Mục lục BẤT ĐẲNG THỨC HỐN VỊ 1.1 Ví dụ minh họa KẾT THÚC 3 11 Chương BẤT ĐẲNG THỨC HỐN VỊ 1.1 Ví dụ minh họa Các đẳng thức thường gặp (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) (a + b + c)(ab + bc + ca) = (a + b)(b + c)(c + a) + abc (a + b + c)(ab + bc + ca) = ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 3abc a2 b + b2 c + c2 a − (ab2 + bc2 + ca2 ) = (a − b)(b − c)(a − c) a3 b + b3 c + c3 a − (ab3 + bc3 + ca3 ) = (a + b + c)(a − b)(b − c)(a − c) a4 b + b4 c + c4 a − (ab4 + bc4 + ca4 ) = (a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca)(a − b)(b − c)(a − c) M = (a − b)2 (b − c)2 + (c − a)2 = pq − 3r − √ 4(p2 − 3q)3 − (2p3 − 9pq + 27r)2 27 a2 b = pq − 3r + (a − b)(b − c)(c − a) ≤ pq − 3r + M ≤2 √ M cyc √ (p2 − 2q)q − pr − p M ≤ √ a3 b = (p2 − 2q)q − pr + (a + b + c)(a − b)(b − c)(c − a) ≤ (p2 − 2q)q − pr + p M cyc Ví dụ Cho số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = Chứng minh a2 b + b2 c + c2 a ≥ 12abc 3abc + Lời giải Tách 2x = (x + y) + (x − y) nên ta có a2 b = cyc ab(a − b) ab(a + b) + cyc cyc 4(p2 − 3q)3 − (2p3 − 9pq + 27r)2 27 √ = 3q − 3r − M ≥ pq − 3r − Do ta cần chứng minh 3q − 3r − √ 24r ≥ M 3r + hay 3q − Dễ thấy 3q − 9r(r + 3) √ ≥ M 3r + 9r(r + 3) ≥ 0, bình phương hai vế ta 3r + 9q − 54qr(r + 3) 81r2 (r + 3)2 ≥ −4q + 9q + 54qr − 27r2 − 108r, + 3r + (3r + 1)2 hay 4q + 108r(r + 1)(3r2 + 12r + 1) 216(r + 1)qr ≥ (3r + 1) 3r + Bất đẳng thức AM-GM Thật 3r2 + 12r + = (3r2 + 4r + 1) + 8r ≥ 8r(r + 1)(3r + 1) Tiếp tục áp dụng AM-GM cho ba số không âm, ta 4q + 108r(r + 1) 8r(r + 1)(3r + 1) 108r(r + 1) 8r(r + 1)(3r + 1) 216(r + 1)qr + ≥ 2 (3r + 1) (3r + 1) 3r + Hoàn tất chứng minh Đẳng thức xảy hoán vị (a, b, c) ∼ (0, 0, 3), (a, b, c) ∼ (1, 1, 1), nghiệm phương trình x3 − 3x2 + 2x − = với a ≤ b ≤ c, b ≤ c ≤ a, c ≤ a ≤ b ❑ Ví dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa a + b + c = Chứng minh 24 + ≥ a2 b + b2 c + c2 a abc Lời giải Tách 2x = (x + y) + (x − y) nên ta có a2 b = cyc ab(a − b) ab(a + b) + cyc cyc 4(p2 − 3q)3 − (2p3 − 9pq + 27r)2 27 √ = 3q − 3r + M ≤ pq − 3r + Do ta cần chứng minh 48r ≥ (9r − 1) 3q − 3r + bất đẳng thức hiển nhiên Nếu r > bất đẳng thức viết lại sau √ M , Nếu r ≤ √ 9r(3r + 5) − 3q ≥ M 9r − Dễ thấy vế trái không âm 9r(3r + 5) 9r(3r + 5) 9(r + 3) 27(r − 1)2 −3≥ − = ≥ 9r − 9r − 4(9r − 1) Từ bình phương hai vế ta 9q − 54qr(3r + 5) 9r(3r + 5) + 9r − 9r − ≥ −4q + 9q + 54qr − 27r2 − 108r, hay 4q + 108r(27r3 + 99r2 + r + 1) 216pr(3r + 1) ≥ (9r − 1)2 9r − Áp dụng AM-GM, ta có 4q + √ A A + ≥ 3q A2 2 Vậy nên cần chưng minh (27r3 + 99r2 + r + 1)2 ≥ 32r(9r − 1)(3r + 1)3 Rút gọn ta (r − 1)2 (729r4 − 972r3 + 270r2 + 36r + 1) ≥ 0, hay (r − 1)2 (27r2 − 18r − 1)2 ≥ Hoàn√tất chứng minh Đẳng thức xảy (a, b, c) ∼ (1, 1, 1), nghiệm phương trình x3 − 3x2 + (1 + 3+2 = với a ≥ b ≥ c, b ≥ c ≥ a, c ≥ a ≥ b √ 3)x − ❑ Ví dụ Cho số thực khơng âm a, b, c thỏa a + b + c = Chứng minh a2 b + b2 c + c2 a + abc ≤ Lời giải Như dễ thấy 2(a2 b + b2 c + c2 a + abc) ≤ 3q − r + Dễ thấy + r − 3q ≥ + √ M 3(4q − 9) 5(3 − q) − 3q = ≥ Do bình phương hai vế ta 9q − 6q(8 + r) + (8 + r)2 ≥ −4q + 9q + 54qr − 27r2 − 108r, hay q + 7r2 + 31r + 16 ≥ 3q(5r + 4) Áp dụng AM-GM, ta có q3 + 7r2 + 31r + 16 7r2 + 31r + 16 + ≥ 3q 2 (7r2 + 31r + 16)2 Do đó, cần chứng minh (7r2 + 31r + 16)2 ≥ 4(5r + 4)3 , hay r(r − 1)2 (49r + 32) ≥ Hoàn tất chứng minh Đẳng thức xảy (a, b, c) ∼ (1, 1, 1), vài hoán vị (a, b, c) ∼ (0, 2, 1) ❑ Ví dụ Cho số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = Chứng minh a2 b + b2 c + c2 a + abc + abc(3 − ab − bc − ca) ≤ Lời giải Tách 2x = (x + y) + (x − y) nên ta có a2 b = cyc ab(a − b) ab(a + b) + cyc cyc 4(p2 − 3q)3 − (2p3 − 9pq + 27r)2 27 √ = 3q − 3r + M ≤ pq − 3r + Bất đẳng thức viết lại sau 2(a2 b + b2 c + c2 a + abc) + abc(3 − ab − bc − ca) ≤ Do ta cần chứng minh 3q − r + r(3 − q) + hay √ √ M ≤ 8, M ≤ q(−3 + r) + − 2r Dễ thấy q(3 − r) + − 2r ≥ 3(r + 3)(r − 3) (1 − r)(5 − 3r) + − 2r ≥ ≥ 4 Bình phương hai vế ta (q − 4q + 31)r2 + 4q − 48q + 64 ≥ (6q + 26q − 76)r, hay (q − 2)2 + 27 r2 + 4(q − 2)2 (q + 4) ≥ 2(q − 2)(3q + 19)r, Nếu q ≤ bất đẳng thức Nếu q ≥ Áp dụng AM-GM, ta có (q − 2)2 + 27 r2 + 4(q − 2)2 (q + 4) ≥ 4r(q − 2) [(q − 2)2 + 27] (q + 4) Do cần chứng minh (q − 2)2 + 27 (q + 4) ≥ (3q + 19)2 , hay (q − 3)2 (4q + 5) ≥ Hoàn tất chứng minh ❑ Ngồi tính biệt số ∆ sau ∆ := −(4q + 15)(q − 2)2 (q − 3)2 ≤ Do bất đẳng thức hiển nhiên Ví dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a b c 14(a2 + b2 + c2 ) + + +2≥ b c a (a + b + c)2 Lời giải.(có thể tham khảo ví dụ 6) Chuẩn hóa a + b + c = viết lại bất đẳng thức sau a2 c + b2 a + c2 b 14(9 − 2q) +2≥ abc Do cần chứng minh theo ngơn ngữ q, r sau √ 3q − 3r − M 8(27 − 7q) ≥ , r hay 3q − Dễ thấy 3q − (243 − 56q)r √ ≥ M, (243 − 56q)r ≥ Bình phương hai vế, ta 9q + (243 − 56q)r − 2(243 − 56q)qr ≥ −4q + 9q + 54qr − 27r2 − 108r, (56q − 243)2 4r(−28q + 162q − 81) + 27 r2 + 4q ≥ 81 √ 81 − 53 Chúng ta cần xét với q ≥ Áp dụng AM-GM, ta có 28 (56q − 243)2 + 27 r2 + 4q ≥ 4r 81 (56q − 243)2 + 27 q 81 Do đó, để bất đẳng thức ta cần chứng minh (56q − 243)2 + 27 q ≥ (−28q + 162q − 81)2 81 hay (9 − 4q)2 (196q − 1260q + 2268q − 729) ≥ 0, hay (9 − 4q)2 28(q − 3)2 (7q − 3) + 27 ≥ 27 Hoàn tất chứng minh Đẳng thức xảy (a, b, c) nghiệm phương trình x3 − 3x2 + x − = với a ≥ b ≥ c, 56 b ≥ c ≥ a, c ≥ a ≥ b ❑ Ví dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh với k ta có a b c (k − 1)2 (k + 2k + 13)(a2 + b2 + c2 ) + + + ≥ b c a 2(a + b + c)2 Nhân hai vế cho (a + b + c) sau (a + b + c)2 cyc cyc a + (k − 1)2 b cyc a2 b 2ab2 a3 + + ac + 2a2 + + 2cb + (k − 1)2 b c c cyc a2 ab ≥ 2(k + 3) cyc a3 a2 b 2ab2 + + + (k − 2k + 4) b c c a2 , ab ≥ 2(k + 3) cyc cyc a2 , ab ≥ 2(k + 2) cyc cyc thực cách đưa đẳng thức cyc cyc a3 a2 b 2ab2 + − b c c b3 a2 b 2ab2 + − c c c + cyc + cyc 4a2 c − (4k − k )ab ≥ 2(k + 2) b 4a2 c − 4kac + k cb b a2 − cyc ab , cyc a2 − ≥ 2(k + 2) cyc ab cyc Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có cyc b(a − b)2 c(2a − kb)2 + ≥2 c b [(a − b)(2a − kb)] cyc a2 − = 2(k + 2) cyc ab cyc Hồn tất chứng minh ❑ Ví dụ Cho số thực a, b, c Chứng minh (a2 + b2 + c2 )2 ≥ 3(a3 b + b3 c + c3 a) Lời giải Tách 2x = (x + y) + (x − y) nên ta có √ √ (p2 − 2q)q − pr − p M ≤ a3 b = (p2 − 2q)q − pr + (a + b + c)(a − b)(b − c)(c − a) ≤ (p2 − 2q)q − pr + p M cyc Chúng ta cần chứng minh với a, b, c ≥ đủ Khơng tính tổng qt chuẩn hóa a + b + c = bất đẳng thức cần chứng minh √ 2(9 − 2q)2 ≥ q(9 − 2q) − 3r + M , hay √ 9r + (7q − 18)(2q − 9) ≥ M Dễ thấy vế trái không âm theo Schur, bình phương hai vế ta 81r2 + 18r(7q − 18)(2q − 9) + (7q − 18)2 (2q − 9)2 ≥ 81 −4q + 9q + 54qr − 27r2 − 108r , hay 2268r2 + (7q − 18)2 (2q − 9)2 + 81q (4q − 9) ≥ 36r(−7q + 171q − 324) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương, ta có 2268r2 + (7q − 18)2 (2q − 9)2 + 81q (4q − 9) ≥ 2r 2268 [(7q − 18)2 (2q − 9)2 + 81q (4q − 9)] Do cần chứng minh với −7q + 171q − 324 ≥ đủ, bình phương hai vế bất đẳng thức cần chứng minh 2268 (7q − 18)2 (2q − 9)2 + 81q (4q − 9) ≥ 182 (−7q + 171q − 324)2 , hay 2268 4(7q − 18)2 (q − 3)2 − 12(22q − 45)(q − 15q + 27) ≥ 182 (7q − 18)(q − 3) − 14(q − 15q + 27) , hay 8748(7q − 18)2 (q − 3)2 ≥ Hồn tất chứng minh ❑ Ví dụ Cho số thực a, b, c thỏa a + b + c = a2 + b2 + c2 = Tìm miền giá trị chủa biểu thức P := a2 b + b2 c + c2 a + kabc Lời giải Dễ thấy a2 b ≤ pq − 3r + cyc 4(p2 − 3q)3 + (2p3 − 9pq + 27r)2 , 27 hay a2 b ≤ −3r + 12 − 3r2 cyc Áp dụng bất đẳng thức Minkowski, ta có 4P ≤ (2k − 3) √ √ 3r + 3 12 − 3r2 ≤ (2k − 3)2 + (3r2 + 12 − 3r2 ) = 16(k − 3k + 9) Từ ta −2 k − 3k + ≤ P ≤ Hoàn tất chứng minh k − 3k + ❑ Ví dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng a3 b3 c3 + + + 2(ab + bc + ca) ≥ 3(a2 + b2 + c2 ) b c a Lời giải Từ đẳng thức ab4 + bc4 + ca4 − (a4 b + b4 c + c4 a) = (a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca)(a − b)(b − c)(c − a) ab(a3 + b3 ) = (a3 + b3 + c3 )(ab + bc + ca) − abc(a2 + b2 + c2 ) cyc Chuẩn hóa a + b + c = ta có √ a4 c ≥ (5q − 9)r + 9(3 − q)q − (9 − q) M cyc Do cần chứng minh √ (5q − 9)r + 9(3 − q)q − (9 − q) M + 2r(8q − 27) ≥ 0, hay √ 21(q − 3)r + 9(3 − q)q ≥ (9 − q) M Dễ thấy 21(q − 3)r + 9(3 − q)q ≥ 0, bình phương hai vế ta 212 (q − 3)2 r2 + 92 (3 − q)2 q − 378(3 − q)2 qr ≥ (9 − q)2 (−4q + 9q + 54qr − 27r2 − 108r) hay 36(13q − 87q + 171)r2 + 4q ≥ 108(4q − 31q + 90q − 81)r, mà 4q − 31q + 90q − 81 = − + (2q − 3)(8q − 50q + 10) cần xét trường q > 3/2 4 4q − 31q + 90q − 81 ≥ đủ Áp dụng AM-GM, ta có 36(13q − 87q + 171)r2 + 4q ≥ 24r (13q − 87q + 171)q Vậy nên cần chứng minh 242 (13q − 87q + 171)q ≥ 1082 (4q − 31q + 90q − 81)2 , hay 144(3 − q)2 (9 − q)2 (52q − 396q + 972q − 729) ≥ Bất đẳng thức 1 45 52q − 396q + 972q − 729 − (4q − 31q + 90q − 81) = (3 − q) (2q − 3)(285 − 92q) + ≥ 2 2 Hoàn tất chứng minh ❑ Ví dụ 10 Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a3 b3 c3 + + + 2(ab + bc + ca) ≥ 3(a2 + b2 + c2 ) + m(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) b c a Trong m nghiệm thực phương trình m3 + m2 + 18m − 11 = 0, hay √ 457 + 93 93 √ − m= − 53 3 457 + 93 93 Lời giải Tương tự cần chứng minh √ (21 + 6m)(q − 3)r + 9(3 − q)q ≥ (9 − q) M Dễ thấy (21 + 6m)(q − 3)r + 9(3 − q)q ≥ (21 + 6m)(q − 3)q/3 + 9(3 − q)q = 2(1 − m)q(3 − q) ≥ 0, bình phương hai vế ta (21 + 6m)2 (q − 3)2 r2 + 92 (3 − q)2 q − 18(21 + 6m)(3 − q)2 qr ≥ (9 − q)2 (−4q + 9q + 54qr − 27r2 − 108r), hay (21 + 6m)2 (q − 3)2 + 27(9 − q)2 r2 + 4q ≥ 18q(21 + 6m)(3 − q)2 + (9 − q)2 (54q − 108) Lại có 18q(21 + 6m)(3 − q)2 + (9 − q)2 (54q − 108) = 243(3m − 2) 27 + (2q − 3) 4(m + 4)q − 2(9m + 50)q − 100q + 210 , 2 nên chứng minh với q > 3/2 Áp dụng AM-GM, ta có (21 + 6m)2 (q − 3)2 + 27(9 − q)2 r2 + 4q ≥ 4r [(21 + 6m)2 (q − 3)2 + 27(9 − q)2 ] q Từ cần chứng minh bất đẳng thức 16 (21 + 6m)2 (q − 3)2 + 27(9 − q)2 q ≥ 18q(21 + 6m)(3 − q)2 + (9 − q)2 (54q − 108) Rút gọn ta (3 − q)2 (9 − q)2 4(m2 + 7m + 13)q − 9(m2 + 16m + 44)q + 162(6 + m)q − 729 ≥ Xét hàm số ý m3 + m2 + 18m − 11 = f (q) := 4(m2 + 7m + 13)q − 9(m2 + 16m + 44)q + 162(6 + m)q − 729 √ 3(m2 + 16m + 44) + m4 + 8m3 + 32m2 + 88m + 64 = 4(m + 7m + 13) q − 4(m2 + 7m + 13) Với q1 = 729.4(m2 + 7m + 13) √ 3(m2 + 16m + 44) + m4 + 8m3 + 32m2 + 88m + 64 < (q − q1 ) Hoàn tất chứng minh ❑ 10 Chương KẾT THÚC ết H Lê Khánh Sỹ ✆ : 0914810771 Hoặc kích vào online Biên soạn: Lê Khánh Sỹ Xin liên hệ qua trang cá nhân https: // www facebook com/ lekhanhsy 11 TÀI LIỆU THAM KHẢO http://www.mediafire.com/download/pivsnzmnbajh9iu/vi%C3%AAt+nhanh+%283%29.pdf https://www.cut-the-knot.org/ If a, b, c are nonnegative real numbers such that a + b + c = 4, then a3 b + b3 c + c3 a + 473 35 abc + abc [16 − 3(ab + bc + ca)] ≤ 27 64 192 Solution From 2x = (x + y) + (x − y) we have a3 b = cyc ab(a2 + b2 ) + (a + b + c)(a − b)(b − c)(c − a) cyc = (ab + bc + ca)(a2 + b2 + c2 ) − abc(a + b + c) + (a + b + c)(a − b)(b − c)(c − a) √ ≤ (ab + bc + ca)(a2 + b2 + c2 ) − abc(a + b + c) + (a + b + c) M = 2(−q + 8q − 2r) + −4q + 16q + (72q − 256)r − 27r2 (Let us denote p = a + b + c = , q = ab + bc + ca ≤ 16/3 r = abc) Therefore, it suffices to show that 27 + q − 8q − 5(319 − 21q)r ≥2 192 −4q + 16q + (72q − 256)r − 27r2 , 5(319 − 21q)r ≥ From Newton’s inequality (ab + bc + ca)2 ≥ 192 5(319 − 21q)r 5(319 − 21q)q /12 ≥ 27+q −8q − 3abc(a+b+c), we get 27+q −8q − = (16−3q)(−35q −423q +3888)/2304 ≥ 192 192 By squaring, the desired inequality can be written as Before, squaring this inequlity, we need to show that 27 + q − 8q − (3 − q)2 (q + 6q + 81) + (3 − q)(105q − 2120q − 18413)r 7r2 (1575q − 47850q + 932191) ≥ 36864 96 If q ≤ we are done and consider further the nontrivial cases q ≥ 3.Using AM-GM inequality we have (3 − q)2 (q + 6q + 81) + 7r2 (1575q − 47850q + 932191) ≥ 2r 36864 (3 − q)2 (q + 6q + 81) · 7(1575q − 47850q + 932191) 36864 Therefore, it suffices to show that · (3 − q)2 (q + 6q + 81) · 7(1575q − 47850q + 932191) ≥ 36864 (3 − q)(105q − 2120q − 18413) 96 , or (q − 3)2 (3q − 16)2 (1225q + 46268) ≥ The equality holds for (a, b, c) ∼ 4 , , , and also for (a, b, c) ∼ (3, 1, 0) (or any cyc permutation) 3 ❑ 12 ...2 Chương BẤT ĐẲNG THỨC HỐN VỊ 1.1 Ví dụ minh họa Các đẳng thức thường gặp (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) (a + b +... √ = 3q − 3r + M ≤ pq − 3r + Do ta cần chứng minh 48r ≥ (9r − 1) 3q − 3r + bất đẳng thức hiển nhiên Nếu r > bất đẳng thức viết lại sau √ M , Nếu r ≤ √ 9r(3r + 5) − 3q ≥ M 9r − Dễ thấy vế trái... bất đẳng thức hiển nhiên Ví dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a b c 14(a2 + b2 + c2 ) + + +2≥ b c a (a + b + c)2 Lời giải.(có thể tham khảo ví dụ 6) Chuẩn hóa a + b + c = viết lại bất đẳng