CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ ĐS6 CHUYÊN ĐỀ – PHÂN SỐ CHỦ ĐỀ 7: BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN PHÂN SỐ PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT I Khái niệm bất đẳng thức Định nghĩa : Số a gọi lớn số b , ký hiệu a b a b số dương, tức a b Khi ta ký hiệu b a Ta có: a b a b Nếu a b a b , ta viết a b Ta có: a b a - b 0 Quy ước : Khi nói bất đẳng thức mà khơng rõ ta hiểu bất đẳng thức Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức II Các tính chất bất đẳng thức a b a c b c Tính chất 1: Tính chất 2: a b a c b c Từ ta suy a b a c b c a c b a b c a b ac bd c d Tính chất 3: ac bc neáu c > ab ac bc c < Tính chất 4: Từ ta suy ab ab Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ a b neáu c > a b c c a b neáu c < c c a b ac bd c d Tính chất 5: Tính chất 6: ab0 0 1 a b * n n Tính chất 7: a b 0, n N a b 2 Tính chất 8: Nếu a b hai số dương : a b a b 2 Nếu a b hai số khơng âm : a b a b PHẦN II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: TỔNG LŨY THỪA I Phương pháp giải So sánh số hạng tổng với số hạng tổng liên tiếp để tìm mối quan hệ Nếu muốn chứng minh lớn giá trị k đó, ta cần so sánh với số hạng có mẫu lớn ngược lại I Bài toán Bài 1: Chứng tỏ rằng: A 1 1 1 2 2020 Lời giải: Ta thấy tốn có dạng tổng lũy thừa bậc hai, nên ta phân tích tổng A sau: A 1 1 2.2 3.3 4.4 2018.2019 2019.2020 Đến ta so sánh với phân số có mẫu nhỏ hơn, u cầu tốn chứng minh nhỏ A 1 1 1.2 2.3 3.4 2019.2019 2019.2020 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2018 2019 2019 2020 Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 1 A 1 2020 1 1 1 100 Bài 2: Chứng tỏ rằng: 6 Lời giải: Ở toán này, ta phải chứng minh hai chiều, chiều thứ ta cần chứng minh: A 1 1 1 A 2 99 100 chứng minh Ta có: A 1 1 1 1 1 5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 5.6 6.7 7.8 99.100 100.101 1 96 96 A 101 505 đến đây, ta so sánh 505 với sau: 96 96 1 Ta có: 505 576 cách ta nhân tử mẫu phân số với 96 để hai phân số tử so sánh ta có: A 96 96 505 567 Chiều thứ hai, ta cần chứng minh: A 1 1 1 1 2 99 100 Ta làm tương tự sau: A 1 1 1 1 1 5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 4.5 5.6 6.7 98.99 99.100 A Từ 1 1 100 2 2 1 A ta có: 1 1 2 100 Bài 3: Chứng tỏ rằng: Lời giải: Ta biến đổi: 1 1 1 1 1 A 3.3 4.4 99.99 100.100 2.3 3.4 4.5 99.100 Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ A 1 3 100 100 Bài 4: Chứng tỏ rằng: A 1 1 2 100 Lời giải: Nhận thấy tổng lũy thừa mà số mẫu số chẵn nên ta đưa tổng lũy thừa mà số mẫu số tự nhiên liên tiếp sau: A 1 1 1 1 1 1 50 1.2 2.3 3.4 49.50 1 1 A 1 4 50 200 2 100 A 100 2 2 Bài 5: Chứng tỏ rằng: Lời giải: Nhận thấy có dạng tổng phân số có mẫu lũy thừa số nên ta thực phép tính tổng A Việc tính xác tổng A giảm bớt sai số, nhiên tổng tính 99 100 A 1 98 99 2 2 Ta tính tổng A sau: Sau lấy 2A trừ A theo vế nhóm phân số có mẫu ta được: 1 100 1 1 A 99 100 B 99 2 2 , đặt 2 2 tính tổng B theo cách 1 1 100 A 99 100 B 99 2 , thay vào A ta được: 2 2 ta được: 100 A 100 3 3 Bài 6: Chứng tỏ rằng: Lời giải: Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 1 1 100 A 1 99 100 3 3 , Tính tượng tự , ta có: 1 1 B 99 3 3 , tính B thay vào tổng A ta Đặt 1 B 2.399 1 100 A 1 100 99 2.3 2A 1 3 A 2 Bài 7: Chứng tỏ rằng: A 1 1 2 n Lời giải: A Ta có: 1 1 1 1 1 2.2 3.3 4.4 n.n 1.2 2.3 3.4 n n 1 n A Bài 8: Chứng tỏ rằng: 1 1 2 (2n) Lời giải: A Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 32 n 1.2 2.3 n 1 n n 4n A Bài 9: So sánh 1 1 2 (2n) với Lời giải: A 1 1 1 1 1 1 2 n 4 n 4n 1 1 A 2 n không số tự nhiên Bài 10: Chứng minh với số tự nhiên n Lời giải: Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ A 1 Ta có: 1 2 1.2 2.3 n 1 n Mặt khác ta thấy A Vậy ta có: A Bài 11: Chứng tỏ rằng: A 1 1 2020 2 2021 2021 Lời giải: A 1 1 2020 1 1.2 2.3 3.4 2020.2021 2021 2021 1 2016 2016 Bài 12 : Chứng tỏ rằng: 5 Lời giải: 2016 A 2016 5 5 Đặt 2016 1 A 1 2005 2016 5 1 B 2005 5 Đặt Ta có: B 1 2015 1 B 4.52015 , thay vào A ta được: 1 2016 A 1 2016 2015 4.5 A 5 16 15 (1) 2016 7 A 2016 5 5 25 25 28 Mặt khác: Từ (1) (2) ta suy ĐPCM Trang (2) CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 99 100 A 99 100 3 3 3 16 Bài 13 : Chứng tỏ rằng: Lời giải: Tính tổng A , ta được: Đặt B 1 A (1 1 1 100 99 ) 100 3 3 1 1 99 3 3 B 4.399 100 A 99 100 4 A 16 19 A 2 2 2 2 1 2 3 10 Bài 14 : Chứng tỏ rằng: Lời giải: A Ta có: A 1 22 12 32 22 102 92 1 1 2 2 2 2 10 1 10 1 102 4019 A 2 2 2 1 2 3 2009 2.20102 Bài 15 : Chứng tỏ rằng: Lời giải: 22 12 32 22 42 32 2010 20092 A 2 2 2 2 3 2009 2.2010 Ta có: 1 1 1 A 1 1 2 2 2009 2010 20102 Bài 16: Chứng tỏ rằng: Lời giải: Trang S 1 1 1 2020 2022 2 2 2 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 1 1 1 S 10 2022 2024 2 2 2 2 S S 5S 1 1 2024 S 4 2 1 1 B 2020 3 3 Bài 17: Chứng tỏ rằng: Lời giải: 1 1 B 2021 3 3 B Hay 2B 1 B 2021 3 3 B 2 2021 M 2021 3 3 Bài 18: Chứng tỏ rằng: có giá trị khơng ngun Lời giải: 2021 M 2021 3 3 Ta có: 1 2021 M 2021 3 3 Ta có 3M 1 2021 2020 3 3 2021 3M M 2020 3 2021 1 2021 3 3 1 1 2021 M 1 2020 2021 3 3 1 1 1 N 2020 N 1 2019 3 3 3 Đặt 1 N N 2019 3 Trang 1 1 2020 3 3 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ N 1 M 1 M Từ 1 2020 1 2021 2021 2021 2021 2020 2020 2.3 2.3 3 1 1 N 2.32020 2 2 M 1 2021 M 2021 3 3 Vậy khơng có giá trị nguyên 19: Chứng tỏ rằng: A 2 2 1003 2 2007 2008 Bài Lời giải: A 2 2 1 1003 2.4 4.6 6.8 2006.2008 2008 2008 3 S 1 1.4 4.7 n ( n 3) Bài 20: Chứng tỏ rằng: Lời giải: 1 1 1 S 1 1 n 3 4 7 n n 3 Bài 21: Chứng tỏ rằng: B 1 1 1 2 2021 2021 Lời giải: 1 B 1 20212 , 2 Đặt A Trang A 1 1 2 20212 ta có: 1 1 1 1.2 2.3 3.4 2020.2021 2021 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ A 1 2021 B A 1 B 2021 2021 1 1 2018 2020 0, 2 2 Bài 22: Chứng tỏ rằng: 2 Lời giải: Đặt A 1 1 2018 2020 2 2 2 1 1 1 A 2020 2022 2 2 Ta có: A 1 1 A 2022 2 5A 1 A 0, 4 Bài 23: Chứng tỏ rằng: A 1 1 A 50 Lời giải: Ta có: A 1 1 1 1 48 48 3.3 4.4 5.5 50.50 3.4 4.5 50.51 51 153 192 Mặt khác: A 1 1 1 1 1 191 200 3.3 4.4 5.5 50.50 3.4 4.5 49.50 50 450 450 A Vậy 1 A A 1.2 3.4 99.100 , chứng tỏ rằng: 12 Bài 24: Cho Lời giải: Ta có Trang 10 A 1 51 52 100 CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 1 456 456 456 456 456 456.B 455 456 456 2 Xét 1 B 456 1 1 1 1 1 1 4 8 456 257 258 1 1 1 1 1 1 1 4 2 2 456 456 2 22 200 2 2 456 1 1 200 456 2 4 200 2024 456 456 Khi đó: A 456 2024 2024 2007 456 1 1 1000 n Bài 22: Chứng tỏ tồn số tự nhiên n để: Lời giải: Chọn n 2 2000 1 2000 A 1 2000 1000 2 Khi đó: 1 1 B 1 99 So sánh B với 50 Bài 23: Cho Lời giải: 1 1 B 1 98 99 3 4 1 1 2 298 99 2 1 99 1 1 50 2 2 Trang 20