Giáo trình toán sơ cấp: Chương 2: Bất đẳng thức, bất phương trình

CHƯƠNG III BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH I BẤT ĐẲNG THỨC 1.1 Định nghĩa - Cho a, b  R Ta nói a lớn b Kí hiệu a > b a – b > - Cho biểu thức A(x); B(x) có TXĐ: 𝑅 Khi đó: ta gọi A(x) > B(x) ; A(x)  B(x) A(x) < B(x); A(x)  B(x) bất đẳng thức R 𝐴(𝑥0 ) > 𝐵(𝑥0 ); 𝐴(𝑥0 ) ≥ 𝐵(𝑥0 ) 𝐴(𝑥0 ) < 𝐵(𝑥0 ); 𝐴(𝑥0 ) ≤ 𝐵(𝑥0 ) số Ví dụ: (x + 1)2  0; x  R; 𝑥 + ≥ 𝑥 1.2 Một số tính chất bất đẳng thức Cho A, B, C, D bất đẳng thức biến số x K Khi ta có: A > B  B < A A > B B > C  A > C Nếu A > B A + C > B + C A  B A + C > B + D C  D  Nếu  A  B A – D > B – C C  D 5, Nếu  A  B  AC > BD C  D  6, Nếu   A m  Bm  A m  Bm Nếu A > B  Nếu A > B > An > Bn n N* > B > A Nếu A > B > Bn > An n lẻ; Bn < An n chẵn 1  A B 10 Nếu A > B > n AnB 14 1.3 Một số bất đẳng thức cần nhớ a Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối + Với a1, a2, …, an R Ta có: a1  a   a n  a1  a   a n Dấu “=” xảy  a1, a2, …, an R+ + Với a, b  R+ ta có: a  b  Dấu “=” xảy  a =  b b a Ta có:  a  b   0, a,b  b a 2 2 a b   2  0 b a a b   2  4 b a a b    4 b a a b   2 b a Dấu “ = ”  𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑎 ↔ 𝑎 = ±𝑏 b Bất đẳng thức Côsi (Cauchy: 1789 – 1857) Cho n số thực dương a1, a2, …, an Ta có: a1  a   a n n  a1a a n n Dấu “=” xảy  a1  a   a n c Bất đẳng thức Côsi – Bunhia côpski n n n Cho n cặp số thức ai, bi, i  1,n Ta có:   a i bi    a i2  bi2  i1  Nghĩa là:  a1b1  a b   a n b n   a12  a 22   a1n Dấu “=” xảy  k  R; a i  k; i  1,n bi 15  i 1  b i 1  b 22   b n2  Chứng minh Ta có:  a1x  b1 2  0; x  R   a x  b 2  0; x  R     a n x  b n   0; x  R a12 x  2a1b1x  b12  0; x  R  2 a x  2a b x  b  0; x  R   a x  2a b  b  0; x  R  n n n n  f (x)   a12  a 22   a n2  x   a1b1  a 2b   a n b n  x   b12  b22   b2n   0; x  R Nhận thấy: a  a12   a 2n  ↔↔ f(x)  0; x  R af(x)  0; x  R Theo định lý dầu tam thức bậc ta có: ’ 0  a1b1  a 2b2   a n b n    a12  a 22   a n2  b12  b 22   b n2   a1k  b1 2  b1 b b Dấu “=” xảy  k  R cho    n  a k  b    k   a1 a an  a k  b     n n Ví dụ Chứng minh x2 + y2 = 3x2 + 4y2  d Bất đẳng thức Becnuli Cho < a R; < q  Q Ta có:(1 + a)q > + aq Chứng minh Vì < Q nên đặt q  m ;m  n n Áp dụng bất đẳng thức côsi cho m số :1+aq, 1+aq ; …, 1+qa (m-n) số 1, 1, …., Nhìn thấy : + aq ≠1 Do bất đẳng thức không xảy dấu Ta có : 1  aq    1  aq       m m n n(1  aq)  m  n  1  aq  m m n n n   aq    1  aq  q m m m  (1 + a)q > + aq 16 1  aq  n 1mn 1.5 Một số phương trình chứng minh bất đẳng thức a) Phương pháp chứng minh dựa vào định nghĩa Để chứng minh A > B ta cần chứng minh A – B > 3 Ví dụ: a,b  R  : a  b   a  b  (*)      a  b3  a  b    0    a  b  (a  b)  (a  b)   a  b  ab  0    (a  b)  4a  4b  4ab  a  2ab  b  0    (a  b) a  b a  b  ab   (a  b)  a  b    0   0 a, b R* Vậy (*) b Phương pháp biến đổi tương đương Để chứng minh A > B A1 > B1 …  An > Bn Nếu An > Bn Bất đẳng thức kết luận: A > B Ví dụ: Chứng minh rằng: a, b R: a2 + b2 +  ab + a + b (1)  2(a  b  1)  2(ab  a  b)   a  2ab  b    a  2a  1   b  2b  1   (a  b)2  (a  1)2  (b  1)2  (đúng) Vậy (1) suy điều phải chứng minh Dấu “=” xảy a = b = c Phương pháp sử dụng bất đẳng thức điển hình d Phương pháp quy nạp Để chứng minh: A(x)  B(x) x R ta tiến hành bước sau: Bước A(0)  B(0) Bước Giữ A(k)  B(k) (k > 0) Ta chứng minh A(k + 1)  B(k + 1) Bước KL: A(x)  B(x) xR 17 II BẤT PHƯƠNG TRÌNH 2.1 Định nghĩa bất phương trình Cho hàm số f(x), g(x) biến số x = (x1, x2, …, xn) Rn có TXĐ P, Q Bất phương trình f(x) < g(x) (1) kí hiệu hàm mệnh đề: “Số trị f(x) bé số trị g(x)” Trong đó: - TXĐ bất phương trình (1) là: D = P  Q - Số a  D nghiệm bất phương trình Nếu f(a) < g(a) bất phương trình R Tất số a gọi tập nghiệm bất phương trình 2.2 Định nghĩa hệ bất phương trình Cho m bất phương trình f1(x) < g1(x); …fm(x) < gm(x) biến số xRn; Có tập xác định M1, M2, …, Mn f1 (x)  g1 (x)  Khi đó: hệ bất phương trình kí hiệu f (x)  g (x)   f m (x)  g m (x) Trong đó: - Việc tìm x TXĐ chung hệ cho thỏa mãn bất phương trình hệ gọi giải hệ phương trình - Gọi M1, M2, …, Mm tập nghiệm m bất phương trình tập nghiệm hệ là: M  m Mi i 1 - Một bất phương trình hệ vô nghiệm hệ vô nghiệm 2.3 Một số tính chất bất phương trình Nếu f(x) < g(x) xác định D (x1, x2,…,xn)Rn h(x) xác định D Ta có: f(x) + h(x) < g(x) + h(x) Cho f(x) < g(x) xác định D (x1, x2,…,xn)Rn Khi đó: + với h(x) > h(x)  D f(x).h(x) < g(x).h(x) + với h(x) < 0, h(x)  D f(x).h(x) > g(x).h(x) f (x)   f (x).g(x)  g(x) 18  f (x)  f (x)    g(x)   g(x) f (x).g(x)  2.4 Một số phương pháp biến đổi hệ bất phương trình a Phương pháp thế: f (x, y)  g(x, y)  x, y  R Cho hệ bất phương trình:  f (x, y)  Nếu f (x, y)   y  h(x) (1)   y  h(x)  y(x),h(x)   2.5 Một số bất phương trình đơn giản a Bất phương trình ẩn Dạng: ax + b > (1) TXĐ: R Giải biện luận Trường hợp1 a = Khi (1)  0x + b > + Nếu b > bất phương trình vô số nghiệm + Nếu b  bất phương trình vô nghiệm Trường hợp a > tập nghiệm (1) x   b a Trường hợp a < tập nghiệm (1) x   b a Ví dụ Giải biện luận bất phương trình : (m – 2)x + 3m –  (1) Bài giải Trường hợp 1: m – =  m = Ta có : (1)  0x +  Suy (1) vô nghiệm Trường hợp 2: m – >  m > Ta có nghiệm (1) x   3m m2 Trường hợp 3: m – <  m < Ta có nghiệm (1) x  Kết luận : Nếu m = bất phương trình (1) vô nghiệm Nếu m > bất phương trình có nghiệm x   3m m2 Nếu m < bất phương trình có nghiệm x   3m m2 19  3m m2 b Bất phương trình bậc ẩn Dạng : ax2 + bx + c > (1) TXĐ : R (a ≠ 0) Giải biện luận Trường hợp a = Phương trình (1)  bx + c > Giải biện luận bất phương trình bậc Trường hợp a > Tính  = b2 – 4ac - Nếu  < tập nghiệm (1) x R - Nếu   tam thức có nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) Nghiệm (1) x  x2 x  x  Trường hợp a < - Nếu  < bất phương trình (1) vô nghiệm - Nếu  > x1< x < x2 Ví dụ Giải biện luận bất phương trình: mx2 – 2x +  (1) Trường hơp m = Khi đó: (1)  x2 -2x + 4≥  (x-2)2   x≤ Trường hợp 2.mính ’ = - 4m. - Nếu – 4m > m   4m x1,2  Phương trình có nghiệm m    4m x  Tập nghiệm (1) là:  m    4m x    m - Nếu – 4m ≤  m  Tập nghiệm (1) x  R Trường hợp m < - Nếu  4m   m    4m   4m Tam thức có nghiệm x m m - Nếu  4m   m  bất phương trình vô nghiệm Kết luận: Với m = bất phương trình có nghiệm: x 2 20 1+√1−4𝑚 𝑚 Với 0< m< 𝑥 > Với 𝑚 ≥ ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 > 1+√1−4𝑚 𝑚 𝑡ℎì ∀𝑥 ∈ 𝑅 Với m < 1−√1−4𝑚 𝑚 (1) TXĐ : R2 Giải biện luận Trường hợp b  Ta có: (1)  by > - ax - c Nếu b > y   a x  c b b Nếu b < y   a x  c b b Khi tập nghiệm (1) miền (dưới) đường thẳng y   Trường hợp b = 0; a  Ta có: (1)  ax + c > Nếu a <  x   c a Nếu a >  x   c a Tập nghiệm (1) miền trái (phải) đường thẳng x   c a Trường hợp b  0; a = Ta có (1)  by + c > - Nếu b > y   c b - Nếu b < y   c b Tập nghiệm (1) miền (dưới) đường thẳng y   Trường hợp a = 0; b = Ta có (1)  c > - Nếu c > 0: bất phương trình (x, y) R2 21 c b a c x b b - Nếu c < 0: bất phương trình vô nghiệm 22 23 ... TXĐ bất phương trình (1) là: D = P  Q - Số a  D nghiệm bất phương trình Nếu f(a) < g(a) bất phương trình R Tất số a gọi tập nghiệm bất phương trình 2.2 Định nghĩa hệ bất phương trình Cho m bất. .. số bất phương trình đơn giản a Bất phương trình ẩn Dạng: ax + b > (1) TXĐ: R Giải biện luận Trường hợp1 a = Khi (1)  0x + b > + Nếu b > bất phương trình vô số nghiệm + Nếu b  bất phương trình. .. Kết luận : Nếu m = bất phương trình (1) vô nghiệm Nếu m > bất phương trình có nghiệm x   3m m2 Nếu m < bất phương trình có nghiệm x   3m m2 19  3m m2 b Bất phương trình bậc ẩn Dạng :