Toán học Chuyên đề số phức25243

Ỏhuyên Đ S ớh c Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page Ỏhuyên Đ S ớh c M CL C CH Đ ỎỦỎ ớHÉớ TOỦN Ỏ ọ N I BÀI T P RÈN LUY N Kơ NĂNỒ II BÀI T P VÀ CÂU H I TR C NGHI M KHÁCH QUAN 15 Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page Ỏhuyên Đ S ớh c CH ớh Đ CỦC PHÉP TOỦN C B N ng pháp Cho hai s ph c z  a  bi, z'  a' b'i,  a, b,a', b'  ta c n nh đ nh nghĩa phép tính c b n sau: a  a' z  z'    b  b' z  z'   a  a'    b  b'  i; z  z'   a  a'    b  b'  i z.z'   a  bi  a' b'i   aa' bb'  ab' a' b  i z' z'.z  a' b'i  a  bi  aa' bb'  ab' a' b  i    z z a  b2 a  b2 V n d ng tính tính ch t ta có th d dàng gi i tốn sau Ta c)ng c n ý k t qu sau: V i i n , n   in  i4k   i4   N u n  4k  k   N u n  4k   k   N u n  4k   k   N u n  4k   k  k 1  in  i4ki  1.i  i  in  i4ki2  1. 1  1  in  i4ki3  1. i   i I BÀI T P RÈN LUY N Kơ NĂNỒ Ví d Cho s ph c: z   i Tính s ph c sau: z; z2 ; (z)3 ;1  z  z2 2 Gi i Ta có  i 2  z    3 1 z  i   i  i    2  4 2    Tính (z)3 2 3 2    3  3 1  1  z   i    i   i       i   2      2 2  2        3 3   i  ii 8 8    z  z2   1 3  1  i  i  i 2 2 2 DỂng MTỎT nh sau ọ c 1: Ch n ch ph c: ng trình s Màn hình hi n th MODE Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page Ỏhuyên Đ S ớh c ọ  iA c 2: L u 2 ọ c 3: Tính z n SHIFT 2 ALPHA A Ta đ ọ c 4: Tính Ta đ ọ c  i 2 z2 n ANPHA A2  i c 2 c 4: Tính (z)3 ta n ( SHIFT 2 ALPHA A ) x2  ọ c 5: Tính Ta đ `  z  z2 c:  z  z2   1 i  2 Ví d Tìm ph n th c ph n o c a s ph c: a) z    5i   1  2i  ; b) z    3i   5i  ; c) z    i  ; d) z  2i i1 Gi i a) Ta có: z    5i   1  2i        i   7i V y ph n th c a  ; ph n o b  Dùng MTCT: b) Ta có: z    3i   5i   16  20i  12i  15  31  8i V y ph n th c a  31 ; ph n o b  Dùng MTCT: Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page Ỏhuyên Đ S ớh c c) Ta có: z    i    3.4.i  3.2.i  i   12i   i   11i V y ph n th c a  ; ph n o b  11 Dùng MTCT: d) Ta có: z  2i  i  1 2  2i 2i    1 i i  i  12 2 V y ph n th c a  ; ph n o b  Dùng MTCT: Ví d Th c hi n phép tính sau: 5  6i ;  3i a) A  ; 1  i   3i  b) B  d) D   2i ; i   7i  e)     3i  c) C  1 i  2 2026 Gi i a) Ta có: A  1 i      i 2 1  i   3i   3i  4i  3i  i  i 50 50 Dùng MTCT: b) Ta có: B  5  6i  5  6i   3i  2  39i 2 39     i  3i 25 25 25 42   3i  Dùng MTCT: Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page Ỏhuyên Đ S ớh c c) Ta có: C   i 2   3i    3i  3i 2   22 3i   i 2 Dùng MTCT: d) Ta có: D   2i   2i  i    3i  2i  2  3i i i Dùng MTCT: e) Ta có:   7i      3i  2026   2i  1013    7i   3i        3i   3i   2026  1  i     i     2026 1013  21013.i1013  21013.i1012 i  21013.i Dùng MTCT: ọ ọ c 2: 1  i  2026  7i  3i c 1: Tính    i     1013   2i  1013 Tìm d c a phép chia 1013 cho Suy ra: i 2013  i   7i  V y    3i  2026  21013 i i d ng a  bi,  a,b  R  : Ví d Vi t s ph c sau d a) z    i   1  2i     i   i  ; 3  i  i  2i b) z  ;   1 i  i 1 i   i  1  i  ; c) z  1  i   1  i  2  i ; d) z  1  2i  1  i  e) z    2i  Gi i a) z    i   1  2i     i   i  3 Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page Ỏhuyên Đ S ớh c   23  3.22 i  3.2i  i  1  3.2i   2i    2i     3i  2i  i     12i   i  1  6i  12  8i     5i  1   18i  Dùng MTCT: b) z   i  i  2i   1 i  i 1 i 1  i     i   i   1  1i 1  i   1  i 1  i    i   i  1  i 1  i    2i  i  i  i  i  2i 2i  i  i         i 11 41 11 10 10 Dùng MTCT:  i  4i  1  i    i  1  i   c) z   1  5i 1  i   1  i    4i 1  i     4i2  7i  1  7i 1  5i    5i  5i 1  5i 1  5i    35i  12i 34  12i 17     i  25 26 13 13 Dùng MTCT:  i     i   2i    2i     d) z  i          2i 1  2i   1  2i    2i  4  i   4i  5i      4i   i   4i   i   4i    3i  1  Dùng MTCT:   i     i     i 2  i e) z      5 32 i    2i i       6 Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page Ỏhuyên Đ S ớh c  1 i i 1  i   i 1  i     i 32 32 32 32 Dùng MTCT: Ví d Tìm ngh ch đ o c a s ph c sau: a)z   4i; b) z  3  2i; c)z  1 i ;  2i  d)z   i  Gi i a) Xét z   4i Ta có: 1  4i  4i      i z  4i 32   4i  25 25 25 V y ngh ch đ o c a s ph c z   i z 25 25 Dùng MTCT: b) Xét z  3  2i Ta có: 1  2i  3  2i 3 1 1       i z 3  2i  2i 94 13 13 13 V y ngh ch đ o c a s ph c z 3   i z 13 13 Dùng MTCT: c) Xét z  1 i Ta có:  2i    2i   2i   i 32 23     i z 1 i 6 5 Dùng MTCT:  d) Xét z   i    2i Ta có Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page Ỏhuyên Đ S ớh c 1  2i   z  2i 72      2i i   121 121 121 Dùng MTCT: L i bình: N u đ cho tr c nghi m đ i v i câu có th dị k t qu t đáp án tr c nghi m gi a hai s  0,070126 121 Nh n xét: Quá trình th c hi n trên, th c ta dùng công th c sau: z.z  z  Ví d Cho z   2a  1   3b   i, a,b  a) z s th c z  z z2 Tìm s a, b đ b) z s o Gi i a) z s th c  3b    b   b) z s o  2a    a  Ví d Tìm m  R đ : a) S ph c z     mi    mi s thu n o b) S ph c z  Đ nh h m    m  1i  mi s th c ng: Ta c n bi n đ i s ph c z v d ng z  a  bi,  a,b   Lềc z s thu n o ( o) a  z s th c b  Gi i a) Ta có: z   1  mi   1  mi     mi   2mi  i m   m  3mi z s thu n o   m2   m   b) Ta có: z  m    m  1 i   m    m  1 i  1  mi  1  mi 1  mi  m   m  2m    m  m  1  2m   i  mi  m2 z s th c  m  m  1  2m    m2  m    m   m  2 Ví d Tìm s th c x, y cho z  z' , v i t ng tr ng h p Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page Ỏhuyên Đ S ớh c a)z   3x    3i, z'  12   5y   i; b)z   2x     3y  1 i, z'   2y  1   3x   i c) (x2  2y  i)   i   y  x  11  i   26 14i  d) x2  y   i  2i   3i  1   y  2x  1 i  320  896i   Gi i 3x   12 x  7 a) z  z'    3  5y  y  V y x  7; y  2x   2y  2x  2y  x  y  x  b) z  z'      3y   3x  3x  3y  x  y  y  V y x  2; y  c) Ta có   i    6i; 1  i   2  2i nên đ ng th c cho có d ng x   2y  i   6i   y  x  1 2  2i   26  14i   Hay 8x2  2xy  14y    6x2  2xy  14y  26  14i 2    4x  xy  7y  10 4x  xy  7y  10 4x  xy  7y  10, 1   Suy ra:  2 3x  xy  7y  11 x  2y  2y   x ,      Th (2) vào (1) ta có x3  x2  3x    x  1,x  1  V y c p s th c c n tìm  x; y   1;1 ,  1  d) Ta có  3i     64,   2;  , 1  2; i 1  i         128i nên 64 x2  y2  2i  128i y2  2x  320  896i  Hay x2  y2  2i y2  2x    14i 2   x  y  x 2x   x    Vì th ta có:  2  y  2  y  2x  y   2x   V y c p s c n tìm là:  x; y   1;  , 1; 2  Ví d Ch ng minh r ng : 1  i  100  4i 1  i  98  1  i  96 Gi i Ta có: 1  i  100  4i 1  i  98  1  i  96 96  1  i   1  i   4i 1  i      96 96    i    2i   4i  2i     1  i     Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 10 Ỏhuyên Đ S ớh c V y đ ng th c cho đ c ch ng minh Ví d 10 a) Tính mô-đun c a s ph c z bi t z  3i   i   2i 1  3i  c z th a mãn z  b) Cho s ph Tìm mơđun c a s ph c z  iz 1 i Gi i a) Ta có z  3i   i   2i  6i  3i  2i   4i V y mô-đun c a z z  32  42  Dùng MTCT: b) Ta có: 1  3i   13  3.12  3i   3.1. 3i    3i    3i   3i  8 Do 1  3i  z 1 i  8  4  4i 1i Suy ra: z  iz  4  4i  i  4  4i   8  8i  z  iz   8    8  2  Dùng MTCT: ọ ọ 1  3i  c 1: Tính 1 i A c 2: Tính A  iA Ví d 11 Xét s ph c: z  im Tìm m đ z.z   m  m  2i  Gi i Ta có: z  im   m  2mi   m  i  1  m  2mi  1  m  2  4m Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 11 Ỏhuyên Đ S ớh c       m  m  2m  i  m  2m m 1 m  1  m 1 m Do z.z  2 iz   m 1  m   i 1  m  1  m  2 m 1 m   m2 i m2  1 1      m    m  1 2 2 m 1 m2    L i bình: Ta có th tính z b ng cách bi n đ i  m u nh sau   m  m  2i    m  2mi   m  2mi  i    m  i  Lềc z  im im mi mi m       i 2 m  i  m  m  2i    m  i  m  m  m  m  i Ví d 12 Tính S   i  i2  i3   i 2012 Gi i Cách Ta có: S   i  i2  i3   i2012  iS  i  i  i  i  i 2012  i 2013 Suy ra: S  iS   i 2013  S   i 2013  i  1 1 i 1i Cách Dãy s 1, i, i , i , ,i 2012 l p thành m t c p s nhân g m 2013 s h ng, có cơng b i i, s h ng đ u Do S   i  i  i   i 2013  1  i 2013 1 1 i Ví d 13 S ph c z  x  2yi  x, y   thay đ i th a mãn z  Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a bi u th c: P  x  y Gi i Ta có z   x2  4y2   x2  4y  1 T Ph P  x  y  y  x  P thay vào ng trình c 5x2  8Px  4P2     có nghi m     '  16P2  4P2     V i P ta đ 5 P 2 5 5 5 z  i V i P z  i 10 10 Suy ra: P   5 5 5  i ; maxP   i z   z  10 10 Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 12 Ỏhuyên Đ S ớh c Ví d 14 Cho s ph c z  cos 2   sin   cos i , v i s  thay đ i Tìm giá tr nh nh t, l n nh t c a z Gi i Ta có: z  cos2 2   sin   cos    cos2 2  sin 2    sin 2  sin 2  Đ t t  sin 2,   t  Xét hàm s f  t   t  t  2, t  1;1 Ta có: f '  t   2t   f '  t    t   Ta có: f 1  0, f  1  ,  1 f    2 Suy ra:        k  1 12 maxf  t   t    sin 2     ,k  2     k  12  minf  t   t   sin 2     V y max z    k  k    , z  Ví d 15 Đ Minh h a c a b ) Cho s ph c z = 2i Tìm ph n th c ph n o c a s ph c z A Ph n th c b ng Ph n o b ng 2i B Ph n th c b ng Ph n o b ng C Ph n th c b ng Ph n o b ng 2i D Ph n th c b ng Ph n o b ng H ng d n gi i Ta có: z   2i  ph n th c ph n o Ví d 16 Đ Minh H a c a B ) Cho hai s ph c z1   i z2   3i Tính mơđun c a s ph c z1  z2 A z1  z2  13 B z1  z2  H C z1  z2  D z1  z2  ng d n gi i Ta có: z1  z2   2i  z1  z2  32  22  13 V y ch n đáp án A Dùng MTCT: Ví d 17 Đ minh h a c a b ) Cho s ph c z   5i Tìm s ph c w  iz  z A w   3i B w  3  3i H C w   7i D w  7  7i ng d n gi i Ta có: z   5i  z   5i  w  iz  z  i(2  5i)   5i  3  3i Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 13 Ỏhuyên Đ S ớh c V y ch n đáp án ọ Dùng MTCT: Ví d 17 Đ th nghi m l n c a B ) Tìm s ph c liên h p c a s ph c z  i (3i  1) A z   i B z  3  i C z   i H D z  3  i ng d n gi i Ta có: z  i  3i  1  i   z  3  i V y ch n đáp án D Dùng MTCT: Ví d 18: Đ th nghi m l n c a B ) Tính mơđun c a s ph c A z  34 C z  B z  34 H z tho 34 mãn z(2  i)  13i  D z  34 ng d n gi i Ta có: z   i   13i   z  z 1  13i   i   13i z 2i   i   i   i  26i  13 15  25i    5i  z  32  52  34 4i V y ch n đáp án A Dùng MTCT: Ví d 19: Đ Th nghi m l n 1-B Giáo d c) Xét s ph c z tho mãn (1  2i) z  10   i M nh z đ sau đềng A  z 2 B z  C z  H D  z 2 ng d n gi i Cách 1: Ta có (1  2i) z   10 10 10   i   z     z  1 i    z     z  1 i  z z z  z  2   z  12  102  z  z Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 14 Ỏhuyên Đ S ớh c V y ch n đáp án D Cách 2: Dùng MTCT Ta có: (1  2i) z  10 10 2i  z z (1  2i) z   i Đ cho đ n gi n ta ti n hành th đáp án Th ph ng án Ọ Ỏho z  1,8 Lềc n ti p M u thu n ban đ u z  1,8 Nh v y lo i A T ng t ta s lo i đ c B,C Th ph ng án D Cho z  Lềc z b ng k t qu bên n ti p V y ch n D II BÀI T P VÀ CÂU H I TR C NGHI M KHÁCH QUAN Câu Cho z1   3i,z2   i,z3   4i Tính: 1.1 Tính z1  2z2  z3 A  4i B  4i C  5i D  6i B  3i C  5i D  6i B 20  33i C 20  35i D 11  61i 1.2 Tính z1 z2  z2 z3 A  4i 1.3 Tính z1z2 z3  z22 z3 A 11  45i H ng d n gi i 1.1 Ta có: z1  2z2  z3  1  3i     i   (3  4i)   3i   2i    4i    5i Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 15 Ỏhuyên Đ S ớh c V y ch n đáp án Ỏ Dùng MTCT: 1.2 Ta có: z1 z2  z2 z3  1  3i   i     i   4i   1  3i   i     i   4i     7i    11i   4i V y ch n đáp án Ọ Dùng MTCT: 1.3 Ta có: z1z2 z3  z22 z3  z1 z2 z3  z22 z3  1  3i   i   4i     i    4i      5i   4i      4i   4i     5i   4i     4i   4i   15  20  35i   16  20  35i V y ch n đáp án Ỏ Dùng MTCT Câu Tính l)y th a 1  i  2006 b ng B 21003 i A 21003 i C 22006 i H Ta có: 1  i  2006    i     1003   2i  1003 D 22006 i ng d n gi i  21003 i V y ch n đáp án ọ Câu Tính l)y th a   3i  b ng A 46  9i B 4  9i C  19i H D  12i ng d n gi i Ta có:   3i   23  3.22.3i  3.2  3i    3i   46  9i 3 V y ch n đáp án Ọ Dùng MTCT: Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 16 Ỏhuyên Đ S ớh c Câu Tính l)y th a   5i     3i   b ng A 32i B 9i D 12i C 19i H ng d n gi i Ta có:   5i     3i    2i   32i 5 V y ch n đáp án Ọ Dùng MTCT Câu Tính l)y th a A 4  3i  i  b ng C 3  3i B 1  6i H Ta có:  i  D  3i ng d n gi i    2 3i  1  6i V y ch n đáp án ọ Dùng MTCT  3 Câu Tính l)y th a    i  b ng  2   B 4 A C H D ng d n gi i   1  1       1      i   i          i   i   2     2        3 1 3 i  i 1   8 8 V y ch n đáp án D Dùng MTCT Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 17 Ỏhuyên Đ S ớh c Câu Vi t s ph c z  A i  4 1i i B  i i i  4 z  1 i i  (  i i d ng a  bi ,  a,b  C H Ta có: d i  3 D 2i  3 ng d n gi i 1  i   i     i   i   i   i   i    i   i   i 10)     i 10  i   2i i    i   53 V y ch n đáp án Ọ Dùng MTCT   8i  c z 11   7i  10 Câu Vi t s ph A  7i  133 133 B  d i d ng a  bi ,  a, b  7i  113 113 C  H  7i  23 23 D  5i  123 123 ng d n gi i Ta có: 10    8i   7i    8i     8i   7i   z    11     7i    7i   7i    7i   7i     7i   7i  10 10 10  56  56i  49i  64i   7i  113i 10  7i       49  64  113  113 64  49   10  7i  7i 7i   i   i i i   113 113 113 113 V y ch n đáp án ọ Dùng MTCT Câu Tính A  A i 1 1 i   2i  i  C i B i H D 1 ng d n gi i Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 18 Ỏhuyên Đ S ớh c   i  i Ta có: i7  i6 i  i Do A  1 1 1   i    1   i     i     2i  i  2i  i  2 i  2i  V y ch n đáp án D Dùng MTCT:  1 i  Câu 10 Tính B     1 i  33 A 13  3i  1  i  10    3i   3i   ; i B 33  31i C 13  32i H D  32i ng d n gi i  i 1  i 1  i  1  i  2i Ta có:    i 1 i 11 2  1 i  Do    1 i  33   16  i 33  i i  i Ta l i có:   1  i     i  2i    1  i     3i   3i   i  13  i 10  1 i  V y B   1 i     2i   32i 33  1  i  10    3i   3i    i  32i  13  i  13  32i i V y ch n đáp án Ỏ Dùng MTCT: Câu 11 Tính C   1  i   1  i   1  i    1  i  H 20 ng d n gi i Áp d ng công th c c a c p s nhân: Ta có: Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 19 Ỏhuyên Đ S ớh c C     i   1  i   1  i    1  i   1  1  i  21  1  i    1  i  i 20  u1  q 21 1 q 21 Ta có: 1  i   2i 21 20 10    i   1  i  1  i    2i  1  i   210 1  i   210  i.210 Do C     210  i.210  210   210 i i Câu 12 C p s th c x, y th a mãn 2x   1  2y  i   x   3y   i là: A x  , y  1 B x  , y  5 1 C x  , y  H D x   , y   ng d n gi i Ta có:  x   2x    x 3x   2x   1  2y  i   x   3y   i     1  2y  3y  5y  y    V y ch n đáp án Ọ Câu 13 C p s th c x, y th a mãn 4x    3y   i  y    x   i là: A x  ,y  11 11 B x   ,y  11 11 C x  H ,y   11 11 D x   ,y   11 11 ng d n gi i Cách 1: Ta có:  x  4x   y  4x  y  2  11   4x    3y   i  y    x   i         3y x x 3y   y   11  V y ch n đáp án ọ Cách 2: Th tr c ti p k t qu {Dùng MTCT} Cách 3: CALC X  100 Y  0,01 Câu 14 C p s th c x, y th a mãn x  A x  6; y   i  y B x  6; y  1 i   i là: C x  6; y  H D x  6; y  1 ng d n gi i Cách 1: Ta có: Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page 20 ... II BÀI T P VÀ CÂU H I TR C NGHI M KHÁCH QUAN 15 Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page Ỏhuyên Đ S ớh c CH ớh Đ CỦC PHÉP TOỦN... aa' bb'  ab' a' b  i    z z a  b2 a  b2 V n d ng tính tính ch t ta có th d dàng gi i toán sau Ta c)ng c n ý k t qu sau: V i i n , n   in  i4k   i4   N u n  4k  k   N u n... nh sau ọ c 1: Ch n ch ph c: ng trình s Màn hình hi n th MODE Ths Tr n ình C S T: 01234332133 Gv Chuyên luy n thi THPT Qu c gia, TP Hu ThuVienDeThi.com Page Ỏhuyên Đ S ớh c ọ  iA c 2: L u 2 ọ