 , đỉnh A B
thuộc trục hịanh bán kính đường trịn nội tiếp Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC
Bài 18: Cho hình chử nhật ABC có tâm I(1/2;0) , phương trình đường thẳng AB x-2y+2=0 AB=2AD Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D biết đỉnh A có hịanh độ âm
Bài 19: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng d x y1: 0 d2: 2x y 1 0 Tìm toạ độ đỉnh
hình vng ABCD biết đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 đỉnh B,D thuộc trục hoành
(15)ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I Phương trình đường trịn:
Phương trình tắc:
Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình đường trịn (C) tâm I(a;b), bán kính R :
( ) : (C x a )2(y b )2 R2 (1)
Phương trình (1) gọi phương trình tắc đường trịn Đặc biệt: Khi I O ( ) :C x2y2 R2 (hay: y R2 x2 ) BAØI TẬP ỨNG DỤNG :
Bài 1: Viết phương trình đường trịn đường kính AB biết A(1;3), B(3:-5)
Bài 2: Viết phương trình đường trịn có tâm I(-1;2) tiếp xúc đường thẳng ( ) : 3 x 4y 2
Phương trình tổng quát:
Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình : x2y2 2ax 2by c 0 với a2b2 c0
phương trình đường trịn (C) có tâm I(a;b), bán kính R a2b2 c
BAØI TẬP ỨNG DỤNG: x y
O
) ; (a b I
R a b
) ; (x y M
(16)Bài 1 : Xác định tâm bán kính đường trịn ( ) :C x2 y22x 4y 20 0
Bài : Viết phương trình đường trịn (C) qua ba điểm A(3;3), B(1;1),C(5;1) Bài 3: Cho phương trình : x2y24mx 2my2m 3 0 (1)
Định m để phương trình (1) phương trình đường trịn (Cm) II Phương trình tiếp tuyến đường tròn:
Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình tiếp tuyến với đường trịn ( ) :C x2y2 2ax 2by c 0tại điểmM x y( ; ) ( )0 0 C :
( ) : x x y y a x x0 ( 0) b y y( 0) c
BAØI TẬP ỨNG DỤNG:
Xét đường tròn (C) qua ba điểm A(-1;2), B(2;0), C(-3;1) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) A
IV Phương tích điểm đường tròn: Nhắc lại :
Định nghĩa: Cho đường tròn (O;R) điểm M cố định
Phương tích điểm M đường tròn (O) ký hiệu ÃM/(O) số xác định sau: ÃM/(O) = d2 R2 ( với d = MO )
Chú ý :
ÃM/(O) > M ngồi đường trịn (O)
ÃM/(O) < M đường tròn (O)
ÃM/(O) = M đường tròn (O)
Định lý :
Trong mp(Oxy) cho điểm M x y( ; )0 và đường tròn x2y2 2ax 2by c 0 với
a2b2 c0 có tâm I(a;b) bán kính R a2b2 c Phương tích điểm M
đường tròn (C)
ÃM/(O) = x20 y20 2ax0 2by0c BAØI TẬP ỨNG DỤNG:
Cho đường tròn (C):x2y22x 4y 0 điểm A(3;5) Xét vị trí điểm A đường trịn
(C)
IV Trục đẳng phương hai đường tròn: Nhắc lại:
(C) I(a;b) )
(
) ;
( 0
0 x y
M
(C)
I M
(17)Định lý : Tập hợp điểm có phương tích hai đường trịn khác tâm một đường thẳng vng góc với đường nối hai tâm
Đường thẳng gọi trục đẳng phương hai đường trịn Cách xác định trục đẳng phương
Định lý :
Cho hai đường trịn (C1) (C2) khơng tâm có phương trình:
2
1 1
2
2 2
( ) : 2
( ) : 2
C x y a x b y c
C x y a x b y c
Phương trình trục đẳng phương (C1) (C2) :
( ) : 2( a a x1 2) 2(b b y c1 2) 2 c10
Cách nhớ: x2 y2 2a x1 2b y c1 1x2y2 2a x2 2b y c2 BAØI TẬP ỨNG DỤNG:
Xác định phương trình trục đẳng phương hai đường trịn sau:
2
2 2
( ) :
( ) : 16
C x y y
C x y x y
VI Các vấn đề có liên quan:
Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn:
(C)
I R M H I R M ≡ H (C) (C) I R H M
)
(C1 ( )
2
C
2
I
1
I
) (C1
) (C2
I I2 M
( )
1
C
) (C2
I I2
M
) (C2
) (C1
) (C3
1
2
I
1
I I2
3
I
(18)Định lý:
( ) ( ) C d(I; ) > R
( ) tiếp xúc (C) d(I; ) = R ( ) caét (C) d(I; ) < R
BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Bài 1: Cho đường trịn (C):(x 3)2(y1)2 4 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp
tuyến qua điểm M(6;3)
Bài 2: Cho đường trịn (C):x2y2 6x2y 5 0 Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn biết
tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) : 2d x y 10 0
Bài 3: Cho đường tròn (C):x2+y2−2x −6 y+6=0 điểm M(-3;1) Gọi T1, T2 tiếp điểm
tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) Viết phương trình đường thẳng T1T2
Vị trí tương đối hai đường tròn :
1 2
1 2 2
1 2
1
( ) vaø (C ) không cắt I I > R
( ) (C ) cắt R < I I < R ( ) (C ) tiếp xúc ngồi I I = R
( ) (C ) tiếp xúc
C R
C R R
C R
C
1 2
nhau I I = R R
BAØI TẬP ỨNG DỤNG:
Xác định vị trí tương đối hai đường trịn sau:
2
2 2
( ) :
( ) : 16
C x y y
C x y x y
VII: Chùm đường tròn:
Định lý: Cho hai đường tròn cắt :
1
I R1
1
C
2
I
2
R
2
C
1
I R1
1
C
2
C
2
R
2
I
1
C
1
I R1
2
C
2
R
2
I
1
C
2
C
1
I
2
I
(19)
2
1 1
2
2 2
( ) : 2
( ) : 2
C x y a x b y c
C x y a x b y c
Phương trình đường trịn (C) qua giao điểm (C1) (C2) có dạng :
2 2 2
1 1 2
(x y 2a x 2b y c ) (x y 2a x 2b y c ) ( + 0)
BAØI TẬP ỨNG DỤNG:
Viết phương trình đường trịn qua giao điểm hai đường tròn ( ) :C1 x2y210x0;( ) :C2 x2y24x 2y 20 0
và qua điểm A(1;-1)
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh A(1;1); B(-1;2); C(0;-1). Bài 2: Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh nằm ba đường thẳng
x
(d ) : y ;(d ) : y x 2;(d ) : y x 5
Bài 3: Lập phương trình đường trịn nội tiếp tam giác có ba đỉnh A(-1;7); B(4;-3); C(-4;1). Bài 4: Lập phương trình đường trịn qua điểm A(-1;1) B(1;-3) có tâm nằm đường
thaúng (d):2x - y + =
Bài 5: Lập phương trình đường trịn qua điểm A(-1;-2) tiếp xúc với đường thẳng (d): 7x-y-5=0 điểm M(1;2)
Bài 6: Lập phương trình đường trịn có tâm nằm đường thẳng 2x+y=0 tiếp xúc với đường thẳng x-7y+10=0 điểm A(4;2)
Bài 7: Viết phương trình đường trịn có tâm nằm đường thẳng 4x +3y - = tiếp xúc với hai đường thẳng : x + y + = 7x - y + =
Bài 8: Viết phương trình đường trịn qua điểm A(2;-1) tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox,Oy. Bài 9: Cho đường trịn (C):(x-1)2 +(y-2)2=4 đường thẳng (d):x-y-1=0 Viết phương trình đường tròn (C') đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng (d) Tìm toạ độ giao điểm (C) (C').
Bài 10:Cho hai đường tròn: (C1):x2y210x0 (C2): x2y24x 2y 20 0
1 Viết phương trình đường trịn qua giao điểm (C1) (C2) có tâm nằm đường thẳng (d): x + 6y - =
2 Viết phương trình tiếp tuyến chung đường tròn (C1) (C2)
Bài 11: Cho hai đường tròn: (C1):x2y2 4y 0 (C2): x2y2 6x8y16 0
Viết phương trình tiếp tuyến chung đường tròn (C1) (C2) Bài 12: Cho hai đường tròn :
2
2 2
(C ) : x y 4x 2y (C ) : x y 10x 6y 30
có tâm I J
(20)1) Chứng minh (C1) tiếp tiếp xúc với (C2) tìm tọa độ tiếp điểm H
2) Gọi (D) tiếp tuyến chung không qua H (C1) (C2) Tìm tọa độ giao điểm K (D) đường thẳng IJ.Viết phương trình đường tròn (C) qua K tiếp xúc với hai đường tròn (C1) (C2) H
Bài 13: Cho điểm M(6;2) đường tròn (C):x2y2 2x 4y0 Lập phương trình đường thẳng
(d) qua M cắt (C) hai điểm phân bieät A, B cho AB 10
Bài 14: Cho đường tròn (C): x2y2 9 điểm A(1;2) Hãy lập phương trình đường thẳng
chứa dây cung cuả (C) qua A cho độ dài dây cung ngắn Bài 15: Cho đường tròn (C): x2 y2 2x 6y 6 9 điểm M(2;4)
1 Chứng tỏ điểm M nằm trongđường trịn
2 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M, cắt đường tròn hai điểm A B cho M trung điểm AB
3 Viết phương trình đường trịn đối xứng với đường tròn cho qua đường thẳng AB Bài 16: Trong mp(Oxy) cho họ đường tròn (Cm) có phương trình :
2
x y (2m 5)x (4m 1)y 2m 4 0
1) Chứng tỏ (Cm) qua hai điểm cố định m thay đổi 2) Tìm m để (Cm) tiếp xúc trục tung
Bài 17: Cho họ đường trịn (Cm) có phương trình : x2y2 (m 2)x 2my 0
1) Tìm tập hợp tâm đường tròn (Cm)
2) Cho m = -2 điểm A(0;-1) Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C-2) vẽ từ A
Bài 18: Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C):x2y2 2x 6y 9
1 Tiếp tuyến song song với đường thẳng x-y=0 Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng 3x-4y=0
Bài 19: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C):(x1) (2 y 2)2 9 Xác định toạ
độ điểm B, C biết điểm A(-2;2)
Bài 20: Trong mp(Oxy) cho họ đường tròn (Cm) có phương trình : x2 2mx y 22(m 1)y 12 0
1) Tìm tập hợp tâm đường tròn (Cm)
2) Với giá trị m bán kính họ đường tròn cho nhỏ nhất? Bài 21: Cho hai họ đường tròn :
'
2 m
2 m
(C ) : x y 2mx 2(m 1)y (C ) : x y x (m 1)y
Tìm trục đẳng phương hai họ đường trịn Chứng tỏ m thay đổi trục đẳng phương ln ln qua điểm cố định
Bài 22: Cho hai đường tròn : 2
2 2
(C ) : x y 2x 9y (C ) : x y 8x 9y 16
1) Chứng minh hai đường tròn (C1) (C2) tiếp xúc
2) Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn (C1) (C2) Bài 23: Cho hai đường tròn :
(21)2
2 2
(C ) : x y 10x
(C ) : x y 4x 2y 20
Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn (C1) (C2) Bài 24: Cho hai đường tròn :
2
2 2
(C ) : x y 4x (C ) : x y 6x 8y 16
Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn (C1) (C2)
Bài 25: Cho hai điểm A(2;0), B(6;4) Viết phương trình đường trịn (C) tiếp xúc với trục hồnh điểm A khoảng cách từ tâm (C) đến điểm B (TS.K.B2005)
Ứng dụng phương trình đường trịn để giải hệ có chứa tham số Bài 1: Cho hệ phương trình :
2
x y
x y a
Xác định giá trị a để hệ phương trình có nghiệm Bài 2: Cho hệ phương trình :
2 0
0
x y x
x ay a
Xác định giá trị a để hệ phương trình có nghiệm phân biệt Bài 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm nhất
2
2
(x 2) y m
x (y 2) m
ĐƯỜNG ELÍP TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I.Định nghĩa:
Elíp (E) tập hợp điểm M có tổng khoảng cách đến hai điểm cố định F1; F2 số * Hai điểm cố định F1; F2 gọi tiêu điểm
* F1F2 = 2c ( c > ) gọi tiêu cự
F1
F2 (E)M / MF MF1 2a ( a>0 : haèng số a>c )
II Phương trình tắc Elíp yếu tố: Phương trình tắc:
(E)
2c M
(22)2 2
x y
(E) :
a b với b2 a2 c2 ( a > b) (1)
2 Các yếu tố Elíp:
* Elíp xác định phương trình (1) có đặc điểm: - Tâm đối xứng O, trục đối xứng Ox; Oy
- Tiêu điểm F1(-c;0); F2(c;0) - Tiêu cự F1F2 = 2c
- Trục lớn nằm Ox; độ dài trục lớn 2a ( = A1A2 ) - Trục nhỏ nằm Oy; độ dài trục lớn 2b ( = B1B2 ) - Đỉnh trục lớn : A1(-a;0); A2(a;0)
- Đỉnh trục nhỏ :B1(0;-b); B2(0;b) - Bán kính qua tiêu điểm:
Với M(x;y) (E)
1 2
c
r MF a x a ex
a c
r MF a x a ex
a
- Taâm sai : c
e (0 e 1)
a
- Đường chuẩn :
a x
e
III Phương trình tham số Elíp:
x acost (E) :
y bsin t
t [0;2 )
IV Tiếp tuyến Elíp:
Định lý: Phương trình tiếp tuyến với (E) :
2 2
x y 1
a b M0(x0;y0) (E) :
() :
0 2 x x y y 1
a b
-a a
(E)
c -c
y
x
R S
P Q
O
M
1
r
2
r
1
A A2
1
B
2
B
1
F F2
x y
O ) ; ( 0 x y
M
) (E
(23)V Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với Elíp: Định lý: Cho Elíp (E) :
2 2
x y 1
a b đường thẳng ( ) : Ax By C 0 ( A2 + B2 > )
() tiếp xúc (E) A a2 2B b2 C2
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho (E) có hai tiêu điểm F1( 3;0); ( 3;0) F2 đường chuẩn có phương trình
3
x
1 Viết phương trình tắc (E)
2 M điểm thuộc (E) Tính giá trị biểu thức:
2 2
1
P F M F M OM F M F M
3 Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục hoành cắt (E) hai điểm A, B choOA OB
Bài 2: Lập phương trình tắc (E) có tiêu điểm F1( 15;0) , tiếp xúc với (d): x4y10 0 Viết phương trình tiếp tuyến với (E) vng góc với (d): x y 6 0.
Bài 3: Cho Elíp (E) :
2
1
9
x y
đường thẳng (d):mx y 1 0
1 Chứng minh với giá trị m, đường thẳng (d) cắt (E) hai điểm phân biệt Viết phương trình tiếp tuyến (E), biết tiếp tuyến qua điểm A(1;-3)
Bài 4: Lập phương trình tắc (E) có tiêu điểm F1( 10,0); ( 10;0) F2 , độ dài trục lớn 18
Đường thẳng (d) tiếp xúc (E) M cắt hai trục toạ độ A B Tìm M cho diện tích OAB nhỏ nhất.
Bài 5: Cho Elíp (E) :
2
1
8
x y
đường thẳng (d):x y 2 0
CMR (d) cắt (E) hai điểm phân biệt A,B Tính độ dài AB Tìm toạ độ điểm C thuộc (E) cho ABC có diện tích lớn nhất.
Bài 6: Cho hai Elíp :
2 2
1
( ) : vaø (E ) :
16 9 16
x y x y
E
Vieát phương trình tiếp tuyến chung hai elíp
Bài 7: Cho Elíp (E) :
2
1 24 12
x y
Xét hình vng ngoại tiếp (E) ( tức cạnh hình vng tiếp xúc với (E) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh hình vng
Bài 8: Cho Elíp (E) :
2
1
9
x y
Cho A(-3;0),M(-3;a),B(3;0),N(3;b) a,b hai số thay đổi Xác định toạ độ giao điểm I đường thẳng AN BM
2 Chứng minh điều kiện cần đủ để đường thẳng MN tiếp xúc với (E) ab=4
x y
O
) (E
(24)3 Với a,b thay đổi , ln tiếp xúc với (E) Tìm quỹ tích điểm I
ĐƯỜNG HYPEBOL TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I Định nghĩa:
(H) M / MF MF 2a ( a > : haèng số a < c ) (1)
II Phương trình tắc Hypebol yếu tố: Phương trình tắc:
M
1
F 2c F2
(25)
2 2
x y
(H) :
a b với b2 c2 a2 (1)
Caùc yếu tố Hypebol:
* Hypebol xác định phương trình (1) có đặc điểm: - Tâm đối xứng O, trục đối xứng Ox; Oy
- Tiêu điểm F1(-c;0); F2(c;0) - Tiêu cự F1F2 = 2c
- Trục thực nằm Ox; độ dài trục thực 2a ( = A1A2 ) - Trục ảo nằm Oy; độ dài trục ảo 2b ( = B1B2 ) - Đỉnh: A1(-a;0); A2(a;0)
- Phương trình tiệm cận :
b
y x
a
- Bán kính qua tiêu điểm:
Với M(x;y) (H) : Với x >
1 2
r MF a ex
r MF a ex
Với x <
1 2
r MF (a ex)
r MF ( a ex)
- Taâm sai : c
e (e 1)
a
- Đường chuẩn :
a x
e
IV Tiếp tuyến Hypebol:
Định lý: Phương trình tiếp tuyến với (H) :
2 2
x y 1
a b taïi M0(x0;y0) (H) laø :
() :
0 2 x x y y 1
a b x
y
0
M
O
x a b
y x
a b
y
1
F F2
M
x y
1
B
2
B
1
A A2
a c c
a
O
(26)V Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với Hypebol: Định lý: Cho Hypebol (H) :
2 2
x y 1
a b đường thẳng ( ) : Ax By C 0 ( A2 + B2 > ) () tiếp xúc (H) A a2 2 B b2 C2
BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho Hypebol (H):
2
1 16
x y
1 Tìm độ dài trục ảo, trục thực , tâm sai , tiêu điểm F1,F2 (H)
2 Tìm (H) điểm cho MF1MF2 Bài 2: Cho Hypebol (H):
2
2
x y
a b
CMR tích khoảng cách từ điểm M0 (H) đến hai tiệm cận số không đổi Bài 3: Cho Hypebol (H): x2 4y2 4.
1 Viết phương trình tiếp tuyến với (H)
10 ( ; )
3
A
2 Viết phương trình tiếp tuyến với (H) biết vng góc với đường thẳng : : x y 0
3 Viết phương trình tiếp tuyến với (H) kẻ từ M(2;-1) Bài 4: Cho Hypebol (H):
2
2
x y
a b mặt phẳng Oxy
Tìm a,b để (H) tiếp xúc với hai đường thẳng ( ) : 5D1 x 6y16 (D ) :13 x10y 48 0
ĐƯỜNG PARABOL TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I Định nghĩa :
(P)M / MF d(M, * F điểm cố định gọi tiêu điểm
* () đường thẳng cố định gọi đường chuẩn
* HF = p > gọi tham số tiêu
p
K
H
F M
(27)II Phương trình tắc parabol:
1) Daïng 1: Ptct: y2 = 2px 2) Daïng 2: Ptct: y2 = -2px
3) Daïng 3: Ptct: x2 = 2py 4) Daïng 4: Ptct : x2 = -2py
III.Tiếp tuyến parabol:
Định lý: Trong mp(Oxy) Phương trình tiếp tuyến với (P): y2 = 2px M0(x0;y0) (P) : () : y0y = p.(x + x0 )
IV Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với parabol:
Định lý: Trong mp(Oxy) cho (P) : y2 = 2px đường thẳng ( ) : Ax By C 0 (A2 + B2 > 0) () tiếp xúc (P) B p 2AC2
BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho (P): y2= 16x
1 Lập phương trình tiếp tuyến (P), biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d) : 3x-2y+6=0
Lập phương trình tiếp tuyến với (P) kẻ từ M(-1;0) đến (P)
O
x y
M0
(P)
(P )
x y
o y
x p/2 F(-p/2;0)
M
2 / : ) ( xp
y
x
-p/2 :y = -p/2 F(0;p/2)
O
M
F(0;-p/2)
x ( ) : y = p/2 p/2
y
O
M ( ): x=-p/2
O -p/2
F(p/2;0)
x y
M
(28)Bài 2: Lập phương trình tiếp tuyến chung elíp :
2
1
8
x y
vaø parabol: y2 12x.
Baøi 3: Cho A(3;0) vaø (P): y=x2
1 Cho M( )P xM a Tính AM Tìm a để AM ngắn nhất
2 Chứng minh AM ngắn AM vng góc tiếp tuyến M (P)
Bài 4: Cho (P):y2= 2x cho A(2;-2); B(8;4) Giả sử M điểm di động cung nhỏ AB (P) Xác định tọa độ M cho tam diác AMB có diện tích lớn
Bài 5: Cho (P): y2 x điểm I(0;2) Tìm tọa độ hai điểm M, N thuộc (P) cho IM 4IN