Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 21 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
21
Dung lượng
464,19 KB
Nội dung
17 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ 6: BẤT ĐẲNG THỨC I Các kiến thức Định nghĩa: Ta gọi hệ thức dạng a > b ( a b; a b; a b ) bất đẳng thức A B A B 0 A B A B 0 Các tính chất a b a c a Bắc cầu: b c b Cộng hai vế bất đẳng thức với số: a b a c b c Hệ 1: a b a c b c c Cộng, trừ vế bất đẳng thức chiều bđt chiều với bđt cho a b a c b d c d ( lưu ý: khơng có tính chất trừ vế với vế ) d Nhân hai vế bddt với số a b a b a b ; c a c b c a b; c a.c b.c Hệ quả: ab a b c c (c 0) a b (c 0) c c a b a c b d e Trừ vế bđt ngược chiều: c d f Nhân vế hai bất đẳng thức chiều mà hai vế không âm: a b 0; c d 0 ac bd g Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế bất đẳng thức: a b an bn a b a n bn a b an bn (n lẻ) (n chẵn) h Lấy a b 0, n N * n a nb 2 2 Hệ quả: a, b > có a b a b ; a, b 0 a b a b i Lấy nghịch đảo hai vế đổi chiều bđt hai vế dấu a b 0 0 Với Liên hệ tài 039.373.2038 1 a b liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com a b, ab 1 a b II Các đẳng thức 2 a 0; a 0 a a a 0 a 0 a 0 a b a b ab 0 III Các bổ đề hay sử dụng 2 a b 2ab a b ab (a b) 4ab 1 (a, b 0) a b a b a b 2 b a 2 2 (a b )( x y ) (ax by ) (AM GM ) ( a, b 0) (bu nhi a cop ski ) IV Các dạng toán Dạng 1: Dùng định nghĩa phép biến đổi tương đương - Để chứng minh: A B ta xét A – B chứng minh A B 0 Bài 1: Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh bất đẳng thức sau: a b c ab bc ca (1) Lời giải (1) 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca (a b) (b c) (c a) 0 (luôn đúng) Dấu “ = ” xảy a b c Bài 2: Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh rằng: ( ab bc ca) 3abc( a b c)(1) Lời giải (1) a 2b2 b c c a a 2bc ab 2c abc 0 a 2b b 2c c a a 2bc ab 2c abc 0 (a b ab c b c ) b c 2abc c2 a a c 2a 2bc a 2b 0 (ab bc) (bc ca ) (ca ba) 0 Bất đẳng thức cuối phép biến đổi tương đường nên toán chứng minh Dấu “ = ” xảy ab bc; bc ca; ca ab a b c 2 2 Bài 3: Chứng minh rằng: a b c d e a (b c d e) a, b, c , d , e R Lời giải Ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com a b c d e2 a (b c d e) a2 a2 a2 a2 ab b ac c ad d ae e 0 4 4 2 2 a a a a b c d e 0 2 2 2 2 Bất đẳng thức cuối phép biến đổi tương đương nên toán chứng minh b c d a Dấu “=” xảy khi: a b c b a c Cho ba số a, b, c thỏa mãn: a b c Chứng minh rằng: b c a a c b Bài 4: Lời giải Xét hiệu: a b c b a c b c a a c b (a 2c ab bc b 2c ba ac ) abc (a c b c) (b a a 2b) (c 2b ac ) abc c(a b)( a b) ab(a b) c (a b) abc a b ac bc ab c abc a b c a c b c a abc (a b) a c c b 0 (do : a b c) abc Vậy bất đẳng thức chứng minh a b c 1 1 2 a b c với a, b, c > Bài 5: Chứng minh rằng: bc ac ab Lời giải Xét hiệu: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com a b c 1 1 2 bc ac ab a b c ac ab bc 2 0 abc abc abc a b c 2bc 2ca 2ab 0 a b c bc ac ab ( a b c )2 0 Bất đẳng thức cuối phép biến đổi tương đương nên toán chứng minh a b c Dấu “=” xảy khi: 3 4 Bài 6: Chứng minh a b 2 a b a b Lời giải 4 3 3 3 Xét hiệu: a b a b a (a 1) b (b 1) a (a 1) (a 1) (a 1) b (b 1) (b 1) (b 1) ( a 1)(a 1) (b 1)(b3 1) a b (a 1) (a a 1) (b 1) (b b 1) a b 0 0 Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu “=” xảy a = b = 4 Bài 7: Chứng minh a, b, c ta ln có: a b c abc(a b c ) Lời giải Xét hiệu: a b c abc(a b c ) a b c a 2bc b ac c ab (2a 2b 2c 2a 2bc 2b ac 2c ab) (a 2a 2b b ) 2a 2b (a 2a 2c c ) 2a 2c (b 2b 2c c ) 2b 2c a 2bc b ac c ab (a b ) (a c )2 (b c )2 (a 2b b 2c 2ab 2c ) (b 2c c a 2abc ) (a 2b c a 2a 2bc ) (a b )2 (b c )2 (c a )2 (ab bc) (bc ca ) (ab ac) 0 a, b, c Bất đẳng thức cuối nên toán chứng minh Dạng 2: Dùng phép biến đổi tương đương - Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đường với BĐT BĐT chứng minh - Nếu A B C D , với C < D Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com Bài 1: Cho a, b, c, d, e số thực, Chứng minh rằng: a 2 a b2 ab 2 b a b ab a b a b2 c2 a b c 3 d 2 c a 4b 4c 4ab 4ac 8bc Lời giải a 2 a b2 b2 ab a ab 0 4a b 4ab (2a b) 0 4 (đúng) b a b ab a b 2( a b 1) 2(ab a b) (a b) (a 1) (b 1) 0 a b 1 2 2 2 c a 4b 4c 4ab 4ac 8bc (a 4ab 4b ) 4c (4ac bc) 0 ( a 2b) 2(a 2b).2c (2c) 0 (a 2b 2c) 0 (luôn đúng) a2 b2 c2 a b c 2 2 2 3(a b c ) (a b c) a b c 2ab 2bc 2ca 3 d (a b) (b c) (c a ) 0 (luôn đúng) Bài 2: Cho ba số a, b, c R thỏa mãn: abc = a b c 1 a b c a Chứng minh rằng: (a 1)(b 1)(c 1) b Chứng minh tồn ba số a, b, c nhỏ Lời giải a Ta có: (a 1)(b 1)(c 1) abc ab bc ca a b c abc (a b c ) (ab bc ca ) ( a b c) (ab bc ca ) (1) a b c 1 ab bc ca a b c a b c ab bc ca (2) a b c abc Từ (1), (2) ta có điều phải chứng minh b Giả sử tồn ba số a, b, c lớn abc ( mâu thuẫn với giả thiết ) Vậy tồn số nhỏ 10 10 2 8 4 Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức sau: ( a b )(a b ) ( a b )( a b ) (1) Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com (1) (a10 b10 )(a b ) (a b8 )(a b ) 0 a12 a10b a 2b10 b12 a12 a 8b a 4b8 b12 0 (a10b a8b ) (a 2b10 a 4b8 ) 0 a8b (a b ) a 2b8 (a b ) 0 (a b ) a 2b (a a 2b b ) 0 1 Bài 4: Chứng minh rằng: a b c 2 a b b c c a (a, b, c 0) Lời giải a b a b c Ta có: 1 a a a b a b c a b a b c b b c c a b c ; 1 Tương tự: b c a b c a c a b c Vậy a b b c c a a a b Lại có: (*) a a c b a b c c b ; ; a b a b c b c a b c c a a b c a b c (**) a b b c c a Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta được: Do tốn chứng minh Bài 5: [ Vào 10, ĐHSP TPHCM năm 2007 – 2008 ] 3 2 3 Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b b c c a a b b c c a Lời giải a 3b b3c c 3a a 2b3 b 2c c a a 3b a 2b b3c c a c 3a b 2c a 2b (a b) c (b a ) c (a b ) (a b) a 2b c (b ab a ) c (a b) ( a b)(b c)(c a)(ab bc ca ) (luôn đúng) Bài 6: [ Vào 10 Thanh Hóa, năm 2007 – 2008 ] a 5(a 1) 11 2a Chứng minh với a > thì: a Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com a 5( a 1) 11 a 5(a 1) 0 a2 1 2a a 1 2a (a 1) 5a 10a (a 1) 5(a 1) 0 2(a 1) 2a 2a a 1 1 2 5a a 0 a a 2 2 a a 1 a a 1 1 19 a 4a 2 4 a 1 0 a a 1 Bất đẳng thức cuối với a > nên toán chứng minh Dấu “=” xảy a = Bài 7: [ HSG – 1994 - 1995 ] x y x2 y2 3 (1) x y x Chứng minh với số thực x, y 0 ta có y Lời giải x2 y2 (1) y x x y x y x y x y 0 0 y x y x y x y x x y x y ( x y ) ( x xy y ) 1 0 0 x2 y2 y x y x 2( x y ) ( x xy y ) ( x y ) (2 x xy y ) 0 x2 y2 x2 y2 ( x y ) ( x y ( x y) ) 0 x2 y Bất đẳng thức cuối phép biến đổi tương đương nên toán chứngminh Dấu “=” xảy x = y Bài 8: [ Chuyên An Giang năm 2010 - 2011 ] 2 Cho a 4, b 4 Chứng minh rằng: a b ab 6(a b) Lời giải Do a 4, b 4 a 0; b 0 2 Đặt x a ( x 0); y b 4( y 0) ta có: (1) ( x 4) ( y 4) ( x 4)( y 4) 6( x y 8) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com x y xy 6( x y ) 0 y y2 x x y 0 2 Bất đẳng thức với x, y ≥ tốn chứng minh Dấu “=” xảy x = y = hay a = b = Bài 9: [ Vào 10 chuyên KHTN, ĐHQGHN, năm 2000 – 2001 ] x2 y x2 y2 3 2 2 ( x y ) y x Cho hai số thực x, y ≠ Chứng minh rằng: (1) Lời giải Ta có: (1) x2 y x2 y2 x2 y ( x2 y )2 x4 y 2x2 y 0 ( x2 y )2 y2 x2 ( x2 y2 )2 x2 y ( x y )2 ( x y )2 0 ( x y ) 2 0 2 2 2 2 (x y ) x y x y (x y ) ( x2 y )2 4 2 ( x2 y )2 x2 y 2 2 x y x y ( x y ) 0 x y ( x y )2 x2 y ( x2 y )2 Bất đẳng thức cuối phép biến đổi tương đương nên toán chứng minh Dấu “=” xảy x y Bài 10: 2a a2 b2 a b ab 2 Cho số thực a,b Chứng minh rằng: a b (1) Lời giải a b 2a (a b ) ; a b 2( a b) a b2 Ta có: a b2 ab (a b ) 2 ab a b2 a b2 ab ab 2 ( a b) 1 (1) 0 ( a b) 2a 2b 2 a b a b ab 2a 2b 2( a b ) ab 0 a b ab ( a Ta có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu (*) ( a b) b) ; ( a b )2 word toán 2(a b ) ab 0 zalo: a b 2 2(a b ) ( a b) 2(a b ) (a b) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com (*) (a b) ( a b ) 0 ( a b) 2(a b ) a b ( a b ) 0 2 2(a b ) (a b) 2(a b ) 4ab (a b) 2( a b ) ab 0 (a b) 0 2(a b ) ab 2(a b) 2( a b ) ab 0 Bất đẳng thức cuối nên toán chứng minh Dấu “=” xảy rakhi a = b Dạng 3: Bất đẳng thức dạng nghịch đảo ( Cô si cộng mẫu ) 1 *) a b c a b c 1 *) a b a b 1 n2 a1 a2 an a a a a a a n n *) a, a1 , , an 1 3 Bài 1: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c a 2b b 2c c 2a Lời giải 1 Áp dụng bất đẳng thức dạng: a b c a b c ( tự chứng minh bđt) 1 1 1 ; ; a b b a 2b b c c b 2c c a a c 2a 1 3 a b c a 2b b 2c c 2a Cộng vế bất đẳng thức ta được: Vậy toán chứng minh Dấu “=” xảy a = b = c 4 Bài 2: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c a b c a b c Lời giải 1 1 1 1 2 ; a b a b Áp dụng bất đẳng thức dạng: x y x y a b a b 1 1 1 3 ; a c c a Tương tự: c a c a Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: 1 1 1 4 bc b c bc b c TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com Cộng vế ba bất đẳng thức ta được: 4 a b c a b c a b c Bất đẳng thức chứng minh Dấu “=” xảy a = b = c a b c Bài 3: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b (1) Lời giải 3a 3b 3c 1 a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b 3a 3b 3c 1 1 4 a 4b 4c b 4c 4a a 4a 4b (1) 1 4(a b c) 4 a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b 1 1 (2) a 4b 4c b 4c 4a c 4a 4b a b c 1 Áp dụng bất đẳng thức: x y z x y z VT (2) Ta được: 9(a b c ) a b c (đpcm) a b c A 2a 2b 2c Bài 4: Cho a, b, c > thỏa mãn: a b c 3 Tìm GTLN Lời giải 2a 2b 2c 1 2A 1 1 1 3 B 2a 2b 2c 2a 2b 2c Cách 1: 1 B 1 2a 2b 2c 2( a b c) A 3 B 2 A 1 a b c Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức: 1 1 1 1 2 a a 1 x y z x y z a a a a 2a a 2a 9 b b ; Tương tự: 2b 9 c c 2c 9 A Cộng ba vế bất đẳng thức ta được: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: a b c 1 a b c 9 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com ab bc ca a b c Bài 5: Cho a, b, c > Chứng minh a b 2c b c 2a c a 2b Lời giải 1 Áp dụng bất đẳng thức: x y x y VT ab 1 bc ca (a c) (b c ) b a c a c b a b 1 1 1 ab bc ca a c b c b a c a c b a b bc ca ab bc ab bc a b c a b b c a c A Bài 6: Cho a, b, c > thỏa mãn: a + b + c = Tìm GTNN: 1 2 abc a b c Lời giải a b c 1 ; abc abc ab bc ca ab bc ca 3( ab bc ca) (a b c) 1 Lại có: A Cộng theo vế ba bất đẳng thức: 1 9 2 a b c ab bc ca ab bc ca (a b c )2 3 21 ab bc ca ab bc ca 9 30 A 30 a b c ab cb ca ab bc ca BÀI TẬP VẬN DỤNG: 1 4 Bài 1: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c a b 2c b c 2a c a 2b Lời giải 1 Ta có: (a c)(b c) a c b c 1 ; Tương tự: b c 2a b a c a 1 c a 2b c b a b 4 1 2 a b b c c a Cộng theo vế ta được: a b 2c b c 2a c a 2b 1 1 ; a c a c 11 1 ; b c b c 1 1 1 a b a b Lại có: Cộng theo vế ta được: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com 1 1 1 1 a b b c c a a b c 2 Cộng theo vế ta được: Từ (1) (2) nên: 1 4 a b c a b 2c b c 2a c a 2b Vậy toán chứng minh , Dấu “=” xảy a = b = c 7 9 a 2b b 2c c 2a Bài 2: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c Lời giải Ta có: 1 1 2 ; a b b a b c b c c b c c b c c b c c 1 3 a c c c a a c a a c a a Cộng vế với vế bất đẳng thức ta đpcm a b c Bài 3: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 2a 5b 5c 2b 5c 5a 2c 5a 5b (1) Lời giải 15 (1) 3.VT 3.VT 4 Thật vậy: 1 45 15 3.VT (5a 5b 5c) 5( a b c) 12(a b c) 12 2a 5b 5c 2b 5c 5a 2c 5a 5b Bài toán chứng minh Dấu “=” xảy a = b = c Dạng 4: Dùng bất đẳng thức phụ Các bất đẳng thức phụ thường sử dụng: x y 2 xy 2 xy x y 2 xy 2 a b 2 b a ( x y ) 4 xy; ( x y ) 2( x y ) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com x y xy ( x y ) ( x y )( y z )( z x) 8 xyz a b3 Bài 1: Cho hai số a b thỏa mãn: a + b = Chứng minh rằng: Lời giải 3 2 2 Ta có: a b (a b)(a ab b ) a ab b 2 Từ: a b 1 a 2ab b 1; 2a 2b 1 a b (a b) 0 a 2ab b 0 (1) a 2ab b 0 a b 2ab ab Lại có: a b2 (2) 1 1 ab ab a b ab 4 4 Từ (1), (2) ta có: Vậy tốn chứng minh Dấu “=” xảy a = b a b4 Bài 2: Cho a + b > Chứng minh rằng: Lời giải 2 2 2 Từ a b (a b) a 2ab b 1; (a b) 0 a b 2ab 0 1 a b ( a b ) a b a 2b 4 2 4 2 Có tiếp: ( a b ) 0 a b 2a b 0 (1) (2) 1 a b4 a b4 Cộng theo vế (1) (2) ta được: Vậy toán chứng minh Dấu “=” xảy a = b a b2 c c b a 2 2 b a c Bài 3: Chứng minh rằng: b c a Lời giải 2 Ta có: ( x y ) 0 x y 2 xy Dấu “=” xảy x = y a2 b2 a b a b2 c2 b ; 2 ; 2 c b c c c a a Áp dụng: b a2 c2 b 2 b a c a b c 2VT 2 VT VP c a b Vậy toán chứng minh Dấu “=” xảy a = b Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com Bài 4: Cho a, b, c, d, > abcd = Chứng minh rằng: a b c d a (b c) b (c d ) d (c a ) 10 Lời giải 2 2 2 2 Ta có: a b 2ab; c d 2cd a b c d 2(ab cd ) abcd 1 ab Từ : 1 1 1 ; ac ; ad ; bc ; bd ; cd ; ad cd bd bc ad ac ab bc ab 2( ad bc) 2 ab 2.2 4 : 0 ab 2 ab ab ab Có: 2 2 Vậy a b c d 4 Lại có: ab ac bc bd cd ad (ad bc) (ac bd ) (bc ad ) 1 (ab ) (ac ) (bc ) 6 VT 10 ac bc ab 2 2 2 Bài 5: Cho x, y, z 0 Chứng minh rằng: ( x y )( y z )( z x) 8 xyz (1) Lời giải Ta có: (1) ( x y ) ( y z ) ( z x) 64 x y z Lại có: ( x y )2 4 xy;( y z )2 4 yz;( z x )2 4 xz ( x y )2 ( y z ) ( z x ) 64 x y z Vậy toán chứng minh Dấu “=” xảy a = b Bài 6: Cho a, b, c 0; abc 1 Chứng minh rằng: (a 1)(b 1)(c 1) 8 Lời giải Ta có: ( a 1) 4a;(b 1) 4b; (c 1) 4c (a 1)(b 1)(c 1) (8abc) ( a 1)(b 1)(c 1) 8abc Vậy toán chứng minh Dấu “=” xảy a = b = c 2 2 Bài 7: Cho a, b, c, d 0; abcd 1 Chứn minh rằng: a b c d ab cd 6 Lời giải 2 2 Có: a b c d ab cd 2ab 2cd ab cd 3(ab cd ) 3(ab cd ) 3 ab 3.2 6 ab Lại có: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com Vậy tốn chứng minh Dấu “=” xảy a = b = c = d Bài 8: Cho x y z 1 Chứng minh rằng: x2 y z a xy yz zx b Lời giải ( x y ) 0 x, y x y 2 xy a Ta có: 2 2 : y z 2 yz ; x z 2 xz Tương tự Cộng theo vế ta được: x y z 2 xy yz zx x y z x y z xy yz zx x y z x y z 1 x y z Vậy toán chứng minh Dấu “=” xảy x = y = z b Theo chứng minh trên: x y z 2( xy yz zx ) x y z xy yz zx ( x y ) 3( xy yz zx) 3( xy yz zx) xy yz zx Vậy toán chứng minh Dấu “=” xảy x = y = z Bài 9: Cho a, b, c 0 thỏa mãn: a b c 1 Chứng minh rằng: a b 2c 4(1 a )(1 b)(1 c) Lời giải 2 Ta có: ( x y ) 4 xy xy ( x y ) Áp dụng ta được: a, b, c 1 c 0 4(1 a )(1 b) (1 a b) (1 c) VP (1 c) (1 c) (1 c )(1 c) 1 c a b a b c VP a b 2c c 0 Mà: Bài 10: Cho a, b, c thỏa mãn: abc 1 Chứng minh rằng: 1 3 3 1 a b 1 b c 1 c a 1 Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com 3 Ta có: x y xy ( x y ) ( x y )( x y ) 0 x, y Áp dụng ta có: a b3 ab( a b) abc ab(a b c ) 1 abc c a b ab(a b c ) ab(a b c ) a b c a b ; 3 Tương tự: b c a b c c a a b c Cộng vế bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Dấu “=” xảy a = b = 1 1 2 a , b , c Bài 11: Cho Chứng minh rằng: a b c abc Lời giải Chứng minh: 1 x, y 0; xy 1 2 x y xy (2 x y )(1 xy ) 2(1 x )(1 y ) xy xy ( x y ) x y x y ( x y ) ( xy 1) 0 1 2 ; 2 Áp dụng: a b ab abc (do : xy 1) 1 1 ; 2 2 b c abc c a abc Cộng vế bất đẳng thức thức ta điều phải chứng minh Bài 12: Cho x, y, z 0; x y z 1 Tìm GTNN: A x2 ( y z ) y ( z x) z ( x y ) yz zx xy Lời giải x2 y2 x2 z y2 z A y x z x z y Ta có: 3 Dễ chứng minh: a b (a b)ab a, b 2 Thật (a b)(a ab b ) (a b)ab 0 (a b)(a b) 0 a, b 0 2 2 3 Hoặc: a b ab ab a, b (a b)(a ab b ) ab(a b) a b ab(a b) x y x3 y x y x xy Áp dụng: y x, y 0; y2 z2 z x2 y z; x z y x z Tương tự: z Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com A 2( x y z 2 A 2 x y z Cộng vế ba bất đẳng thức ta được: 2 Bài 13: Cho x, y, z 0; x y z 1 Tìm GTNN: A xy yz xz z x y Lời giải x2 y2 y2 z x2 z A 2 z x y Ta có: 2 Mà: a b 2ab 2 2 x2 y y z x2 z x2 z 2 y z x y 2 y ; 2 z ; 2 x 2 x x y z y Áp dụng: z x2 y y z x2 z x2 y y2 z x2 z 2 2 x y z 2 1 z x y z x y Cộng theo vế ta được: A 3 x y z : A 3 Do DẠNG 5: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG - Muốn chứng minh bất đẳng thức A B đúng, ta giả sử A B sai, tức A < B - Sau chứng minh A < B sai A B 2 Bài 1: Cho a b 2 Chứng minh rằng: a b 2 Lời giải 2 Giả sử a b , bình phương hai vế ta được: ( a b) a 2ab b (1) 2 2 Mặt khác ta lại có: a b 2ab 2(a b ) (a b) 2 Theo giải thiết: 2( a b ) 4 ( a b) 4 Điều mâu thuẫn với (1) nên suy a b 2 a2 b c b(a c) c(a b) Bài 2: Với số thực a, b, c chứng tỏ: Lời giải a2 a2 b c b(a c) c(a b) b c ab bc ac bc 4 Giả sử: a2 b c ab ac 2bc Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com a b 2 c a2 b c b(a c) c (a b) Vậy điều giả sử sai suy ra: 3 Bài 3: Cho a b 2 Chứng minh rằng: a b 2 Lời giải Giả sử a + b > Ta có: (a b)3 a b3 3ab(a b) 3ab(a b) ab(a b) ab(a b) a b3 (a b)(a ab b ) ab(a b) (a b)(a b) Bất đẳng thức cuối sai nên a b 2 Bài 4: Cho số thực a, b, c (0; 2) Chứng minh có ba bất đẳng thức sau sai a (2 b) 1; b(2 c) 1; c(2 a ) Lời giải Giả sử ba bất đẳng thức đúng, nhân chúng với theo vế, ta được: a (2 b).b(2 c).c(2 a) a(2 a).b(2 b).c(2 c) Mặt khác, a (0; 2) nên a a a.(2 a) 1 (a 1) 1 Tương tự: b.(2 b) 1;0 c(2 c) 1 Do đó: a (2 a ).b(2 b).c(2 c) 1 ( mâu thuẫn ) Vậy ta có tốn chứng minh Bài 5: [ Chuyên Thái Bình: năm 2007 – 2008 ] 2 2 Cho số thực a, b, c thỏa mãn a b ab bc ca Chứng minh rằng: a b c Lời giải 2 Giả sử a b c , đó: a b 2(ab bc ca ) a b a b c 2(ab bc ca ) 2(a b ab bc ca ) (a b c ) 2 2 Kết hợp với gỉa thiết: 2(a b ab bc ca) (a b c) (a b c) ( mâu thuẫn ) Bài 6: [ Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa: năm 2007 – 2008 ] Cho số thực a, b, c thỏa mãn: a b c 0; ab bc ca 0; abc Chứng minh ba số a, b, c dương Lời giải Giả sử ba số a, b, c có số khơng dương Khơng tính tổng quát, ta giả sử: a 0 Mà lại có: abc a 0 a Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com Lại có: a b c b c a (b c ) Từ giả thiết thứ hai: ab + bc + ca > 0, ta có: a (b c) bc bc Vì abc < ( mâu thuẫn ) Vậy toán chứng minh Bài 7: Cho ba số a, b, c đôi khác Chứng minh rằng: Tồn số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ ( a b c) Lời giải 2 Giả sử: 9ab (a b c) ;9bc (a b c) ;9ca (a b c ) 3(a b c) 9( ab bc ca) (a b c)2 3( ab bc ca) a b c ab bc ca (a b) (b c ) (c a ) 0 (1) 2 Theo đầu bài: a, b, c đôi khác nên: ( a b) (b c) (c a) (2) Từ (1), (2) ta thấy mâu thuẫn nên toán chứng minh Bài 8: [ Chuyên HCM năm 2006 – 200 ] 3 2 Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x y x y Chứng minh rằng: x y Lời giải 3 Do x, y dương nên x, y mà x y x y nên x > y 2 Giả sử: x y 1 x3 y ( x y )( x y ) x3 y x3 x y yx y xy yx y 0 y ( xy x y ) 0 (*) y x( y x ) y 0 0 x y y x 2 Do (*) khơng thể xảy x y x y 1 x y xy 1 Bài 9: Cho cặp số (x; y) thỏa mãn điều kiện sau: Chứng minh rằng: (1) (2) x 2; y 2 Lời giải Ta chứng minh: Giả sử +) x 2 x 2 , x x 2, (1) y 1 x xy Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 +) Website:tailieumontoan.com x 2, (1) y x xy Do Suy ra: x xy Mà x y 1 x y xy ( mâu thuẫn với 2) x 2 Ta chứng minh y 2 ( tương tự chứng minh x 2 ) Bài 10: [ Olympic Toán Ireland năm 1997 ] 2 Cho a, b, c 0; a b c abc Chứng minh rằng: a b c abc Lời giải +) Nếu ba số bất đẳng thức chứng minh Ta xét: a, b, c > 2 2 2 Giả sử ngược lại: a b c abc abc a b c a a bc Tương tự ta có: b ac; c ab a b c ab bc ca (1) 2 2 2 Lại có: a b c ab bc ca abc a b c ab bc ca abc ab bc ca (2) Từ (1), (2) suy ra: abc a b c ( mâu thuẫn với giả thiết ) nên điều giả sử sai Bài 11: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c abc Chứng minh có 6 6; 6; 6 b c a c a b hai số bất đẳng thức sau đúng: a b c Lời giải a b c abc Ta có: 1 1 bc ca ab (do : abc 0) 1 x; y; z x, y , z 0; xy yz xz 1 b c Đặt a Ta phải chứng minh có hai ba bất đẳng thức sau đúng: x y z 6; y z x 6; x z y 6 Giả sử có bất đẳng thức sau sai, chẳng hạn: x y z 6; y 3z x Cộng vế hai bất đẳng thức: x y z 12 yz xy yz zx 1 x( y z ) 1 yz x yz Từ giả thiết: 12 Do đó: yz y z 12( y z ) 8(1 yz ) (5 y z )( y z ) yz y yz z 12 y 12 z y y (3 z 2) z 12 z y y Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC