Từ một bất đẳng thức thú vị dành cho học sinh THCS ôn thi vào chuyên

Tuyển tập chuyên đề toán THCS trên báo toán học tuổi trẻ http://edufly.vn TỪ MỘT BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC THÚ VỊ Trong quá trình giải toán tôi đã phát hiện được khá nhiều bổ đề có thể áp dụng để giải nhiều bài toán khác. Bổ đề sau là một tron số đó. Bổ đề.Với x, y là các số dương ta có: 2 2 2 1 1 8 ( ) x y x y    (*) Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta có: 2 2 2 2 2 1 1 2 ( ) 4 . 8 x y xy x y x y           Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y Sau đây là một số bài toán áp dụng bổ đề (*). Bài toán 1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca  abc Chứng minh rằng: 2 2 2 8 8 8 2 b c c a a b a b b c c a a b c             Lời giải: Sử dụng bổ đề (*) ta có: 8 8 8 a b b c c a      2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b b c c a a b b c c a          Rút gọn vế phải ta được 2 2 2 2 b c c a a b a b c       1 1 1 a b c         Từ đó kết hợp với giả thiết  đpcm, đẳng thức xảy ra 3 a b c     Bài toán 2: Cho các số a, b, c, thỏa mãn a > b > c.Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 1 4 2 ( ) ( ) a c ac a b b c        Lời giải: Áp dụng bổ đề (*) với x = a- b > 0 và y = b – c >0 ta có: 2 2 1 1 ( ) ( ) a b b c    2 8 ( ) a c   (1) Áp dụng bất đẳng thức Cô- si ta được: Tuyển tập chuyên đề toán THCS trên báo toán học tuổi trẻ http://edufly.vn 2 2 ( ) 8 4 2 ( ) a c a c     (2) Cộng theo vế của (1) và (2) rồi rút gọn ta được đpcm, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi có đẳng thức ở cả (1) và (2)  a – b = b – c và 4 ( ) 16 a c    a = c +2 và b = c + 1 (c  R)  Hy vọng các bạn sẽ tìm thấy nhiều điều thú vị nữa xung quanh bổ đề (*) .Sau đây là một số bài luyện tập. Bài toán 3: Cho các số dương a, b, c Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 2 2 2 a b c a b b c c a                           Bài toán 4: Cho a, b, c là các số dương có tổng bằng 1.Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 a b b c c a a b c                              Bài toán 5: Cho các số dương a, b, c, chứng minh rằng: 2 2 2 b c c a a b a b c       2. 1 1 1 a b c         . Tuyển tập chuyên đề toán THCS trên báo toán học tuổi trẻ http://edufly.vn TỪ MỘT BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC THÚ VỊ Trong quá trình giải toán tôi đã phát. 2 1 1 ( ) ( ) a b b c    2 8 ( ) a c   (1) Áp dụng bất đẳng thức Cô- si ta được: Tuyển tập chuyên đề toán THCS trên báo toán học tuổi trẻ http://edufly.vn 2 2 ( ) 8 4 2 ( ) a. đpcm, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi có đẳng thức ở cả (1) và (2)  a – b = b – c và 4 ( ) 16 a c    a = c +2 và b = c + 1 (c  R)  Hy vọng các bạn sẽ tìm thấy nhiều điều thú vị