1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

BẤT ĐẲNG THỨC HOÁN vị

12 366 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 12
Dung lượng 375,09 KB

Nội dung

Mục lục BẤT ĐẲNG THỨC HỐN VỊ 1.1 dụ minh họa KẾT THÚC 3 11 Chương BẤT ĐẲNG THỨC HỐN VỊ 1.1 dụ minh họa Các đẳng thức thường gặp (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) (a + b + c)(ab + bc + ca) = (a + b)(b + c)(c + a) + abc (a + b + c)(ab + bc + ca) = ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 3abc a2 b + b2 c + c2 a − (ab2 + bc2 + ca2 ) = (a − b)(b − c)(a − c) a3 b + b3 c + c3 a − (ab3 + bc3 + ca3 ) = (a + b + c)(a − b)(b − c)(a − c) a4 b + b4 c + c4 a − (ab4 + bc4 + ca4 ) = (a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca)(a − b)(b − c)(a − c) M = (a − b)2 (b − c)2 + (c − a)2 = pq − 3r − √ 4(p2 − 3q)3 − (2p3 − 9pq + 27r)2 27 a2 b = pq − 3r + (a − b)(b − c)(c − a) ≤ pq − 3r + M ≤2 √ M cyc √ (p2 − 2q)q − pr − p M ≤ √ a3 b = (p2 − 2q)q − pr + (a + b + c)(a − b)(b − c)(c − a) ≤ (p2 − 2q)q − pr + p M cyc dụ Cho số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = Chứng minh a2 b + b2 c + c2 a ≥ 12abc 3abc + Lời giải Tách 2x = (x + y) + (x − y) nên ta có a2 b = cyc ab(a − b) ab(a + b) + cyc cyc 4(p2 − 3q)3 − (2p3 − 9pq + 27r)2 27 √ = 3q − 3r − M ≥ pq − 3r − Do ta cần chứng minh 3q − 3r − √ 24r ≥ M 3r + hay 3q − Dễ thấy 3q − 9r(r + 3) √ ≥ M 3r + 9r(r + 3) ≥ 0, bình phương hai vế ta 3r + 9q − 54qr(r + 3) 81r2 (r + 3)2 ≥ −4q + 9q + 54qr − 27r2 − 108r, + 3r + (3r + 1)2 hay 4q + 108r(r + 1)(3r2 + 12r + 1) 216(r + 1)qr ≥ (3r + 1) 3r + Bất đẳng thức AM-GM Thật 3r2 + 12r + = (3r2 + 4r + 1) + 8r ≥ 8r(r + 1)(3r + 1) Tiếp tục áp dụng AM-GM cho ba số không âm, ta 4q + 108r(r + 1) 8r(r + 1)(3r + 1) 108r(r + 1) 8r(r + 1)(3r + 1) 216(r + 1)qr + ≥ 2 (3r + 1) (3r + 1) 3r + Hoàn tất chứng minh Đẳng thức xảy hoán vị (a, b, c) ∼ (0, 0, 3), (a, b, c) ∼ (1, 1, 1), nghiệm phương trình x3 − 3x2 + 2x − = với a ≤ b ≤ c, b ≤ c ≤ a, c ≤ a ≤ b ❑ dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa a + b + c = Chứng minh 24 + ≥ a2 b + b2 c + c2 a abc Lời giải Tách 2x = (x + y) + (x − y) nên ta có a2 b = cyc ab(a − b) ab(a + b) + cyc cyc 4(p2 − 3q)3 − (2p3 − 9pq + 27r)2 27 √ = 3q − 3r + M ≤ pq − 3r + Do ta cần chứng minh 48r ≥ (9r − 1) 3q − 3r + bất đẳng thức hiển nhiên Nếu r > bất đẳng thức viết lại sau √ M , Nếu r ≤ √ 9r(3r + 5) − 3q ≥ M 9r − Dễ thấy vế trái không âm 9r(3r + 5) 9r(3r + 5) 9(r + 3) 27(r − 1)2 −3≥ − = ≥ 9r − 9r − 4(9r − 1) Từ bình phương hai vế ta 9q − 54qr(3r + 5) 9r(3r + 5) + 9r − 9r − ≥ −4q + 9q + 54qr − 27r2 − 108r, hay 4q + 108r(27r3 + 99r2 + r + 1) 216pr(3r + 1) ≥ (9r − 1)2 9r − Áp dụng AM-GM, ta có 4q + √ A A + ≥ 3q A2 2 Vậy nên cần chưng minh (27r3 + 99r2 + r + 1)2 ≥ 32r(9r − 1)(3r + 1)3 Rút gọn ta (r − 1)2 (729r4 − 972r3 + 270r2 + 36r + 1) ≥ 0, hay (r − 1)2 (27r2 − 18r − 1)2 ≥ Hoàn√tất chứng minh Đẳng thức xảy (a, b, c) ∼ (1, 1, 1), nghiệm phương trình x3 − 3x2 + (1 + 3+2 = với a ≥ b ≥ c, b ≥ c ≥ a, c ≥ a ≥ b √ 3)x − ❑ dụ Cho số thực khơng âm a, b, c thỏa a + b + c = Chứng minh a2 b + b2 c + c2 a + abc ≤ Lời giải Như dễ thấy 2(a2 b + b2 c + c2 a + abc) ≤ 3q − r + Dễ thấy + r − 3q ≥ + √ M 3(4q − 9) 5(3 − q) − 3q = ≥ Do bình phương hai vế ta 9q − 6q(8 + r) + (8 + r)2 ≥ −4q + 9q + 54qr − 27r2 − 108r, hay q + 7r2 + 31r + 16 ≥ 3q(5r + 4) Áp dụng AM-GM, ta có q3 + 7r2 + 31r + 16 7r2 + 31r + 16 + ≥ 3q 2 (7r2 + 31r + 16)2 Do đó, cần chứng minh (7r2 + 31r + 16)2 ≥ 4(5r + 4)3 , hay r(r − 1)2 (49r + 32) ≥ Hoàn tất chứng minh Đẳng thức xảy (a, b, c) ∼ (1, 1, 1), vài hoán vị (a, b, c) ∼ (0, 2, 1) ❑ dụ Cho số thực không âm a, b, c thỏa a + b + c = Chứng minh a2 b + b2 c + c2 a + abc + abc(3 − ab − bc − ca) ≤ Lời giải Tách 2x = (x + y) + (x − y) nên ta có a2 b = cyc ab(a − b) ab(a + b) + cyc cyc 4(p2 − 3q)3 − (2p3 − 9pq + 27r)2 27 √ = 3q − 3r + M ≤ pq − 3r + Bất đẳng thức viết lại sau 2(a2 b + b2 c + c2 a + abc) + abc(3 − ab − bc − ca) ≤ Do ta cần chứng minh 3q − r + r(3 − q) + hay √ √ M ≤ 8, M ≤ q(−3 + r) + − 2r Dễ thấy q(3 − r) + − 2r ≥ 3(r + 3)(r − 3) (1 − r)(5 − 3r) + − 2r ≥ ≥ 4 Bình phương hai vế ta (q − 4q + 31)r2 + 4q − 48q + 64 ≥ (6q + 26q − 76)r, hay (q − 2)2 + 27 r2 + 4(q − 2)2 (q + 4) ≥ 2(q − 2)(3q + 19)r, Nếu q ≤ bất đẳng thức Nếu q ≥ Áp dụng AM-GM, ta có (q − 2)2 + 27 r2 + 4(q − 2)2 (q + 4) ≥ 4r(q − 2) [(q − 2)2 + 27] (q + 4) Do cần chứng minh (q − 2)2 + 27 (q + 4) ≥ (3q + 19)2 , hay (q − 3)2 (4q + 5) ≥ Hoàn tất chứng minh ❑ Ngồi tính biệt số ∆ sau ∆ := −(4q + 15)(q − 2)2 (q − 3)2 ≤ Do bất đẳng thức hiển nhiên dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a b c 14(a2 + b2 + c2 ) + + +2≥ b c a (a + b + c)2 Lời giải.(có thể tham khảo dụ 6) Chuẩn hóa a + b + c = viết lại bất đẳng thức sau a2 c + b2 a + c2 b 14(9 − 2q) +2≥ abc Do cần chứng minh theo ngơn ngữ q, r sau √ 3q − 3r − M 8(27 − 7q) ≥ , r hay 3q − Dễ thấy 3q − (243 − 56q)r √ ≥ M, (243 − 56q)r ≥ Bình phương hai vế, ta 9q + (243 − 56q)r − 2(243 − 56q)qr ≥ −4q + 9q + 54qr − 27r2 − 108r, (56q − 243)2 4r(−28q + 162q − 81) + 27 r2 + 4q ≥ 81 √ 81 − 53 Chúng ta cần xét với q ≥ Áp dụng AM-GM, ta có 28 (56q − 243)2 + 27 r2 + 4q ≥ 4r 81 (56q − 243)2 + 27 q 81 Do đó, để bất đẳng thức ta cần chứng minh (56q − 243)2 + 27 q ≥ (−28q + 162q − 81)2 81 hay (9 − 4q)2 (196q − 1260q + 2268q − 729) ≥ 0, hay (9 − 4q)2 28(q − 3)2 (7q − 3) + 27 ≥ 27 Hoàn tất chứng minh Đẳng thức xảy (a, b, c) nghiệm phương trình x3 − 3x2 + x − = với a ≥ b ≥ c, 56 b ≥ c ≥ a, c ≥ a ≥ b ❑ dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh với k ta có a b c (k − 1)2 (k + 2k + 13)(a2 + b2 + c2 ) + + + ≥ b c a 2(a + b + c)2 Nhân hai vế cho (a + b + c) sau (a + b + c)2 cyc cyc a + (k − 1)2 b cyc a2 b 2ab2 a3 + + ac + 2a2 + + 2cb + (k − 1)2 b c c cyc a2 ab ≥ 2(k + 3) cyc a3 a2 b 2ab2 + + + (k − 2k + 4) b c c a2 , ab ≥ 2(k + 3) cyc cyc a2 , ab ≥ 2(k + 2) cyc cyc thực cách đưa đẳng thức cyc cyc a3 a2 b 2ab2 + − b c c b3 a2 b 2ab2 + − c c c + cyc + cyc 4a2 c − (4k − k )ab ≥ 2(k + 2) b 4a2 c − 4kac + k cb b a2 − cyc ab , cyc a2 − ≥ 2(k + 2) cyc ab cyc Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có cyc b(a − b)2 c(2a − kb)2 + ≥2 c b [(a − b)(2a − kb)] cyc a2 − = 2(k + 2) cyc ab cyc Hồn tất chứng minh ❑ dụ Cho số thực a, b, c Chứng minh (a2 + b2 + c2 )2 ≥ 3(a3 b + b3 c + c3 a) Lời giải Tách 2x = (x + y) + (x − y) nên ta có √ √ (p2 − 2q)q − pr − p M ≤ a3 b = (p2 − 2q)q − pr + (a + b + c)(a − b)(b − c)(c − a) ≤ (p2 − 2q)q − pr + p M cyc Chúng ta cần chứng minh với a, b, c ≥ đủ Khơng tính tổng qt chuẩn hóa a + b + c = bất đẳng thức cần chứng minh √ 2(9 − 2q)2 ≥ q(9 − 2q) − 3r + M , hay √ 9r + (7q − 18)(2q − 9) ≥ M Dễ thấy vế trái không âm theo Schur, bình phương hai vế ta 81r2 + 18r(7q − 18)(2q − 9) + (7q − 18)2 (2q − 9)2 ≥ 81 −4q + 9q + 54qr − 27r2 − 108r , hay 2268r2 + (7q − 18)2 (2q − 9)2 + 81q (4q − 9) ≥ 36r(−7q + 171q − 324) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương, ta có 2268r2 + (7q − 18)2 (2q − 9)2 + 81q (4q − 9) ≥ 2r 2268 [(7q − 18)2 (2q − 9)2 + 81q (4q − 9)] Do cần chứng minh với −7q + 171q − 324 ≥ đủ, bình phương hai vế bất đẳng thức cần chứng minh 2268 (7q − 18)2 (2q − 9)2 + 81q (4q − 9) ≥ 182 (−7q + 171q − 324)2 , hay 2268 4(7q − 18)2 (q − 3)2 − 12(22q − 45)(q − 15q + 27) ≥ 182 (7q − 18)(q − 3) − 14(q − 15q + 27) , hay 8748(7q − 18)2 (q − 3)2 ≥ Hồn tất chứng minh ❑ dụ Cho số thực a, b, c thỏa a + b + c = a2 + b2 + c2 = Tìm miền giá trị chủa biểu thức P := a2 b + b2 c + c2 a + kabc Lời giải Dễ thấy a2 b ≤ pq − 3r + cyc 4(p2 − 3q)3 + (2p3 − 9pq + 27r)2 , 27 hay a2 b ≤ −3r + 12 − 3r2 cyc Áp dụng bất đẳng thức Minkowski, ta có 4P ≤ (2k − 3) √ √ 3r + 3 12 − 3r2 ≤ (2k − 3)2 + (3r2 + 12 − 3r2 ) = 16(k − 3k + 9) Từ ta −2 k − 3k + ≤ P ≤ Hoàn tất chứng minh k − 3k + ❑ dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng a3 b3 c3 + + + 2(ab + bc + ca) ≥ 3(a2 + b2 + c2 ) b c a Lời giải Từ đẳng thức ab4 + bc4 + ca4 − (a4 b + b4 c + c4 a) = (a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca)(a − b)(b − c)(c − a) ab(a3 + b3 ) = (a3 + b3 + c3 )(ab + bc + ca) − abc(a2 + b2 + c2 ) cyc Chuẩn hóa a + b + c = ta có √ a4 c ≥ (5q − 9)r + 9(3 − q)q − (9 − q) M cyc Do cần chứng minh √ (5q − 9)r + 9(3 − q)q − (9 − q) M + 2r(8q − 27) ≥ 0, hay √ 21(q − 3)r + 9(3 − q)q ≥ (9 − q) M Dễ thấy 21(q − 3)r + 9(3 − q)q ≥ 0, bình phương hai vế ta 212 (q − 3)2 r2 + 92 (3 − q)2 q − 378(3 − q)2 qr ≥ (9 − q)2 (−4q + 9q + 54qr − 27r2 − 108r) hay 36(13q − 87q + 171)r2 + 4q ≥ 108(4q − 31q + 90q − 81)r, mà 4q − 31q + 90q − 81 = − + (2q − 3)(8q − 50q + 10) cần xét trường q > 3/2 4 4q − 31q + 90q − 81 ≥ đủ Áp dụng AM-GM, ta có 36(13q − 87q + 171)r2 + 4q ≥ 24r (13q − 87q + 171)q Vậy nên cần chứng minh 242 (13q − 87q + 171)q ≥ 1082 (4q − 31q + 90q − 81)2 , hay 144(3 − q)2 (9 − q)2 (52q − 396q + 972q − 729) ≥ Bất đẳng thức 1 45 52q − 396q + 972q − 729 − (4q − 31q + 90q − 81) = (3 − q) (2q − 3)(285 − 92q) + ≥ 2 2 Hoàn tất chứng minh ❑ dụ 10 Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a3 b3 c3 + + + 2(ab + bc + ca) ≥ 3(a2 + b2 + c2 ) + m(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) b c a Trong m nghiệm thực phương trình m3 + m2 + 18m − 11 = 0, hay   √  457 + 93 93 √ − m= − 53 3 457 + 93 93 Lời giải Tương tự cần chứng minh √ (21 + 6m)(q − 3)r + 9(3 − q)q ≥ (9 − q) M Dễ thấy (21 + 6m)(q − 3)r + 9(3 − q)q ≥ (21 + 6m)(q − 3)q/3 + 9(3 − q)q = 2(1 − m)q(3 − q) ≥ 0, bình phương hai vế ta (21 + 6m)2 (q − 3)2 r2 + 92 (3 − q)2 q − 18(21 + 6m)(3 − q)2 qr ≥ (9 − q)2 (−4q + 9q + 54qr − 27r2 − 108r), hay (21 + 6m)2 (q − 3)2 + 27(9 − q)2 r2 + 4q ≥ 18q(21 + 6m)(3 − q)2 + (9 − q)2 (54q − 108) Lại có 18q(21 + 6m)(3 − q)2 + (9 − q)2 (54q − 108) = 243(3m − 2) 27 + (2q − 3) 4(m + 4)q − 2(9m + 50)q − 100q + 210 , 2 nên chứng minh với q > 3/2 Áp dụng AM-GM, ta có (21 + 6m)2 (q − 3)2 + 27(9 − q)2 r2 + 4q ≥ 4r [(21 + 6m)2 (q − 3)2 + 27(9 − q)2 ] q Từ cần chứng minh bất đẳng thức 16 (21 + 6m)2 (q − 3)2 + 27(9 − q)2 q ≥ 18q(21 + 6m)(3 − q)2 + (9 − q)2 (54q − 108) Rút gọn ta (3 − q)2 (9 − q)2 4(m2 + 7m + 13)q − 9(m2 + 16m + 44)q + 162(6 + m)q − 729 ≥ Xét hàm số ý m3 + m2 + 18m − 11 = f (q) := 4(m2 + 7m + 13)q − 9(m2 + 16m + 44)q + 162(6 + m)q − 729 √ 3(m2 + 16m + 44) + m4 + 8m3 + 32m2 + 88m + 64 = 4(m + 7m + 13) q − 4(m2 + 7m + 13) Với q1 = 729.4(m2 + 7m + 13) √ 3(m2 + 16m + 44) + m4 + 8m3 + 32m2 + 88m + 64 < (q − q1 ) Hoàn tất chứng minh ❑ 10 Chương KẾT THÚC ết H Lê Khánh Sỹ ✆ : 0914810771 Hoặc kích vào online Biên soạn: Lê Khánh Sỹ Xin liên hệ qua trang cá nhân https: // www facebook com/ lekhanhsy 11 TÀI LIỆU THAM KHẢO http://www.mediafire.com/download/pivsnzmnbajh9iu/vi%C3%AAt+nhanh+%283%29.pdf https://www.cut-the-knot.org/ If a, b, c are nonnegative real numbers such that a + b + c = 4, then a3 b + b3 c + c3 a + 473 35 abc + abc [16 − 3(ab + bc + ca)] ≤ 27 64 192 Solution From 2x = (x + y) + (x − y) we have a3 b = cyc ab(a2 + b2 ) + (a + b + c)(a − b)(b − c)(c − a) cyc = (ab + bc + ca)(a2 + b2 + c2 ) − abc(a + b + c) + (a + b + c)(a − b)(b − c)(c − a) √ ≤ (ab + bc + ca)(a2 + b2 + c2 ) − abc(a + b + c) + (a + b + c) M = 2(−q + 8q − 2r) + −4q + 16q + (72q − 256)r − 27r2 (Let us denote p = a + b + c = , q = ab + bc + ca ≤ 16/3 r = abc) Therefore, it suffices to show that 27 + q − 8q − 5(319 − 21q)r ≥2 192 −4q + 16q + (72q − 256)r − 27r2 , 5(319 − 21q)r ≥ From Newton’s inequality (ab + bc + ca)2 ≥ 192 5(319 − 21q)r 5(319 − 21q)q /12 ≥ 27+q −8q − 3abc(a+b+c), we get 27+q −8q − = (16−3q)(−35q −423q +3888)/2304 ≥ 192 192 By squaring, the desired inequality can be written as Before, squaring this inequlity, we need to show that 27 + q − 8q − (3 − q)2 (q + 6q + 81) + (3 − q)(105q − 2120q − 18413)r 7r2 (1575q − 47850q + 932191) ≥ 36864 96 If q ≤ we are done and consider further the nontrivial cases q ≥ 3.Using AM-GM inequality we have (3 − q)2 (q + 6q + 81) + 7r2 (1575q − 47850q + 932191) ≥ 2r 36864 (3 − q)2 (q + 6q + 81) · 7(1575q − 47850q + 932191) 36864 Therefore, it suffices to show that · (3 − q)2 (q + 6q + 81) · 7(1575q − 47850q + 932191) ≥ 36864 (3 − q)(105q − 2120q − 18413) 96 , or (q − 3)2 (3q − 16)2 (1225q + 46268) ≥ The equality holds for (a, b, c) ∼ 4 , , , and also for (a, b, c) ∼ (3, 1, 0) (or any cyc permutation) 3 ❑ 12 ...2 Chương BẤT ĐẲNG THỨC HỐN VỊ 1.1 Ví dụ minh họa Các đẳng thức thường gặp (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) (a + b +... √ = 3q − 3r + M ≤ pq − 3r + Do ta cần chứng minh 48r ≥ (9r − 1) 3q − 3r + bất đẳng thức hiển nhiên Nếu r > bất đẳng thức viết lại sau √ M , Nếu r ≤ √ 9r(3r + 5) − 3q ≥ M 9r − Dễ thấy vế trái... bất đẳng thức hiển nhiên Ví dụ Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a b c 14(a2 + b2 + c2 ) + + +2≥ b c a (a + b + c)2 Lời giải.(có thể tham khảo ví dụ 6) Chuẩn hóa a + b + c = viết lại bất đẳng

Ngày đăng: 03/05/2018, 12:59

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w