dùng 6 bài thi ðại Học năm 2012 vừa qua ñể minh họa. 1) (A, A1 – 2012:CB). Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung ñiểm của cạnh BC, N là ñiểm trên cạnh CD sao cho 11 1 CN = 2ND. Giả sử M ; và ñường thẳng AN có phương trình 2x y 3 0 . Tìm tọa ñộ ñiểm A. 2 2 2) (A, A1 – 2012 :NC). Cho ñường tròn (C ) : x2 y 2 8 . Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có ñộ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C ) tại bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn ñỉnh của một hình vuông. 3) (B – 2012:CB). Cho ñường tròn (C ) : x2 y 2 4 , (C ) : x2 y 2 12 x 18 0 và ñường thẳng d : x y 4 0 . Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc (C2 ) , tiếp xúc với d và cắt (C1 ) tại hai ñiểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d. 4) (B – 2012 :NC). Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và ñường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình x2 y 2 4 . Viết phương trình chính tắc của elip (E) ñi qua các ñỉnh A, B, C, D của hình thoi. Biết A thuộc Ox. 5) (D – 2012:CB). Cho hình chữ nhật ABCD. Các ñường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là x 3 y 0 và x y 4 0 ; ñường thẳng BD ñi qua ñiểm M ( 1 ;1) . Tìm tọa ñộ các ñỉnh của hình chữ nhật ABCD. 3 6) (D – 2012 :NC). Cho ñường thẳng d : 2x y 3 0 . Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc d , cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD = 2.
GIẢI ðÁP TOÁN CẤP – THI ðẠI HỌC CÁC HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TRONG HÌNH HỌC OXY Biên soạn: Thanh Tùng CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC, TỨ GIÁC CÁC BÀI TOÁN VỀ ðƯỜNG THẲNG CÁC BÀI TOÁN VỀ ðƯỜNG TRÒN CÁC BÀI TOÁN VỀ ELIP BÀI TOÁN TÌM ðIỂM *) *) *) *) *) Tóm tắt lý thuyết ñầy ñủ theo trình tự logic có hệ thống ðưa hướng tư phương pháp giải khái quát cho lớp toán Có toán mẫu minh họa ñi kèm Phần tập áp dụng có gợi ý Lời giải chi tiết cho toán cụ thể (tham khảo thêm http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 ) HÀ NỘI 03/2013 CÁC HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC OXY A KIẾN THỨC CƠ BẢN B CÁC BÀI TOÁN BÀI TOÁN 1: BÀI TOÁN TÌM ðIỂM ðể hiểu rõ cho hướng tư tương ứng với TH Bài toán 1: “Bài Toán Tìm ðiểm” thầy dùng thi ðại Học năm 2012 vừa qua ñể minh họa 1) (A, A1 – 2012:CB) Cho hình vuông ABCD Gọi M trung ñiểm cạnh BC, N ñiểm cạnh CD cho 1 11 CN = 2ND Giả sử M ; ñường thẳng AN có phương trình 2x y Tìm tọa ñộ ñiểm A 2 2 y Viết phương trình tắc elip (E), biết (E) có 2) (A, A1 – 2012 :NC) Cho ñường tròn (C ) : x ñộ dài trục lớn (E) cắt (C ) bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn ñỉnh hình vuông , (C2 ) : 2 y 12 18 ñường thẳng d : x 3) (B – 2012:CB) Cho ñường tròn (C1) : x y x y x Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc (C2 ) , tiếp xúc với d cắt (C1 ) hai ñiểm phân biệt A B cho AB vuông góc với d 4) (B – 2012 :NC) Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD ñường tròn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trình x y Viết phương trình tắc elip (E) ñi qua ñỉnh A, B, C, D hình thoi Biết A thuộc Ox 5) (D – 2012:CB) Cho hình chữ nhật ABCD Các ñường thẳng AC AD có phương trình x y x y ; ñường thẳng BD ñi qua ñiểm M ( ;1) Tìm tọa ñộ ñỉnh hình chữ nhật ABCD 6) (D – 2012 :NC) Cho ñường thẳng d : 2x y Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc d , cắt trục Ox A B, cắt trục Oy C D cho AB = CD = 1) (A, A1 – 2012:CB) Cho hình vuông ABCD Gọi M trung ñiểm cạnh BC, N ñiểm cạnh CD cho 11 CN = 2ND Giả sử M ; ñường thẳng AN có phương trình 2x 2 y Cách Phân tích: Tìm tọa ñộ ñiểm A : +) Ta có A AN AM nên Theo hướng tư (TH1) ta phải ñi lập thêm phương trình AM +) Biết M chưa biết A (chính ñáp số ta cần tìm) nên ta phải ñi tìm thêm vtpt vtcp +) Bài toán yếu tố song song, vuông góc ñể tìm vtpt vtcp nên ta phải khai thác ytố ñịnh lượng uuu ⇒ phương trình AM +) Yếu tố ñịnh lượng: cos MAN = cos uuuur tọa ñộ ñiểm A r uuur nAM , nAN ⇒ nAM Giải: ðặt AB ⇒ a ND a ; NC 2a ; MB a MC 3 a ; MN Và áp dụng Pitago ta ñược: AM 2 5a AN a 10 2 AN MN AMN ta có: cos MAN AM AM AN uur uuur Gọi nAM (a; b) vtpt AM ta có (2; 1) ⇒ cos nAN Trong 2a 2 +) Với 3a a 2 b b 2 2(2a b) 5(a 2ND ) ( ABCD hình vuông CN b ) 3a uuuur uuur MAN = cos nAM , nAN 8ab 3b (3a b)(a 3b) b chọn a 1; b uuu r 3⇒ nAM (1; 3) ⇒ phương 11 3a a 1 AM : x 3y 2 2 2x y x ⇒ A(1; 1) Vì A AN AM nên ta giải hệ: hay AM : x y x y y 11 uuur 1 (3;1) ⇒ phương AM : x +) Với a 3b chọn a 3; ⇒ y trình b nAM 2x y x AN AM nên ta giải hệ: ⇒ A(4; 5) hay AM : 3x y 17 Vì A 3x y 17 y A(1; 1) A(4; 5) Vậy trình b 3b Cách 2: Phân tích: A AN A(t ) AN ta cần thiết lập phương trình f (t ) nên Theo hướng tư (TH2) ta gọi 11 (còn kiện M ; trung ñiểm BC ta chưa sử dụng – giúp ta làm ñiều này) 2 Giải: MH +) Gọi H hình chiếu M lên AN ⇒ AN ) ðặt AB ⇒ a ND a ; NC 2a Và áp dụng Pitago ta ñược: AM ⇒ ⇒ +) Gọi MAN = 45 AN AM MAH cận H AN A(t; 2t 3) AN d (M , MN AM 2 ? 2 2ND ) a 10 2 2MH ⇒ AM ( ABCD hình vuông CN 5a AN 11 2 a MC a ; MN AM AMN ta có: cos MAN Trong ; MB t 10 (*) 45 (theo (*)) 2 11 2 7 2t 2 2 Vậy A(1; 1) A(4; 5) t 45 5t t A(1; t 1) ⇒ t A(4; 5) Cách 3: Phân tích: A 11 AN M ; cố ñịnh Nếu AM 2 Nên Theo hướng tư (TH3) : A AN h const ( ta tìm cách ñi tính AM ) (C) với (C ) ñường tròn tâm M bán kính R h A Giải: +) Gọi H hình chiếu M lên AN ⇒ MH AN ) ⇒ a ND ðặt AB a ; NC 3 Và áp dụng Pitago ta ñược: AM Trong ⇒ ⇒ MAN = 45 x 10 ; MB MC AM AN AM MAH cận H AN a 2 MN 2 10 2 11 ⇒ A nằm ñường tròn có phương trình: 2 11 Nên ta xét hệ : x 2x y Vậy A(1; 1) AN : x 2ND ) a 10 2MH ⇒ AM ( ABCD hình vuông CN 5a AN a ; MN AMN ta có: cos MAN Vậy AM yMà A 2a d (M , 11 2 1 y 45 2 1 y 2 45 x y x y A(4; 5) Cách 4: (Các em tham khảo thêm cách giải Bộ Giáo Dục cách giải theo thầy không ñược “tự nhiên” nên thầy không trình bày ñây) 2) (A, A1 – 2012 :NC) Cho ñường tròn (C ) : x y Viết phương trình tắc elip (E), biết (E) có ñộ dài trục lớn (E) cắt (C ) bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn ñỉnh hình vuông Phân tích: +) Phương trình ( E ) : x a y b 2 +) (E) có ñộ dài trục lớn ⇒ ta cần tìm a; b 2a +) Theo Hướng tư (TH4) ta gọi A( x; y) ( x ) giao ñiểm (E) (C ) : A (C ) ⇒ x 8⇒ a y kiện (E) cắt (C ) bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn ñỉnh hình vuông giúp ta thiết lập thêm phương trình: y x (4 ñỉnh nằm hai ñường phân giác thuộc góc phần tư thứ thứ hai – ta chọn ñiểm A( x; y) ( x ) thuộc góc phần tư thứ nhất) ⇒ tọa ñộ ñiểm A A Giải: Gọi phương trình tắc elip ( E ) có dạng: a +) (E) có ñộ dài trục lớn ⇒ 2a +) Gọi A( x; y) ( x 8⇒ a x 2 y b +) Mà ( E) ⇒ b ) giao ñiểm (E) (C Ta có: A (C ) ⇒ ) x y (1) phương trình (E) Mặt khác: (E) cắt (C ) bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn ñỉnh hình vuông ⇒ y (vì x ) ⇒ ⇒ A(2; Từ (1) (2) ⇒ ⇒ 2x 22 +) Mà A (E) ⇒ x 2 b 16 1⇒b y 2) Vậy phương trình tắc elip (E) là: x (2) x y2 16 16 3) (B – 2012:CB) Cho ñường tròn (C 1) : x y , (C2 ) : x y x 12 18 ñường thẳng d : x y Viết phươn g trình ñường tròn có tâm thuộc (C2 ) , tiếp xúc với d cắt (C1 ) hai ñiểm phân biệt A B cho AB vuô tâ m Phâ n t íc h : Mu ốn viế t ph ươ ng trìn h ñư ờn g trò n ta cầ n: +) Xá c ñịn h I (d ùn g T hu ật T oá n Tì m ði ể m ) K hi ñó theo Hướng tư (TH2) ta gọi I (t ) II1 (C2 ) giúp ta thiết lập ñược phương trình : f (t ) t ? tọa ñộ ñiểm I II ( tọa ñộ I - cách trình bày khác C TH2) d 1 I ( t ; t ) ) +) Xác ñịnh bán kính: R nhờ R Giải: I I AB ⇒ tâm (C ) I (0; 0) I ( 3; ) ( MR V ậ y d (I y ( , p Cd h ) )2 ) t i ế p x ú c v i d(I,d) Gọi I tâm ñường tròn (C trình Ta ) cần viết phương có (C ) : x y t E ) :x ⇒ G ( ọ i I I ( Ta làm theo Hướng tư (TH3) với +) Khai thác kiện: ñường tròn x AB (Trước ñó ta ñi I vuông góc với AB (tính lập phương trình chất ñường nối tâm) hay song II1 ñi qua song với d ) V d ữ ki ệ n (1) D 1 n g tr ì n h ( C ) l : d ( ⇒x 4) (B – 2012 :NC) Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD ñường tròn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương t r ì n h y Viết phương trình tắc x elip (E) ñi qua ñỉnh A, B, C, a 0) nh vậ y ta cầ n tì m a; b +) The o Hướ ng tư (TH 2) (E) ñi qua ñỉnh A, B, C, D O x v B ( ; b ) O y A Ox nên gọi A(a ; 0) f (a, + ) b) K h a i t h c d ữ k i ệ n T ( ) v ( ) a ? v b ? y tiếp xúc với cạnh hình thoi f (2) ( a , b ) phương trình (E) ñi qua M ( x0 ; y0 ) cắt ñường tròn (C) A, B cho AB = l Bài 1: Viết phương trình ñường thẳng (a; b) ⇒ phương trình x0 ) b( y by : a( x y0 ) : ax (ax0 by0 ) Cách giải +) Gọi n a +) Từ (*) ta chọn : b ? ? ⇒ phương trình ( Nếu muốn tìm cụ thể A, B ta giải hệ : ) (C ) Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài ñể giải ví dụ sau) Ví dụ 1: Cho ñường tròn (C ) : y y 12 Viết phương trình ñường thẳng x x theo dây cung AB có ñộ dài ñi qua M(1; 3) cắt (C) (ðs: x – y + = x + 41y – 124 = 0) Ví dụ (A – 2009 – NC): Cho ñường tròn (C ) : x y x 4y my với m tham số thực Gọi I tâm ñường tròn (C) Tìm m ñể ñường thẳng : x 2m , cắt (C) hai ñiểm phân biệt A B cho (ðs: m m diện tích tam giác IAB lớn ) 15 Ví dụ (B – 2009 – NC): Cho tam giác ABC cân A có ñỉnh A(–1;4) ñỉnh B,C thuộc ñường thẳng : x – y – = Xác ñịnh toạ ñộ ñiểm B C, biết diện tích tam giác ABC 18 11 3 ( ðs: B ; , C ; 2 2 Ví dụ 4(D – 2009 – NC): Cho ñường tròn (C ) : ( x (C) cho y Gọi I tâm (C) Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M thuộc 3 3 3 ; ; ( ðs: M M 2 2 IOM = 90 Ví dụ 5: Cho ñường tròn (C ) : x thăng 1) 5 11 B ; ,C ; ) 2 2 2 y 4x 3 ) y 15 Gọi I tâm ñường tròn (C) Viết phương trình ñường qua M(1; –3) cắt (C) A, B cho tam giác IAB có diện tích cạnh AB cạnh lớn (ðs: 4x + 3y + = y + = 0) Ví dụ 6: Cho ñường tròn (C ) : ( 1) x (C) ñiểm A, B cho 1) Dây cung AB lớn 2) Dây cung AB ngắn Ví dụ 7: Cho ñường tròn (C) : x ( y 2) ñiểm M(2; 1) Viết phương trình ñường thẳng qua M cắt (ðs: x + y – = 0) (ðs: x – y – = 0) Viết phương trình ñường thẳng AB y ðường tròn ( C’) tâm I(2;2) cắt (C) ñiểm A,B cho AB ( ðs: x y x y ) Bài 2: Viết phương trình ñường thẳng ur biết n (a0 ; b0 ) (hoặc phải tìm nhờ quan hệ song song vuông góc) cắt ñường tròn (C) ñiểm phân biệt A, B thỏa mãn ñiều kiện ñịnh lượng Cá ch gi ải : +) Phương trình có n ur m ax m (a0 ; b0 ) : a0 x b0 y m ⇒ y ( * ) ( n ế u 0⇒ x ) a b b +) Thay (*) vào phương trình ñường tròn (C) ⇒ ax bx (2*) (phương trình chứa c tham số m) +) A( x ; y ), B( x ; y ) ⇒ x , x nghiệm phương trình 1 2 G (2*) Nếu biểu diễn theo m : x , x ọi Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài ñể giải ví dụ sau) Ví dụ 1(D – 2011 – NC): Cho ñiểm A(1; 0) ñường tròn (C): x y y Viết x phương trình ñường thẳng cắt (C) hai ñiểm M N cho tam giác AMN vuông cân A (ðs: y y 3) Ví dụ 2(D – 2010 – CB ): Cho tam giác ABC có ñỉnh A(3; –7), trực tâm H(3; –1), tâm ñường tròn ngoại tiếp I(–2; 0) Xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh C, biết C có hoành ñộ dương (ðs: C ( 65; 3) ) ( y 10 Xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh Ví dụ 3: Cho ) 3) hình vuông ngoại tiếp ñường ñường tròn (x (C ) : tròn, biết cạnh AB ñi qua ñiểm M ( 3; 2) ñỉnh A có hoành ñộ dương ( ðs: A(6; 1), B(0; –1), C(–2; 5), D(4; 7)) Bài 3: Tìm ñiểm M thuộc ñường thẳng cách ñiểm cố ñịnh I khoảng không ñổi (MI = R) Cách giải : Có thể hiều toán theo cách (bản chất một) hiệm hệ : (C) ( ñây (C) ñường tròn tâm I bán kính R) CHÚ Ý: +)Với C1 không cần quan tâm tới toán tương giao ñường thẳng ñường tròn (ñề cập C2) giải theo phương pháp ñại số thông thường +) Với C2 ta thấy rõ chất toán +) C1 C2 hai cách trình bày khác phương pháp giải hệ phương trình +) Có thể chưa nhìn thấy ñiểm I Khi ñó ñề thường cho biết ñiểm M nhìn ñoạn AB cố ñịnh góc vuông (I lúc trung ñiểm AB), phải thông qua vài khâu cắt nghĩa yếu tố ñịnh lượng ta có ñược MI = R = const… +) Ý tưởng Bài toán xuất nhiều kì thi ðại Học năm qua Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài ñể giải ví dụ sau) Ví dụ (A, A1 – 2012 – CB ): Cho hình vuông ABCD Gọi M trung ñiểm cạnh BC, N ñiểm cạnh CD 1 11 ; ñường thẳng AN có phương trình 2x cho CN = 2ND Giả sử M 2 y Tìm tọa ñộ ñiểm A (ðs : A(1; 1) A(4; 5) ) 2 y x Gọi I tâm : x + y + = ñường tròn (C): x Ví dụ (A – 2011 – CB ): Cho ñường thẳng y (C), M ñiểm thuộc Qua M kẻ tiếp tuyến MA MB ñến (C) (A B tiếp ñiểm) Tìm tọa ñộ ñiểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích 10 (ðs : M (2; 4) M ( 3;1) ) d : 3x y Gọi (T) ñường tròn tiếp xúc Ví dụ (A – 2010 – CB): Cho hai ñường thẳng d1 : 3x y với d1 A, cắt d hai ñiểm B C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình (T), biết tam giác (ðs : x 3 ABC có diện tích ñiểm A có hoành ñộ dương 2 y 3 2 1) Ví dụ (D – 2010 – CB): Cho tam giác ABC có ñỉnh A(3; –7), trực tâm H(3; –1), tâm ñường tròn ngoại tiếp (ðs : C ( I(–2; 0) Xác ñịnh tọa ñộ ñỉnh C, biết C có hoành ñộ dương 65; 3) ) Ví dụ (D – 2010 – NC): Cho ñiểm A(0; 2) ñường thẳng ñi qua O Gọi H hình chiếu vuông góc A Viết phương trình ñường thẳng , biết khoảng cách từ H ñến trục hoành AH y ( 1) y ) (ðs : ( 1) x x 2 Ví dụ (B – 2009 – CB ): Cho ñường tròn (C): (x – 2) + y = hai ñường thẳng 1: x – y = 2: x – 7y = Xác ñịnh toạ ñộ tâm K bán kính ñường tròn (C1); biết ñường tròn (C1) tiếp xúc với ñường thẳng 4 bán kính R 5 (ðs : K ; tâm K thuộc ñường tròn (C) 1, 2 ) Ví dụ (B – 2009 – NC): Cho tam giác ABC cân A có ñỉnh A(–1;4) ñỉnh B,C thuộc ñường thẳng : x – y – = Xác ñịnh toạ ñộ ñiểm B C, biết diện tích tam giác ABC 18 11 3 5 11 ,C ; ) 2 (ðs : B ; , C ; B ; 2 2 2 Ví dụ (D – 2007): Cho ñường tròn (C ) : ( 1) x ( y 2) ñường thẳng d: 3x – 4y + m = Tìm m ñể d có ñiểm P mà từ ñó kẻ ñược hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B tiếp ñiểm) cho tam giác PAB ñều (ðs : m 19 m 41 ) Ví dụ (D – 2006): Cho ñường tròn (C ) : x 2 y 2x y ñường thẳng d: x – y + = Tìm tọa ñộ ñiểm M nằm d cho ñường tròn tâm M, có bán kính gấp ñôi bán kính ñường tròn (C), tiếp xúc với ñường tròn (C) (ðs : M (1; 4) M ( 2;1) ) Ví dụ 10 (B – 2005): Cho hai ñiểm A(2;0) B(6;4) Viết phương trình ñường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành ñiểm A khoảng cách từ tâm (C) ñến ñiểm B (ðs : ( x Ví dụ 11 (B – 2003): Cho tam giác ABC có AB = AC , B AC trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa ñộ ñỉnh A, B, C 2) ( y 1) ( x 2) ( y 7) 49 ) 2 ; 0 3 (ðs : A(0; 2), B(4; 0), C ( 2; 2) ) 90 Biết M(1; -1) trung ñiểm cạnh BC G 39 39 1 2 Ví dụ 12 (B – 2002): Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ; , phương trình ñường thẳng AB x – 2y + = AB = 2AD Tìm tọa ñộ ñiểm A, B, C, D biết A có hoành ñộ âm 2) ) (ðs : A( 2; 0), B(2; 2), C (3; 0), D( 1; Ví dụ 13: Cho tam giác ABC có trực tâm H(–1; 4), tâm ñường tròn ngoại tiếp I(–3; 0) trung ñiểm cạnh BC M(0; 3) Viết phương trình ñường thẳng AB, biết B có hoành ñộ dương (ðs: 3x + 7y – 49 = 0) 40 40 Ví dụ 14: Cho ba ñiểm I(1; 1), M(–2; 2) N(2; –2) Tìm tọa ñộ ñỉnh hình vuông ABCD cho I tâm hình vuông, M thuộc cạnh AB, K thuộc cạnh CD A có hoành ñộ dương (ðs: A(1; 5), B(–3; 1), C(1; –3), D(5; 1)) 1 trung ñiểm Ví dụ 15: Cho tam giác ABC có trọng tâm G ; , tâm ñường tròn ngoại tiếp I ; 3 5 cạnh BC M(–1; 2) Viết phương trình ñường thẳng AC, biết B có hoành ñộ âm (ðs: 3x + y – = 0) 2 Ví dụ 16: Cho ñường tròn ( C ) : x y 8x 21 ñường thẳng d : x + y – = 0.Xác ñịnh tọa ñộ y ñỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A thuộc d hoành ñộ ñiểm B lớn hoành ñộ ñiểm D) (ðs : A(6; 5), B(6; 1), C (2;1), D(2; 5) A(2;1), B(6; 1), C (6; 5), D(2; 5) ) Bài 4: Qua ñiểm M ( x0 ; y0 ) nằm ñường tròn (C) có tâm I bán kính R 1) Viết phương trình tiếp tuyến MT1 , ñến ñường tròn MT2 2) Viết phương trình ñường thẳng ñi qua T1 , T2 3) Tính diện tích tứ giác MT1 IT2 Cách giải: Cách viết tổng quát phương trình tiếp tuyến: TH1: Nếu biết tiếp ñiểm T ⇒ tiếp tuyến (C) ñi qua T nhận IT làm vtpt ⇒ phương trình TH2: Nếu tiếp ñiểm dùng ñiều kiện : tiếp tuyến (C) d(I, ) R 1) Như với toán ta làm theo TH2 : +) Gọi n ñi qua ñiểm M ( x0 ; y0 ) có vtpt a( x x0 ) b( y a y0 ) ?⇒ +) Từ (*) chọn b ? (a; b) ( a b hay ax by ax0 by0 phương trình 2 ) có dạng: ( ) hay phương trình MT1 , MT2 , ( hai phương trình (*) có: a = b = 0) CHÚ Ý: Có thể tìm cụ thể tọa ñộ T1 , T2 nhờ giải hệ: (C) 2) T (C ) +) Gọi T ( x0 ; y0 ) tiếp ñiểm tiếp tuyến kẻ từ M ñến (C) ⇒ uuur uur MT IT 3) S 2S MT1IT2 MT1I MT IT 1 MT R với MT 1 MI R (*) Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài ñể giải ví dụ sau) Ví dụ 1(B – 2006): Cho ñường tròn: (C ) : x y 2 x 6 ñiểm M(– 3; 1) Gọi T T tiếp ñiểm y tiếp tuyến kẻ từ M ñến (C) Viết phương trình ñường thẳng T1 T2 Ví dụ 2: (A – 2011 – CB): Cho ñường thẳng (ðs: x : x + y + = ñường tròn (C): x y y 4x y 0) Gọi I tâm (C), M ñiểm thuộc Qua M kẻ tiếp tuyến MA MB ñến (C) (A B tiếp ñiểm) Tìm tọa ñộ ñiểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích 10 (ðs : M (2; 4) M ( 3;1) ) Bài 5:Cho ñường thẳng , ñường tròn (C) có tâm I hai ñiểm M , N nằm ñường tròn 1) Tìm ñiều kiện ñể cắt (C) hai ñiểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB lớn 2) Tìm K thuộc (C) cho diện tích tam giác KMN lớn nhất, nhỏ 3) Tìm P thuộc cho qua P kẻ hai tiếp tuyến PT1 , PT2 cho diện tích tam giác IT1T2 lớn TH1 TH2 TH3 Cách giải : Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài ñể giải ví dụ sau) Ví dụ : Cho ñường tròn (C ) : x y Gọi B, C giao ñiểm ñường thẳng : x y Hãy 2 x A(1 2; ) ) tìm ñiểm A ñường tròn (C) cho tam giác ABC có chu vi lớn Ví dụ : Cho ñường tròn (C ) : x ñường thẳng 2 y 4x y 12 (ðs : có tâm I ñường thẳng :x y Tìm ñiểm M cho tiếp tuyến kẻ từ M tiếp xúc với (C) A, B mà tam giác IAB có diện tích lớn (ðs : M ( ; Ví dụ : Cho ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A(2 ; - 2), B(4 ; 0), C(3 ; 3 ), M ( ; ) ñường thẳng )) :4x Tìm ñường thẳng ñiểm M cho tiếp tuyến (C) qua M tiếp xúc với C N cho y Bài 6: Viết phương trình MA (ðs : M (2; 4), M ( ; diện tích tam giác NAB lớn )) qua M ( x0 ; y0 ) cắt ñường tròn (C) có tâm I, bán kính R A, B cho kMB Cách giải : C1 : +) ðặt IH h MH h HA IM HB CHÚ Ý: +) Cách giải thầy sử dụng trường hợp k (*) R h ( với k em làm tương tự) +) Cách giải thầy sử dụng M ( x0 ; y0 ) nằm ñường tròn (C) ( M ( x0 ; y0 ) nằm (C) em làm tương tự) C2 : +) Xét phương trình có dạng : qua M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k +) Xác ñịnh phương trình hoành ñộ giao ñiểm (C) : +) Dùng vi – et cho (*) kết hợp MA kMB ⇒ k y k ( x x0 ) f ( x , x, k ) y0 (*) ? ⇒ phương trình Bài tập áp dụng (Các em dựa vào ý tưởng Bài ñể giải ví dụ sau) Ví dụ : Cho ñường tròn (C): x y 2x 2y 23 , ñiểm M(7; 3) Viết phương trình ñường thẳng qua M cắt ñường tròn (C) A, B cho MA = 3MB 0) ( ðs : y 12 x y 69 Ví dụ : Cho ñiểm A(-1 ; 14) ñường tròn (C) tâm I(1 ; -5), bán kính 13 Viết phương trình ñường thẳng ñi qua A cắt (C) M, N mà khoảng cách từ M ñến AI nửa khoảng cách từ N ñến AI (ðs : x + y – 13 = 433x – 281y +4367 = 0) Loại 2.2: Sự tương giao hai ñương tròn TH1: R r II ' TH2: R Ngoài r II ' TH3: R Tiếp xúc r TH4: II ' Cắt hai ñiểm R r II ' Tiếp xúc CHÚ Ý: Còn trường hợp ñựng Nhưng trường hợp ñược khai thác nên thầy không ñề cập ñây Bài tập áp dụng 1) Ví dụ 1(D – 2009 – NC): Cho ñường tròn (C ) : ( y Gọi I tâm (C) Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M thuộc x (C) cho IOM 300 (ðs: M 3 ; 3 M 2 3 ; 3 ) Ví dụ 2(D – 2003): Cho ñường tròn (C) : (x – 1) + (y – 2) = ñường thẳng d : x – y – = 0.Viết phương trình ñường tròn (C’) ñối xứng với ñường tròn (C) qua ñường thẳng d Tìm tọa ñộ giao ñiểm (C) (C’) (ðs: ( x Ví dụ (D – 2006): Cho ñường tròn (C ) : x y 2x 3) y A(1; 0), B(3; 2) ) y ñường thẳng d: x – y + = Tìm tọa ñộ ñiểm M nằm d cho ñường tròn tâm M, có bán kính gấp ñôi bán kính ñường tròn (C), tiếp xúc với ñường tròn (C) (ðs: M (1; 4) M ( 2;1) ) 2 cắt ñường tròn y (C ) : ( y 6) ( y 1) 50 hai ñiểm Ví dụ 4: Cho ñường tròn (C1 ) : x x x M, N biết M có hoành ñộ dương Viết phương trình ñường thẳng ñi qua M cắt (C1 ), (C2 ) ñiểm thứ hai A, B cho M trung ñiểm AB (ðs: 5x – 7y + = 0) Ví dụ 5: Cho tam giác ABC nội tiếp ñường tròn tâm I(6; 6) ngoại tiếp ñường tròn tâm K(4; 5), biêt ñỉnh A(2; 3) Viết phương trình cạnh BC (ðs: 3x + 4y – 42 = 0) Ví dụ 6: Cho ñường tròn (C) : x Viết phương trình ñường thẳng AB y ðường tròn ( C’) tâm I(2;2) cắt (C) ñiểm A,B cho AB ( ðs: x y x y ) Dạng 4: Các toán Elip Loại 1: Viết phương trình Elip xác ñịnh yếu tố Elip Cách giải chung: +) Giả sử phương trình tắc elip có dạng: x a Bài tập áp dụng Ví dụ 1: Lập phương trình tắc elip (E) biết: 1) Có ñộ dài hai trục 6, 2) Có ñỉnh (5; 0) tiêu cự 3) Có ñỉnh (0; 3) ñi qua ñiểm M(4; 1) 2 y b 2 (E) 3 4) ði qua hai ñiểm 1; 2; 2 2 5) Có tiêu ñiểm F2 (2; 0) qua ñiểm 2; 6) Có tiêu ñiểm F2 (5; 0) khoảng cách hai ñỉnh 7) Tiêu cự khoảng cách từ ñỉnh trục nhỏ ñến tiêu ñiểm ( ðs: 1) x y y 81 x 181 6) 2) x 25 y 16 3) x 18 x 25 7) 2 y x 4) 2 x y 49 21 5) 2 y x 2 y y x ) 45 y 1 Ví dụ 2(A – 2008): Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, viết phương trình tắc elip (E) biết (E) có tâm sai hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 (ðs: y2 x 1) Ví dụ 3(B – 2012 – NC): Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD ñường tròn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trình x y thuộc Ox Viết phương trình tắc elip (E) ñi qua ñỉnh A, B, C, D hình thoi Biết A y2 x 1) (ðs: 20 Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) có ñộ dài trục lớn ,các ñỉnh nằm trục nhỏ tiêu ñiểm (E) nằm ñường tròn Lập phương trình tắc (E) Ví dụ 4: Cho elip (E) có ñộ dài trục lớn 6, tâm sai phần hai khoảng cách từ ñiểm M (E) ñến tiêu ñiểm F1 (có hoành ñộ âm) 1) Tìm khoảng cách từ M ñến tiêu ñiểm F2 2) Viết phương trình tắc elip (E) tìm tọa ñộ ñiểm M Loại 2: Tìm ñiểm thuộc Elip x0 ? y0 ? +) Từ (1) (2) ⇒ ⇒M CHÚ Ý : Nếu M ( x0 ; y0 ) MF1 a (E ) ta khai thác thêm kiện: MF c x0 a c a x a Bài tập áp dụng Ví dụ 1: Cho elip (E): x y2 1) Tìm tọa ñộ giao ñiểm (E) ñường thẳng y 3) Tìm (E) ñiểm N cho F1 N F2 N x 2)Tìm (E) ñiểm M cho góc F1MF2 90 7 1) A( 3;1), B ; 2) M ( 3;1), M ( 3; 1), M ( ; 5 3 3;1), M ( 5 3 3; 1) 3) N N ; 2 2 5 Ví dụ 2: Cho (E): x a y b 2 có tiêu ñiểm F , F 23 1) Cho a= 2, b = Tìm ñiểm M cho 23 2F2 M (ðs: M 3 ; 27 M ; 3) 27 F1M 2) Chứng minh với ñiểm M ta có: F M F M OM x Ví dụ 3(D – 2005): Cho ñiểm C(2;0) elíp (E): a b y Tìm toạ ñộ ñiểm A, B thuộc (E), biết hai ñiểm A, B ñối xứng với qua trục hoành tam giác ABC tam giác ñều 2 A (ðs: ; , B ; x y ) 7 Tìm Ví dụ (A – 2011 – NC) : Cho elip (E) : ñiểm A B thuộc (E), có hoành ñộ dương cho tam giác OAB cân O có diện tích lớn (ðs: A 2; 1) Chứng minh chu vi Ví dụ 144 H, K F1MF lượt2 không 7:tam Chogiác lần hình chiếu ñổi Tìm M ñể diện tích ñiểm M lên hai tam giác F MF M di trục tọa ñộ ñộng M elip: MTìm 2) Tìm cho giá xtrị f lớn ñể diện tích OHM K lớn L oạ i 3: S ự tư ơn g gi ao gi ữa ñ ờn g th ẳn g El ip 2; 2 ) Ví dụ 5: 225 Trong Tìm tọa mặt ñộ ñiểm phẳng M thuộc tọa ñộ (E) Oxy, cho cho tam elip (E) : 9x giác M F1 F2 vuông M Ví dụ 6: Ch o eli p (E) : 5x 45 có tiêu ñiểm F1 , F2 M ñiểm (E) biểu thức f F1M F F2 M Cách giải chung : Sự tương giao ñường thẳng : Ax By C x2 (E): a2 b F M +) Giả i hệ (I) a phươn g pháp ( kA tu c Bài tập áp dụ ng V í d ụ : C h o e li p ( E ) : Ax By C x2 y C 36 ñiểm M(1; 1) Lập phương trình ñường thẳng qua M cắt (E) hai ñiểm M ho MM 1 , M s a o c (ñượ c sinh từ (II) )) x y M M M (ðs: 4x + 9y – 13 = 0) Ví dụ 2:Cho hai ñiểm A ( 3; 0) , B ( 3; 0) ñường thẳng d: 3x 1; hoành âm choñộ chu vi tam giác MAB 3M ) (ðs: Ví dụ (D – 2002): Cho elip (E) có phương trình x y2 Xét ñiểm M chuyển ñộng tia Ox ñiểm N chuyển ñộng tia Oy cho ñường thẳng MN tiếp xúc với (E) Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M, N ñể ñoạn MN có ñộ dài nhỏ Tính giá trị nhỏ ñó (ðs: M (2 ; 0), N (0; 21) GTNN MN 7) y 2 Ví dụ (B – 2010 – NC): Gọi F1 F2 tiêu ñiểm (E) ( F1 có ) (E): Cho ñiểm A(2; x AF1 với (E); N ñiểm ñối hoành ñộ âm); M giao ñiểm có xứng F2 qua M Viết tung ñộ dương ñương thẳng phương trình ñường tròn ngoại tiếp tam giác Ví dụ 5: Cho Elip (E) : x ANF2 (ðs: (x 1) y ) y Viết phương trình tiếp tuyến d (E) biết d cắt trục tọa ñộ Ox,Oy 64 A,B cho AO = 2BO CHÚ Ý: Khi toán ñường tròn Elip có yếu tố min, max hay sử dụng bất ñẳng thức Cauchy Bunhiacopxki (2011A – NC, 2002D…) Cảm ơn em bạn ñã ñọc liệu ! Mọi ý kiến ñóng góp em bạn gửi qua E- mail: giaidaptoancap3@yahoo.com ñịa : số – Ngõ 880 – Bạch ðằng – Hai Bà Trưng – Hà Nội ðiện thoại : 043.9871450 Dð: 0947141139 Lời giải tập em tham khảo web: http://www.facebook.com/giaidaptoancap3