Giáo trình toán sơ cấp: Chương 3: Hệ tiêu đề Hinbe

CHƯƠNG IV HỆ TIÊU ĐỀ HINBE I NHÓM I Các tiêu đề liên thuộc: - Khái niệm bản: điểm, đường thẳng, mặt phẳng - Tương quan bản: Thuộc (nằm trên, nằm trong, chứa…) 1.1 Các tiêu đề I1: Cho hai điểm A, B có đường thẳng thuộc điểm A B I2: Cho hai điểm A, B phân biệt có không đường thẳng thuộc điểm I3: Mỗi đường thẳng thuộc hai điểm, có ba điểm không thuộc đường thẳng I4: Cho ba điểm A, B, C có mặt phẳng thuộc điểm Mỗi mặt phẳng thuộc điểm I5: Cho ba điểm A, B, C không thuộc đường thẳng có không mặt phẳng thuộc điểm I6: Nếu hai điểm A, B phân biệt thuộc đường thẳng A đồng thời thuộc mặt phẳng  điểm đường thẳng A thuộc mặt phẳng  Định nghĩa Nếu điểm đường thẳng A  mf() ta nói đường thẳng A () B I7: Nếu hai mặt phẳng có điểm chung chúng có A điểm chung thứ hai  A I8: Có bốn điểm không mặt phẳng B 1.2 Các định lý  Định lý Tương quan hai đường thẳng hai đường thẳng phân biệt có không điểm chung Chứng minh Giả sửa A, B có hai điểm chung A, B (A  B Theo tiêu đề I2 suy a  b Định lý (Tương quan đường thẳng mặt phẳng) Đường thẳng mặt phẳng không thuộc đường thẳng Định lý ( Tương quan mặt phẳng với mặt phẳng) Nếu hai mặt phẳng có điểm chung có đường thẳng chứa tất điểm chung hai mặt phẳng Chứng minh Giả sử () () có điểm chung A 24 A  a Theo I1 có điểm chung thứ B Theo I2 có đường thẳng a  điểm A, B Ta chứng tỏ đường thẳng a chứa tất điểm chung (), ()  a A * *C B *  Thật giả sử có điểm chung C () () nghiệm  đường thẳng a Theo I5 ()  () >< gt  đường thẳng a s Định nghĩa - Nếu hai đường thẳng có điểm chung ta nói chúng cắt Đường thẳng gọi điểm chung giao điểm - Nếu hai mặt phẳng có đường thẳng chung ta nói chúng cắt Đường thẳng gọi giao tuyến - Nếu đường thẳng mặt phẳng có điểm chung ta nói chúng cắt ta gọi giao điểm Định lý Qua điểm đường thẳng không thuộc điểm qua hai đường thẳng cắt có mặt phẳng Định lý Nếu mặt phẳng thuộc ba điểm Chứng minh Theo I4, mặt phẳng ( có điểm A Theo I8 có điểm B  mặt phẳng () Theo I3 có điểm C  đường thẳng AB - Nếu C  () C điểm thứ  mp () - Nếu C  () (ABC) () có điểm chung thứ D (theo I7)  D điểm thứ hai OF () theo I8 có điểm E  (ABCD) - Nếu E  () E điểm thứ ba OF () - Nếu E  ()  theo I7 có điểm F () điểm chung () (ABE) (E  (ABCD) nên E  D)  E điểm thứ ()  Điều phải chứng minh II NHÓM CÁC TIÊN ĐỀ THỨ TỰ Tương quan : 2.1 Các tiên đề 25 II1 Nếu B A C A, B, C thuộc đường thẳng B C A II2 Cho hai điểm A, B phân biệt có điểm C cho A, C III3.Cho ba điểm A, B, C đường thẳng có không điểm hai điểm A Định nghĩa - Mỗi hai điểm A, B xác định đoạn thẳng A B B Kí hiệu: AB BA - C C A Mọi điểm A B gọi thuộc đoạn thẳng AB a III4 ( Tiên đề Pats) Cho ba điểm A, B, C không thuộc đoạn thẳng đoạn thẳng A không thuộc điểm ba B C điểm A, B, C - Nếu đoạn thẳng A có điểm chung với cạnh AB đoạn thẳng a có điểm chung với AC BC 2.2 Một số định lý Định lý Bất hai điểm A, B phân biệt có điểm C E hai điểm D Chứng minh Theo I3 có điểm D  A, B B A C Theo II2 có điểm E cho D A, E F Theo II2 có điểm F cho B E F Áp dụng II4 cho đường thẳng DF điểm A B Điều phải chứng minh Định lý Trong ba điểm A, B, C phân biệt thuộc đường thẳng có điểm hai điểm Chứng minh Giả sử A không B, C; C không A, C Ta chứng minh B A, C B Theo I3 có điểm D  đt AC D Theo II2 có điểm E cho D B, E C F I Áp dụng II4, đường thẳng AD ba điểm D, E, C ta có F E C E Đường thẳng CD ba điểm A, B, E ta có I A E Đường thẳng CI ba điểm A, F, E ta có D A F A B C Đường thẳng ED ba điểm A, F, C ta có B A C A B C F 26 E Định lý Nếu B A, C B, D B, C A, D Nếu B A, D C B, D B A, C A, D Chứng minh Giả sử C nằm A, D (A, D phân biệt) Theo I3 có điểm E không AD Theo II2 có điểm F cho E nằm C, F Áp dụng tiên đề II4 cho: - Đường thẳng AE điểm F, B, C ta có I F, B - Đường thẳng FB điểm A, E, D ta có B A, D Định lý Mỗi đường thẳng có vô số điểm Chứng minh Theo I3: đường thẳng A có hai điểm A, B - Theo II2: có điểm D1 cho B A1D1 - Theo II2: có điểm D2 cho D1 BD2 Theo định lý 7: B, D1 A, D2 A Lại có II2 có điểm D3 cho D2 D1, D3 B D3 D1 D2 Theo định lý 7: Ta có D1, D2 B, D3 Cứ có vô số điểm đoạn thẳng A, B Mặt khắc hai điểm phân biệt có điểm (định lý 6) có điểm C1 A, B Lại theo định lý ta có điểm C1 C1, B Theo định lý Ta có C2 A, B Cứ tiếp tục ta có vô số điểm A, B c Nửa đường thẳng - tia – nửa mặt phẳng – góc Định nghĩa Cho n điểm O, A, B thuộc đường thẳng A O B O a Nếu O A, B ta nói A, B nằm hai phía O Nếu O không A, B ta nói A, B nằm phía với O Định lý 10 Trên đường thẳng a cho mộtđiểm O Điểm O chia điểm đường thẳng a thành hai lớp khác nhau, Hai điểm A, B nằm Phía O thuộc lớp, hai điểm A, B A B nằm hai phía O thuộc hai lớp khác Định nghĩa Mỗi lớp điểm chia định lý với điểm O gọi nửa đường thẳng gốc O 27 Trên nửa đường thẳng lấy điểm A ta nói: ta có tia OA Nếu nửa đường thẳng ta lấy A, B cho A OB tia OA OB khác từ điểm A trước điểm B Như điểm O đường thẳng A tạo đường thẳng hai tia đối Định nghĩa Cho A, B, C không đường thẳng Khi đoạn thẳng AB, BC, AC tạo thành  Khi A, B, C đỉnh  AB, AC, BC cạnh  Định nghĩa Trong mặt phẳng cho đường thẳng A, đường thẳng A chia mặt phẳng thành hai lớp khác Sao cho hai điểm thuộc hai lớp nằm khác phía A đường thẳng A Mỗi lớp điểm với đường thẳng A gọi nửa mặt a phẳng có bờ a 28 Định nghĩa Hai tia Ox, Oy chung gốc tạo thành góc x ̂ Trrong O : gốc ;Ox, Oy : cạnh Kí hiệu : 𝑥𝑂𝑦 O Định nghĩa Hai nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng yMiền x y cắt Giao hai nửa mặt phẳng tạo thành miền vuông góc góc y x III NHÓM III CÁC TIÊN ĐỀ VỀ BẰNG NHAU Tương quan : 3.1 Các tiên đề III1 Cho AB nửa đường thẳng gốc A Bao có điểm B’ nửa đường thẳng gốc A’ cho A’B’  AB " " " " III2 Nếu A’B’  AB A B  AB A’B’ = A B B A III3 Cho A, B, C không thẳng hàng B A, C A’, B’, C’ không A’ thẳng hàng B’ A’, C’ Nếu AB A’B’ BC B’C’ AC A’C’ B’ A B C A’ B’ C’ ̂ III4: Trong mặt phẳng cho (ℎ, 𝑘) nửa mặt phẳng bờ chứa tia k’ Trên nửa mặt phẳng bờ ̂ ̂ chứa tia k’ có điểm tia h’ (chung gốc k’) cho (ℎ, 𝑘) ≡ (ℎ′ , 𝑘 ′) h’ h k ̂ = 𝐴′̂ ̂ = 𝐵′̂ III5 Hai ABC ∆A’B’C’ có 𝐴𝐵𝐶 𝐵′ 𝐶 ′ ; BC = B’C’, AB = A’B’ 𝐵𝐴𝐶 𝐴′ 𝐶 ′ ̂ = 𝐵′̂ 𝐵𝐶𝐴 𝐶 ′ 𝐴′ 3.2.Một số định lý Định lý 11 Ta có: a AB  AB b AB  A’B’ , A’B’ = A”B” AB  A”B” c AB  A’B’ A’B’ = AB 29 k’ Định lý 12 Trên nửa đường thẳng gốc A’, có B’ cho A’B’ = AB (AB cho trước) Chứng minh Giả sử B’, B” thỏa mãn định lý Nghĩa A’B’ = AB; A’B” = AB Theo III2: C A’B’  A’B” Theo I3 có điểm C  đường thẳng A’B” Xét ’CB’ A’CB” có: CA'B'  CA'B"; A'C  A'C, A'B'  A 'B" Theo III5: A C B  A CB ' ' ' ' " A’ Theo III4: tia CB’  tia CB”  B’ B” ( điều phải chứng minh) B” ’ B Định nghĩa 10 Hai tam giác ABC A’B’C’ gọi nếu: A  A" , B  B' , C  C' AB  A’B’, AC  A’C’, BC  B’C’ AB  A’B’, AC  A’C’, BAC  B A C  ' ' ' Định lý 13 Hai tam giác ABC A’B’C’ gọi nếu: A  A' , B  B' , C  C' AB  A’B’, AC  A’C’, BAC  B'A 'C'  Định lý 14 Hai tam giác ABC A’B’C’ có:AB  A’B’, BAC  B A C , ABC  A B C ' ' ' ' ' ' theo trường hợp góc cạnh góc Định lý 15 Nếu ABC có AB = AC ABC  ACB A Địn nghĩa 11 Tam giác ABC có AB = AC ta nói ABC cân A B Định nghĩa 12 - Chung đỉnh cạnh, hai cạnh lại hai tia đối - Hai góc đối đỉnh hai góc có chung đỉnh có hai cặp cạnh hai tia đối - Góc góc bù gọi góc vuông Định lý 16 Hai góc hai góc bù chúng Chứng minh Trên OxOx’ lấy AA’ cho OA = OA’ 30 C OyOy’ lấy BB’ cho OB = OB’ y’ Ox1Ox1' lấy CC’ cho OC = OC’ B’ Mặt khác OA = O’A’ nên theo III3 ta có OC = O’C’ AC = A’C’ (3) Từ (1), (2), (3) ta có: x’1 ’ ’ ’ x’ C’ ABC = A B C (c.g.c)  BC = B C ’ ’ O ' ' Do OC  O C   COB  C'O'B' (c.c.c)  OB  O'B'  A’ y’ B’ ̂ =𝐵 ̂′ Suy 𝐵𝐷𝐶  BDC  B'D'C' hay yOx1  y O x1   ' ' x’1 x’ C’ O A’ Định lý 17 Hai góc đối đỉnh Vì chúng chung góc bù (theo định lý 16) Định lý 18 Mọi góc vuông 3.3 So sánh đoạn thẳng góc Định nghĩa 13 Cho hai đoạn thẳng AB A’B’ Nếu A’B’ = AB ta nối AB[...]...Giả sử: A1  B1 không mất tính tổng quát Giả sử: A1  B1 Theo III4 từ A kẻ tia AC sao cho xAB  B1 Theo định lý 22, Ax // b Theo tiên đề V ta có: Ax  a Vậy A1  B1 Định lý 25 Tổng các góc trong của một tam giác bằng hai vuông a Chứng minh A ̂1 + 𝐴 ̂2 +𝐴 ̂3 = 2 vuông Ta có 𝐴 Mà góc Â1 bằng góc C1( so le trong) Góc A3 bằng góc C1 ( so ...  (ABCD) nên E  D)  E điểm thứ ()  Điều phải chứng minh II NHÓM CÁC TIÊN ĐỀ THỨ TỰ Tương quan : 2.1 Các tiên đề 25 II1 Nếu B A C A, B, C thuộc đường thẳng B C A II2 Cho hai điểm A, B phân... nằm C, F Áp dụng tiên đề II4 cho: - Đường thẳng AE điểm F, B, C ta có I F, B - Đường thẳng FB điểm A, E, D ta có B A, D Định lý Mỗi đường thẳng có vô số điểm Chứng minh Theo I3: đường thẳng A có... hai nửa mặt phẳng tạo thành miền vuông góc góc y x III NHÓM III CÁC TIÊN ĐỀ VỀ BẰNG NHAU Tương quan : 3.1 Các tiên đề III1 Cho AB nửa đường thẳng gốc A Bao có điểm B’ nửa đường thẳng gốc A’