Giáo trình toán sơ cấp: Chương 1: Phương trình, hệ phương trình

CHƯƠNG I PHƯƠNG TRÌNH- HỆ PHƯƠNG TRÌNH I ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 1.1 Biểu thức toán học (BTTH) a Phép toán sơ cấp - Phép toán đại số: +, -, x, :, nâng lũy thừa với số mũ hữu tỉ (a2; a-2)  2 - Phép toán siêu việt: nâng lũy thừa với số mũ vô tỉ  a  lấy hàm số logarit, lấy   hàm số lượng giác, lấy hàm số mũ (2x) b Biểu thức toán học - Là cách viết để biểu diễn phép toán thứ tự thực phép toán số (các số thuộc trường K xác định) chữ (lấy giá trị trường K) - Chữ gọi đối số - Biểu thức toán học mà tất phép toán đối số phép toán đại số biểu thức gọi biểu thức đại số + Biểu thức đại số mà phép toán đối số là: +, -, x, :, nâng lũy thừa với số mũ nguyên  biểu thức đại số hữu tỷ + Biểu thức đại số mà chứa phép toán nâng lũy thừa với số mũ phân  12  số  a  gọi biểu thức đại số vô tỷ   - Biểu thức toán học mà phép toán siêu việt đối số gọi Biểu thức siêu việt Ví dụ A(x) = 2x2 – 3x +  Biểu thức đại số hữu tỉ nguyên (đa thức) B(x)  2x   Biểu thức đại số hữu tỉ phân (phân thức) (x  2)(x  3) C(x)  x  5x   Biểu thức đại số vô tỉ D(x) = sin360 + 2x2 –  Biểu thức đại số hữu tỉ E(x, y) = 3x2 + 7y –  Biểu thức đại số hữu tỉ có đối số F(x) = log3x + 2x +  Biểu thức siêu việt c Giá trị biểu thức Cho biểu thức f(x); x Rn Khi ta thay x = x0 Rn xảy khả - Nếu phép toán biểu thức thực f(x0) gọi giá trị biểu thức x0 Khi đó, tập giá trị x0 D gọi TXĐ biểu thức - Nếu phép toán biểu thức không thực ta nói f(x) không xác định x0 1.2 Phương trình a Định nghĩa Cho biểu thức f(x) g(x) (x Rn) Có TXĐ D1 ; D2 Phương trình f(x) = g(x) kí hiệu cho hàm mệnh đề : « Giá trị f(x) g(x) » + TXĐ phương trình (1) : D = D1  D2 + Việc giải phương trình (1) thực chất việc tìm giá trị x0 D cho f(x0) = g(x0) mệnh đề Khi x0 gọi nghiệm phương trình KH : S = {x0 D/ f(x0) = g(x0)} S : tập nghiệm phương trình (1) + Giải phương trình xảy khả sau : - Nếu S =  (1) vô nghiệm - Nếu S ≠  (1) có nghiệm - Nếu S = D (1) vô số nghiệm b Các loại phương trình + Phương trình đại số: Các biểu thức phương trình biểu thức đại số K - Phương trình hữu tỷ phương trình đại số mà biểu thức phương trình biểu thức đại số hữu tỷ K - Phương trình vô tỷ: phương trình đại số mà có biểu thức phương trình biểu thức đại số vô tỷ K + Phương trình siêu việt: Là phương trình có biểu thức siêu việt K Ví dụ 1, 2x + = (x – 2) (x + 3)  phương trình hữu tỷ 2, x   2x   Phương trình vô tỷ 3, 2sinx + = x –  Phương trình siêu việt c Biến đổi tương đương biến đổi hệ quả: + Biến đổi tương đương: Phương trình (1) gọi tương đương với phương trình (2) tập nghiệm phương trình (1) (2) Nghĩa là, gọi M1 tập nghiệm phương trình f1(x) = g1(x); M2 tập nghiệm phương trình f2(x) = g2(x): f1(x) = g1(x)  f2(x) = g2(x) M1 = M2 Ví dụ a) b) (1): 2x2 + x + = (2): 2x2 + x = -1 (1): x =  M1 = {3} (2): x3 = 27  M2 = {3} + Biến đổi hệ quả: Phương trình (2) gọi hệ phương trình (1) tập nghiệm M1 phương trình (1) tập nghiệm M2 phương trình (2) nghĩa là: (1)  (2)  M1  M2 Ví dụ (1): x + = M1 = {-1} (2): (x + 1)(x + 2) = M2 = {-1; -2} Vì M1  M2 nên x + = (x + 1)(x + 2) = d Một số định lý Định lý Cho phương trình f(x) = g(x) (1) có TXĐ: D Nếu h(x) D phương trình (1) tương đương với phương trình f(x)  h(x) = g(x) (x) Định lý Cho phương trình f(x) = g(x) có TXĐ: D Nếu h(x) D h(x) ≠0 PT (1)  f(x).h(x) = g(x).h(x) Lưu ý: h(x) D điều kiện đủ để phương trình định lý 1, tương đương nhau, không điều kiện cần có Định lý Cho phương trình f(x) = g(x) có TXĐ: D Khi f(x) = g(x)   f (x)  2n 1   f (x)  2n 1 , nN 1.3 Một số dạng phương trình ẩn 1.3.1 Phương trình bậc ẩn (1) (a, b R, a ≠0) Dạng: ax + b = Giải biện luận: + Nếu a ≠ : (1) có nghiệm x  b a + Nếu a = 0: (1)  0x + b = Với b = phương trình vô số nghiệm Với b ≠ phương trình vô nghiệm Ví dụ 1) Giải phương trình: m2x – m = x + (1) TXĐ: R  (m2 – 1) x = + m Trường hợp Nếu m2 – =  m = 1 Khi ta có: Với m =  0x =  Phương trình (1) vô số nghiệm Với m = -1  0x =  Phương trình (1) vô nghiệm Trường hợp m2 – ≠0  m ≠ 1  Phương trình (1) có nghiệm: x  Kết luận: Với m ≠ 1 phương trình có nghiệm x  3 m m2  3 m m2  Với m = phương trình vô số nghiệm Với m = -1 phương trình vô nghiệm 2) Giải biện luận phương trình theo tham số m:  x  1 ĐK: 2  x      3x    x   x m  1  x 3x  (1) (1)  x(3x  1)  2m  xm  (2  x)(3x  1)  x(3x – 1) – 2m + xm = (2 + x)(3x – 1) 3x2 – x – 2m + xm = 6x – + 3x2 – x 3x2 – x – 2m + xm – 6x + = 3x2 + x =  - 2m + xm – 6x + =  x(m – 6) = 2m – Nếu m – ≠  m ≠ Khi (1)  x  m  m6 Nếu m – =  m = đó: (1)  0x = 10  phương trình vô nghiệm Đối chiếu điều kiện: Với x ≠ - : (1)  2m   2 m6  2m   2m  12  2  12 (thoả mãn với m ≠6) Với x  : (1)  2m    6m – ≠ m –  5m ≠  m ≠ m6 Kết luận: Với m ≠  phương trình (1) vô nghiệm Với m   phương trình (1) có nghiệm x  2m  m6 m  1.3.2 Phương trình bậc ẩn Dạng: (1) ax2 + bx + c = (a, b, c R, a 0) Giải biện luận: Trường hợp a = (1)  bx + c =  giải phương trình bậc Trường hợp a  tính  = b2 – 4ac (’ = b’2 – ac) Nếu  < phương trình vô nghiệm ' Nếu  = (1) có nghiệm kép x   b (x '   b ) 2a a '   Nếu > (1) có nghiệm phân biệt: x1,2   b     b      2a a   1.3.3 Một số định lý Định lý viét (thuận) Nếu x1, x2 nghiệm phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = ( a  0) b  x1  x     a  x x  c  a  Định lý viét (đảo) Nếu x, y số thực thỏa mãn hệ thức: x  y  S (S  4P) x, y nghiệm phương trình bậc 2: X – SX + P =   xy  P Định lý dấu tam thức bậc (thuận) Cho f(x) = ax2 + bx + c Tính  = b2 – 4ac Nếu  < f(x) dấu với a (a.f(x) > 0) x R Nếu  = f(x) dấu với a (a.f(x) > 0) x R\  b   2a  Nếu  > f(x) có nghiệm phân biệt x1 x2 (x1 < x2) Khi đó: f(x) dấu với a (af(x) > 0)   x  x x  x  f(x) khác dấu với a (af(x) < 0)  x1 < x < x2 Định lý dấu tam thức bậc (đảo) Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a ≠0)  R - Nếu af() < f(x) có nghiệm x1x2 x1 <  < x2  - Nếu af() > f(x) vô nghiệm f(x) có nghiệm x1, x2   x   x  Ví dụ Cho phương trình bậc hai tham số m: mx2 – (2m + 1)x + m – = (1) Tìm điều kiện để (1) có nghiệm  Tìm m để phương trình có nghiệm nghiệm gấp lần nghiệm Tính giá trị biểu thức x12 x  x1x 22 theo m Viết phương trình bậc có nghiệm x12 x 22 Bài giải Để phương trình (1) có nghiệm thì: mx2 – (2m + 1)x + m – = có    = (2m + 1)2 – 4m(m – 3)  = 4m2 + 4m + – 4m2 + 12m  = 4m + + 12m  m = 16 1.3.3 Phương trình bậc ba ẩn Dạng: a ' x  b' x  c' x  d '  có a’ ≠ 0; TXĐ: R b' c' d' x  ' x  ' x ' 0 a a a x3 + ax2 + bx + c = Đặt: yx (2) a a x y 3 a a a    (2)   y    a  y    b  y    c  3 3 3    ya a 2a y a ab y y a   ay    by   c  27 y 3  a2  2a ab  y    by   c0 27    a2  2a ab Đặt    b   q;  cP 27   Ta có phương trình bậc thu gọn là: y3 + qy + P = (3) Đặt: y = u + v (3)  (u + v)3 + q(u + v) + p = u3 + 3uv (u + v) + v3 + q(u + v)+ p =  u3 + v3 + P + (u + v) (3uv + q) = Suy hệ thức : u  v3   p u  v3   p    3  q3 uv    u v    27  Theo định lý vi ét đảo ta có u3 v3 nghiệm phương trình bậc sau : q3 X  pX  0 27 4q P  27 X1  P  P  4P3 27 4P3 P  P  27 X2  2  u  X1 Ta có :   v  X P P2 q3 u   27 P P2 q3 v   27 P P2 q3 P P2 q3 Vậy : y  u  v         27 27 Công thức nghiệm phương trình thu gọn (3)  gọi công thức Các-đa-nô Ví dụ : Giải phương trình : x3 – 4x2 – 4x – = II HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2.1 Định nghĩa Cho m phương trình f1(x) = g1(x), …., fm(x) = gm(x) Có TXĐ D1, D2, …, Dm x = (x1, x2, …, xn) Rn Khi đó: f1 (x)  g1 (x)  Hệ phương trình kí hiệu : f (x)  g (x)   f m (x)  g m (x) m Trong : TXĐ D hệ : Di i 1 + Số a  D nghiệm hệ  a đồng thời nghiệm m phương trình hệ + Nếu M1, M2,…., Mm tập nghiệm phương trình hệ  Tập nghiệm hệ : M  m M12 i 1 + Nếu phương trình hệ vô nghiệm hệ vô nghiệm 2.2 Một số hệ phương trình thường gặp 2.2.1 Hệ phương trình tuyến tính bậc ẩn ax  by  c Dạng :  ' ' ' a x  b y  c (1) TXĐ : R (2) Nhân vế (1) cho b’ Nhân vế (2) cho b Trừ vế với vế ta có : x  cb'  c'b D x  ab'  a 'b D Nhân vế (1) cho a’ Nhân vế (2) cho a Trừ vế với vế ta có: y  ca '  c'a D y  ba '  b 'a D Ta có định thức: Dx  c Dy  c D c c b '  cb '  c'b '  ca '  c'a b a ' a a a ' b ' b '  ab '  a 'b Giải biện luận : Tính D, Dx, Dy Biện luận  x Trường hợp 1: D  hệ có nghiệm  x  D D   y   Dx  D Ox  D x Trường hợp 2: D = ta có :  Oy  D y D 0 + Nếu  x hệ vô số nghiệm D   y D  + Nếu  x hệ vô nghiệm D y  Ví dụ : Giải biện luận hệ phương trình: mx  3y   m (1)  (2  m)x  y  m (2) Bài giải Tính D, Dx, Dy D m  m 1 Dx  Dy  1 m m  m  3(2  m)  4m  1  1(1  m)  3m  1  2m 1 m m m 2m  m2  m  10 Biện luận: KN1: Nếu D   4m    m    2m   x  4m   Hệ có nghiệm là:  y  m  m   4m  KN 2: Nếu D   m    D x  1    hệ phương trình vô nghiệm D     y Khi đó:  2.2.2 Hệ phương trình bậc cao có phương trình tuyến tính Phương pháp: Giải hệ tuyến tính  tìm nghiệm tổng quát Thay nghiệm tổng quát vào phương trình bậc cao  rút nghiệm hệ Ví dụ: Giải phương trình: 2x  3y   z  x  y   x  2yx  3yz   (1) (2) (3) 17  z  x    17  z  z   y    5   x  2yx  2yz     17  z    z  17  z    z  Thay x, y vào (3) ta có:    2    2 z          289  24z  z  102  28z  2z  30z  10z  75  11z  36z  316   = 362 – 4(-11).316 11 = 1296 + 13904 = 15200 >0  Phương trình có nghiệm : z1   z2  Với z1  36  20 38 16  10 38  22 11 36  20 38 18  10 38  22 11 16  10 38 ta có : 11   16  10 38  17     11    x  17  z x     3z 22  10 38    y   y  5    16  10 38  16  10 38 z  z   11    Với z  11  10 38 ta có : 11  198  10 38  17  z x  x   55    3z 22  10 38   y  y  55    11  10 38  11  10 38 z   z   11 11  12 13 [...]... KN1: Nếu D  0  4m  6  0  m   6 4 1  2m   x  4m  6  Hệ có nghiệm là:  2 y  m  m  2  4m  6 KN 2: Nếu D  0  m   6 3  4 2 D x  1  2  0  hệ phương trình vô nghiệm D   4  0  y Khi đó:  2.2.2 Hệ phương trình bậc cao có phương trình tuyến tính Phương pháp: Giải hệ con tuyến tính  tìm nghiệm tổng quát Thay nghiệm tổng quát vào phương trình bậc cao  rút ra nghiệm hệ. .. đó:  2.2.2 Hệ phương trình bậc cao có phương trình tuyến tính Phương pháp: Giải hệ con tuyến tính  tìm nghiệm tổng quát Thay nghiệm tổng quát vào phương trình bậc cao  rút ra nghiệm hệ Ví dụ: Giải phương trình: 2x  3y  5  z  x  y  4  x 2  2yx  3yz  3  (1) (2) (3) 17  z  x   5  17  z 3  z   y  4   5 5  2  x  2yx  2yz  3    17  z   3  z  17  z   3  z  Thay... vào (3) ta có:    2    2 z  3  5   5  5   5  2  289  24z  z 2  102  28z  2z 2  30z  10z 2  75  11z 2  36z  316  0  = 362 – 4(-11).316 11 = 1296 + 13904 = 15200 >0  Phương trình có 2 nghiệm : z1   z2  Với z1  36  20 38 16  10 38  22 11 36  20 38 18  10 38  22 11 16  10 38 ta có : 11   16  10 38  17     11    x  17  z x  5  5   3z 22  10 ... loại phương trình + Phương trình đại số: Các biểu thức phương trình biểu thức đại số K - Phương trình hữu tỷ phương trình đại số mà biểu thức phương trình biểu thức đại số hữu tỷ K - Phương trình. .. M2,…., Mm tập nghiệm phương trình hệ  Tập nghiệm hệ : M  m M12 i 1 + Nếu phương trình hệ vô nghiệm hệ vô nghiệm 2.2 Một số hệ phương trình thường gặp 2.2.1 Hệ phương trình tuyến tính bậc ẩn ax... Phương trình vô tỷ 3, 2sinx + = x –  Phương trình siêu việt c Biến đổi tương đương biến đổi hệ quả: + Biến đổi tương đương: Phương trình (1) gọi tương đương với phương trình (2) tập nghiệm phương