Toán Lớp 9: Chủ Đề 8. Bất Đẳng Thức

Ví dụ 1: Cho x y , là các số dương thỏa mãn x y   2. Vì vậy ta phân tích bài toán như sau:.. Bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết thành:. Bài toán được giải quyết hoàn toàn.. T[r]

Chủ đề - BẤT ĐẲNG THỨC

Phần 1: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔ SI) Cho số thực khơng âm a b c, , ta có:

1.a b 2 ab Dấu đẳng thức xảy a b

2.a b c  33abc Dấu đẳng thức xảy a b c  Các bất đẳng thức 1, gọi bất đẳng thức Cauchy cho số thực không âm (Cịn gọi bất đẳng thức Cơ si hay bất đẳng thức AM- GM) Để vận dụng tốt bất đẳng thức Cauchy Ta cần nắm kết sau:

1) 2

1 2

a b  a b  a b ;





2 x y

x y

a b a b

  



2) 2

1 1 3

a b c   a b c   a b c

3)

2 2

( ) ( ) ( )

4 4

a ab b  a b  a b  a b

4)

2 2 2

( ) ( ) ( )

4 4

a ab b  a b  a b  a b

5)





2

2 2

3 a b c

ab bc ca     a b c

6)





2

2 2 x y z x y z

a b c a b c

 

  

 

7)





3

3

4 a b a b  

8)









2

2 4 4

2

4 2 ( ) 4 ( )

2( )

2

a b a b a b

a b  a b      a b  

 

 

9) Với a b, 0

1

( )

2

m n m n m m

a  b   a b (*) Thật BĐT cần chứng minh tương đương với

(an bn)(ambm)(anbn) 0

(**) Tổng quát ta có 2

n

n n

a b a b     Thật áp dụng (*) ta có

1

2 2

n

n n n n

a b a b a  b   a b 

    

    

10) Với a b c, , 0

1

( )( )

3

m n m n m n m m m n n n

a  b  c   a b c a b c (*) Thật ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

(am bm)(anbn) ( bm cm)(bn cn) ( cm am)(cn an) 0

mà điều hiển nhiên

Tổng quát ta có: 3

n

n n n

a b c a b c     

Thật áp dụng (*) ta có:

1 1 2

3 3 3

n n n n n n n n n

a b c a b c  a  b  c  a b c   a  b  c  

   

   

      

Áp dụng bất đẳng thức ta có:

3 3

n

n n n n n n n n n n n n

n

a  b  b  a b c  a b c  a b c 

 

 

 

Tương tự ta có:

1 1 1

3

n

n n n

a b c a b c

 

     

  

 

 

Do

1 1

a b c   a b c  suy

1 1

3

n

n n n

a b c a b c

 

    

 

  .

11)

1

1 1

a b   ab với a b, 1

Tổng quát: với a b, 1 ta có





1

(1 )n (1 )n 1 n

a  b  ab

  

12) Với 0a b, 1

1

1 1

a b   ab

Tổng quát: Với a b, 

 

0;1 ta có:

1

1 1

n a n b n

ab

 

13) Một số kết suy từ bất đẳng thức Cô si

+



 

 







3

3 3 3

a b x y m n  axm byn

(*) Áp dụng BĐT Cauchy ta có:



 

 



3 3

3 3 3 3 3 3 3 3 3

3

3

a x m axm

a b  x y m n  a b x y m n



 

 



3 3

3 3 3 3 3 3 3 3 3

3

3

b y n byn

a b  x y m n  a b x y m n

Cộng hai bất đẳng thức chiều ta suy ra:



3

 

3

 

3



3

3

3 axm byn

a b x y m n



 

  



3

 

3

 

3







3

a b x y m n  axm byn

+ Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được:



3 3 3

 

3 3 3

 

3 3 3







3

a b c x y z m n p  axm byn czp 

Ví dụ 1: Cho số thực không âm a b c, , Chứng minh rằng:

a)





3

a b ab a b .

b) 3 3 3

1 1

a  b abc b  c abc c a abc abc Với ( , ,a b c0) c)



a b b c c a

 



 





8abc

d)



 

 





 



8

a b b c c a    a b c ab bc ca    e) Cho



a b b c c a

 



 





1 Chứng minh:

3 ab bc ca  

( Trích đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội năm 2015)

a) Ta có :









3 2

a b  a b a ab b

Suy



 









 



2

3 2 0

a  b ab a b  a b a  ab b  a b a b  

suy đpcm

b) Áp dụng bất đẳng thức câu a ta có:









3

a b abc ab a b  abc ab a b c   Suy ra





3

1

a  b abc ab a b c  Tương tự ta có:









3 3

1 1

;

b  c abcbc a b c c  a abc ca a b c  Cộng ba bất đẳng thức chiều suy ra:

3 3 3

1 1

a  b abc b  c abc c a abc abc Dấu xảy a b c 

c)



a b b c c a

 



 





8abc Cách 1: Ta có:



 

 



2 , ,

a b  ab b c  bc c a  ca a b b c c a    abc.

Cách 2:



a b b c c a

 



 



 

 a b c ab bc ca 

 

 



abc Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: a b c  33abc ab bc ca,   33 a b c2 2 



a b c ab bc ca 

 

 



9abc Suy ra



a b b c c a

 



 



 

 a b c ab bc ca 

 

 



abc8abc.

Chú ý:



a b b c c a

 



 



 

 a b c ab bc ca 

 

 



abc biến đổi sử dụng nhiều chứng minh bất đẳng thức:

d)



 

 





 



8

Chú ý rằng:



a b b c c a

 



 



 

 a b c ab bc ca 

 

 



abc Áp dụng câu c ta có đpcm

e) Ta ý:



a b b c c a

 



 



 

 a b c ab bc ca 

 

 



abc Suy

1 abc ab bc ca

a b c    

  . Theo bất đẳng thức Cô si ta có:



 

 



3

3

2 a b b c c a      a b b c c a       a b c

.Mặt

khác sử dụng:



 

 



1

8 a b b c c a    abcabc

Từ suy ra:

1

1 8

3

2

abc ab bc ca

a b c

 

    

 

Dấu ‘’=’’ xảy

2 a b c  

Ví dụ 2:

a) Cho số thực dương a b c, , cho a b c ab bc ca     6 Chứng minh rằng: a2b2c2 6 Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà Nội 2013

b) Cho số thực dương a b, cho : 1

2

a b  Chứng minh:

4 2 2

1 1

2 2

Q

a b ab b a a b

  

    Trích đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Nguyễn Trãi- Hải Dương 2013)

c) Cho số thực dương a b, cho a b 2 Chứng minh:



2



2

1

2 a b a b 10

b a a b

   

       

d) Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c  2 Tìm giá trị nhỏ P 2a bc  2b ac  2c ab Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà Nội 2014

e) Cho số thực khơng âm a b, cho a2b2 4 Tìm GTLN

ab P

a b 

  Trích đề tuyển sinh lớp 10- TP Hà Nội 2015. Lời giải:

a) Dự đoán dấu xảy a b c  1 Ta có cách giải sau: Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có:

2 2 , 2 2 , 2 2 , 1 , 1 , 1 2 a b  ab b c  bc c a  ac a   a b   b c   c Cộng bất đẳng thúc chiều ta suy



2 2







2

3 a b c  3 ab bc ca a b c     12a b c 3

Dấu xảy a b c  1

b) Dự đốn a b 1 bất đẳng thức xảy dấu Từ ta có cách áp dụng BĐT Cô si sau:

Ta có: a4b2 2a b b2 , 4a2 2ab2 Từ suy













2 2

1 1 1

2 2 2

Q

a b ab b a a b ab a b ab a b ab a b

    

    

Từ

giả thiết 1

2 a b a b 2ab

a b ab



      

suy





2 Q

a b 



Do

1 1

2

2 a b a b a b

    

  Suy Q

c) Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:





2





2





2

2

2

2 a b 2ab a b ab a b ab 10

ab a b

   

     

  Hay

2 3 2

2

4

8 4ab ab ab 10 2a b 4a b 24ab 12a b 36 18ab ab a b

 

            

2 3 2

2a b 4a b 24ab 12a b 36 18ab 4t 10t 42t 36

            

(*) với





2

0

4 a b t ab 

   

Ta có (*) tương đương với:

3

2t 5t 21 18 0t   



t 2





t2 3 18t



0 Do 2t2 3 18 0t 

t  nên



t1 2





t2 3 18t



0 Dấu xảy khi

1

t   a b .

d) 2a bc  a a b c



  



bc Áp dụng bất đẳng thức Cô si



 



2 a b a c a b a c     

, tương tự ta có:







 



2

2 b a b c b ac  b a b c  ac  b a b c     

,

2 c a c b c ab    

Từ suy

2 2

2 2 2( )

2 2

a b c b c a c a b

P a bc  b ac  c ab           a b c  

.Dấu xảy

2 a b c  

Ta viết lại ab P

a b

 

  Đặt a b    2 t t





2

2 2 2 2 2 2

a b ab t ab t t

        



 

2



2

2

a b  t

.Ta có :



2







2





2

2 a b  a b  a b    8 a b 2   2 t 2 2

chứng minh:

2 2 2

2

ab t t

P

a b t

 

 

  .Dự đoán dấu xảy khi

2 2

a b   t  nên ta chứng minh:



 



2

2

1 2

2 2 2

2

t t

P t t

t  

         

 

Hay







 



2 2 1 2 0 2 2 2 1 0

t   t   t  t  

Bất đẳng thức 2 t 2 2 Dấu xảy

2 2

t    a b .

MỘT SỐ KỸ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠ SI. 1 Dự đốn dấu để phân tích số hạng vận dụng bất đẳng

thức Cơ si.

Đối với tốn bất đẳng thức đối xứng thông thường dấu xảy biến sở để ta phân tích số hạng cho áp dụng bất đẳng thức Cơ si dấu phải đảm bảo

Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1: Cho x y, số dương thỏa mãn x y 2 Chứng minh





2 2

2

x y x  y 

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 Chu Văn An, Hà Nội – Amsterdam 2006-2007) Lời giải:

Ta dự đoán dấu xảy x y 1 Khi xy1,

2 2

x y 

Mặt khác để tận dụng giả thiết x y 2 ta đưa đẳng thức





2









2 2 1 .2 2

2

x y x y  xy xy x y

Theo bất đẳng thức Cauchy





2

1

x y xy  

,









2

2

2 2

2

2

x y xy x y

xy x y       

  Từ

suy





2 2

2

x y x y 

Dấu xảy x y 1

Ngoài cách làm ta giải tốn cách đưa biến: t x y  t xy với ý:



x y



2 4xy, 2 x



2y2







x y



2

Thật vậy: Đặt





2 2

;

txy x y x y  xy.

2 2

4 x y 2t x y 2t

        Do





2

1

4 x y

xy     t Ta

cần chứng minh:













2 4 2 2 2 1 0 1 1 0

t  t   t t    t t   t

Bất đẳng thức với giá trị 0 t

Ví dụ 2:

a) Cho a b, số không âm thỏa mãn a2b22 Chứng minh rằng:









3

a a a b b b b a 

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Ngoại Ngữ ĐHQGHN năm 2008-2009)

b) Với ba số dương x y z, , thỏa mãn x y z  1, tìm giá trị lớn

của biểu thức:

x y z

Q

x x yz y y zx z z xy

  

      (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội 2014)

a) Dự đoán dấu xảy a b 1 Khi

3a a 2 ,3b b b 2a nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp cho biểu thức dấu

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng x y xy 

, dễ thấy





2

3 2

2 a a b

a a a b a    a ab ,





2

3 2

2 b b a

b b b a b    b ab

Cộng hai bất đẳng thức lại vế theo vế, ta được:











2



3 2

M a a a b b b b a  a b  ab  ab

Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với giả thiết, ta có:

2

4 2 ab 4 a b 6 Từ ta có M 6 Dấu xảy ra

a b    .

b) Ta có:

















2

x x x y z yz x x x yz x

x

x yz x x x y z yz x x x yz

     

 

     

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy co hai số thực dương a b ab 

ta có:



 











2

2 x y x z

x x

x x y x z x xy xz

xy yz xz xy yz xz xy yz xz

  

 

  

     

 

      Chứng

minh tương tự cộng vế, ta suy Q1.Đẳng thức xảy

3 x  y z

Vậy Q lớn

1 x  y z

Ví dụ 3: Cho c0 a b c,  Chứng minh









Lời giải:Dự đoán dấu xảy a b Bất đẳng thức cần chứng minh viết thành:

c a c c b c P

b a a b

 

  

Sử dung bất đẳng thức Cauchy dạng:

2 x y xy 

, ta có:

1

1

2 2

c a c c b c c c c c

b a a b b a a b

P

 

      

   

Bài toán giải hoàn toàn Đẳng thức xảy

1 1 c a c

b a

c b c a b c

a b

  

   

 

 

 Ngồi ta chứng minh tốn biến đổi tương đương

Ví dụ 4: Cho x y z, , số thực dương Chứng minh rằng:

2 2

2 2 2 2

x y z

x  yz y  zx z  xy  . Lời giải:

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng: 2ab a 2b2, dễ thấy:

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

x y z x y z

P

x yz y zx z xy x y z y z x z x y

      

        

Đẳng thức xảy x y z

Ví dụ 5: Cho x y, 0 x y 1 Chứng minh





4

8 x y

xy

  

Dự đoán dấu xảy

1 x y

Ta đánh giá x4y4 để đưa xy Theo bất đẳng thức Cô si ta có: x4y4 2x y2 suy





4 2

8 x y 16x y

Suy





4 2

8 x y 16x y

xy xy

   

Để ý dấu xảy 2

16x y 1 nên ta phân tích sau:

2 2 1

16 16

4

x y x y

xy xy xy xy

    

Áp dụng bất đẳng thức Cô si

3

a b c   abc ta có:

2 1

16

4

x y

xy xy

  

,





2

4

4 xy x y  xy

Suy

2 1

16

4

x y

xy xy xy

     

Đẳng thức xảy

1 x y 

Ví dụ 6) Cho a b c, , số dương thỏa mãn a b c  3 Chứng minh

rằng:

2 2

2 2

2 2

9

a b c a b b c c a

a b c

  

 .

Lời giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành:



2



2 2

2

a b b c c a

a b c

 

    

 



2



2 2

1 1

2 a b b c c a

ab bc ca

      

Mặt khác sử dụng bất đẳng

thức Cauchy ba số, ta có:

2 3 2

2

1

3

a b a b a b a b a

ab ab

   

,

2 3 2

2

1

3

b c b c b c b c b

bc bc

2 3 2

2

1

3

c a c a c a c a c

ca ca

   

Cộng ba bất đẳng thức lại vế theo vế, ta được:



2



2 2

1 1

2 a b b c c a

ab bc ca

     

Dấu đẳng thức xảy hcir a b c  1

Ví dụ 7) Cho x y, 1 Chứng minh rằng:



 





 



3 2

8

1

x y x y

x y

  



  .

Giải:

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:



 



2 2 2

2

1 1 1 1

x y x y xy

P

y x y x x y

   

     

(1) Mặt khác, lại để ý

rằng sử dụng bất đẳng thức Cauchy hai số dạng a b ab  

, thì:









1

1 1 ; 1

2 2

x x y y

x  x     y  y    

Nhân hai bất đẳng thức lại theo vế, ta thu được:



 





 



2

1

4 1

xy xy

x y

x y

    

 

(2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy

2

2

1

2,

x y

x y

y x

x y

 

     



  

 .

kết liệu tốn để tìm điểm rơi Từ áp dụng bất đẳng thức Cauchy để thu kết quả:

Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 8: Cho x y z, , 0 thỏa mãn: xy yz zx  1 Tìm GTNN

2 2

P x y  z

Giải:

Ta dự đoán dấu xảy x y az mong muốn biến đổi :

2 2 ( )

P x y  z k xy yz zx  để tận dụng giả thiết xy yz zx  1 dấu xảy x y az Để có tích x y ta áp dụng x2y22xy Để tạo yz ta áp dụng: y2a z2 2ayz Để tạo zx ta áp dụng:

2 2 2

a z x  azx

Vì hệ số yz zx, a nên ta nhân a vào bất đẳng thức cộng lại theo vế ta thu



2

 

2 2

 

2 2





1





2



2 2

( )

2

a x y y a z a z x a x y a z

a xy yz zx           

Hay 2a(a1)(x2y2) 2 a z2 Để tạo P x 2y22z2ta cần có tỷ

lệ:

2

( 1) : 1:

2 a a  a     a a 

Từ ta tìm được:

5 1

a P

a

  

 Các em học sinh tự hoàn thiện lời giải

Ví dụ 9) Cho x y z, , 0 thỏa mãn: x y z  3 Tìm GTNN

2

P x y z

Ta dự đoán dấu có x y a z b  ,  ; 2a b 3 Theo bất đẳng

thức Cơ si ta có:

2 2

3 3

2

3 x a ax y a ay z b b b z   

   

   

 Cộng ba bất đẳng thức chiều ta có: x2y2z32a22b32 (a x y ) 3 b z2 Tức là:

2 2 ( ) 3 2 2

x y z  a x y  b z a  b

Bây ta cần chọn a, b cho : 3a b2 1:1

2

2

2

a b a b     

 

 Giải hệ tìm

được:

19 37 37

;

12

x  y a  z c  

Từ bạn đọc tự hồn thiện lời giải:

Ví dụ 10) Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn: a22b23c2 1 Tìm GTNN P2a33b34c3

Lời giải:

Dự đoán dấu xảy a x b y c z ;  ;  với x y z, , 0

2 2 3 1

x  y  z 

Ta có: a3a3x33a x2 ;

3 3 3

b b y  b y; c3c3z33c z2

, suy

3

2a 3a x x

3 3 3

b b y  b y 3b392 yb232 y3,

3 3 3 2 3

đẳng thức chiều suy ra:

2 2 3 3

3 2

2

P xa  yb  zc x  y  z

 

Ta cần chọn x y z, , để:

: : 1: :

x y z

x22y23z21 Áp dụng tính chất dãy tỷ số ta dễ dàng tìm được:

6

; ;

407 407 407

x y z

Học sinh tự hoàn thiện lời giải Ví dụ 11) Cho số thực dương a b c d, , , thỏa mãn:

1

abc bcd cda dab    Tìm GTNN P4



a3b3c3



9d3.(Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Trường chuyên KHTN- ĐHQG Hà Nội 2012) Lời giải:

Biểu thức P cho ta dự đoán dấu xảy a b c xd   , Để giảm ẩn toán ta áp dụng bất đẳng thức Cơ si theo cách: Khi a3  b3 c3 3abc, b3 c3 x d3 3xbcd, c3a3x d3 33xcad,

3 3 3

a  b x d  xabd

Suy



3 3



3 3

3 3

3 3 3 3 x a b c xabc b c x d xbcd c a x d xcad a b x d xabd

   



   



  



   

 Cộng bốn bất đẳng thức chiều ta có:













3





2 2 3

x a  x b  x c  x d  x abc bcd cda dab    x

Bây ta chọn x cho





3

3

2 : :

3

x

x x x x

x 

      

Đặt

1

2

x y

y

 

   





36 35 , 36 35 36 35 36 35

2

y  y   x   

Bạn đọc tự hoàn thiện lời giải

2 Kỹ thuật ghép đối xứng

Trong nhiều toán mà biểu thức hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn ta sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng để toán trở nên đơn giản

ở toán bất đẳng thức, thông thường hay gặp hai dạng sau: Dạng 1: Chứng minh X Y Z    A B C

ý tưởng: Nếu ta chứng minh X Y 2A Sau đó, tương tự hóa đẻ Y Z 2B Z X 2C (nhờ tính đối xứng tốn) Sau cộng ba bất đẳng thức lại theo vế rút gọn cho 2, ta có điều phải chứng minh

Dạng 2: Chứng minh XYZABC với X Y Z, , 0

Ý tưởng: Nếu ta chứng minh XY A2 Sau đó, tương tự hóa để

YZ B ZX C2

(nhờ tính chất đối xứng tốn) Sau nhân ba bất đẳng thức lại theo vế lấy bậc hai, ta có:

2 2

XYZ  A B C  ABC  ABC

Ví dụ Cho ba số dương x y z, , thỏa mãn x y z  1 Chứng minh

2 2 2

2x xy2y  2y yz2z  2z zx2x 

Ta cần đánh giá dạng :





2

2x xy2y  mx ny sao cho dấu xảy

ra x y Để có đánh giá thông thường ta viết lại





2



 

2











2 2

2x xy2y a x y b x y  a b x 2 b a xy  a b y

Từ suy

3

4

5

4

a b a

b a

b



  

 

 

   

  

 

Từ ta có:





2





2





2





2 5 2

2 2

4 4

x xy y  x y  x y  x y  x xy y  x y

tương tự ta có bất đẳng thức cộng lại ta có:





2 2 2

2x xy2y  2y yz2z  2z zx2x  x y z  

dấu xảy

1 x  y z

Ta chứng minh trực tiếp:









2

2 2

2 2

2

x y

x xy y    x xy y  x y





2 5





2





2

2

4

x y

x y xy x y  xy

      

(đúng theo Cauchy) Ví dụ Cho số thực dương a b c, , cho ab bc ca  1 Chứng minh

rằng:





4 4

2

9

abc a b c   a b b c c a

(Trích đề tuyển sinh vào lớp 10- Trường Chuyên KHTN- ĐHQG Hà Nội 2014)

Lời giải:





4 2

4 2 4

4 2

1

3

1

3 9

1

3

a b abc ca a bc

b c a bc ab b ca abc a b c a b b c c a c a ab c bc c ab

   

 

          

 

   

 (1).

Mặt khác ta có:





1





2

3

abc a b c  ab ac bc ba ca cb   ab bc ca  

Suy





4

3abc a b c  9 (2) Cộng theo vế (1) (2) ta có đpcm.

Ví dụ 3) Cho ba số dương x y z, , thỏa

1 1

2

1x1y1z  Chứng minh

rằng

1 xyz

Giải:

Từ giả thiết

1 1

2

1x1y1z  , ta suy ra:



 



1 1

1

1 1 1 1

y z yz

x y z y z y z

   

       

          



 



1

1 1

yz

x y z

 

  

Hồn tồn tương tự ta có:



 





 



1

2 ;

1 1 1

zx xy

y  z x z x y

Nhân ba bất đẳng thức lại theo vế, ta thu được:



1

 

11

 

1

 

1

 

18

 

1



12

xyz

xyz

x y z  x y z  

      .

Ví dụ 4. Cho

, ,

x y z

1 1

1

x  y z Chứng minh rằng



x2

 

y2

 

z2



1

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2005-2006) Lời giải:

Với giả thiết x y z, , 2, ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để đưa toán dạng đơn giản quen thuộc Đặt x a 2;y b 2;z c 2 với a b c, , 0 Bài toán quay chứng minh abc1

Với a b c, , 0 thỏa mãn:

1 1

1

2 2 2

a b c

a b c   a b c  .

Ta có:

1 1 1 1

1

2 2 2 2

c a b a b

   

        

        











 



2 2 2

a b ab

a b a b

  

   

Tương tự:



 





 



1

;

2 2 2

ca bc

b  c a a  b c

Nhân ba bất đẳng thức lại theo vế, ta được:



2

 

12

 

2

 

2

 

2

 

2



abc

Ví dụ 5) Cho x y z, , số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức

1 1

2 2

x y z

P

y z z x x y

   

      

    

   .

Giải:

Ta có



 

 





 

 



2 2

8

x y z y z x z x y P

x y y z z x

      



   (1) Theo bất đẳng thức Cô si ta có:



 





 



2x y z   x y x z  2 x y x z 

(2)



 





 



2y z x   y z y x  2 y z x y 

(3)



 





 



2z x y   z x z y  2 z x z y 

(4) Nhân vế (2),(3),(4) từ (1) suy P1

Dấu (5) xảy  đồng thời có dấu (2),(3),(4)

0 x y x z

y z y x x y z z x z y

   



           

 .Từ suy minP1. 3 Kỹ thuật cô si ngược dấu:

Ví dụ Cho a b c, , 0 a b c  3 Chứng minh rằng:

3 3

3

a b c

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

3 2

1 1 1 1

1

2

a b b

b ab b a b b ab b a b a

 

          

    Tương tự:

3

1 1 1

1 ;

4

b c

c bc c b a ca a c

   

         

     

Cộng ba bất đẳng thức lại vế theo vế, ta được:

3 3

3 1

4

a b c

b ab c bc a ca a b c

 

      

    

Bài toán quy chứng minh:

3 1 3 1 a b c a b c

        

 

 

1 1

3

a b c a b c

a b c

     

            

      Bất đẳng thức cuối hiển nhiên theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:

1 1

2, ; 2;

a b c

a    b c 

Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy

a b c   .

Ví dụ 2) Cho a b c, , 0,a b c  9 Chứng minh:

3 3 3

9

9 9

a b b c c a

ab bc ac

     

   .

Ta chứng minh





3

3

3 3

2

1 36( )

( ) , ( )

4 ( ) 36 ( ) 36

a b

a b a b

a b a b ab a b a b

ab a b a b



 

         

    

Mặt khác ta có: (a b )236 12( a b ) Suy

3

3

a b

a b ab



  

 Cộng ba

Ví dụ 3) Cho x y z, , 0 x y z  3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2

1 1

x y z

P

y z x

  

   .

Lời giải:

Ta có:

2

2

1

x xy

x y   y

  Theo bất đẳng thức Cơ si 1y2 2y

Suy

ra 2

x xy

x

y  

 Tương tự, ta có: 1 2

y yz

y z  

 , 1 2

z zx

z x  



Cộng vế ba bất đẳng thức ta có









2

P x y z   xy yz zx  Mặt khác theo bất đẳng thức Cơ si, ta có:



 



2

3 xy yz zx   x y z  Vì

3

x y z   xy yz zx   Như minP    32 x y z 4 Phương pháp đặt ẩn phụ:

Kỹ thuật đặt ẩn phụ kỹ thuật đặc biệt chứng minh bất đẳng thức:

Việc chọn ẩn phụ thích hợp giúp tốn trở nên đơn giản hơn: Một số kỹ thuật hay gặp sau:

1 Khi có giả thiết : a b c abc   ta biến đổi thành:

1 1

1 ab bc ca   đặt

1 1

; ;

x y z xy yz zx a  b  c      Khi gặp giả thiết a b c  1 ta viết thành:

ab ac bc ba ac cb

c b  a c  b a  Đặt

, ,

ab bc ca

x y z xy yz zx

3 Khi gặp giả thiết: ab bc ca abc   4 Ta viết thành:

1 1

1

2 2

a b c  Đặt

1 1

; ;

2 2

x y z x y z

a b c

      

   .

4 Từ điều hiển nhiên: +

1 1

1

1 1

x y z

y z z x x y

x y z x y z x y z

x y z

      

  

        

Đặt

; ;

y z z x x y

a b c

x y z

  

  

ta suy

1 1

1

1 1 abc a b c

a b c       Từ suy gặp giả thiết: abc a b c   2 ta đặt:

; ;

y z z x x y

a b c

x y z

  

  

+ Nếu đổi





1 1

, , ; ;

a b c

a b c

 

  

ta có: abc a b c   2 tương đương với ab bc ca  2abc1 Vì gặp giả thiết

2

ab bc ca   abc ta đặt ; ;

x y z

a b c

y z z x x y

  

   .

Một cách tổng quát: Khi gặp giả thiết:

1 1

1 k a k b k c      khai triển thu gọn ta có:







 

 



3 2

3

k  k  k  k a b c   k ab bc ca  abc

Suy tồn số x y z, , cho

1 1

; ;

x y z

các số thực dương a b c, , thỏa mãn:

1 1

1

k a k b k c      Thì tồn số m n p, , 0 cho:

; ;

m n p m n p m n p

a k b k c k

m n p

     

     

+ Nếu a b c, , 0 ab bc ca abc   4 ta đặt

2 2

; ;

m n p

a b c

n p p m m n

  

   .

+ Nếu a b c, , 0 a b c   1 4abc ta đặt

; ;

2 2

n p p m m n

a b c

m n p

  

  

5 Khi gặp giả thiết: xyz1 Ta chọn phép đặt:

2 2

; ; 1;

a b c

x y z abc

b  c  a   

2 2

; ;

a b c

x y z

bc  ac  ab hoặc

; ;

x y z

a b c

y z x

  

…

6 Đặt: x a b c y b c a z c a b   ;    ;    đặt

; ;

x a b y b c z c a      …

Ví dụ 1: Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn điều kiện x y z xyz   Tìm giá trị lớn biểu thức

2 2

1 1

1 1

P

x y z

  

   .

Lời giải:

Từ giả thiết x y z xyz   , ta có

1 1

1

xy yz zx Đặt

1 1

; ;c , ,

a b a b c

x y z

Giả thiết trở thành: ab bc ca  1 ,

2 2

1 1

a b c

P

a b c

  

   Để

ý rằng:



 





 





 



2 1 ; 1 , 1

a   a b a c b    b a b c c    c a c b 

Lúc P có dạng



 





 





 



a b c

P

a b a c b a b c c a c b

  

     

a a b b c c

a b a c a b b c c a c b

  

      Theo bất đẳng thức Cơ si,

ta có:

1

2

a a b b c c

P

a b a c b a b c c a c b

 

       

     

  hay

3 P

Dấu = xảy

1

3

a b c      x y z

Vậy

3 max

2 P

Giá trị lớn đạt x  y z

Ví dụ 2) Cho x y z, , 0 x y z  3xyz.Chứng minh:













3 3

2 2

yz zx xy

x z y  y x z  z y x  Lời Giải:

Đặt 3





3





3





yz zx xy

P

x z y y x z z y x

  

   , đặt a1x;b 1y;c1z Từ giả thiết ta có a b c, , 0 ab bc ca  3 Lúc dễ thấy

3 3

2 2

a b c

P

b c c a a b

  

   Theo bất đẳng thức Cơ si ta có:





3

2

9

2

2

a

b c a a

b c   ,





3

2

9

2

2

b

c a b b

c a   ,





3

2

9

2

2

c

a b c c

a b  







2 2



9P3 ab bc ca  6 a b c

Mặt khác ta có kết quen thuộc:

2 2

a b c ab bc ca  kết hợp với ab bc ca  3 suy P1 Vậy minP1 Giá trị nhỏ đạt x y z  1.

Ví dụ 3: Cho a b c, , độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng:



a b c b c a c a b 

 

 

 

 



abc.

Lời giải:

Đặt , ,

x y z x a b c y b c a z c a b            a b c  

Từ ta

suy ; ;

z x x y y z

a  b  c 

Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:



x y y z z x

 



 





8xyz Đây bất đẳng thức quen thuộc ( xem 1)

Ví dụ 4. Cho x y z, , 2

1 1

1

x  y z Chứng minh rằng



x2

 

y2

 

z2



1

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm 2005-2006) Giải:

Với giả thiết x y z, , 2, ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để đưa toán dạng đơn giản quen thuộc

Đặt x a 2;y b 2;z c 2 với a b c, , 0 Bài toán quay chứng minh abc1

1 1

1

2 2 2

a b c

a b c   a b c  .Đến ta đặt tiếp

; ;

2 2

a b c

m n p m n p

a b c

      

   Ta có:

1 2 2

1

a n p m

a

m a a a m m n p

 

        

 Tương tự:

2

;

n p

b c

p m m n

 

 

Do bất đẳng thức trở thành:



 

 



2 2

m n p

m n n p p m mnp

n p p m m n        

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:



m n n p p m

 



 





2 mn.2 np.2 pm8mnp.

Bài toán giải xong Đẳng thức xảy

1

m n p a b c x y z

           .

Ví dụ Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn ab bc ca abc   4 Chứng minh rằng: ab bc ca3

Lời giải: Ta có:



 







4 12

ab bc ca abc    abc ab bc ca   a b c    ab bc ca   a b c 



a 2

 

b 2

 

c 2

 

a 2

 

b 2

 

c 2

 

c 2

 

a 2



          

1 1

1

2 2

a b c

   

Suy tồn số dương m n p, , cho:

2 2

, ,

m n p

a b c

n p p m m n

  

   .

Thay vào bất đẳng thức cần chứng minh ta được:

2 2 2

m n n p p m

n p p m   p m m n   m n n p  

2 m n n p p m

m p n p m n m p n p m n

   

      Sử dụng bất

đẳng thức Cauchy, ta có:

2 m n m n

m p n p   m p n p  

2 n p n p

m n m p  m n m p   ,2

p m p m

n p m n  n p m n  

Cộng ba bất đẳng thức lại theo vế, ta được:

2 m n n p p m m n n p m p

m p n p m n m p n p m n m n n p m p

  

     

        

BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR

Cho x y z, , số thực không âm số thực dương t Khi ta có:

( )( ) ( )( ) ( )( )

t t t

x x y x z  y y z y x  z z y z x   (*)

Đây bất đẳng thức có nhiều ứng dụng tương đối chặt nhiều toán Bđt hệ BĐT Việc chứng minh (*) đơn giản: Giả sử:





(*) t( ) t( ) t( )( )

x  y z  x y x x z   y y x z z y z x  

Điều hiển nhiên Dấu xảy số hai số nhau, số

2)





9 4( )( )

a b c   abc a b c ab bc ca   

3) abc(a b c b c a c a b  )(   )(   )

4)

2 2 9abc 2( )

a b c ab bc ca

a b c

     

  .

5)

4

2

( )( )( )

a b c abc

b c c a a b      a b b c c a    .

Các BĐT (4) (5) gọi BĐT SCHUR dạng phân thức t1

Ngoài cần ý biến đổi:



 



2





3 3 3 3

a   b c abc a b c   a b c   ab bc ca  

.Hoặc:









3 3 3 2

a   b c abc a b c a   b  c ab bc ca  

Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1) Cho a b c, , ba số thực không âm a b c  1 Chứng minh rằng: 9abc4



ab bc ca 



1

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Schur dạng:





3

9 4( )( )

a b c   abc a b c ab bc ca    .Thay a b c  1 ta có:





1 9 abc4 ab bc ca  Dấu đẳng thức xảy có hai số

bằng

2 số

1 a b c  

Ví dụ 2) Cho số thực dương a b c, , cho ab bc ca abc   4 Chứng minh: a2b2    c2 a b c 2



ab bc ca 



.(Trích đề tuyển sinh vào lớp 10- Trường Chuyên KHTN- ĐHQG Hà Nội 2015)

Áp dụng BĐT Schur dạng phân số ta có:

2 2 9abc 2( )

a b c ab bc ca

a b c

     

  Để chứng minh toán ta cần

chỉ ra:





2

9

9

abc

a b c a b c abc

a b c

      

  Theo bất đẳng thức Cơ si

ta có:









2

3

3

a b c   abc a b c   abc

Ta chứng minh: abc1 Thật từ giả thiết ta có: ab bc ca abc   4 mà

3 2

ab bc ca   a b c Đặt t abc

ta suy ra:



 



2

3 3 4 0 1 2 0 1

t  t    t t   t Suy abc1 hay





2

3 abc abc

suy đpcm Dấu xảy a b c  1 Ví dụ 3) Cho a b c, , số thực không âm cho a b c  1 Chứng minh





3 3

4 a  b c 15abc1 Lời giải:

Ta có:



 



2









3 3 3 3 1 3

a   b c abc a b c   a b c   ab bc ca    ab bc ca 

Suy









3 3

4 a  b c 15abc27abc 4 12 ab bc ca 









3 ab bc ca 12 ab bc ca          

Theo ví dụ ta có:





9abc4 ab bc ca  1

Từ suy ra:













27abc 4 12 ab bc ca  3 4 ab bc ca    1 12 ab bc ca  1

Hay





3 3

4 a  b c 15abc1

Dấu đẳng thức xảy có hai

số

2 số

Ví dụ 4) Cho số thực không âm a b c, , Chứng minh rằng:



 

2



2 2 33

a b  c abc  ab bc ca 

(Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 Trường chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2014)

Lời giải: Đặt

3a2 x b;3 y c;3 z

Suy ra: a2 x b3; y c3; z3 a x b3;  y c3;  z3 x y z, , 0 Bất đẳng thức cho thành:





3 3 3 2 3 3 3

x y z  xyz x y  y z  z x

(1) Áp dụng bất đẳng thức Schur ta suy ra:













3 3 3

x y  z xyz xy x y  yz y z zx z x

Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có: xy x y







2xy xy 2 x y3 Tương tự ta có: yz y z







2 y z3 , zx z x







2 z x3 Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta thu được:













2



3 3 3



xy x y yz y z zx z x  x y  y z  z x

(2)

Từ (1) (2) ta có:





3 3 3 3 3

3

x y z  xyz x y  y z  z x

Hay



 



2 2 33

a b c  abc  ab bc ca 

Đẳng thức xảy

x y z hay a b c  .

Ví dụ 5) Cho a b c, , số thực dương có tổng 1.Chứng minh



3 3





2 2



6 a  b c  1 a b c Lời giải:

Ta có:



 



2









3 3 3 3 1 3

suy









3 3

6 a  b c  1 3  ab bc ca  18abc1





2





1 18abc a b c 18 ab bc ca

        



 

2



2





1 18 abc5 a b c   a b c  18 ab bc ca 



2 2 2







2





1 a b c 18abc a b c ab bc ca

          



2 2







5 a b c 9abc ab bc ca          

Theo ví dụ ta có:









9abc4 ab bc ca   1 9abc 1 ab bc ca  0 Suy ra



3 3





2 2



6 a  b c  1 a b c Ví dụ 6) Cho a b c, , số thực dương

Chứng minh





2 2 2 1 2

a b c  abc  ab bc ca 

Lời giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:





2





2

a b c   abc  ab bc ca 



 



2

2abc ab bc ca a b c

       

, Áp dụng bất đẳng thức Schur

dạng phân số ta có:





2 2

2 abc

a b c ab bc ca

a b c

     

 

Hay :



 



2

4 abc

ab bc ca a b c

a b c        Do ta cần chứng minh

2abc abc a b c  

  hay

2 abc a b c

   

   

Nếu S 

hiển nhiên bất đẳng thức Nếu

9 a b c  

, áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta được:





3 9 2

9

2

27 27

s s s

s s abc

a b c s

  

 



     

 

   

    với s a b c  

Ví dụ 7) Cho a b c, , số thực không âm thỏa mãn điều kiện

1

ab bc ca   Chứng minh a3  b3 c3 6abc a b c   Lời giải:

Ta có:









3 3 3 2

a   b c abc a b c a   b  c ab bc ca  





2

1 a b c a b c         

Suy









3 3 6 9 2 1

a   b c abc abc a b c a  b  c

Áp dụng bất đẳng thức Schur dạng:





3

9 4( )( )

a b c   abc a b c ab bc ca   

Ta suy ra:







2





2 2



9abc a b c a  b   c 4s s  a b c s s



3 2 2



s s a b c s

     

với s a b c   Dấu xảy

khi

1 a b c  

hoặc có hai số 1, số BÀI TẬP RÈN LUYỆN CƠ BẢN

Câu 1) Cho

1

4 x

  

Chứng minh rằng: 4 x 4 x 2 Câu 2) Chứng minh với số thực khác khơng x y, , ta có:

2

2

x y x y

y  x  y x.

2

2

x y x y

y x y x

 

       .

Câu 4) Cho x1,y1 Chứng minh x y 1 y x 1 xy Câu 5) Cho hai số thực x y, khác Chứng minh rằng:





2 2

2 2

2

3

x y x y

y x x y   

Câu Cho số thực dương a b, Chứng minh bất đẳng thức sau:

2

3 2

2

2

a b a ab

a b a b

  

 

Câu 7) Cho số thực dương a b, Chứng minh bất đẳng thức 2

2

2

ab a b a b

ab a b

 

  

 .

Câu 8) Cho a b c, ,  



1;2



a b c  0 Chứng minh rằng: a) a2b2c2 6;

b) 2abc a 2b2c2 2abc2; c) a2b2c2 8 abc

Câu 9) Cho số thực không âm a b c, , Chứng minh





3 3 3 3

24

a b c  a   b c abc.

Câu 10) Cho a b c, ,   thỏa mãn a b c  1

Chứng minh

3

a bc b ca c ab a bc b ca c ab

     

Câu 11) Cho số thực dương a b c, ,

Chứng minh



3 3







2

2 2

2

33

a b c a b c

abc a b c

   

 

  .

Câu 12) Cho số thực a b c, , Chứng minh



2 2 2



2



3 3 3



3

a b c  a b b c c a 

Câu 13) Cho số x y z, , 0 x y z  1 Chứng minh x2y z 4 1



x

 

1y

 

1z



Câu 14) Cho số thực dương a, b Chứng minh:

2

2 2

2

4

ab b

a  b  a  b 

Câu 15) Cho số thực dương a b, Chứng minh bất đẳng thức

2

16 1

5

a b

b a a b a b

 

     

  .

Câu 16) Cho số thực dương a b, Chứng minh bất đẳng thức sau:





2

2

3

2 a ab b

a b a b

 

 

 .

Câu 17) Giả sử x y, số thực không âm thỏa mãn:

3 2

x y xy x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

1

2

x x

P

y y

 

 

  .

Câu 18) Cho a b c, , dương thỏa mãn: 6a3b2c abc Tìm giá trị lớn

nhất 2

1

1

B

a b c

  

Câu 19) Cho số a b c, , không âm Chứng minh



 

2



2 2 33

a b  c abc  ab bc ca 

.Đẳng thức xảy nào? Câu 20) Cho số thực dương a b, cho ab 1 b Tìm GTNN

2

1

P a b

a b

    HƯỚNG DẪN GIẢI;

Câu 1) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:





2

3 4 x 4 x 4

4 4x 4x 4x 4x

         .

Bất đẳng thức chứng minh

Câu 2) Bất đẳng thức cho tương đương với:

2

2

x y x y x y x y

y x y x y x y x

 

        

 





2



2 2



2

2 x y x xy y

x y x y

y x y x x y

  

  

        

  

Mà









2

2 2

2 x xy y x y  x y  0, x y, 0

nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy x y Câu 3) Bất đẳng thức cho tương đương với:

2

2

2 3

x y x y x y

y x y x y x

   

          





2



2 2



2

2 x y x xy y

x y x y

y x y x x y

  

   

       

   

   

Mà









2

2 2

2 x xy y x y  x y 0

với số thực x y, khác nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy x y Câu 4)

Đặt a x1,b y1 a0,b0 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:



a21

 

b b21

 

a a21

 

b b2 1





a2 1

 

b b2 1

 

2 a2 1



b



a2 1

 

b2 1

 

2 b2 1



a 0

            



2

 

2

 

2







2

1 1

a b b b a

       

Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a b 1 hay x y

Câu 5) Bất đẳng thức cho tương đương với:













2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

4

4

1 x y x y

x y x y x x y y

y x x y

x y x y

   

       

 





















2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

1

0

x y x y

x y

x y x y

x y x y

 

    

      

 

   



 















2

2 2 4 4 2 2

2

2 2

2

2 2 2 2

x y x y x y x y

x y x y

x y x y x y x y

   

     

Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x y

Câu 6)

Dấu đẳng thức xảy với a b khi:

2

3 2

1

;

2

a b a ab

a b a b



 

  .

Ta có biến đổi sau:

2 2

3 2 3 2

2 2

1

2 2

a b a ab a b a ab

a b a b a b a b

           



 



















2

2 2

3 3

2

0

2

3

a b a b a b a b

a b

a b a b

a b a b

 

       

     

 

   





2



3 3

 

2 2







3 2

a b  a b a b a b 

       





2



3 3 2 2





 



4

2 2 0

a b a b a b ab a b a b

         

(đpcm)

Câu 7) Ta có:









2 2 a b a b ab

a b a b      





2 2

2 2

2

2

2

a b

ab a b

a b

ab

a b ab a b

ab                   

Do bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:





2

2

2

2 1

0

2 2

2 a b

a b a b ab

ab

a b a b a b





2



2



2 2

a b  a b a b ab

       

 

Vì





0

a b 

nên ta cần chứng minh:



2



2a2b a b 2 ab0 (*)

















2 2

2

2

2

a b

a b a b

a b a b



    

  













2

2

2 a b

a b ab a b

a b 

    



Do bất đẳng thức (*) tương đương với:

















2

2 2 2

1

0

a b

a b a b

a b

 

 

   

  



 

 





2









2

2

2

a b  a b a b a b 

        

 





2



2 2



2

a b  a b ab

     

 





















4 2

2

2 2

2

0

2 2

a b ab a b

a b

a b ab a b ab

  

    

   

Bất đẳng thức hiển nhiên đúng, ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a b

Câu 8) Vì a b c, ,  



1; 2



nên có số bất đẳng thức hiển nhiên

a) Do a b c, ,  



1; 2



nên



 



2

1 2

a a  a  a

Tương tự ta suy ra: a2b2c2     a b c 6 (do a b c  0) b) Vì a b c, ,  



1;2



nên



a1

 

b1

 

c 1



0, hay

1 abc ab bc ca a b c       

1 abc ab bc ca

      (do a b c  0) (1) Mặt khác a b c  0 nên





2

0

a b c   , tức

2 2

2 a b c ab bc ca     

(2) Từ (1) (2) ta có:

2 2

2 2

1 2

2 a b c

abc     a b c   abc

Dấu đẳng thức có, chẳng hạn a 1,b1,c0 Ta cịn phải chứng minh a2b2c2 2abc Khơng tính tổng qt, giả sử a b c  Từ suy

a b c

c   c

     

Sử dụng đánh giá này, ta

2abc2 a b c 2 a b

Suy





2

2 2 2 2 2 0

a b c  abc a b c  a b  a b c 

Dấu đẳng thức có a b c  0

c) Vì a b c, ,  



1;2



nên



a2

 

b2

 

c2



0, hay









2

abc ab bc ca   a b c   





2

abc ab bc ca

     

(do a b c  0) (3)

Từ (3) (2) ta có: abc a 2b2c2  8 a2b2c2  8 abc Dấu đẳng thức có, chẳng hạn a2,b 1,c 1

Chứng minh



 

 



3 3

3a   b c a1 b1 c 1 Giải:

Đặt a x 1,b y 1,c z x y z, ,  



1;1



x y z  0 Ta có



 

 



3 3 3 1 1 1

P a   b c a b c



 

3

 

3



3

1 1

x y z xyz

      









3 3 2

3 3

x y z xyz x y z x y z

          

Mà x y z  0 nên









3 3 2

3

x y z  xyz x y z x  y z xy yz zx  

Do



2 2



3

P x y z 

Vậy ta có 0x2y2z2 2 nên 3 P Câu 9)

Giải:

Ta có:





3 3 3 3



 

 



3

a b c  a b  c a b b c c a  

Nên bất đẳng thức cho tương đương với:



a b b c c a

 



 





8abc

2 2 2 6

ab ac bc ba ca cb abc

      

2 2 2 2 2 2 0

ab abc ac bc abc ba ca abc cb





2





2





2

0

a b c b c a c a b

      

Vậy ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy a b c  Câu 10)

Ta có a bc a a b c 



  



bc



a b a c

 





nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:







 







 









 





32

a a b c bc b a b c ca c a b c ab a b a c b c b a c a c b

        

  

     

















a ab ac bc b c b ba bc ca c a

          











 

 



2

2

c ca ca ab a b    a b b c c a  

2 2 2 6

ab ac bc ba ca cb abc

      





2





2





2

0

a b c b c a c a b

      

Vậy toán chứng minh

Đẳng thức xảy

1

a b c  

Câu 11)

Bất đẳng thức cho tương đương với:



3 3







2

2 2

2

6 27

a b c a b c

abc a b c

   

   

 







2





2



2 2

2 18

0 a b c a b c ab bc ca a b c ab bc ca

abc a b c

           

  



2



2 2

9

2 a b c ab bc ca a b c

abc a b c

 

 

        

 

 



 

2

 

2

 

2





2 2 2



9

a b b c c a a b c a b c abc

   

            

Do



 

 



2 2

a b  b c  c a

nên ta cần chứng minh







2 2



9

a b c a  b c  abc



 

 



3 3 3 2 2 2 6 0

a b c abc a b c b c a c a b abc

           

Bất đẳng thức ta có:









3 3 3 2

a b  c abc a b c a  b  c ab bc ca 



 

 

2

 

2



2

0

a b c   a b  b c  c a 

 

Và



2 2

 

2 2

 

2 2







2





2





2

6

a b c b c a c a b  abc a b c  b c a c a b 

Đẳng thức xảy a b c  Câu 12) Giải:

Từ đẳng thức:



2 2 2



2



3 3 3

 

1 2 2



2

3

2

a b c  a b b c c a   a b  bc ab ac  



2 2



2



2 2



2

1

2

2 b c ca bc ba c a ab ca cb

         

Do x y z  1 nên bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành:



 



2



 

 



2

x y z x y z    x y y z z x  

Do vai trò x z bất đẳng thức nên ta hồn tồn giả sử x z

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng





4

a b  ab

, ta có





2





4

x y z   x y z

Sử dụng đánh giá này, dễ thấy chứng minh hoàn tất ta



 

 







x x y z  x y z x   y x z 

, hiển nhiên theo giả sử

x z .

Bài toán chứng minh xong

Đẳng thức xảy

1

;

2

x z  y

Câu 14) Viết lại bất đẳng thức thành:

2

2 2

2

4

ab b

a  b  a  b 

2 2 2

2 2 2 2

2 2 10 3

0

5

ab b a ab b a b

a b a b a b a b

  

       

   



 





 



2 2

2

0

4

a b a b a b a b

a b a b

   

  

 



a b

 

2 a 4b





3a2 2b2



3



a b a





4b2



 0

        







3 2 2 3





 

2



2

9 21 16

a b a a b ab b a b a b

Ta có điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy a b

2

a b

Câu 15) Vì a b, 0 nên bất đẳng thức cho tương đương với:

2

1 1

4

a b

b b a a a b a b

 

       



 









2

2

4

4 ab a b a b b a

b a a b ab

 

 

   

 



 











2

2

4

0 a b a b a b

a b a b ab

  

  





 

2



2





4

4 0

a b  a b ab a b

        

Bất đẳng thức cuối nên có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a b 0

Câu 16) Bài tốn có chứa nên để xuất nhân tử chung dạng





2

a b ta cần ý đến phép biến đổi





















2 2

2

2

2

a b

a b a b

a b a b



   

  

Khi đó:





2

2

3

2 a ab b

a b a b

   















2

2

3

2 2

a ab b

a b a b a b

a b

 

      



















2

2

2

a b a b

a b a b a b

 

 





2



2











2

a b  a b a b a b 

        

 





















4

2 2 2

2

2 0

2

a b

a b a b a b

a b a b



 

        

    

Bất đẳng thức cuối a b, dương.Đẳng thức xảy a b Câu 17)





3









2

3 2 3 2

x y xy x y  x y  xy x y xy x y  xy

Đặt

;

x y a xy b   , ta có:









3 3 3 0 1 3 1 0

a  ab b a  a a  b a 













2

2

1

1

3

x y a

a a b

a b x y xy

  

 

       

 



 

Vì





4 ; ,

x y  xy x y  suy x y 0 x y 1

Với x y

5

P

Nếu x y khác 0, ta có

0

1

0

x x y

y   

     

 ,



min



1;



max



0

3

y y

P P

x x

 

 

   

 

 

Vậy





4

3

P 

x0,y1;P



max



4 x1;y0 Câu 18) Đặt , 2,

b c

x a y  z

x y z, , số dương x y z xyz   .

Khi đó: 2

1 1

1 1

A

x y z

  

Ta có:







 











2

1

2

1

xyz yz y z

x x y z xyz x y x z x y x z

x            

Tương tự ta có:

















2

1

;

2 2

1

x z x y

x y y z x z y z

y      z     













2 2

x y x z y z

A

x y x z y z

  

    

   Dấu đẳng thức xảy khi: x  y z 3 a 3,b2 3,c3 3.Vậy giá trị lớn

biểu thức A

3

2 đạt a 3,b2 3,c3 3.

Câu 19) Đặt

3a2 x b;3  y c;3 z

Suy ra: a2 x b3; y c3; z3 a x b3;  y c3;  z3 x y z, , 0 Bất đẳng thức cho thành:





3 3 3 3 3

3

x y z  xyz x y  y z  z x

(1)

Vì vai trị x y z, , bình đẳng nên giả sử x  y z Khi đó:





2



 

2

 

 



0

x x y z y z  z x y x y y z    

Suy ra:













3 3 3

x y  z xyz xy x y  yz y z zx z x (2) Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: xy x y







2xy xy 2 x y3 (3) Tương tự ta có: yz y z







2 y z3 (4)





2 3

zx z x  z x

(5) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (3),(4),(5) ta

được:

















3 3 3

2

xy x y yz y z zx z x  x y  y z  z x

(6)

Từ (2) (6) ta có:





3 3 3 3 3

3

Hay



 

2



2 2 33

a b  c abc  ab bc ca 

Đẳng thức xảy x y z hay a b c 

Câu 20) Giả thiết ta suy

1

a b

 

.Ta có

2 1

2 a 2b

P a b

b a b a

     

Đặt

1

2

a

a b

t b



  

Ta chứng minh: P9 Thật ta có:









3

2 2

2

2

2t t t t t t

t t t

  

 

    

Do

1

2 t  

, dấu đẳng

thức xảy

4

1

2

b a t

a b      

 



BÀI TẬP RÈN LUYỆN NÂNG CAO

Câu 1) Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn điều kiện x y z  1 Tìm giá trị lớn biểu thức P x yz  y zx  z xy Câu 2) Cho x y z, , ba số thực dương xyz1

Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2 2

1 x y y z z x

P

xy yz zx

     

  

4 xy z yz x zx y P

xyz

    



Câu 4) Cho x y z, , số dương cho x y z  1 Tìm giá trị lớn biểu thức P x  xy3 xyz

Câu 5) Cho x y, 0 thỏa mãn điều kiện x y xy 

Tìm giá trị nhỏ biểu thức P27x38y3

Câu 6) Cho x y z, , số thực dương xyz1 Tìm giá trị nhỏ

của biểu thức:



 

 

 

 

 



3 3

1 1 1

x y z

P

x y z x x y

  

      .

Câu 7) Cho x y z, , số dương thỏa mãn điều kiện x y z  3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức





3 3

3 3

2

8 8 27

x y z

P xy yz zx

y z x

     

   .

Câu 8) Cho x y z, , ba số dương x y z  3

Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2

1 1

1 1

x y z

P

y z x

  

  

  

Câu 9) Cho x y z, , ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x y z  3

Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2

x y z

P

y z x

  

   .

Câu 10) Cho x y z, , ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x y z  3

Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2

3 3

2 2

x y z

P

x y y z z x

  

Câu 11) Cho x y z, , 0 thỏa mãn điều kiện x y z  3

Tìm giá trị bé biểu thức

2 2

2

2 2

x y z

P

x y y z z x

  

   .

Câu 12) Cho x y z, , ba số thực dương x y z  3

Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2

1 1

1 1

P

x y z

  

   .

Câu 13) Cho x y z, , ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz8

Tìm giá trị lớn biểu thức

2 2

1 1

x y z

P

x y z

  

  

  

Câu 14) Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz1

Tìm giá trị nhỏ biểu thức













3 3

1 1

1 P

x y z y z z x y

  

  

Câu 15) Cho x y z, , 0 thỏa mãn điều kiện x y z  1

Tìm giá trị lớn biểu thức

1 1

2

1 1

x y z y z x

P

x y z x y z

 

  

       

    .

Câu 16) Cho x y z, , số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức:



 





 





 



x y z

P

x x y x z y y z y x z z x z y

  

        

5 5

1 1

3 6

P

x x xy y y yz z z xy

  

         (1)

Câu 18) Cho x y z, , 0 thỏa mãn điều kiện x y z  3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức





P x y z xy yz zx  .

Câu 19) Cho x y z, , số thực không âm thỏa mãn điều kiện

2 2 3

x y z  .

Tìm giá trị lớn biểu thức 2 2 2

x y z

P

x y y z z x

  

     

Câu 20) Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz8 Tìm giá trị nhỏ biểu thức



 

 

 

 

 



2

3 3 3

1 1 1

x y z

P

x y y z z x

  

     

Câu 21) Cho x y z, , số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức:













3 3

3 3

3 3

x y z

P

x y z y z x z x y

  

  

Câu 22) Cho x y z, , 0 thỏa mãn điều kiện x Y z  1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2 2

1 1

x y z

P

y z z x x y

  

      .

Tìm giá trị lớn biểu thức

3 3 3

1 1

2 6

P

x y y z z x

  

      .

Câu 24) Cho x y z, , số thực dương cho xyz1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức













2 2

2 2

x y z y z x z x y

P

y y z z z z x x x x y y

  

  

   .

Câu 25) Cho x y z, , số thực dương thỏa mãn điều kiện

x y z   .

Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3

x y z

P

y z x

  

   .

Câu 26) Cho x y z, , ba số dương thảo mãn điều kiện

1 1

x  y z .

1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2

2 8 14 3 8 14 3 8 14

x y z

P

x y xy y z yz z x zx

  

      .

2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 x y y z z x Q

x y z

  

  

   .

Câu 27) Cho x y z, , số thực dương cho x y z  3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x 2y2z2xyz

Tìm giá trị nhỏ biểu thức P



x y y z z x

 



 





2



x y z 



Câu 29) Cho số thực dương a b c, ,

Chứng minh rằng:













3 3 3

3 3

2

4 4

a b b c c a

c a b a b c b c a

     

     

Câu 30) Cho số thực dương a b c, , cho a b c  1 Tìm GTLN









2





2





2

6

P ab bc ca  a a b b b c c c a .

LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1)

Từ điều kiện x y z  1, ta có x yz x x y z 



  



yz



x y x z

 





Tương tự, ta có



 





 





 



P x y x z   y z y x   z x z y 

Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có:



 

 

 

 

 



2 2

x y x z y z y x z x z y

P        

hay





2

P x y z  

Như P2 Dấu xảy

1

x y x z y z y x

x y z z x z y

x y z    

    

        

   

 Từ ta có

1 max

3 P    x y z

Câu 2) Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có:

2 2 2

3

3 x y y z 3 z x P

xy yz zx

  

Hay

3 3

P

xy yz zx

  

Lại theo bất đẳng thức Cơ si, ta có:

3

2 2

3 3 3

3

xy  yz  zx  x y z

Do xyz1, nên suy P3 Vậy

minP3 3   x y z 1.

Câu 3)

Đưa biểu thức dạng

3

4 y

z x

P

z x y



 

  

Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có:







4



1

4 4

2 2 4

z z

z z

z

  

      







2



1

2 2

2

2 2 2

x x x

x x

x

  

      







3



3

1 1

3 3

2

3 3

y y y

y y

y

  

      

Cộng vế ba bất đẳng thứctrên ta có

1 1

2 2

P    

  Vậy

1 1

max 4, 6,

2

P     x y z

  .

Viết lại biểu thức dạng:

3

1

.4 16

2

P x  x y x y z Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có:

4 16

4 12

x y x y z

P x     

hay





4

x y z

P  

Từ x y z  1 (2)

suy P

Vậy

4 max

3 P

Câu 5) Theo bất đẳng thức Cô si, ta có:

1

8

x    x

;

1

27

y    y

;

3

1

8 27

x  y   xy

Cộng vế ta có:

3

2

8 27

x y x y xy

       

   

 

Do x y xy 

, ta có:

3

2 27 x y

 

 

 

  Suy P27x38y3 432 (4)

Dấu (4) xảy x2,y3 Vậy minP432, giá trị nhỏ đạt x2,y3

Câu 6) Theo bất đẳng thức Cô si, ta có:



 





 



3 1 1 1 1

3

1 8 1 8

x x y x x y

x y x y

   

  

   

Hay



 



3 1 1 3

1 8

x x y x

x y

 

  

  Lập luận tương tự ta có:



 



3 1 1 3

1 8

y z x y

z x

 

  

 



 



3 1 1 3

1 8

z x y z

x y

 

  

  Cộng

từng vế ta có





4

P  x y z 

3 3

4

P   P

Dấu (5) xảy    x y z (do

xyz ) Như minP 34 Giá trị nhỏ đạt    x y z 1.

Câu 7) Theo bất đẳng thức Cơ si, ta có:

3

3

2

8 27 27

x y y y x

P y         3 27

x x y y

y

  

 

 (1) Dấu (1) xảy

3

3

2

8 27 27

x y y y

P y         3 3 1; 1 27 2; 2; 27 x y

y x y

y y x x y y y                       

 Lập luận tương tự ta có:

3

3

9

8 27

y y z z

z

  



 (2)

3

3

9

8 27

z z x x

x

  



 (3) Cộng vế (1),(2),(3) có:







2 2



3 3

3 3

10 18

8 8 27

x y z x y z

x y z

y z x

     

   

   (4)

Do x y z  3 nên (4) có





2





3 3

3 3

30 18

8 8 27

x y z xy yz zx

x y z

y z x

 

      

  

  





3 3

3 3

2

8 8 27

x y z

xy yz zx

y z x

      

Dấu (5) xảy  đồng thời có dấu (1),(2),(3)

x y z     Vậy

1

9

P    x y z 1

Câu 8) Ta có:





2

1

1

1

x y x

x

y y

    

  Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: 1 2

y   y

Suy





2

1

1

1 2

x y

x xy y

x x

y y



       

 Chứng minh tương tự, ta

có:

1

1

y yz z

y z

 

  

 ;

1

1

1

z zx x

z x

 

  

 suy ra





3

2

x y z xy yz zx

P      

Do









3

9 x y z  3 xy yz zx  xy yz zx  3 Vậy

minP    3 x y z 3. Câu 9) Giải:

Ta có:

2

2

1

x xy

x y   y

  Theo bất đẳng thức Cơ si, ta có: 1y2 2y ,

đó

2

2

1 2

xy xy xy y  y 

 suy ra:

1

x xy

x

y  

 Tương tự ta có:

2 ;

1

y yz

y z  

 1 2

z zx

z x  

 Cộng vế ta có

2 xy yz zx P x y z     

1 x y z

    .Do





2 2 2 2





3

x y z     x y z  x y z  xy yz zx 









9 xy yz zx xy yz zx xy yz zx

           (7) Vậy

3

min

2

P    x y z Câu 10)

Ta có:

2

3

2

2

x xy

x

x y  x y Theo bất đẳng thức Cơ si, thì

3 3

2 3

x y  x y y  xy  y x suy ra

2

3

3 2 3

2

2

x xy

x x y x

x y   y x   Tương tự, có:

3

2

2

y

y z z y z   ,

3

2

2

z

z x z

z x   Cộng vế ta có:





2



3 2



3

P x y z   z y x z y x

, hay



3 2



2

3

P  z y x z y x

Theo bất đẳng thức si ta có:

3

x xz xz   x z ,y yx yx  3y x3 z zy zy  3z y3 Cộng vế ba bất đẳng thức ta có:



x y z  



2



xy yz zx 



3



x z3 y x3 z y3 2







2





9 x y z  3 xy yz zx  xy yz zx  3

Do x y z  3, suy



3 2



3

Câu 11) Ta có:

2

2

2

2

x xy

x

x y   x y Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có:

2 2

2

x y  x y y  xy Suy

 

2 2

3

2 3 4

2

2 3

x xy

x x xy

x y   xy  

Tương tự, ta có:

 

2

3

2

2

y

y yz

y z   ,

 

2

3

2

2

z

z zx

z x   Cộng theo vế

ta có:





     

2 2

3 3

2

P x y z    xy  yz  zx 

  Theo bất đẳng thức Cơ si, ta có: x xy y  33 x y2 ,y yz z  33 y z2 ,z zx x  33 z x2 Từ

suy



 



     

2 2

3 3

2 x y z   xy yz zx  3 xy  yz  zx 

  (7) Dễ

thấy dấu (7) xảy    x y z Kết hợp với x y z  1, ta

có:

     

     

2 2 2

3 3 3

6 3   xy  yz  zx  xy  yz  zx 3

  Vậy

2

3

3

P   P

hay minP    1 x y z

Câu 12) Ta có:

2

2

1

1

x

x   x  Theo bất đẳng thức Cơ si, x2 1 2x

2

1

1

1 2

x x

x x

    



Tương tự, ta có:

1

1

y y    ,

1

1

z

z    Suy

3

2

x y z P    

(do x y z  3)

Câu 13) Viết lại P dạng:

1

3

1 1

y P

x y z

 

     

  

  Đặt

2 2

; ;

X Y Z

x y z

Y Z X

  

Khi có X Y Z, , 0 (vì xyz8) Lúc này:

1 1 1

2 2

1 1 X 1 Y 1 Z 1

x y z

Y Z X

    

     

2 2

2 2

2 2 2

Y Z X Y Z X

X Y Y Z Z X XY Y YZ Z ZX X

     

      Áp

dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz













2

2

2 2

1 1

1

1 1 2

X Y Z X Y Z

x y z XY Y YZ Z ZX X X Y Z

   

    

         

, suy P0 Vậy maxP    0 x y z

Câu 14) Ta có:













2

1

1

1 y

x z

P

x y z y z z x y

  

   Áp dụng bất đẳng thức

Cauchy- Schwarz













2

2 2

1 1

2

xy yz zx

x y z

P

xy yz zx xy yz zx x y z

 

 

   

 

 

    Do xyz1

, nên ta có: xy yz zx P  

Lại theo bất đẳng thức Cơ si ta có:





3

xy yz zx   xyz 

(do xyz1

Suy P

Vậy

3

min

2

2 2 1 1 1

1 2 2

1 1 1

x y z y z x

P x y z

x y z x y z x z y x z y

       

                   

             

Do x y z  1, nên ta có:

1 1 1

2 2

P x y z

y z z z x x x y y

     

         

    

   



2xy





2yz





2zx



3



xy





yz





zx



z y z x z x y x y z y z x z x y x y

 



         

       

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:













2

xy yz zx xy yz zx

y z z x x y

z x y z x y x z x y x y

 

 

        

 

      

   



xy





yz





zx

 

y z z x x y

 

 



z x z x z x y x y

 

        

  

 

Rõ ràng, ta lại có:





2 xy yz zx

x y z

z x y

 

    

 

 

  Dựa vào bất đẳng

thức hiển nhiên









3

a b c   ab bc ca  suy ra:















 



3 x y z xy yz zx x y z

z y z x z x y x y

 

        

  

  Từ

1

x y z   ta có: 2













xy yz zx

z y z x z x y x y

 

  

    

  suy P0

Vậy

1 max

3 P    x y z

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:



 



        

2 2



2

x y x z   x  y    x  z  x x y z

   



 







2

x y x z x yz

    

Suy ra:



 



x x

x yz x x y x z   

Tương tự, ta có:



 



y y

y zx y y z y x   

,



 



z z

z xy z z x z y   

Suy

2 2

x y z

P

x yz y zx z xy

  

  

1 1

2

P

y z z x x y

x x y y z z

   

  

Đặt

; ;

y z z x x y

a b c

x x y y z z

  

, a b c, , 0 abc1

1 1

2 2

P Q

a b c

   

  



 

 

 

 

 





 

 



2 2 2

2 2

b c c a a b

a b c

       



  



 











12

8

a b c ab bc ca a b c ab bc ca abc

     



      



 





 

 



9

9

a b c ab bc ca

a b c ab bc ca ab bc ca

     



        Theo bất đẳng thức Cơ si

thì :





2

3

ab bc ca   abc 

Câu 17) Ta có:













5 2

6 3 3

x x   x x x  x x x   x

















1 3

x  x x  x x x x

          







 

 







2





1 1 1 3

x  x x x  x x x x

            

Do x 0 x32x23x0, nên từ (2) suy x5x2 6 3x3









5

5

1

6 3

3

6

x x xy xy x

xy x

x x xy

        

    

Tương tự, ta có:





5

1

3

3 yz y

y y  xyz    ,





5

1

3

3 zx z

z z  xyz   

Suy

1 1

3 1

P

xy x yz y zx z

 

    

     

  Áp dụng bất đẳng

thức Bunhiacopski, ta có:





2

1 1 1

1 1

1 1 1

xy x yz y zx z xy x yz y zx z

 

 

       

               

   

1 1 1

3

1 1

1 1 xy x yz y zx z

xy x yz y zx z

 

       

     

       

1 1

1

1 1

P

xy x yz y zx z

    

Câu 18) Ta có:





2



2 2 2



2 2

9

2

x y z x y z x y z

xy yz zx           

Vậy P có dạng:



2 2



9

2 x y z P x y z    





2

2P x y x y z

       

Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có: 2

3 3

x x x x

y y y y

z z z z

   

   

 

  



Suy :









2 2

2

x y z  x y z  x y z  

.Vậy minP    0 x y z 1.

Câu 19)

Vì x2 1 ;x y2 1 ;y z2 1 2z, nên ta có:













2 2

x y z

P

x y y z z x

  

      Ta có:

1 1

1 1

1 1 1

x y z y z x

x y y z z x x y y z z x

        

          

                 

1 1

3

1 1

y z x

x y y z z x

    

    

     

 

3 1 1

2 1

y z x

P

x y y z z x

    

      

     

 







 







 









 





2 2

1 1

3

2 1 1 1

y z x

y x y z y z x z x

    

     

        

 

  Áp dụng







 







 









 





2 2

1 1

1 1 1

y z x

y x y z y z x z x

  

  

        







 

 

 

 

 



2

1 1

1 1 1

y z x

y x y z y z x z x

     

           Để ý do:

2 2 3

x y z  , nên ta có:



y1

 

x y 1

 

z1

 

y z  1

 

x1

 

z x 1







2

3 x y z xy yz zx x y z

         



2 2 2







2

1

9 6 2

2 x y z x y z xy yz zx x y z

             







 







 









 





2 2

1 1

2

1 1 1

y z x

y x y z y z x z x

  

  

         Vậy

1

max

2

P    x y z

Câu 20) Nhận xét: a



 



3

4 1a  a 2

Thật vậy,





2

3 4 2

4 4a a 4a a 4a 4a a a

            Cũng có

thể chứng minh bất đẳng thức Cauchy:

















2

2

2

3 1

1 1

2

a a a a

a a a a       

       

  Áp dụng vào

bài tốn ta có:



 

 

 





 



2 2

3 3 3

4 4

4 1 4 1

x y z

P

x y y z z x

  



 

 

 

 

 



2 2

2 2 2

4 4

2 2 2

x y z

x y y z z x

  

     

Đặt

2 2

; ;

4 4

x y z

a b c

Khi x y z, , 0 xyz 8 a b c, , 0 abc1

Suy ra:



2 416

 

2

 

2 416

 

2

 

2 416

 

2



a b c

P

a b b c c a

  

      Hay



 

 

 

 

 



4

1 2 1 2

a b c

P

a b ab c c a

 

    

     

 







 





 

 















1 2 2

4

1 2 2

a c b a c b a b c ab bc ca

P P

a b c a b c ab bc ca abc

         

   

         

Ta có: a b c  33 abc 3   a b c 2



ab bc ca 



  9 8abc



1 8abc



2



a b c



4



ab bc ca





a b c



2



ab bc ca



               

Suy P

Vậy

4

min

3

P    x y z

Câu 21) Ta có nhận xét sau: với x y z, , số thực dương, ta có:





3

3 2

3

x x

x y z

x  y z    (1) Thật vậy, (1)









3

3

3 2 2 2

x x

x y z x y z

 

  



 



2





3

3 2 2 2

x x x y z y z  x x x z

        

 



 



2





3

2 2 2

2x y z y z x y z

      



 



2





3

2 2 2 2 2

2x 2x y z  y z 2 2x y z

(3) Rõ ràng:



2







2

2 y z  y z

(4)

Từ (3),(4) suy ra:



 











2

2 2 2

2x y z  y z  x y z x y z

(5)

Tương tự (1), ta có:





3

3 2

3

y y

x y z y  z x    (6),





3

3 2

3

z z

x y z z  x y   

(7)

Cộng vế (1),(6),(7) có P1 (8) Vậy minP    1 x y z

Chú ý: Ta chứng minh:





3

3 2

3

x x

x y z x  y z   

nhanh cách áp dụng bất đẳng thức Cau chy









3

2

2

1 1

2 1

a

a a a a

a a



       



 thay

y z a

x  

suy









3

3

3

2

x x

x  y z  x  y z Lại có



x y



2 2



x2y2



suy





3

3 2

3

x x

x y z x  y z   

Câu 22) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:



2

 

2

 

2







2

2 2 2

1 1

1 1

x y z

x y z y z x z x y x y z

y z z x x y

 

              

        



2

 

2

 

2



1

1 1

P

x y z y z x z x y



       

Đặt



1 2

 

1 2

 

1 2



Q x y z y z x z x y



x y z



xy x y





yz z y





zx z x





        













1 xy x y yz z y zx z x

      













2 2

1 x y z y z x z x y

       Có thể thấy rằng:













2 2

4 x y z y z x z x y 

Từ có:

Q  P

.Vậy

4

5 P

Giá trị nhỏ đạt

; x y z

Câu 23) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

3 3 3

1 1

2 6

x y y z z x

 

   

       

 

3 3 3

1 1

3

2 6

x y y z z x

 

 

       

 

Hay 3 3 3

1 1

3

2 6

P

x y y z z x

 

    

     

  Áp dụng bất đẳng

thức Cô si ta có:



 



3 2 6 3 1 1 1 3 3 3 3

x  y   x y   y     xy y





3 2 6 3 1

x y xy y

     

Tương tự, có:





3

2

y  z   yz z  , 3





2

Suy :

1 1

1 1

P

xy y yz z zx x

  

      Do xyz1, nên dễ thấy

1 1

1

1 1 1

xy y

xy y   yz z   zx x   xy y   xy y  xy y   suy

ra P1

Vậy maxP    1 x y z

Câu 24) Theo bất đẳng thức Cơ si, ta có:

1

2

y z yz

x

  

(do xyz1)

Từ suy ra:





2





2 2 2

2

x y z x x

x y z x x x

x y y z z y y z z



    

 

(1)

Lập luận tương tự, có:





2 2

2

y z x y y

z z x x z z x x 



  ,





2

2

2

z x y z z

x x y y x x y y 



  Cộng vế

2

2 2

y y

x x z z

P

y y z z z z x x x x y y

 

    

  

  Đặt

; ;

X x x Y  y y Zz z X Y Z, , 0 XYZ 1.

Khi (4) có dạng

2 2

X Y Z

P

Y Z Z X X Y

 

    

  

 

2 2

2

2 2

X Y Z

P

XY ZX YZ XY XZ YZ

 

     

  

  Áp dụng bất đẳng thức

Cauchy- Schwarz ta có:









2

3

X Y Z P

XY YZ ZX   





2





X Y Z   XY YZ ZX   P 3 vàP 3 X Y  Z 1 Vậy

minP    3 x y z 1. Câu 25)

Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có:

















3 1 1 1 1

2

y y y

y   y y   y     2

1 y y     2 x x y y   

 tương tự, ta có: 3

2

y y

z

z    ,

2

z z

x

x   

2 2

2

2 2

x y z

P

y z x

 

     

  

  Dấu (5) xảy đồng thời có dấu    x y z Ta chứng minh

2 2

2 2

2

2 2

x y z

y   z   x  

2 2

2 2

4

2 2

x y z

x y z

y z x

     

        

      

  (do x y z  6)

2 2

2 2

2

xy yz zx

y z x

   

  Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có:

2 2

2y  4 y y  4 4y 3y 4y y2 2 32y34y Tương tự

có:

2 2 34 z   z z

,

2 2 3 4 x   x z

VT

2 2

3

3

3 3

4 4

2 2

xy yz zx

y y z x x

  

.Áp dụng bất đẳng thức Cơ si, ta có:

3 2 x xy xy x xy xy   

, 2

3 y yz yz

y yz yz    2 z zx zx z zx zx   









1

2

9 x y z xy yz zx        

Mặt khác, ta có:



 



3 xy yz zx   x y z  xy yz zx  12 Từ suy P2 Vậy minP    2 x y z

Câu 26) Giải:

1)Ta có theo bất đẳng thức Cô si:



 

 

 



2

3 14 2

2

x y x y

x  y  xy  x y x y     x y

Như suy

2

2 2 3

3 14

x x

x y

x  y  xy   Tương tự ta có:

2

2 2 3

3 14

y y

y z y  z  yz  

2

2 2

3 16

z z

z x z  x  zx   

2 2

2 3

x y z

P

x y y z z x

  

   Theo bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta có:





2 2 1

2 3

x y z

x y z

x y y z z x    Theo bất đẳng thức Cơ si

bản, ta có:





1 1 x y z

x y z

 

     

  Do

1 1

0

x y z

   

, nên có:

x y z   vậy P

Vậy

9

min

5

P    x y z

Câu 27) Do tính bình đẳng x y z, , nên giả sử x y z 

Kết hợp với x y z  3 suy 0 z Ta có

2 2





2





x y z xyz xy yz zx

        9 xy z



 2



2z y x















9 xy z 2 3z z

     (1)

Hiển nhiên ta có:

2

3

2

x y z

xy     

    Do 0    z z 0, từ (1) có:









9 2

2 z

P  z     z z

  Ta có VP(2)







 



3 3

9

2 2

z z z

z z z z z

    

           

 









2

3 1

9 18 16

2 4

z

z z z z z z

    

             



 

2



1

1 16

4 z z 

     

Do 0 x nên suy  P Vậy minP    4 x y z 1.

Câu 28) Áp dụng đồng thức



x y y z z x

 



 



 

 x y z xy yz zx 

 

 



xyz

(*)

Ta có:



 



2





P x y z xy yz zx    xyz x y z  Theo bất đẳng

thức Cơ si ta có: x y z  33 xyz 3 (do xyz1).Lại có: 2

3

3

xy yz zx   x y z  (do x y z2 2 1

) suy ra:









3

P x y z    x y z 





P x y z

        .

2)Trước hết ta chứng minh

Thật vậy, dựa vào (*) suy ra:



x y z xy yz zx

 



xyz xy yz zx x y z

            



x y z xy yz zx

 



xy yz zx x y z

             (do xyz1)



x y z xy yz zx

 



xy yz zx x y z

            Do

1

xyz    x y z xy yz zx  3 Ta có



 





 



3

x y z xy yz zx

x y z xy yz zx       xy yz zx   x y z    



 



3

x y z xy yz zx   



suy



x y z xy yz zx 

 

 



xy yz zx x y z     3.Theo bất đẳng thức Cơ

si ta có:



 

 





 

 



3

3

1 1

x y y z z x Q

x y z

  

 

  

Vậy minQ    3 x y z

Câu 29) Giải: Ta có:



3 3



3 3







2 2



3 3









3

4 a b a  b a b a ab b a  b a b ab  a b

Suy









3 3

3 a b    a b c a b   a b c

Do



3



34

a b a b

a b c

c a b

  

 

 

tự có









3 3

3 4

b c b c c a c a

a b c a b c

a c a b c a

      

   

   

Suy



3





3





3



3 3

2

4 4

a b b c c a

c a b a b c b c a

     

     

Đẳng thức xảy a b c  Câu 30) Ta có: 0a b c, , 1 suy





2





2 2 2





2

2

a b a a b a b  ab a a b  Tương tự bất đẳng thức

nữa ta có:









2





2





2

6

P ab bc ca  a a b b b c c c a







2 2



4 ab bc ca a b c

     

hay P2 Dấu xảy

khi

2

a b c  

BẤT ĐẲNG THỨC ABEL VÀ ỨNG DỤNG

CÔNG THỨC ABEL VÀ ỨNG DỤNG.

1 Công thức tổng Abel:

Giả sử a a1, , ,2 an b b1, , ,2 bn hai dãy số thực Khi ta có:

1 2 n n ( 2) ( 3) n n

a b a b  a b  b b S  b b S  b S đó

k k

S  a a  a

Chứng minh: Thật thay ak SkSk1 với k 2,3, n ta có vế trái bằng:

1 2( 1) 3( 2) n( n n 1)

Trường hợp n3 ta có:









( )





ax by cz   x y a  y z a b  z a b c  đẳng thức quan trọng có nhiều ứng dụng giải tốn

2 Bất đẳng thức Abel:

Cho hai dãy số thực: a a1, , ,2 an b1b2b3 bn Đặt

1

k k

S  a a  a với k



1, 2,3, n











min , , , n , max , , , n

m S S S M  S S S

Khi ta có:

1 1 2 n n

mb  A a b a b  a b Mb , Chứng minh:

Ta có: a b1 1a b2 2  a bn n (b b S1 2) 1(b2b S3) 2  b Sn n mà

1

k k

b b  nên

1 2 2

(b b m ) (b b m)   b m An  (b b M ) (b b M)   b Mn hay

1

mb  A Mb MỘT SỐ VÍ DỤ:

Ví dụ 1: Cho x  y z thỏa mãn: x3,x y 5,x y z  6 Chứng minh: x2y2z214

Lời giải:

Ta có:



 

 

 

 

 



2 2 14 3 3 2 1 1 1

x y z   x x  y y  z z

Áp dụng cơng thức Abel ta có:

2 2 14 ( 3 2)( 3) ( 2 1) ( 1)( 3 2 1)

x y z   x  y x  y    z z x    y z



x y (



x 3)



y z (



x y 5)



z 1

 

x y z 6



              

Ví dụ 2) Cho số thực dương x y z, , cho x3,xy6,xyz6 Chứng minh: x y z  6

Lời giải: Ta có:









6 1 2

3 3

x y z x x y

x y z                     

         

1 1 1

3 3

x y z x x y x y z

                  

       

        Áp dụng

bất đẳng thức Cô si ta có: 2 2;

x y xy  3

3

3 3.2.1 x  y z xyz 

Suy đpcm Dấu xảy x3,y2,z1

Ví dụ 5: Cho x y z, , 0 cho x2y3z

1, 3,

x x y  x y z   Chứng minh:6



xy yz zx 



11xyz Lời giải:

Ta cần chứng minh:

1 1 11

x  y z Ta có:

11 1 1 1 1

1

6 3

x y z

x y z x y z x y z

    

            

 













1 1 1

1

2 x x y x y z

x y y z z

   

          

   

   

Dấu xảy x3,y2,z1 Ví dụ 3: Cho số thực khơng âm x y z, , cho

1, 5, 14

x x y  x y z   Chứng minh: x y z 6

Tacó:









1 1 1

1 2 3

x y z

x x y x y z

   

            

   

1 1 1

.1 14

1 2 3

         

   

    Ta suy ra





2









2

1 3 36

1 x y z

x y z          

 

Ví dụ 4: Cho số thực dương a b 1,a3,ab6,ab6c Chứng minh: a b c  4

Lời giải:

Ta cần chứng minh: a b    1 c Ta có:

















3 3 6

3

1

c c

c b a b b a b

a b a b a ab ab a

   

               

   





3 2(b 1) a b a b        

Dấu xảy

3, 2,

a b c

Ví dụ 5: Cho số thực dương a b c, , cho

0 ,

9

9

a b c c b

a

c b

c 

     

    



  



Chứng minh: a b c Lời giải:

Ta có:





9 9

9

4

b b

a b a c

c c c

   

           





9

9

4

3 2 2

3 2

b b

a

c c c c c

 

  

 

 

         

 

 

 

Ví dụ 6) Cho số thực a b c, , cho

1

2

2

3

a b c

c b

c a b 

     

    

   

 Chứng minh:

1 1

6

a b c   

Lời giải:

Ta cần chứng minh:

1 1 1

1

3

a b    c Tacó:

1 1 1 1 1

1

3 2

1 1 1 1 1

1

3 2

a b b

c a c b a c b c

a c b a c b c

a b b

      

              

      

   

      

          

   

   

   

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz Ta có:

1 1 1

3,

3 c c c c

a b a b b b

      

  

, ta có

1 1 1 1

2 1

3 c a b a b a b

   

           

Ví dụ 7) Giả sử a b c, , số thực dương thỏa mãn:

3

a b c

c b a b c

   

      



Tìm GTNN

2 ( 1)

( 1)( 1)( 1) ab a b c ab Q

a b c

    

  

(Trích đề thi vào lớp 10 Trường chuyên KHTN- ĐHQG Hà Nội) Lời giải:

Ta có:



 

 



( 1)( 1)( 1) 1

abc ab ac a abc bc ba b abc ca cb c a b c Q

a b c a b c

          

   

     

Ta chứng minh:

1

0 1 1 1 12 3(1 ) 3( 1) 2(1 )

a b c c b a

a b c c b a

  

         

        

Hay

1 1

(3 ) (3 2)

4( 1) 3( 1) 3( 1) 2( 1)

c c b

c b b a

   

         

   

   



3 1



2(1 )

c b a

a

      

 Rút gọn ta thu được:



 

2 1

 



(3 1)

(3 )

12( 1)( 1) 6( 1)( 1) 2( 1)

a b b c

c b c a b c

b c b a a

   

       

    

Điều hiển nhiên

BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Một số kết quan trọng:

b)





2 2

3(a b c ) a b c 

c)







 



2 2 2 2 2

ax by  a b x y

d)







 



2 2 2 2 2 2 2

ax by cz   a b c x y z

e) 8



a b c ab bc ca 

 

 



9



a b b c c a

 



 





f) b c2 2a c2 2a b2 abc a b c(   )

g)



 



2 2

1 1

a bc

a b  a c  

h)





2

2 x y

x y

a b a b

  

 .

i)





2

2 2 x y z x y z

a b c a b c

 

  

  Chứng minh:

a)











 

2

 

2



2

2 2 2 2 2 0

a b c ab bc ca   a b c  ab bc ca   a b  b c  c a  Bất đẳng thức Dấu đẳng thức xảy a b c 

b) Khai triển hai vế thu gọn ta quy câu a.

c) Khai triển hai vế thu gọn ta đưa bất đẳng thức dạng:





2

0

ay bx  Dấu đẳng thức xảy ax by. d) Khai triển hai vế thu gọn ta đưa bất đẳng thức dạng:



 

2

 

2



2

0 ay bx  bz cy  cx az 

Dấu đẳng thức xảy

a b c

x  y z Các bất đẳng thức c, d gọi bất đẳng thức

e) Khai triển hai vế thu gọn ta đưa bất đẳng thức dạng:



a b b c c a

 



 





8abc

bất đẳng thức theo AM- GM (xem chứng minh phần Bất đẳng thức Cô si)

f) Theo bất đẳng thức Cô si thì: b c2 2a c2 22abc2 Tương tự ta có bất đẳng thức cộng lại suy đpcm

g) Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số ta có:













2

2 2 2

b b b c

a b a bc a bc a bc

c c c

      

           

   

  suy ra





2









1 c

a bc b c

a b    Tương tự





2









1 b

a bc b c

a c    Cộng hai

bất đẳng thức chiều ta suy đpcm

h) Quy đồng rút gọn đưa bất đẳng thức cần chứng minh dạng:





2

0 ay bx 

i) Áp dụng bất đẳng thức h) ta có:





2





2

2 2 x y x y z

x y z z

a b c a b c a b c

  

    

   .

Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Cauchy-Chwarz 1 Những kỹ vận dụng bản:

Ví dụ 1: Cho số thực dương a b c, , cho a b c  3 Chứng minh rằng:

1

2 2

a b c

a bc b  ac c  ab . Giải:

2 2

2 2

2 2 2 2

a a a b c a b c

a bc  a  abc a bc b  ac c  ab a  abc b  abc c  abc





2

2 2

2 2 2 2 2 6

a b c

a b c

a abc b abc c abc a b c abc  

  

      Ta cần chứng

minh:





2

2 2 6

a b c a b c abc

 

   



 



3

ab bc ca abc a b c ab bc ca abc

         

Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: a b c  33abc ab bc ca,   33a b c2 2 nhân vế bất đẳng thức dương chiều ta có đpcm Dấu xảy

1 a b c   .

Ví dụ 2: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh rằng:

3 3 2

2 2

a b c a b c

a b b c c a

 

  

   .

Giải: Ta có:









2

2 2

3 4 4

2

2 2

2 2 2

a b c

a a a b c

VT

a b a ab a ab b bc c ca a b c

 

     

      

Ta cần chứng minh:









2

2 2 2 2 2

2 2

2

3

a b c a b c

a b c ab bc ca

a b c

   

      

 

Điều hiển nhiên

Ví dụ 3: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:



2

 

2

 

2







2

2 2

Ta có:





2









2

2

2

b c b c

a b c  a     a     

   

    Suy ra:





2









2

3

2 b c a b c   a     

 

  Ta cần chứng minh:









2



 

 



3 2 2

2 b c

a      a  b  c 

 

  hay





2



 



2

3 2

2 b c

b c

  

   

 

 

  Sau khai triển thu gọn ta được: 2

2 3 1 0

2

b c

b c bc

    

Để ý rằng:

2

2

b c

bc

 

nên bất đẳng thức trở

thành:





2

2 2 1 0 1 0

b c  bc   bc 

Ví dụ 4: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:



 

 

 

 

 



3 3

2 2 2 2 2 2

1

2 2 2

a b c

a b c a b a c  b c b a  c a c b   

Giải:

Ta mong muốn xuất lượng: a b c  Ta có:



2 2

 

2 2

 

2 2 2

 

2 2 2

 

2



2 2





2

2a b 2a c  a b a a a c  a ab ac a a b c 

Từ suy ra:



 







2

2 2

2

a a

a b a c  a b c 

Ví dụ 5: Cho số thực dương a b c, , cho ab bc ca abc   4

Chứng minh:





2 2

2

a b c    a b c ab bc ca  (Trích đề tuyển sinh

vào lớp 10- Trường Chuyên KHTN- ĐHQG Hà Nội 2015) Lời giải:

Ta viết lại giả thiết toán thành:

















12 ab bc ca  4 a b c   8 a b c  2 ab bc ca  abc

hay



a2

 

b2

 

 b 2

 

c2

 

 c 2

 

a2

 

 a2

 

b2

 

c2



1 1

1

2 2

a b c

   

   Ta có:













2 2

2 2

1

2 1

a b c a b c

a a a b c a b c

   

 

       , Tương tự ta có:









2 2

2

1

;

2

b c a a a b

b a b c c a b c

   

 

     

Suy









2 2

2

1 1

1

2 2

a b c a b c

a b c a b c

    

   

    



2 2 2







2

2

a b c a b c a b c

        

hay





2 2 2

a b c    a b c ab bc ca 

Dấu xảy khi

a b c   .

Ví dụ 6) Cho số thực dương a b c, , cho ab bc ca  1 Chứng

minh rằng:





4 4

2

9

abc a b c   a b b c c a

(Trích đề tuyển sinh vào lớp 10- Trường Chuyên KHTN- ĐHQG Hà Nội 2014)

Sử dụng bất đẳng thức x2y2z2 xy yz zx  Ta có:





4 4 2 . 2 . 2 . 2 2

a b b c c a a b b c b c c a c a a b abc ab   bc ca Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức: Cauchy- Shwarz giá thiết

1 ab bc ca   ta có:





2





2 2

2

2 2

1 1 1

a b c b c a

ab bc ca abc a b c

a b c a b c

 

        

 

Từ suy





4 4

a b b c c a abc a b c  

Bây ta chứng minh:









2



 



2 5

9

abc a b c   abc a b c         t t t t 

 

 

với t abc a b c



 



Mặt khác ta có:





1





2

3

abc a b c  ab ac bc ba ca cb   ab bc ca     t

Suy đpcm Dấu đẳng thức xảy

1

a b c  

Ví dụ 7: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:

2

2 2

1 1 a b c

a ab bc b bc ca c ca ab ab bc ca  

 

    

         

Lời giải:

Ta có:



 







2

2

2 2

1 c ab bc c ab bc

a ab bc a ab bc c ab bc ac ab bc

   

 

        Tương

tự với số hạng cịn lại ta có:













2

2

2

1 c ab bc a b c

a ab bc ac ab bc ac ab bc    

   

     

Ví dụ 8: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:

2 2

2 2

ab bc ca a b c

a bc ca b ca ab c ab bc ab bc ca

 

  

       

Giải:

Ta muốn làm xuất hiện: ab bc ca 



 







2

2

2 2

( ) ( )

ab ab b bc ca ab b bc ca

a bc ca a bc ca b bc ca ab bc ca

   

 

       

Từ suy ra:













2 2

2 2

( ) ( ) ( )

ab b bc ca bc c ca ab ca a ab bc VT

ab bc ca ab bc ca ab bc ca

     

  

     

Ta cần chứng minh:









2 2 2

( ) ( ) ( )

ab b bc ca bc c ca ab ca a ab bc  a b c ab bc ca 

3 3 ( )

a b b c c a abc a b c

     

2 2

a b c

a b c

c a b

     

Nhưng bất đẳng thức hiển nhiên theo bất đẳng thức Cauchy- Shwarz Ví dụ 9: Cho số thực dương a b c, , cho a b c  1 Chứng minh

rằng: 3

a b c

a b c b  c a c a b Giải:









2

3

1

1

1

1 1

a c a c

a a a a ca

a b c a b c c a b c

a

       

     

   

  

         

 

  Từ suy

ra: 3

1 1

9 9

a b c a ca b ab c bc

a b c b c a c a b

     

    

     

Ta cần chứng minh:

1 1

1

9 9

a ca b ab c bc

ab bc ca             

Nhưng điều hiển nhiên do:





2

3

a b c ab bc ca     

Ví dụ 10: Cho số thực dương a b c, , cho abc1 Chứng minh rằng:

2 2

1 1

1 1 a b 1 b c 1 c a  Giải:

Ta đặt a x b 3,  y c z xyz3,  3, 1 Bất đẳng thức cần chứng minh trở

thành: 6

1 1

1 1x y 1y z 1 z x  .

Ta có:













4

2 2

2

3 2 2 2 2 2 2

3

2

1

1

1 1

z x z x

y y z x yz z x

x y x y z x y z

x y z x y

 

   

   

 

  

           

 

 

Ta cần chứng minh:



4 2 2 2

 

2 2 2



2 2 2 2 2 2 2

( )

z x yz z x x y z x y y z z x xyz x y z

           

Ví dụ 11: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh rằng:

3 3 3

1 1

a  b abc b  c abc c a abc abc

Do bất đẳng thức nên ta chuẩn hóa: abc1 Bất đẳng thức cần

chứng minh trở thành: 3 3 3

1 1

1

1 1

a  b b  c c a   . Ta có:













2

2

2

3

3

1 1

1

1

1 1

c c

bc ca c c

a b a b

a b a b c a b c a b c a b c

a b

       

     

   

   

             

 

 

Tương tự với số hạng lại cộng ba bất đẳng thức chiều suy đpcm

Ví dụ 12) Với ba số dương x y z, , thỏa mãn x y z  1, tìm giá trị lớn

nhất biểu thức:

x y z

Q

x x yz y y zx z z xy

  

      .(Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội – 2014)

Lời giải:

Ta có: x yz  x x y z



  



yz 



x y x z

 





Chú ý rằng: Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì:



 







2



 



x y x z   x y z x  x y x z   x y z x

Từ suy ra:





x x x

x x yz  x x y z  x y z

Tương tự

ta có:

; y

y z z

đẳng thức chiều ta suy Q1 Dấu đẳng thức xảy

3 x  y z

Ví dụ 13) Cho số thực không âm a b c, , cho a0,b c 0

2 2 1

a b c  Chứng minh:

3 3

2 2

a b c

b bc c a



 

  .

Lời giải: Ta có:

















2

2 2

4 4

2 2

2 2 2

1

a b c

a b c

a b a c a b bc c a b c

a b bc c a b bc c a b a c

 

   

     

       

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:









2

2 a b c a b c    









2 2

2

1

2

a b bc c a b c a b c

a b bc c



         

      

 

 



2 2

 

2



2

3 3

a a b c a a

 

  

Bây ta chứng minh :



2





2



2 2

2 2

2

3 a a a a

a  a        

Theo bất đẳng

thức Cauchy cho số ta có:

3 2

2

2

a    a

Dấu xảy

chỉ

2 ,

a b  c









2

2

3 2 2

2 a  a   a  a   a a 

  Bất đẳng thức ln

Ví dụ 14) Cho số thực x y, cho x y2 22y 1 Tìm GTNN,

GTLN

xy P

y



 (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Trường

chuyên – KHTN- ĐHQG Hà Nội 2015) Lời giải:

Từ giả thiết ta suy y0

2

2 2

2

1

2 1 1

x y y x x

y y y

 

           

  Đặt

1

a y

 

Ta x2a2 1 Ta có:





2

2

2

1

3

x x

P P x Pa P x Pa

a y

       

 

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:







 



2 2 2 2 2

1

x Pa  P x a  a

Suy

2 2 3

4

3

P  P  P     P

Với

3

;

2 3

x y  P ,

3

;

2 3

x y    P

Vậy GTLN P

3 , GTNN P là

3 

2 Kỹ thuật tách ghép

Ta cần ý bất đẳng thức quen thuộc sau:

1 1

a b a b

 

       và

1 1 1

9

a b c a b c

 

    

   .

Ví dụ 1: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:

2 2

bc ca ab a b c

a b c b c a c a b

 

  

     

Giải:

Ta có:

1 1

2a b c (a b) (a c) a b a c

 

    

        

Từ suy ra:





1

2 4

bc bc bc

a b c a b c a b a c

 

      

     

Ví dụ 2: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:

2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )

3

( ) ( ) ( )

b c c a a b

b c a b c c a b c a a b c a b

     

        

Giải: Ta có:

2 2

2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b c b c b c b c

b c a b c b b a c c a b b a c c a b a c a

 

    

         

Từ suy

2 2

( )

3 ( )

b c b c

b c a b c b a c a

  

    

      

Ví dụ 3: Cho số thực dương a b c, , cho a b c  3 Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2

1 1

Giải: Ta có:





2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

9

4 ( ) ( ) ( ) ( )

a b c a b c

a b c a a b a c a a b a c

 

   

       

Suy

2 2

2 2 2 2

9

4 ( ) ( )

a b c

a b c a a b a c

 

     

     

Ví dụ 4: Cho số thực a b c, , cho a2b2c2 1.Chứng minh rằng:

2 2

3

1 1

bc ca ab

a  b  c   Giải:

Ta có:



 

2

 

2



2

2 2 2

1

1 1 1

b c c a a b

bc ca ab

a b c a b c

    

      

       

Mặt khác ta có:











 

 

 



2 2 2

2 2 2 2 2 2

b c b c b c

a a b c a b a c a b a c

 

  

       

Từ suy







 



2 2 2

2 1 2 2

b c b c

a a b a c

 



 

    

    

Suy điều phải chứng minh Ví dụ 5:

Cho số thực dương a b c, , Chứng minh rằng:

2 2

1 1 b c c a a b

a bc b ac c ab a b c

       

  

Ta có:

















 



 

 



2 2 2

2 2 2 2 2

b c b c

b c b c

a bc a bc b c c a b b a c c a b b a c

 



   

       

Từ suy :



 





 



2 2

2 2 2 2 2

1

b c b c b a

a bc c a b b a c c a b c a b c

   

    

        

        

Chú ý: Nếu ta thay





1 1 , , , , a b c

a b c

 

  

thu bất đẳng thức là:

2 2

2 2

( ) ( ) ( )

a b c b c a c a b

a b c

a bc b ca c ab

       

  

Nếu phân tích:

2

( ) ( )

a b c bc b c

b c

a bc a bc

 

  

  thu bất đẳng thức mới:

2 2

( ) ( ) ( )

bc b c ca c a ab a b

a b c a bc b ca c ab

       

   Đây bất đẳng thức đẹp khó

Ví dụ 6: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh rằng:

2 2

2 2 2 2

a b c

a  bc b  ac c  ab

Giải: Ta có:





2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

a b c

a b c

a bc b ac c ab a bc b ac c ab  

   

       

Thay





1 1 , , , , a b c

a b c

 

  

  ta thu kết quả:

2 2

2 2

bc ca ab

Mặt khác ta có:

2

2

2

2

bc a

bc a   a bc nên bất đẳng thức viết lại

thành:

2 2

2 2

2 2

a b c

a bc b ac c ab Thay





1 1 , , , , a b c

a b c

 

  

ta lại thu được:

2 2 2 2

bc ca ab

a  bc b  ac c  ab

Những bất đẳng thức có ứng dụng quan trọng Ví dụ 7: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh rằng:

2 2 1

(2 )(2 ) (2 )(2 ) (2 )(2 )

a b c

a b a c  b c b a  c a c b  Giải:

Ta có





2

2 2

2 2

2

1

(2 )(2 ) ( ) ( ) ( )

a a

a a a a

a b a c a a b c a bc a a b c a bc a a b c a bc

  

     

              

Từ suy ra:

2 2

2

1

(2 )(2 ) ( )

a a a a a

a b a c a a b c a bc a b c a bc

   

       

           

Áp dụng kết VD ta suy điều phải chứng minh

Ví dụ 8: Cho số thực dương a b c, , cho ab bc ca  3 Chứng minh rằng:

2 2

1 1

1 1

Ta có:

2

2

1

1

a

a   a  nên bất đẳng thức tương đương với

2 2

2 2

3

1 1

a b c

a  b  c   .

2 2

2 2

1

3 3 3

a b c

a b c

   

   Ta có:





2

2 2

2 2

4

3 3 ( ) ( )

a a

a a a a

a a ab bc ca a a b c a bc a a b c a bc 

   

          

2

( )

a a

a b c a bc

 

   Tương tự với số hạng cịn lại ta có:

2

2

1

3 2

a a a

a a b c a bc

 

    

     

Ở ta sử dụng kết quả:

2

2

2

a

a bc

 



Ví dụ 9: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:

2 2

2 2 2

1

5 ( ) ( ) ( )

a b c

a  b c  b  c a  c  a b  Giải:

Ta có:













2

2

2 2 2 2 2

2

9

5 ( ) 2(2 ) 2(2 )

a a

a a

a b c a b c a bc a b c a bc



 

         









2 2

2

2 2 2

4

2(2 )

a a a a

a bc a bc

a b c a b c

   

 

   

Từ suy ra:

2 2

2 2 2

1

5 ( )

a a a

a b c a b c a bc

 

    

Ví dụ 10: Cho số thực dương a b c, , thỏa mãn: a b c  1 Chứng

minh:

1

3 3

ab bc ca

ab b c  bc c a  ca a b  Giải:

Ta có:









3ab2b c 3ab2b c a b c (   ) ab bc ca   c 2ab 2b

Từ ta có:













2

2

1 1

2

2 ab bc ca c ab b ab bc ca c ab b

 

  

  

    

Như vậy:

2

1

3 16 2 16 2

ab ab ab ab ab ab a

ab b c ab bc ca c ab b ab bc ca c ab

   

        

           

Từ suy ra:

1

3 16 2

ab ab ab a

ab b c ab bc ca c ab

 

      

       .

3 Kỹ thuật thêm bớt.

Ví dụ 1: Cho số thực dương a b c, , cho a2b2c2 3 Chứng minh rằng:

1 1

3 2a2b2c

Phân tích: Nếu ta áp dụng trực tiếp bất đẳng thức:





2

2 2 x y z x y z

a b c a b c

 

  

Xét

1

2

m ma m

a a

   

  ta chọn msao cho 1 2 m ma 0 và

1 2m ma  đơn giản số hạng Điều làm ta nghỉ đến m

Từ ta có cách chứng minh sau:

1 1 1

3

2 2 2 2 2

a b c

a  b  c   a b c 

     

2 2

2 2

2 2

a b c

a a b b c c

   

   Áp dụng bất đẳng thức:





2

2 2 x y z x y z

A B C A B C

 

  

  ta có:









2

2 2

2( )

a b c VT

a b c a b c  



    

Ta cần chứng minh:













2

2 2 2( ) 3

2( )

a b c a b c

a b c a b c a b c

   

  

       





2

6( )

a b c a b c

        



a b c  3



2 0

Ví dụ 2: Cho số thực dương a b c, , cho ab bc ca  3 Chứng

minh rằng: 2

1 1

1

2 2

a  b  c   Phân tích:

Xét:

2

2

1

2

m ma m

a a

 

 

  ta nghỉ đến chọn

1 m

Khi ta có:

2 2

2 2 2

1 1 1 1

1

2 2 2 2 2

a b c

Áp dụng bất đẳng thức:





2

2 2 x y z x y z

A B C A B C

 

  

  ta có:





2

2 2

2 2 2 2 2 6

a b c

a b c

a b c a b c

 

  

      Ta cần chứng minh:













2

2 2 6 2 2

a b c a b c

a b c a b c ab bc ca

   

  

        Nhưng đẳng thức Suy điều phải chứng minh

Ngoài ta giải cách khác sau:





















2

2

2

2

1

1 2 2

2

2

b c b c

a b c a b c

a

 

 

 

     

   

 

  Từ cộng bất đẳng thức chiều ta suy điều phải chứng minh:

Chú ý: Với giả thiết a b c, , độ dài ba cạnh tam giác ta cần ý biến đổi để sử dụng điều kiện: a b c  0,b c a  0,c a b  0

Ví dụ 3: Cho a b c, , độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:

3 3

a b c

a b c   b c a   c a b   Phân tích:

Ta viết lại:

(3 )

3

a a m a b c

m

a b c a b c

  

 

    Ta chọn

1 m

đó:

1

3 4(3 )

a a b c

a b c a b c

   

    Từ ta có bất đẳng thức cần chứng minh

1 1

3 4 4

a b c

a b c    b c a    c a b    

3 3

a b c b c a c a b a b c b c a c a b

        

     

Ta có







 







2

2 2

3 2( )

a b c b c a a c b a b c

VT

a b c a b c a b c ab bc ca

         

  

         

Đối với bất đẳng thức dạng f a( ) f b( ) f c( )M Ta thường thêm

bớt vào số m để tử số có dạng bình phương.

Ví dụ 4: Cho số thực dương a b c, , cho abc1.Chứng minh rằng:

2 2

1 1

3

1 1

a  a b  b c  c  . Phân tích:

Ta lấy

2

2

1

1

m ma ma

m

a a a a

  

 

    để 1 m ma  2ma

phân tích thành: (xa y )2 1 m ma2ma0 có nghiệm kép Hay





2

4 (1 )

3

m m m m m m

         

Ta viết lại bất đẳng

thức thành: 2

1 4

1

1 3

a  a  b  b  c  c    hay

2 2

2 2

(2 1) (2 1) (2 1)

3

1 1

a b c

a a b b c c

     

      Áp dụng bất đẳng thức:





2

2 2 x y z x y z

A B C A B C

 

  

  ta thu được:









2

2 2

2( )

( )

a b c VT

a b c a b c    

Ta cần chứng minh:









2 2 2 2

2(a b c  ) 3 a b c    (a b c) 3

hay









2

6( )

a b c   ab bc ca   a b c 

Ta có: (ab bc ca  )2 a b2 2b c2 2c a2 22abc a b c(   )

2 2 2 ( ) 3 ( ) 3( )

a bc b ca c ab abc a b c abc a b c a b c

            Ta quy

bài toán chứng minh:









6 3( )

a b c   a b c   a b c  Đặt

3( )

t a b c   t Ta có bất đằng thức trở thành:





4

2

6 27 54 27 54 ( 3) ( 6)

9

t

t t t t t t t t t t t

            

Điều hiển nhiên Dấu xảy a b c  1 Cho số thực dương a b c, , cho a2b2c2 3 Chứng minh rằng:

2 2

1

2 3

a b c

a  b b  c c  a  . Một số cách thêm bớt khơng mẫu mực:

Ví dụ 5: Cho số thực dương a b c, , cho a b c  1

Chứng minh:

2 2

1

3 3 18( )

a b c

a  b  c  ab bc ca 

Giải:

Ta có:

2 1 3 1

3 3 3

a a a

a

a a a

 

    

     Vì ta quy toán chứng

minh:

1

1

3 3 6( )

a b c

a  b  c  ab bc ca  

Ta có:







 

 







2

2 2

1

3 3 3

a b c a

a a a b b c c a b c

 

  

Suy









2 2

1

1

6( )

3

VT

ab bc ca

a b c a b c

   

 

     

Ví dụ 6: Cho số thực dương a b c, , cho a b c  1.Chứng minh:

1 1

2

1 1

b c a a b c

a b c a b c

  

     

    

 

Giải:

Do

1

1

a a

a b c 

 

  nên ta viết lại bất đẳng thức thành:

2

b c a a b c

a b c  b c c a a b      Lại có: ( )

a a ab

c b c  c b c nên ta

chứng minh:

3

( )

ab c b c

 

 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Shwarz ta có:









2 2

( ) ( )

ab bc ca

ab a b

c b c abc b c abc a b c  

   

   

Ta cần chứng minh:









2

2

ab bc ca abc a b c

 



  tốn quen thuộc.

Ví dụ 7: Cho số thực dương a b c, , cho ab bc ca  1.Chứng

minh:

3 ab bc ca a b c

b c c a a b

     

  

Giải:

Nhân vế với a b c  ý:





2

ab a b

a b c ab

b c    b c Ta viết bất

đẳng thức cần chứng minh thành:





2 2 3





1

2 a b b c c a

a b c a b c

b c c a a b

        

Ta có:









2

2 2

2

( ) ( ) ( )

ab bc ca a b b c c a

b c c a a b b b c c c a a a b a b c  

   

          

Cuối ta chứng minh:













2

2

1 3

1

2

a b c a b c

a b c

      

   .

Nhưng









2

3 3

3

2 a b c   4 a b c    nên ta quy về:













2

2

1

1

4

a b c a b c

a b c  

         

   Dành cho học sinh.

4) PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ.

Tùy theo tốn ta chọn cách đặt ẩn phụ sau:

1)





1 1

, , , ,

a b c

a b c

 

  

2)





, , ka kb kc, , a b c

b c a

 

  

3)





, , kb kc ka, , a b c

a b c

 

  

4)



a b c, ,



ka kb kc2, 2, bc ac ab

 

  

 

5)





2 , , kbc kca kab, , a b c

a b c

 

  

Ví dụ 1: Cho số thực dương x y z, , cho xyz1 Chứng minh rằng:

2 2

1 1

1

1 1

Phân tích: Nếu áp dụng trực tiếp bất đẳng thức:





2

2 2 X Y Z

X Y Z

A B C A B C

 

  

  bất đẳng thức bị ngược dấu.

Để không bị ngược dấu ta thay





2 , , bc ca ab, , x y z

a b c

 

  

bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

4 4

4 2 2 2

a b c

a a bc b c b b ac a c c c ab a b  (*)

Bây áp dụng bất đẳng thức:





2

2 2 X Y Z

X Y Z

A B C A B C

 

  

  ta có:



2 2 2



2

4 2 2 2

a b c VT

a a bc b c b b ac a c c c ab a b  



        Ta cần chứng

minh:



2 2 2



2

4 2 2 2

a b c

a a bc b c b b ac a c c c ab a b  



       

2 2 2 ( )

b c a c a b abc a b c

      Nhưng kết quen thuộc. Ví dụ 2: Cho số thực dương x y z, , cho xyz1 Chứng minh rằng:

1 1

(x1)(x2) ( y1)(y2) ( z1)(z2) 2.

Phân tích:

Đặt 2; ; bc ac ab

x y z

a b c

  

bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

2

1

(2 )( )

a

a bc a bc

 

  Áp dụng bất đẳng thức:





2

2 2 X Y Z

X Y Z

A B C A B C

 

  



2 2 2



2

2

(2 )( )

a b c

VT

a bc a bc

  



   Ta cần chứng minh:



2 2 2



2 2 2

2 a b c  (2a bc a)( bc)

2 2 2 ( )

a b b c c a abc a b c

      Đây kết quen thuộc. Ví dụ 3: Cho số thực dương x y z, , Chứng minh rằng:

2 2

3

x y z

x y  y z  z x  Giải:

Đặt ; ;

a b c

x y z

b c a

  

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

2 2

2 2

3

a b c

a bc  b ac  c ab  Áp dụng bất đẳng thức

Bunhiacopxki ta có:

2

2 2

2 2

( )( )

( )( )

a b c a a a b a c

a bc b ac c ab a b a c a bc

      

       

        

 

Mặt khác ta có: 8



a b c ab bc ca 

 

 



9



a b b c c a

 



 





Mặt

khác ta có:





2

( )( ) ( )( )( ) 4( )

ab bc ca a

a b a c a b b c c a a b c  

  

       Ta quy

toán chứng minh:





( )( )

2 a a b a c

a b c a bc

 

   

 Mặt khác ta có:

2

( )( ) ( )

a a b a c a b c

a

a bc a bc

    

  Ta quy toán chứng minh:

2

( )

a b c

a b c a bc



   

KỸ THUẬT ĐỐI XỨNG HĨA.

Ví dụ 1: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:

2 2

3

a b c

a b  b c  c a  Giải:

Ta có:

















2

2

2

( ) ( )

a a c a a c

a

a b a b a c a b a c

 

 

 

   

 

      













2( )

( ) ( ) ( )

a b c

a b c

a b a c b c b a c a c b

 

     

     

 



 





 

 



8 a b c ab bc ca a b b c c a

   



  

Bây ta cần chứng minh:



 





 

 





 





 

 



8

9

a b c ab bc ca

a b c ab bc ca a b b c c a

a b b c c a

   

         

  

Nhưng kết quen thuộc:

Ví dụ 2: Cho số thực dương a b c, , Chứng minh:

2 2

a b c

a b  c  b c  a  c a  b  Giải:

Ta có:







 









 



2

2

2 2 2

a a b c a a b c

a

a b c a b c a b c a b c a b c

 

   

 

   

 

           







 

1





4



 

2









2 2 ( )

a ab a

a a b c

a b c a b c a b c a b c b a c

   

 

    

   

           

Ta cần chứng minh:











 



2

4 9

2 ( )

a ab a

a b c a b c b a c

   



      Sau khai triển thu gọn được:





3 3

2 a  b c ab a b(  ) bc b c(  ) ca c a(  ) Đây tốn quen thuộc

Ví dụ 3: Cho số thực dương a b c, , cho a b c  1

Chứng minh:

2

ab bc ca

ab bc  bc ca  ca ab 

Giải:

Ta có:







 



2

2 a b a b

ab a b

a c a c a b ab bc



 

  

 suy ra







 









 









 



2 2 2

2 2

( ) a a b abc a

a b a b a b

a b

a c a b a c a b a b b c c a

         

        

          

 

Ta cần chứng minh:







 







2

2

2 1

4

( )

a a b abc a

a a b abc a a b b c c a

 

    

 

      

  



a b c a b b c c a

 

 



( )

      Khai triển thu gọn ta quy về:



2





2





2

 

2 2 2 2



ab a b bc b c ca c a  a b b c c a

Nhưng bất đẳng thức hiển nhiên theo BĐT cô si:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN.

Cho số thực dương a b c, , Chứng minh rằng:

1) 2 2 2

a b c a b c

b bc c c ca a c ca a ab bc ca  

  

2) 2 2 2 2

a b c a b c

a ab b b bc c c ca a a b c  

  

       

3)



 

 







2

2 3 3 3 4 1

a  b  c   a b c  

4)

3 3

2 2

( )

1 1

a b b c c a abc a b c

ab bc ca abc

 

  

   

5)

2 2

2 2

2 2

a b c

a b b c c a  với a b c  3

6)





1

3 3

ab bc ca

a b c a b c b  c a c  a b   

7)

2 2

2 2 2 2 2 2 2 4

ab bc ca a b c

a b c b c a c a b

 

  

     

8) 2

1 1

1

2ab 1 2 bc 1 2 ca 1 với a b c  3.

9)

3 3

4

2 2

a b b c c a a c b a c b

     

   Với a b c, , độ dài cạnh tam giác

10) 10) 2

5

a b c ab bc ca

b c c a a b a b c  

   

     Với a b c, , độ dài

cạnh tam giác

11) 2 2 2

1

ab bc ca

a b  b c  c a  biết a b c, , 0 cho không

có số đồng thời a2b2c2 2(ab bc ca  ) 12)

1

4 4

a b c

a bc  b ca  c ab  biết a b c, , 0 cho

khơng có số đồng thời a b c  2

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

1) 2 2 2

a b c a b c

b bc c c ca a c ca a ab bc ca  

  

Ta có:

2

2 2

a a

b bc c  ab abc ac Suy ra





2

2

2 2 2 3

a b c a

ab abc ac ab ac bc ba abc  

 

     

Ta cần chứng minh:





2

2 2 3

a b c a b c

ab ac bc ba abc ab bc ca

    

     



ab bc ca a b c

 



ab2 ac2 bc2 ba2 3abc

         

(Nhưng đẳng thức)

2) Ta có: ab bc ca a   2b2c2

Suy 2 2 2 2

a b c a b c

b bc c c ca a c ca a a b c  

  

       

3)



1



2 3



3 1





1



2

3

b c b c

a b c   a      a      

   

   

Từ suy





2







1



2

4

3 b c a b c    a      

 

  Ta chứng minh:







1



2



 

 







2



 



4 3 3 3 3

3 b c

a       a  b  c      b c  b  c 

 

 

Bất đẳng thức tương đương với:





2



2

 

2



2 2 2 2 2 2

4 3   b c 3 b 3 c 3 4 4 b  c 2bc2b2c9b 9c 3b c 27



2



2

5 b c 3b c 8(b c) 8bc 13

       

Ta viết lại bất đẳng thức

thành:









2 2

Ta có

2 2 ,

b c  bc 2



b2c2







b c



24



b2c2



2



b c



2 Nên



2 2







2 2 2

5 b c 2bc8(b c  ) bc1 2(b c ) 8(b c  ) 2bc2bc3(bc1)





2

2 b c 3(bc 1)

      Dấu xảy a b c  1

4)

3 3

2 2

( )

1 1

a b b c c a abc a b c

ab bc ca abc

 

  

   

Ta có:

3 2

2 2

1

a b a b c

ab abc a b c

  Suy ra



2 2 2



2

3 2

2 2 2 2 2

1

a bc b ac c ab a b a b c

ab abc a b c abc a b c bca b c a cab c a b

 

   

      





2

2 2

2 2 2

a b c a b c

abc a b c bca b c a cab c a b  



    

Ta chứng minh:





2

2 2

2 2 2

( )

1

a b c a b c abc a b c

abc a b c bca b c a cab c a b abc

   



     





2 2 2

1abc abc a b c(   ) abc a b c bca b c a cab c a b Đây

là đẳng thức.Dấu xảy a b c 

5)

2

2 2

2

a a

a b  a  a b

Suy



2 2 2



2

2

2 2 2

2 2

a b c

a a

a b a a b a a b

 

   

     Ta chứng minh:



2 2 2



2

3 2 2 a b c

a a b

 

Hay



2 2 2



2

4 4 3

3 2 2 a b c

a b c a b c

a a b

 

         

Ta cần chứng minh: a4b4c4 a3 b3 c3 với a b c  3 Ta chứng minh:



4 4

 

3 3









4 4





2





2





2



3 a b c  a  b c a b c  2 a b c ab a b bc b c ca c a Để ý rằng:



4 4

 

2 2

 

2 2 2

 

2 2





2 2



4 4



2 2



2 a b  a b  a b a b 2ab a b a b ab a b

Cộng ba bất đẳng thức chiều ta suy điều phải chứng minh: 6) Ta có:

1 1 1 1

3 ( ) ( ) 9

ab ab ab

a

a b c a c b c b a b b c b a b c a b b c

   

          

               

Tương tự ta có bất đẳng thức cộng lại thu được:

1 1

3 3 2

ab bc ca ab ab bc bc ca ca

a b c

a b c b c a c a b a c b c b a c a c b b a

 

            

             





1

3 3

ab bc ca

a b c a b c b c a c a b

     

     

7) Ta có

2 2

2 2 2 2 2 2 2 4

ab bc ca a b c

a b c b c a c a b

 

  

     





2

2 2

2 2 2 4 2 2 4 2 2

a b

ab b b a b

a b c a b b c a b b c

    

     

          

Suy

2 2 2

2 2 2 2 2 2

4 4

b a b c b c a a c a b c

VT

a b b c b c c a a b c a

       

         

     

     

8) 2

1 1

Ta có:

2

2 2

1

2

c

ab   ab c c suy ra





2

2 2 2 2 2 2 2 2 a b c

VT

a b c a b c a bc ab c  



     Ta chứng minh:





2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 a b c

ab bc ca a b c a bc ab c a b c a b c a bc ab c

 

      

    

( )

ab bc ca abc a b c abc

        Theo bất đẳng thức Cơ si ta có:

3

3   a b c abc  3 abc1 điều phải chứng minh.

9) Ta xét:

3 (3 )

2

a b a m b mc

m

a c a c

     

 

Chọn m1 để xuất hiện:

1

2

a b a b c

a c a c

    

 

Khi ta có: Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:

2 2

a b c b c a c a b

a c b a c b

        

  

Suy













2

2

( )(2 )

a b c b c a c a b a b c VT

a b c a c a b c

         

  

     

Đpcm 10) Ta viết lại bất đẳng thức thành:

2 2

1

1 1

2

a b c ab bc ca

b c c a a b a b c

 

      

    









2

2 2

2

a b c b c a a c b a b c

b c c a a b a b c

 

     

   

    

Ta có







 











2

2 2

4

2

a b c a b c

VT

b c a b c a b c

   

 

11) Ta có:

2

2 2 2

2

ab ab a b ab

a b a b a b



 

  

Ta quy toán chứng minh: 2 2 2

2 2

1

ab bc ca

a b b c c a  Hay



 

2

 

2



2

2 2 2

a b b c c a

a b b c c a

  

  

   Thật ta có:

















2

2 2 2

4

4

2 2

a b c a b c

VT

a b c a b c ab bc ca

   

  

      

Dấu xảy a b c , 0 hốn vị

12) Ta có:





4 4

a b c

VT a b c

a bc b ca c ab

 

      

  

 

2

4 4

a b c

a bc b ca c ab

 

    

  

  Ta chứng minh:

1

4 4

a b c

a bc b ca c ab

1 1

4 4 4 4

a b c

a bc b ca c ab

      

  

1

4 4 3

bc ca ab

a bc b ca c ab

   

   Ta có:





















2

2 2 2 2 2 2

1

3

ab bc ca ab bc ca

VT

a b b c c a abc a b b c c a abc a b c

   

  