BẤT ĐẲNG THỨC HOÁN VỊ CÁC SỐ VÒNG QUANH

VII- Bất đẳng thức hoán vị các số vòng quanh Bài 134. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 1) b ca a bc c ab ab c ca b bc a 333 ++++ ; 2) b ca a bc c ab b ac a cb c ba 3 3 3 3 3 3 ++++ ; 3) b ca a bc c ab b ac a cb c ba 5 33 5 33 5 33 ++++ ; 4) b ca a bc c ab ab c ca b bc a 3 5 3 5 3 5 ++++ . Giải 1) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dơng, ta có: )1( c ab 2 ca b bc a 33 + ; )2( a bc 2 ab c ca b 33 + ; )3( b ca 2 bc a ab c 33 + Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta đợc b ca a bc c ab ab c ca b bc a 333 ++++ . (đpcm). Dấu = xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức cba ac cb ba bc a ab c ab c ca b ca b bc a 33 33 33 == = = = = = = . 2) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dơng, ta có: )1( c ab 2 a bc c ba 3 3 + ; )2( a bc 2 b ca a cb 3 3 + ; )3( b ca 2 c ab b ac 3 3 + . Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta đợc b ca a bc c ab b ac a cb c ba 3 3 3 3 3 3 ++++ . (đpcm). Dấu = xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức 171 cba abc cab bca c ba b ac b ac a cb a cb c ba 23 23 23 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 == = = = = = = . 3) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dơng, ta có: )1( c ab 3 b ca a bc c ba 5 33 ++ ; 3 3 5 3 . (2) b c ca ab bc a b c a + + 3 3 5 3 . (3) c a ab bc ca b c a b + + Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta đợc b ca a bc c ab b ac a cb c ba 5 33 5 33 5 33 ++++ . (đpcm) Dấu = xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức 172 cba ca bc ab a bc c ab b ac c ab b ca a cb b ca a bc c ba 5 33 5 33 5 33 == = = = == == == . 4) Bạn đọc tự chứng minh. Bài 135. Cho a, b, c > 0 thoả mãn abc =1 . Chứng minh rằng: 1) 3 2 3 2 3 2 4 6 4 6 4 6 a c c b b a a b b c c a ++++ ; 2) 3 2 3 2 3 2 111111 a c c b b a a c c b b a ++++ ; 3) 3 2 3 2 3 2 12 8 12 8 12 8 a c c b b a a c c b b a ++++ ; 4) 3 2 3 2 3 2 11 7 11 7 11 7 a c c b b a a b b c c a ++++ . Giải 1) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dơng, ta có: 6 6 3 2 2 4 4 2 3 3 2 2 2 ( 1 ). (1) a c a c a a abc do abc c b b b b + = = = )2( a c 2 a c abc2 a bc 2 a b b c 3 2 3 2 2 3 4 6 4 6 ==+ ; 6 6 3 2 2 4 4 2 3 3 2 2 2 . (3) b a b a b b abc a c c c c + = = Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta đợc 3 2 3 2 3 2 4 6 4 6 4 6 a c c b b a a b b c c a ++++ . (đpcm). Dấu = xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức 173 1cba 1abc ab bc ca 1abc acb bac cba 1abc c a a b a b b c b c c a 7 7 7 523 523 523 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 === = = = = = = = = = = = = . 2) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dơng, ta có: 2 4 2 11 3 9 3 3 6 3 2 2 2 ( 1). (1) ( ) a b a a a do abc b c b c abc b b + = = = Tơng tự, ta có: )2( c b 2 a c c b 3 2 3 2 11 + ; 2 2 11 3 3 2 . (3) c a c a b a + Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta đợc 3 2 3 2 3 2 111111 a c c b b a a c c b b a ++++ . (đpcm). Dấu = xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức 174 1cba 1abc ab ca bc 1abc acb cba bac 1abc b a a c a c c b c b b a 1310 1310 1310 1211 1211 1211 1111 1111 1111 === = = = = = = = = = = = = . 3) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dơng, ta có: 8 2 2 5 6 2 3 3 12 3 3 10 9 3 3 3 3 ( 1). (1) ( ) a b c a a a do abc b c a b c abc b b + + = = = Tơng tự, ta có: )2( c b 3 b a a c c b 3 2 3 2 3 2 12 8 ++ ; 8 2 2 2 12 3 3 3 3 . (3) c a b c a b c a + + Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta đợc 3 2 3 2 3 2 12 8 12 8 12 8 a c c b b a a c c b b a ++++ . (đpcm). Dấu = xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức 175 1cba 1abc a c c b b a cb ba ac 1abc a c c b b a acb cba bac 1abc c b b a a c b a a c c b a c c b b a 12 8 12 8 12 8 7 7 7 12 8 12 8 12 8 235 235 235 3 2 3 2 12 8 3 2 3 2 12 8 3 2 3 2 12 8 === = == = = = = == = = = = == == == . 4) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dơng, ta có: ( ) 7 7 2 4 6 2 3 3 11 11 3 2 11 2 9 3 3 3 3 1 . (1) ( ) a b a b b b do abc c a b a c abc c c + + = = = Tơng tự, ta có: )2( a c 3 c b b c a b 3 2 3 2 11 7 11 7 ++ ; 7 7 2 2 11 11 3 3 3 . (3) c a c a b c a b + + Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta đợc 3 2 3 2 3 2 11 7 11 7 11 7 a c c b b a a b b c c a ++++ . (đpcm). Dấu = xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức 176 1cba 1abc b c a b c a ac cb ba 1abc a c c a b c c b b c a b b a a b c a 11 7 11 7 11 7 1013 1013 1013 3 2 11 7 11 7 3 2 11 7 11 7 3 2 11 7 11 7 === = == = = = = == == == . Nhận xét: Với cách chứng minh nh trên, bạn đọc hãy chứng minh các bất đẳng thức sau: Cho a, b, c > 0 x, y, z . Ta luôn có: a) z yx z yx z yx zyx zyxzyx zyx zyxzyx zyx zyxzyx b ac a cb c ba b ac a cb c ba ++++ ++ +++ ++ +++ ++ +++ ; b) z yx z yx z yx z2y y2xzx2 z2y y2xzx2 z2y y2xzx2 b ac a cb c ba b ac a cb c ba ++++ + ++ + ++ + ++ ; c) z yx z yx z yx z3yx zy3xzyx3 z3yx zy3xzyx3 z3yx zy3xzyx3 b ac a cb c ba b ac a cb c ba ++++ ++ +++ ++ +++ ++ +++ ; d) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y x y x y z z z a b b c c a c a b a b b c c a c a b + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng: 177 a) +++ + + + 3 3 3 3 3 3 3 3 2 22 2 22 2 22 2 22 b d d b a c c a abcd bc ad ab dc da cb cd ba ; b) c dab b cda a bcd d abc c abd b dac a cdb d bca 3 3 3 3 3 3 3 3 ++++++ ; c) c dab b cda a bcd d abc c bad b adc a dcb d cba 5 33 5 33 5 33 5 33 ++++++ ; d) )dcba(abcd c dab b cda a bcd d abc 2222 3333 +++ + + + . Bài 136. Cho a, b, c, d > 0 thoả mãn abcd = 1. Chứng minh rằng: 1) b d d b a c c a b d d b a c c a 2222 6 3 6 3 6 3 6 3 ++++++ ; 2) 3 2 3 2 3 2 3 2 13 45 13 45 13 45 13 45 b da a cd d bc c ab b ad a dc d cb c ba ++++++ . Giải 1) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dơng, ta có: 3 3 3 3 2 2 3 6 6 6 3 6 3 2 3 3 3 3 ( 1). (1) ( ) a c b b b b b do abcd c a d c d a cd a abcd d d + + = = = = Tơng tự : 3 3 3 2 6 6 6 3 (2) c b d c a d b a + + ; 3 3 3 2 6 6 6 3 ; (3) b d a a d b c c + + 3 3 3 2 6 6 6 3 . (4) d a c d b c a b + + Cộng từng vế của (1), (2), (3), (4), ta đợc b d d b a c c a b d d b a c c a 2222 6 3 6 3 6 3 6 3 ++++++ . (đpcm) Dấu = xảy ra (1), (2), (3), (4) cùng xảy ra đẳng thức 178 1dcba 1abcd b d d b a c c a ca db db ca 1abcd a c c a b d c a b d d b b d d b a c d b a c c a 6 3 6 3 6 3 6 3 99 99 99 99 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 ==== = === = = = = = == == == == . 2) áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dơng, ta có: 5 4 2 2 2 5 3 6 2 3 3 13 3 3 10 9 3 3 3 3 ( 1). (1) ( ) a b bc cd a b a b ab do abcd c d a c d abcd c c + + = = = Tơng tự, ta có 5 4 2 2 2 13 3 3 3 3 ; (2) b c cd da bc d a b d + + 5 4 2 2 2 13 3 3 3 3 (3) c d da ab cd a b c a + + ; 5 4 2 2 2 13 3 3 3 3 . (4) d a ab bc da b c d b + + Cộng từng vế của (1), (2), (3), (4), ta đợc 3 2 3 2 3 2 3 2 13 45 13 45 13 45 13 45 b da a cd d bc c ab b ad a dc d cb c ba ++++++ . (đpcm). Dấu = xảy ra (1), (2), (3), (4) cùng xảy ra đẳng thức 179 1dcba 1abcd b ad a dc d cb c ba abdc adcb cdba bcad 1abcd d bc c ab b ad c ab b da a dc b da a cd d cb a cd d bc c ba 13 45 13 45 13 45 13 45 35 35 35 35 3 2 3 2 13 45 3 2 3 2 13 45 3 2 3 2 13 45 3 2 3 2 13 45 ==== = === = = = = = == == == == . Nhận xét: Với cách chứng minh nh trên, bạn đọc hãy chứng minh các bất đẳng thức sau: Cho a, b, c, d > 0 ; x, y, z, t . Ta luôn có: 1) 2 2 2 2 ` x y z x y z x y z x y z t t t t x t x y y z x t x y y z x t x y y z x t x y y z z t z t z t z t a b c a b c a b c a b c d d d d a b c b c d c d a d a b d a b c + + + + + + + + + + + + + + + ữ ữ ữ ữ + + + 2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . x t x y y z x t x y y z x t x y a y z x t x y y z z t z t z t z t x y z x y z x y z x y z t t t t a b c b c d c d c d a b d a b c a b c b c d c d a d a b d a b c + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 180 [...]... 3 2 + 3 2 a+b+c+d b 3c 2 c d d a a b (4) (đpcm) Dấu = xảy ra (1), (2), (3), (4) cùng xảy ra đẳng thức a = b = c = d Bài 142 Cho a, b, c, d dơng thoả mãn a + b + c + d = 2005 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = a a 3 b c b b + 3 c d + c c 3 d a + d d a 3 b Giải áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho chín số dơng, ta có 2 2 2 2 2 2 a a a a + + + b 3 + b 3 + b 3 + c 3 + c 3 9.a 3 3 3 b c b c... Dấu = xảy ra (1), (2), (3) cùng xảy ra đẳng thức b = c a = b = c c= a Bài 140 Cho x1, x2, , xk > 0 ; p, q Q*+ Chứng minh rằng p x1 x p xp p 2 + q + + k x 1 q + x p q + + x p q (*) 2 k q q x2 x3 x1 Giải +) Nếu p = q (*) luôn đúng + Do p, q Q* nên n * sao cho np, nq * Ta xét hai trờng hợp sau +) Nếu p > q , áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho np số dơng, ta có x1p xp + + 1q + x2p q +... xp k q 1 p x 1 q + x p q + + x p q 2 k (đpcm) x x x Dấu = của (*) xảy ra (1), (2),, (k) cùng xảy ra đẳng thức x1p p q q = x2 x2 xp = xp xp 1 2 2q = x3p q xp2 = x3p x 3 x1 = x 2 = = x k xp = xp xpk p q k 1 q = x1 x1 +) Nếu p < q , áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho nq số dơng, ta có: p x1 xp q q + + 1 + x 1 p + + x 1 p npx p q 2 q q x2 x2 np lan n ( q p ) lan... x1 + xp 2 + + xp k p x 1 q + x p q + + x p q 2 k (đpcm) x x x Dấu = của (*) xảy ra (1), (2),, (k) cùng xảy ra đẳng thức x1 = x2 == xk Bài 141 Cho a, b, c, d dơng Chứng minh rằng: a6 b6 c6 d6 + + + a +b+c+d b3c 2 c3d 2 d 3a 2 a 3b 2 Giải áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho sáu số dơng, ta có a6 + b + b + b + c + c 6a b 3c 2 q 2 q 3 q 1 a6 + 3b + 2c 6a b3c 2 hay (1) Tơng tự, ta có: c6 d6 b6... x 9 + y 9 + z 9 3 3 Suy ra GTNN của F = 3 9 9 2001 F 3 3 9 2001 đạt đợc khi (4), (5), (6), (7) cùng xảy ra đẳng 3 thức x = y = z = 2001 3 Bài 139 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng 3 a 3b 3c 1 1 1 + + 6 +6 +6 b c a a b c Giải áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dơn, ta có: 182 3 a b + 1 6 a + 1 6 a 3 3 6 (1) ; b b 1 1 3 +6 +6 6 ; c b b c (2) 3 c 1 1 3 +6 +6 6 a c c a Cộng từng... đẳng thức và 4 a + b + c + d = 2005 186 2 2005 a =b=c=d= 4 Bài 143 Cho x1, x2, , xk dơng; p, q, r Q*+ thoả mãn p > q + r p x1 xp xp p q r 2 k + x p q r + + x p q r (*) Chứng minh rằng: q r + q r + + q r x 1 2 k x 2 x 3 x 3 x 4 x 1 x 2 Giải +) Nếu q = r = 0 (*) luôn đúng + +) Nếu q2 + r2 0, do p, q, r Q* nên N * sao cho N.p, N.q, N.r * áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho N.p số. .. ĐHTL -1998 ) b5 c5 d5 a 5 a 3 b3 c3 d 3 Bạn đọc tự chứng minh Bài 138 Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 2001 Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức F= x 20 y 20 z 20 + + y 11 z 11 x 11 ( Toán& tuổi trẻ học) Giải áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 20 số dơng, ta có: x 20 x 20 + + 11 + y 9 + + y 9 20 x 9 y11 y 11lan 9 lan hay Dấu = của (1) xảy ra 9 x 20 + 11 y 9 20 x 9 y11 x 20 =... (4) 185 Cộng từng vế của (1), , (4), ta đợc 2 2 2 2 a a b b c c d d 4. a 3 + b 3 + c 3 + d 3 4. + + + 3 3 3 3 c d d a a b b c 2 3 hay 2 3 2 3 2 3 (*) Fa +b +c +d áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bốn số dơng, ta có: 2 3 2 3 4 2 3 1 1 2005 3 2005 3 2 a +a +a + 4. a 4 4 Tơng tự, ta có: 4 2 3 1 2005 3 2005 3 3a + 4. a 4 4 4 2 3 (1) 1 2005 3 2005 3 3b + 4.... x11 Dấu = của (3) xảy ra z = x Cộng từng vế của (1), (2), (3), ta đợc Tơng tự, ta có 9 F= (3) x 20 y 20 z 20 + + x 9 + y9 + z9 y 11 z 11 x 11 (4) Dấu = của (4) xảy ra x = y = z áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho chín số dơng, ta có 9 9 8 2001 2001 2001 x9 + + + 9x 3 3 3 8 lan 8 9 2001 2001 x 9x ữ 8 ữ 3 3 9 hay 8 (5) 9 2001 2001 y9 9 y ữ 8 ữ 3 3 Tơng tự,... Giải +) Nếu q = r = 0 (*) luôn đúng + +) Nếu q2 + r2 0, do p, q, r Q* nên N * sao cho N.p, N.q, N.r * áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho N.p số dơng, trong đó có N.(p q r) số p x1 p p q r , N.r số x 3 q r , ta có q r , N.q số x 2 x 2 x 3 p x1 p x1 p p p + + q r + x p q r + + x p q r + x 3 q r + + x 3 q r Np.x 1 q r 2 2 x x x x N q lan N r lan 2 3 q 2 r 3 N ( . VII- Bất đẳng thức hoán vị các số vòng quanh Bài 134. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 1) b ca. N.q, N.r * . áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho N.p số dơng, trong đó có N.(p q r) số r 3 q 2 p 1 x.x x , N.q số rqp 2 x , N.r số rqp 3 x , ta có rqp