Chu de 7 bat dang thuc

Website: tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ – BẤT ĐẲNG THỨC I BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI DẠNG 1: DẠNG TỔNG SANG TÍCH DẠNG 2: DẠNG TÍCH SANG TỔNG, NHÂN BẰNG SỐ THÍCH HỢP DẠNG 3: QUA MỘT BƯỚC BIẾN ĐỔI RỒI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI DẠNG 4: GHÉP CẶP ĐÔI DẠNG 5: DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI TÁCH THÍCH HỢP DẠNG 6: KẾT HỢP ĐẶT ẨN PHỤ VÀ DỰ ĐOÁN KÊT QUẢ 10 DẠNG 7: TÌM LẠI ĐIỀU KIỆN CỦA ẨN 14 II BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA .16 III PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 20 DẠNG 1: ĐƯA VỀ BÌNH PHƯƠNG 20 DẠNG 2: TẠO RA BẬC HAI BẰNG CÁCH NHÂN HAI BẬC MỘT 21 DẠNG 3: TẠO RA ab+bc+ca .23 DẠNG 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TRONG BA SỐ BẤT KÌ LN TỊN TẠI HAI SỐ CĨ TÍCH KHƠNG ÂM .24 DẠNG 5: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ BỊ CHẶN TỪ ĐẾN 26 DẠNG : DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI XÉT HIỆU 28 HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ .30 I BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI 30 II BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA 31 III PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 32 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com I BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI Dạng hai số không âm x, y  Dạng tổng sang tích: x  y 2 xy  x y x y xy  xy     hay  Dạng tích sang tổng: x2  y2 xy  2  Dạng lũy thừa: x  y 2 xy hay  x  y Dấu " " xảy x2 1  Dạng đặc biệt: x , y ,z Dạng ba số không âm x  y  z 3 xyz  Dạng tổng sang tích: x  x.1   xyz x yz xyz  xyz      Dạng tích sang tổng: hay 3 x y z xyz  3 x  y  z  xyz  Dạng lũy thừa: hay  x  y  z Dấu " " xảy  Dạng đặc biệt: x x.1.1  x3 1 1 x , x , , xn Dạng tổng quát với n số không âm x  x   xn n n x1 x2 xn  Dạng tổng sang tích: n  x  x   xn  x  x   xn x1 x2 xn  x1 x2 xn   n   n  Dạng tích sang tổng: hay x1n  x2n   xnn x x x  n n n n n  Dạng lũy thừa: x1  x2   xn x1 x2 xn hay  x1 x2   xn Dấu " " xảy xn  n  x x.1.1   n n  Dạng đặc biệt: Bất đẳng thức trung gian 1   x  0, y   x y xy Dấu " " xảy  x  y n 1    x  0, y  0, z  x y z x  y  z  Dấu " " xảy  x  y  z DẠNG 1: DẠNG TỔNG SANG TÍCH Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Ví dụ Cho x 0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T 8 x  x   15 x2 Lời giải   T  x  x  1   x    14 4x   Có    x  1   x    14 0  x  14 16 4x  4x  x Vậy MinT 16 Ví dụ Cho x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức M 4 x  x   2011 4x Lời giải M 4 x  x   x   2010 4x Có    x  1   x    2010 0  x  2010 2011 4x  4x  x Vậy MinM 2011 Ví dụ Cho x  y  xy 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức H x2  y2 x y Lời giải H Có x  y  xy  xy  x  y    x y x y  x  y   2 x y Vậy Min H 4  x  y 4 x y   x  y 2 x  y  x y     xy    xy 2   y 2  x   x  x     x     y   DẠNG 2: DẠNG TÍCH SANG TỔNG, NHÂN BẰNG SỐ THÍCH HỢP Ví dụ 1: Cho a ≥ 1, b ≥ Chứng minh : a b   b a  ab Lời giải  (b  1) b ab b   1.(b  1)    a b 1 ; 2 Có Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ab ab ab  a b  b a    ab  2 Và tương tự: đpcm Dấu ‘=” xảy a = b = b a 1 11abc ab c   bc a   ca b   12 Ví dụ 2: Cho a ≥ 9, b≥ 4, c≥ Chứng minh: Lời giải: Có: bc ca ab c   bc a   ca b  ab (c  1).1  (a  9).9  (b  4).4 (c  1) 1 bc (a  9)  ca (b  4)  11abc ab    2 12 Dấu “=” xảy a = 18, b = 8, c = a b(a  2b)  b a (b  2a) Ví dụ 3: Cho a ≥ 0, b ≥ 0, a2 + b2 ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức: M = Lời giải Xét: 3b  ( a  2b) 3a  (b  2a ) a  b M a 3b( a  2b)  b 3a(b  2a ) a  b   5ab 2 a  b2 a  b2   6  M 2 2 Vậy MaxM = a = b = 2 Ví dụ Cho x 0 , y 0 x  y 2 Tìm giá trị lớn biểu thức P  x  14 x  10 y   y  14 y  10 x  Lời giải Xét: P 24  24 x  14 x  10 y   24 y  14 y  10 x  24 x   14 x  10 y  24 y   14 y  10 x   24  x.1  y.1 2  x2 1 y 1   x  y 1  48 24    P 4  24   48  P   24     Vậy MaxP 4 x  y 1 Ví dụ Cho x  , y  Từ xy  x  y   x  y Tìm giá trị nhỏ P x  y Lời giải xy  x  y  x  y  x  y x  y  xy  x  y  2  x  y 1  xy    x  y  2  xy  x  y      x  y    x  y  0  x  y 4 2  x  y  4 xy  x  y  8 xy  xy 2     x  y 4  x  y 4  x  y 4 Dấu "=" xảy   x , y hai nghiệm phương trình t  4t  0  t 2  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Do x  y  x 2  , y 2  Vậy MinP 4 x 2  , y 2  DẠNG 3: QUA MỘT BƯỚC BIẾN ĐỔI RỒI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI Ví dụ Cho a , b , c  ab  bc  ac 1 Tìm giá trị lớn biểu thức: a b c P   a 1 b2 1 c2 1 Lời giải  ab  bc  ac Thay , ta được: a b c P   a  ab  bc  ac b  ab  bc  ac c  ab  bc  ac a b c     a  b  a  c  b  a   b  c   c  a   c  b a a b b c c   a b a c b a b c c  a c b a a b b c c     a b a c  b  a b c  c  a c b 2 b   a c   b c   a          a b a b   a c a c   b c b c    2 a b c  MaxP  Vậy  Ví dụ Cho số dương a , b , c thỏa mãn a  b  c 1 Chứng minh: ab bc ca    c  ab a  bc b  ca Lời giải ab bc ca ab bc ca      a  bc b  ca c.1  ab a.1  bc b.1  ca Ta có c  ab  ab bc ca   c  a  b  c   ab a  a  b  c   bc b  a  b  c   ca  ab   a  c  b  c bc   a  b  a  c ac  b  c  b  a a b b c c a   a c c b a b a c b c b a  a b   b c   c a               c  a c  b   a  b a  c   b  c a  b   ( đpcm) Ví dụ Cho a  , b  , c  ab  bc  ac 3abc Tìm giá trị nhỏ  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com a2 b2 c2 P   c  c2  a  a  a  b2  b  b2  c  Lời giải P Có 2 a b c   2 2 c  c  a  a  a  b  b  b  c2   a  c  c b2  a  a c2  b2  b2   c  c2  a2  a  a  b2  b  b2  c  c  1 a  1 b  1       2     c c  a   a a b   b b c  1 c  1 a  1 b           2 2 2 c c a  a a b  b b c   1   1   1   1  ab  bc  ac               2abc  c 2a   a 2b   b 2c   a b c  MinP  a b c 1 Vậy Ví dụ Cho a  , b  , c  a  b  c 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức a b c T   2  9b  9c  9a Lời giải 2 2 a  9b  9ab b  9c  9bc c  9a  9ca T    9b  9c  9a Có  9ab   9bc   9ca   a   b   c        9b    9c    9a          9ab   9bc   9ca   a   b   c       1.9b2   1.9c   1.9a   1 a  b  c   ab  bc  ac  a  b  c   a  b  c    a  b  c 1 2 1 MinT  a b c  Vậy 1 1   2 abc  Ví dụ Cho a , b , c   a  b  c Chứng minh: Lời giải 1   2 Có  a  b  c  1    b c cos i b c     2 2   1  1 a  1 b   1 c  1 b 1 c 1 b 1 c Tương tự: 2 1 b ac 1 a 1 c ; 2 1 c ab 1 a  1 b bc 1 b 1 c Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Nhân bất đẳng thức dương, chiều ta được: 8abc  1 a 1 b 1 c  1 a 1 b 1 c  hay abc  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 (đpcm) Website: tailieumontoan.com DẠNG 4: GHÉP CẶP ĐÔI Tách x yz  1  x  y   y  z   z  x 2 xyz  xy yz zx x, y, z 0 2 Ví dụ Cho a  , b  , c  a  b  c 1 Chứng minh: ab bc ac bc ca ab   a  b  c    a b c a) c ; b) a b Lời giải ab bc ac  bc ca   ca ab   ab bc              c a b a b b c c a       a) Có bc ca ca ab ab bc    a  b  c a b b c c a (đpcm) 2 2 2 bc ca ab  bc ca ab  2         2 a  b  c  c  a b c b) Xét  a b  b c c a   c a a 2b   a 2b b c              2 2 a b  2 b c  2 c a  b2c2 c2a c a a 2b a 2b b c    a b2 b2 c2 c2 a2 bc ac ab    2 a  b  c  3 , a b (đpcm) Ví dụ Cho a, b, c độ dài ba cạnh ABC Chứng minh (a  b  c)(b  c  a )(c  a  b) abc Lời giải a , b , c Vì độ dài ba cạnh ABC nên a  b  c  0, b  c  a  0, c  a  b  (a  b  c)  (b  c  a)  ( a  b  c )(b  c  a )  b Có ; (b  c  a)  (c  a  b)  (b  c  a)(c  a  b)  c ; (c  a  b)  (a  b  c)  (c  a  b)(a  b  c)  a ; Nhân ba đẳng thức dương chiều ta (a  b  c)(b  c  a )(c  a  b) abc (điều phải chứng minh) DẠNG 5: DỰ ĐỐN KẾT QUẢ RỒI TÁCH THÍCH HỢP Bước 1: Kẻ bảng dự đoán giái trị lớn nhất,nhỏ đạt giá trị biến Bước 2: Kẻ bảng xác định số với Bước 3: Tách ghép thích hợp số hạng sử dụng bất đẳng thức Cơ-si P 2a  a Ví dụ Cho a 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Phân tích toán a  P 13 6,5 23 7, 37 9, 25  13 P   a 2 Từ bảng thứ dự đoán a a a 2 a 5a Từ bảng thứ hai, ta suy a với nên a với Trình bày lời giải 5a 3a 3a 3.2 13  5a  3a P     2   5  5   ( a 2) a 4 a 4 4   Có 13 P  Vậy  5a    a  a 2  a 2 (thỏa mãn) 24 F x  y   x y Ví dụ Cho x  0, y  x  y 6 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải Phân tích tốn ( x ; y) F (1 ; 5) 84 16,8 (2 ; 4) (3 ; 3) 15 16 (4 ; 2) 39 19,5 (5 ; 1) 156 31, Từ bảng thứ nhất, ta dự đoán F 15 x 2, y 4 y x x 2, y 4 x 6 x 3x y  y ; Từ bảng thứ hai, ta suy x với nên x với với 16 nên 24 y y  với 16 Trình bày lời giải Có x Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 y 24 y Website: tailieumontoan.com  3x   24 y   x y  F             2 2 x   y 2 3x 24 y 1  2   ( x  y ) 18  ( x  y ) x y 2 6 15 (do x  y 6) x 24 y F 15  ;  ; x  y 6  x y Vậy 18   x 2   y 4 (thỏa mãn) Ví dụ Cho x  0, y  x  y 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải Phân tích tốn  x; y   1;  69 34,5 Từ bảng thứ nhất, ta dự đoán P 24 x 2, y 1 P P 2 x  y  28  x y  2;1 24 y x x 2, y 1 2 1 x 28 28 x 7 x Từ bảng thứ hai, ta suy x với nên x với ; y se với y Trình bày lời giải Có   28  1 P   x     y   x  y  x  y  x  y  x y   28  1   x     y   2( x  2)  ( y  1)  ( x  y )   x  y  28 7 x  y     24 x y 28 P 24 7 x;  y; x  0; y  0; x  y 3  x 2, y 1 x y Vậy  x  3,  y  6,  z  x  y  z  12 Ví dụ Cho Tìm giá trị lớn biểu thức P xyz 2 Lời giải Nhận xét: Do y z vai trò nên sử dụng bất đẳng thức Cơ-si tích yz , ta  yz P x( yz ) x    x (12  x )(12  x)   Đến ta kẻ bảng để dự đoán giá trị lớn P Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 10