Giáo trình toán sơ cấp: Chương 1: Phương trình, hệ phương trình

Biểu thức toán học - Là một cách viết để biểu diễn các phép toán và thứ tự thực hiện các phép toán trên các số các số này thuộc trên cùng một trường K xác định và các chữ lấy giá trị tr

CHƯƠNG I PHƯƠNG TRÌNH- HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

1.1 Biểu thức toán học (BTTH)

a Phép toán sơ cấp

- Phép toán đại số: +, -, x, :, nâng lũy thừa với số mũ hữu tỉ (a2; a-2)

- Phép toán siêu việt: nâng lũy thừa với số mũ vô tỉ

2 a

 

 

  lấy hàm số logarit, lấy hàm số lượng giác, lấy hàm số mũ (2x)

b Biểu thức toán học

- Là một cách viết để biểu diễn các phép toán và thứ tự thực hiện các phép toán trên các số (các số này thuộc trên cùng một trường K xác định) và các chữ (lấy giá trị trên trường K)

- Chữ gọi là đối số

- Biểu thức toán học mà tất cả phép toán trên đối số đều là phép toán đại số thì biểu thức được gọi là biểu thức đại số

+ Biểu thức đại số mà các phép toán trên đối số đều là: +, -, x, :, nâng lũy thừa với

số mũ nguyên  biểu thức đại số hữu tỷ

+ Biểu thức đại số mà chứa ít nhất một phép toán nâng lũy thừa với số mũ phân

số

1

2

a

  được gọi là biểu thức đại số vô tỷ

- Biểu thức toán học mà ít nhất một phép toán siêu việt trên đối số được gọi là Biểu thức siêu việt

Ví dụ

A(x) = 2x2 – 3x + 1  Biểu thức đại số hữu tỉ nguyên (đa thức)

B(x)

(x 2)(x 3)





   Biểu thức đại số hữu tỉ phân (phân thức)

2

C(x)  x  5x  2  Biểu thức đại số vô tỉ

D(x) = sin360 + 2x2 – 3  Biểu thức đại số hữu tỉ

E(x, y) = 3x2 + 7y – 1  Biểu thức đại số hữu tỉ có 2 đối số

F(x) = log3x + 2x + 3  Biểu thức siêu việt

c Giá trị của biểu thức

Cho biểu thức f(x); x Rn

Khi ta thay x = x0 Rn thì xảy ra 2 khả năng

- Nếu các phép toán của biểu thức đều thực hiện được thì f(x0) gọi là giá trị của biểu thức tại x0

Khi đó, tập các giá trị x0 D gọi là TXĐ của biểu thức

- Nếu ít nhất 1 phép toán của biểu thức không thực hiện được thì ta nói f(x) không xác định được tại x0

1.2 Phương trình

a Định nghĩa

Cho 2 biểu thức f(x) và g(x) (x Rn)

Có TXĐ lần lượt là D1 ; D2

Phương trình f(x) = g(x) là kí hiệu cho hàm mệnh đề : « Giá trị của f(x) và g(x) là bằng nhau »

+ TXĐ của phương trình (1) là : D = D1  D2

+ Việc giải phương trình (1) thực chất là việc tìm giá trị x0 D sao cho f(x0) = g(x0) là mệnh đề đúng

Khi đó x0 gọi là nghiệm của phương trình

KH : S = {x0 D/ f(x0) = g(x0)}

S : là tập nghiệm của phương trình (1)

+ Giải phương trình xảy ra 3 khả năng sau :

- Nếu S =  thì (1) vô nghiệm

- Nếu S ≠  thì (1) có nghiệm

- Nếu S = D thì (1) vô số nghiệm

b Các loại phương trình

+ Phương trình đại số: Các biểu thức trong phương trình là biểu thức đại số trên

K

- Phương trình hữu tỷ là phương trình đại số mà các biểu thức trong phương trình đều là biểu thức đại số hữu tỷ trên K

- Phương trình vô tỷ: là phương trình đại số mà có ít nhất 1 biểu thức trong phương trình là biểu thức đại số vô tỷ trên K

+ Phương trình siêu việt: Là phương trình có ít nhất một biểu thức siêu việt trên

K

Ví dụ

1, 2x + 3 = (x – 2) (x + 3)  phương trình hữu tỷ

2, x2   1 2x 1   Phương trình vô tỷ

3, 2sinx + 1 = x – 1  Phương trình siêu việt

c Biến đổi tương đương và biến đổi hệ quả:

+ Biến đổi tương đương: Phương trình (1) gọi là tương đương với phương trình (2) nếu và chỉ nếu tập nghiệm của 2 phương trình (1) và (2) là bằng nhau Nghĩa là, nếu gọi M1 là tập nghiệm của phương trình f1(x) = g1(x); M2 là tập nghiệm của phương trình

f2(x) = g2(x): f1(x) = g1(x)  f2(x) = g2(x) khi và chỉ khi M1 = M2

Ví dụ

a) (1): 2x2 + x + 1 = 0

(2): 2x2 + x = -1 b) (1): x = 3  M1 = {3}

(2): x3 = 27  M2 = {3}

+ Biến đổi hệ quả: Phương trình (2) gọi là hệ quả của phương trình (1) nếu và chỉ nếu tập nghiệm M1 của phương trình (1) là tập con của nghiệm M2 của phương trình (2) nghĩa là: (1)  (2)  M1  M2

Ví dụ (1): x + 1 = 0 M1 = {-1}

(2): (x + 1)(x + 2) = 0 M2 = {-1; -2}

Vì M1  M2 nên x + 1 = 0 (x + 1)(x + 2) = 0

d Một số định lý

Định lý 1 Cho phương trình f(x) = g(x) (1) có TXĐ: D

Nếu h(x) D thì phương trình (1) tương đương với phương trình

f(x)  h(x) = g(x) (x)

Định lý 2 Cho phương trình f(x) = g(x) có TXĐ: D

Nếu h(x) D và h(x) ≠0 thì PT (1)  f(x).h(x) = g(x).h(x)

Lưu ý: h(x) D là điều kiện đủ để 2 phương trình trong các định lý 1, 2 tương đương

nhau, không là điều kiện cần có

Định lý 3 Cho phương trình f(x) = g(x) có TXĐ: D

Khi đó f(x) = g(x)  2n 1  2n 1

f (x)   f (x)  , n  N

1.3 Một số dạng phương trình một ẩn cơ bản

1.3.1 Phương trình bậc nhất một ẩn

Dạng: ax + b = 0 (1) (a, b R, a ≠0)

Giải và biện luận:

+ Nếu a ≠ 0 : (1) có nghiệm là x b

a



+ Nếu a = 0: (1)  0x + b = 0

Với b = 0 phương trình vô số nghiệm Với b ≠ 0 phương trình vô nghiệm

Ví dụ 1) Giải phương trình: m2x – m = x + 3 (1) TXĐ: R

 (m2 – 1) x = 3 + m Trường hợp 1 Nếu m2 – 1 = 0  m = 1

Khi đó ta có:

Với m = 1  0x = 4  Phương trình (1) vô số nghiệm

Với m = -1  0x = 2  Phương trình (1) vô nghiệm

Trường hợp 2 m2 – 1 ≠0  m ≠ 1  Phương trình (1) có nghiệm:

2

x





 Kết luận: Với m ≠ 1 phương trình có nghiệm

2

x





 Với m = 1 phương trình vô số nghiệm

Với m = -1 phương trình vô nghiệm

2) Giải và biện luận phương trình theo tham số m: x m 1

2 x 3x 1

1

3

 



 



(1)  x(3x 1) 2m xm 1

 x(3x – 1) – 2m + xm = (2 + x)(3x – 1)

3x2 – x – 2m + xm = 6x – 2 + 3x2 – x

3x2 – x – 2m + xm – 6x + 2 = 3x2 + x = 0

 - 2m + xm – 6x + 2 = 0

 x(m – 6) = 2m – 2

Nếu m – 6 ≠ 0  m ≠ 6 Khi đó (1) x m 2



 

 Nếu m – 6 = 0  m = 6 khi đó: (1)  0x = 10  phương trình vô nghiệm Đối chiếu điều kiện:

Với x ≠ - 2 : (1)  2m 2 2



 



2m 2 2m 12

2 12

   (thoả mãn với m ≠6)

Với x 1

3

 : (1) 2m 2 1



  6m – 6 ≠ m – 6  5m ≠ 0  m ≠ 0 Kết luận: Với m ≠ 6  phương trình (1) vô nghiệm

Với m 6





 



 phương trình (1) có nghiệm x 2m 2







1.3.2 Phương trình bậc 2 một ẩn

Dạng: (1) ax2 + bx + c = 0 (a, b, c R, a 0)

Giải và biện luận:

Trường hợp 1 a = 0 thì (1)  bx + c = 0  giải phương trình bậc nhất Trường hợp 2 a  0 thì tính  = b2 – 4ac (’ = b’2 – ac)

Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm

Nếu  = 0 thì (1) có nghiệm kép b ' b'

Nếu > 0 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt: 2 '

1,2

x

1.3.3 Một số định lý cơ bản

1 Định lý viét (thuận)

Nếu x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a  0) thì

1 2

1 2

b

a c

x x a

   







2 Định lý viét (đảo)

Nếu x, y là 2 số thực thỏa mãn hệ thức:

2

 



thì x, y là 2 nghiệm của phương trình bậc 2: X2 – SX + P = 0

3 Định lý về dấu của tam thức bậc 2 (thuận)

Cho f(x) = ax2 + bx + c

Tính  = b2 – 4ac

Nếu  < 0 thì f(x) cùng dấu với a (a.f(x) > 0) x R

Nếu  = 0 thì f(x) cùng dấu với a (a.f(x) > 0) x R\ b

2a

Nếu  > 0 thì f(x) có 2 nghiệm phân biệt x1 x2 (x1 < x2)

Khi đó: f(x) cùng dấu với a (af(x) > 0)  2

1





 



f(x) khác dấu với a (af(x) < 0)  x1 < x < x2

4 Định lý về dấu của tam thức bậc 2 (đảo)

Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a ≠0) và  R

- Nếu af() < 0 thì f(x) có 2 nghiệm x1x2 và x1 <  < x2

 - Nếu af() > 0 thì hoặc f(x) vô nghiệm hoặc f(x) có 2 nghiệm x1, x2 và 2

1

x x

 



 



Ví dụ Cho phương trình bậc hai tham số m: mx2 – (2m + 1)x + m – 3 = 0 (1)

1 Tìm điều kiện để (1) có nghiệm

 Tìm m để phương trình có 2 nghiệm và 1 nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia

3 Tính giá trị biểu thức 2 2

1 2 1 2

x x x x theo m

4 Viết phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là 2

1

x và x 22

Bài giải

Để phương trình (1) có nghiệm thì: mx2 – (2m + 1)x + m – 3 = 0 có   0

 = (2m + 1)2 – 4m(m – 3)  0

= 4m2 + 4m + 1 – 4m2 + 12m  0

= 4m + 1 + 12m  0

16

 

1.3.3 Phương trình bậc ba một ẩn

Dạng: a x' 3  b x' 2  c x'   d' 0 có a’ ≠ 0; TXĐ: R

x3 + ax2 + bx + c = 0 (2)

    

(2) 

Đặt

Ta có phương trình bậc 3 thu gọn là:

y3 + qy + P = 0 (3)

Đặt: y = u + v

(3)  (u + v)3 + q(u + v) + p = 0

u3 + 3uv (u + v) + v3 + q(u + v)+ p = 0

 u3 + v3 + P + (u + v) (3uv + q) = 0

Suy ra hệ thức :

3 3

3

3 3

Theo định lý vi ét đảo ta có u3 và v3 là 2 nghiệm của phương trình bậc 2 sau :

3 2

3 2

3 2

1

q

27 4q P

27

4P

27 X

2



3 2

2

4P

27 X

2



Ta có :

3

1 3

2

 









u

v

Vậy :

Công thức nghiệm của phương trình thu gọn (3)  được gọi là công thức Các-đa-nô

Ví dụ : Giải phương trình : x3 – 4x2 – 4x – 5 = 0

II HỆ PHƯƠNG TRÌNH

2.1 Định nghĩa Cho m phương trình f1(x) = g1(x), …., fm(x) = gm(x)

Có TXĐ lần lượt là D1, D2, …, Dm và x = (x1, x2, …, xn) Rn Khi đó:

Hệ phương trình được kí hiệu là :













Trong đó : TXĐ D của hệ là :

m i

i 1

D



+ Số a  D nghiệm của hệ  a đồng thời là nghiệm của m phương trình trong hệ

+ Nếu M1, M2,…., Mm lần lượt là tập nghiệm của các phương trình trong hệ  Tập nghiệm của hệ :

m 2 1

i 1





+ Nếu 1 phương trình của hệ vô nghiệm thì hệ vô nghiệm

2.2 Một số hệ phương trình thường gặp

2.2.1 Hệ phương trình tuyến tính bậc nhất 2 ẩn

Dạng :

a x b y c (2)







TXĐ : R

Nhân 2 vế của (1) cho b’

Nhân 2 vế của (2) cho b

Trừ vế với vế ta có : ' ' x

' '

x



 Nhân 2 vế của (1) cho a’

Nhân 2 vế của (2) cho a

Trừ vế với vế ta có: ' ' y

' '

D

ca c a y





Ta có các định thức:

' '

' '

' '

Giải và biện luận :

1 Tính D, Dx, Dy

2 Biện luận

Trường hợp 1: D  0 hệ có nghiệm là x

x

D x D D y D

 





  



Trường hợp 2: D = 0 ta có : x

y







+ Nếu x

y







hệ vô số nghiệm

+ Nếu x

y







hệ vô nghiệm

Ví dụ : Giải và biện luận hệ phương trình:

(2 m)x y m (2)





Bài giải 1 Tính D, Dx, Dy

x





2 y





2 Biện luận:

4

 Hệ có nghiệm là:

2

1 2m x

y



 



 

 



Khi đó: x

y

   



2.2.2 Hệ phương trình bậc cao có phương trình tuyến tính

Phương pháp: Giải hệ con tuyến tính  tìm nghiệm tổng quát

Thay nghiệm tổng quát vào phương trình bậc cao  rút ra nghiệm hệ

Ví dụ: Giải phương trình:

2

  





2

x

5



 











Thay x, y vào (3) ta có:

2

2

 = 362 – 4(-11).316

= 1296 + 13904

= 15200

 > 0

 Phương trình có 2 nghiệm : z1 36 20 38 16 10 38

2

z

Với z1 16 10 38

11



16 10 38 17

11

x

5 5









Với z2 11 10 38

11



198 10 38

x

55 5