chuyên đề CM bất đẳng thức

14 817 0
chuyên đề CM bất đẳng thức

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

CHUYêN Đề CHNG MINH BT ĐNG THC 1 . Định nghĩa : - BĐT là 1 hệ thức có một trong các dạng : A > B ; A < B ; A B ; A B (A , B là các biểu thức số hay chữ ) 2 . Tính chất BĐT số : . a > b a - b > 0 . a > b và b > c a > c . a > b a + c > b+ c . a > b và c > d a + c > b+ d . a > b ac > bc nếu c > 0 ac < bc nếu c < 0 . a > b > 0 và c > d > 0 ac > bd . 1 1 0 a b ab a b > < > . a > b > 0 và n nguyên dơng n n a b> . a > b > 0 và n nguyên dơng n n a b> 3. Một số hằng BĐT : . A 2 0 với mọi A dấu bằng xảy ra A =0 . |A| 0 với mọi A dấu bằng xảy ra A = 0 . - |A| < A < |A| . |A + B| |A| + |B| dấu bằng xảy ra AB 0 . |A - B| |A| - |B| . A > B A n > B n với n lẻ . |A| > |B| A n > B n với n chẵn . 0 1 m n m n A A A > > > > . 0 0 1 m n m n A A A > > < < < Ph Ph ơng pháp 1: Dùng định nghĩa ơng pháp 1: Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B ta đi chứng minh A - B > 0. L u ý : dùng hằng BĐT M 2 0 với mọi M. Ví dụ 1 : với mọi x, y, z chứng minh rằng: a, x + y + z xy + yz + zx b, x + y + z 2xy - 2xz + 2yz c, x + y + z + 3 2( x + y + z ) Giải : a,Ta xét hiệu : x + y + z - xy - yz xz = 2 2 2 1 .2( ) 2 xy yz xz y x z + + = 2 2 2 1 (x y) (x z) (y z) 2 + + Vậy x + y +z xy + yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z b,Ta xét hiệu : x +y + z - ( 2xy -2 xz + 2yz) = x + y + z - 2xy + 2xz - 2 yz : x +y + z - ( 2xy -2 xz + 2yz) = x + y + z - 2xy + 2xz - 2 yz = ( x - y + z ) = ( x - y + z ) 0. Vậy x + y + z 0. Vậy x + y + z 2xy 2xz +2yz . 2xy 2xz +2yz . Dấu bằng xảy ra khi x + z =y Dấu bằng xảy ra khi x + z =y c,Ta xét hiệu : x + y + z + 3 - 2( x + y + z) = x - 2x + 1 + y - 2y + 1 + z x + y + z + 3 - 2( x + y + z) = x - 2x + 1 + y - 2y + 1 + z 2z + 1 2z + 1 = ( x -1 ) + (y 1 ) + ( z -1 ) > 0. = ( x -1 ) + (y 1 ) + ( z -1 ) > 0. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z =1 . Dấu bằng xảy ra khi x = y =z =1 . Ví dụ 2 : CMR : a, 2 2 2 2 2 a b a b+ + ữ b, 3 3 2 2 2 2 a b c a b c+ + + + ữ Giải : a , Ta xét hiệu : 2 2 2 2 2 a b a b+ + ữ ( ) 2 2 4 4 2 2 2 2 a b a ab b + + + = ( ) 1 2 2 2 4 2 2 2 2 a b a b ab= + ( ) 1 0 4 2 a b= Vậy : 2 2 2 2 2 a b a b+ + ữ Dấu bằng xảy ra khi a = b b, Ta xét hiệu : 3 3 2 2 2 2 a b c a b c+ + + + ữ ( ) ( ) ( ) 1 0 9 2 2 2 a b b c c a = + + Vậy: 3 3 2 2 2 2 a b c a b c+ + + + ữ Dấu bằng xảy ra khi a =b =c . Tổng quát : ( a 1 2 + a 2 2 + + a n 2 ): n (( a 1 + a 2 + + a n ) : n ) 2 Tóm lại : Các bớc để chứng minh A B theo định nghĩa : Bớc I: Ta xét hiệu H = A B Bớc II: Biến đổi H =(C D) 2 Hoặc H =(C D) 2 + + ( E F) 2 Bớc III: Kết luận A B Ph Ph ơng pháp 2: ơng pháp 2: Dựng phộp bin i tng ng L u ý : Ta biến đổi BĐT cần chứng minh tơng đơng với BĐT đúng hoặc BĐT đã đợc chứng minh là đúng . Chú ý : Các hằng đẳng thức sau : (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A+B+ C ) 2 = A 2 +B 2 +C 2 +2AB +2AC + 2BC (A + B ) 3 =A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 Ví dụ1 : Cho a, b, c, d, e là các số thực. CMR : a , + 2 b 2 ab a 4 b , a 2 + b 2 + 1 ab + a + b c, a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 a ( b + c + d +e ) Giải: a , + 2 b 2 ab a 4 <=> 4a 2 + b 2 4ab <=> 4a 2 4ab + b 2 0 <=> (2a b) 2 0 (Bất đẳng thức này luôn đúng ) Vậy: + 2 b 2 ab a 4 (Dấu bằng xảy ra khi 2a = b ) b, a 2 + b 2 + 1 ab + a + b <=> 2 ( a 2 + b 2 +1 ) 2 ( ab + a + b ) <=> a 2 - 2ab + b 2 + a 2 - 2a + 1 + b 2 -2b + 1 0 <=> ( a b) 2 + (a- 1 ) 2 + ( b-1) 2 0 (*) => BĐT (*) đúng Vậy: a 2 + b 2 +1 ab +a +b. Dấu bằng xảy ra khi: a = b =1 . c, a 2 + b 2 + c 2 +d 2 +e 2 a( b + c + d +e ) 4( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 +e 2 ) 4a( b + c + d + e) (a 2 - 4ab + 4b 2 )+( a 2 -4ac + 4c 2 )+(a 2 -4ad + 4d 2 )+(a 2 - 4ac + 4c 2 ) 0 (a - 2b) 2 + ( a -2c) 2 + (a -2d) 2 + ( a -2c) 2 0 =>BĐT đúng , vậy ta có điều phải chứng minh . Ví dụ 2: CMR : ( a 10 + b 10 )(a 2 + b 2 ) > ( a 8 + b 8 )( a 4 + b 4 ) (*) Giải : Ta có (*) tơng đơng với : a 12 + a 10 b 2 + a 2 b 10 + b 12 > a 12 + a 8 b 4 + a 4 b 8 + b 12 a 10 b 2 - a 8 b 4 + a 2 b 10 -a 4 b 8 > 0 a 8 b 2 ( a 2 - b 2 )( a 6 - b 6 ) > 0 a 2 b 2 ( a 2 - b 2 ) 2 ( a 4 + a 2 b 2 +a 4 ) > 0 BĐT cuối đúng, ta có điều phải chứng minh. Chú ý: ở đây ta dùng hằng đẳng thức : x 3 y 3 = ( x y ) ( x 2 + xy + y 2 ) với x=a 2 ; y =b 2 Ph Ph ơng pháp 2: ơng pháp 2: sử dụng bất đẳng thức Côsi Cho n số a 1 , a 2 , , a n không âm, TBC của chúng không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng: Đẳng thức xảy ra khi x 1 = x 2 = =x n Một số chú ý khi áp dụng BĐT CÔSI : Phýừng phỏp 3: Dựng B T Cụsi 1, Cần chỉ rõ BĐT Côsi đợc áp dụng cho những số không âm nào . o Đặc biệt với n = 2 ta có những BĐT quen thuộc : (1) ( a , b 0 ) 4ab ( a + b) 2 ( 2) (3) (nhân vế với vế của (1) và (2)) (*) Phýừng phỏp 3: Dựng B T Cụsi b, Đặc biệt với n =3. Ta có những BĐT quen thuộc : . x + y + z (1) ( x , y , z 0 ) . xyz . (2) Từ (1) và (2). Ta có : ( x + y + z) 9 Phýừng phỏp 3: Dựng B T Cụsi c , Với n = a i ( a 1 + a 2 + +a n ) n 2 ( a i > 0 ) Khi dùng phải chứng minh nh n =2 , n =3 . Phýừng phỏp 3: Dựng B T Cụsi d, Khi áp dụng BĐT CÔSI thờng không phải chỉ áp dụng một lần đã đợc kết quả. Có thể phải ghép hai hoặc ba lần với từng cặp các số. Hơn nữa cần chú ý tới các đại lợng để tham gia vào bất đẳng thức CÔSI áp dụng BĐT CÔSI ta chứng minh đợc: (* ) Phýừng phỏp 3: Dựng B T Cụsi Ví dụ 1: Cho các số dơng x, y, z, t thoả mãn : x + y + z + t = 1 CMR : Giải : áp dụng liên tiếp BĐT (*) ta có : = 4 . Suy ra : 16 Đẳng thức xảy ra khi x = y =z =t = Phýừng phỏp 3: Dựng B T Cụsi ví dụ 2: cho a , b , c là các số không âm . Chứng minh rằng : (a+b) (b+c ) (c + a) 8 abc Giải : áp dụng BĐT CÔSI ta có : a+b 2 b+c 2 c +a 2 => (a+b)(b+c )(c + a) 8 abc Phýừng phỏp 4: Dựng B T Dựng B T Bunhia Bunhia cụpski cụpski Cho 2n số tuỳ ý : a 1 , a 2 , a 3 , , a n b 1 , b 2 , b 3 , , b n Ta có : (a 1 2 + a 2 2 + +a n 2 )( b 1 2 +b 2 2 + .+ b n 2 ) ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n ) 2 Đẳng thức xảy ra khi : quy ớc : Nếu b i = 0 thì a i = 0 Một số chú ý : BCS không yêu cầu các số phải không âm, nên trong BCS có thể sinh ra dấu - ở vế phải * Nếu a i > 0, b i > 0 Ta có thể áp dụng BCS cho các số : Phýừng phỏp 4: Dựng B T Dựng B T Bunh Bunh iacụpski iacụpski (a 1 2 /b 1 + a 2 2 /b 2 + .+ a n 2 /b n )(b 1 + b 2 + + b n ) (a 1 + a 2 + .+ a n ) 2 => a 1 2 /b 1 + a 2 2 /b 2 + + a n 2 /b n ( a 1 + a 2 + + a n ) 2 /( b 1 + b 1 + +b n ) => Đây là BĐT SVAC X *Nếu cho b i =1 Ta có : n ( a 1 2 + a 2 2 + .+ a n 2 ) ( a 1 + a 2 + .+ a n ) 2 Phýừng phỏp 4: Dựng B T Dựng B T Bunh Bunh iacụpski iacụpski * Nếu ai và b i 0, áp dụng BCS cho ( i = 1; 2 ; 3 ; .; n ) ta có BĐT: (a 1 + a 2 + +a n )( b 1 + b 2 + + b n ) => Nếu chọn b i = 1 thì ta có : *Với n =2 ta có BĐT quen thuộc : ( x 2 + y 2 ) ( a 2 + b 2 ) ( ax + by ) 2 Phýừng phỏp 4: Dựng B T Dựng B T Bunh Bunh iacụpski iacụpski *Với n = 3 Ta có : ( x 2 + y 2 +z 2 ) ( a 2 + b 2 + c 2 ) ( ax + by + cz ) 2 Cũng nh BĐT CÔ SI cần đặc biệt chú ý việc chọn đại lợng tham gia vào BĐT. Trong rất nhiều trờng hợp cần phải phối hợp giữa CÔSI và BCS . . Ví dụ 1 : Cho 3 số a ; b ; c 0 . CMR : Phýừng phỏp 4: Dựng B T Dựng B T Bunh Bunh iacụpski iacụpski Giải Ta có : áp dụng BĐT BCS cho hai bộ số : v => Suy ra : Phýừng phỏp 4: Dựng B T Dựng B T Bunh Bunh iacụpski iacụpski Ví dụ 2: Cho x; y; z thoả mãn điều kiện : x 2 + y 2 + z 2 = 1 . CMR : Giải : p dụng BĐT BCS Ta đợc : (x +2y + 3z ) 2 ( 1 2 + 2 2 + 3 2 )(x 2 + y 2 + z 2 ) 14 => Suy ra : Phýừng phỏp 4: Dựng B T Dựng B T Bunh Bunh iacụpski iacụpski Ví dụ 3 : CMR : a 2 + b 2 + c 2 > ab + bc + ca Giải : Dùng BĐT BCS . Xét cặp số ( 1;1;1 ) và ( a, b, c ) ta có : (1 2 + 1 2 + 1 2 ) (a 2 + b 2 + c 2 ) > (1 .a + 1 . b + 1. c ) 2 => 3(a 2 + b 2 + c 2 ) > (a 2 + b 2 + c 2 ) + 2(ab + bc + ca) => a 2 + b 2 + c 2 > ab + bc + ca . Điều phải chứng minh Phýừng phỏp 5: S S d d ng tớnh ch ng tớnh ch t t b b c c c c u u L u ý : A > B và B > C thì A > C 0 < x < 1 thì x 2 < x Ví dụ 1: Cho a , b , c , d > 0 thoả mãn: a > c + d ; b > c + d Chứng minh : ab > ad + bc Giải : Ta có : a > c + d và b > c + d => a c > d > 0 và b d >c >0 => ( a c ) ( b d ) > cd <=> ab ad - bc + cd > cd <=> ab > ad + bc ( iều phải chứng minh ) Phýừng phỏp 5: S S d d ng tớnh ch ng tớnh ch t t b b c c c c u u Ví dụ 2 : Cho a , b , c > 0 thoả mãn a 2 + b 2 + c 2 = Chứng minh rằng : Giải : Ta có : ( a + b c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2( ab ac bc ) > 0 => ac + bc - ab < ( a 2 + b 2 +c 2 ) ac + bc - ab < 1 Chia cả 2 vế cho abc > 0 ta có : ( iều phải chứng minh ) Phýừng phỏp 5: S S d d ng tớnh ch ng tớnh ch t t b b c c c c u u Ví dụ 3 : Cho 0 < a , b , c , d < 1 . CMR : ( 1 a)( 1- b )( 1- c )(1 d ) > 1 a b c d Giải : Ta có ( 1 a)( 1- b) = 1 a b + ab Do a > 0 , b > 0 Nên ab > 0 => ( 1 a)( 1- b ) > 1 a b (1 ) Do c< 1 nên 1- c > 0 Ta có (1-a)( 1 b)( 1- c) > ( 1 a b )( 1 c ) =1 a- b- c+ca+bc Do a , b , c, d > 0 nên ca + bc > 0 => ( 1 a)( 1 b )( 1 c ) > 1 a- b c (2 ) => ( 1 a)( 1- b )( 1- c )( 1 d ) > ( 1 a b c )( 1 d ) =1 a b c d + ad + bd + cd =>(1 a )(1- b)(1 c)( 1-d) > 1 a b c d ( Điều phải chứng minh ) Phýừng phỏp 5: S S d d ng tớnh ch ng tớnh ch t t b b c c c c u u Ví dụ 4 : So sánh 31 11 & 17 14 Giải : Ta thấy: 31 11 < 32 11 = ( 2 5 ) 11 = 2 55 < 2 56 Mặt khác: 2 56 = 2 4 . 14 = ( 2 4 ) 14 = 16 14 < 17 14 => 2 56 < 17 14 => 2 55 < 17 14 => Vậy 31 11 < 17 14 Phýừng phỏp 6: ỏnh giỏ i din Để chứng minh A < B ta tìm một biểu thức C rồi chứng minh : A < C < B Khi đánh giá đại diện thờng đợc kết hợp với phơng pháp làm trội và phơng pháp triệt tiêu dần Ví dụ 1 : a , b , c là độ dài 3 cạnh của tam giác, x ,y ,z là độ dài các đờng phân giác trong tam giac ABC. CMR : Phýừng phỏp 6: ỏnh giỏ i din Giải : S ABC = bc SinA = bxSin + cxSin bcSinA=bxSin + cxSin 2bcSin Cos = x(b + c)Sin 2bcCos = x( b + c) (1) Phýừng phỏp 6: ỏnh giỏ i din Tơng tự : (2) (3) Phýừng phỏp 6: ỏnh giỏ i din Cộng vế với vế (1);(2);(3) : Cách khác : (1) Phýừng phỏp 6: ỏnh giỏ i din Biểu thức tơng tự : (2) (3) Cộng vế vế (1),(2),(3): Ta đợc : Ph ơng pháp 7: Dùng BĐT trong Dùng BĐT trong tam giác tam giác L u ý : Nếu a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác thì: a , b , c > 0 và < a < b +c ; < c < a + b ; <b < a+ c Ví dụ : cho a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác chứng minh rằng : a, a 2 + b 2 +c 2 < 2( ab +bc +ca ) b, abc > ( a + b c)( b+c-a )(c +a b ) Ph ơng pháp 7: Dùng BĐT trong Dùng BĐT trong tam giác tam giác Giải : a , Vì a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác nên ta có: 0 < a < b + c a 2 < a(b + c) 0 < b < a + c => b 2 < b( a+c) 0 < c < a + b c 2 < c(a+ b) Cộng từng vế bất đẳng thức trên ta có: a 2 +b 2 +c 2 < 2( ab +bc +ca) ( iều phải chứng minh ) Ph ơng pháp 7: Dùng BĐT trong Dùng BĐT trong tam giác tam giác b, Ta có : a> => a 2 > a 2 (b-c) 2 > 0 b> => b 2 > b 2 -(c-a) 2 > 0 c> => c 2 > c 2 (a-b) 2 > 0 Nhân vế các BĐT ta đợc : a 2 b 2 c 2 > a 2 b 2 c 2 > ( a+b-c) 2 (b+c-a) 2 (c+a-b) 2 abc > ( a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) ( iều phải chứng minh ) PHƯƠNG PHáP 8 PHƯƠNG PHáP 8 : : Sử dụng bất ph Sử dụng bất ph ơng ơng trình bậc 2 trình bậc 2 Nếu a x b <=>(x-a)(x-b) 0 để bất phơng trình : ax 2 + bx + c 0 với a>0 có nghiệm thì 0 Ví dụ 1 Ví dụ 1 : : Cho 2 số x,y thoả mãn điều kiện : (x+y+1) 2 + 5(x+y) + 9 +y 2 = 0 CMR : -5 x+ y -2 Giải Giải : : Đặt x + y= t ta có : (t+1) 2 +5t +9 = -y 2 0 t 2 +7t +10 0 -5 t -2 => Vậy -5 x+ y -2 (đpcm) PHƯƠNG PHáP 8 PHƯƠNG PHáP 8 : : Sử dụng bất ph Sử dụng bất ph ơng ơng trình bậc 2 trình bậc 2 Ví dụ 2 Ví dụ 2 : : Cho 9x 2 + 5y 2 +12xy +15x +10y +6 = 0 CMR : -3 3x+2y -2 Giải Giải : : 9x 2 +4y 2 +12xy + 15x +10y +6 +y 2 =0 (3x +2y ) 2 +5(3x+2y) +6 +y 2 =0 Đặt :3x +2y = t ta đợc : t 2 + 5t +6 = - y2 0 => -3 t -2 => Vậy : -3 3x+2y -2 PHƯƠNG PHáP 9 PHƯƠNG PHáP 9 : : Dùng tam thức Dùng tam thức bậc 2 bậc 2 L L u ý u ý : : Cho tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c Nếu < 0 thì a.f(x) > 0 x Nếu = 0 thì a.f(x) > 0 Nếu > 0 thì a.f(x) >0 với x< x 1 hoặc x > x 2 a.f(x) <0 với x 1 < x < x 2 PHƯƠNG PHáP 9 PHƯƠNG PHáP 9 : : Dùng tam thức Dùng tam thức bậc 2 bậc 2 Ví dụ 1 Ví dụ 1 : : Chứng minh rằng : f(x,y) = x 2 +5y 2 4xy +2x 6y +3 > 0 (1) Giải Giải : : Ta có (1) x 2 - 2x(2y-1) +5y 2 - 6y +3 > 0 ' = (2y 1) 2 5y 2 + 6y 3 = 4y 2 4y +1 -5y 2 6y 3 = - (y-1) 2 1 <0 Vậy f(x,y) > 0 x,y Vậy f(x,y) > 0 x,y PHƯƠNG PHáP 9 PHƯƠNG PHáP 9 : : Dùng tam thức Dùng tam thức bậc 2 bậc 2 Ví dụ 2 Ví dụ 2 : : Chứng minh rằng : f(x,y) = x 2 y 4 +2(x 2 +2 )y 2 + 4xy + x 2 4xy 3 (2) Giải Giải : : Bất đẳng thức (2) tơng đơng với : x 2 y 4 + 2(x 2 + 2)y 2 + 4xy + x 2 4xy 3 0 (y 2 +1) 2 x 2 + 4y(1-y 2 )x +4y 2 0 ta có : ' = 4y 2 (1-y 2 ) 2 - 4y 2 (y 2 +1) 2 = 4y 2 [(1-y 2 ) 2 (y 2 +1) 2 ] [...]... sử cả 3 BĐT đều đúng: (1) x2 (y- z)2 < 0 (x y +z )(x+ y z) < 0 (2) y2 (z x)2 < 0 (y z + x)(y+ z x) < 0 (3) z2 (x-y)2 < 0 ( z- x + y)( z+ x y) < 0 Nhân vế với vế (1) ; (2) ;(3) ta đợc: (-x+ y+z )2(x y +z )2(x + y z )2 < 0 (Vô lý) Vậy : Trong 3 bất đẳng thức đã cho ít nhất có 1 bất đẳng thức sai Phơng pháp 10 : Chứng minh phản chứng Ví dụ 2: Cho x,y,z > 0 và xyz=1 CMR : Nếu thì... làm giảm Ví dụ 1: Cho n > 1 CMR: Giải: Ta có: Vậy: Phơng pháp 11: Phơng pháp làm Với n=2 thì trội, làm giảm Với thì Vậy với n >1 thì Nên với n >1 thì Phơng pháp 11: Phơng pháp làm trội, làm giảm Ví dụ 2: CMR: Giải: Có Vậy: Phơng pháp 12: Phơng pháp quy nạp toán học Ví dụ 3: CMR: n dấu căn Giải: Thử với n=1: đúng Giả sử biểu thức đúng với n=k k dấu căn Ta phải CM biểu thức đúng với n= k+1 k+1 dấu... Phơng pháp 12: Phơng pháp quy nạp toán học Vớ d 4: CMR: vi ta cú: Gii: Th vi n=1: ỳng Gi s mnh ỳng vi n=k: Ta cn CM mnh ỳng vi n =k+1 Tht vy: Vỡ: V Phơng pháp 12: Phơng pháp quy nạp toán học =>Để so sánh (1) và (2), ta đi so sánh và (Do và Với ) Ta thấy: Vậy (1) > (2) hay Tóm lại mệnh đề đúng với Phơng pháp 13: Đổi biến Ví dụ 5: Cho a + b + c = 1 CMR: Giải: Đặt: Từ a + b + c = 1, ta có: Hay x +... Giải: Đặt: Từ Ví dụ 6: Cho Phơng pháp 13: PP Đổi biến CMR: , ta có: Do (dấu bằng xảy ra x=0) Mà Vậy Phơng pháp 14: Phơng pháp xét miền giá trị của biến Ví dụ 7: CMR Giải: (xét từng khoảng giá trị của biến) Nếu x=1 => A =1 > 0 Nếu Có Nếu thì Nếu thì Vậy trong mọi trờng hợp , ta đều có Phơng pháp 14: Phơng pháp xét miền giá trị của biến Ví dụ 8: CMR: Giải: (Xét khoảng giá trị của biến) Nếu Nếu nếu...= 4y2(1-y2+y2 +1)(1- y2 y2 1) =4y2.2.(-2y2) = -16 y4 0 vì a = (y2 +1)2 > 0 => Vậy f(x,y) > 0 (đpcm) Phơng pháp 10 : Chứng minh phản chứng Lu ý : Giả sử phải chứng minh BĐT nào đó đúng ta hãy giả sử BĐT đó sai và kết hợp với các giả thiết suy ra điều vô lý Điều vô lý có thể là điều trái giả thiết . y z ) 2 < 0 (Vô lý) Vậy : Trong 3 bất đẳng thức đã cho ít nhất có 1 bất đẳng thức sai . Vậy : Trong 3 bất đẳng thức đã cho ít nhất có 1 bất đẳng thức sai . Ph Ph ơng pháp 10 ơng pháp. : Dùng tam thức Dùng tam thức bậc 2 bậc 2 Ví dụ 2 Ví dụ 2 : : Chứng minh rằng : f(x,y) = x 2 y 4 +2(x 2 +2 )y 2 + 4xy + x 2 4xy 3 (2) Giải Giải : : Bất đẳng thức (2) tơng. Chú ý: ở đây ta dùng hằng đẳng thức : x 3 y 3 = ( x y ) ( x 2 + xy + y 2 ) với x=a 2 ; y =b 2 Ph Ph ơng pháp 2: ơng pháp 2: sử dụng bất đẳng thức Côsi Cho n số a 1 , a 2

Ngày đăng: 09/07/2014, 22:00

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • CHUYêN Đề CHNG MINH BT ĐNG THC

    • 1 . Định nghĩa :

    • - BĐT là 1 hệ thức có một trong các dạng : A > B ; A < B ; A B ; A B

    • (A , B là các biểu thức số hay chữ )

    • 2 . Tính chất BĐT số :

    • . a > b a - b > 0

    • . a > b và b > c a > c

    • . a > b a + c > b+ c

    • . a > b và c > d a + c > b+ d

    • . a > b ac > bc nếu c > 0

    • ac < bc nếu c < 0

    • . a > b > 0 và c > d > 0 ac > bd

    • .

    • . a > b > 0 và n nguyên dương

    • . a > b > 0 và n nguyên dương

    • 3. Một số hằng BĐT :

    • . A2 0 với mọi A dấu bằng xảy ra A =0

    • . |A| 0 với mọi A dấu bằng xảy ra A = 0

    • . - |A| < A < |A|

    • . |A + B| |A| + |B| dấu bằng xảy ra AB 0

    • . |A - B| |A| - |B|

  • Phương pháp 1: Dùng định nghĩa

    • Kiến thức : Để chứng minh A > B ta đi chứng minh A - B > 0.

    • Lưu ý : dùng hằng BĐT M2 0 với mọi M.

    • Ví dụ 1 : với mọi x, y, z chứng minh rằng:

    • a, x + y + z xy + yz + zx

    • b, x + y + z 2xy - 2xz + 2yz

    • c, x + y + z + 3 2( x + y + z )

    • Giải : a,Ta xét hiệu : x + y + z - xy - yz xz = =

    • Vậy x + y +z xy + yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z

    • b,Ta xét hiệu : x +y + z - ( 2xy -2 xz + 2yz) = x + y + z - 2xy + 2xz - 2 yz

    • = ( x - y + z ) 0. Vậy x + y + z 2xy 2xz +2yz .

    • Dấu bằng xảy ra khi x + z =y

    • c,Ta xét hiệu : x + y + z + 3 - 2( x + y + z) = x - 2x + 1 + y - 2y + 1 + z 2z + 1

    • = ( x -1 ) + (y 1 ) + ( z -1 ) > 0.

    • Dấu bằng xảy ra khi x = y =z =1 .

    • Ví dụ 2 : CMR : a,

    • b,

    • Giải :

    • a , Ta xét hiệu :

    • Vậy : Dấu bằng xảy ra khi a = b

    • b, Ta xét hiệu :

    • Vậy:

    • Dấu bằng xảy ra khi a =b =c .

    • Tổng quát :

    • ( a12 + a22 +..+ an2 ): n (( a1 + a2 + ..+ an) : n )2

    • Tóm lại : Các bước để chứng minh A B theo định nghĩa :

    • Bước I: Ta xét hiệu H = A B

    • Bước II: Biến đổi

    • H =(C D)2 Hoặc H =(C D)2 ++ ( E F)2

    • Bước III: Kết luận A B

    • Lưu ý : Ta biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng minh là đúng .

    • Chú ý : Các hằng đẳng thức sau :

    • (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

    • (A+B+ C )2 = A2 +B2 +C2 +2AB +2AC + 2BC

    • (A + B )3 =A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

    • Ví dụ1 : Cho a, b, c, d, e là các số thực. CMR :

    • a ,

    • b , a2 + b2 + 1 ab + a + b

    • c, a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a ( b + c + d +e )

    • Giải: a ,

    • <=> 4a2 + b2 4ab <=> 4a2 4ab + b2 0

    • <=> (2a b)2 0 (Bất đẳng thức này luôn đúng )

    • Vậy: (Dấu bằng xảy ra khi 2a = b )

    • b, a2 + b2 + 1 ab + a + b

    • <=> 2 ( a2 + b2 +1 ) 2 ( ab + a + b )

    • <=> a2 - 2ab + b2 + a2 - 2a + 1 + b2 -2b + 1 0

    • <=> ( a b)2 + (a- 1 )2 + ( b-1)2 0 (*)

    • => BĐT (*) đúng

    • Vậy: a2 + b2 +1 ab +a +b. Dấu bằng xảy ra khi: a = b =1 .

    • c, a2 + b2 + c2 +d2+e2 a( b + c + d +e )

    • 4( a2 + b2 + c2 + d2 +e2) 4a( b + c + d + e)

    • (a2 - 4ab + 4b2)+( a2 -4ac + 4c2 )+(a2 -4ad + 4d2)+(a2 - 4ac + 4c2) 0

    • (a - 2b)2 + ( a -2c)2 + (a -2d)2 + ( a -2c)2 0

    • =>BĐT đúng , vậy ta có điều phải chứng minh .

    • Ví dụ 2: CMR :

    • ( a10 + b10)(a2 + b2) > ( a8 + b8 )( a4 + b4) (*)

    • Giải : Ta có (*) tương đương với :

    • a12 + a10b2 + a2b10 + b12 > a12 + a8b4 + a4b8 + b12

    • a10b2 - a8b4 + a2b10 -a4b8 > 0

    • a8b2 ( a2 - b2 )( a6 - b6 ) > 0

    • a2 b2 ( a2 - b2)2( a4 + a2b2 +a4 ) > 0

    • BĐT cuối đúng, ta có điều phải chứng minh.

    • Chú ý: ở đây ta dùng hằng đẳng thức :

    • x3 y3 = ( x y ) ( x2 + xy + y2 ) với x=a2; y =b2

    • Phương pháp 2: sử dụng bất đẳng thức Côsi

    • Cho n số a1, a2 , ..., an không âm, TBC của chúng không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng:

    • Đẳng thức xảy ra khi x1 = x2 = ..=xn

    • Một số chú ý khi áp dụng BĐT CÔSI :

  • Phýừng phỏp 3: Dựng BT Cụsi

    • 1, Cần chỉ rõ BĐT Côsi được áp dụng cho những số không âm nào .

    • Đặc biệt với n = 2 ta có những BĐT quen thuộc :

    • (1) ( a , b 0 )

    • 4ab ( a + b)2

    • ( 2)

    • (3) (nhân vế với vế của (1) và (2))

    • (*)

  • Phýừng phỏp 3: Dựng BT Cụsi

    • b, Đặc biệt với n =3. Ta có những BĐT quen thuộc :

    • . x + y + z (1) ( x , y , z 0 )

    • . xyz

    • . (2)

    • Từ (1) và (2). Ta có :

    • ( x + y + z) 9

  • Phýừng phỏp 3: Dựng BT Cụsi

    • c , Với n = ai

    • ( a1 + a2 + +an ) n2

    • ( ai > 0 )

    • Khi dùng phải chứng minh như n =2 , n =3 .

  • Phýừng phỏp 3: Dựng BT Cụsi

    • d, Khi áp dụng BĐT CÔSI thường không phải chỉ áp dụng một lần đã được kết quả. Có thể phải ghép hai hoặc ba lần với từng cặp các số. Hơn nữa cần chú ý tới các đại lượng để tham gia vào bất đẳng thức CÔSI

    • áp dụng BĐT CÔSI ta chứng minh được:

    • (* )

  • Phýừng phỏp 3: Dựng BT Cụsi

    • Ví dụ 1: Cho các số dương x, y, z, t thoả mãn :

    • x + y + z + t = 1

    • CMR :

    • Giải : áp dụng liên tiếp BĐT (*) ta có :

    • = 4 .

    • Suy ra : 16

    • Đẳng thức xảy ra khi x = y =z =t =

  • Phýừng phỏp 3: Dựng BT Cụsi

    • ví dụ 2: cho a , b , c là các số không âm . Chứng minh rằng :

    • (a+b) (b+c ) (c + a) 8 abc

    • Giải : áp dụng BĐT CÔSI ta có :

    • a+b 2 b+c 2

    • c +a 2

    • => (a+b)(b+c )(c + a) 8 abc

  • Phýừng phỏp 4: Dựng BT Bunhiacụpski

    • Cho 2n số tuỳ ý : a1 , a2 , a3 , .., an

    • b1 , b2 , b3 , .., bn

    • Ta có :

    • (a12 + a22 + ..+an2)( b12 +b22 +.+ bn2) ( a1b1 + a2b2 +..+ anbn )2

    • Đẳng thức xảy ra khi :

    • quy ước : Nếu bi = 0 thì ai = 0

    • Một số chú ý : BCS không yêu cầu các số phải không âm, nên trong BCS có thể sinh ra dấu - ở vế phải

    • * Nếu ai > 0, bi > 0 Ta có thể áp dụng BCS cho các số :

  • Phýừng phỏp 4: Dựng BT Bunhiacụpski

    • (a12/b1 + a22/b2 +.+ an2/bn)(b1 + b2 ++ bn) (a1 + a2 + .+ an )2

    • => a12/b1 + a22/b2 ++ an2/bn

    • ( a1 + a2 ++ an )2/( b1 + b1 + +bn)

    • => Đây là BĐT SVAC X

    • *Nếu cho bi =1 Ta có :

    • n ( a12 + a22 + .+ an2 ) ( a1 + a2 + .+ an)2

  • Phýừng phỏp 4: Dựng BT Bunhiacụpski

    • * Nếu ai và b i 0, áp dụng BCS cho

    • ( i = 1; 2 ; 3 ; .; n ) ta có BĐT:

    • (a1 + a2+ +an)( b1 + b2 ++ bn)

    • =>

    • Nếu chọn bi = 1 thì ta có :

    • *Với n =2 ta có BĐT quen thuộc :

    • ( x2 + y2 ) ( a2 + b2) ( ax + by )2

  • Phýừng phỏp 4: Dựng BT Bunhiacụpski

    • *Với n = 3 Ta có :

    • ( x2 + y2 +z2) ( a2 + b2 + c2 ) ( ax + by + cz )2

    • Cũng như BĐT CÔ SI cần đặc biệt chú ý việc chọn đại lượng tham gia vào BĐT.

    • Trong rất nhiều trường hợp cần phải phối hợp giữa

    • CÔSI và BCS .

    • . Ví dụ 1 :

    • Cho 3 số a ; b ; c 0 . CMR :

  • Phýừng phỏp 4: Dựng BT Bunhiacụpski

    • Giải

    • Ta có :

    • áp dụng BĐT BCS cho hai bộ số :

    • v

    • => Suy ra :

  • Phýừng phỏp 4: Dựng BT Bunhiacụpski

    • Ví dụ 2:

    • Cho x; y; z thoả mãn điều kiện : x2 + y2 + z2 = 1 .

    • CMR :

    • Giải : p dụng BĐT BCS Ta được :

    • (x +2y + 3z )2 ( 12 + 22 + 32)(x2 + y2 + z2) 14

    • => Suy ra :

  • Phýừng phỏp 4: Dựng BT Bunhiacụpski

    • Ví dụ 3 : CMR : a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca

    • Giải : Dùng BĐT BCS .

    • Xét cặp số ( 1;1;1 ) và ( a, b, c ) ta có :

    • (12 + 12 + 12) (a2 + b2 + c2) > (1 .a + 1 . b + 1. c )2

    • => 3(a2 + b2 + c2) > (a2 + b2+ c2) + 2(ab + bc + ca)

    • => a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca .

    • Điều phải chứng minh

  • Phýừng phỏp 5: S dng tớnh cht bc cu

    • Lưu ý : A > B và B > C thì A > C

    • 0 < x < 1 thì x2 < x

    • Ví dụ 1: Cho a , b , c , d > 0 thoả mãn:

    • a > c + d ; b > c + d

    • Chứng minh : ab > ad + bc

    • Giải : Ta có : a > c + d và b > c + d => a c > d > 0

    • và b d >c >0

    • => ( a c ) ( b d ) > cd

    • <=> ab ad - bc + cd > cd

    • <=> ab > ad + bc (iều phải chứng minh )

  • Phýừng phỏp 5: S dng tớnh cht bc cu

    • Ví dụ 2 : Cho a , b , c > 0 thoả mãn a2 + b2 + c2 =

    • Chứng minh rằng :

    • Giải : Ta có :

    • ( a + b c )2 = a2 + b2 + c2 + 2( ab ac bc ) > 0

    • => ac + bc - ab < ( a2 + b2 +c2 )

    • ac + bc - ab < 1

    • Chia cả 2 vế cho abc > 0 ta có :

    • (iều phải chứng minh )

  • Phýừng phỏp 5: S dng tớnh cht bc cu

    • Ví dụ 3 : Cho 0 < a , b , c , d < 1 . CMR :

    • ( 1 a)( 1- b )( 1- c )(1 d ) > 1 a b c d

    • Giải : Ta có ( 1 a)( 1- b) = 1 a b + ab

    • Do a > 0 , b > 0 Nên ab > 0 => ( 1 a)( 1- b ) > 1 a b (1 )

    • Do c< 1 nên 1- c > 0

    • Ta có (1-a)( 1 b)( 1- c) > ( 1 a b )( 1 c ) =1 a- b- c+ca+bc

    • Do a , b , c, d > 0 nên ca + bc > 0

    • => ( 1 a)( 1 b )( 1 c ) > 1 a- b c (2 )

    • => ( 1 a)( 1- b )( 1- c )( 1 d ) > ( 1 a b c )( 1 d )

    • =1 a b c d + ad + bd + cd

    • =>(1 a )(1- b)(1 c)( 1-d) > 1 a b c d

    • ( Điều phải chứng minh )

  • Phýừng phỏp 5: S dng tớnh cht bc cu

    • Ví dụ 4 : So sánh 3111 & 1714

    • Giải : Ta thấy:

    • 3111 < 3211 = ( 25 )11 = 255 < 256

    • Mặt khác: 256 = 24 . 14 = ( 24 )14 = 1614 < 1714

    • => 256 < 1714 => 255 < 1714

    • => Vậy 3111 < 1714

  • Phýừng phỏp 6: ỏnh giỏ i din

    • Để chứng minh A < B ta tìm một biểu thức C rồi chứng minh : A < C < B

    • Khi đánh giá đại diện thường được kết hợp với phương pháp làm trội và phương pháp triệt tiêu dần

    • Ví dụ 1 : a , b , c là độ dài 3 cạnh của tam giác, x ,y ,z là độ dài các đường phân giác trong tam giac ABC. CMR :

  • Phýừng phỏp 6: ỏnh giỏ i din

    • Giải : S ABC = bc SinA = bxSin + cxSin

      • bcSinA=bxSin + cxSin

    • 2bcSin Cos = x(b + c)Sin

    • 2bcCos = x( b + c)

    • (1)

  • Phýừng phỏp 6: ỏnh giỏ i din

    • Tương tự :

    • (2)

    • (3)

  • Phýừng phỏp 6: ỏnh giỏ i din

    • Cộng vế với vế (1);(2);(3) :

    • Cách khác :

    • (1)

  • Phýừng phỏp 6: ỏnh giỏ i din

    • Biểu thức tương tự :

    • (2)

    • (3)

    • Cộng vế vế (1),(2),(3): Ta được :

  • Phương pháp 7: Dùng BĐT trong tam giác

    • Lưu ý : Nếu a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác thì:

    • a , b , c > 0 và

    • < a < b +c ; < c < a + b ; <b < a+ c

    • Ví dụ : cho a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác chứng minh rằng :

    • a, a2 + b2 +c2 < 2( ab +bc +ca )

    • b, abc > ( a + b c)( b+c-a )(c +a b )

  • Phương pháp 7: Dùng BĐT trong tam giác

    • Giải :

    • a , Vì a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác nên ta có:

    • 0 < a < b + c a2 < a(b + c)

    • 0 < b < a + c => b2 < b( a+c)

    • 0 < c < a + b c2 < c(a+ b)

    • Cộng từng vế bất đẳng thức trên ta có:

    • a2 +b2 +c2 < 2( ab +bc +ca)

    • ( iều phải chứng minh )

  • Phương pháp 7: Dùng BĐT trong tam giác

    • b, Ta có : a> => a2> a2 (b-c)2 > 0

    • b> => b2 > b2-(c-a)2 > 0

    • c> => c2 > c2 (a-b)2 > 0

    • Nhân vế các BĐT ta được :

    • a2b2c2 >

    • a2b2c2 > ( a+b-c)2(b+c-a)2(c+a-b)2

    • abc > ( a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)

    • (iều phải chứng minh )

  • PHƯƠNG PHáP 8: Sử dụng bất phương trình bậc 2

    • Nếu a x b <=>(x-a)(x-b) 0 để bất phương trình :

    • ax2 + bx + c 0 với a>0

    • có nghiệm thì 0

    • Ví dụ 1 : Cho 2 số x,y thoả mãn điều kiện :

    • (x+y+1)2 + 5(x+y) + 9 +y2 = 0

    • CMR : -5 x+ y -2

    • Giải : Đặt x + y= t ta có : (t+1)2 +5t +9 = -y2 0

    • t2 +7t +10 0

    • -5 t -2

    • => Vậy -5 x+ y -2 (đpcm)

  • PHƯƠNG PHáP 8: Sử dụng bất phương trình bậc 2

    • Ví dụ 2 : Cho 9x2 + 5y2 +12xy +15x +10y +6 = 0

    • CMR : -3 3x+2y -2

    • Giải :

    • 9x2 +4y2 +12xy + 15x +10y +6 +y2 =0

    • (3x +2y )2 +5(3x+2y) +6 +y2 =0

    • Đặt :3x +2y = t ta được : t2 + 5t +6 = - y2 0

    • => -3 t -2

    • => Vậy : -3 3x+2y -2

  • PHƯƠNG PHáP 9 : Dùng tam thức bậc 2

    • Lưu ý : Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c

    • Nếu < 0 thì a.f(x) > 0 x

    • Nếu = 0 thì a.f(x) > 0

    • Nếu > 0 thì a.f(x) >0 với x< x1 hoặc x > x2

    • a.f(x) <0 với x1 < x < x2

  • PHƯƠNG PHáP 9 : Dùng tam thức bậc 2

    • Ví dụ 1 : Chứng minh rằng :

    • f(x,y) = x2 +5y2 4xy +2x 6y +3 > 0 (1)

    • Giải :

    • Ta có (1) x2- 2x(2y-1) +5y2 - 6y +3 > 0

    • '= (2y 1)2 5y2 + 6y 3

    • = 4y2 4y +1 -5y2 6y 3

    • = - (y-1)2 1 <0

    • Vậy f(x,y) > 0 x,y

  • PHƯƠNG PHáP 9 : Dùng tam thức bậc 2

    • Ví dụ 2 : Chứng minh rằng :

    • f(x,y) = x2y4 +2(x2 +2 )y2 + 4xy + x2 4xy3 (2)

    • Giải :

    • Bất đẳng thức (2) tương đương với :

    • x2y4 + 2(x2 + 2)y2 + 4xy + x2 4xy3 0

    • (y2 +1)2x2 + 4y(1-y2)x +4y2 0

    • ta có : ' = 4y2(1-y2)2- 4y2(y2+1)2

    • = 4y2[(1-y2)2 (y2+1)2]

    • = 4y2(1-y2+y2 +1)(1- y2 y2 1)

    • =4y2.2.(-2y2) = -16 y4 0

    • vì a = (y2 +1)2 > 0

    • => Vậy f(x,y) > 0 (đpcm)

  • Phương pháp 10 : Chứng minh phản chứng

    • Lưu ý : Giả sử phải chứng minh BĐT nào đó đúng ta hãy giả sử BĐT đó sai và kết hợp với các giả thiết suy ra điều vô lý. Điều vô lý có thể là điều trái giả thiết có thể là điều trái ngược nhau. Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh là đúng .

    • Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Trong 3 BĐT sau phải có ít nhất một BĐT sai :

    • x2 < (y- z)2 (1)

    • y2 < ( z- x )2 (2)

    • z2 < ( x-y )2 (3)

    • Giải :

    • Giả sử cả 3 BĐT đều đúng:

    • (1) <=> x2 (y- z)2 < 0 (x y +z )(x+ y z) < 0

    • (2) <=> y2 (z x)2 < 0 (y z + x)(y+ z x) < 0

    • (3) <=> z2 (x-y)2 < 0 ( z- x + y)( z+ x y) < 0

    • Nhân vế với vế (1) ; (2) ;(3) ta được:

    • (-x+ y+z )2(x y +z )2(x + y z )2 < 0 (Vô lý)

    • Vậy : Trong 3 bất đẳng thức đã cho ít nhất có 1 bất đẳng thức sai .

  • Phương pháp 10 : Chứng minh phản chứng

    • Ví dụ 2:

    • Cho x,y,z > 0 và xyz=1. CMR : Nếu thì có một

    • và chỉ một trong ba số này lớn hơn 1

    • Giải :

    • Ta có (x-1)(y-1)(z-1) =xyz xy zy +x +y +z 1

    • =x+ y + z- ( ) vì xyz=1

    • Theo giả thiết nên (x-1)(y-1)(z-1) > 0

    • Trong 3 số x-1 ; y-1 ; z-1 chỉ có một số dương

    • Thật vậy nếu cả 3 số dương thì x,y,z >1=> xyz >1 (Trái với giả thiết)

    • Còn nếu 2 trong 3 số đó dương thì (x-1)(y-1)(z-1) < 0 (Vô lý )

    • Vậy có một và chỉ một trong ba số x,y,z lớn hơn 1

  • Phương pháp 11: Phương pháp làm trội, làm giảm

    • Ví dụ 1: Cho n > 1 CMR:

    • Giải:

    • Ta có:

    • Vậy:

    • .....

  • Phương pháp 11: Phương pháp làm trội, làm giảm

    • Với n=2 thì

    • Với thì

    • Vậy với n >1 thì

    • Nên với n >1 thì

  • Phương pháp 11: Phương pháp làm trội, làm giảm

    • Ví dụ 2: CMR:

    • Giải:

    • Vậy:

  • Phương pháp 12: Phương pháp quy nạp toán học

    • Ví dụ 3: CMR:

    • n dấu căn

    • Giải:

    • Thử với n=1: đúng

    • Giả sử biểu thức đúng với n=k

    • k dấu căn

    • Ta phải CM biểu thức đúng với n= k+1

    • k+1 dấu căn

    • Thật vậy mà

  • Phương pháp 12: Phương pháp quy nạp toán học

  • Phương pháp 12: Phương pháp quy nạp toán học

    • Vớ d 4: CMR: vi ta cú:

    • Gii:

    • Th vi n=1: ỳng.

    • Gi s mnh ỳng vi n=k:

    • Ta cn CM mnh ỳng vi n =k+1

    • Tht vy:

    • Vỡ:

  • Phương pháp 12: Phương pháp quy nạp toán học

    • V

    • =>Để so sánh (1) và (2), ta đi so sánh và

    • (Do và Với )

    • Ta thấy:

    • Vậy (1) > (2) hay

    • Tóm lại mệnh đề đúng với

  • Phương pháp 13: Đổi biến

    • Ví dụ 5: Cho a + b + c = 1 CMR:

    • Giải:

    • Đặt:

    • Từ a + b + c = 1, ta có: Hay x + y + z = 0

    • Dấu bằng xảy ra:

  • Phương pháp 13: PP Đổi biến

    • Ví dụ 6: Cho CMR:

    • Giải:

    • Đặt:

    • Từ , ta có:

    • Do

    • (dấu bằng xảy ra <=> x=0)

    • Vậy

  • Phương pháp 14: Phương pháp xét miền giá trị của biến

    • Ví dụ 7: CMR

    • Giải: (xét từng khoảng giá trị của biến)

    • Nếu x=1 => A =1 > 0

    • Nếu Có

    • Nếu thì Nếu thì

    • Vậy trong mọi trường hợp , ta đều có

  • Phương pháp 14: Phương pháp xét miền giá trị của biến

    • Ví dụ 8: CMR:

    • Giải:

    • (Xét khoảng giá trị của biến)

    • Nếu thì

    • Nếu thì

  • Phương pháp 14: Phương pháp xét miền giá trị của biến

    • = do với (dấu bằng xảy ra

    • với (dấu bằng xảy ra

    • với (dấu bằng xảy ra

    • với

    • với

    • nếu

    • nếu thì

    • Vậy với

    • Trên đây là môt số phương pháp chứng minh BĐT mà chúng tôi vẫn thường dùng để bổ xung cho học sinh trong quá trình dạy đại trà và dạy chất lượng mũi nhọn, các em đã được hiểu và vận dụng các BĐT có kết quả. Tuy nhiên ngoài các phương pháp trên các đồng chí có thể tham khảo các phương pháp khác như: Phương pháp quy nạp, phương pháp làm trội, phương pháp dùng véc tơ, phương pháp lượng giác, phương pháp miền giá trị, phương pháp đạo hàm mục tiêu để hướng dẫn học sinh trong quá trình làm bài tập .

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan