Chu de 6 bat dang thuc

17 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ 6: BẤT ĐẲNG THỨC I Các kiến thức Định nghĩa: Ta gọi hệ thức dạng a > b ( a  b; a b; a b ) bất đẳng thức  A B  A  B 0   A B  A  B 0 Các tính chất a  b  a c  a Bắc cầu: b  c b Cộng hai vế bất đẳng thức với số: a  b  a  c  b  c Hệ 1: a  b  a  c  b  c c Cộng, trừ vế bất đẳng thức chiều bđt chiều với bđt cho a  b   a c  b d c d ( lưu ý: khơng có tính chất trừ vế với vế ) d Nhân hai vế bddt với số a  b     a  b  a  b ; c   a c  b c    a  b; c   a.c  b.c Hệ quả:  ab a b  c  c (c  0)   a  b (c  0)  c c a  b  a c b d  e Trừ vế bđt ngược chiều: c  d f Nhân vế hai bất đẳng thức chiều mà hai vế không âm: a  b 0; c  d 0  ac bd g Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế bất đẳng thức: a  b  an  bn a  b   a n  bn a  b  an  bn (n lẻ) (n chẵn) h Lấy a  b  0, n  N *  n a nb 2 2 Hệ quả: a, b > có a  b  a  b ; a, b 0  a b  a b i Lấy nghịch đảo hai vế đổi chiều bđt hai vế dấu a b 0 0 Với Liên hệ tài 039.373.2038 1  a b liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com a  b, ab   1  a b II Các đẳng thức 2 a 0;  a 0 a a  a 0 a 0  a 0 a  b  a  b  ab 0 III Các bổ đề hay sử dụng 2 a  b 2ab  a b    ab  (a  b) 4ab   1   (a, b  0) a b a  b a b  2 b a 2 2 (a  b )( x  y ) (ax  by ) (AM  GM ) ( a, b  0) (bu  nhi  a  cop  ski ) IV Các dạng toán Dạng 1: Dùng định nghĩa phép biến đổi tương đương - Để chứng minh: A B ta xét A – B chứng minh A  B 0 Bài 1: Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh bất đẳng thức sau: a  b  c ab  bc  ca (1) Lời giải (1)  2a  2b  2c 2ab  2bc  2ca  (a  b)  (b  c)  (c  a) 0 (luôn đúng) Dấu “ = ” xảy  a b c Bài 2: Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh rằng: ( ab  bc  ca) 3abc( a  b  c)(1) Lời giải (1)  a 2b2  b c c a  a 2bc  ab 2c  abc 0  a 2b  b 2c c a  a 2bc  ab 2c  abc 0  (a b  ab c  b c )   b c  2abc  c2 a    a c  2a 2bc  a 2b  0  (ab  bc)  (bc  ca )  (ca  ba) 0 Bất đẳng thức cuối phép biến đổi tương đường nên toán chứng minh Dấu “ = ” xảy  ab bc; bc ca; ca ab  a b c 2 2 Bài 3: Chứng minh rằng: a  b  c  d  e a (b  c  d  e) a, b, c , d , e  R Lời giải Ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com a  b  c  d  e2 a (b  c  d  e)  a2 a2 a2 a2  ab  b   ac  c   ad  d   ae  e 0 4 4 2 2 a  a  a  a     b     c     d     e  0 2  2  2  2  Bất đẳng thức cuối phép biến đổi tương đương nên toán chứng minh b c d  a Dấu “=” xảy khi: a b c b a c      Cho ba số a, b, c thỏa mãn:  a b c Chứng minh rằng: b c a a c b Bài 4: Lời giải Xét hiệu: a b c b a c      b c a a c b  (a 2c  ab  bc  b 2c  ba  ac ) abc  (a c  b c)  (b a  a 2b)  (c 2b  ac )   abc  c(a  b)( a  b)  ab(a  b)  c (a  b)  abc    a  b   ac  bc  ab  c     abc    a  b   c  a  c   b  c  a     abc   (a  b)  a  c   c  b  0 (do :  a b c) abc  Vậy bất đẳng thức chứng minh a b c  1 1   2      a b c  với a, b, c > Bài 5: Chứng minh rằng: bc ac ab Lời giải Xét hiệu: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com a b c  1 1   2     bc ac ab a b c ac ab   bc 2    0  abc abc abc   a  b  c  2bc  2ca  2ab 0  a b c    bc ac ab  ( a  b  c )2 0 Bất đẳng thức cuối phép biến đổi tương đương nên toán chứng minh a  b c Dấu “=” xảy khi: 3 4 Bài 6: Chứng minh a  b 2 a  b a b Lời giải 4 3 3 3 Xét hiệu: a b  a  b a (a  1)  b (b  1) a (a  1)  (a  1)  (a  1)  b (b  1)  (b  1)  (b  1) ( a  1)(a  1)  (b  1)(b3  1)  a  b  (a  1) (a  a  1)  (b  1) (b  b  1)  a  b  0   0 Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu “=” xảy a = b = 4 Bài 7: Chứng minh a, b, c ta ln có: a b  c abc(a  b  c ) Lời giải Xét hiệu: a b  c  abc(a  b  c ) a  b c  a 2bc  b ac  c ab  (2a  2b  2c  2a 2bc  2b ac  2c ab)   (a  2a 2b  b )  2a 2b  (a  2a 2c  c )  2a 2c  (b  2b 2c  c )  2b 2c  a 2bc  b ac  c ab    (a  b )  (a  c )2  (b  c )2  (a 2b  b 2c  2ab 2c )  (b 2c  c a  2abc )  (a 2b  c a  2a 2bc )    (a  b )2  (b  c )2  (c  a )2  (ab  bc)  (bc  ca )  (ab  ac)  0 a, b, c Bất đẳng thức cuối nên toán chứng minh Dạng 2: Dùng phép biến đổi tương đương - Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đường với BĐT BĐT chứng minh - Nếu A  B  C  D , với C < D Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com Bài 1: Cho a, b, c, d, e số thực, Chứng minh rằng: a 2 a b2 ab 2 b a  b  ab  a  b a  b2  c2  a  b  c    3   d 2 c a  4b  4c 4ab  4ac  8bc Lời giải a 2 a b2 b2 ab  a   ab 0  4a  b 4ab  (2a  b) 0 4 (đúng) b a  b  ab  a  b  2( a  b  1) 2(ab  a  b)  (a  b)  (a  1)  (b  1) 0  a b 1 2 2 2 c a  4b  4c 4ab  4ac  8bc  (a  4ab  4b )  4c  (4ac  bc) 0  ( a  2b)  2(a  2b).2c  (2c) 0  (a  2b  2c) 0 (luôn đúng) a2  b2  c2  a  b  c  2 2 2    3(a  b  c ) (a  b  c) a  b  c  2ab  2bc  2ca 3   d  (a  b)  (b  c)  (c  a ) 0 (luôn đúng) Bài 2: Cho ba số a, b, c  R thỏa mãn: abc = a b c  1   a b c a Chứng minh rằng: (a  1)(b  1)(c  1)  b Chứng minh tồn ba số a, b, c nhỏ Lời giải a Ta có: (a  1)(b  1)(c  1)   abc  ab  bc  ca  a  b  c   abc  (a  b  c )  (ab  bc  ca )    ( a  b  c)  (ab  bc  ca )  (1) a b c  1 ab  bc  ca    a b c   a  b  c  ab  bc  ca (2) a b c abc Từ (1), (2) ta có điều phải chứng minh b Giả sử tồn ba số a, b, c lớn  abc  ( mâu thuẫn với giả thiết ) Vậy tồn số nhỏ 10 10 2 8 4 Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức sau: ( a  b )(a  b ) ( a  b )( a  b ) (1) Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com (1)  (a10  b10 )(a  b )  (a  b8 )(a  b ) 0  a12  a10b  a 2b10  b12  a12  a 8b  a 4b8  b12 0  (a10b  a8b )  (a 2b10  a 4b8 ) 0  a8b (a  b )  a 2b8 (a  b ) 0  (a  b ) a 2b (a  a 2b  b ) 0 1 Bài 4: Chứng minh rằng: a b c   2 a b b c c a (a, b, c  0) Lời giải a b  a b c  Ta có: 1 a a    a b a b c a b a b c b b c c a b c  ;    1 Tương tự: b  c a  b  c a  c a  b  c Vậy a  b b  c c  a a  a b  Lại có: (*) a a c b a b c c b  ;  ;  a b a b c b c a b c c  a a b c a b c    (**) a b b c c a Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta được: Do tốn chứng minh Bài 5: [ Vào 10, ĐHSP TPHCM năm 2007 – 2008 ] 3 2 3 Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b  b c  c a  a b  b c  c a Lời giải a 3b  b3c  c 3a  a 2b3  b 2c  c a  a 3b  a 2b  b3c  c a  c 3a  b 2c   a 2b (a  b)  c (b  a )  c (a  b )   (a  b)  a 2b  c (b  ab  a )  c (a  b)   ( a  b)(b  c)(c  a)(ab  bc  ca )  (luôn đúng) Bài 6: [ Vào 10 Thanh Hóa, năm 2007 – 2008 ] a 5(a  1) 11   2a Chứng minh với a > thì: a  Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com a 5( a  1) 11 a 5(a  1)       0 a2 1 2a a 1 2a  (a  1) 5a  10a   (a  1) 5(a  1)      0 2(a  1) 2a 2a  a  1   1  2 5a  a    0 a     a        2 2  a a 1   a  a  1   1 19  a   4a     2 4   a  1   0   a  a  1      Bất đẳng thức cuối với a > nên toán chứng minh Dấu “=” xảy a = Bài 7: [ HSG – 1994 - 1995 ]  x y x2 y2   3    (1) x  y x Chứng minh với số thực x, y 0 ta có y Lời giải x2 y2 (1)     y x  x y  x y  x y  x y    0              0  y x  y x  y x  y x x y  x y  ( x  y ) ( x  xy  y )         1 0  0 x2 y2 y x  y x  2( x  y ) ( x  xy  y ) ( x  y ) (2 x  xy  y )    0 x2 y2 x2 y2  ( x  y ) ( x  y  ( x  y) ) 0 x2 y Bất đẳng thức cuối phép biến đổi tương đương nên toán chứngminh Dấu “=” xảy x = y Bài 8: [ Chuyên An Giang năm 2010 - 2011 ] 2 Cho a 4, b 4 Chứng minh rằng: a  b ab 6(a  b) Lời giải Do a 4, b 4  a  0; b  0 2 Đặt x a  ( x 0); y b  4( y 0) ta có: (1)  ( x  4)  ( y  4)  ( x  4)( y  4) 6( x  y  8) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com  x  y  xy  6( x  y ) 0 y  y2   x     x  y  0 2  Bất đẳng thức với x, y ≥ tốn chứng minh Dấu “=” xảy x = y = hay a = b = Bài 9: [ Vào 10 chuyên KHTN, ĐHQGHN, năm 2000 – 2001 ] x2 y x2 y2   3 2 2 ( x  y ) y x Cho hai số thực x, y ≠ Chứng minh rằng: (1) Lời giải Ta có: (1)  x2 y x2 y2 x2 y  ( x2  y )2 x4  y  2x2 y        0 ( x2  y )2 y2 x2 ( x2  y2 )2 x2 y    ( x  y )2 ( x  y )2   0  ( x  y )  2  0 2 2 2 2 (x  y ) x y  x y (x  y )   ( x2  y )2 4 2 ( x2  y )2  x2 y 2 2 x  y x y   ( x  y ) 0 x y ( x  y )2 x2 y ( x2  y )2 Bất đẳng thức cuối phép biến đổi tương đương nên toán chứng minh Dấu “=” xảy x y Bài 10: 2a a2  b2 a b   ab  2 Cho số thực a,b Chứng minh rằng: a  b (1) Lời giải a  b 2a (a  b )   ; a  b 2( a  b) a  b2  Ta có: a  b2  ab (a  b ) 2 ab    a  b2  a  b2  ab   ab  2       ( a  b)  1  (1)   0  ( a  b)  2a  2b  2   a b a b  ab      2a  2b  2( a  b )  ab 0 a  b  ab ( a  Ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu (*) ( a  b) b)  ; ( a  b )2 word toán 2(a  b )  ab  0  zalo: a b  2 2(a  b )   ( a  b) 2(a  b )  (a  b) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com  (*)  (a  b)    ( a  b )   0  ( a  b)  2(a  b )  a  b  ( a  b )  0 2   2(a  b )  (a  b)  2(a  b )  4ab  (a  b)  2( a  b )  ab  0  (a  b) 0   2(a  b )  ab  2(a  b) 2( a  b )  ab 0 Bất đẳng thức cuối nên toán chứng minh Dấu “=” xảy rakhi a = b Dạng 3: Bất đẳng thức dạng nghịch đảo ( Cô si cộng mẫu ) 1    *) a b c a  b  c 1   *) a b a  b 1 n2      a1 a2  an a a a a  a   a n n *) a, a1 , , an  1 3      Bài 1: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c a  2b b  2c c  2a Lời giải 1    Áp dụng bất đẳng thức dạng: a b c a  b  c ( tự chứng minh bđt) 1 1 1    ;    ;    a b b a  2b b c c b  2c c a a c  2a 1 3      a b c a  2b b  2c c  2a Cộng vế bất đẳng thức ta được: Vậy toán chứng minh Dấu “=” xảy a = b = c   4      Bài 2: Cho a, b, c > Chứng minh rằng:  a  b c  a b  c  a b c Lời giải 1 1 1 1       2    ; a b a b Áp dụng bất đẳng thức dạng: x  y x y a  b a b 1 1 1    3    ; a c c a Tương tự: c  a c a Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: 1 1 1    4    bc b c bc b c TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com Cộng vế ba bất đẳng thức ta được:   4       a b c a b c  a b c Bất đẳng thức chứng minh Dấu “=” xảy a = b = c a b c    Bài 3: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a  4b  4c b  4c  4a c  4a  4b (1) Lời giải 3a 3b 3c   1 a  4b  4c b  4c  4a c  4a  4b 3a 3b 3c         1    1     4  a  4b  4c   b  4c  4a   a  4a  4b  (1)  1    4(a  b  c)     4  a  4b  4c b  4c  4a c  4a  4b  1 1     (2) a  4b  4c b  4c  4a c  4a  4b a  b  c 1    Áp dụng bất đẳng thức: x y z x  y  z VT (2)  Ta được:  9(a  b  c ) a  b  c (đpcm) a b c A    2a  2b  2c Bài 4: Cho a, b, c > thỏa mãn: a  b  c 3 Tìm GTLN Lời giải 2a 2b 2c 1 2A    1  1 1  3  B  2a  2b  2c  2a  2b  2c Cách 1: 1 B    1  2a  2b  2c  2( a  b  c) A 3  B 2  A 1  a b c Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức: 1 1 1 1 2 a a           1     x  y  z x y z  a  a a a  2a  a   2a 9 b b   ; Tương tự:  2b 9 c c    2c 9 A Cộng ba vế bất đẳng thức ta được: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: a b c  1  a b c 9 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com ab bc ca a b c    Bài 5: Cho a, b, c > Chứng minh a  b  2c b  c  2a c  a  2b Lời giải 1   Áp dụng bất đẳng thức: x  y x y VT ab 1  bc  ca (a  c)  (b  c )  b  a   c  a  c  b   a  b  1   1   1   ab       bc    ca    a  c b c   b  a c  a   c b a b   bc  ca ab  bc ab  bc  a  b  c       a b b c a c  A Bài 6: Cho a, b, c > thỏa mãn: a + b + c = Tìm GTNN: 1  2 abc a  b  c Lời giải a b c 1      ; abc abc ab bc ca ab  bc  ca 3( ab  bc  ca) (a  b  c) 1  Lại có: A Cộng theo vế ba bất đẳng thức: 1    9 2 a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca (a  b  c )2 3  21 ab  bc  ca ab  bc  ca 9   30  A 30  a b c  ab  cb  ca ab  bc  ca BÀI TẬP VẬN DỤNG: 1 4      Bài 1: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c a  b  2c b  c  2a c  a  2b Lời giải 1   Ta có: (a  c)(b  c) a  c b  c 1   ; Tương tự: b  c  2a b  a c  a 1   c  a  2b c  b a  b 4 1     2      a b b c c a  Cộng theo vế ta được: a  b  2c b  c  2a c  a  2b 1 1    ; a c  a c  11 1    ; b c  b c   1 1 1     a b  a b  Lại có: Cộng theo vế ta được: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com 1 1 1 1        a b b c c a  a b c   2 Cộng theo vế ta được: Từ (1) (2) nên: 1 4      a b c a  b  2c b  c  2a c  a  2b Vậy toán chứng minh , Dấu “=” xảy a = b = c 7     9      a  2b b  2c c  2a  Bài 2: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c Lời giải Ta có: 1 1 2    ;        a b b a b c b c c b c c b c c b c c 1 3        a c c c a a c a a c a a Cộng vế với vế bất đẳng thức ta đpcm a b c    Bài 3: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 2a  5b  5c 2b  5c  5a 2c  5a  5b (1) Lời giải 15 (1)  3.VT   3.VT   4 Thật vậy: 1 45 15    3.VT  (5a  5b  5c)       5( a  b  c) 12(a  b  c) 12  2a  5b  5c 2b  5c  5a 2c  5a  5b  Bài toán chứng minh Dấu “=” xảy a = b = c Dạng 4: Dùng bất đẳng thức phụ Các bất đẳng thức phụ thường sử dụng: x  y 2 xy 2 xy x  y 2 xy 2 a b  2 b a ( x  y ) 4 xy; ( x  y ) 2( x  y ) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com x  y  xy ( x  y ) ( x  y )( y  z )( z  x) 8 xyz a  b3  Bài 1: Cho hai số a b thỏa mãn: a + b = Chứng minh rằng: Lời giải 3 2 2 Ta có: a  b (a  b)(a  ab  b ) a  ab  b 2 Từ: a  b 1  a  2ab  b 1;  2a  2b 1  a  b  (a  b) 0  a  2ab  b 0 (1) a  2ab  b 0  a b 2ab  ab  Lại có: a  b2 (2) 1 1 ab    ab   a b  ab    4 4 Từ (1), (2) ta có: Vậy tốn chứng minh Dấu “=” xảy a = b a  b4  Bài 2: Cho a + b > Chứng minh rằng: Lời giải 2 2 2 Từ a  b   (a  b)   a 2ab  b  1; (a  b) 0  a  b  2ab 0 1  a  b   ( a  b )   a  b  a 2b  4 2 4 2 Có tiếp: ( a  b ) 0  a  b  2a b 0 (1) (2) 1  a  b4    a  b4  Cộng theo vế (1) (2) ta được: Vậy toán chứng minh Dấu “=” xảy a = b a b2 c c b a  2 2   b a c Bài 3: Chứng minh rằng: b c a Lời giải 2 Ta có: ( x  y ) 0  x  y 2 xy Dấu “=” xảy x = y a2 b2 a b a b2 c2 b    ;  2 ; 2 c b c c c a a Áp dụng: b a2 c2 b  2 b a c a b c  2VT 2      VT VP  c a b Vậy toán chứng minh Dấu “=” xảy a = b Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com Bài 4: Cho a, b, c, d, > abcd = Chứng minh rằng: a  b  c  d a (b  c)  b (c  d )  d (c  a ) 10 Lời giải 2 2 2 2 Ta có: a  b 2ab; c d 2cd  a  b  c  d 2(ab  cd ) abcd 1  ab  Từ : 1 1 1 ; ac  ; ad  ; bc  ; bd  ; cd  ; ad  cd bd bc ad ac ab bc      ab  2( ad  bc) 2  ab   2.2 4  :    0  ab  2  ab  ab   ab    Có: 2 2 Vậy a  b  c  d 4 Lại có: ab  ac  bc  bd  cd  ad (ad  bc)  (ac  bd )  (bc  ad ) 1 (ab  )  (ac  )  (bc  ) 6  VT 10 ac    bc    ab       2 2 2 Bài 5: Cho x, y, z 0 Chứng minh rằng: ( x  y )( y  z )( z  x) 8 xyz (1) Lời giải Ta có: (1)  ( x  y ) ( y  z ) ( z  x) 64 x y z Lại có: ( x  y )2 4 xy;( y  z )2 4 yz;( z  x )2 4 xz  ( x  y )2 ( y  z ) ( z  x ) 64 x y z Vậy toán chứng minh Dấu “=” xảy a = b Bài 6: Cho a, b, c  0; abc 1 Chứng minh rằng: (a  1)(b  1)(c  1) 8 Lời giải Ta có: ( a  1) 4a;(b  1) 4b; (c  1) 4c   (a  1)(b  1)(c  1)  (8abc)  ( a  1)(b  1)(c  1) 8abc Vậy toán chứng minh Dấu “=” xảy a = b = c 2 2 Bài 7: Cho a, b, c, d  0; abcd 1 Chứn minh rằng: a  b  c  d  ab  cd 6 Lời giải 2 2 Có: a  b  c  d  ab  cd 2ab  2cd  ab  cd 3(ab  cd )   3(ab  cd ) 3  ab   3.2 6 ab   Lại có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com Vậy tốn chứng minh Dấu “=” xảy a = b = c = d Bài 8: Cho x  y  z 1 Chứng minh rằng: x2  y  z  a xy  yz  zx  b Lời giải ( x  y ) 0 x, y  x  y 2 xy a Ta có: 2 2 : y  z 2 yz ; x  z 2 xz Tương tự Cộng theo vế ta được:  x  y  z  2  xy  yz  zx    x  y  z  x  y  z   xy  yz  zx    x  y  z   x  y  z  1  x  y  z  Vậy toán chứng minh Dấu “=” xảy x = y = z b Theo chứng minh trên: x  y  z 2( xy  yz  zx )  x  y  z  xy  yz  zx  ( x  y ) 3( xy  yz  zx)  3( xy  yz  zx)  xy  yz  zx  Vậy toán chứng minh Dấu “=” xảy x = y = z Bài 9: Cho a, b, c 0 thỏa mãn: a  b  c 1 Chứng minh rằng: a  b  2c 4(1  a )(1  b)(1  c) Lời giải 2 Ta có: ( x  y ) 4 xy  xy ( x  y ) Áp dụng ta được: a, b, c 1   c 0  4(1  a )(1  b) (1  a   b) (1  c)  VP (1  c) (1  c) (1  c )(1  c) 1  c  a b  a  b  c  VP a  b  2c   c 0 Mà: Bài 10: Cho a, b, c  thỏa mãn: abc 1 Chứng minh rằng: 1  3  3 1 a  b 1 b  c 1 c  a 1 Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com 3 Ta có: x  y  xy ( x  y )  ( x  y )( x  y ) 0 x, y  Áp dụng ta có: a  b3  ab( a  b)  abc ab(a  b  c )  1 abc c    a  b  ab(a  b  c ) ab(a  b  c ) a  b  c a b  ;  3 Tương tự: b  c  a  b  c c  a  a  b  c Cộng vế bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Dấu “=” xảy a = b = 1 1    2 a , b , c  Bài 11: Cho Chứng minh rằng:  a  b  c  abc Lời giải Chứng minh: 1   x, y  0; xy 1 2  x  y  xy  (2  x  y )(1  xy ) 2(1  x )(1  y )  xy  xy ( x  y ) x  y  x y  ( x  y ) ( xy  1) 0 1 2    ; 2 Áp dụng:  a  b  ab  abc (do : xy 1) 1 1   ;   2 2  b  c  abc  c  a  abc Cộng vế bất đẳng thức thức ta điều phải chứng minh Bài 12: Cho x, y, z  0; x  y  z 1 Tìm GTNN: A x2 ( y  z ) y ( z  x) z ( x  y )   yz zx xy Lời giải x2 y2 x2 z y2 z A      y x z x z y Ta có: 3 Dễ chứng minh: a  b (a  b)ab a, b  2 Thật  (a  b)(a  ab  b )  (a  b)ab 0  (a  b)(a  b) 0 a, b 0 2 2 3 Hoặc: a  b  ab ab a, b  (a  b)(a  ab  b ) ab(a  b)  a  b ab(a  b) x y x3  y   x  y x xy Áp dụng: y x, y  0; y2 z2 z x2   y  z;   x  z y x z Tương tự: z Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com A 2( x  y  z 2  A 2  x  y  z  Cộng vế ba bất đẳng thức ta được: 2 Bài 13: Cho x, y, z  0; x  y  z 1 Tìm GTNN: A xy yz xz   z x y Lời giải x2 y2 y2 z x2 z A    2 z x y Ta có: 2 Mà: a b 2ab 2 2 x2 y y z x2 z x2 z 2 y z x y  2 y ;  2 z ;  2 x 2 x x y z y Áp dụng: z  x2 y y z x2 z  x2 y y2 z x2 z 2     2  x  y  z  2    1 z x y  z x y Cộng theo vế ta được:  A 3  x  y z  :  A  3 Do DẠNG 5: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG - Muốn chứng minh bất đẳng thức A B đúng, ta giả sử A B sai, tức A < B - Sau chứng minh A < B sai  A B 2 Bài 1: Cho a  b 2 Chứng minh rằng: a  b 2 Lời giải 2 Giả sử a  b  , bình phương hai vế ta được: ( a  b)   a  2ab  b  (1) 2 2 Mặt khác ta lại có: a b 2ab  2(a  b ) (a  b) 2 Theo giải thiết: 2( a  b ) 4  ( a  b) 4 Điều mâu thuẫn với (1) nên suy a  b 2 a2  b c b(a  c)  c(a  b) Bài 2: Với số thực a, b, c chứng tỏ: Lời giải a2 a2  b c  b(a  c)  c(a  b)   b  c  ab  bc  ac  bc  4 Giả sử: a2   b c  ab  ac  2bc  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com a    b 2  c   a2  b c b(a  c)  c (a  b) Vậy điều giả sử sai suy ra: 3 Bài 3: Cho a b 2 Chứng minh rằng: a  b 2 Lời giải Giả sử a + b > Ta có: (a  b)3   a  b3  3ab(a  b)   3ab(a  b)   ab(a  b)   ab(a  b)  a  b3   (a  b)(a  ab  b )  ab(a  b)   (a  b)(a  b) Bất đẳng thức cuối sai nên a  b 2 Bài 4: Cho số thực a, b, c  (0; 2) Chứng minh có ba bất đẳng thức sau sai a (2  b)  1; b(2  c)  1; c(2  a )  Lời giải Giả sử ba bất đẳng thức đúng, nhân chúng với theo vế, ta được: a (2  b).b(2  c).c(2  a)   a(2  a).b(2  b).c(2  c)  Mặt khác, a  (0; 2) nên a  a    a.(2  a) 1  (a  1) 1 Tương tự:  b.(2  b) 1;0  c(2  c) 1 Do đó: a (2  a ).b(2  b).c(2  c) 1 ( mâu thuẫn ) Vậy ta có tốn chứng minh Bài 5: [ Chuyên Thái Bình: năm 2007 – 2008 ] 2 2 Cho số thực a, b, c thỏa mãn a  b ab  bc  ca  Chứng minh rằng: a  b  c Lời giải 2 Giả sử a b c , đó: a  b  2(ab  bc  ca )  a  b a  b  c  2(ab  bc  ca )  2(a  b  ab  bc  ca ) (a  b  c ) 2 2 Kết hợp với gỉa thiết:  2(a  b  ab  bc  ca) (a  b  c)  (a  b  c)  ( mâu thuẫn ) Bài 6: [ Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa: năm 2007 – 2008 ] Cho số thực a, b, c thỏa mãn: a  b  c  0; ab  bc  ca  0; abc  Chứng minh ba số a, b, c dương Lời giải Giả sử ba số a, b, c có số khơng dương Khơng tính tổng quát, ta giả sử: a 0 Mà lại có: abc   a 0  a  Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com Lại có: a  b  c   b  c   a (b  c )  Từ giả thiết thứ hai: ab + bc + ca > 0, ta có: a (b  c)  bc   bc  Vì abc < ( mâu thuẫn ) Vậy toán chứng minh Bài 7: Cho ba số a, b, c đôi khác Chứng minh rằng: Tồn số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ ( a  b  c) Lời giải 2 Giả sử: 9ab (a  b  c) ;9bc (a  b  c) ;9ca (a  b  c )  3(a  b  c) 9( ab  bc  ca)  (a  b  c)2 3( ab  bc  ca) a b  c ab  bc  ca  (a  b)  (b  c )  (c  a ) 0 (1) 2 Theo đầu bài: a, b, c đôi khác nên: ( a  b)  (b  c)  (c  a)  (2) Từ (1), (2) ta thấy mâu thuẫn nên toán chứng minh Bài 8: [ Chuyên HCM năm 2006 – 200 ] 3 2 Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x  y  x  y Chứng minh rằng: x  y  Lời giải 3 Do x, y dương nên x, y  mà x  y  x  y nên x > y 2 Giả sử: x  y 1  x3  y ( x  y )( x  y )  x3  y  x3  x y  yx  y  xy  yx  y 0  y ( xy  x  y ) 0 (*)    y  x( y  x )  y  0   0   x  y  y  x  2 Do (*) khơng thể xảy x  y    x  y 1    x  y  xy 1 Bài 9: Cho cặp số (x; y) thỏa mãn điều kiện sau:  Chứng minh rằng: (1) (2) x 2; y 2 Lời giải Ta chứng minh: Giả sử +) x 2 x 2 ,   x  x  2, (1)  y 1  x    xy   Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 +) Website:tailieumontoan.com x   2, (1)  y   x   xy   Do Suy ra: x   xy   Mà x  y 1  x  y  xy   ( mâu thuẫn với 2) x 2 Ta chứng minh y 2 ( tương tự chứng minh x 2 ) Bài 10: [ Olympic Toán Ireland năm 1997 ] 2 Cho a, b, c 0; a  b  c abc Chứng minh rằng: a  b  c abc Lời giải +) Nếu ba số bất đẳng thức chứng minh Ta xét: a, b, c > 2 2 2 Giả sử ngược lại: a  b  c  abc  abc  a  b  c  a  a  bc Tương tự ta có: b  ac; c  ab  a  b  c  ab  bc  ca (1) 2 2 2 Lại có: a  b  c ab  bc  ca  abc  a  b  c ab  bc  ca  abc  ab  bc  ca (2) Từ (1), (2) suy ra: abc  a  b  c ( mâu thuẫn với giả thiết ) nên điều giả sử sai Bài 11: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c abc Chứng minh có 6   6;   6;   6 b c a c a b hai số bất đẳng thức sau đúng: a b c Lời giải a  b  c abc  Ta có: 1   1 bc ca ab (do : abc  0) 1  x;  y;  z  x, y , z  0; xy  yz  xz 1 b c Đặt a Ta phải chứng minh có hai ba bất đẳng thức sau đúng: x  y  z 6; y  z  x 6; x  z  y 6 Giả sử có bất đẳng thức sau sai, chẳng hạn: x  y  z  6; y  3z  x  Cộng vế hai bất đẳng thức: x  y  z  12  yz xy  yz  zx 1  x( y  z ) 1  yz  x  yz Từ giả thiết: 12  Do đó:  yz  y  z  12( y  z )  8(1  yz )  (5 y  z )( y  z ) yz  y  yz  z  12 y  12 z    y  y (3 z  2)  z  12 z   y  y   Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC