Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10... Trường THPT Chuyên Tiền Giang.[r]
(1)www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn I.Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ( BCS ) : Cho số thực ( a1 ; a2 ; ; an ) và ( b1 ; b2 ; ; bn ) , gồm n số Khi đó ta có: ( a1b1 + a2b2 + + anbn ) ≤ ( a12 + a2 + + an )( b12 + b2 + + bn ) Dấu đẳng thức xảy và khi: a a1 a2 = = = n với quy ước mẫu thì tử phải b1 b2 bn II Các hệ : Hệ 1: Nếu a1 x1 + + an xn = C (không đổi) thì ( x12 + + xn2 ) = đạt C a + + an2 x x1 = = n a1 an Hệ 2: Nếu x12 + + xn2 = C (không đổi) thì max ( a1 x1 + + an xn ) = C đạt a12 + + an2 x x1 = = n ≥ a1 an ( a1 x1 + + an xn ) = − C Dấu “=” xảy ⇔ a12 + + an2 x x1 = = n ≤ a1 an III.Bất đẳng thức Bunhiacôpxki mở rộng: • Mở rộng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho dãy số thực không âm ( a1 ; a2 ; ; an ) ; ( b1 ; b2 ; ; bn ) ; ( c1 ; c2 ; ; cn ) ta luôn có : ( a1b1c1 + a2 b2 c2 + + an bn cn ) ≤ ( a13 + a23 + + an3 )( b13 + b23 + + bn3 )( c13 + c23 + + cn3 ) Chứng minh: Đặt A = a13 + a23 + + an3 , B = b13 + b23 + + bn3 , C = c13 + c23 + + cn3 Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 www.MATHVN.com Lop12.net Page (2) Trường THPT Chuyên Tiền Giang www.MATHVN.com GV Đỗ Kim Sơn Nếu A = B = C = thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì đó hai vế bất đẳng thức Vậy ta xét trường hợp A > 0; B > 0; C > a b c Đặt xi = i ; yi = i ; zi = i với i = 1; 2;3 A B C 3 ⎧ x1 + x2 + x3 = ⎪ Khi đó ta có: ⎨ y13 + y23 + y33 = và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: x1 y1 z1 + x2 y2 z2 + x3 y3 z3 ≤ ⎪ 3 ⎩ z1 + z2 + z3 = ⎧ x13 + x13 + x13 ≤ x y z ⎪ 1 ⎪ ⎪ x2 + x23 + x23 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm: xi ; yi ; zi ( i = 1; 2;3) ta có: ⎨ x2 y2 z2 ≤ ⎪ ⎪ x3 + x33 + x33 x y z ≤ ⎪ 3 3 ⎩ Cộng các bất đẳng thức trên lại ta được: x1 y1 z1 + x2 y2 z2 + x3 y3 z3 ≤ (đpcm) ⎧ a1 b1 c1 ⎪A = B =C ⎧ x1 = y1 = z1 ⎪ ⎪ ⎪ a2 b2 c2 = Đẳng thức xảy ⇔ ⎨ x2 = y2 = z2 ⇔ ⎨ = A B C ⎪x = y = z ⎪ 3 ⎩ a b c ⎪ 3 ⎪A = B =C ⎩ Hay : bi : ci = A : B : C ( i = 1; 2;3) tức là: a1 : b1 : c1 = a2 : b2 : c2 = a3 : b3 : c3 • Tổng quát : bất đẳng thức Bunhiacôpxki mở rộng cho rộng cho m dãy số thực không âm: Cho m dãy số thực không âm: ( a1 ; a2 ; ; an ) , ( b1 ; b2 ; ; bn ) , … , ( K1 ; K ; ; K n ) Ta có: m ( a1b1 K1 + a2b2 K + + anbn K n ) ≤ ( a1m + a2m + + anm )( b1m + b2m + + bnm ) ( K1m + K 2m + + K nm ) Dấu “=” xảy và khi: a1 : b1 : : K1 = a2 : b2 : : K = an : bn : : K n ( chứng minh tương tự trên) I- MỘT SỐ VÍ DỤ : Bài 1: Cho x, y, z là ba số dương thỏa x + y + 16 z = 49 Chứng minh rằng: 25 64 T= + + ≥ 49 x y z Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 www.MATHVN.com Lop12.net Page (3) www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Đẳng thức xảy nào? Hướng dẫn giải Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho sáu số x ;3 y ; z và ta được: ; ; x y z ⎛ 25 84 ⎞ ⎡ 49.T = ( x + y + 16 z ) ⎜ + + ⎟= x z ⎠ ⎢⎣ ⎝x y ( ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤ ⎤ ⎢ ⎥ + z + + ⎥⎦ ⎢⎜⎝ x ⎟⎠ ⎜⎜ y ⎟⎟ ⎜⎝ z ⎟⎠ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ) + (3 y ) ( 2 ) 2 ⎛ ⎞ ≥ ⎜ x + y + z ⎟⎟ = 49 ⎜ x y z⎠ ⎝ ⇒T = 25 64 + + ≥ 49 x y z ⎧ ⎪x = ⎧1 ⎪ = ⎪ = ⎪ Đẳng thức xảy ⎨ x y z ⇔ ⎨y = ⎪4 x + y + 16 z = 49 ⎪ ⎩ ⎪z = ⎪ ⎩ Bài : Cho x > 0; y > và x + y ≤ x + y Chứng minh: x + 3y ≤ + Hướng dẫn giải 2 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ Giả thiết: x + y ≤ x + y ⇔ ⎜ x − ⎟ + ⎜ y − ⎟ ≤ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 1⎞ ⎛ Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho số: (1;3) ; ⎜ x − ; y − ⎟ ta có: 2⎠ ⎝ 2 ⎡⎛ ⎡ ⎛ 1⎞ ⎞⎤ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎤ ⎛ ⎢1 ⎜ − ⎟ + ⎜ y − ⎟ ⎥ ≤ 10 ⎢⎜ x − ⎟ + ⎜ y − ⎟ ⎥ ≤ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎣ ⎝ ⎢⎣⎝ ⇒ ( x + y − 2) ≤ ⇒ x + 3y − ≤ ⇒ x + 3y ≤ + ⎧ ⎪x = + ⎪ 10 Đẳng thức xảy ⎨ ⎪y = + ⎪⎩ 10 Bài : Cho a, b, c ≥ ; a + b + c = Chứng minh: Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 www.MATHVN.com Lop12.net Page (4) www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn 1 1 + + + ≥ 30 2 ab bc ac a +b +c Hướng dẫn giải 1 1 + + + 2 ab bc ac a +b +c Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho số: ⎛ 1 1 ⎞ ; ; ; ⎜ ⎟ 2 ab bc ca ⎠ ⎝ a +b +c Gọi A = ( a + b + c ;3 ab ;3 bc ;3 ca Ta có: (1 + + + 3) ≤ ( a + b + c + 9ab + 9bc + 9ca ) A ) ⇒ 100 ≤ ⎡( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) ⎤ A (*) ⎣ ⎦ 1 Mà ab + bc + ca ≤ ( a + b + c ) = (do a + b + c = 1) 3 Do đó: (*) ⇒ A ≥ 30 Đẳng thức xảy a = b = c = Bài : Cho x; y; z > và thoả x + y + z ≤ Chứng minh : x2 + 1 + y + + z + ≥ 82 x y z Hướng dẫn giải Gọi S = x + 1 + y2 + + z2 + 2 x y z ⎛ 1⎞ Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho số: (1;9 ) ; ⎜ x; ⎟ ⎝ x⎠ 1 x + ≤ + 81 x + = 82 x + Ta có: x x x y + ≤ 82 y + ` Tương tự: y y z+ ≤ 82 z + z z Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được: Hay (1) (2) (3) ⎛1 1⎞ S 82 ≥ x + y + z + ⎜ + + ⎟ ⎝x y z⎠ ⎛1 1⎞ S 82 ≥ 81( x + y + z ) + ⎜ + + ⎟ − 80 ( x + y + z ) ⎝x y z⎠ Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 www.MATHVN.com Lop12.net Page (5) www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang ≥ 2.9.3 x2 + Vậy GV Đỗ Kim Sơn ⎛1 1⎞ + + ⎟ − 80 ≥ 162 − 80 = 82 ⎝x y z⎠ ( x + y + z)⎜ 1 + y + + z + ≥ 82 x y z Bài : Cho ba số thực dương a, b, c thoả ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng: b + 2a c + 2b a + 2c + + ≥ ab bc ca Hướng dẫn giải b + 2a b + 2a 1 = = + 2 (do a, b dương) 2 ab ab a b 1 Đặt x = ; y = ; z = thì a b c ⎧a, b, c > ⎧ x; y; z > giả thiết ⎨ ⇔⎨ ⎩ab + bc + ca = abc ⎩x + y + z = Ta có: và (đpcm) ⇔ x + y + y + z + z + x ≥ Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: 3( x2 + y2 ) = 3( x2 + y2 + y2 ) ≥ ( x + y + y ) ⇒ x2 + y ≥ y2 + 2z2 ≥ Tương tự z + x2 ≥ ( x + 2y) 3 ( y + 2z ) ( z + 2x) x2 + y + y + z + z + x2 ≥ Vậy Đẳng thức xảy x = y = z = Với x = y = z = ( 3x + y + 3z ) = 3 thì a = b = c = 3 Bài : Chứng minh: a − + b − + c − ≤ c ( ab + 1) với số thực dương a; b; c ≥ Hướng dẫn giải Đặt a − = x ; b − = y ; c − = z Với x; y; z > Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 2 x+ y+z ≤ (z + 1) ⎡⎣( x + 1)( y + 1) + 1⎤⎦ Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 www.MATHVN.com Lop12.net Page (6) www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang (x ( x + 1)( y x+ y≤ 2 + 1)( y + 1) ⇒ x + y + z ≤ + 1) + z ≤ (x + 1)( y + 1) + z (1) + 1)( y + 1) + z + (z Kết hợp (1) và (2) ta có x + y + z ≤ Vậy (x GV Đỗ Kim Sơn (2) + 1) ⎡⎣( x + 1)( y + 1) + 1⎤⎦ a − + b − + c − ≤ c ( ab + 1) (đpcm) Bài : Cho a; b; c > và thoả abc = Chứng minh: 1 + + ≥ a (b + c ) b ( c + a ) c ( a + b ) Hướng dẫn giải 1 Đặt x = ; y = ; z = ⇒ xyz = 1; x > 0; y > 0; z > a b c x2 y2 z2 Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau : A= + + ≥ y+z z+x x+ y Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho số : ⎛ x y z ⎞ y + z ; z + x; x + y ;⎜ ; ; ⎜ y + z z + x x + y ⎟⎟ ⎝ ⎠ ( ) Ta có: ( x + y + z ) ≤ ( y + z + z + x + x + y ) A x+ y+z 3 ≥ xyz = (do xyz = ) 2 Đẳng thức xảy x = y = z = Với x = y = z = thì a = b = c = ⇒ A≥ ⇒ A≥ Bài : Cho a; b; c > Chứng minh: a a+ ( a + b )( a + c ) + b b+ + ( b + c )( b + a ) c c+ ( c + a )( c + b ) ≤1 Hướng dẫn giải Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho số: Ta có: ( ac + ab ) ( )( a; b ; a a+ ) ≤ ( a + b )( c + a ) ⇒ ac + ab ≤ ⇒ a + ac + ab ≤ a + ⇒ c; a ( a + b )( a + c ) Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 ≤ ( a + b )( c + a ) ( a + b )( c + a ) a a + ac + ab = a a+ b+ c www.MATHVN.com Lop12.net (1) Page (7) www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Tương tự: b b+ ( b + c )( b + a ) c c+ ≤ ( c + a )( c + b ) ≤ b (2) a+ b+ c c (3) a+ b+ c Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được: a a+ GV Đỗ Kim Sơn ( a + b )( a + c ) + b ( b + c )( b + a ) b+ + c c+ ( c + a )( c + b ) ≤1 Đẳng thức xảy a = b = c ab −3 ≤ a+b+3 Hướng dẫn giải Bài : Cho a; b > và thoả a + b = Chứng minh : Ta có: a + b = ⇔ 2ab = ( a + b ) − ⇔ 2ab = ( a + b + 3)( a + b − 3) 2ab = a +b−3 a+b+3 ab a+b ⇔ = − 2 a+b+3 ⇔ Mà theo BĐT Bunhiacôpxki thì a + b ≤ a + b = ab −3 ≤ a+b+3 ⎧a; b > ⎪ ⎪ Đẳng thức xảy ⎨a + b = ⇔ a = b = ⎪ ⎪⎩a = b Nên 1 p+q p+q p+q + + ≥ + + a b c pa + qb pb + qc pc + qa Hướng dẫn giải Bài 10: Cho a; b; c; d dương tuỳ ý.Chứng minh : Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có ( p + q) ⎛ p ⎞ ⎛ p q⎞ q = ⎜⎜ pa + qb ⎟⎟ ≤ ⎜ + ⎟ ( pa + qb ) b ⎝ a ⎠ ⎝a b⎠ Tương tự ta chứng minh ⎛ p q⎞ ≤ ⎜ + ⎟ ( pb + qc ) ; ⎝b c⎠ Cộng các vế tương ứng ba bất đẳng thức ta có : ( p + q) Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 ( p + q) ⎛ p q⎞ ≤ ⎜ + ⎟ ( pc + qa ) ⎝ c a⎠ www.MATHVN.com Lop12.net Page (8) www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn ⎡ 1 ⎤ ⎛1 1⎞ ⎢ pa + qb + pb + qc + pc + qa ⎥ ≤ ( p + q ) ⎜ a + b + c ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎡ 1 ⎤ 1 + + ( p + q) ⎢ ⎥≤ + + ⎣ pa + qb pb + qc pc + qa ⎦ a b c 1 p+q p+q p+q + + ≥ + + a b c pa + qb pb + qc pc + qa ( p + q) Hay Vậy Bài 11 : Cho số dương a; b; c; d Chứng minh: a3 b3 c3 d3 a + b2 + c2 + d + + + ≥ b+c+d c+d +a b+d +a a+b+c Hướng dẫn giải 3 a b c d3 Đặt P = + + + b+c+d c+d +a b+d +a a+b+c Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho số: ⎛ ⎞ a3 b3 c3 d3 ; ; ; ⎜ ⎟ ; a (b + c + d ); b ( c + d + a ); c ( d + b + a ); d ( a + b + c ) ⎜ b+c+d c+d +a b+d +a a+b+c ⎟ ⎝ ⎠ Ta có: ( ( a + b + c + d ) ≤ P ⎡⎣a ( b + c + d ) + b ( c + d + a ) + c ( d + a + b ) + d ( a + b + c )⎤⎦ ⇔ ( a + b + c + d ) ≤ P ⎡( a + b + c + d ) − ( a + b + c + d ) ⎤ ⎣ ⎦ 2 2 ) 2 2 2 2 2 (1) Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho số: ( a; b; c; d ) ; (1;1;1;1) ta được: (a + b + c + d ) Từ (1) và (2) ta ≤ ( a + b2 + c2 + d ) (a (2) + b + c + d ) ≤ 3P ( a + b + c + d ) ⇔ a + b + c + d ≤ 3P a3 b3 c3 d3 a + b2 + c2 + d + + + ≥ b+c+d c+d +a b+d +a a+b+c Vậy Bài 12 : Cho các số dương a; b; c thỏa a + b + c = Chứng minh : a b c + + ≥1 1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c Hướng dẫn giải a b c a b c Đặt A = + + = + + 1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c 2b + c 2c + a 2a + b Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: ⎡ ⎤ a b c a ( 2b + c ) + b ( 2c + a ) + c ( 2a + b ) ⎥ (a + b + c) = ⎢ 2c + a 2a + b ⎣ 2b + c ⎦ b c ⎤ ⎡ a ≤⎢ + + ⎡⎣ a ( 2b + c ) + b ( 2c + a ) + c ( 2a + b ) ⎤⎦ ⎣ 2b + c 2c + a 2a + b ⎥⎦ 2 Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 www.MATHVN.com Lop12.net Page (9) www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn (a + b + c) ⇔ A≥ ( ab + bc + ca ) Ta lại có: (a + b + c) ≥ ( ab + bc + ca ) Suy A ≥ ( ab + bc + ca ) ( ab + bc + ca ) =1 a b c + + ≥1 1+ b − a 1+ c − b 1+ a − c ⎧2b + c = 2c + a = 2a + b ⎪ Dấu đẳng thức xảy ⎨a = b = c ⇔a=b=c= ⎪a + b + c = ⎩ Vậy Bài 13 : Giả sử các số thực x; y; z; t thoả mãn điều kiện: a ( x + y ) + b ( z + t ) = với a; b là hai số dương cho trước Chứng minh: ( x + z )( y + t ) ≤ a+b ab Hướng dẫn giải Do a; b > nên từ giả thiết ta có: x2 + y z + t 2 2 + = a(x + y ) + b(z + t ) = ⇔ b a ab 2 2 x z y t ⇔ + + + = b a b a ab Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: ⎛ x2 z ⎞ ⎛ x ⎞ z x + z = b + a ≤ b + a )⎜ + ⎟ ( ) ⎜ ⎟ ( a ⎠ a ⎝ b ⎠ ⎝ b ⎛ y2 t ⎞ Tương tự : ( y + t ) ≤ (b + a ) ⎜ + ⎟ a⎠ ⎝ b Cộng vế (1) và (2) ta được: ⎛ x2 z y t ⎞ a + b 2 ( x + z ) + ( y + t ) ≤ (b + a ) ⎜ + + + ⎟ = a b a⎠ ab ⎝ b Mặt khác ( x + z ) + ( y + t ) ≥ ( x + z )( y + t ) 2 Do đó từ (3) và (4) suy ra: ( x + z )( y + t ) ≤ (1) (2) (3) (4) a+b ab ⎧x z ⎪b = a ⎪ ⎧x = y ⎪y t ⎪ Dấu đẳng thức xảy ⇔ ⎨ = ⇔⎨ ax b a ⎪ ⎪⎩ z = t = b ⎪x + z = y + t ⎪ ⎩ Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 www.MATHVN.com Lop12.net Page (10) www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Bài 14 : Cho các số thực dương x; y; z; t thoả mãn xyzt = Chứng minh: 1 1 + + + ≥ x ( yz + zt + ty ) y ( xz + zt + tx ) z ( xt + ty + yx ) t ( xy + yz + zx ) Hướng dẫn giải 1 1 Với x; y; z; t dặt a = ; b = ; c = ; d = (a; b; c; d > 0) và abcd = x y z t 1 1 ⇒ x = ; y = ; z = ;t = a b c d Bất đẳng thức cần chứng minh tương với: 1 1 + + + ≥ ⎛ 1 ⎞ 1⎛ 1 ⎞ 1⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ + + + + + + ⎟ + + ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ a ⎝ bc cd bd ⎠ b ⎝ ac cd ad ⎠ c ⎝ ad bd ab ⎠ d ⎝ ab bc ac ⎠ a3 b3 c3 d3 + + + ≥ b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c bcd adc abd abc 3 a b c d3 ⇔ + + + ≥ (vì abcd = ) a (b + c + d ) b ( c + d + a ) c ( d + a + b) d ( a + b + c ) ⇔ a2 b2 c2 d2 + + + ≥ b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c a2 b2 c2 d2 Đặt S = + + + b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: S ⎡⎣( b + c + d ) + ( c + d + a ) + ( d + a + b ) + ( a + b + c ) ⎤⎦ ≥ ( a + b + c + d ) ⇔ (a + b + c + d ) ⇒S≥ = (a + b + c + d ) 3( a + b + c + d ) (1) Áp dụng BĐT Cauchy với số dương: a + b ≥ ab ; c + d ≥ cd Suy a + b + c + d ≥ ( ab + cd ) Lại áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ab ; cd ta có: ab + cd ≥ abcd = abcd = (vì abcd = ) Từ (1) và (2) suy S ≥ 1 1 Vậy + + + ≥ ⎛ 1 ⎞ 1⎛ 1 ⎞ 1⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ + + + + + + ⎟ + + ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ a ⎝ bc cd bd ⎠ b ⎝ ac cd ad ⎠ c ⎝ ad bd ab ⎠ d ⎝ ab bc ac ⎠ Dấu đẳng thức xảy a = b = c = d = ⇔ x = y = z = t = Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 www.MATHVN.com Lop12.net (2) Page 10 (11) www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Bài 15 : Cho x1 ; x2 ; x3 ; x4 dương thoả điều kiện x1 + x2 + x3 + x4 = Chứng minh : x14 + x24 + x34 + x44 ≥ x13 + x23 + x33 + x43 Hướng dẫn giải Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: = ( x1 + x2 + x3 + x4 ) ≤ ( x12 + x22 + x32 + x42 ) ⇒ x12 + x22 + x32 + x42 ≥ • (x ( + x22 + x32 + x42 ) = (1) x1 x13 + x2 x23 + x3 x33 + x4 x43 ≤ ( x1 + x2 + x3 + x4 ) ( x13 + x23 + x33 + x43 ) (vì x1 + x2 + x3 + x4 = ) = x13 + x23 + x33 + x43 ⇔ • ) x +x +x +x ≥ x12 + x22 + x32 + x42 x +x +x +x 3 2 3 3 4 (x + x + x + x ) = ( x x + x x + x x + x x ) ≤ ( x + x + x + x )( x + x + x 1 3 2 2 2 3 4 4 4 (2) + x44 ) x14 + x24 + x34 + x44 x13 + x23 + x33 + x43 ⇒ ≥ x1 + x23 + x33 + x43 x12 + x22 + x32 + x42 Từ (1);(2) và (3) suy ra: (3) x14 + x24 + x34 + x44 ≥ x13 + x23 + x33 + x43 Bài 16 : Cho bốn số dương a; b; c; d Chứng minh: a4 (a + b) (a +b 2 b4 + ) (b + c ) (b +c c4 + ) (c + d ) (c +d + d4 ) (d + a)(d +a Hướng dẫn giải Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: 2 ( a + b ) ≤ ( a + b2 ) ⇔ ( a + b2 ) ( a + b ) ≤ ( a + b2 ) ≤ ( a + b2 ) ⇔ a −b Mặt khác: Đặt N = a + b4 ( a + b) ( a ( a + b ) ( a + b2 ) a4 + +b ) ≥ ) ≥ a+b+c+d (1) (a + b) = a −b b4 + c4 + d4 ( a + b ) ( a + b2 ) ( b + c ) ( b2 + c2 ) ( c + d ) ( c2 + d ) ( d + a ) ( d + a ) Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 www.MATHVN.com Lop12.net Page 11 (12) www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Ta có: (a 2N = − b4 ) + ( a + b4 ) (b + ( a + b ) ( a + b2 ) − c ) + ( b4 + c ) ( b + c ) ( b2 + c ) (c + − d ) + ( c4 + d ) ( c + d ) ( c2 + d ) GV Đỗ Kim Sơn (d + − a4 ) + ( d + a4 ) ( d + a ) ( d + a2 ) (1) 1 1 ( a + b) + a − b + (b + c ) + b − c + (c + d ) + c − d + ( d + a ) + d − a 4 4 1 ⇔ N ≥ ( a + b + b + c + c + d + d + a ) ⇔ N ≥ ( a + b + c + d ) ( đpcm ) 4 ⇔ 2N ≥ a a Đặt A = b + + + b 2 + c ≥1 a + 8bc b + 8ac c + 8ab (Trích đề thi Olympic Toán Quốc Tế lần thứ 42, năm 2001) Hướng dẫn giải Bài 17 : Cho a; b; c là các số thực dương.Chứng minh: c a + 8bc b + 8ac c + 8ab Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki hai lần ta được: (a + b + c) 2 2 ⎡ ⎤ a b c a a + 8bc + b b + 8ac + c c + 8ab ⎥ =⎢ 4 b + 8ac c + 8ab ⎣ a + 8bc ⎦ ⎡ ⎤⎡ a b c ≤⎢ + + a a + 8bc + b b + 8ac + c c + 8ab ⎤ ⎥ 2 ⎣ ⎦ b + 8ac c + 8ab ⎦ ⎣ a + 8bc = A ⎡ a a + 8abc + b b3 + 8abc + c c3 + 8abc ⎤ ⎣ ⎦ ≤ A ( a + b + c ) ( a3 + b3 + c3 + 24abc ) (1) Mặt khác ( a + b + c ) = a3 + b3 + c3 + ( a + b )( b + c )( a + c ) Áp dụng BĐT Cauchy với hai số dương ta có: a + b ≥ ab ; b + c ≥ bc ; Suy ra: ( a + b )( b + c )( a + c ) ≥ 8abc a + c ≥ ac ⇒ ( a + b + c ) = a + b3 + c3 + ( a + b )( b + c )( a + c ) ≥ a + b3 + c3 + 24abc (2) Từ (1) và (2) suy ra: (a + b + c) ( a + b + c )( a + b + c ) ≤ A a Do đó A ≥ , nghĩa là + b a + 8bc b + 8ac Dấu đẳng thức xảy a = b = c Bài 18 : Cho x; y; z ∈ + + = A ( a + b + c ) c c + 8ab ≥1 thoả xy + yz + zt + tx = Chứng minh: Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 www.MATHVN.com Lop12.net Page 12 (13) Trường THPT Chuyên Tiền Giang www.MATHVN.com GV Đỗ Kim Sơn x3 y3 z3 t3 + + + ≥ y+ z+t x+ z+t x+ y+t x+ y+ z Hướng dẫn giải Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: ( xy + yz + zt + tx ) ≤ ( x + y + z + t )( y + z + t + x ) ⇔ ≤ x2 + y + z + t Đặt: X = y + z + t ; Y = x + z + t ; Z = x + y + t ; T = x + y + z Không tính tổng quát giả sử: x ≥ y ≥ z ≥ t ⇒ x ≥ y ≥ z ≥ t và x3 ≥ y ≥ z ≥ t và y + z + t ≤ x + z + t ≤ x + y + t ≤ x + y + z ⇔ X ≤ Y ≤ Z ≤ T ⇒ (1) 1 1 ≥ ≥ ≥ X Y Z T Áp dụng BĐT Trê-bư-sếp cho hai dãy số sau: ⎧ x3 ≥ y ≥ z ≥ t ⎪ ⎨1 1 ⎪ ≥ ≥ ≥ ⎩X Y Z T x3 y z t ⎛ 1 1 ⎞ + + + ≥ ⎜ + + + ⎟ ( x + y3 + z3 + t ) X Y Z T 4⎝ X Y Z T ⎠ ⎧x ≥ y ≥ z ≥ t Áp dụng BĐT Trê-bư-sếp cho hai dãy ⎨ 2 2 ⎩x ≥ y ≥ z ≥ t ( x3 + y3 + z + t ) ≥ 14 ( x + y + z + t ) ( x + y + z + t ) Mặt khác: 1 x + y + z + t = (x + y + z + x + y + t + x + z + t + y + z + t) = ( X + Y + Z + T ) 3 1 ⇒ ( x3 + y + z + t ) ≥ ( x + y + z + t ) ( X + Y + Z + T ) Từ (2) và (3) rút ra: x3 y z t ⎛ 1 1⎞ x + y2 + z2 + t ) ( X + Y + Z + T ) ⎜ + + + ⎟ + + + ≥ ( X Y Z T 48 ⎝X Y Z T⎠ 2 2 Theo (1) ta lại có: ≤ x + y + z + t Áp dụng BĐT Cauchy cho X ; Y ; Z ; T > ta có: (2) (3) X + Y + Z + T ≥ 4 X Y Z T 1 1 + + + ≥ 44 X Y Z T X Y Z T ⎛ 1 1⎞ ⇒ ( X + Y + Z + T ) ⎜ + + + ⎟ ≥ 16 ⎝X Y Z T⎠ Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 www.MATHVN.com Lop12.net Page 13 (14) www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn x3 y z t 1 + + + ≥ 1.16 = X Y Z T 48 Thay X ; Y ; Z ; T ta kết quả: Vậy x3 y3 z3 t3 + + + ≥ y+ z+t x+ z+t x+ y+t x+ y+ z Dấu đẳng thức xảy x = y = z = t = Bài 19 : Cho n là số tự nhiên.Chứng minh rằng: Cn1 + Cn2 + + Cnn ≤ n ( 2n − 1) Hướng dẫn giải ( Chọn hai dãy a1 = C ; a2 = C ; ; an = C n n Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: ( n n ) ; (b = b Cn1 + Cn2 + + Cnn = = bn = 1) ) ≤ ( Cn1 + Cn2 + + Cnn ) (1 + + + 1) (1) n Theo nhị thức Newton ta có: ( a + b ) = ∑ Cnk a k b n − k n k =1 Cho a = b = Ta có: 2n = Cn0 + Cn1 + + Cnn ⇒ 2n − = Cn1 + + Cnn Vậy từ (1) ta có: Cn1 + Cn2 + + Cnn ≤ n ( 2n − 1) Dấu đẳng thức xảy Cn1 = Cn2 = = Cnn ⇔ n = a b c d + + + ≥ b + 2c + 3d c + 2d + 3a d + 2a + 3b a + 2b + 3c (Trích đề dự bị Quốc Tế Toán Mỹ năm 1993) Hướng dẫn giải n n ⎛ xi ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ n ⎞ Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: ⎜ ∑ ⎟ ⎜ ∑ xi yi ⎟ ≥ ⎜ ∑ xi ⎟ ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 yi ⎠ ⎝ i =1 Bài 20 : Cho a; b; c; d > Chứng minh : với n = 4; ( x1 ; x2 ; x3 ; x4 ) = ( a; b; c; d ) ; ( y1 ; y2 ; y3 ; y4 ) = ( b + 2c + 3d ; c + 2d + 3a; d + 2a + 3b; a + 2b + 3c ) ⇒ VT ≥ (a + b + c + d ) (1) ( ab + ac + ad + bc + bd + cd ) Mặt khác ( ab + ac + ad + bc + bd + cd ) ≤ Từ (1) và (2) ⇒ VT ≥ (a + b + c + d ) (2) ( đpcm ) Bài 21 : Cho a > 0; b > 0; c > Chứng minh : Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 a4 b4 c4 a + b3 + c + + ≥ b+c c+a a+b www.MATHVN.com Lop12.net Page 14 (15) www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Hướng dẫn giải 4 a b c ; x22 = ; x32 = và a ( b + c ) = y12 ; b ( c + a ) = y22 ; c ( a + b ) = y32 b+c c+a a+b Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có cho các số x1 ; x2 ; x3 và y1 ; y2 ; y3 ta được: Đặt x12 = ⎛ a4 b4 c4 ⎞ ⎡ 2 3 + + ⎜ ⎟ ⎣ a ( b + c ) + b ( c + a ) + c ( a + b ) ⎤⎦ ≥ ( a + b + c ) ⎝b+c c+a a+b⎠ a + b3 + c ) ( a4 b4 c4 Nên + + ≥ b + c c + a a + b a ( b + c ) + b2 ( c + a ) + c2 ( a + b ) Để chứng minh bài toán ta cần chứng minh: 2 ( a + b3 + c ) ≥ a ( b + c ) + b ( c + a ) + c ( a + b ) (**) (**) ⇔ a + b3 − a b − b a + b3 + c3 − b c − bc + c3 + a − c a − ca ≥ ⇔ ( a − b) ( a + b) + (b − c ) (b + c ) + ( c − a ) (c + a ) ≥ 2 (***) Bất đẳng thức (***) là đúng ⇔ (**) là đúng – Bài toán đúng a4 b4 c4 a + b3 + c3 + + ≥ Vậy b+c c+a a+b Bài 22 : Cho xi > 0; i = 1; 2; ; n có x1 + x2 + + xn = Cho xi1 ; xi2 ; ; xin là hoán vị x1 ; x2 ; ; xn Chứng minh: ⎛ ⎞ ( n + 1) x + ≥ ⎜ k ⎟ ∑ ⎜ xik ⎟⎠ n k =1 ⎝ Hướng dẫn giải n ⎡ n ⎛ ⎛ ⎞ Theo Bunhiacôpxki: n.∑ ⎜ xk + ⎟ ≥ ⎢ ∑ ⎜ xk + ⎜ xik ⎟⎠ xik k =1 ⎝ ⎢⎣ k =1 ⎜⎝ n n ⎛ n ⎞⎛ n ⎞ x n Mà ∑ xk = ≥ ⇒ ⎜ ⎟ ∑ ⎜ ∑ ik ⎟ ⎜ ∑ x ⎟ k =1 k =1 xik ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ik ⎠ n n ⎞⎤ ⎛ n ⎟ ⎥ = ⎜ ∑ xk + ∑ ⎟⎥ ⎜ k =1 k =1 xik ⎠⎦ ⎝ ≥ n2 ∑x Vậy ik ⎛ ⎞ ( n + 1) ⎜ xk + ⎟ ≥ ∑ ⎜ xik ⎟⎠ n k =1 ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = n2 n k =1 n 2 BÀI TẬP : Bài 1: Cho a; b; c; d > và thỏa c + d = ( a + b ) Chứng minh: Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 a b3 + ≥1 c d www.MATHVN.com Lop12.net Page 15 (16) www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn 1 16 64 + + + ≥ a b c d a+b+c+d a3 b3 c3 Bài 3: Cho a; b; c là số dương và a + b + c ≥ Chứng minh: + + ≥ b+c c+a a+b 2 2 Bài 4: Cho a + b + c = Chứng minh: a + b + c + ab + ac + bc ≤ + a4 b4 c4 a2 + b2 + c2 + + ≥ Bài 5: Cho a; b; c là các số dương.Chứng minh: a + ba + b b + bc + c c + ac + a Bài 6: Cho số x; y; z thoả x ( x − 1) + y ( y − 1) + z ( z − 1) ≤ Chứng minh: x + y + z ≤ a + 2b b + 2c c + 2a + + ≥ a+ b+ c Bài 6: Cho a; b; c là số không âm.Chứng minh: 3 bc ca ab Bài 7: Cho số dương a; b; c có abc = Chứng minh: + + ≥ 2 a b+a c b c+b a c a+c b 1+ x 1+ y 1+ z + 3 Bài 8: Cho số dương x; y; z có x + y + z = Chứng minh: + + ≥ y+z z+x x+ y Bài 2: Cho a; b; c; d > Chứng minh: a b c ( Bài 9: Chứng minh: + + ≥ x y z a+ b+ c ) x+ y+z Bài 10: Cho x ≥ y ≥ z > Chứng minh: x2 y y2 z z x + + ≥ ( x2 + y2 + z ) z x y ⎛a+b⎞ Bài 11: Cho a ≥ 1; b ≥ Chứng minh: log a + log b ≤ log ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 1⎞ Bài 12: Cho a; b; c > Chứng minh: ( a + b3 + c3 ) ⎜ + + ⎟ ≥ ( a + b + c ) ⎝a b c⎠ 2 1 17 Bài 14: Cho x; y; z > và x + y + z ≤ Chứng minh: x + + y + + z + ≥ 2 x y z Bài 15: Cho trước số dương a; b và số dương c; d thay đổi cho a + b < c + d Chứng minh: Bài 13: Cho a; b; c ∈ .Chứng minh: a + (1 − b ) + b + (1 − c ) + c + (1 − a ) ≥ 2 (a − c) c2 a2 + ≥ Dấu “=” xảy nào? c+d a+b−c−d a+b Bài 16: Cho a1 ; a2 ; ; an là các số thực thoả mãn a12 + a22 + + an2 = Chứng minh: Bài 17: Cho a; b; c; p; q > Chứng minh: Bài 18: Chứng minh với ∈ a a1 a2 + + + n < n +1 a b c + + ≥ pb + qc pc + qa pa + qb p + q ( i = 1; 2; ; n ) ta có: a12 + (1 − a2 ) + a22 + (1 − a3 ) + + an2 + (1 − a1 ) ≥ Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 2 www.MATHVN.com Lop12.net n Page 16 (17) www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Bài 1: Cho ΔABC thoả mãn hệ thức: x = br + cR > GV Đỗ Kim Sơn a3 b3 c3 2(a + b + c) + + = (1).CM ΔABC br + cR cr + aR ar + bR 9R Hướng dẫn giải Để đơn giản ta đặt: y = cr + aR > (2) z = ar + bR > 3 a b c 2(a + b + c) (1) ⇔ + + = x y z 9R Từ (2) ta có: ax + by + cz = (ab + bc + ca )(r + R) (3) a b3 c y x z y x z + + ) = a + b + c + ab(a + b ) + bc(b + c ) + ca(c + a ) x y z x y y z z x Theo BĐTCauchy,ta có: a b3 c (ax + by + cz )( + + ) ≥ a + b + c + 2ab.ab + bc.2bc + ca.2ca ≥ (a + b + c ) x y z (ax + by + cz )( Suy : ( (a + b + c ) a b3 c + + )≥ (theo 3) (4) x y z ( ab + bc + ca ) (r + R) mặt khác ta luôn có (Cauchy): a + b + c ≥ ab + bc + ca a b3 c (a + b + c )2 a + b2 + c2 nên (4): + + ≥ = x y z (a + b + c )(r + R) r+R (a + b + c)2 (theo BĐT BCS) 3(r + R) R 9R Mà R ≥ 2r ⇒ 3(r + R ) ≤ 3( + R) = 2 3 a b c 2(a + b + c) a3 b3 c3 2(a + b + c) từ đó: + + ≥ ⇒ + + ≥ x y z 9R br + cR cr + aR ar + bR 9R ≥ Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 www.MATHVN.com Lop12.net Page 17 (18) Trường THPT Chuyên Tiền Giang www.MATHVN.com ⎧ ⎪a = b = c ⎪⎪ dấu “=” xảy ⎨ R = r ⎪ y y z y x z ⎪a = b , b = c , c = a z y z y x ⎩⎪ x GV Đỗ Kim Sơn ⇔ ΔABC Bài : CM: + cos A cos B cos C ≥ sin A sin B sin C với A, B,C nhọn Hướng dẫn giải A B B C C A Do tgA>0,tagB>0,tgC>0 và tg tg + tg tg + tg tg = 2 2 2 A B B C C A Áp dụng BCS ta có: tg tg + tg tg + tg tg ≥ (1) 2 2 2 Mặt khác theo BĐT Cauchy ta có: A B B C C A A B C tg tg + tg tg + tg tg ≥ 3 tg tg tg (2) 2 2 2 2 A B C ⇔ 3tg tg tg ≤ 2 từ (1)và(2): A B B C C A A B C + tg tg + tg tg + tg tg ≥ ≥ 3tg tg tg 2 2 2 2 A ⎞⎛ B ⎞⎛ C⎞ ⎛ A ⎞⎛ B ⎞⎛ C⎞ A B C ⎛ ⇔ ⎜ + tg ⎟ ⎜1 + tg ⎟ ⎜1 + tg ⎟ + ⎜1 − tg ⎟ ⎜1 − tg ⎟⎜1 − tg ⎟ ≥ 3tg tg tg ⎠⎝ ⎠⎝ 2⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ 2⎠ 2 ⎝ A B C A B C − tg − tg − tg 2tg 2tg 2tg 2 ≥ ⇔ 1+ A B C A B C + tg + tg + tg + tg + tg + tg 2 2 2 ⇔ + cos A cos B cos C ≥ sin A sin B sin C Dấu “=” xảy ΔABC Bài : Cho a, b, c, là số đo cạnh Δ chứng minh a b c + T= + ≥1 2b + 2c − a 2c + 2a − b 2a + 2b − c Hướng dẫn giải Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho số: a b c ; ; ; a(2b + 2c − a ); b(2c + 2a − b ); c(2a + 2b − c ) 2b + 2c − a 2c + 2a − b 2a + 2b − c Ta có: T [a (2b + 2c − a ) + b(2c + 2a − b ) + c(2a + 2b − c )] ≥ (a + b + c ) Sau đó dùng biến đổi tương đương chứng minh: (a + b+ c)2 ≥ 4ab +4bc +4ca –a2 –b2 - c2 Từ đó suy đpcm Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 www.MATHVN.com Lop12.net Page 18 (19) www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn Bài : Cho ΔABC và đường tròn nội tiếp Δ , các tiếp tuyến đường tròn song song với cạnh Δ nhỏ S và có diện tích S1; S2; S3 Gọi S là diện tích ΔABC Chứng minh: S1 + S + S ≥ Hướng dẫn giải Giả sử S1= SAMN − 2r Ta có: ΔAMN đồng dạng ΔABC với tỉ số đồng dạng là: với r là bán kính đường tròn nội tiếp và là đường cao kẻ từ đỉnh A 2 S ⎛ − 2r ⎞ ⎛ a ⎞ Ta có: = ⎜ ⎟ = ⎜1 − ⎟⎟ S ⎝ ⎠ ⎜⎝ p⎠ 2r a (Vì S = aha = pr ⇒ = với p là nửa chu vi) p Vậy: S1 = 1− S Tương tự: S2 a p = 1− b ; p S3 = 1− c p S S S1 + S + S a+b+c Do đó: = 3− =1 p S Áp dụng BĐT Bun ta có: ( S = S1 + S + S ⇒ S1 + S + S3 ≥ ) ≤ (1 2 ) + 12 + 12 (S1 + S + S ) S (đpcm) Dấu “=” xảy ΔABC Bài : Cho ΔABC và điểm Q nào đó Δ Qua Q kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC M và cắt BC N Qua điểm Q kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB F; cắt BC E Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC P, cắt AB R Kí hiệu S1= dt(QMP); S2 = dt(QEN); S3 = dt(QFR) và S = dt(ABC).Chứng minh: b) S1 + S + S3 ≥ S a) S = S1 + S + S3 Hướng dẫn giải MP a) Ta có: ΔQMP đồng dạng ΔBAC (tỉ số ) AC S1 MP S ⎛ MP ⎞ Suy = ⎜ = ⎟ ⇒ S ⎝ AC ⎠ AC S ( Tương tự Do đó: ) PC S3 AM ; = AC AC S S S1 + S2 + S3 MP + PC + AM AC = = =1 AC AC S S2 = Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 www.MATHVN.com Lop12.net Page 19 (20) www.MATHVN.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Suy ra: S = S1 + S + S3 ⇒ S = ( S1 + S + S3 ) GV Đỗ Kim Sơn b) Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: ( S = S1 + S2 + S3 ) ≤ (1 2 + 12 + 12 ) ( S1 + S + S3 ) S Dấu “=” xảy S1 = S2 = S3 ⇔ Q là trọng tâm ΔABC Suy S1 + S + S3 ≥ Bài : Cho a , b , c là cạnh tam giác.Chứng minh: a b c + + ≥ a+ b+ c b+c−a c+a −b a+b−c Hướng dẫn giải ⎧b + c − a = x > ⎪ Đặt ⎨c + a − b = y > ⎪a + b − c = z > ⎩ Khi đó ta cần chứng minh: y+z z+x x+ y y+z z+x x+ y + + ≥ + + 2 2 x y z ⇔ yz ( y + z ) + zx ( z + x ) + xy ( x + y ) ≥ xyz ( x+ y + y+z + x+z ) (1) Dễ thấy VT (1) ≥ ( xy + yz + zx ) (2) Theo BĐT Bunhiacôpxki ta có: ( x+ y + y+z + z+x ) ≤ 6( x + y + z) ⇒ x + y + y + z + z + x ≤ 6( x + y + z) VT (2) ≤ 3xyz ( x + y + z ) (3) Rõ ràng ta có x y + x y + x y ≥ xyz ( x + y + z ) ⇒ ( xy + yz + zx ) ≥ xyz ( x + y + z ) ⇒ xy + yz + zx ≥ 3xyz ( x + y + z ) (4) Từ (1) (2) (3) (4) ⇒ đpcm Dấu “=” xảy a = b = c Bài : Cho ∆ABC Chứng minh : a2b(a – b) +b2c(b – a) + c2a(c – a) ≥ ( Trích đề thi vô địch toán quốc tế 1983 ) Hướng dẫn giải Gọi A’; B’; C’ là các tiếp điểm: Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 www.MATHVN.com Lop12.net Page 20 (21)