Giáo trình toán sơ cấp: Chương 3: Hệ tiêu đề Hinbe

I2: Cho hai điểm A, B phân biệt bao giờ cũng có không quá một đường thẳng thuộc mỗi điểm đó I3: Mỗi đường thẳng thuộc ít nhất hai điểm, có ít nhất ba điểm không cùng thuộc một đường thẳn

CHƯƠNG IV HỆ TIÊU ĐỀ HINBE

I NHÓM I

Các tiêu đề về liên thuộc:

- Khái niệm cơ bản: điểm, đường thẳng, mặt phẳng

- Tương quan cơ bản: Thuộc (nằm trên, nằm trong, chứa…)

1.1 Các tiêu đề

I1: Cho hai điểm A, B bất kỳ bao giờ cũng có

một đường thẳng thuộc mỗi điểm đó

I2: Cho hai điểm A, B phân biệt bao giờ cũng có

không quá một đường thẳng thuộc mỗi điểm đó

I3: Mỗi đường thẳng thuộc ít nhất hai điểm, có ít nhất ba điểm không cùng thuộc

một đường thẳng

I4: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ bao giờ cũng có một mặt phẳng thuộc mỗi điểm đó

Mỗi mặt phẳng thuộc ít nhất một điểm

I5: Cho ba điểm A, B, C không cùng thuộc một đường thẳng bao giờ cũng có không

quá một mặt phẳng thuộc mỗi điểm đó

I6: Nếu hai điểm A, B phân biệt cùng thuộc trên đường thẳng A và đồng thời cũng

thuộc trên mặt phẳng  thì mọi điểm trên đường thẳng A đều thuộc mặt phẳng 

Định nghĩa 1. Nếu mọi điểm của đường thẳng A  mf() thì ta nói đường thẳng A ()

I7: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng sẽ có một

điểm chung thứ hai nữa

I8: Có ít nhất bốn điểm không cùng một mặt phẳng

1.2 Các định lý

Định lý 1 Tương quan giữa hai đường thẳng hai đường thẳng phân biệt có không quá một

điểm chung

Định lý 2 (Tương quan giữa đường thẳng và mặt phẳng) Đường thẳng và mặt phẳng

không thuộc đường thẳng đó

Định lý 3 ( Tương quan giữa mặt phẳng với mặt phẳng) Nếu hai mặt phẳng có một điểm

chung thì sẽ có một đường thẳng chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó

Chứng minh Giả sử () và () có một điểm chung là A

A

B

a



A B



A

Theo I1 có 1 điểm chung thứ 2 là B nữa

Theo I2 có 1 đường thẳng a  2 điểm A, B

Ta sẽ chứng tỏ đường thẳng a chứa tất cả các điểm

chung của (), ()

Thật vậy giả sử có điểm chung C của () và ()

nghiệm  đường thẳng a

Theo I5 thì ()  () >< gt  đường thẳng a s

Định nghĩa 2 - Nếu hai đường thẳng có một điểm chung thì ta nói chúng cắt nhau Đường

thẳng đó gọi điểm chung đó là giao điểm

- Nếu hai mặt phẳng có một đường thẳng chung ta nói chúng cắt nhau Đường thẳng

đó gọi là giao tuyến

- Nếu đường thẳng và mặt phẳng có một điểm chung thì ta nói chúng cắt nhau và

ta gọi đó là giao điểm

Định lý 4 Qua một điểm và một đường thẳng không thuộc điểm đó hoặc qua hai đường

thẳng cắt nhau bao giờ cũng có một và chỉ một mặt phẳng

Định lý 5 Nếu mặt phẳng thuộc ít nhất ba điểm

Theo I8 có điểm B  mặt phẳng ()

Theo I3 có điểm C  đường thẳng AB

- Nếu C  () thì C là điểm thứ 2  mp ()

- Nếu C  () thì (ABC) và () có 1 điểm chung thứ 2 là D nữa (theo I7)  D là điểm thứ hai OF () tại theo I8 có điểm E  (ABCD)

- Nếu E  () thì E là điểm thứ ba OF ()

- Nếu E  ()  theo I7 thì có một điểm F () là điểm chung của () và (ABE) (E  (ABCD) nên E  D)

 E là điểm thứ 3 của ()  Điều phải chứng minh

II NHÓM 2 CÁC TIÊN ĐỀ THỨ TỰ

Tương quan cơ bản : ở giữa

2.1 Các tiên đề





a

*

26

II1 Nếu B ở giữa A và C thì A, B, C cùng thuộc một đường thẳng và B cũng ở giữa

C và A

II2 Cho hai điểm A, B phân biệt bao giờ cũng có một điểm C sao cho ở giữa A, C III3.Cho ba điểm A, B, C bất kì cùng một đường thẳng bao giờ

cũng có không quá một điểm ở giữa hai điểm kia

Định nghĩa 3 - Mỗi bộ hai điểm A, B xác định được một đoạn thẳng

- Mọi điểm ở giữa A và B gọi là thuộc đoạn thẳng AB

III4 ( Tiên đề Pats) Cho ba điểm A, B, C không cùng thuộc

một đoạn thẳng và một đoạn thẳng A không thuộc điểm nào trong ba

điểm A, B, C

- Nếu đoạn thẳng A có một điểm chung với cạnh AB thì đoạn thẳng a sẽ có một điểm chung nữa với AC hoặc BC

2.2 Một số định lý

Định lý 6 Bất cứ hai điểm A, B phân biệt nào cũng có ít nhất một điểm C ở giữa hai điểm

đó

Theo II2 có một điểm E sao cho D ở giữa A, E

Theo II2 có một điểm F sao cho B ở giữa E và F

Áp dụng II4 cho đường thẳng DF và 3 điểm A và B Điều phải chứng minh

Định lý 7 Trong ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc một đường thẳng bao giờ cũng có

một điểm ở giữa hai điểm kia

Chứng minh Giả sử A không ở giữa B, C;

C không ở giữa A, C Ta chứng minh rằng B ở giữa A, C

Theo I3 có một điểm D  đt AC

Theo II2 có một điểm E sao cho D ở giữa B, E

Áp dụng II4, đường thẳng AD đối với ba điểm D, E, C ta có F ở giữa E và C

Đường thẳng CD đối với ba điểm A, B, E ta có I ở giữa A và E

Đường thẳng CI đối với ba điểm A, F, E ta có D ở giữa A và F

Đường thẳng ED đối với ba điểm A, F, C ta có B ở giữa A và C

A

a

F

B

C

E

D

A

C

E

F

B

I

D

F

E

Định lý 8 Nếu B ở giữa A, C ở giữa B, D thì B, C đều ở giữa A, D Nếu B ở giữa A, D thì

C ở giữa B, D thì B ở giữa A, C và A, D

Chứng minh Giả sử C nằm giữa A, D (A, D phân biệt)

Theo I3 có điểm E không AD

Theo II2 có điểm F sao cho E nằm giữa C, F

Áp dụng tiên đề II4 cho:

- Đường thẳng AE đối với 3 điểm F, B, C ta có I ở giữa F, B

- Đường thẳng FB đối với 3 điểm A, E, D ta có B ở giữa A, D

Định lý 9 Mỗi đường thẳng có vô số điểm

- Theo II2: sẽ có một điểm D1 sao cho B ở giữa A1D1

- Theo II2: sẽ có một điểm D2 sao cho D1 ở giữa BD2

Theo định lý 7: B, D1 ở giữa A, D2

Lại có II2 có điểm D3 sao cho D2 ở giữa D1, D3

Theo định lý 7: Ta có D1, D2 ở giữa B, D3

Cứ như thế có vô số điểm ở ngoài đoạn thẳng A, B

Mặt khắc giữa hai điểm phân biệt thì có ít nhất một điểm ở giữa (định lý 6) có một điểm C1 ở giữa A, B

Lại theo định lý 6 ta có điểm C1 ở giữa C1, B

Theo định lý 8 Ta có C2 ở giữa A, B

Cứ tiếp tục như thế ta có vô số điểm ở giữa A, B

c Nửa đường thẳng - tia – nửa mặt phẳng – góc

Định nghĩa 4 Cho n điểm O, A, B cùng thuộc một đường thẳng

Nếu O ở giữa A, B thì ta nói A, B nằm về hai phía đối với O

Nếu O không ở giữa A, B ta nói A, B nằm cùng phía với O

Định lý 10 Trên một đường thẳng a cho mộtđiểm O Điểm O chia

các điểm trên đường thẳng a thành hai lớp khác nhau, Hai điểm A,

B nằm cùng Phía đối với O thì cùng thuộc một lớp, hai điểm A, B

nằm về hai phía đối với O thì thuộc hai lớp khác nhau

Định nghĩa 5 Mỗi lớp điểm được chia như ở định lý trên cùng với điểm O được gọi là

một nửa đường thẳng gốc O

A B D D2 D3

1

Trên nửa đường thẳng lấy điểm A ta nói: ta có tia OA Nếu trên nửa đường thẳng

ta lấy A, B sao cho A ở giữa OB thì tia OA và OB là một nhưng chỉ khác từ điểm A đi trước điểm B

Như vậy một điểm O trên đường thẳng A sẽ tạo đường thẳng đó hai tia đối nhau

Định nghĩa 6 Cho A, B, C không cùng một đường thẳng Khi đó các đoạn thẳng AB, BC,

AC tạo thành  Khi đó A, B, C là đỉnh  AB, AC, BC là cạnh 

Định nghĩa 7 Trong mặt phẳng cho đường thẳng A, đường thẳng A chia mặt phẳng thành

hai lớp khác nhau Sao cho hai điểm thuộc hai lớp nằm khác phía đối với

đường thẳng A Mỗi lớp điểm đó cùng với đường thẳng A gọi là nửa mặt

A

Định nghĩa 8 Hai tia Ox, Oy cùng chung gốc tạo thành một góc

Kí hiệu : 𝑥𝑂𝑦̂ Trrong đó O : gốc ;Ox, Oy : cạnh

Định nghĩa 9 Hai nửa mặt phẳng có bờ lần lượt là đường thẳng

x và y cắt nhau Giao của hai nửa mặt phẳng đó tạo thành miền

của góc

III NHÓM III CÁC TIÊN ĐỀ VỀ BẰNG NHAU

Tương quan cơ bản : bằng nhau

3.1 Các tiên đề

III1 Cho AB và nửa đường thẳng gốc A Bao giờ cũng có một điểm B’ trên nửa đường

thẳng gốc A’ sao cho A’B’  AB

III2 Nếu A’B’  AB và A B" "  AB thì A’B’ = A B" "

III3 Cho A, B, C không thẳng hàng và B ở giữa A, C và A’, B’, C’ không

thẳng hàng và B’ ở giữa A’, C’ Nếu AB A’B’ và BC B’C’ thì AC

A’C’

III4: Trong mặt phẳng cho (ℎ, 𝑘)̂ và nửa mặt phẳng bờ chứa tia k’ Trên nửa mặt phẳng bờ

chứa tia k’

có một điểm và chỉ một tia h’ (chung gốc k’) sao cho (ℎ, 𝑘)̂ ≡ (ℎ̂′, 𝑘′)

III5 Hai ABC và ∆A’B’C’ có 𝐴𝐵𝐶̂ = 𝐴′̂ ; BC = B𝐵′ 𝐶′ ’ C ’ , AB = A ’ B ’ thì 𝐵𝐴𝐶̂ = 𝐵′̂ 𝐴′ 𝐶′

và 𝐵𝐶𝐴̂ = 𝐵′̂ 𝐶′ 𝐴′

3.2.Một số định lý

Định lý 11 Ta luôn có:

a AB  AB

b AB  A’B’ , A’B’ = A”B” thì AB  A”B”

c AB  A’B’ thì A’B’ = AB

x

y O

A’ B’ C’

h

k

h’

k’

y

x

Miền vuông góc

A’ B’

Định lý 12 Trên nửa đường thẳng gốc A’, có duy nhất B’ sao cho A’B’ = AB (AB cho

trước)

A’B’  A’B” Theo I3 có điểm C  đường thẳng A’B” Xét ’CB’ và A’CB” có:

CA B  CA B ; A C  A C, A B  A B

Theo III5: A C B' ' '  A CB' "

Theo III4: tia CB’  tia CB”  B’ B” ( điều phải chứng minh)

Định nghĩa 10 Hai tam giác ABC và A’B’C’ được gọi là bằng nhau nếu:

A  A , B  B , C  C

AB  A’B’, AC  A’C’, BC  B’C’

AB  A’B’, AC  A’C’, BAC  B A C' ' ' thì  nhau

Định lý 13 Hai tam giác ABC và A’B’C’ được gọi là bằng nhau nếu:

A  A , B  B , C  C AB  A’B’, AC  A’C’, BAC  B A C' ' ' thì  nhau

Định lý 14 Hai tam giác ABC và A’B’C’ có:AB  A’B’, BAC  B A C' ' ' , ABC  A B C' ' '

thì bằng nhau theo trường hợp góc cạnh góc

Định lý 15 Nếu ABC có AB = AC thì ABC  ACB

Địn nghĩa 11 Tam giác ABC có AB = AC ta nói ABC cân tại A

Định nghĩa 12 - Chung đỉnh và một cạnh, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau

- Hai góc đối đỉnh là hai góc có chung đỉnh và có hai cặp cạnh

lần lượt là hai tia đối nhau

- Góc bằng góc bù của nó được gọi là góc

vuông

Định lý 16 Hai góc bằng nhau thì hai góc bù của chúng cũng bằng nhau

C

B”

A’

B’

A

C

B

OyOy’ lấy BB’ sao cho OB = OB’

'

Ox Ox lấy CC’ sao cho OC = OC’

Mặt khác do OA = O’A’ nên theo III3 ta có

OC = O’C’ và AC = A’C’ (3)

Từ (1), (2), (3) ta có:

ABC = A’B’C’ (c.g.c)  BC = B’C’

' '



Suy ra 𝐵𝐷𝐶̂ = 𝐵̂ ′

' ' ' BDC B D C

yOx  y O x  

Định lý 17 Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau Vì chúng cùng chung góc bù (theo định lý 16)

Định lý 18 Mọi góc vuông đều bằng nhau

3.3 So sánh đoạn thẳng và góc

Định nghĩa 13 Cho hai đoạn thẳng AB và A’B’ Nếu A’B’ = AB thì ta nối AB<A’B’

Định nghĩa 14 Cho hai góc   xy và  ' '

x y Nếu có một tia z’ chung góc với tia x’, y’

và  miền trong của góc  ' '

x , y thì ta nói: góc    ' '

xy  x y

Định nghĩa 19: Góc ngoài của  lớn hơn góc trong không kề với nó và ngược lại

Chứng minh

Gọi ACM là góc ngoài của ABC tại C

Ta chứng minh: ACM  A

Lấy điểm M trên đường thẳng AC

Sao cho MA = MC Kéo dài BM lấy điểm D sao cho MB = MC

Nhận thấy, AMB = CMB (c.g.c)

 A  C1 (1)

Mặt khác tia CD  miền trên của mặt phẳng bờ chứa tia CM

x’1

x’

B’

y’

x’1

x’

B’

y’

m

M

D

A

Tia D và B  2 nửa mặt phẳng khác nhau bờ chứa tia CA

Định lý 20 Trong một tam giác, đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn và ngược lại

Giả sử ABC có AC < AB

Chứng minh: B  C

Về phía ngoài ABC tại BD, vẽ tia BD

sao cho DBC  CBA (1)

Khi đó, ACB là góc ngoài BCD

Theo định lý 19, ACB  CBD (2)

Từ (1), (2)  ACB  ABC hay B  C

(đpcm)

NHÓM IV TIÊN ĐỀ VỀ LIÊN TỤC

IV1 Nếu trên đường thẳng a chia thành hai lớp các điểm  sao cho:

a mỗi điểm của đường thẳng a  2 và chỉ một lớp

b các điểm thuộc lớp I gọi là đi trước các điểm thuộc lớp II

Thì sẽ có một điểm là điểm cuối của lớp thì một và một điểm đầu của lớp thứ 2

Điểm này được gọi là một lát cắt đơctơkin

Định lý 21 Mỗi sự phân lớp các điểm trên đường thẳng chỉ có duy nhất một lát cắt đơđơkin

A

C

B

D

Chứng minh Gọi D1 và D2 là hai lát cắt đơđơkin

Lấy điểm m  D1D Theo D1, m  lớp II; Theo D2, m 

lớp I suy ra m thuộc đồng thời 2 lớp ( Mâu thuẫn)

Vậy D1 = D2

NHÓM V TIÊN ĐỀ VỀ SONG SONG

Định nghĩa 15 Hai đường thẳng a, b song song với nhau nếu chúng cùng thuộc một mặt

phẳng và không có điểm chung Kí hiệu: a // b

Định lý 22 Hai điểm a, b tạo với cát tuyến theo hai góc so le trong bằng nhau thì chúng

song song với nhau

Chứng minh Giả sử: a không song song với b thì

gọi c là giao điểm của a và b

Nhận thấy 𝐴̂ là góc ngoài ABC 1

Theo định lý 19: 𝐴̂ = 𝐵1 ̂ 1

Mà theo giả thiết 𝐴̂ = 𝐵1 ̂ (so le trong) mâu thuẫn 1

 a // b

Định lý 23 Cho đường thẳng a và một điểm  không thuộc

đường thẳng a Trong mặt phẳng chứa điểm A và đường thẳng a

bao giờ cũng có một đường thẳng b đi qua A và song song với

đường thẳng a

Chứng minh

Từ A kẻ đường thẳng b  AH

Theo định lý 22: b // a

Định lý 24 Hai đường thẳng a, b // với nhau a, b sẽ cắt cát tuyến C theo hai góc so le trong

bằng nhau

D1 m D2

a

b

c

A

B

1

1

b

a

A

H

b

B

x

c

1

Giả sử: A1  B1 không mất tính tổng quát

Giả sử: A1  B1 Theo III4 từ A kẻ tia AC sao cho xAB  B1

Theo định lý 22, Ax // b

Theo tiên đề V ta có: Ax  a

Vậy A1 B1

Định lý 25 Tổng các góc trong của một tam giác bằng hai vuông

Chứng minh

Ta có 𝐴̂ + 𝐴1 ̂+𝐴2 ̂ = 2 vuông 3

Mà góc Â1 bằng góc C1( so le trong)

Góc A3 bằng góc C1 ( so le trong)

Nên ta có:𝐴̂ + 𝐵̂ + 𝐶̂ = 2 𝑣𝑢ô𝑛𝑔

C

A

a