Chuyên đề 7: Bất đẳng thức

Phöông phaùp 1: Phương pháp biến đổi tương đương Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết rằng đúng.. Ví du1ï: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1.[r]

Cao Cao Minh Minh Nhân Nhân Chuyên đề 7: BẤT ĐẲNG THỨC TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA I Số thực dương, số thực âm:  Nếu x là số thực dương, ta ký hiệu x >  Nếu x là số thực âm, ta ký hiệu x <  Nếu x là số thực dương x= 0, ta nói x là số thực không âm, ký hiệu x   Nếu x là số thực âm x= 0, ta nói x là số thực không dương, ký hiệu x  Chuù yù:  Phủ định mệnh đề "a > 0" là mệnh đề " a  "  Phủ định mệnh đề "a < 0" là mệnh đề " a  " II Khái niệm bất đẳng thức: Định nghĩa 1: Số thực a gọi là lớn số thực b, ký hiệu a > b a-b là số dương, tức là a-b > Khi đó ta ký hiệu b < a Ta coù: a  b a b  Nếu a>b a=b, ta viết a  b Ta có: a  b  a-b  Ñònh nghóa 2: Giả sử A, B là hai biểu thức số Mệnh đề : " A lớn B ", ký hiệu : A > B " A nhoû hôn B ", kyù hieäu :A < B " A lớn hay B " ký hiệu A  B " A nhoû hôn hay baèng B " kyù hieäu A  B gọi là bất đẳng thức Quy ước :  Khi nói bất đẳng thức mà không rõ gì thì ta hiểu đó là bất đẳng thức đúng  Chứng minh bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng III Các tính chất bất đẳng thức : a  b Tính chaát 1: a c  b  c Tính chaát 2: a  b a c b c Heä quaû 1: a  b a c b c Heä quaû 2: a  c b a b c a  b Tính chaát 3:  a c b d  c  d ac  bc neáu c > Tính chaát 4: a  b  ac  bc neáu c < Heä quaû 3: a  b a b 29 Lop12.net Cao Cao Minh Minh Nhân Nhân Heä quaû 4: Tính chaát 5: Tính chaát 6: Tính chaát 7: a b  c  c neáu c > a  b   a  b neáu c <  c c a b ac bd  c d 1 a  b 0 a b * n a  b  0, n  N  a  b n Tính chaát 8: a  b  0, n  N *  n a nb Heä quaû 5: Neáu a vaø b laø hai soá döông thì : a  b  a2  b2 Neáu a vaø b laø hai soá khoâng aâm thì : a  b  a2  b2 IV Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối :  x neáu x  Ñònh nghóa: x   ( x  R)  x neáu x < 0 , x Tính chaát : x  x2 , x x , -x x Với a, b  R ta có :  a  b a b  a  b a b  a  b a b a.b  a  b a b a.b V Bất đẳng thức tam giác : Neáu a, b, c laø ba caïnh cuûa moät tam giaùc thì :  a > 0, b > 0, c >  b  c a b c  c  a b c a  a  b c a b  a  b c A B C VI Các bất đẳng thức : a Bất đẳng thức Cauchy: ab  ab Cho hai soá khoâng aâm a; b ta coù : Daáu "=" xaõy vaø chæ a=b Toång quaùt : Cho n soá khoâng aâm a1,a2, an ta coù : a1  a2 an n  a1 a2 an n Daáu "=" xaõy vaø chæ a1 = a2 = = an 30 Lop12.net Cao Cao Minh Minh Nhân Nhân b Bất đẳng thức Bunhiacốpski : Cho bốn số thực a,b,x,y ta có : (ax  by )2 (a b2 )( x y2 ) Daáu "=" xaõy vaø chæ ay = bx Toång quaùt : Cho hai boä soá (a1 , a2 , an ) vaø (b1 , b2 , , bn ) ta coù : (a1b1  a2 b2 an bn )2 (a12 a2 an )(b12 b2 bn ) an với quy ước mẫu thì tử bn 1 1  ( ) c) Bất đẳng thức bản: Cho hai số dương a,b ta luôn có: ab a b Daáu "=" xaõy vaø chæ a=b Daáu "=" xaõy vaø chæ a1 a2  b1 b2 Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức : Ta thường sử dụng các phương pháp sau Phöông phaùp 1: Phương pháp biến đổi tương đương Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến bất đẳng thức đã biết đúng Ví du1ï: Chứng minh các bất đẳng thức sau: a2  b2 c ab bc ca với số thực a,b,c a2  b2 ab a b với a,b Ví duï 2: Cho hai số a,b thỏa điều kiện a+b  , chứng tỏ rằng: Ví dụ 3: Chứng minh x>0 thì ( x  1) ( Phöông phaùp 2: a3 b3 a b ( ) 2   1)  16 x2 x Phương pháp tổng hợp Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng đã biết dùng suy luận toán học để suy điều phải chứng minh Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh : a2  b2  c  2(ab  bc  ca) Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  Chứng minh rằng: 31 Lop12.net Cao Cao Minh Minh Nhân Nhân  5 x 4x Ví dụ 3: Cho x,y,z là các số dương Chứng minh rằng: x  y  z  xy  yz  zx 1 Ví dụ 4: Chứng minh với mọi x,y dương ta có: x  y    2( x  y ) x y Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh : ab(a  b  2c)  bc(b  c  2a )  ca(c  a  2b)  Ví dụ6: Cho x,y,z và xyz=1 Chứng minh : x  y  z  x  y  z Ví dụ 7: Cho x, y, z > và x+y+z=xyz Chứng minh : xyx  3 abc abc abc   9 Ví dụ 8: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh : a b c Ví dụ 9: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn x  y  z  Chứng minh : 1 x  y  z     10 x y z Ví dụ 10: Cho a,b,c >0 và abc=1 Chứng minh : b  c c a a b  a b c a b c Phương pháp 3: Sử dụng đạo hàm xét các tính chất hàm số Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: sinx < x với x > x2 Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức: cos x   với x > Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ 4: Với  x    sin x  tgx  x với x  (0; ) , chứng minh 2 sin x 2 tgx  x 1 22 BAØI TAÄP REØN LUYEÄN Bài 1: Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1 Chứng minh  x3  y3 1 y3  z3  z  x3   3 xy yz zx Khi đẳng thức xảy ra? x x x  12   15   20  Bài 2: Chứng minh với x  R , ta có:          x  x  x 5 4   Khi nào đẳng thức xảy ra? 1 Bài 3: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn    Chứng minh : x y z 1   1 2x  y  z x  y  z x  y  2z 32 Lop12.net Cao Cao Minh Minh Nhân Nhân Bài 4: Với a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn đẳng thức ab  bc  ca  abc , chứng minh rằng: b  2a c  2b a  2c    ab bc ca 33 Lop12.net