Đs9 chủ đề 9 vi ét và liên quan ( 5 buổi )

ĐS9-CHỦ ĐỀ.VI-ÉT VÀ LIÊN QUAN (4 BUỔI ) VẤN ĐỀ CƠNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – CƠNG THỨC NGHIỆM THU GỌN A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai Ví dụ: Giải phương trình x  x  0 Cho phương trình ax  bx  c 0  a 0  có biệt Ta có a 1; b  4; c 3 thức  b  4ac  b  4ac     4.1.3 4 * Nếu   phương trình có hai nghiệm phân Vì ∆ > nên phương trình có hai nghiêm phân biệt x1   b    b   ; x2  2a 2a biệt x1  4 4 3; x2  1 2 * Nếu  0 , phương trình có nghiệm kép x1  x2  b 2a * Nếu   , phương trình vơ nghiệm Cơng thức nghiệm thu gọn Giải phương trình x  x  0 cơng thức Cho phương trình ax  bx  c 0  a 0  có biệt nghiệm thu gọn: thức b 2b ,   b 2  ac Ta có a 1; b   2; c 3 * Nếu    phương trình có hai nghiệm   b2  ac     1.3 1 phân biệt Vì    nên phương trình có hai nghiệm phân X1   b     b     ; X2  a a biệt x1  * Nếu   0 , phương trình có nghiệm kép x1  x2  2 2 3; x2  1 1 b a * Nếu    , phương trình vơ nghiệm Chú ý: Nếu phương trình bậc hai ax  bx  c 0  a 0  có ac  phương trình ln có hai nghiệm phân biệt B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Giải phương trình bậc hai Bài tồn Giải phương trình bậc hai công thức nghiệm Phương pháp giải Xét phương trình: ax  bx  c 0  a 0  Trang Bước 1: Xác định hệ số a, b, c tính biệt thức  b  4ac Bước Kết luận - Nếu   phương trình vơ nghiệm - Nếu  0 phương trình có nghiệm kép x1  x2  b 2a - Nếu   phương trình có hai nghiệm phân biệt x1   b    b   ; x2  2a 2a Câu Dùng công thức nghiệm để giải phương trình sau:  b) x x  a) x  x  15 0   Lời giải a) Phương trình x  x  15 0 có a 1; b 2; c  15  22  4.1   15  4  60 64  Phương trình có hai nghiệm phân biệt   64     64    3; x2    2.1 2.1 x1  Vậy tập nghiệm phương trình S   5; 3     x  b) Ta có x x  3x   x  3x  0 Suy a 1; b  3; c 1  Ta có      4.1.1 3    Vậy phương trình vơ nghiệm a) x   x  1 0  x   Ta có:     x  0  4.1 3   Vậy phương trình vơ nghiệm   3x   x  b) x x   5 Ta có   5x 3x   x  x  0  4.2   1 5  13  Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1    13   13   13   13  ; x2   2.2 2.2 c)  x    x  1  1  x  x  x    x  3x  0 4 Trang Ta có    3  4.1 9  0 Vậy phương trình có nghiệm kép x1  x2  3  2.1 2 d)  x  1  3x   x  x   x   x  x  0 Ta có    1  4.4    1  80 81   81  81 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1   ; x2   2.4 2.4 Bài toán Giải phương trình bậc hai cơng thức nghiệm thu gọn Phương pháp giải Xét phương trình: ax  bx  c 0  a 0  với b 2b Bước Xác định hệ số a, b, c tính biệt thức   b2  ac Bước Kết luận: - Nếu    phương trình vơ nghiệm - Nếu   0 phương trình có nghiệm kép x1  x2  b a - Nếu    phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1   b     b     ; x2  a a Câu Dùng công thức nghiệm thu gọn để giải phương trình sau a)  x  x  0 b)  x  1  x  Hướng dẫn giải a) Phương trình  x  x  0 có a  5; b  2; c 2 Ta có   2     4  10 14  nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1   14  14 ; x2  5 b)  x  1  x   x  x   x   x  x  0 Suy a 2; b   1; c  Ta có     1    3 1  7  1 1 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1  ; x2  2 Câu Dùng công thức nghiệm, giải phương trình sau Trang A x   C  x    x  1   3x  B x x   x  1 0 D  x  1  x  Lời giải a) x   x  1 0  x   Ta có:     x  0  4.1 3   Vậy phương trình vơ nghiệm   3x   x  b) x x   5 Ta có   5x 3x   x  x  0  4.2   1 5  13  Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1    13   13   13   13  ; x2   2.2 2.2 c)  x    x  1  1  x  x  x    x  3x  0 4 Ta có    3  4.1 9  0 Vậy phương trình có nghiệm kép x1  x2  3  2.1 2 d)  x  1  3x   x  x   x   x  x  0 Ta có    1  4.4    1  80 81   81  81 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1   ; x2   2.4 2.4 Câu Dùng công thức nghiệm thu gọn, giải phương trình sau A x  x    x  12 C x 6  2x   B  5 x  2 x  15 D  x   2   x  Lời giải Lời giải 2 2 a) x  x    x  12  x  x  x  12  x  x  12 0 Trang Ta có         12  4  12 16  Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1  b)  5 x  2 x  15   x  x 2 x  15  x  x  20 0  Ta có       1.20 20  20 0 Phương trình có nghiệm kép x  x  2 c) x 6   16  16 6; x2   1   2  2  x   x 6 x  24  x  x  24 0  Ta có       1.24 18  24   Suy phương trình vơ nghiệm d)  x   2   x   x  x  2  x  x  x  0 Ta có     1  1.2 1    Suy phương trình vơ nghiệm Dạng 2: Xác định số nghiệm phương trình bậc hai Phương pháp giải Xét phương trình ax  bx  c 0 Phương trình có nghiệm kép  a 0  a 0     0    0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt  a 0  a 0          Phương trình có nghiệm  a 0  a 0, b 0    0 Phương trình vơ nghiệm  a 0, b 0, c 0  a 0, b  0, c 0     a 0,    a 0,    Phương trình có nghiệm  a b c 0  a b c 0    a 0, b 0  a 0, b  0  a 0,  0  a 0,   0 Trang Câu Cho phương trình mx   m  1 x  m  0 với m tham số Ta có a m; b  m  1; c m  2    m  1  m  m   4m  1 Phương trình có nghiệm kép  a 0      0 m 0    m  0  m 0    m  m  Phương trình có hai nghiệm phân biệt  a 0       m 0    4m   m 0   m   Phương trình có nghiệm   a 0  m 0   m 0   b  m         m 0  m 0   a 0     0   4m  0   m   m       a 0; b  0, c 0 Phương trình vơ nghiệm    a 0,     m 0, m  0, m  0    m 0, 4m    m 0, m  1, m     m 0, m     m  a b  c 0  Phương trình có nghiệm   a 0, b 0  a 0,   0  m  m   m  0   m 0; m  0  m   m 0, 4m  0 Câu 2.Cho phương trình mx   m  1 x  m  0 (m tham số) Tìm giá trị m để phương trình: a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có nghiệm kép c) Vơ nghiệm d) Có nghiệm Trang Lời giải Ta có a m; b    m  1 ; c m  1;    m  1  m  m  1  3m  a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt  a 0        m 0     3m    m 0    m  m 0  Vậy  phương trình có hai nghiệm phân biệt  m   a 0 m 0    b) Phương trình có nghiệm kép     0 1  3m 0 m 0   1 m m  Vậy m  phương trình có nghiệm kép c) Xét m 0 , ta có phương trình: x  0  x  Vậy phương trình cho có nghiệm +) Xét m 0 , phương trình vơ nghiệm  3m    m  Vậy m  phương trình vô nghiệm  a 0, b 0, c 0 Chú ý: Phương trình vơ nghiệm    a 0,    Từ điều kiện này, ta xét hai trường hợp: a 0 a 0 để tìm m d) Với m 0 , phương trình có nghiệm x  (1) Với m 0 , phương trình có nghiệm    0   3m 0  m  Từ (1) (2) ta có m  (2) phương trình có nghiệm  a b  c 0  Chú ý: Phương trình có nghiệm   a 0, b  0  a 0,   0 Từ điều kiện này, ta xét hai trường hợp: a 0 a 0 để tìm m Câu Cho phương trình mx  3x  0 (m tham số) Tìm giá trị m để phương trình A Có hai nghiệm phân biệt B Có nghiệm kép Trang C Vơ nghiệm D Có nghiệm Lời giải Ta có    3  4.m.1 9  4m  a 0  a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt      m 0   9  4m  m 0   m  m 0  Vậy  phương trình có hai nghiệm phân biệt  m   a 0  b) Phương trình có nghiệm kép    0 Vậy m  m 0   9  4m 0 m 0    m m  phương trình có nghiệm kép c) Xét a 0  m 0 , phương trình cho trở thành:  x  0  x  Vậy phương trình có nghiệm m 0  m 0   Xét a 0  m  Phương trình vơ nghiệm     9  4m  Vậy m   m 0    m m  phương trình vơ nghiệm d) Xét a 0  m 0 Theo câu c, ta có phương trình có nghiệm x  (1) Xét a 0  m  Phương trình có nghiệm   0   4m 0  m  Từ (1) (2), ta có m  (2) phương trình có nghiệm Dạng 3: Giải biện luận phương trình dạng bậc hai theo tham số Phương pháp giải Giải biện luận phương trình dạng bậc hai theo tham số m tìm tập nghiệm phương trình tùy theo thay đổi m Xét phương trình ax  bx  c 0 * Với a 0 : Phương trình trở thành phương trình bậc nhất: bx  c 0 - Nếu b 0 phương trình có nghiệm x  c a Trang - Nếu b 0 c 0 phương trình vơ nghiệm - Nếu b 0 c 0 phương trình có vơ số nghiệm * Với a 0 ta có  b  4ac (hoặc   b2  ac ) - Nếu   (hoặc    ) phương trình vơ nghiệm - Nếu  0 (hoặc   0 ) phương trình có nghiệm kép: x1  x2  b b (hoặc x1  x2  ) 2a a - Nếu   (hoặc    ) phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1,   b    b   (hoặc x1,  ) 2a a Câu Giải biện luận phương trình: mx   2m  1 x  m 0 (m tham số) Hướng dẫn giải +) Xét m 0 phương trình trở thành x 0 Vậy phương trình có nghiệm x 0 +) Xét m 0 Ta có      2m  1   4.m.m 4m  4m   4m 1  4m - Nếu m     phương trình vơ nghiệm  m  1   - Nếu m    0 phương trình có nghiệm kép x1  x2  2m 4 - Nếu m  2m    4m    phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,  2m Kết luận: * Với m  , phương trình vơ nghiệm * Với m  , phương trình có nghiệm kép x1  x2  * Với m  x1  m 0 , phương trình có hai nghiệm phân biệt m    4m 2m    4m ; x2  2m 2m Với m 0 , phương trình có nghiệm x 0 Dạng 4: Một số tốn liên quan đến tính có nghiệm phương trình bậc hai Bài tốn 1: Chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm Phương pháp giải Trang Bước Tính biệt thức ∆ ∆’ Bước Chứng tỏ tồn     0  kết luận Câu Cho a  b  c 6 Chứng minh phương trình sau có nghiệm: x  ax  0; x  bx  0; x  cx  0 Lời giải 2 Xét biệt thức ∆ ba phương trình: 1 a  4;  b  4;  c  2 Ta có: 1     a  b  c  12 a  b  c   a  b  c   12 (vì a  b  c 6 ) 2  a     b     c   0 với a, b, c Vậy tồn  i 0  i 1, 2, 3 Do tồn phương trình có nghiệm Bài tốn 2: Chứng minh hai phương trình bậc hai có nghiệm chung Phương pháp giải Muốn tìm điều kiện tham số để hai phương trình dạng bậc hai ax  bx  c 0 a x  b x  c  0 có nghiệm chung, ta làm sau: Bước Gọi x0 nghiệm chung hai phương trình Từ thay x0 vào hai phương trình để tìm điều kiện tham số Bước Với giá trị tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem hai phương trình có nghiệm chung hay khơng kết luận Câu Cho hai phương trình x  x  m 0 (1) x  mx  0 (2) Tìm giá trị tham số m để hai phương trình có nghiệm chung Lời giải Giả sử x0 nghiệm chung hai phương trình cho, ta có hệ sau  x02  x0  m 0   x0  mx0  0  3  4 Nhân hai vế (3) với x0 cộng theo vế với (4) ta x0  0  x0 1 Thay x0 1 vào (3), ta m 0 +) Với m 0 , phương trình (1) trở thành:  x 0 x  x 0  x  x  1 0    x 1 Phương trình (1) có nghiệm x1 0; x2 1 (*) Trang 10