sơ đồ tư duy, các hướng tư duy và vận dụng giải toán Oxy đại họcsơ đồ tư duy, các hướng tư duy và vận dụng giải toán Oxy đại họcsơ đồ tư duy, các hướng tư duy và vận dụng giải toán Oxy đại họcsơ đồ tư duy, các hướng tư duy và vận dụng giải toán Oxy đại họcsơ đồ tư duy, các hướng tư duy và vận dụng giải toán Oxy đại họcsơ đồ tư duy, các hướng tư duy và vận dụng giải toán Oxy đại họcsơ đồ tư duy, các hướng tư duy và vận dụng giải toán Oxy đại họcsơ đồ tư duy, các hướng tư duy và vận dụng giải toán Oxy đại họcsơ đồ tư duy, các hướng tư duy và vận dụng giải toán Oxy đại học
Trang 1GI Ả I ð ÁP TOÁN C Ấ P 3 – THI ðẠ I H Ọ C
CÁC BÀI TOÁN TRONG
TAM GIÁC, TỨ GIÁC
CÁC BÀI TOÁN VỀ ðƯỜNG THẲNG
CÁC BÀI TOÁN VỀ ðƯỜNG TRÒN
CÁC BÀI TOÁN VỀ ELIP
CÁC HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
TRONG HÌNH HỌC OXY
Biên soạn: Thanh Tùng
*) Tóm tắt lý thuyế ñầy ñủ theo một trình tự logic và có hệ thống
*) ðưa ra các hướng tư duy và phương pháp giải khái quát cho từng lớp bài toán
*) Có bài toán mẫu minh họa ñi kèm
*) Phần bài tập áp dụng có gợi ý
*) Lời giải chi tiết cho từng bài toán cụ thể
BÀI TOÁN TÌM ðIỂM
Trang 2CÁC HƯỚNG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC OXY
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
Trang 4B CÁC BÀI TOÁN
BÀI TOÁN 1: BÀI TOÁN TÌM ðIỂM
ðể hiểu rõ hơn cho 4 hướng tư duy tương ứng với 4 TH của Bài toán 1: “Bài Toán Tìm ðiểm” thầy sẽ
dùng 6 bài thi ðại Học năm 2012 vừa qua ñể minh họa
1) (A, A1 – 2012:CB) Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung ñiểm của cạnh BC, N là ñiểm trên cạnh CD sao cho
và ñường thẳng AN có phương trình 2x− − =y 3 0 Tìm tọa ñộ ñiểm A
2) (A, A1 – 2012 :NC) Cho ñường tròn ( ) :C x2+y2=8 Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có
ñộ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt ( )C tại bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn ñỉnh của một hình vuông
3) (B – 2012:CB) Cho ñường tròn (C1) :x2+y2=4,(C2) :x2+y2−12x+18=0và ñường thẳng d x: − − =y 4 0 Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc (C2), tiếp xúc với d và cắt (C1)tại hai ñiểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d
4) (B – 2012 :NC) Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và ñường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương
trình x2+y2=4 Viết phương trình chính tắc của elip (E) ñi qua các ñỉnh A, B, C, D của hình thoi Biết A thuộc Ox
5) (D – 2012:CB) Cho hình chữ nhật ABCD Các ñường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là x+3y=0 và
x− + =y ; ñường thẳng BD ñi qua ñiểm 1
( ;1)3
M − Tìm tọa ñộ các ñỉnh của hình chữ nhật ABCD
6) (D – 2012 :NC) Cho ñường thẳng d: 2x− + =y 3 0 Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox
tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD = 2
Trang 5
1) (A, A1 – 2012:CB) Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung ñiểm của cạnh BC, N là ñiểm trên cạnh CD sao cho
+) Ta có { } A = AN ∩ AM nên Theo hướng tư duy 1 (TH1) ta phải ñi lập thêm phương trình AM
+) Biết M nhưng chưa biết A (chính là ñáp số ta cần tìm) nên ta phải ñi tìm thêm vtpt hoặc vtcp
+) Bài toán không có yếu tố song song, vuông góc ñể tìm vtpt hoặc vtcp nên ta phải khai thác ytố ñịnh lượng +) Yếu tố ñịnh lượng: cos∠MAN= cos ( nAM, nAN)
Trang 6 cố ñịnh Nếu AM = = h const ( ta sẽ tìm cách ñi tính AM )
Nên Theo hướng tư duy 3 (TH3) : { } A = AN ∩ ( ) C với ( )C là ñường tròn tâm M bán kính R = h
Trang 7Giải: +) Gọi H là hình chiếu của M lên AN
2) (A, A1 – 2012 :NC) Cho ñường tròn ( ) :C x2+y2=8 Viết phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có
ñộ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt ( )C tại bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn ñỉnh của một hình vuông
A x y (x > 0) thuộc góc phần tư thứ nhất)⇒ tọa ñộ ñiểm A +) Mà A∈( )E ⇒b→ phương trình (E)
Giải: Gọi phương trình chính tắc của elip ( )E có dạng:
+) GọiA x y( ; )(x > 0) là một giao ñiểm của (E) và ( )C .Ta có: A∈( )C ⇒x2+y2=8 (1)
Mặt khác: (E) cắt ( )C tại bốn ñiểm phân biệt tạo thành bốn ñỉnh của một hình vuông ⇒ y x= (2)
Trang 83) (B – 2012:CB) Cho ñường tròn (C1) :x2+y2=4,(C2) :x2+y2−12x+18=0và ñường thẳng d x: − − =y 4 0
Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc (C2), tiếp xúc với d và cắt (C1)tại hai ñiểm phân biệt A và B sao cho AB
vuông góc với d
Phân tích:
Muốn viết phương trình ñường tròn ta cần:
+) Xác ñịnh tâm I (dùng Thuật Toán Tìm ðiểm) Khi ñó theo Hướng tư duy 2 (TH2) ta gọi I t( )∈II1
(Trước ñó ta ñi lập phương trình II1 ñi qua I1 vuông góc với AB (tính chất ñường nối tâm) hay song song với d)
Và dữ kiện I∈(C2) giúp ta thiết lập ñược phương trình : f t( )= → = →0 t ? tọa ñộ ñiểm I
( Ta có thể làm theo Hướng tư duy 3 (TH3) với { } I = II1∩ ( C2) → tọa ñộ I - cách trình bày khác của TH2)
4) (B – 2012 :NC) Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và ñường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương
trình x2+y2=4 Viết phương trình chính tắc của elip (E) ñi qua các ñỉnh A, B, C, D của hình thoi Biết A thuộc Ox
+) Khai thác dữ kiện: AC = 2BD→ f a b1( , )=0 (1)
+) Khai thác dữ kiện: ñường tròn x2+y2 =4 tiếp xúc với các cạnh của hình thoi → f a b2( , )=0 (2)
Từ (1) và (2) →a2=? và b2 =? → phương trình (E)
Trang 9Giải: Gọi phương trình chính tắc của elip ( )E : x2 y2 1
a +b =
( với a > > b 0 )
Vì (E) ñi qua các ñỉnh A, B, C, D vàA Ox ∈ nên không mất tính tổng quát giả sử: A a( ; 0) và B(0; )b
Mà hình thoi ABCD có AC = 2BD ⇔ 2 OA = 4 OB ⇔ OA = 2 OB ⇔ = a 2 b (vì a > > b 0) hayA b(2 ; 0),B(0; )b
Gọi H là hình chiếu của O lên AB
2
⇒ = = ( vì ñường tròn x2+y2=4 tiếp xúc với các cạnh của hình thoi)
Xét tam giác OAB ta có: 1 2 12 12
5) (D – 2012:CB) Cho hình chữ nhật ABCD Các ñường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là x+3y=0
và x− + =y 4 0; ñường thẳng BD ñi qua ñiểm 1
( ;1)3
M − Tìm tọa ñộ các ñỉnh của hình chữ nhật ABCD
Cách 1:
Phân tích: +) Theo Hướng tư duy 1 (TH1) : { } A = AC ∩ AD → tọa ñộ ñiểm A
+) Theo Hướng tư duy 2 (TH2) : D∈AD, B∈AB nên ta gọi D t( ), ( )1 B t2 (trước ñó ta ñi lập pt AB) +) Gọi { } I = AC ∩ BD( I là trung ñiểm của AC và BD) ⇒I t t( , )1 2 mà I∈AC⇒ f t t1( , )1 2 =0 (1)
Vì MB MD,
uuur uuuur
cùng phương ⇒ f t t2( , )1 2 =0 (2) +) Từ (1) và (2) 1
2
?
?
t t
x y
Trang 105) (D – 2012:CB) Cho hình chữ nhật ABCD Các ñường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là x+3y=0
và x− + =y 4 0; ñường thẳng BD ñi qua ñiểm 1
( ;1)3
M − Tìm tọa ñộ các ñỉnh của hình chữ nhật ABCD
Cách 2:
Phân tích: +) Theo Hướng tư duy 1 (TH1) : { } A = AC ∩ AD → tọa ñộ ñiểm A
+) Do trong bài toán có nhiều tính chất ñối xứng nên ta nghĩ tới việc tìm các ñiểm phụ liên quan Cụ thể:
+) Ta tìm ñiểm N ñối xứng với M qua ñường trung trực d của AD bằng cách viết pt d ' ñi qua M song
song với AD và { } N = ∩ d ' AC ⇒ pt trung trực d của AD ⇒ tọa ñộ trung ñiểm I J, của AC và AD
x y
Gọi d là ñường trung trực của AD cắt MN AC AD, , lần lượt tại H I J, ,
⇒H I J, , lần lượt là trung ñiểm MN AC AD, , 5 5;
⇒ (1; 3)B − ( I là trung ñiểm của BD) 6) (D – 2012 :NC) Cho ñường thẳng d: 2x− + =y 3 0 Viết phương trình ñường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox
tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD = 2
Trang 11
Phân tích: Muốn viết phương trình ñường tròn ta cần:
+) Xác ñịnh tâm I (dùng Thuật Toán Tìm ðiểm) Khi ñó theo Hướng tư duy 2 (TH2) ta gọi I t( )∈d
Và dữ kiện AB = CD giúp ta thiết lập ñược phương trình : f t( )= → = →0 t ? tọa ñộ ñiểm I
Vậy phương trình ñường tròn: (x+1)2+ −(y 1)2 =2
CHÚ Ý: Trước khi vào phần BÀI TOÁN 2 chúng ta có một số quy ước sau:
+)M t( )∈ ∆: ta ràng buộc ñiểm M theo một ẩn là t
+) M t t( , )1 2 : ñiểm M có tọa ñộ phụ thuộc vào hai ẩn t1và t2
+) M t t( ; )1 2 : ñiểm M có tọa ñộ : 1
2
M M
BÀI TOÁN 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ðẾN BÀI TOÁN 1
Dạng 1: Các bài toán trong tam giác, tứ giác
Loại 1: Các bài toán về ðịnh Tính
Bài 1: Biết ñỉnh A của tam giác ABC và 2 trung tuyến BM, CN Viết phương trình các cạnh của ∆ ABC
Cách giải:
Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 1 ñể giải các ví dụ sau)
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(4; – 1) và phương trình hai ñường trung tuyến BM: 8x – y – 3 = 0,
CN: 14x – 13y – 9 = 0 Tìm tọa ñộ các ñỉnh B, C (ðs: B(1; 5), C(–4; – 5))
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A(1; – 2) và phương trình hai ñường trung tuyến BM và CN lần lượt là
x – 6y + 3 = 0 và 5x – 6y – 1 = 0 Tính diện tích tam giác ABC (ðs: S∆ABC =16(ñvdt))
Trang 12Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;0) biết phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là
4x + y + 14 = 0 và 2x + 5y – 2 = 0 Viết phương trình BC (ðs: x – 2y – 1 = 0 ; với B ( 3; 2)− − , C (1; 0) )
Ví dụ 4: Cho hai ñường thẳng d : x – y + 1 = 0, 1 d : 2x + y – 1 = 0 và ñiểm P(2; 1) Viết phương trình 2
ñường thẳng d qua P và cắt 3 d , 1 d lần lượt tại A và B sao cho P là trung ñiểm của AB (ðs: 4x – y – 7 = 0) 2
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có trung ñiểm của AB là I(1; 3), trung ñiểm AC là J(-3; 0) ðiểm A thuộc Oy và
ñường BC qua gốc tọa ñộ O Tìm tọa ñộ các ñỉnh của tam giác ABC (ðs: A 0;9
( Các em tham khảo phần giải mẫu qua các Ví dụ 2 , Ví dụ 3, Ví dụ 5 )
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có A(1; – 2) và phương trình hai ñường trung tuyến BM và CN lần lượt là
x – 6y + 3 = 0 và 5x – 6y – 1 = 0 Tính diện tích tam giác ABC
A B N
Trang 13+) Tọa ñộ ñiểm A là nghiệm của hệ: 4 14 0
x y
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có trung ñiểm của AB là I(1; 3), trung ñiểm AC là J(-3; 0) ðiểm A thuộc Oy và
ñường BC qua gốc tọa ñộ O Tìm tọa ñộ các ñỉnh của tam giác ABC
Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 2 ñể giải các ví dụ sau)
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết ñỉnh A(1; –3); phương trình hai ñường cao xuất phát từ B và C lần lượt là
x+ 2y – 8 =0 và 3x + 5y – 1 = 0 Viết phương trình cạnh BC (ðs: 3x – 2y – 8 = 0)
Ví dụ 2 (A – 2004): Cho hai ñiểm A (0; 2) và B(− 3; −1) Tìm tọa ñộ trực tâm và tọa ñộ tâm ñường tròn ngoại tiếp
của tam giác OAB (ðs: H( 3; 1)− , I(− 3;1))
Trang 14Bài 3: Cho ñỉnh A và hai ñường trung trực d d1, 2 của cạnh AB và AC (hoặc BC).Viết phương trình các cạnh
TH2: +) B ñối xứng với A qua d ⇒1 B
+) C ñối xứng với B qua d ⇒2 C
Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 3 ñể giải các ví dụ sau)
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có ñỉnh A(1; 2) và hai ñường trung trực của cạnh AB và AC lần lượt là x – 2y – 2 = 0
và x – y + 5 = 0 Viết phương trình trung tuyến AM của tam giác ABC (ðs: y = 2)
Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC có ñiểm M(0; 3) thuộc ñoạn AC; hai ñường trung trực của cạnh AB và AC lần lượt có
phương trình là x – 2y – 2 = 0 và x – y + 5 = 0 Viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết AC = 4AM
Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 4 ñể giải các ví dụ sau)
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(–4; – 5) và phương trình ñường cao BH: x + 2y – 2 = 0, ñường trung tuyến
thuộc ñoạn BC và ñỉnh C thuộc ñường thẳng d: x + y – 3 = 0 Viết phương trình
ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết BC không song song với hai trục tọa ñộ (ðs:
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có ñỉnh A(2;1) , ñường cao qua ñỉnh B có phương trình là : x – 3y – 7 = 0 và ñường trung
tuyến qua ñỉnh C có phương trình : x + y + 1 = 0.Xác ñịnh tọa ñộ của B và C (ðs: B( 2; 3), (4; 5)− − C − )
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC cân tại ñỉnh A có trọng tâm 4 1
Ví dụ 5:Cho tam giác ABC có ñỉnh A thuộc ñường thẳng d : x – 4y – 2 = 0 , cạnh BC song song với ñường thẳng d
Phương trình ñường cao BH : x + y + 3 = 0 và trung ñiểm của cạnh AC là M(1;1) Tìm tọa ñộ các ñỉnh A,B,C
Trang 15Bài 5: Biết ñỉnh A và trung tuyến CC’, ñường trung trực của cạnh BC Tìm tọa ñộ B, C.
Cách giải:
Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 5 ñể giải các ví dụ sau)
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết A(5; 13) Phương trình ñường trung trực cạnh BC, ñường trung tuyến CC’
(C’ thuộc AB) lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 1 = 0 Viết phương trình cạnh BC (ðs: x – y + 2 = 0)
Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC có ñường trung trực của cạnh BC cắt ñương thẳng ñi qua AB tại ñiểm M(1; 2) và
song song với ñường thẳng 2x− +y 2013=0 biết uuurAB=2MAuuur và ñường trung tuyến xuất phát từ ñỉnh C có
phương trình 11x+7y+ =11 0 Tìm tọa ñộ 3 ñỉnh của tam giác ABC (ðs: 2 11
Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 6 ñể giải các ví dụ sau)
Ví dụ 1: Tam giác ABC có ñường trung tuyến AN : x – y + 1 = 0, ñường cao BH : x + 2y – 1= 0, ñoạn AB có trung
ñiểm M(1; 1) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC (ðs: AB: x = 1; AC: 2x – y = 0; BC: 3x – y – 3 = 0)
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có ñiểm M(0; 3) là trung ñiểm của AB Phương trình trung tuyến AN: 2x – y – 2 = 0,
ñường cao BH: x – 3y + 14 = 0.Viết phương trình ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (ðs:(x+3)2+ +(y 3)2 =50)
Trang 16
Bài 7: Biết ñỉnh A (hoặc ñường cao xuất phát từ A ñi qua ñiểm N và trọng tâm G thuộc một ñường thẳng…)
của tam giác ABC và trung tuyến BM, ñường cao BH Viết phương trình các cạnh
TH1 TH2
Cách giải:
Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 7 ñể giải các ví dụ sau)
Ví dụ 1:Cho tam giác ABC biết ñỉnh A(1; – 1), ñường cao và trung tuyến cùng xuất phát từ B lần lượt có phương
trình: x + 2y – 3 = 0 và x + 3y – 5 = 0 Viết phương trình BC (ðs: x – 4y + 9 = 0)
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC biết ñường cao BH và trung tuyến BM lần lượt có phương trình: 4x + 3y + 2 = 0; x – 1 =
0 Tính diện tích tam giác ABC biết rằng trọng tâm G của tam giác thuộc ñường thẳng d: 2x + 3y – 1 = 0 và ñường cao
xuất phát từ ñỉnh A có hoành ñộ âm ñi qua ñiểm N(3; –3) (ðs: S∆ABC =5(ñvdt))
Ví dụ 3 (D – 2009): Cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung ñiểm của cạnh AB ðường trung tuyến và ñường cao qua
ñỉnh A lần lượt có phương trình là 7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0 Viết phương trình ñường thẳng AC
(ðs: 3x – 4y + 5 = 0)
Ví dụ 4 (B – 2003): Cho tam giác ABC có AB = AC , ∠BAC=900 Biết M(1; -1) là trung ñiểm cạnh BC và G 2
; 03
Ví dụ 5 (A – 2009): Cho hình chữ nhật ABCD có ñiểm I(6; 2) là giao ñiểm của hai ñường chéo AC và BD ðiểm
M(1; 5) thuộc ñường thẳng AB và trung ñiểm E của cạnh CD thuộc ñường thẳng ∆: x + y – 5 = 0 Viết phương trình
ñường thẳng AB (ðs: x – 4y + 19 = 0 và y – 5 = 0)
Bài 8: Sử dụng ñiều kiện vuông góc (trường hợp riêng của Bài 19 ) ñể giải bài toán
Cách giải:
*) Gọi tọa ñộ các ñiểm (nếu chưa biết) liên quan tới yếu tố vuông góc theo một ẩn nhờ vào:
+) ñiểm thuộc ñường thẳng
+) ñiểm có mối liên hệ với ñiểm khác: trung ñiểm, trọng tâm, thỏa mãn hệ thức véctơ…
Trang 17*) “Cắt nghĩa” ñiều kiện vuông góc:
⇒ = ⇒ = ⇒tọa ñộ các ñiểm
Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 8 ñể giải các ví dụ sau)
Ví dụ 1 (D – 2004): Cho tam giác ABC có các ñỉnh A(-1; 0); B (4; 0); C(0;m) với m ≠0 Tìm tọa ñộ trọng tâm G của
tam giác ABC theo m Xác ñịnh m ñể tam giác GAB vuông tại G (ðs: (1; ), 3 6
3
m
G m= ± )
Ví dụ 2 (D – 2008): Cho (P): y2=16xvà ñiểm A(1; 4) Hai ñiểm phân biệt B, C (B và C khác A) di ñộng trên (P) sao
cho ∠BAC= 900 Chứng minh rằng ñường thẳng BC luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh (ðs: ñiểm cố ñịnh I(17; –4))
Ví dụ 3 (A – 2009): Cho hình chữ nhật ABCD có ñiểm I(6; 2) là giao ñiểm của hai ñường chéo AC và BD ðiểm
M(1; 5) thuộc ñường thẳng AB và trung ñiểm E của cạnh CD thuộc ñường thẳng ∆: x + y – 5 = 0 Viết phương trình
ñường thẳng AB (ðs: x – 4y + 19 = 0 và y – 5 = 0)
Ví dụ 4: Cho ñiểm M(3; 3), viết phương trình ñường thẳng ñi qua I(2; 1) cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam
giác AMB vuông tại M (ðs: x + 2y – 4 = 0 và x + y – 3 = 0)
CHÚ Ý:
Qua các bài toán trên liên quan tới yếu tố trung tuyến và ñường cao, ñường trung trực các em có thể rút ra ñược một
vài ñiều như sau (tuy ñơn giản nhưng hướng tư duy này sẽ giúp chúng ta giải quyết tốt những bài toán dạng trên):
+) Nếu M là trung ñiểm của AB 2
+) AH là ñường cao của BC: giúp chúng ta biết ñược phương của ñường này nếu biết ñường kia
+) d là trung trực của BC: nghĩa là B ñối xứng với C qua d
Loại 1.2: Các bài toán về ñường phân giác trong
Bài 9: Biết ñỉnh A và hai ñường phân giác trong BB’ và CC’ Lập phương trình BC.
Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 9 ñể giải các ví dụ sau)
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có ñỉnh A(1; 1), phương trình ñường phân giác trong góc B,
góc C lần lượt là BD: 2x + y + 4 = 0; CE: x + 3y + 1 = 0 Lập phương trình cạnh BC (ðs:x + 23y + 46 = 0)
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình ñường phân giác trong góc B, góc C lần
lượt là BD: 6x + 8y – 17 = 0; CE: x – 2y + 3 = 0, ñiểm M 17
3
lần lượt thuộc cạnh AB, AC Tìm tọa
ñộ các ñỉnh của tam giác ABC (ðs:A(0; – 1), B 7
;36
−
, C(3; 3))
Trang 18Bài 10: Biết ñỉnh A và trung tuyến BM, phân giác trong BD Viết phương trình các cạnh.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có ñỉnh A(1; 2), ñường phân giác trong và trung tuyến xuất phát từ ñỉnh B lần lượt có
phương trình 2x + y – 1 = 0 và 2x + 3y – 3 = 0 Tìm tọa ñiểm D là chân ñường phân giác trong của góc B xuống AC
Bài tập áp dụng (Các em hãy dựa vào ý tưởng Bài 11 ñể giải các ví dụ sau)
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có ñỉnh A(1; 2), ñường trung tuyến BM: 2x + y + 1 = 0 và phân
giác trong CD: x + y – 1 = 0 Viết phương trình ñường thẳng BC (ðs: 4x + 3y + 4 = 0)
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có chân ñường trung tuyến kẻ từ B xuống AC là M(1; – 1), ñường phân giác trong của
góc C là x + y – 2 = 0 Viết phương trình cạnh AC biết ñiểm N(–7; 7) thuộc cạnh BC (ðs: 5x + 3y – 2 = 0)
Ví dụ 3 (D – 2011 ): Cho tam giác ABC có ñỉnh B(– 4; 1), trọng tâm G(1; 1) và ñường thẳng chứa phân giác trong
của góc A có phương trình x – y – 1 = 0 Tìm tọa ñộ các ñỉnh A và C (ðs:A(4;3), (3; 1)C − )