(Luyện thi Toán học) CÁC HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TRONG HÌNH OXY

(Luyện thi Toán học) CÁC HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TRONG HÌNH OXY (Luyện thi Toán học) CÁC HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TRONG HÌNH OXY (Luyện thi Toán học) CÁC HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TRONG HÌNH OXY (Luyện thi Toán học) CÁC HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TRONG HÌNH OXY

GIẢI ðÁP TOÁN CẤP – THI ĐẠI HỌC CÁC HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TRONG HÌNH HỌC OXY Biên soạn: Thanh Tùng CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC, TỨ GIÁC CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN CÁC BÀ BÀI TOÁ *) Tóm tắt lý thuyết đầy đủ theo trình tự logic có hệ thống *) ðưa hướng tư phương pháp giải khái quát cho lớp toán *) Có toán mẫu minh họa kèm *) Phần tập áp dụng có gợi ý *) Lời giải chi tiết cho toán cụ thể (tham khảo thêm http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 ) HÀ NỘI 03/2016 CÁC HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC OXY A KIẾN THỨC CƠ BẢN B CÁC BÀI TOÁN BÀI TOÁN 1: BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM để hiểu rõ cho hướng tư tương ứng với TH Bài toán 1: “Bài Toán Tìm điểm” thầy dùng thi ðại Học năm 2012 vừa qua ñể minh họa 1) (A, A1 – 2012:CB) Cho hình vuông ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, N điểm cạnh CD cho  11  ; đường thẳng AN có phương trình 2x − y − = Tìm tọa độ điểm A  2   Cho đường tròn (C) : x2 + y = Viết phương trình tắc elip (E), biết (E) 2) (A, A1 – 2012 :NC) CN = 2ND Giả sử M có độ dài trục lớn (E) cắt (C ) bốn điểm phân biệt tạo thành bốn đỉnh hình vuông 2 2 3) (B – 2012:CB) Cho ñường tròn (C ) : x + y = , (C ) : x + y −12x + 18 = đường thẳng d : x − y − = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C2 ) , tiếp xúc với d cắt (C1 ) hai ñiểm phân biệt A B cho AB vuông góc với d 4) (B – 2012 :NC) Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD đường tròn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương 2 trình x + y = Viết phương trình tắc elip (E) qua đỉnh A, B, C, D hình thoi Biết A thuộc Ox 5) (D – 2012:CB) Cho hình chữ nhật ABCD Các ñường thẳng AC AD có phương trình x + 3y = x − y + = ; ñường thẳng BD ñi qua ñiểm M (− ;1) Tìm tọa ñộ đỉnh hình chữ nhật ABCD 6) (D – 2012 :NC) Cho đường thẳng d : 2x − y + = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d , cắt trục Ox A B, cắt trục Oy C D cho AB = CD = 1) (A, A1 – 2012:CB) Cho hình vuông ABCD Gọi M trung ñiểm cạnh BC, N điểm cạnh CD cho  11  CN = 2ND Giả sử M ; đường thẳng AN có phương trình 2x − y − = Tìm tọa độ điểm A  2  Cách Phân tích: : +) Ta có {A} = AN ∩ nên Theo hướng tư (TH1) ta phải lập thêm phương trình AM AM +) Biết M chưa biết A (chính đáp số ta cần tìm) nên ta phải tìm thêm vtpt vtcp +) Bài toán yếu tố song song, vuông góc ñể tìm vtpt vtcp nên ta phải khai thác ytố định lượng uuur uuur ( +) Yếu tố định lượng: cos ∠MAN = cos nAM , nAN ) ⇒n AM ⇒ phương trình AM → tọa độ điểm A Giải: ðặt AB = a ⇒ ND = a a Và áp dụng Pitago ta ñược: ; NC = 2a ; MB = MC = ( ABCD hình vuông CN = 2ND ) AM = a ; MN = 5a Trong ta có: cos ∠MAN = Gọi n AM ⇔ AM AN = 2 = 2 = (2; −1) ⇒ cos ∠MAN AN 2 n n AM AN uuur uuur cos ,  AM hay ( ) ⇔ 2(2a − b) = 5(a + b ) ⇔ 3a − 8ab − 3b = ⇔ (3a + b)(a − 3b) = ⇔ 2a  b a2  b2 22  +) Với 3a = −b chọn a = 1;b = −3 ⇒ n 2 AM + AN − MN = (a;b) vtpt AM ta có n = a 10 ∆AMN AN = AM  1 = (1; −3) ⇒ phương trình AM : x − −3 y− =0     2     AM AM : x − 3y − = Vì {A} = AN ∩ +) n Với a = 3b chọn a = 3;b = ⇒ 11  2x − y − =  x = ⇒ A(1; −1)  nên ta giải hệ: ⇔ x − 3y − = y = −1  11      = (3;1) ⇒ phương trình AM : x − + y− =0     2     3a = −b  a = 3b hay AM AM : 3x + y −17 = Vì {A} = AN ∩ Vậy A(1; −1) A(4;5) x = ⇒ A(4;5) 2x − y − = ⇔ nên ta giải hệ:   3x + y −17 = y=5 Cách 2: Phân tích: A∈ nên Theo hướng tư (TH2) ta gọi AN A(t) ∈ AN ta cần thiết lập phương trình f (t) =  11  ; trung ñiểm BC ta chưa sử dụng – giúp ta làm điều này) → t = ? → A   2 Giải:  11 − − 3 2 ⇒ MH = d (M , AN ) = = +) Gọi H hình chiếu M lên 22  AN (còn kiện M ðặt AB = a ⇒ ND = a a ; NC = 2a ; MB = MC = AM = a Và áp dụng Pitago ta được: ; MN = 5a Trong AN = a 10 ta có: cos ∠MAN = ∆AMN ( ABCD hình vuông CN = 2ND ) 2 AM + AN − MN = AM AN ⇒ ∠MAN = 45 +) Gọi ⇒ ∆MAH A(t; 2t − 3) ∈ AN cận H ⇒ AM = AM = 45 2MH = 10 2 = (*) (theo (*)) 11  2  2 45 t =  A(1; −1) ⇔  t −  +  2t −  = ⇔ t − 5t + = ⇔  ⇒  2   2 t =  A(4;5) Vậy A(1; −1) A(4;5) Cách 3: Phân tích: A∈ AN M  11  ; cố ñịnh Nếu AM = h = const ( ta tìm cách ñi tính AM )   2 Nên Theo hướng tư (TH3) : {A} = AN ∩(C) với (C) ñường tròn tâm M bán kính R = h 11 − −3 2 ⇒ MH = d (M , AN ) = = 22  2 Giải: +) Gọi H hình chiếu M lên AN ðặt AB = a ⇒ ND = a a ; NC = Và áp dụng Pitago ta ñược: 2a ; MB = MC = ( ABCD hình vuông CN = 2ND ) AM = a ; MN = 5a Trong ta có: cos ∠MAN = a 10 ∆AMN AN = AM + AN − MN 2 AM AN = 2 ⇒ ∠MAN = 45 ⇒ ∆MAH cận H ⇒ AM = 10 2 = 2MH =  112  2 45 + y −    = 2  2   x11 45 2  − 2  Mà A ∈ AN : 2x − y − = Nên ta xét hệ : = x = +y− x=4  2⇔        y= y=5  2x − y − = −1 Vậy A(1; −1) A(4;5) Vậy AM = 10 ⇒ A nằm ñường tròn có phương trình:  x − Cách 4: (Các em tham khảo thêm cách giải Bộ Giáo Dục cách giải theo thầy không ñược “tự nhiên” nên thầy không trình bày ñây) 2 2) (A, A1 – 2012 :NC) Cho ñường tròn (C) : x + y = Viết phương trình tắc elip (E), biết (E) có ñộ dài trục lớn (E) cắt (C) bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn ñỉnh hình vuông Phân tích: 2 x + y = ta cần tìm a;b b2 +) Phương trình (E) : a +) (E) có độ dài trục lớn 8⇒ 2a = ⇒ a = +) Theo Hướng tư (TH4) ta gọi A(x; y) ( x > ) giao ñiểm (E) (C) : A ∈ (C) ⇒ x + y = 2 kiện (E) cắt (C) bốn điểm phân biệt tạo thành bốn ñỉnh hình vuông giúp ta thiết lập thêm phương trình: y = x (4 ñỉnh nằm hai đường phân giác thuộc góc phần tư thứ thứ hai – ta chọn điểm A(x; y) ( x > ) thuộc góc phần tư thứ nhất) ⇒ tọa độ điểm A Giải: Gọi phương trình tắc elip (E) có dạng: x +) (E) có ñộ dài trục lớn ⇒ 2a = ⇒ a = y +) Mà A ∈(E) ⇒ b → phương trình (E) +) Gọi A(x; y) ( x > ) giao điểm (E) (C) + a b =1 2 A ∈ (C) ⇒ x + y = (1) Ta có: Mặt khác: (E) cắt (C) bốn điểm phân biệt tạo thành bốn ñỉnh hình vuông ⇒ y = (2) x Từ (1) (2) ⇒ 2x = ⇒ x = (vì x > ) ⇒ y = ⇒ A(2; 2) 2 2 +) Mà A ∈(E) ⇒ + b 2 =1⇒b= 16 Vậy phương trình tắc elip (E) là: x2 16 + y2 16 =1 AB = 2AD Tìm tọa ñộ ñiểm A, B, C, D biết A có hoành ñộ âm (ðs : A(−2; 0), B(2; 2), C(3; 0), D(−1; −2) ) Ví dụ 13: Cho tam giác ABC có trực tâm H(–1; 4), tâm ñường tròn ngoại tiếp I(–3; 0) trung ñiểm cạnh BC M(0; 3) Viết phương trình ñường thẳng AB, biết B có hoành ñộ dương (ðs: 3x + 7y – 49 = 0) 48 MI  R2 Ví dụ 14: Cho ba ñiểm I(1; 1), M(–2; 2) N(2; –2) Tìm tọa ñộ ñỉnh hình vuông ABCD cho I tâm hình vuông, M thuộc cạnh AB, K thuộc cạnh CD A có hoành ñộ dương (ðs: A(1; 5), B(–3; 1), C(1; –3), D(5; 1)) 4 1 1 2 Ví dụ 15: Cho tam giác ABC có trọng tâm G ; , tâm ñường tròn ngoại tiếp I ; − trung ñiểm     3 3 5 5 cạnh BC M(–1; 2) Viết phương trình ñường thẳng AC, biết B có hoành ñộ âm (ðs: 3x + y – = 0) 2 Ví dụ 16: Cho ñường tròn ( C ) : x + y − 8x + y + 21 = ñường thẳng d : x + y – = 0.Xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A thuộc d hoành ñộ ñiểm B lớn hoành ñộ ñiểm D) (ðs : A(6;5), B(6; −1), C(2;1), D(2; −5) A(2;1), B(6; −1), C(6;5), D(2; −5) ) Bài 4: Qua ñiểm M (x0 ; y0 ) nằm ñường tròn (C) có tâm I bán kính R 1) Viết phương trình tiếp tuyến MT1 , MT2 ñến ñường tròn 2) Viết phương trình ñường thẳng ∆ ñi qua T1 ,T2 3) Tính diện tích tứ giác MT1IT2 Cách giải: Cách viết tổng quát phương trình tiếp tuyến: TH1: Nếu biết tiếp ñiểm T ⇒ tiếp tuyến ∆ (C) ñi qua T nhận IT làm vtpt ⇒ phương trình ∆ TH2: Nếu tiếp ñiểm dùng ñiều kiện : ∆ tiếp tuyến (C) ⇔ d (I , ∆) = R 1) Như với toán ta làm theo TH2 : +) Gọi ∆ ñi qua ñiểm M (x0 ; y0 ) có vtpt n = (a; b) ( a + b ≠ ) có dạng: 2 a(x − x0 ) + b( y − y0 ) = hay ax + by − ax0 − by0 =0 (∆) a = ? +) Từ (*) chọn   b=? ⇒ phương trình ∆1 , ∆2 hay phương trình MT1 , MT2 ( hai phương trình (*) có: a = b = 0) ∆ CHÚ Ý: Có thể tìm cụ thể tọa ñộ T1 ,T2 nhờ giải hệ: 2) (C) +) Gọi T (x ; y ) tiếp ñiểm tiếp tuyến kẻ từ M ñến (C) ⇒ 0 T ∈ (C) (*) uuur uur  MT IT = 3) S = = 2S MT1IT MT1 I MT IT = MT R với MT = 1 1 Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài ñể giải ví dụ sau) 2 Ví dụ 1(B – 2006): Cho ñường tròn: (C) : x + y − 2x − y + = ñiểm M(– 3; 1) Gọi T T tiếp ñiểm (ðs: 2x + y − = ) tiếp tuyến kẻ từ M ñến (C) Viết phương trình ñường thẳng T1 T2 2 Ví dụ 2: (A – 2011 – CB): Cho ñường thẳng ∆ : x + y + = ñường tròn (C): x + y − 4x − y = Gọi I tâm (C), M ñiểm thuộc ∆ Qua M kẻ tiếp tuyến MA MB ñến (C) (A B tiếp ñiểm) Tìm tọa ñộ ñiểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích 10 (ðs : M (2; −4) M (−3;1) ) Bài 5:Cho ñường thẳng ∆ , ñường tròn (C) có tâm I hai ñiểm M , N nằm ñường tròn 1) Tìm ñiều kiện ñể ∆ cắt (C) hai ñiểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB lớn 2) Tìm K thuộc (C) cho diện tích tam giác KMN lớn nhất, nhỏ 3) Tìm P thuộc ∆ cho qua P kẻ hai tiếp tuyến PT1 , PT2 cho diện tích tam giác IT1T2 lớn TH1 TH2 TH3 Cách giải : Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài ñể giải ví dụ sau) 2 Ví dụ : Cho ñường tròn (C) : x − 2x + y − = Gọi B, C giao ñiểm ñường thẳng ∆ : x + y − = Hãy tìm ñiểm A ñường tròn (C) cho tam giác ABC có chu vi lớn (ðs : A(1− 2; − 2) ) 2 Ví dụ : Cho ñường tròn (C) : x + y − 4x − y +12 = có tâm I ñường thẳng ∆ : x + y − = Tìm ñường thẳng ∆ ñiểm M cho tiếp tuyến kẻ từ M tiếp xúc với (C) A, B mà tam giác IAB có diện tích lớn (ðs : M (3  ;  Ví dụ : Cho ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A(2 ; - 2), B(4 ; 0), C(3 ; ), M (3  22 3;5 3)) 2 −1) ñường thẳng ∆ : 4x + y − = Tìm ñường thẳng ∆ ñiểm M cho tiếp tuyến (C) qua M tiếp xúc với C N (ðs : M (2; 4),  M ( ;  4) ) cho diện tích tam giác NAB lớn 55 Bài 6: Viết phương trình ∆ qua M (x0 ; y0 ) cắt ñường tròn (C) có tâm I, bán kính R A, B cho MA = kMB Cách giải : C1 : +) ðặt IH = h  MH =IM  h2 →  HA = HB R2  h2 = (*) CHÚ Ý: +) Cách giải thầy sử dụng trường hợp k > ( với k < em làm tương tự) +) Cách giải thầy sử dụng M (x0 ; y0 ) nằm ñường tròn (C) ( M (x0 ; y0 ) nằm (C) em làm tương tự) C2 : +) Xét phương trình ∆ qua M (x0 ; y0 ) có hệ số góc k có dạng : y = k(x − x0 ) + y0 +) Xác ñịnh phương trình hoành ñộ giao ñiểm ∆ (C) : f ( x , x, k ) = (*) +) Dùng vi – et cho (*) kết hợp MA = kMB ⇒ k = ? ⇒phương trình ∆ Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài ñể giải ví dụ sau) 2 Ví dụ : Cho ñường tròn (C): x + y − 2x + y − 23 = , ñiểm M(7; 3) Viết phương trình ñường thẳng ∆ qua M cắt ñường tròn (C) A, B cho MA = 3MB ( ðs : y = 12x − 5y − 69 = ) Ví dụ : Cho ñiểm A(-1 ; 14) ñường tròn (C) tâm I(1 ; -5), bán kính 13 Viết phương trình ñường thẳng ∆ ñi qua A cắt (C) M, N mà khoảng cách từ M ñến AI nửa khoảng cách từ N ñến AI (ðs : x + y – 13 = 433x – 281y +4367 = 0) Loại 2.2: Sự tương giao hai ñương tròn TH1: R + r > II TH2: R + r = II ' TH3: R + r < II ' Ngoài ' Tiếp xúc Cắt hai ñiểm TH4: R − r = II ' Tiếp xúc CHÚ Ý: Còn trường hợp ñựng Nhưng trường hợp ñược khai thác nên thầy không ñề cập ñây Bài tập áp dụng 2 Ví dụ 1(D – 2009 – NC): Cho ñường tròn (C) : (x −1) + y = Gọi I tâm (C) Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M thuộc  33   33  M  ;  )  2  2  (ðs: M  ; (C) cho ∠IOM = 30 2 Ví dụ 2(D – 2003): Cho ñường tròn (C) : (x – 1) + (y – 2) = ñường thẳng d : x – y – = 0.Viết phương trình ñường tròn (C’) ñối xứng với ñường tròn (C) qua ñường thẳng d Tìm tọa ñộ giao ñiểm (C) (C’) (ðs: (x  3)2  y  A(1; 0), B(3; 2) ) 2 Ví dụ (D – 2006): Cho ñường tròn (C) : x + y − 2x − y +1 = ñường thẳng d: x – y + = Tìm tọa ñộ ñiểm M nằm d cho ñường tròn tâm M, có bán kính gấp ñôi bán kính ñường tròn (C), tiếp xúc với ñường tròn (C) (ðs: M (1; 4) M (−2;1) ) 2 2 Ví dụ 4: Cho ñường tròn (C ) : x + y − 6x + y − = cắt ñường tròn (C ) : (x + 6) + ( y −1) = 50 hai ñiểm M, N biết M có hoành ñộ dương Viết phương trình ñường thẳng ∆ ñi qua M cắt (C1 ), (C2 ) ñiểm thứ hai A, B cho M trung ñiểm AB (ðs: 5x – 7y + = 0) Ví dụ 5: Cho tam giác ABC nội tiếp ñường tròn tâm I(6; 6) ngoại tiếp ñường tròn tâm K(4; 5), biêt ñỉnh A(2; 3) Viết phương trình cạnh BC (ðs: 3x + 4y – 42 = 0) 2 Ví dụ 6: Cho ñường tròn (C) : x + y = 1.ðường tròn ( C’) tâm I(2;2) cắt (C) ñiểm A,B cho AB = ( ðs: x + y +1 = x + y −1 = ) Viết phương trình ñường thẳng AB Dạng 4: Các toán Elip Loại 1: Viết phương trình Elip xác ñịnh yếu tố Elip Cách giải chung: +) Giả sử phương trình tắc elip có dạng: Bài tập áp dụng Ví dụ 1: Lập phương trình tắc elip (E) biết: 1)Có ñộ dài hai trục 6, 2)Có ñỉnh (5; 0) tiêu cự 2 x +y = (E) 2 a b 3)Có ñỉnh (0; 3) ñi qua ñiểm M(4; 1)  3  2 − 2;         5 5)Có tiêu ñiểm F (2; 0) qua ñiểm 2;     6)Có tiêu ñiểm F2 (5; 0) khoảng cách hai ñỉnh 4)ði qua hai ñiểm 1; 7)Tiêu cự x42 2ñỉnh trục nhỏ ñến tiêu ñiểm  y2khoảng cách từ 2) x2 y 3) 1 2 ( ðs: 1) 94 2516 4) x + y = x2y x2  y2    18181 6) 44 18 7) x + 25 y2 x2 + 49 =1 21 y2 = 45  5) x y  x2  y2  ) Ví dụ 2(A – 2008): Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, viết phương trình tắc elip (E) biết (E) có tâm sai hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 x2 y2 (ðs: ) 94 Ví dụ 3(B – 2012 – NC): Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD ñường tròn tiếp xúc với cạnh hình thoi có 2 phương trình x + y = Viết phương trình tắc elip (E) ñi qua ñỉnh A, B, C, D hình thoi Biết A x2 (ðs: ) thuộc Ox y2 205 Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) có ñộ dài trục lớn 42 ,các ñỉnh nằm trục nhỏ tiêu ñiểm (E) nằm ñường tròn Lập phương trình tắc (E) Ví dụ 4: Cho elip (E) có ñộ dài trục lớn 6, tâm sai phần hai khoảng cách từ ñiểm M (E) ñến tiêu ñiểm F1 (có hoành ñộ âm) 1) Tìm khoảng cách từ M ñến tiêu ñiểm 2) Viết phương trình tắc elip (E) tìm tọa ñộ ñiểm M F2 Loại 2: Tìm ñiểm thuộc Elip x0 = ? +) Từ (1) (2) ⇒  ⇒M  y0 = ? c  MF = a + x a CHÚ Ý : Nếu M (x0; y 0) ∈(E) ta khai thác thêm kiện:   c MF = a − x Bài tập áp dụng  x2  y2  a Ví dụ 1: Cho elip (E): 1) Tìm tọa ñộ giao ñiểm (E) ñường thẳng 3) Tìm (E) ñiểm N cho F1N − F2 N = y=x −2 1) A( 3;1), B   ∠F1MF2 ;− 2) M ( 3;1), M ( 3; −1), M  (− 5    2)Tìm (E) ñiểm M cho góc 3;1), M (− = 90 3 5 3 5 3; −1) 3) N N ;− 2  2 4 ;     2 x +y = có tiêu ñiểm F1 , F2 2 a b Ví dụ 2: Cho (E):  423  1)Cho a = 2, b = Tìm ñiểm M cho F1M = 2F2 M  2)Chứng minh với ñiểm M ta có: F M F M + OM Ví dụ 3(D – 2005): Cho ñiểm C(2;0) elíp (E): x2 + y  23  (ðs: M  3 ; 27  M  3 ;  27  )  =a +b   = Tìm toạ ñộ ñiểm A, B thuộc (E), biết hai ñiểm 2 3 2 3 A, B ñối xứng với qua trục hoành tam giác ABC tam giác ñều 2 3  2 (ðs: A ; ,B ;− 7  7     A  7  ;− ,B ; ) 7      y = Tìm ñiểm A B thuộc (E), có hoành ñộ dương cho tam  2   2 2  2 giác OAB cân O có diện tích lớn (ðs: A 2; , B 2; − or A 2; − , B 2; )         2 2         Ví dụ (A – 2011 – NC) : Cho elip (E) x+ : 2 Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho elip (E) : 9x + 25 y = 225 Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc (E) cho tam giác M F1F2 vuông M 2 Ví dụ 6: Cho elip (E) : 5x + y = 45 có tiêu ñiểm F1 , F2 M ñiểm (E) biểu thức f =FM+FM + 1 + F1M F2 M 1) Chứng minh chu vi tam giác F1MF2 không ñổi Tìm M ñể diện tích tam giác F1MF2 2) Tìm M cho giá trị f lớn 2 Ví dụ 7: Cho ñiểm M di ñộng elip: 9x +16 y = 144 H, K hình chiếu M lên hai trục tọa ñộ Tìm M ñể diện tích OHMK lớn Loại 3: Sự tương giao ñường thẳng Elip x + Cách giải chung : Sự tương giao ñường thẳng ∆ : Ax + By + C = (E): a  Ax + By + C =  +) Giải hệ  x2 y (I) phương pháp + =1  2 a b y2 = b2 ( ðiều kiện ñể ∆ tiếp tuyến (E) : A2a2 + B2b2 = C (ñược sinh từ (II) )) Bài tập áp dụng 2 Ví dụ 1: Cho elip (E): 4x + y = 36 ñiểm M(1; 1) Lập phương trình ñường thẳng qua M cắt (E) hai ñiểm M1 , M cho MM1 = MM Ví dụ 2:Cho hai ñiểm A (− (ðs: 4x + 9y – 13 = 0) 3; 0) , B ( 3; 0) ñường −1) y + = Tìm d ñiểm M có thẳng d: 3x − 2( hoành ñộ âm cho chu vi tam giác MAB + 3  (ðs: M  1;  )  2 Ví dụ (D – 2002): Cho elip (E) có phương trình 2 x + y = Xét ñiểm M chuyển ñộng tia Ox ñiểm N 16 chuyển ñộng tia Oy cho ñường thẳng MN tiếp xúc với (E) Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M, N ñể ñoạn MN có ñộ dài nhỏ Tính giá trị nhỏ ñó ) (E): Ví dụ (B – 2010 – NC): Cho ñiểm A(2; (ðs: M (2 7; 0), N (0; 21) GTNN MN 7) hoành ñộ âm); M giao ñiểm có tung ñộ dương ñương thẳng phương trình ñường tròn ngoại tiếp tam giác Ví dụ 5: Cho Elip (E) : x 2 ANF2 x y = Gọi F F tiêu ñiểm (E) ( F có +2 AF1 với (E); N ñiểm ñối xứng F2 qua M Viết (ðs: (x −1)2 +   y− 2 = )  +1 y.Viết = phương trình tiếp tuyến d (E) biết d cắt trục tọa ñộ Ox,Oy 64 A,B cho AO = 2BO CHÚ Ý: Khi toán ñường tròn Elip có yếu tố min, max hay sử dụng bất ñẳng thức Cauchy Bunhiacopxki (2011A – NC, 2002D…) Cảm ơn em bạn ñã ñọc liệu ! Mọi ý kiến ñóng góp em bạn gửi qua E- mail: giaidaptoancap3@yahoo.com ñịa : số – Ngõ 880 – Bạch ðằng – Hai Bà Trưng – Hà Nội ðiện thoại : 043.9871450 Dð: 0947141139 Lời giải tập em tham khảo web: http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 [...]... thuộc vào hai ẩn t1 và t2 xM = t1 +) M (t1;t2 ) : ñiểm M có tọa ñộ :   yM = t2 BÀI TOÁN 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ðẾN BÀI TOÁN 1 Dạng 1: Các bài toán trong tam giác, tứ giác Loại 1: Các bài toán về ðịnh Tính Loại 1.1: Các bài toán về ñường trung tuyến, ñường cao, trung trực Bài 1: Biết ñỉnh A của tam giác ABC và 2 trung tuyến BM, CN Viết phương trình các cạnh của ∆ABC Cách giải: Bài tập áp dụng (Các. .. tam giác Cách giải: Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tư ng Bài 12 ñể giải các ví dụ sau) Ví dụ : Tam giác ABC có A(-3;1), ñường cao BH, phân giác trong BD lần lượt có phương trình: x + 7y + 32 = 0 và x + 3y + 12 = 0 Tìm tọa ñộ ñiểm C (ðs: C(–4; – 6) ) Bài 13: Biết ñỉnh A và ñường cao BH, phân giác trong CD Viết phương trình các cạnh tam giác Cách giải: Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tư ng... 3 ABC 31 Bài 15: Biết ñỉnh A và phương trình ñường thẳng BC và hình chiếu H của A xuống BC chia theo BH = k HC và biết Cách giải: Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tư ng Bài 15 ñể giải các ví dụ sau) Ví dụ 1:Cho tam giác ABC có ñỉnh A(2; – 2) và phương trình ñường thẳng BC là 3x – 4y + 1 = 0 và hình chiếu H của A xuống BC thỏa mãn HC = −6BH Tìm tọa ñộ các ñiểm B và C, biết diện tích tam giác... là chân ñường phân giác trong của góc B xuống AC ( ðs: D (−5;11) ) Bài 11: Biết ñỉnh A và trung tuyến BM, phân giác trong CD Viết phương trình các canh Cách giải: Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tư ng Bài 11 ñể giải các ví dụ sau) Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có ñỉnh A(1; 2), ñường trung tuyến BM: 2x + y + 1 = 0 và phân giác trong CD: x + y – 1 = 0 Viết phương trình ñường thẳng... ABC và 2 ñường cao BH và CK Viết phương trình các cạnh  n A = uC K B ur ur uu uu nAC = uBH Cách giải: +) Viết phương trình AB, AC với +) Tìm B, C với {B} = AB I BH  {C} = AC I CK Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tư ng Bài 2 ñể giải các ví dụ sau) Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết ñỉnh A(1; –3); phương trình hai ñường cao xuất phát từ B và C lần lượt là x+ 2y – 8 =0 và 3x + 5y – 1 = 0 Viết phương. .. (2) +) Từ (1) và (2) ⇒ phương trình BC (chính là phương trình A1 A2 ) Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tư ng Bài 9 ñể giải các ví dụ sau) Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có ñỉnh A(1; 1), phương trình ñường phân giác trong góc B, góc C lần lượt là BD: 2x + y + 4 = 0; CE: x + 3y + 1 = 0 Lập phương trình cạnh BC (ðs:x + 23y + 46 = 0) Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho tam... chính tắc của elip (E) là: x2  y2 205 1 5) (D – 2012:CB) Cho hình chữ nhật ABCD Các ñường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là x  3y  0 và x  y 4 0 ; ñường thẳng BD ñi qua ñiểm M ( 1 ;1) Tìm tọa ñộ các ñỉnh của hình chữ nhật ABCD 3 Cách 1: Phân tích: +) Theo Hướng tư duy 1 (TH1) : {A} = AC ∩ AD → tọa độ ñiểm A +) Theo Hướng tư duy 2 (TH2) : D ∈ AD , B ∈ AB nên ta gọi D(t1 ), B(t2 ) (trước... của tam giác ABC và ñường cao BH, trung tuyến CM Lập phương trình các cạnh Cách giải: Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tư ng Bài 4 ñể giải các ví dụ sau) Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(–4; – 5) và phương trình ñường cao BH: x + 2y – 2 = 0, ñường trung tuyến CM: 8x – y – 3 = 0 Tìm tọa ñộ ñỉnh B, C (ðs: B(4; –1), C(1; 5)) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có phương trình của trung tuyến AM và ñường cao BH... Biết ñỉnh A và phương trình ñường thẳng BC, ñường thẳng d ñi qua ñiểm H thuộc BC thỏa mãn BH = k HC và biết diện tích tam giác ABC (hoặc biết ñộ dài ñoạn BC) Tìm tọa ñộ B, C TH2: Biết phương trình AC và biết phương trình ñi qua A căt BC tại H (biết A), biết B ( hoặc C) và thỏa mãn BH.BC = k Tìm ñỉnh còn lại BH.BC = k TH1 TH2 Cách giải: Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tư ng Bài 16 ñể giải các ví dụ... 2 2 Vậy phương trình (C) là: (x − 3) + ( y − 3) = 8 2 1 +1 4) (B – 2012 :NC) Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và ñường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương 2 2 trình x + y = 4 Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua các đỉnh A, B, C, D của hình thoi Biết A thuộc Ox Phân tích: +) Phương trình (E) x2  y2 1 (a > b > 0) như vậy ta cần tìm a;b : a 2 b2 +) Theo Hướng tư duy 2 (TH2)